В электрической цепи содержащей конденсатор

Положим теперь, что участок цепи содержит конденсатор емкости C , причем сопротивлением и индуктивностью участка можно пренебречь, и посмотрим, по какому закону будет изменяться напряжение на концах участка в этом случае. Обозначим напряжение между точками а и b через u и будем считать заряд конденсатора q и силу тока i положительными, если они соответствуют рис.4. Тогда

,

и, следовательно,

.

, (1)

то заряд конденсатора равен

.

Постоянная интегрирования q 0 здесь обозначает произвольный постоянный заряд конденсатора, не связанный с колебаниями тока, и поэтому мы положим

. Следовательно,

. (2)

Сравнивая (1) и (2), мы видим, что при синусоидальных колебаниях тока в цепи напряжение на конденсаторе изменяется также по закону косинуса. Однако колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на /2. Изменения тока и напряжения во времени изображены графически на рис.5. Полученный результат имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе в какой-либо момент времени определяется существующим зарядом конденсатора. Но этот заряд был образован током, протекавшим предварительно в более ранней стадии колебаний. Поэтому и колебания напряжения запаздывают относительно колебаний тока.

Формула (2) показывает, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна

.

Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с постоянным током (

), мы видим, что величина

играет роль сопротивления участка цепи, она получила название емкостного сопротивления. Емкостное сопротивление зависит от частоты и при высоких частотах даже малые емкости могут представлять совсем небольшое сопротивление для переменного тока. Важно отметить, что емкостное сопротивление определяет связь между амплитудными, а не мгновенными значениями тока и напряжения.

меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. В течение времени от 0 до T /4 мощность положительна, а в следующую четверть периода ток и напряжение имеют противоположные знаки и мощность становится отрицательной. Поскольку среднее значение за период колебаний величины

равно нулю, то средняя мощность переменного тока на конденсаторе

.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Рассмотрим, наконец, третий частный случай, когда участок цепи содержит только индуктивность. Обозначим по-прежнему через U напряжение между точками а и б и будем считать ток I положительным, если он направлен от а к б (рис.6). При наличии переменного тока в катушке индуктивности возникнет ЭДС самоиндукции, и поэтому мы должны применить закон Ома для участка цепи, содержащего эту ЭДС:

.

В нашем случае R = 0, а ЭДС самоиндукции

.

. (3)

Если сила тока в цепи изменяется по закону

,

Видно, что колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания тока на /2. Когда сила тока, возрастая, проходит через нуль, напряжение уже достигает максимума, после чего начинает уменьшаться; когда сила тока становится максимальной, напряжение проходит через нуль, и т.д. (рис.7).

Из (4) следует, что амплитуда напряжения равна

,

и, следовательно, величина

играет ту же роль, что сопротивление участка цепи. Поэтому

называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление пропорционально частоте переменного тока, и поэтому при очень больших частотах даже малые индуктивности могут представлять значительное сопротивление для переменных токов.

Мгновенная мощность переменного тока

также, как и в случае идеальной емкости, меняется со временем по синусоидальному закону с удвоенной частотой. Очевидно, что средняя за период мощность равна нулю.

Таким образом, при протекании переменного тока через идеальные емкость и индуктивность обнаруживается ряд общих закономерностей:

Колебания тока и напряжения происходят в различных фазах - сдвиг по фазе между этими колебаниями равен /2.

Амплитуда переменного напряжения на емкости (индуктивности) пропорциональна амплитуде протекающего через этот элемент переменного тока

где X - реактивное (емкостное или индуктивное сопротивление). Важно иметь в виду, что это сопротивление связывает между собой не мгновенные значения тока и напряжения, а только их максимальные значения. Реактивное сопротивление отличается от омического (резистивного) сопротивления еще и тем, что оно зависит от частоты переменного тока.

На реактивном сопротивлении не рассеивается мощность (в среднем за период колебаний), это означает, что, например, через конденсатор может протекать переменный ток очень большой амплитуды, но тепловыделение на конденсаторе будет отсутствовать. Это является следствием фазового сдвига между колебаниями тока и напряжения на реактивных элементах цепи (индуктивности и емкости).

Резистивный элемент, который описывается в рассматриваемом частотном диапазоне законом Ома для мгновенных токов и напряжений

,

называют омическим или активным сопротивлением. На активных сопротивлениях происходит выделение мощности.

С
С Напряжение на конденсаторе % -U.
равно напряжению на зажимах цепи. Следовательно,
sin cof. Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:
q = CUm sin cof. (2.7.1)
Сила тока представляет собой производную заряда по времени. Если заряд q в формуле (2.7.1) - это заряд той пласти-ны конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура, то (см. с. 64, § 2.3)
і =
Рис. 2.16
Следовательно, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на л/2 (рис. 2.16). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т. д.
Амплитуда силы тока равна: (2.7.3)
I = U (аС.
т т Если ввести обозначение (2.7.4)
со С ЛС и вместо амплитуд силы тока и напряжения использовать их действующие значения, то получим:
U
/ =
(2.7.5)
Величину Хс, обратную произведению циклической частоты на емкость конденсатора, называют емкостным сопротивлением. Роль этой величины подобна роли активного сопротивления R в законе Ома (2.6.3). Действующее значение силы тока связано с действующим значением напряжения на конденсаторе точно так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Хс как сопротивление конденсатора переменному току - емкостное со-противление.
Чем больше емкость конденсатора, тем больше согласно формуле (2.7.3) сила тока перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала лампы при увеличении емкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Хс. Оно уменьшается с
увеличением емкости и увеличением частоты.
Это можно увидеть, если для питания цепи, изображенной на рисунке 2.14, использовать генератор переменного тока регулируемой частоты. Плавно увеличивая частоту переменного тока, можно наблюдать увеличение накала лампы. Оно вызвано увеличением силы тока за счет уменьшения емкостного сопротивления конденсатора.
Если на один вход двухлучевого осциллографа подать напряжение с конденсатора, а на другой вход - напряжение, мгновенное значение которого пропорционально силе тока в цепи (это напряжение снимается с активного сопротивления), то на экране будут одновременно наблюдаться осциллограммы (временные развертки) обоих колебаний: напряжения и силы тока. Такие наблюдения подтверждают полученный выше вывод о том, что колебания силы тока в цепи конденсатора сдвинуты по фазе относительно колебаний напряжения на л/2, как это показано на рисунке 2.16.

Лабораторная работа 6

Конденсатор в цепи переменного тока

Цель работы. Исследование зависимости проводимости конденсатора от частоты синусоидального тока. Определение емкости конденсатора и диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего конденсатор.

Приборы и оборудование. Плоский конденсатор, диэлектрическая пластина, генератор синусоидального напряжения, два цифровых вольтметра.

Теоретическая часть

В работе исследуется плоский конденсатор, который представляет собой две плоские проводящие пластины (обкладки), расположенные параллельно друг другу, причем заряд одной пластины q , а другой пластины (-q ). Расстояние между пластинами d предполагается малым по сравнению с линейными размерами пластин. В этом случае электрическое поле между пластинами можно считать однородным (рис.1), а распределение зарядов по пластинам равномерным:

, , (1)

где - разность потенциалов между пластинами – напряжение на конденсаторе, - поверхностная плотность заряда, S - площадь пластины.

Для напряженности электрического поля в конденсаторе при помощи теоремы Гаусса можно найти

где - диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами, - электрическая постоянная, и тогда из формул (1), (2) следует, что заряд конденсатора пропорционален приложенному к нему напряжению

Коэффициент пропорциональности

называют электроемкостью (или просто емкостью) конденсатора.

Заметим, что, строго говоря, поверхностная плотность заряда s не является постоянной по всей поверхности пластины, а увеличивается вблизи ее краев. Вблизи краев нарушается также предположение об однородности электрического поля, поэтому формулы (1), использованные при выводе (4), являются приближенными. Они выполняются тем точнее, чем меньше отношение d к линейным размерам пластин конденсатора.

Схематически поле плоского конденсатора с учетом отмеченных выше краевых эффектов изображено на рис. 2. Как видно из рисунка, линии поля сгущаются вблизи краев конденсатора, что связано с концентрацией заряда у краев пластин. Кроме того, некоторые линии поля начинаются и заканчиваются не на внутренних, а на внешних поверхностях пластин. Это означает, что некоторая часть заряд располагается на внешних поверхностях пластин конденсатора. Заметим, что общее число линий поля на рис.1 и рис.2 одинаково, если одинаковы заряды соответствующих пластин на рис.1 и рис. 2.

Строгий расчет емкости плоского конденсатора с учетом краевых эффектов представляет собой сложную задачу. Приведем без вывода приближенную формулу, учитывающую краевые эффекты для плоского конденсатора с круглыми пластинами:

, (5)

где - емкость конденсатора без учета краевых эффектов, r - радиус пластины (). Второе слагаемое в (5) учитывает оттеснение заряда к краям пластин, третье слагаемое – частичное вытеснение заряда на внешние поверхности пластин.

Если в пространство между обкладками конденсатора параллельно им ввести плоскую пластину толщиной из диэлектрика с проницаемостью , то емкость конденсатора будет равна

, (6)

где C - емкость конденсатора без диэлектрика.

Отметим, что любую пару проводников, независимо от их формы и расположения, можно считать конденсатором. И в этом случае емкостью конденсатора называют коэффициент пропорциональности между зарядом конденсатора (так называют заряд положительной обкладки, заряд другой обкладки конденсатора такой же по величине, но отрицательный) и разностью потенциалов между обкладками. Емкость конденсатора зависит от геометрических размеров обкладок, их взаимного расположения и диэлектрической проницаемости среды.

Рассмотрим теперь случай, когда конденсатор включен в цепь переменного тока. Одно из направлений тока примем за положительное (оно обозначено на рис.3 стрелкой). Обозначим через заряд той из обкладок конденсатора, направление от которой к другой обкладке совпадает с положительным направлением тока. Напряжение между точками а и b обозначим через u . Тогда

и, следовательно,

Если сила тока в цепи изменяется по закону

( - амплитуда тока, - циклическая частота), то заряд конденсатора равен

.

Постоянная интегрирования q 0 обозначает произвольный постоянный заряд конденсатора, не связанный с колебаниями тока, и поэтому мы положим . Следовательно,

. (8)

Сравнивая (7) и (8), видим, что при синусоидальных колебаниях тока в цепи колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на p/2. Изменения тока и напряжения во времени изображены графически на рис.4.

Формула (8) показывает, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна

Сравнивая это выражение с законом Ома для участка цепи с постоянным током (), видим, что величина

играет роль сопротивления участка цепи, она получила название емкостного сопротивления. Емкостное сопротивление зависит от частоты w, поэтому при очень высоких частотах даже малые емкости могут представлять совсем небольшое сопротивление для переменного тока. Важно отметить, что емкостное сопротивление определяет связь между амплитудными , а не мгновенными значениями тока и напряжения.

В цепях переменного тока обычно измеряют не амплитудные, а эффективные значения тока и напряжения:

, .

где - частота. Это соотношение проверяется в работе экспериментально.