Научно-практическая конференция

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 23»

города Вологды

секция: естественно - научная

проектно-исследовательская работа

ВИДЫ СИММЕТРИИ

Выполнила работу ученица 8 «а» класса

Кренёва Маргарита

Руководитель: учитель математики высшей

2014 год

Структура проекта:

1. Введение.

2. Цели и задачи проекта.

3. Виды симметрии:

3.1. Центральная симметрия;

3.2. Осевая симметрия;

3.3. Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);

3.4. Поворотная симметрия;

3.5. Переносная симметрия.

4. Выводы.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Введение.

Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Меня очень заинтересовала эта тема. Я захотела узнать: какие виды симметрии существуют, чем они отличаются друг от друга, каковы принципы построения симметричных фигур в каждом из видов.

Цель работы : Знакомство с различными видами симметрии.

Задачи:

Изучить литературу по данному вопросу.

Обобщить и систематизировать изученный материал.

Подготовить презентацию.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии .

В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 5 видов симметрии.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.

Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки

2. Осевая симметрия

Две точки X и Y называются симметричными относительно прямой t , если эта прямая проходит чрез середину отрезка ХУ и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой t считается симметричной сама себе.

Прямая t – ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой t , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой t также принадлежит этой фигуре.

Прямая t называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы (смотри презентацию).

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости)

Две точки Р 1 и Р называются симметричными относительно плоскости а если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.

Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.

4. П оворотная симметрия (или радиальная симметрия)

Поворотная симметрия - это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/ n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n -го порядка.

При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 )вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.

На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5-го порядка.

Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось

Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360°: 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.

Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф».

Кроме того буква и имеет центр симметрии, а буква Ф ось симметрии

Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.

Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF , MP , NQ ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF , AFBD , ACBE , AMBP , ANBQ ).

5 . Переносная симметрия

Ещё одним видом симметрии является переносная с имметрия.

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «а» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «а» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.

а

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация).

Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок. На рисунке изображены трафареты пяти видов: а ) несимметричный; б, в ) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или вертикальную; г ) центрально-симметричный; д ) имеющий две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную.

Для построения бордюров используют следующие преобразования:

а ) параллельный перенос; б ) симметрию относительно вертикальной оси; в ) центральную симметрию; г ) симметрию относительно горизонтальной оси.

Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/ n .

Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить забор, изображённый на фотографии.

Вывод: Таким образом, существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

ЛИТЕРАТУРА:

Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

Современный словарь иностранных слов. - М.: Русский язык, 1993г .

История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии - М.: Мысль arxitekt / arhkomp 2. htm , , ru.wikipedia.org/wiki/

(означает «соразмерность») — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под «симметрией» понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Центральная симметрия — симметрия относительно точки.

относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром А представляет собой поворот на 180 градусов с центром А. Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией. Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через центр симметрии.

Осевая симметрия — симметрия относительно прямой.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Осевая симметрия имеет два определения:

- Отражательная симметрия.

В математике осевая симметрия — вид движения (зеркального отражения), при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осимметрична и имеет 3 оси симметрии, если это не квадрат.

- Вращательная симметрия.

В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметриею, относительно поворотов вокруг прямой. При этом тела называют осесимметричными, если они переходят в себя при любом повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осесимметричным телом, но конус будет.

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Точки X и X" называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX". Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X", симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A"(x1,- y1) и B"(x2, -y2). Вычисляя растояния A"B" и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.

Поворот

Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол -углом поворота .

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно. Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.

§ 1. Поворот и центральная симметрия - Учебник по Математикe 6 класс (Зубарева, Мордкович)

Краткое описание:

В этом параграфе мы переходим к изучению новой темы в геометрии: поворот и центральная симметрия. Что поможет нам разобраться в том, что такое поворот в геометрическом понимании, как поворачивать точки, отрезки или целые фигуры, а также какие точки отрезки или фигуры можно считать симметричными.
Поворотом точки можно считать движение точки во круг другой точки на плоскости, при этом другая точка остается неподвижной. Поворот можно осуществить на любое расстояние, такое расстояние измеряется в градусах, измерить его можно с помощью транспортира. Кроме точек могут перемещаться целые фигуры и рисунки. Так, мы можем наблюдать много примеров использования поворотов в реальной жизни – симметричные растения, цветы, фрукты, разрезанные пополам, строительные элементы, например, винтовые лестницы, обувь – правые и левые ботинки. Так, звезды вращаются вокруг полюса, изменяя свое положение только относительно одной точки. Для геометрического построения поворота удобно использовать циркуль и транспортир. Симметрию можно определить как одинаково отдаленное расположение точек относительно одного центра. В повседневной жизни мы часто встречаемся с симметричными предметами. Но стоит заметить, что в природе не существует идеальной симметрии, даже лицо человека не может быть идеально симметричным. Но предметы, которые мы используем для повседневной деятельности, готовки, приготовления уроков, игры, чаще всего симметричны. Интересно? Предлагаем подробнее ознакомиться с материалом параграфа в учебнике!

При изучении темы «Поворот» учащимся дается задание: нарисовать на альбомном листе фигуру, выбрать центр поворота и угол поворота. Построить новую фигуру. Техника работы может быть различной. Например, дети часто используют апп ликацию. На нашей виртуальной выставке вторая работа выполнена в этой технике. А вот на 3 рисунке ученик использовал готовое изображение (аппликация) и вторую подвижную фигуру нарисовал самостоятельно.

Особенно интересны работы, выполненные с помощью карандашей, фломастеров или красок. Конечно, при составлении этих работ дети предварительно изготовили шаблон. Этот шаблон-трафарет помог им при выполнении творческих работ по другим темам "Симметрия относительно прямой", " Симметрия относительно точки ", "Параллельный перенос".

Детям особенно нравиться делать динамические модели. Их можно покрутить и выполнить поворот по часовой стрелке и против часовой стрелки. На представленной выставке только одна работа статическая на первом рисунке. Остальные работы динамические.

Для изготовления динамической модели одну фигуру надо нарисовать на альбомном листе. Вторую фигуру вырезать по шаблону из белого картона. Некоторые ребята вторую подвижную фигуру для большей надежности еще оклеили бесцветной пленкой. Например, красивая рыба в верхнем ряду. Ей уже больше 10 лет, а она выглядит, как новенькая. Не потускнели и не выгорели яркие краски. Для обозначения центра ученики используют маленькую круглую точку из картона, скрепляют подвижную фигуру с альбомным листом с помощью обычных швейных ниток. Некоторые дети использовали металлические гайки. Правда этот вариант не очень эстетично выглядит.

Есть в копилке лучших работ по теме "Поворот" работы, выполненные на фанере с помощью прибора для выжигания. Среди них есть подвижные модели и статические рисунки. Для динамических моделей надо выполнить значительно больший объем работ, ведь подвижную фигура необходимо выпилить. Вот, какая трудоемкая работа!

Лучшие работы оформляются на стенде в классе. А работы на фанере стоят в шкафах. После Выставки в кабинете я архивирую творческие работы в тематические папки, они пополняют методическую базу кабинета. Эта папка представляется на Выставках в гимназии, проходящих в рамках различных методических мероприятий, семинарах. Например, Выставка творческих работ учащихся в рамках Дня открытых дверей в гимназии, на который традиционно приглашаются родители обучающихся.