Фундаментальные взаимодействия

ФЁЙНМАНА ДИАГРАММЫ -наглядный и эфф. способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод предложен Р. Фейнманом (R. Feynman) в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц (см. Амплитуда рассеяния, Амплитуда процесса )в рамках теории возмущений (см. Возмущений теория ),когда из полного (эффективного) лагранжиана системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия)трактуется как возмущение.

Составными элементами Ф. д. являются вершины , внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой а внешних и внутренних линий-структурой . Каждому моному по полям, в соответствует определ. тип вершин, а каждому виду поля в -определ. тип линий. Если поле нейтральной (соответствующая частица совпадает со своей , см. Истинно нейтральные частицы ),то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Существуют т. н. правила Фейнмана (ПФ, см. ниже), к-рые сопоставляют каждому элементу Ф. д. определ. матем. объекты (величины и операции), так что по Ф. д. можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем Ф. д. позволяет такому вкладу дать наглядную классич. интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отд. превращению соответствует вершина, внутр. линиям - распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внеш. линиям-волновые ф-ции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе.

В качестве примера рассмотрим Ф. д. в квантовой электродинамике (КЭД), к-рая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая - к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению осн. частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона)-движение против стрелки.

Каждая Ф. д. имеет неск. интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для Ф. д., изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты. Первый-движение по линиям слева направо- рассеяние фотона на электроне (Комптона эффект) . В вершине 1 нач. электрон поглощает нач. фотон, при этом образуется промежуточный электрон, к-рый распространяется от вершины 1 к вершине 2 . Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-им-пульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном. Второй вариант - движение по линиям справа налево- рассеяние фотона на позитроне. Третий вариант - движение снизу вверх - аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона. Четвёртый вариант- движение сверху вниз - рождение электрон-пози-тронной пары при столкновении двух фотонов.

Согласно ПФ, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорц. нек-рой константе связи (константе взаимодействия) , и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом (т. н.

массовая поверхность) (-энергия, Р -обычный трёхмерный импульс, т -масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внеш. линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутр. линиями, в связи с чем они наз. виртуальными частицами . Для них и Р могут независимо принимать значения от Поле может быть как однокомпонентным, так и многокомпонентным. В КЭД и фотонное (векторное эл--магн.) поле, и электрон-позитронное (спинорное) поле имеют по четыре компоненты. Каждая линия в Ф. д. описывает сразу всю совокупность компонент соответствующего поля. В суперсимметричных моделях (см. Суперсимметрия )линия в Ф. д. описывает распространение целого мульти-плета элементарных частиц, к-рые соответствуют разным компонентам одного суперполя.

Тип физ. процесса определяется только теми частицами, к-рые имеются на входе и выходе этого процесса. Поэтому все Ф. д. с одним и тем же набором внеш. линий вне зависимости от своей внутр. структуры соответствуют одному и тому же физ. процессу. Каждая из таких диаграмм вносит аддитивный вклад в амплитуду процесса. Так, помимо диаграммы, изображённой на рис. 3, эффекту Комптона соответствуют, напр., диаграммы, приведённые на рис. 4.

Отличит. чертой этих диаграмм является наличие в них замкнутых циклов (петель), состоящих из внутр. линий. Диаграммы типа рис. 4,а наз. о д н о п е т л е в ы м и, а типа рис. 4,б и рис. 4,в -д в у х п е т л е в ы м и. Беспетлевые диаграммы типа рис. 3 наз. д р е в е с н ы м и. Из всех диаграмм, соответствующих данному физ. процессу, древесные диаграммы имеют наименьшее число вершин. Поэтому в теории возмущений, в к-рой роль малого параметра играет константа связи, древесные диаграммы вносят осн. вклад, а диаграммы с петлями описывают радиационные поправки .

Помимо разложения всех величин в ряд теории возмущений по константе связи используется разложение в ряд по константе Планка h . Оказывается, что вклад Ф. д. пропорционаленв степени п , где п -число петель в данной диаграмме. Поэтому в классич. пределе вклад дают только древесные диаграммы.

Кроме амплитуд рассеяния Ф. д. используются для описания Грина функций (в КТП). В обоих случаях структуры диаграмм очень схожи, что отражает тесную связь между ф-циями Грина и амплитудами рассеяния. Существенным отличием является лишь то, что для ф-ций Грина внеш. линиям соответствует распространение виртуальных частиц (вне массовой поверхности).

Согласно ПФ, каждой петле в Ф. д. отвечает интегрирование по 4-импульсу, к-рый может циркулировать в данной петле, не нарушая законов сохранения в вершинах. Нек-рые из этих интегралов расходятся за счёт бесконечного объёма интегрирования (ультрафиолетовые расходи мости) . Существует последовательный метод, называемый процедурой регуляризации и перенормировки, к-рый позволяет избавиться от этих расходимостей. В этом методе формулируются правила, по к-рым нек-рым внутр. блокам (обобщённым вершинам, см. ниже) в Ф. д. ставятся в соответствие определ. матем. операции. С их помощью удаётся скомпенсировать УФ-расходимости (см. Регуляризация расходимостей, Перенормировки) .

В выделении обобщённых вершин, используемых в процедуре перенормировок, существенную роль играет следующая классификация Ф. д. Диаграмма наз. с в я з н о й, если из любой её вершины можно попасть в любую другую, перемещаясь по внутр. линиям. В противном случае диаграмма наз. н е с в я з н о й. Диаграмма наз. с и л ь н о с в я з н о й или о д н о ч а с т и ч н о н е п р и в о д и м о й, если она остаётся связной после разрыва любой одной внутр. линии. Разл. совокупности вершин и внутр. линий диаграммы наз. её поддиаграммами. Они имеют ту же классификацию, что и диаграммы. О б о б щ ё н н ы е в е р ш ин ы- это сильно связные поддиаграммы, к-рые подсоединяются к др. частям диаграммы так же, как обычные вершины или внутр. линии. В КЭД три типа обобщённых вершин: собственная энергия электрона (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями), собственная энергия фотона или вакуума (подсоединяется двумя фотонными линиями), треугольная вершина (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями и одной фотонной).

Специфические особенности имеет диаграммная техника для моделей с неабелевыми калибровочными полями . Это связано с тем, что для их последовательной релятивистски инвариантной формулировки приходится рассматривать помимо физ. компонент калибровочных полей и нефизические. Оказывается, что лишний вклад в наблюдаемые величины от нефиз. компонент можно скомпенсировать вкладом нек-рых "духовых" полей (см. Фаддеева -Попова духи) , имеющих неправильную связь спина со статистикой. Соответственно этому помимо диаграмм, описывающих распространение и взаимодействие материальных и калибровочных полей, приходится рассматривать диаграммы, в к-рых фигурируют "духовые" поля. Так, в квантовой хромодинамике помимо вершин, описывающих взаимодействие материальных полей () с калибровочными полями (глюонами) и глюонов между собой (рис. 5, а и рис. 5, б , 5, в) , приходится вводить вершины, описывающие взаимодействие глюонов с "духами" (рис. 5, г) .

Поскольку для физ. процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии "духи" присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в к-рых нет внеш. "духовых" линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефиз. компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в к-рых в начальном и (или) конечном состоянии "духи" присутствуют.

Ф. д. широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить нек-рую подсовокупность, к-рая вносит осн. вклад.

Метод Ф. д. успешно применяется также в квантовой теории многих частиц , в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.

Лит.: Фейнман Р., Теория фундаментальных процессов, пер. с англ., М., 1978; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993; Ициксон К., Зюбер Ж--Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984. Д. А. Славное .

Правила Фейнмана в к в а н т о в о й т е о р и и п о л я - правила соответствия между вкладами определ. порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и Ф. д. Регулярный вывод ПФ основан на применении Вика теоремы для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от к-рых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В ПФ центр. роль играют квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, т. е. вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений.

к-рые также равны причинным ф-циям Грина этих полей:

Наряду с пропагаторами i D(x-y ), к-рым в Ф. д. соответствуют линии, соединяющие точки x и у , и к-рые полностью характеризуют взаимодействующие поля, ПФ включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности ПФ: правила в координатном представлении, на основе к-рых можно сопоставить диаграммы вкладам в S -матрицу, выраженным через операторные полевые ф-ции; более полезными оказываются ПФ в импульсном представлении, к-рые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими значениями 4-импульсов частиц. В дальнейшем термином "ПФ" будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо выражений (1), (2) используют их фурье-образы D a (p ), к-рым на Ф. д. соответствуют внутр. линии, по к-рым как бы движутся частицы с импульсом р . Места встречи линий - вершины - описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно ПФ, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодеиствия. В качестве иллюстрации в табл. приведены правила соответствия для квантовой в диагональной (иначе фейнмановекой) калибровке эл--магн. поля. Полный набор ПФ состоит из правил соответствия, приведённых в табл., и следующих общих правил: (7) для построения вклада n -го порядка по е в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диа-граммы, содержащие ровно п вершин, соединяющие их внутр. линии и заданный набор внеш. линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматрива-емого процесса. При этом следует иметь в виду, что направ-ления, указанные стрелками на электронных линиях, отвеча-ют движению позитрона против направления стрелок; (8) каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, к-рое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий; (9) если в диаграмме имеется l замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (- 1) l ; (10) если в диаграмме имеется топологическая k -гo порядка, т. е. можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k !) -1 ; (11) если в начальном иЛи конечном состоянии имеются тождественные бозе-(ферми-) частицы, то следует провести соответствующую (анти)симметризацию.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамики

В квантовой теории существует удобный метод описания и расчета вероятностей процессов взаимодействия частиц, основанный на использовании диаграмм Фейнмана (ДФ) .
В диаграммах Фейнмана физическому процессу сопоставляется его графическая схема. Каждой участвующей в процессе частице соответствует линия. Обычно линии фермионов - тонкие прямые линии. Линии бозонов изображают либо волнистыми линиями, либо штриховыми прямыми. Частицам, не являющимся по современным представлениям бесструктурными, иногда сопоставляются на диаграммах либо толстые линии, либо пучки параллельных линий.
Диаграмма Фейнмана задает алгоритм вычисления амплитуды вероятности процесса. Каждому элементу диаграммы соответствуют определенные множители в расчете амплитуды вероятности. Линии, один из концов которых свободен, соответствуют свободным частицам. В расчете амплитуды вероятности этим линиям отвечают волновые функции частиц. Квадрат модуля амплитуды вероятности определяет вероятность процесса.
Линии на ДФ могут описывать распространение, как частиц, так и античастиц: направление стрелок на линиях античастиц противоположно направлениям стрелок на линиях частиц.
Взаимодействие частиц на диаграмме изображается вершиной (или узлом), в котором сходятся две фермионных и одна бозонная линии. Каждой вершине в амплитуде вероятности процесса соответствует константа взаимодействия. В случае электромагнитных процессов вершинной константой является величина

Частицы, изображенные линиями, начинающимися и кончающимися в вершинах - это т.н. виртуальные частицы . Линиям виртуальных частиц в расчете ДФ сопоставляются функции распространения этих частиц, называемые пропагаторами. Именно виртуальные частицы ответственны за реализацию взаимодействия частиц. Для процессов взаимодействия, которые и осуществляются путем рождения и поглощения виртуальных частиц, характерно, что в течение интервала времени взаимодействия Δtимеет место отклонение ΔEэнергии виртуальной частицы от ее точного значения, соответствующего закону сохранения, причем

Следует подчеркнуть, что в целом для всего процесса законы сохранения выполняются точно; в частности, полная энергия частиц до взаимодействия равна полной энергии частиц после взаимодействия. Дискретные законы сохранения выполняются в каждой из вершин.
На рис. 4.1 изображена ДФ для рассеяния фотона на электроне (вектор времени направлен слева направо). Перемена направлений на фермионной линии дает ДФ рассеяния фотона на позитроне. Диаграммы Фейнмана обладают замечательными свойствами: если на рис. 4.1 направить вектор времени снизу вверх (или, сохраняя направление векторавремени, повернуть ДФ на 90 0), диаграмма будет изображать двухфотонную аннигиляцию e + + e - → γ + γ. Противоположное вращение ДФ приводит к графическому изображению обратного процесса - рождения пары при взаимодействии фотонов.

Диаграммы Фейнмана не только являются иллюстрацией реакций с частицами, но и позволяют - даже без проведения точного расчета - сделать некоторые важные оценки соотношения вероятностей процессов. Например, с их помощью легко доказать доминирующую роль низших по константе (или количеству виртуальных частиц) диаграмм в электромагнитных взаимодействиях.
Рассмотрим в качестве примера рассеяние электрона на электроне. Квантом электромагнитного взаимодействия является виртуальный фотон.
На рис. 4.2 показана обобщенная диаграмма этого процесса, которая может быть представлена как сумма диаграмм с разным количеством вершин .

Рис. 4.2

Поскольку взаимодействие электромагнитное, каждой вершине соответствует константа электромагнитного взаимодействия

(α e) 1/2 = e/(ћc) 1/2 .

Первая из диаграмм Фейнмана, дающая вклад в процесс рассеяния электрона на электроне, имеет две вершины, ее вклад в амплитуду вероятности процесса (матричный элемент процесса M) пропорционален квадрату константы M ~α е. Вероятность процесса, характеризуемая величиной эффективного сечения, пропорциональна квадрату матричного элемента, соответствующего отдельной диаграмме. Поэтому вклад первой из диаграмм в правой части рис. 4.2 в вероятность рассеяния пропорционален величинеα 2 (1/137) 2 .
Вклады диаграмм более высокого порядка, т.е. с большим числом вершин, много меньше вклада этой первой диаграммы. Например, вторая из диаграмм Фейнмана в правой части рис. 4.2, дает в вероятность процесса рассеяния электрона на электроне вклад, пропорциональный α 4 (1/137) 4 .Следует отметить, что «константы взаимодействия» , строго говоря, не постоянны: они зависят от энергии взаимодействия. Однако в области энергий взаимодействия E < 10 ГэВ этим эффектом можно пренебречь.

Процессы e + + e - → γ + γ и e + + e - → γ + γ + γ в низшем порядке по константе электромагнитного взаимодействия могут быть представлены ДФ на рис. 4.3.
Для первого процесса с двумя вершинами вероятность W 1 ~α 2 , для второго W 2 ~α 3 . Отношение вероятностей (W 1 /W 2) ~137. Отметим, что первая диаграмма соответствует распаду парапозитрония, т.е. состояния системы e + e - с полным моментом количества движения J = 0 (спины e + и e - антипараллельны). Вторая диаграмма отражает распад ортопозитрония - системы e + e - с полным моментом количества движения J = 1.

Рассмотрим рассеяние электрона на ядре с числом протонов Z. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния для этого процесса имеет вид:

(4.16)

Здесь F - формфактор, зависящий от плотности распределения заряда в ядре-мишени. Если рассеяние происходит на частице, которую можно считать точечной, F = 1.
Дифференциальное сечение рассеяния электронов на точечном заряде (формула Мотта) отличается от формулы Резерфорда множителем cos 2 θ. Величины резерфордовского и моттовского сечений пропорциональны квадрату константы электромагнитного взаимодействия α e = e 2 /(ћc) , как это и следует из диаграмм Фейнмана этих процессов. Для формулы Резерфорда доказательством этого факта является решение задачи 4.1. В (4.16) эта зависимость выявлена также для формулы Мотта рассеяния электрона на ядре:

Расчет сечения аналогичен проведенному в задаче 4.1 . Результат отличается от полученного ранее множителем cos 2 θ = 1/4.
Поэтому моттовское сечение равно

Согласно квантовой теории поля взаимодействие между двумя частицами осуществляется обменом некоторой третьей частицей, которая является возбуждением (квантом) поля или переносчиком взаимодействия. Так электромагнитное взаимодействие двух электронов осуществляется обменом фотоном: один электрон испускает фотон, другой - поглощает. Этот процесс показан на рис.8.2, где изображены траектории двух электронов e 1 è e 2 , двига-

и поэтому испущенный фотон не обычный (свободный), а, так называемый, “виртуальный”. В силу соотношения неопределен-ностей разрешено кратковременное нарушение закона сохранения энергии. Если энергия нарушается на величину E, то такие нарушения ненаблюдаемы за временные интервалы

В точке B виртуальный фотон поглощается и энергетический баланс восстанавливается. Электрон 2 при поглощении фотона также испытывает отдачу и, следовательно, оба электрона отталкиваются друг от друга. Однако не всегда при взаимодействии с обменом фотоном возникают силы отталкивания, т.к. направление импульса виртуального фотона не обязательно совпадает с классическим. Виртуальный фотон отличается от свободного (то же можно сказать о любой виртуальной частице). Виртуальный фотон может пройти расстояние ct и следовательно, чем дальше он уходит, тем меньше E, слабее обмен энергией между частицами. Таким образом, сила взаимодействия электронов убывает с расстоянием, что является хорошо известным свойством кулоновского взаимодействия.

Точки A è B, в которых происходит испускание и поглощение виртуальной частицы, называют узлами (или вершинами). За исключением закона сохранения энергии в каждом узле выполняются все законы сохранения, присущие данному взаимодействию (для всех типов взаимодействий - это законы сохранения электрического, барионного, лептонного зарядов, для электромагнитного и сильного взаимодействий - это закон сохранения ч¸тности, для сильного взаимодействия - это также закон сохранения изоспина и т.д. (подробнее о законах сохранения сказано в Лекции 9). В каждом узле сохраняется импульс, но не выполняется соотношение E 2 -(pc) 2 =m 2 c 4 для внутренней линии. В каждом узле сохраняется и момент количества движения. При этом для виртуальной частицы, которой соответствует свободная частица со спином J, возможны спины J, J-1,..., 1/2 или 0. Так для виртуальной векторной частицы (со спином 1), например, фотона, возможны значения J=1 è 0.

Обычно диаграммы изображают следующим образом: ось времени направлена вправо или вверх. Перпендикулярно этой оси направлена координатная ось, условно описывающая положение частиц. Вышеприведенный рис.8.2, изображавший рассеяние двух электронов, теперь меняется на рис.8.3.

Каждому элементу диаграммы отвечает, как правило, заранее известная функция или множитель. Внешним (незамкнутым) линиям соответствуют волновые функции реальных частиц до и после взаимодействия. Внутренним линиям отвечают виртуальные частицы, распространяющиеся от точки возникновения до точки поглощения. Этим линиям сопоставляются функции распростране-ния виртуальных частиц, называемые пропагаторами (от англ. propagate - распространяться). В каждом узле появление (или поглощение) частицы происходит с вероятностью, присущей данному взаимодействию.

Фейнмановские диаграммы содержат алгоритм расч¸та амплитуды процесса, который сводится к так называемым правилам Фейнмана. Рассмотрение этих правил не входит в нашу задачу. Мы ограничимся лишь изложением самых общих принципов построения диаграмм Фейнмана и оценок с их помощью сравнительных вероятностей различных процессов.

Вероятность (или, как часто говорят, интенсивность) реального или виртуального процесса, соответствующего данному узлу, определяется, главным образом, тремя факторами:

1. фундаментальным взаимодействием, ответственным за про-цесс, т.е. константой, о которой говорилось в предыдущем разделе (чем больше, тем выше вероятность);

2. степенью нарушения соотношения E 2 -(pc) 2 =m 2 c 4 для вирту-альной частицы - степенью виртуальности (чем сильнее это нарушение, тем ниже вероятность);

3. полной энергией столкновения или распада (чем больше энергия распада, тем выше его вероятность).

Самый важный фактор - первый, определяемый константой взаимодействия. Амплитуда вероятности процесса, представля-емого узлом из трех линий, пропорциональна . В диаграмме сN узлами амплитуда вероятности A N () N . Так, амплитуда электрон-электронного рассеяния, описываемого вышеприведен-ными диаграммами с двумя узлами, пропорциональна () 2 =, ò.å. A ee () 2 =. Сама вероятность этого процесса 2 , т.к. эта вероятность определяется значением дифференциального эффективного сечения , которое связано с амплитудойA процесса соотношением (без доказательства)

Напомним, что амплитуда процесса в квантовой механике аналогична амплитуде процесса в оптике, а интенсивность процесса в оптике аналогична дифференциальному эффективному сечению в квантовой механике.

Виртуальной частицей не обязательно должен быть квант поля (например, фотон - квант электромагнитного поля). Ею может быть, например, электрон, как в ниже рассмотренном примере комптон-эффекта. Электрон в этом примере является переносчиком взаимодействия. Однако, как мы увидим, и в этом случае “элементарным” блоком диаграммы остается тот же узел из двух электронных и одной фотонной линий, который был в ee-рассеянии.

Рассмотрим в качестве примера эффект Комптона - рассеяние фотона на свободном электроне. Диаграммы низшего порядка (т.е. с наименьшим числом узлов) для этого процесса - это двухузловые диаграммы. Можно нарисовать 2 типа двухузловых диаграмм комптон-эффекта (рис.8.4).

Если процесс комптон-эффекта развивается в соответствии с диаграммой 1, то фотон сначала поглощается электроном в момент времени t 1 , отвечающий первому узлу, а затем испускается в момент t 2 , отвечающий второму узлу. На временном интервале от t 1 äî t 2 имеется лишь один виртуальный электрон.

Если реализуется диаграмма 2, то сначала в момент t 1 электрон испускает фотон, с которым в дальнейшем ничего не происходит. Первичный фотон в момент t 2 поглощается электроном и исчезает. В интервале от t 1 äî t 2 имеются два фотона и виртуальный электрон.

Амплитуда вероятности комптон-эффекта A с учетом только двухузловых диаграмм есть сумма амплитуд, соответствующих диаграмм 1 è 2: A=A 1 +A 2 . Сама вероятность комптон-эффекта дается дифференциальным сечением

Комптон = |A| 2 = |A 1 +A 2 | 2 .

Ò.ê. A 1 = A 2 () 2 = e , òî

Комптон e 4 .

Дифференциальное сечение ee-рассеяния с учетом только двухузловых диаграмм также пропорционально .

Множители в узлах процессовee-рассеяния и комптон-эффекта характеризуют вероятность испускания (поглощения) фотона электроном. Если вместо электрона будет объект с зарядом Ze, то он будет создавать вокруг себя в Z раз более плотное облако виртуальных фотонов и соответствующий множитель в узле будет равен Z. Диаграмма низшего порядка для упругого рассеяния электрона на ядре с зарядом Ze показана на рис.8.5.

Константа e - не что иное как постоянная тонкой структуры, хорошо известная в атомной физике:

Поэтому увеличение числа узлов диаграммы на два (это минимальное число узлов, на которое можно увеличить диаграмму процесса, т.к. появление нового узла, где возникает виртуальная частица, обязательно должно быть дополнено еще одним узлом, где эта виртуальная частица исчезает) уменьшает вероятность процесса примерно в 10 4 ðàç.

Следовательно в электромагнитных процессах с большой точностью можно ограничиться диаграммами с минимальным числом узлов. При этом расчет вероятности процесса сильно облегчается. Так при расчете ee-рассеяния из всех возможных диаграмм в хорошем приближении может быть оставлена лишь простейшая - двухузловая (рис.8.6).

На рис.8.6 темный кружок слева - область взаимодействия. Приведено лишь по одному типу 4-х и 6-ти узловых диаграмм (их на самом деле много больше).

Аналогично обстоит дело и в слабых взаимодействиях (w 10 -6), где также можно в большинстве случаев ограничиться малоузловыми диаграммами. А в сильных взаимодействиях (s 1) часто приходится учитывать большое число диаграмм, что существенно осложняет расчеты. Поэтому точность КХД, скажем в предсказании магнитных моментов нуклонов, 10% в лучшем случае, что ниже точности эксперимента в 10 6 -10 7 раз. Точность же КЭД, как уже отмечалось, достигает 10 -10 , что отвечает учету восьмиузловых диаграмм. Именно в таких расчетах получена величина магнитного момента электрона e , приведенная в предыдущем разделе.

Отметим еще то, что линии античастиц на диаграммах направлены в сторону уменьшения времени. Возникновение такого обозначения античастиц поясняется рис.8.7.

На этом рисунке слева показан обычный электромагнитный узел, описывающий испускание (поглощение) фотона электроном. Если повернуть левый электронный луч вокруг узловой точки в положение, когда он будет лежать правее узла, то получим правую диаграмму. При этом стрелка на повернутом луче будет направлена в сторону меньших времен и самому этому лучу будет отвечать позитрон (e +), а не электрон (e -). Этого требует закон сохранения электрического заряда. Правая диаграмма описывает процесс рождения фотоном пары e + e - . Ещ¸ раз подчеркнем, что показанные на рис.8.7 диаграммы не описывают реальных процессов, т.к. не обеспечивают одновременное выполнение законов сохранения энергии и импульса. Эти диаграммы должны быть составными частями более сложных диаграмм.

В завершение этого раздела ещ¸ раз определим константу взаимодействия. В Лекции 5 мы определяли эту константу как безразмерную величину

где каждому взаимодействию присущ свой заряд - электрический для электромагнитного взаимодействия, и, соответственно, сильный, слабый и гравитационный - для трех других взаимо-действий. Для электромагнитного взаимодействия в качестве заряда используется элементарный электрический заряд (заряд электрона или протона), что дает e . В качестве трех других зарядов (сильного, слабого и гравитационного) будем использовать соответствующие заряды протона, который участвует во всех видах взаимодействий (гравитационный заряд протона - это просто его масса). Полученные при этом константы s , w è G приведены в табл.8.2, помещенной в предыдущем разделе.