В центре металлической полой сферы радиус которой

Рис. 1.93
б)
а)
ф! = ,ф2 = й-.
Так как шары соединены проводником, то фх = (р2 = ф. Следовательно, Дф
= k И д2 =
г ф ft "
Поверхностные плотности заряда шаров соответственно
равны:
_ ф _ _ф
,2 4л/гДиа2 4nkr"
4 kR
Так как R г, то а2 Ор т. е. поверхностная плотность заряда на малом шаре, кривизна которого велика (на острие), значительно больше поверхностной плотности заряда на большом шаре, кривизна которого мала.
Задача 4
Небольшой шарик соединяют проводом с заземленным электрометром (см. рис. 1.87). Касаясь шариком различных точек проводника, ограниченного цилиндрической и коническими поверхностями, наблюдают одинаковое отклонение стрелки электрометра при любом положении шарика. Затем соединительный провод убирают и наблюдают, что отклонение стрелки электрометра, к стержню которого подносят шарик, неодинаково и зависит от того, какой точки поверхности проводника (внутренней или внешней) предварительно коснулись шариком. Почему?
Решение. Электрометр измеряет разность потенциалов между данным телом и землей. Так как поверхность проводника эквипотенциальна, то в первом случае стрелка отклоняется на один и тот же угол при любом положении шарика.
Во втором случае отклонение стрелки определяется потенциалом шарика относительно земли в тот момент, когда его приводят в соприкосновение с электрометром. Этот потенциал зависит от заряда шарика, его размеров и расположения окружающих предметов. В момент соприкосновения шарика с проводником его потенциал делается равным потенциалу проводника, но его заряд будет зависеть от того, какого участка поверхности касаются. Если касаются внутренней конической поверхности проводника, то заряд шарика равен нулю, так как весь заряд проводника распределен по его внешней поверхности. Если же касаются шариком внешней поверхности проводника, то заряд шарика будет отличен от нуля.
Во время перемещения шарика его потенциал непрерывно меняется, так как меняется положение шарика относительно окружающих предметов. Различные значения потенциала шарика в момент соприкосновения его со стержнем электрометра обусловлены только различием в значениях заряда ша-рика, так как расположение относительно него окружающих предметов в этот момент неизменно.
Максимальный заряд будет на вершине конической поверхности (острие).
Задача 5 Незаряженный металлический шар радиусом г окружен концентрической проводящей сферой радиусом R. Сфера за-ряжена до потенциала ф0 (относительно земли). Чему станет равен потенциал внешней сферы, если незаряженный шар за-землить (рис. 1.94)?

Решение. До заземления заряд внешней сферы q создает на ее поверхности потенциал
ф0 = kj^. После заземления на внутреннем
шаре наведется заряд q1 (см. рис. 1.94), который можно найти из условия, что потенциал заземленного шара равен нулю.
Согласно принципу суперпозиции полей Рис. 1.94 потенциал шара равен:
0.
Отсюда Потенциал на внешней сфере после заземления шара создается зарядами q и
R- г
R
Фо-? Положительный заряд +д0 равномерно распределен по тон-кому проволочному кольцу радиусом R. В центре кольца на-ходится точечный заряд -д, масса которого тп. Этому заряду сообщается начальная скорость uQ вдоль оси кольца. Определите характер движения заряда, в зависимости от начальной скорости считая, что он движется вдоль оси кольца. Кольцо неподвижно.
Решение. Полная энергия заряда в начальный момент равна
2
mv0
сумме кинетической энергии -и потенциальной энергии в
электростатическом поле кольца -ф0д, где ф0 = k-^ - потенциал в центре кольца:
2

При W > О заряд уйдет на бесконечность. Причем его скорость на бесконечно большом расстоянии будет равна нулю, если W = 0. Если W > 0, скорость заряда на бесконечно большом расстоянии от кольца равна:

Если же W 2
mv0 ,qq0 и Mo

Уединенный металлический шар радиусом Л = 10 см окружен диэлектриком (є = 2). Диэлектрик образует сферический слой с радиусами = 10 см и Д2 = 20 см. Найдите потенциал
шара, если его заряд q = Ю-18 Кл.
Решение. Диэлектрик, окружающий шар, под действием поля шара поляризуется. В результате на внутренней поверхности диэлектрика появляется поляризационный заряд -q", знак которого противоположен знаку заряда шара q, а на внешней поверхности диэлектрика - поляризационный заряд q", одинаковый по знаку с зарядом q. Следовательно, потенциал шара, согласно принципу суперпозиции, равен сумме потенциалов полей, образуемых зарядами q, -q" и q":
Так как поляризационный заряд (см. задачу 7 в § 1.16) равен:
._ g(e ~ 1)
то
Упражнение 3
Точечные заряды q1 = 2 10~8 Кл и q2 = 10~8 Кл расположены в керосине (є = 2,1) на расстоянии гх = 0,04 м друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния г2 = 0,02 м?
Поле образовано точечными зарядами q1 = -2 10~9 Кл и q2 = Ю-9 Кл, расположенными на расстоянии ВС - 8 см (рис. 1.95). Точка D лежит на перпендику-
ляре, проведенном к отрезку ВС через его
середину М, причем MD = ВС/2. Найди- і
те работу кулоновских сил при переме- В 1 ?
щении заряда q = 2 Ю-8 Кл из точки D % і м І2
в точку М. Рис. 1.95 Пылинка массой т = Ю-11 г находится во взвешенном состоянии в однородном электрическом поле между горизонтально расположенными разноименно заряженными пластинками, расстояние между которыми d = 5 мм. Пылинка освещается ультрафиолетовым светом и вследствие этого теряет заряд. Равновесие пылинки при этом нарушается. Какой заряд потеряла пылинка, если первоначально к пластинкам было приложено напряжение иг = 154 В, а затем, чтобы восстановить равновесие пылинки, пришлось увеличить напряжение на U2 = 8 В?
Два шарика имеют одинаковые электрические заряды q = = 20 нКл. Шарики соединяют тонкой проволокой. Какой заряд пройдет по проволоке, если шарики металлические и их радиусы соответственно равны = 15 см и R2 = 5 см? Расстояние между шариками много больше их радиусов.
N одинаковых шарообразных капель ртути заряжены одноименно до одного и того же потенциала фг Чему равен потенциал ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
Два одноименных точечных заряда q1 и q2 с массами т1 и тп2 движутся навстречу друг другу. В момент времени, когда расстояние между зарядами равно г1, они имеют скорости v1 и v2. До какого минимального расстояния г2 сблизятся заряды?
Два маленьких одноименно заряженных шарика закреплены в вакууме на расстоянии, значительно превышающем их линейные размеры. Если отпустить первый шарик, то при достижении расстояния г между шариками его скорость равна v1 = 3м/с; если отпустить второй, то при тех
же условиях его скорость оказывается равной v2 = 4 м/с. Найдите скорости шариков, когда они разойдутся на расстояние г, если оба шарика отпустить одновременно.
В некоторый момент времени два электрона имели равные по модулю скорости v1 = v2 = v и находились в вакууме на расстоянии L друг от друга. При этом скорости и v2 образовывали равные острые углы а с прямой, соединяющей электроны. На каком минимальном расстоянии пройдут электроны друг относительно друга?
Частица массой т, имеющая заряд q и скорость vQ, приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца R, заряд Q, масса М. Какую скорость будет иметь частица в момент, когда она будет проходить через центр кольца?
Маленький металлический шарик массой т - 1 г, которому сообщен заряд q = 10~7 Кл, брошен издалека со скоростью v = 1м/с в направлении металлической сферы, имеющей заряд Q = 3 10~7 Кл. При каком минимальном значении радиуса сферы шарик достигнет ее поверхности?
В пространстве одновременно действуют два однородных электрических поля с горизонтально и вертикально направ-ленными напряженностями, модули которых равны соот-ветственно Ег = 4 102 В/м и Ев = 3 102 В/м. По направлению силовой линии результирующего электрического поля влетает электрон, скорость которого на пути L = 2,7 мм изменяется в 2 раза. Определите скорость электрона в конце этого пути.
Три одинаковых заряда, каждый из которых равен q = -2 Ю-8 Кл, расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 10 см. Какую работу А нужно совершить, чтобы перенести один из них на середину противоположной стороны?
Точечные заряды qx = -1,7 10_8Клид2 = 2 Ю-8 Кл находятся от точечного заряда q0 = 3 Ю-8 Кл на расстоянии 1Х = 2 см и 12 = 5 см соответственно. Какую работу А надо совершить, чтобы поменять местами заряды qx и д2?
Три проводящие концентрические сферы имеют радиусы R, 2R, 3R соответственно. Средняя сфера имеет заряд +q. В ней проделано отверстие, через которое тонкой проволочкой соединяют внешнюю и внутреннюю сферы. Определите заряд qj внешней сферы после соединения.
Две проводящие сферы заряжены так, что внутренняя имеет потенциал q>p а внешняя ф2. Какой потенциал будет иметь внутренняя сфера, если обе сферы соединить проводником?
Металлический шар радиусом = 2 см несет на себе заряд = 4 Ю-8 Кл. Шар окружен концентрической про- водящей оболочкой радиусом R2 = 5 см, заряд которой равен q2 = -4 10~8 Кл. Определите потенциал поля ф на расстоянии L = 4 см от центра шара.
Металлический шар радиусом R1 = 1 см несет заряд q1 = 2 Ю-8 Кл. Шар окружен концентрической проводящей оболочкой радиусом R2 = 5 см. На оболочке находится заряд q2 = -4 Ю-8 Кл. Найдите изменение потенциала шара Аф, если оболочку заземлить.
Четыре одинаковых заряженных маленьких шарика, заряды которых q и массы т, расположены в вершинах квадрата со стороной а. Какой максимальной скорости достигнут шарики, если их отпустить?
Из бесконечности к металлической пластине движется точечный заряд +q. Определите энергию взаимодействия заряда и пластины, а также скорость заряда в тот момент, когда он будет находиться на расстоянии d от пластины. Находясь на бесконечно большом расстоянии от пластины, заряд имел скорость, равную нулю.
Четыре одинаковых точечных заряда q расположены вдоль прямой на расстоянии I друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершинах правильного тетраэдра с ребром, равным Z?

Тема. Решение задач по теме "Электростатика. Электрическое поле в вакууме".

Рассмотреть электрическое поле неподвижных зарядов;

Ввести основные характеристики электростатического поля: напряженность и потенциал; выяснить физический смысл этих величин;

Показать на нескольких примерах методы решения задач на расчет основных характеристик электрического поля.

Ход занятия

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

При решении задач о взаимодействии зарядов необходимо сделать рисунок, указав на нем все силы, действующие на заряд.

Если заряд неподвижен, записать условия равновесия.

Если заряд движется, записать уравнение движения.

При решении задач о работе сил электрического поля над зарядами следует записать уравнения, учитывающие сохранение и превращение энергии при взаимодействии заряженных тел. Следует отметить, что решение задач по электростатике требует знания не только законов электрического поля, но и законов механики.

Качественные задачи

1. Имеется положительно заряженный шар. Как с помощью этого шара, не уменьшая его заряда, наэлектризовать два других шара - один положительно, другой отрицательно?

2. Почему проводники, используемые в электростатических экспериментах, делают полыми?

3. На тонких шелковых нитях подвешены два совершенно одинаковых бузиновых шарика: один - заряженный, а другой - незаряженный. Как определить, какой шарик заряжен, если не даны никакие другие приборы и материалы?

4. Имеется полая проводящая незаряженная сфера, внутрь которой помещен положительно заряженный шарик.

а) Укажите, где будут существовать электрические поля.

б) Будут ли появляться заряды на сфере?

в) Будет ли меняться поле внутри и вне сферы, если перемещать шарик; если шарик оставить неподвижным, а снаружи к сфере поднести заряженное тело?

5. Если зарядить проводник А, то на проводнике В возникают индуцированные заряды, а если зарядить проводник В, то на проводнике А индуцированные заряды не возникают. В каком случае это наблюдается?

6. Чему равна напряженность поля в центре равномерно заряженного проволочного кольца, имеющего форму окружности? В центре равномерно заряженной сферической поверхности?

7. В каком случае при сближении двух одноименно заряженных тел сила отталкивания между ними уменьшается до нуля?

8. Изменится ли напряженность электрического поля между двумя разноименно заряженными плоскостями, если расстояние между ними увеличить в 2 раза?

9. Две пересекающиеся плоскости равномерно заряжены отрицательным зарядом. В некоторой точке между плоскостями помещен радиоактивный источник. Начертите примерный вид траекторий движения положительно и отрицательно заряженных частиц, испускаемых источником. Что это за кривые?

10. Как можно изменить потенциал проводника, не касаясь его и не изменяя его заряда?

11. Сравните работы по перемещению заряда в электростатическом поле положительного точечного заряда из точки А в В и из А в С (рис. 1) и обоснуйте ответ.

12. Если металлическим шарам, имеющим разные диаметры, сообщить равные отрицательные заряды, то потечет ли ток в проводе, которым соединяют шары после их заряжения?

13. Имеется два проводника, один из них имеет заряд меньше, но потенциал выше, чем у другого. Как будут перемещаться электрические заряды при соприкосновении проводников?

14. Может ли существовать в пустоте электростатическое поле, вектор напряженности которого во всем объеме имеет одинаковое направление, а перпендикулярно к этому направлению изменяет свою величину по линейному закону (рис. 2)?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q . Найдите напряженность и потенциал электрического поля в произвольной точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном к плоскости кольца, в центре кольца.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции для электрических полей. Разобьем мысленно кольцо на участки, линейные размеры которых много меньше расстояния от этого участка до точки А , в которой рассчитываются потенциал и напряженность электрического поля.

Будем считать, что кольцо имеет положительный заряд. Обозначим через l расстояние от центра кольца до точки А , а через r - расстояние от выбранного участка до точки А (рис. 3). Потенциал поля в точке А , созданный одним малым участком кольца с номером i будет равен , где - заряд этого участка.

Потенциал в точке А , созданный заряженным кольцом, согласно принципу суперпозиции для электрических полей, будет равен

Окончательно получим:

Напряженность поля, созданного зарядом участка с номером i , будет равна

где - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно участка с номером i . Выберем еще один участок, лежащий на другом конце диаметра кольца, проведенного через участок с номером i . Вектор напряженности поля, созданного этим участком, будет таким же по модулю, но другим по направлению. При этом оба вектора составляют один и тот же угол с осью Х , совпадающей с осью кольца. Если спроецировать эти векторы на оси Х и Y , то результирующая проекция на ось Х будет равна нулю. Эти рассуждения справедливы для любых двух участков, лежащих на противоположных концах диаметра. Значит, результирующий вектор напряженности в точке А будет направлен вдоль оси Y . Модуль вектора можно найти, если сложить проекции на ось Y векторов напряженности, созданных всеми участками кольца.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда модуль вектора напряженности в точке, отстоящей на расстояние l от центра кольца, будет равен

Если точка А находится очень далеко от кольца, то есть l >> R , выражение для напряженности поля будет иметь следующий вид:

то есть напряженность поля будет равна напряженности поля точечного заряда.

Если l = 0, то Е = 0, напряженность поля в центре равномерно заряженного кольца равна нулю.

Ответ:

Задача 2. Частица массы m , имеющая заряд q , движется по оси заряженного кольца, приближаясь к нему. Какую наименьшую скорость v должна иметь частица на очень большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь сквозь него? Масса кольца М , его радиус R , а заряд - Q . Кольцо не закреплено.

Решение:

Чтобы пролететь сквозь кольцо, достаточно достичь его центра со скоростью, равной скорости кольца. Воспользуемся законом сохранения импульса для системы "заряд-кольцо". В начальном состоянии кольцо неподвижно, в конечном состоянии кольцо и заряд движутся как одно целое со скоростью , следовательно,

Силы, действующие на систему "заряд-кольцо", являются потенциальными, поэтому должен выполняться закон сохранения энергии. В начальный момент расстояние между зарядом и кольцом, согласно условию задачи, очень большое, поэтому потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Когда заряд находится в центре кольца, потенциальная энергия взаимодействия будет равна

где - потенциал в центре кольца, равный (см. задачу 1).

Тогда закон сохранения энергии запишется так:

(2)

Решая совместно (1) и (2), получим

Ответ:

Задача 3. На расстоянии R от центра незаряженного металлического шара находится точечный заряд q . Определите потенциал шара.

Решение:

Металлический шар является проводником. Шар находится в электрическом поле заряда q . Под действием этого поля заряды перераспределяются по проводнику так, чтобы потенциал всех точек шара был одинаков. Поэтому для решения задачи достаточно найти потенциал одной точки шара.

Проще всего найти потенциал поля в центре шара. Он равен сумме потенциалов, созданных в этой точке зарядом q и зарядами, индуцированными на поверхности шара. Поверхность шара можно разбить на элементарные участки, линейные размеры которых много меньше радиуса шара. Тогда потенциал в центре шара определится выражением

где - потенциал, созданный одним элементарным участком:

здесь - заряд выбранного участка, r - радиус шара. Так как шар не заряжен, то , и потенциал шара будет равен

Ответ:

Задача 4. В середине плоского конденсатора, заряженного до напряжения U , находится маленький металлический шарик радиуса r . Какой заряд появится на шарике, если его соединить проводником с одной из пластин? Перераспределением заряда вдоль пластин конденсатора под воздействием шарика пренебречь.

Решение:

Потенциалы пластин конденсатора равны по величине и противоположны по знаку (рис. 4), то есть

При соединении шарика с одной из пластин заряды будут перемещаться на шарик до тех пор, пока потенциалы пластины и шарика станут одинаковыми. Потенциал шарика , где - заряд, переместившийся на шарик. Следовательно,

Ответ:

Задача 5. Заряженный шарик подвешен на нерастяжимой изолирующей нити длины l . Масса шарика равна m , его заряд равен q . На одной высоте с точкой подвеса О на расстоянии 2l от нее закреплен заряд - q . Найдите минимальную скорость v 0 , которую должен иметь шарик в нижней точке, чтобы, двигаясь по окружности, он достиг верхней точки. Размерами шарика пренебречь.

Решение:

В верхней точке на шарик действует сила тяжести и сила Кулона (упругая сила со стороны нити отсутствует, так как нить нерастяжима (рис. 5)). Уравнение движения шарика запишется следующим образом

Спроецируем это уравнение на вертикальную ось X . Шарик движется по окружности радиуса l , поэтому вдоль оси X будет направлено нормальное ускорение шарика, значит

(3)

Из геометрических соображений

После подстановки r 2 и в (3) получим

(4)

Чтобы шарик достиг верхней точки, необходимо, чтобы

(5)

Силы, действующие на шарик, являются потенциальными, следовательно, должен выполняться закон сохранения механической энергии. В начальном положении шарик находится в нижней точке, в конечном - в верхней. Будем отсчитывать потенциальную энергию шарика в поле силы тяжести Земли от нижнего положения шарика. Потенциальные энергии электрического взаимодействия шариков в начальном и конечном положении одинаковы. Поэтому закон сохранения механической энергии запишется следующим образом:

(6)

Из совместного решения (4) и (6) с учетом (5) следует:

Ответ:

Задача 6. Одна из обкладок плоского конденсатора площадью S подвешена на пружине, а другая обкладка закреплена неподвижно (рис. 6). Расстояние между пластинами в начальный момент времени равно d 0 . Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U . Какой должна быть жесткость пружины , чтобы не происходило касания пластин в результате их взаимного притяжения после зарядки? Смещением пластин конденсатора за время зарядки можно пренебречь.

Решение:

При зарядке конденсатора до напряжения U на его пластинах появятся заряды +q и -q . Величина заряда будет равна

Так как расстояние между пластинами конденсатора мало по сравнению с размерами пластин, то напряженность поля внутри конденсатора будет равна сумме напряженностей полей двух бесконечных пластин. Электрическое поле внутри конденсатора однородное. Напряженность поля в этом случае связана с разностью потенциалов между пластинами конденсатора соотношением U = E 0 d 0 . Согласно принципу суперпозиции полей напряженность электрического поля между пластинами конденсатора равна сумме напряженностей полей, созданных каждой пластиной в отдельности. Заряды пластин одинаковы по величине, следовательно, напряженность поля одной заряженной пластины будет равна

Верхняя заряженная пластина находится в однородном электрическом поле нижней пластины, и на нее будет действовать постоянная сила , направленная вниз (рис. 7), здесь - напряженность электрического поля, созданного нижней пластиной. Со стороны пружины на пластину будет действовать упругая сила, зависящая от смещения пластины и равная по величине

Под действием приложенных сил верхняя пластина будет совершать гармонические колебания около некоторого положения равновесия. Положение равновесия можно определить из условия равенства нулю равнодействующей всех сил, действующих на пластину.

где m - масса пластины.

Амплитуда колебаний будет равна расстоянию l между положением равновесия пластины и ее первоначальным положением. Пластины не будут соприкасаться при условии, что

Сила упругости, действующая на пластину в положении равновесия, будет равна

(8)

где - растяжение пружины при незаряженном конденсаторе. Его можно определить из условия равновесия верхней пластины при отсутствии электрического поля:

Подставив (8) и (9) в (7), получим

Таким образом, пластины не будут соприкасаться, если

Учитывая, что

Ответ:

Задача 7. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью , имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние, характеризуемое вектором (рис. 8). Найдите напряженность поля внутри полости.

Решение:

Если бы внутри шара не было полости, напряженность поля можно было бы легко рассчитать, используя теорему Гаусса. Поэтому можно поступить так: поместить мысленно внутри полости положительный и отрицательный заряд плотности и - соответственно. От этого результирующее поле не изменится, но теперь напряженность поля шара с полостью можно рассчитать как сумму напряженностей полей, созданных сплошными шарами: большой шар заряжен положительно, а малый отрицательно.

Напряженность поля равномерно заряженного шара внутри шара рассчитаем с помощью теоремы Гаусса. Из соображений симметрии ясно, что силовые линии поля равномерно заряженного шара будут направлены вдоль радиусов. Поэтому произвольную поверхность, через которую будет рассчитываться поток вектора напряженности, следует выбирать в виде сферы радиуса r (здесь R - радиус шара), концентрической с поверхностью шара. Внутрь этой сферы попадет заряд

то есть напряженность поля линейно растет по модулю при удалении от центра шара.

Поскольку напряженность - величина векторная, ее нужно записать в векторной форме:

где - радиус-вектор, определяющий положение точки внутри шара относительно его центра.

Выберем внутри полости произвольную точку А . Положение этой точки относительно центра шара определяется радиус-вектором 1 , а относительно центра полости - радиус-вектором 2 (рис. 9). Тогда напряженность поля в этой точке, согласно принципу суперпозиции, будет равна

Таким образом, внутри полости электрическое поле будет однородным, направление силовых линий поля параллельно вектору .

Ответ:

Задача 8. В пространстве образовался сгусток плазмы в виде бесконечной пластины толщиной d . Концентрация положительно и отрицательно заряженных частиц равна n , заряд каждой частицы численно равен q . Затем положительно и отрицательно заряженные частицы сместились друг относительно друга (рис. 10). Найдите напряженность поля в точках плоскости, их разделяющей.

Решение:

Образовавшееся скопление зарядов можно разбить на очень тонкие слои толщиной , параллельные разделяющей плоскости. Каждый такой слой можно рассматривать как бесконечную плоскость. Тогда напряженность поля, созданного образовавшимся скоплением зарядов, согласно принципу суперпозиции определится как геометрическая сумма напряженностей электрических полей, созданных отдельными плоскостями. Из геометрических соображений ясно, что силовые линии такой плоскости перпендикулярны к ней. В случае положительно заряженной плоскости они выходят из плоскости и заканчиваются на бесконечности (рис. 11), а для отрицательно заряженных плоскостей силовые линии начинаются на бесконечности и заканчиваются на плоскости (рис. 12). Очевидно, что в точках разделяющей плоскости силовые линии отрицательно и положительно заряженных плоскостей направлены одинаково.

Для расчета напряженности поля одной плоскости воспользуемся теоремой Гаусса. В качестве произвольной поверхности, через которую будем считать поток вектора напряженности, выберем цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости, а основания расположены на одинаковых расстояниях от плоскости (рис. 13). Силовые линии поля плоскости не пересекают боковую поверхность, поэтому поток вектора напряженности через нее равен нулю. К основаниям цилиндрической поверхности силовые линии перпендикулярны, поэтому поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность будет равен

где Е - напряженность поля в точках оснований цилиндрической поверхности, S - площадь основания.

Внутрь выбранной поверхности попадает заряд

Тогда, согласно теореме Гаусса,

Таким образом, поле бесконечной заряженной плоскости является однородным полем.

Напряженность поля в точках разделяющей плоскости в соответствии с принципом суперпозиции будет равна

Так как силовые линии в точках разделяющей плоскости направлены одинаково, то

Поскольку сумма то

Ответ:

Задача 9. Проводящий шар наэлектризован так, что поверхностная плотность заряда равна . На расстоянии l от поверхности шара потенциал поля равен 0 . Шар находится в воздухе. Какова емкость шара?

Решение:

Емкость заряженного проводника определяется как

где q - заряд проводника, - его потенциал. Если шар имеет заряд q , потенциал на его поверхности будет равен

Подставив значение в (10), получим для емкости шара

Чтобы найти радиус шара R , воспользуемся выражением для потенциала шара на расстоянии l от его поверхности.

здесь - заряд шара. Подставив значение q в (12), получим:

Это выражение можно переписать в виде квадратного уравнения с неизвестным R :

Решение этого уравнения имеет вид:

Отрицательный корень не имеет физического смысла. Подставив выражение для R в (11), получим:

Ответ:

Задача 10. Определите емкость воздушного сферического конденсатора. Радиусы сфер - R 1 и R 2 .

Решение:

Предположим, что заряд внутренней сферы радиуса R 1 равен q , а внешней радиуса R 2 равен -q . Тогда емкость конденсатора будет равна

Вариант 1

1. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии
l = 30 см от ее центра находится точечный заряд q = 0,50 мкКл.

2. Как изменится напряженность поля точечного заряда на расстоянии а от него, если в непосредственной близости к этой точке поместить проводящую заземленную пластину?

3. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U = 1,8 кВ. Диэлектрик – стекло (e = 6,0). Определить диэлектрическую восприимчивость c стекла и поверхностную плотность σ" поляризационных (связанных) зарядов на поверхности стекла.

4. Два заряда находятся в керосине () на расстоянии 1 см друг от друга и взаимодействуют с силой 2,7Н. Величина одного заряда в 3 раза больше другого. Определить величину каждого заряда.

5. Две параллельные металлические пластины, расположенные в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью e = 2,2, обладают поверхностной плотностью заряда 3 и 2 мкКл/м 2 . Определить напряженность и индукцию электрического поля между пластинами и вне пластин.

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Вариант 2

1. Два шара, один диаметром d 1 = 10 см с зарядом q 1 = б 10 -10 Кл, другой диаметром d 2 = 30 см и q 2 = -2 10 -9 Кл, соединяются тонкой проволокой. Какой заряд переместится по ней?

2. Точечный заряд q = 5-10 -9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземленной стенки. Найдите поверхностную плотность заряда, индуцированного на стенке в точке, ближайшей к заряду.

3. Металлический шар радиусом R = 5 cм окружен равномерно слоем фарфора (e = 6,0) толщиной d = 2 см. Определить поверхностные плотности и связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шара равен 10 нКл.

4. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды керосином (e = 2,0) угол расхождения не изменился. Найти плотность материала шарика.

5. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью e смещение равно . Чему равна поляризованность в этой точке.

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Вариант 3

1. Металлический шар радиуса R имеет заряд Q. Точечный заряд q помещен на расстоянии
d от центра шара (см. рис). Найти потенциал шара j.

2. Точечный заряд q = +2-10 -9 Кл расположен на расстоянии
l = 5 см от проводящей заземленной стенки. Найдите напряженность поля в точке А, отстоящей от заряда q и от стенки на том же расстоянии l (см. рис.).

3. Эбонитовая (e = 2,7) плоскопараллельная пластина помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е 0 = 2 МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности. Определить поверхностную плотность σ" связанных зарядов на гранях пластины.

4. Два точечных заряда, находясь в воде () на расстоянии l друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой F. Во сколько раз необходимо изменить расстояние между ними, чтобы они взаимодействовали с такой же силой в воздухе ()?

5. В однородное электрическое поле с напряженностью Е 0 = 100 В/м помещена бесконечная плоскопараллельная пластина из однородного и изотропного диэлектрика с проницаемостью e = 2,0. Пластина расположена перпендикулярно к . Определить напряженность поля Е и электрическое смещение D внутри пластины.