Главная · Прочее · Проверочные расчёты при срезе и смятии. Расчет пальцев Напряжения среза в заклепках определяем по формуле

Проверочные расчёты при срезе и смятии. Расчет пальцев Напряжения среза в заклепках определяем по формуле

Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила.

Рассмотрим брус, на который действуют две силы, равные по величине (рис. 20) и противоположно направленные. Эти силы перпендикулярны к оси бруса, и расстояние между ними ничтожно мало. При достаточной величине этих сил происходит срез.

Левая часть тела отделяется от правой по некоторому сечению АВ. Деформация, предшествующая срезу, которая заключается в перекашивании прямых углов элементарного параллелепипеда, называется сдвигом. На рис. 20, б показан сдвиг, происходящий в параллелепипеде до среза; прямоугольник abed превращается в параллелограмм abed ". Величина СС К , на которую сечение cd сдвинулось относительно соседнего сечения ab , называется абсолютным сдвигом. Угол У, на который изменяются прямые углы параллелепипеда, называется относительным сдвигом.

Рис. 20. Схема деформации сдвига: а) перерезывающие силы, действующие на брус; б) деформация элемента бруса abed

Ввиду малости деформаций угол У можно определить следующим образом:

Очевидно, что в сечении АВ из шести внутренних силовых факторов будет возникать только поперечная сила Q , равная силе F:

Данная поперечная сила Q вызывает появление только касательных напряжений т.

Подобная картина наблюдается в деталях, служащих для соединения отдельных элементов машин, - заклепках, штифтах, болтах и т. п., так как они во многих случаях воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси.

Поперечная нагрузка в указанных деталях возникает, в частности, при растяжении (сжатии) соединяемых элементов. На рис. 21 приведены примеры штифтового (а), заклепочного (б), болтового (в) и шпоночного (г) соединений. Такой же характер нагружения соединительных деталей имеет место и при передаче вращающего момента, например в соединении шестерни с валом с помощью штифта, который при передаче момент от шестерни к валу (или наоборот) несет нагрузку, перпендикулярную его оси.


Рис. 21.

а) штифтового; б) заклепочного; в) болтового; г) шпоночного

Действительные условия работы рассматриваемых деталей сложны и во многом зависят от технологии изготовления отдельных элементов конструкции и ее сборки.

Практические расчеты этих деталей носят весьма условный характер и базируются на следующих основных допущениях:

  • 1. В поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила Q.
  • 2. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по его площади равномерно.
  • 3. В случае, если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами и т. п.), принимается, что все они нагружены одинаково.

Разрушение соединительных элементов (в случае недостаточной прочности) происходит в результате их перерезывания по плоскости, совпадающей с поверхностью соприкосновения соединяемых деталей (см. рис. 21,6). Поэтому говорят, что эти элементы работают на срез, и возникающие в их поперечном сечении касательные напряжения также называют напряжениями среза и обозначают т ср.

На основе сформулированных выше допущений получаем следующее условие прочности на срез:

где г С р - расчетное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении рассчитываемой детали; Q - поперечная сила, вызывающая срез соединительных элементов (болтов, заклепок и т. п.); [т ср ] - допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкции; ZA cp - суммарная площадь среза: LA cp - А ср т (здесь А ср - площадь среза одного соединительного элемента; z - число соединительных элементов; / - количество плоскостей среза в одном соединительном элементе).

В машиностроении при расчете штифтов, болтов, шпонок и т. д. принимают [т ср ] = (0,5...0,6)*[о] - для пластичных материалов и [х ср ] = (0,8... 1,0)-[а] - для хрупких материалов. Меньшие значения принимают при невысокой точности определения действующих нагрузок и возможности не строго статического нагружения.

Формула (30) является зависимостью для проверочного расчета соединения на срез. В зависимости от постановки задачи она может быть преобразована для определения допускаемой нагрузки или требуемой площади сечения (проектный расчет).

Расчет на срез обеспечивает прочность соединительных элементов, но не гарантирует надежности конструкции (узла) в целом. Если толщина соединяемых элементов недостаточна, то давления, возникающие между стенками их отверстий и соединительными деталями, получаются недопустимо большими. В результате стенки отверстий обминаются и соединение становится ненадежным. В случае, если изменение формы отверстия значительно (при больших давлениях), а расстояние от его центра до края элемента невелико, часть элемента может срезаться (выколоться).

При этом давления, возникающие между поверхностями отверстий и соединительных деталей (рис. 22, а) у принято называть напряжениями смятия и обозначать их Ос*. Соответственно расчет, обеспечивающий выбор таких размеров деталей, при которых не будет значительных деформаций стенок отверстий, называют расчетом на смятие. Распределение напряжений смятия на поверхности контакта деталей весьма неопределенно (рис. 22, б) ив значительной степени зависит от зазора (в нена- груженном состоянии) между стенками отверстия и болтом (заклепкой и др.).


Рис. 22. Передача давлений на стержень заклепки: а) общий вид заклепочного соединения; б) распределение напряжений по образующей; в ) площадь смятия заклепки

Расчет на смятие также носит условный характер и ведется в предположении, что силы взаимодействия между деталями равномерно распределены по поверхности контакта и во всех точках нормальны к этой поверхности.

Соответствующая расчетная формула имеет вид

где F - нагрузка, вызывающая смятие; 1А СМ - суммарная площадь смятия; [[а см = (2,..2,5)-[ [а с ] - допускаемое напряжение на сжатие того из контактирующих материалов, прочность которого меньше.

За расчетную площадь смятия при контакте по плоскости (рис. 21, г) принимают действительную площадь соприкосновения А см = 1-1, где / - размер шпонки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа; при контакте по цилиндрической поверхности (см. рис. 21, а, б, в и рис. 22, а, в ) за расчетную площадь принимают площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т. е. А см = d-d. При различной толщине соединяемых деталей в расчетную формулу следует подставлять d„i„. Суммарная площадь смятия ?А СМ = A CM -z (где z - число соединительных элементов).

Как уже говорили, в некоторых конструкциях соединительные детали (штифты, шпонки) работают на срез по продольным сечениям (см. рис. 21, г); предпосылки расчета и его методика остаются такими же, как и при срезе по поперечным сечениям.

Помимо расчетов на срез и смятие необходима проверка прочности соединяемых элементов на растяжение по ослабленному сечению. При этом площадь поперечного сечения принимается с учетом ослаблений:

где А„ етто - площадь ослабленного сечения.

На рис. 23 показано болтовое соединение. Силы F стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа передаются распределенные по контактной поверхности силы, равнодействующие которых равны F. Эти силы стремятся срезать болт по плоскости раздела листов т - л, так как в этом сечении действует максимальная поперечная сила Q = F.

Считая, что касательные напряжения распределены равномерно, получаем


Рис. 23. Болтовое соединение: а) общий вид; б) площадь смятия

Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид

Отсюда можно найти диаметр болта:

При расчете данного болтового соединения следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих поверхностей.

где Аа, - представляет собой площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость (см. рис. 22, б, в): А ш = 3 d.

Тогда условие прочности на смятие болтового соединения (см. рис. 23)

откуда получаем

Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший, округлив его до стандартного значения.

На срез принято рассчитывать и некоторые сварные соединения (рис. 24).


Рис. 24. Схема сварного соединения: а) расчетная схема углового шва; б) площадь среза ABCD сварного шва

Если не учитывать наплывы, то в разрезе угловой шов имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис. 24, а). Разрушение шва будет происходить по его минимальному сечению ABCD (см. рис. 24, б), высота которого к = 3- cos 45° =0,73 .

Для нахлесточного сварного соединения в расчет вводят оба шва. Запишем в этом случае условие прочности шва:

где / т - расчетная длина торцевого шва; т,- допускаемое напряжение для сварных соединений.

Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество его ухудшается, действительную его длину увеличивают по сравнению с расчетной на 10 мм:

где / - действительная длина шва (на рис. 24, 6:1 = Ь).

Детали, работающие на сдвиг (срез) и смятие

1. Ось (рис. 25, а). В случае, если толщина детали 2 меньше, А т = Sd;

где / - количество плоскостей (площадей) среза.

2. Болт (рис. 25, б). В этом случае А ср -ndh


Рис. 25. Соединения деталей: а) осью; б) болтом

3. Заклепка односрезная (рис. 26, а двухсрезная (рис. 26, б).


Рис. 26. Расчетная схема заклепочного соединения: а) с одной плоскостью среза; б) с двумя плоскостями среза

  • 4. Шпонки (рис. 27, а) работают на срез и смятие, но рассчитываются, в основном, только на смятие. Площади среза и смятия определяются по формулам А ср = Ь я 1 A CM =lt.
  • 5. Сварное соединение (рис. 27, б).

Угловой шов разрушается под углом 45° к плоскости разъема в результате среза: к - катет углового шва, подбирается по толщине свариваемого листа.

Двусторонний шов: А ср =2-0 у ЪсЬ = 1,4 к Ь.


Рис. 27. Соединения: а) шпоночное; б) сварное

Пример 6. Определить требуемое число заклепок в соединении двух листов, нагруженных силами F = 85 кН (рис. 28). Диаметр заклепок d = 16 мм. Допускаемые напряжения [г ср ] = 100 МПа, [

Из условия прочности на срез

где А С р=к d 2 / 4 - площадь среза; z - количество заклепок.


Рис. 28.

Из условия прочности на смятие где Асм = dS- площадь смятия; z - количество заклепок, получаем

Вывод: для того чтобы не произошло ни среза, ни смятия заклепок, следует установить пять заклепок.

Пример 7. Стальной болт (рис. 29) нагружен силой F= 120 кН. Определить его диаметр d и высоту головки И, если допускаемые напряжения [о р ] = 120 МПа, = 80 МПа. Ширина полос Ь- 150 мм и толщина их

Соединение может разрушиться от разрыва лобовых швов по вертикальным катетам сс" или от среза этих швов по горизонтальным катетам сс". Однако практика показывает, что шов разрушается по биссекторному сечению, высота которого

где к - катет шва, в нашем случае к = 8.

Такой шов рассчитывают условно на срез по биссекторному сечению из условия прочности:

где А ср = 0,7 ЗЬ - площадь среза одного сварного шва.

Рис. 30.

Вывод: швы недогружены.

Пример 9. Вал передает крутящий момент, равный 27 кН м при помощи шлицевого соединения (рис. 31). Диаметр вала D = 80 мм, внутренний диаметр d = 68 мм, высота шлица h = 6 мм, ширина шлица b - 12 мм, длина соединения / = 100 мм. Число шлицев 2 = 6. Определить напряжения среза и смятия шлица.


Рис. 31.

Полагая, что все шлицы нагружены одинаково, найдем усилие, приходящееся на один шлиц:

Определим напряжение среза:

Элементы, которыми соединяют различные детали, например, заклепки, штифты, болты (без зазора) в основном рассчитывают на срез.

Расчет носит приближенный характер и основан на следующих допущениях:

1) в поперечных сечениях рассматриваемых элементов возникает лишь один силовой фактор - поперечная сила Q ;

2) при наличии нескольких одинаковых соединительных элементов каждый из них воспринимает одинаковую долю общей нагрузки, передаваемой соединением;

3) касательные напряжения распределены по сечению равномерно.

Условие прочности выражается формулой:

τ ср = Q/F ср ≤[ τ] ср , где

Q - поперечная сила (при нескольких i соединительных элементах при передаче силы P ср

Q = P ср /i );

τ ср - напряжение среза в плоскости рассчитываемого сечения;

F ср - площадь среза;

[τ] ср - допускаемое напряжение на срез.

На смятие, как правило, рассчитывают элементы, которые соединены заклепками, штифтами, болтами. Смятию подвергаются стенки отверстий в зонах установки соединительных элементов. Обычно расчет на смятие выполняют для соединений, соединительные элементы которых рассчитывают на срез.

При расчете на смятие принимают, что силы взаимодействия между соприкасающимися деталями равномерно распределены по поверхности контакта и в каждой точке нормальны к этой поверхности. Силу взаимодействия, принято называть напряжением смятия.

Расчет на прочность выполняется по формуле:

σ см = P см /(i´F см) ≤ [σ] см , где

σ см - действующее напряжение смятия;

P см - усилие передаваемое соединением;

i - число соединительных элементов;

F см - расчетная площадь смятия;

[σ] см - допускаемое напряжение смятия.

Из допущения о характере распределения сил взаимодействия по поверхности контакта следует, что если контакт осуществляется по поверхности полуцилиндра, то расчетная площадь F см равна площади проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. равна диаметру цилиндрической поверхности d на ее высоту δ :

F см = d´ δ

Пример 10.3

Стержни I и II соединены штифтом III и нагружены растягивающими силами (рис. 10.4). Определить размеры d, D, d шт , c , e конструкции, если [σ] р = 120 МН/м 2 , [τ] ср = 80 МН/м 2 , [σ] см = 240 МН/м 2 .

Рисунок 10.4

Решение .

1. Определяем диаметр штифта из условия прочности на срез:

Принимаем d = 16×10 -3 м

2. Определяем диаметр стержня I из условия прочности на растяжение (сечение стержня, ослабленное отверстием для штифта, показано на рис. 10.4б):

94,2 × 10 3 10 d 2 - 1920´10 3 d - 30 ³ 0


Решив квадратное неравенство, получим d³30,8´10 -3 м. Принимаем d = 31´10 -3 м .

3. Определим наружный диаметр стержня II из условия прочности на растяжение, сечения ослабленного отверстием для штифта (рис. 10.4в):

94,2´10 3 ´D 2 -192´10 3 ´D-61³0

Решив квадратное уравнение, получим D = 37,7´10 -3 м . Примем D = 38´10 -3 м .

4. Проверим, достаточна ли толщина стенок стержня II по условию прочности на смятие:

Так как напряжение смятия превышает допустимое напряжение на смятие, то увеличим наружный диаметр стержня так, чтобы выполнялось условие прочности на смятие:

Принимаем D = 39×10 -3 м.

5. Определяем размер c из условия прочности нижней части стержня II на срез:

Примем c = 24×10 -3 м.

6. Определим размер e из условия прочности верхней части стержня I на срез:

Примем e = 6×10 -3 м .

Пример 10.4

Проверить прочность заклепочного соединения (рис. 10.5а), если [τ] ср = 100 Мн/м 2 , [σ] см = 200 Мн/м 2 , [σ] р = 140 Мн/м 2 .

Рисунок 10.5

Решение.

Расчет включает проверку прочности заклепок на срез, стенок отверстий в листах и накладках на смятие, а также листов и накладок на растяжение.

Напряжения среза в заклепках определяем по формуле:

В рассматриваемом случае i = 9 (число заклепок по одну сторону от стыка), k = 2 (двухсрезные заклепки).

τ ср = 550´10 3 / (9´2´((3,14´0,02 2) /4)) = 97,2 Мн/м 2

Избыток прочности по срезу заклепок:

Напряжение смятия стенок отверстий определим по формуле:

В заданном соединении площадь смятия стенок отверстий соединяемых листов меньше, чем стенок отверстий в накладках. Следовательно, напряжения смятия для листов больше, чем для накладок, поэтому принимаем δ расч = δ = 16 ´10 -3 м.

Подставляя числовые значения, получим:

σ см = 550´10 3 / (9´16´10 -3 ´20´10 -3) = 191 Мн/м 2

Избыток прочности по смятию стенок отверстий:

Для проверки прочности листов на растяжение вычислим напряжения по формуле:

N - нормальная сила в опасном сечении;

F нетто - площадь сечения нетто, т.е. площадь поперечного сечения листа за вычетом его ослабления отверстиями для заклепок.

Для определения опасного сечения строим эпюру продольных сил для листов (рис. 10.5 г). При построении эпюры воспользуемся допущением о равномерном распределении силы между заклепками. Площади ослабленных сечений разные, поэтому не ясно, какое из них опасное. Производим проверку каждого из ослабленных сечений, которые показаны на рисунке 10.5в.

Сечение I-I

Сечение II-II

Сечение III-III

Опасным оказалось сечение I-I ; напряжение в этом сечении выше допускаемого примерно на 2%.

Проверка накладки аналогична проверки листов. Эпюра продольных сил в накладке показана на рисунке 10.5г. Очевидно, что для накладки опасным является сечение III-III, так как это сечение имеет наименьшую площадь (рис. 10.5д) и в нем возникает наибольшая продольная сила N = 0,5P .

Напряжения в опасном сечении накладки:

Напряжения в опасном сечении накладки выше допускаемого примерно на 3,5%.

Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) рабо­тают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор - поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.

Сдвиг (срез)

Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила рис. 23.1).

При сдвиге выполняется закон Гука, который в данном случав записывается следующим образом:

где - напряжение;

G - модуль упругости сдвига;

Угол сдвига.

При отсутствии специальных испытаний G можно рассчитать по формуле,

гдеЕ - модуль упругости при растяжении, [G ] = МПа.

Расчет деталей на сдвиг носит условный характер. Для упрощения расчетов принимается ряд допущений:

При расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;

При расчете считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно;

Если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределяется между ними равномерно.

Условие прочности при сдвиге (срезе)

где - допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле

При разрушении деталь перерезается поперек. Разрушение детали под действием поперечной силы называют срезом.

Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, .

Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг, однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки. Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр.

Условие прочности при смятии

гдеА см - расчетная площадь смятия

d - диаметр окружности сечения;

Наименьшая высота соединяемых пластин;

F - сила взаимодействия между деталями

Допускаемое напряжение смятия

= (0,35 + 0,4)

Тема 2.5. Кручение

Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент М кр.

Крутящий момент М кр в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов, действующих на отсеченную часть бруса.

Крутящий момент считается положительным, если кручение происходит против часовой стрелки и отрицательны – по часовой стрелке.

При расчете валов на прочность при кручении используется условие прочности:

,

где - полярный момент сопротивления сечения, мм 3 ;

– допускаемое касательное напряжение.

Крутящий момент определяется по формуле:

где Р – мощность на валу, Вт;

ω – угловая скорость вращения вала, рад/с.

Полярный момент сопротивления сечения определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

.

При кручении бруса его ось испытывает скручивание на некоторый угол φ, который называется углом закручивания . Его величина определяется по формуле:

где l – длина бруса;

G – модуль сдвига, МПа (для стали G=0,8·10 5 МПа);

Полярный момент инерции сечения, мм 4 .

Полярный момент инерции сечения определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

.

Тема 2.6. Изгиб

Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.

Изгибом называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки.

В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.

Прямой изгиб – внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.

Главная плоскость сечения – плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.

Косой изгиб - внешние силы, действующие на балку, не лежат в главной плоскости сечения.

В зависимости от характера ВСФ, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным .

Изгиб называется поперечным , если в поперечном сечении балки возникают два ВСФ – изгибающий момент М х и поперечная сила Q y .

Изгиб называется чистым , если в поперечном сечении балки возникает один ВСФ – изгибающий момент М х.

Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:

Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:

При определении знаков поперечных сил используют правило «Часовой стрелки» : поперечная сила считается положительной, если «вращение» внешних сил происходит по часовой стрелке; отрицательной – против часовой стрелки.

При определении знаков изгибающих моментов используют правило «Сжатых волокон» (правило «ЧАШИ»): изгибающий момент считается положительным, если сжимаются верхние волокна балки («вода не выливается»); отрицательным, если сжимаются нижние волокна балки («вода выливается»).

Условие прочности при изгибе: рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.

где W х – осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба), мм 3 .

Осевой момент сопротивления определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

;

Для прямоугольника

При прямом поперечном изгибе изгибающий момент обуславливает возникновение нормального напряжения, а поперечная сила – касательного напряжения, которое определяется по формуле:

где А – площадь поперечного сечения, мм 2 .

Расчеты на срез и смятие

Пример № 1

Круглый стержень, растягиваемый силой F = 180 кН укреплен на детали с помощью чеки прямоугольного сечения (рис.1). Из условий прочности на растяжение, срез и смятие стали определить диаметр стержня d , необходимую длину а хвостовой его части, а также размеры поперечного сечения чеки t и h без учета ее работы на изгиб. Допускаемые напряжения принять: [σ р ] = 160 МПа, [τ ср ] = 100 МПа, [σ см ] = 320 МПа.

Рис.1

Решение.

Стержень под действием силы F испытывает растяжение, ослабленным сечением будет сечение стержня, которое проходит через чеку. Его площадь определяется как разность площадей круга и прямоугольника, у которого одна сторона равна ширине чеки t , а вторую можно принять равной диаметру стержня d .. Эта площадь показана на (рис. 1, ж).

По условию прочности на растяжения

определяем площадь растяжения, подставляя N = F , имеем:

приравнивая(1) получаем первое уравнение. В хвостовике стержня под давлением чеки может произойти срез по площади А ср = 2(a - h )∙ d . Из условия прочности на срез

определим площадь среза хвостовика

отсюда 2(a - h )·d = 1800(2) получаем второе уравнение.

Исходя из условия равно прочности насрез стержня и чеки определяем площадь среза чеки, которая определяется как A 2ср = 2h ∙ t и равны A 1ср т.е. A 2ср = A 1ср , поэтому получаем третье уравнение 2h ∙ t = 1800(3).

Под действием силы F чека, оказывая давление на внутреннюю часть стержня вызывает смятие стержня по площади A см = d · t .

определяем площадь смятия:

Таким образом, получим четыре уравнения для определения диаметра стержня d , длины хвостовика а и размеров поперечного сечения чеки t и h :

2(a - h )∙ d = 1800(4)

2h ∙ t = 1800

d ∙ t = 56,25

подставим в первое уравнение системы (4) вместо d ∙ t = 56,25, получим:

– 56,25 = 1125 или = 1125 + 56,25 = 1687,5

отсюдат.е. d = 46,4мм

т.к. d ∙ t =56,25,;t = 12,1 мм .

Из третьего уравнения системы (4) определяем h .

2h ∙ t = 1800, отсюда ;h = 74,3 мм .

Из второго уравнения системы (4) определяем а .

2(a - h ) ∙ d = 1800

(a - h ) = 900, отсюда

Итак, а = 93,7 мм.

Пример № 2

Проверить прочность тяги на растяжение, а болта на срез и смятие, если к тяге приложена сила F = 60 кН , размеры даны на (рис.2), при допускаемых напряжениях: на растяжение [σ р ] = 120 МПа, на срез [τ ср ] = 80 МПа, на смятие [σ см ] = 240 МПа.

Рис. 2

Решение.

Устанавливаем, какие виды деформаций испытывают детали соединения. Под действием силы F стальная тяга диаметром d и проушина с наружным диаметром D 1 и внутренним D 2 будут испытывать растяжение, площадка тяги представляет собой окружность с площадью

в проушине, ослабленной отверстием D 2 разрыв может произойти по площади A 2р = (D 1 – D 2 )∙ в . Используя условия прочности при растяжении

проверяем прочность тяги на растяжение; т.к.N = F , то

т.е. тяга удовлетворяет условию прочности.

Растягивающее напряжение в проушине;

Прочность проушине обеспечена.

Болт диаметром D 2 испытывает срез по двум плоскостям, каждая из которых равна площади поперечного сечения болта, т.е.

Из условия прочности на срез:

Внутренняя часть проушины оказывает давление на поверхность болта, поэтому смятию подвергается цилиндрическая поверхность болта по площади А см = D 2 ·в.

выполняем проверку прочности болта на смятие

Пример № 3

Болт диаметром d = 100мм , работающий на растяжение, опирается головкой на лист (рис. 3). Определить диаметр головки D и высоту ее h , если растягивающее напряжение в сечении болта σ р = 100 Н/мм 2 , напряжение смятия по площади опирания головки σ см = 40Н/мм 2 и напряжения среза головки τ ср = 50 Н/мм 2 .

Рис.3

Решение.

Приступая к решению задачи, нужно установить какие виды деформаций испытывает стержень болта и его головка, чтобы затем использовать соответствующие расчетные зависимости. Если уменьшать диаметр болта d , то это может привести к разрыву, так как стержень болта испытывает растяжение. Площадь поперечного сечения, по которой может произойти разрыв (рис. 3,в). Уменьшение высоты головки h , если прочность головки стержня окажется недостаточной, повлечет за собой срез по боковой поверхности цилиндра высотой h и диаметром d (рис. 3,а). Площадь срезаА ср = π·d · h .

Если будет уменьшаться диаметр головки D , то воспринимающая силу F , опорная кольцевая поверхность головки стержня может подвергнуться смятию. Площадь смятия (рис. 3,б).

Таким образом, расчет необходимо вести по условиям прочности на растяжение, срез и смятие. При этом следует соблюдать определенную последовательность, т.е. начинать расчет с определения тех силовых факторов или размеров, которые не зависят от других определяемых величин. В данной задаче начинаем с определения внутренней силы Ν , которая равна по величине срезающей силе Q прикладываемой к болту силы F .

Из условия прочности при растяжении

определяем силу N , которая равна по величине силе Q = F .

Сила

Из условия прочности на срез определим высоту головки

болта, т.к. Q = F , то, , но A ср = πdh , поэтому .

Определяем диаметр опорной поверхности головки болта из условия ее прочности на смятие

Ответ: h = 50 мм, D = 187 мм.

Пример № 4

Определить какую силу F (рис. 4) надо приложить к пуансону штампа для пробивки в стальном листе толщиной t = 4 мм , размером в × h = 10× 15, если предел прочности на срез материала листа τ пч = 400 МПа. Определить также напряжение сжатия в пуансоне.

Рис.4

Решение.

Под действием силы F произошло разрушение материала листа по четырем поверхностям, когда действительное напряжение достигло предела прочности τ пч при срезе. Следовательно, надо определить внутреннюю Q и равную ей внешнюю силу F по известному напряжению и размерам h , в и t площадь деформируемых сечений. А эта площадь представляет собой площадь четырех прямоугольников: двух с размерами h × t и двух с размерами в × t .

Таким образом,А ср = 2·h · t + 2·в· t = 2t · (h + в ) = 2·4·(15+10) = 200 мм 2 .

Касательное напряжение при срезе срез

но так как Q = F ;

F = 𝜏 пч ∙ A ср = 400·200 = 80000 Н = 80 кН; F = 80 кН

Напряжение сжатия в пуансоне

Ответ: F =80кН; σ сж = 533,3 МПа.

Пример № 5

Деревянный брус квадратного сечения, а = 180 мм (рис.5) подвешен на двух горизонтальных прямоугольных балках и нагружен растягивающей силой F = 40 кН . Для крепления на горизонтальных балках в брусе выполнены две врубки до размера в = 120 мм . Определить возникающие в опасных сечениях бруса напряжения растяжения, среза и смятия, если с = 100 мм .

Рис.5

Решение.

Под действием силы F в брусе, ослабленном с двух сторон врубками возникаем растягивающее напряжение σ . В опасном сечении, размеры которого А р = в ∙ а = 120∙ 180 = 21600 мм 2 . Нормальное напряжение σ , учитывая, что внутренняя сила N в сечении равна внешней силе F равно:

Касательные напряжения скалывания τ ск возникают в двух опасных сечениях от давления горизонтальных балок на вертикальный брус, под действием силы Q = F . Эти площадки расположены в вертикальной плоскости, их величина А ск 2 ∙ с ∙ а =2∙ 100∙ 180=36000 мм 2 .

Вычисляем напряжения скалывания, действующих на этих площадках:

Напряжение смятия σ см возникает от действия силы F в двух опасных сеченияхвертикального бруса в верхней части горизонтальных балок, оказывающих давление на вертикальный брус. Их величина определяется А см =а ∙ (а-в) = 180∙ (180-120) =180∙ 60 = 10800 мм 2 .

Напряжение смятия

Пример № 6

Определить необходимые размеры врубки «прямым зубом». Соединение показано на (рис. 6). Сечение брусьев квадратное, растягивающая сила F = 40 кН . Допускаемые напряжения для древесины имеют значения: на растяжение[σ р ]= 10МПа, на скалывание [τ ск ]= 1МПа, на смятие [σ см ] = 8 МПа.

Рис.6

Решение.

Сопряжения элементов деревянных конструкций – врубки рассчитываются на прочность из условия их работы на растяжение, скалывание и смятие. При достаточной величине сил F , действующих на врубку прямым зубом (рис.6), может произойти скалывание по сечениям de и mn , по этим сечениям возникают касательные напряжения, величина которых определяется в предположении их равномерного распределения по площади сечения. Площадь сечения de или mn А ск = а∙ с .

Условие прочности имеет вид:

а·с = 4000 мм 2 (1)

В вертикальной стенке зуба на площадке m е имеет место деформация смятия. Площадь сечения, по которой может произойти смятие А см = в∙ а .

Из условия прочности на смятие:

имеем или в·а = 5000 мм 2 (2)

Исходя из разнопрочности деталей А и В , разрыв их может произойти по сечению, площадь которой .

Условия прочности на растяжение имеет вид:

В результате получим систему уравнений: 1, 2, 3.

а ∙ с = 4000

в ∙ а = 5000

Выполнив преобразование в третьем уравнении системы (4), получим:

а ∙ с = 4000

в ∙ а = 5000 (4 ’)

а 2 - а∙ в = 8000

уравнение (3) системы (4 ’)принимает вид а 2 = 8000+а ∙ в = 8000+5000 = 13000 отсюда а = = 114 мм ;

из уравнения (2) системы (4’)

из уравнения (1) системы (4’)

Ответ: а = 114 мм ; в = 44 мм ;с = 351 мм .

Пример № 7

Соединение стропильной ноги с затяжкой выполнено с помощью лобовой врубки (рис. 7). Определить необходимые размеры (х, х 1 , y ), если сжимающее усилие в подкосе равно F = 60 кН , угол наклона крышки α = 30 о, размеры сечения брусьев h = 20 см , в = 10 см . Допускаемые напряжения приняты: на растяжения и сжатие вдоль волокон [σ ] = 10 МПа , на смятие поперек волокон [σ см ] = 8 МПа , на смятие вдоль волокон [σ 90 ] = 2,4 МПа и на скалывание вдоль волокон [τ ск ] = 0,8 МПа . Проверить также прочность стропильной ноги на сжатие и затяжки в ослабленном месте сечения на растяжение.

Рис.7

Решение.

Определяем усилия, действующие по плоскостям врубки. Для этого раскладываем силу F на вертикальную составляющую F 1 и горизонтальную составляющую F 2 ,получим

F 1 = F sin 𝛼 = 60∙ 0,5 = 30 кН .

F 2 = F cos 𝛼 = 60∙ 0,867 = 52,02 кН .

Эти силы уравниваются реакцией опоры R = F 1 и растягивающим усилием в затяжке N = F 2 . Сила F 1 вызывает смятие затяжки по площади опирания на опорную подушку (перпендикулярно к волокнам). Условия прочности на смятие:

откуда, т.к. А см =х 1 ∙ в ,то

Конструктивно она принимается значительно больше. Глубину врубки y определяем из условия, что сила F 2 вызывает смятие по вертикальной упорной, и площадке А см = у∙ в в месте контакта торца строительной ноги с затяжкой. Из условия прочности на смятие имеем:

т.к. А см =у ·в , то .

Конец затяжки испытывает скалывание вдоль волокон под действием этой же горизонтальной силы F 2 . Длину х затяжки, выступающую за врубку, определим из условия прочности на скалывание:

т.к. τ ск = 0,8 МПа , . Площадь скалывания А ск = в∙ х

Следовательно, в ∙ х = 65000, откуда

Проверим прочность строительной ноги на сжатие:

Проверим прочность затяжки в ослабленном сечении:

т.е. прочность обеспечена.

Пример № 8

Определить напряжение растяжения, вызываемое силой F = 30 кН в ослабленном, тремя заклепками сечения стальных полос, а также напряжения среза и смятия в заклепках. Размеры соединения: ширина полос а = 80 мм , толщина листов δ = 6 мм , диаметр заклепок d = 14 мм (рис.8).

Рис.8

Решение.

Максимальное напряжение растяжения возникает в полосе по сечению 1-1 (рис. 8,а) ослабленному тремя отверстиями под заклепки. В этом сечении действует внутренняя сила N , равная по величине силе F . Площадь поперечного сечения показана на (рис. 8, г) и равна А р = а ∙𝛿 – 3∙ d ∙ 𝛿 = 𝛿∙ (a - 3d ).

Напряжение в опасном сечении 1-1:

Срез вызывается действием двух равных внутренних сил , направленных в противоположные стороны, перпендикулярно оси стержня (рис. 8,в). Площадь среза одной заклепки равна площади круга (рис.8,д), площадь среза всего сечения , гдеn – число заклепок, в данном случае n = 3.

Подсчитываем напряжение среза в заклепках:

На стержень заклепки давление со стороны отверстия в листе передается по боковой поверхности полуцилиндра (рис. 8, д), высотой, равной толщине листа δ . С целью упрощения расчета за площадь смятия вместо поверхности полуцилиндра условно принимают проекцию этой поверхности на диаметральную плоскость (рис. 8,е), т.е. площадь прямоугольника efck , равную d 𝛿 .

Вычисляем напряжение смятия в заклепках:

Итак σ р = 131,6 МПа ,τ ср = 65 МПа ,σ см = 119 МПа .

Пример № 9

Стержень фермы, состоящий из двух швеллеров №20, соединен с фасонным листом (косынкой) узла фермы заклепками расчетным диаметром d = 16 мм (рис.9). Определить требуемое число заклепок при допускаемых напряжениях: [τ ср ] = 140 МПа ;[σ см ] = 320 МПа ;[σ р ] = 160 МПа . Проверить прочность стержня.

Рис.9

Решение.

Определяем размеры поперечного сечения швеллера №20 по ГОСТ 8240-89 А = 23,4 см 2 , толщина стенки швеллера δ = 5,2 мм . Из условия прочности на срез

где Q ср – поперечная сила: при нескольких одинаковых соединительных деталях Q ср = F / i ( – число заклепок; А с p – площадь среза одной заклепки; [τ ср ] – допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкций.

Обозначим z – число плоскостей среза соединения, площадь среза одной заклепки , тогда из условия прочности (1) следует, что допускаемая сила на одну заклепку:

Здесь принято z = 2, т.к. заклепки двухсрезные .

Из условия прочности на смятие

где А см = d ∙ 𝛿 к

𝛿 к – толщина фасонного листа (косынки). d – диаметр заклепки.

Определим допускаемую силу на одну заклепку:

Толщина косынки 9 мм меньше удвоенной толщины швеллера 10,4 мм , поэтому она и принята в качестве расчетной.

Требуемое число заклепок определяем из условия прочности на смятие, так как .

Обозначим n –число заклепок, тогда принимаем n =12.

Проверяем прочность стержня на растяжение. Опасным сечением будет сечение 1-1, так как в этом сечении действует наибольшая сила F , а площади во всех ослабленных сечениях одинаковы, т.е. , где А = 23,4 см 2 площадь поперечного сечения одного швеллера №20 (ГОСТ 8240-89).

Следовательно, прочность швеллеров обеспечена.

Пример № 10

Зубчатое колесо А соединено с валом В призматической шпонкой (рис. 10). С зубчатого колеса передается на вал диаметром d =40 мм момент М = 200 Нм . Определить длину ℓ призматической шпонки, учитывая, что допускаемые напряжения материала шпонки равны: на срез [τ ср ] = 80 МПа, а на смятие [σ см ] = 140 МПа (размеры на рис. указаны в мм ).

Рис.10

Решение.

Определяем усилие F , действующее на шпонку со стороны соединяемых деталей. Момент, передаваемый на вал равен , где d – диаметр вала. Откуда . Предполагается, что усилие F равномерно распределено по площади шпонки , где ℓ - длина шпонки, h – ее высота.

Длина шпонки, необходимая для обеспечения ее прочности, может быть найдена из условия прочности на срез

и условия прочности на смятие

Находим длину шпонки из условия прочности на срез, так как срез происходит по площади А ср = в·ℓ , то ;

Из условия прочности (2) на смятие, имеем:

Для обеспечения прочности соединения длину шпонки необходимо принять равной большему значению из двух полученных, т.е. ℓ= 18 мм.

Пример № 11

Вильчатый кривошип укреплен на валу с помощью цилиндрического штифта (рис.11) и нагружен силой F =2,5 кН. Проверить прочность штифтового соединения на срез и смятие, если [τ ср ] = 60 МПа и[σ см ] = 100 МПа .

Рис.11

Решение.

Сначала следует определить величину силы F 1 , передаваемую на штифт от силы F , приложенной к кривошипу. Очевидно, что М= F ∙ h равен моменту .

проверим прочность штифта на срез под действием силы F 1 . В продольном сечении штифта возникает касательное напряжение среза, величина которого определяется по формуле , где А ср = d ∙ ℓ

Цилиндрическая поверхность штифта под действием силы F 1 подвергается смятию. Поверхность контакта, через которую передается сила F 1, представляет собой четвертую часть поверхности полуцилиндра, так как за уловную площадь смятия принимается площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. d ℓ , то А см = 0,5∙ d ∙ ℓ.

Итак, прочность штифтового соединения обеспечена.

Пример № 12

Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения двух листов двумя накладками (см. рис.12). Материалом для листов и заклепок служит дюралюминий, для которого R bs = 110 МПа, R b р = 310 МПа. Сила F = 35 кН, коэффициент условий работы соединения γ b = 0,9; толщина листов и накладок t = 2 мм.

Рис.12

Решение.

Используя формулы

рассчитываем потребное количество заклепок:

из условия прочности на срез

из условия прочности на смятие

Из полученных результатов видно, что в данном случае решающим явилось условие прочности на смятие. Таким образом, следует взять 16 заклепок.

Пример № 13

Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (см. рис.13) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжениеR bt = 200 МПа, на срезR bs = 160 МПа, на смятие R b р = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения γ b = 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки .

Рис.13

Решение.

Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сеченияA nec из условия прочности на растяжение

Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения A nec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15∙ 20 = 23 см 2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75× 75× 8 мм.

Производим расчет на срез. Пользуясь формулой , найдем необходимое число болтов

Остановившись на этом числе болтов, определим толщину δ узловой фасонки , используя условие прочности на смятие

Указания

1. Привязка линии размещения болтов (заклепок) в один ряд находится из условия:m = b / 2 + 5 мм.

В нашем примере (рис. 13)

m = 75/2 + 5 = 42,5 мм.

2. Минимальное расстояние между центрами соседних болтов принимают равным l = 3d . В рассматриваемой задаче имеем

l = 3∙ 20 = 60 мм.

3. Расстояние от крайних болтов до границы соединения l / принимается равным 0,7l . В нашем примере l / = 0,7l = 0,7∙ 60 = 42 мм.

4. При выполнении условия b ≥12 см болты (заклепки) размещают в две линии в шахматном порядке (рис. 14).

Рис.14

Пример № 14

Определить необходимое количество заклепок диаметром 20 мм для соединения внахлестку двух листов толщиной 8 мм и 10 мм (рис.15). Сила F , растягивающая соединение, равна 200 кН. Допускаемые напряжения: на срез [τ ] = 140 МПа, на смятие [σ c ] = 320 МПа.

В инженерной практике на сдвиг рассчитываются крепежные детали и соединительные элементы частей машин и строительных конструкций: заклепки, болты, шпонки, сварные швы, врубки и т. д. Эти детали или не являются стержнями вообще, или длинна их имеет тот же порядок, что и поперечные размеры. Точное теоретическое решение подобных расчетных задач весьма сложно и поэтому прибегают к условным (приближенным) приёмам расчета. При такого рода расчетах исходят из крайне упрощенных схем, определяют условные напряжения по простым формулам и сравнивают их с допускаемыми напряжениями, найденными из опыта. Обычно такие условные расчеты производятся в трех направлениях: на срез (сдвиг), на смятие в местах соприкосновения частей соединения и на разрыв по сечению, ослабленному отверстиями или врезками. 24 Напряжения при рассмотрении каждой расчетной схемы условно принимаются равномерно распределенными по опасному сечению. Вследствие большого числа условностей, лежащих в основе расчета болтовых, заклепочных соединений, сварных швов и других подобных им сопряжений элементов конструкции, практика выработала ряд рекомендаций, которые сообщаются в специальных курсах деталей машин, строительных конструкций и т. д. Ниже приводятся только некоторые типичные примеры условных расчетов. Расчет болтовых и заклепочных соединений Болтовые, заклепочные соединения (рис. 1.21) рассчитываются на срез (сдвиг) и смятие стержня болта или заклепки. Кроме того, производится проверка соединяемых элементов на разрыв по ослабленному сечению. Рис. 1.22 Болтовые, заклепочные соединения (рис.1.22) рассчитываются на срез (сдвиг) и смятие стержня болта или заклепки. Кроме того, производится проверка соединяемых элементов на разрыв по ослабленному сечению. а) рсчет по допускаемым напряжениям Расчет на срез Условие прочности на срез для стержня заклепки или болта (1.42) где Р – сила действующая в соединении; d – диаметр стержня болта или заклепки; m – число срезов, т.е. плоскостей, по которым может произойти срез стержня; - допускаемое касательное напряжение. Из условия прочности можно определить число срезов Число заклепок n определяется по числу срезов: при односрезных заклепках n = m, при двухсрезных – . Расчет на смятие Смятие происходит на поверхности контакта листа со стержнем заклепки или болта. Напряжения смятия распределены по этой поверхности неравномерно (рис. 1.22, а). В расчет вводится условное напряжение, равномерно распределенное по площади диаметрального сечения (рис. 1.23, б). Это условное напряжение по своей величине близко к действительному наибольшему напряжению смятия на поверхности контакта. Условие прочности при этом записывается так: Необходимое число заклепок из расчета на смятие (1.45) здесь - толщина листа; с м – допускаемое напряжение на смятие. Проверка листа на разрыв Условие прочности на разрыв листа в сечении, ослабленном заклепочными отверстиями, (1.46) где b – ширина листа; n1 – число заклепок в том шве, по которому возможен разрыв. Проверка на срез листа В некоторых соединениях, кроме перечисленных проверок, приходится производить проверку на срез (вырез) заклепкой части листа между его кромкой (торцом) и заклепкой (рис. 1.24). Каждая заклепка производит срез по двум плоскостям. За длину плоскости среза условно принимают расстояние от торцового края листа до ближайшей точки контура отверстия, т. е. величину. Условие прочности в этом случае (1.48) где Р1 – сила, приходящаяся на одну заклепку; с – расстояние от торца листа до центра заклепки. Значения допускаемых напряжений для сталей марок Ст. 2 и Ст. 3 в заклепочных соединениях ориентировочно могут быть приняты следующие (МПа): Основные элементы Заклепки в рассверленных отверстиях Заклепки в продавленных отверстиях Для стальных болтов, штифтов и им подобных элементов машиностроительных конструкций при статической нагрузке допускаемые напряжения принимаются в зависимости от качества материала: (0,520,04) Т,где Т – предел текучести материала болта; =100 - 120 МПа для стали 15, 20, 25, Ст. 3, Ст. 4; с =140 - 165 МПа для стали 35, 40, 45, 50, Ст. 5, Ст. 6; с =(0,4 - 0,5)  ПЧ для чугунного литья. При расчете на смятие соприкасающихся деталей из разных материалов расчет ведется по допускаемому напряжению для менее прочного материала. б) расчет по предельным состояниям Заклепочные соединения рассчитывают по первому предельному состоянию – по несущей способности на срез и смятие. На срез рассчитывают по условию (1.48) где N – расчетное усилие в соединении; n – число заклепок; nср – число плоскостей среза одной заклепки; d – диаметр заклепки; Rср – расчетное сопротивление заклепок срезу. На смятие рассчитывают по условию (1.49) где Rcм – расчетное сопротивление смятию соединяемых элементов; – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Расчетные сопротивления, принятые при расчете по предельным состояниям (МПа). Основные элементы ищюавызерСе R130 еыньламроН R210 cр Заклепки в рассверленных отверстиях Заклепки в продавленных отверстиях При проектировании заклепочных соединений диаметром заклепок обычно задаются, принимая его в зависимости от толщины склепываемых элементов и с округлением по ГОСТу: . Наиболее часто применяются следующие диаметры: 14, 17, 20, 23, 26, 29 мм. Рекомендации по размещению заклепок и конструированию заклепочных и болтовых соединений даются в специальных курсах. 1.12. Расчет деревянных врубок Расчет деревянных врубок производится на скалывание и смятие. Допускаемые напряжения или расчетные сопротивления устанавливаются в зависимости от направления действующих сил по отношению к волокнам деревянных элементов. Значения допускаемых напряжений и расчетных сопротивлений для воздушно - сухой (влажность 15%) сосны и ели приведены в прил. 5. В случае применения других древесных пород значения напряжения, приведенных в таблице, умножаются на поправочные коэффициенты. Величина этих коэффициентов для древесины дуба, ясеня, граба: При изгибе, растяжении, сжатии и смятии вдоль волокон 1,3 При сжатии и смятии поперек волокон 2,0 При скалывании 1,6 При смятии под углом к направлению волокон допускаемое напряжение определяется по формуле (1.50) где [см ] – допускаемое напряжение смятия вдоль волокон; мс 90 – то же перпендикулярно волокнам. По аналогичной формуле определяется допускаемое напряжение, если площадка скалывания расположена под углом к направлению волокон. – допускаемое напряжение складыванию вдоль волокон; 90 – то же поперек волокон. Таким же образом вычисляются расчетные сопротивления при расчете по предельным состояниям. При расчете по предельным состояниям лобовых врубок и некоторых других соединений следует учитывать неравномерность распределения касательных напряжениях по площадке скалывания. Это достигается введением вместо основного (максимального) расчетного сопротивления (Rск = 24 кГ/см2) среднего сопротивления скалыванию. (1.54) где lск – длина площадки скалывания; е – плечо сил скалывания, измеряемое перпендикулярно площадке скалывания; – коэффициент, зависящий от характера скалывания. При одностороннем скалывании (в растянутых элементах), имеющем место в лобовых врубках, = 0,25. 1.13 Теория прочности Теории прочности стремятся установить критерий прочности для материала, находящегося в сложном напряженном состоянии (объемном или плоском). При этом исследуемое напряженное состояние рассчитываемой детали (с главными напряжениями в опасной точке σ1, σ2, и σ3) сравнивается с линейным напряженным состоянием – растяжением или сжатием. За предельное состояние пластичных материалов (материалов, находящихся в пластичном состоянии) принимается такое состояние, при котором начинают появляться заметные остаточные (пластические) деформации. Для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, предельным состоянием считается такое, при котором материал находится на границе появления первых трещин, т. е. на границе нарушения целостности материала. Условие прочности при объёмном напряженном состоянии может быть записано следующим образом: где - эквивалентное (или расчётное) напряжение; ПРЕД - предельное напряжение для данного материала при линейном напряжённом состоянии; - допускаемое напряжение в том же случае; - фактический коэффициент запаса прочности; - требуемый (заданный) коэффициент запаса; Коэффициентом запаса (n) при данном напряжённом состоянии называется число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряжённого состояния, чтобы оно стало предельным. Эквивалентное напряжение ЭКВ представляет собою растягивающее напряжение при линейном (одноосным) напряжённом состоянием, равноопасном с заданным объемным или плоским напряженным состоянием. Формулы для эквивалентного напряжения, выражающие его через главные напряжения σ1, σ2, σ3, устанавливаются теориями прочности в зависимости от принятой каждой теорией гипотезы прочности. Теорий прочности или гипотез предельных напряженных состояний существует несколько. Первая теория, или теория наибольших нормальных напряжений, основана на предположении, что опасное состояние материала при объёмном или плоском напряжённом состоянии наступает тогда, когда их наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает величины, соответствующей опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Эквивалентное напряжение по этой теории (1.57) Условие прочности при одинаковых значениях допускаемых напряжений на растяжение и сжатие (пластичные материалы) имеет вид: При разных значениях допускаемых напряжений на растяжение и сжатие условие прочности записывается так: (1.59) В случае, когда, т. е. все главные напряжения растягивающие, применяется первая из формул (1.59). 31 В случае, когда, т. е. все главные напряжения сжимающие, применяется вторая из формул (1.59). В случае смешанного напряженного состояния, когда, применяются одновременно обе формулы (1.59). Первая теория совершенно непригодна для пластичных материалов, а также в тех случаях, когда все три главные напряжения однозначны и близки друг к другу по величине. Удовлетворительное совпадение с опытными данными получается только для хрупких материалов в том случае, когда одно из главных напряжений по абсолютной величине значительно больше других. В настоящее время эта теория не применяется в практических расчетах. Вторая теория, или теория наибольших линейных деформаций, основана на предложении, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. За эквивалентное (расчетное) напряжение принимается наибольшее из следующих величин: Условие прочности при имеет вид: В случае разных значений допускаемых напряжений на растяжение и сжатие условия прочности можно представить так: (1.62) Причем первая из формул применяется при положительных (растягивающих) главных напряжениях, вторая – при отрицательных (сжимающих) главных напряжениях. В случае смешанного напряженного состояния используют обе формулы (1.62). Вторая теория не подтверждается опытами для пластичных или находящихся в пластичном состоянии материалов. Удовлетворительные результаты получаются для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, особенно в тех случаях, когда все главные напряжения отрицательны. В настоящее время вторая теория прочности в практических расчётах почти не применяется. 32 Третья теория, или теория наибольших касательных напряжений, предполагает, что появление опасного состояния обусловлено наибольшими касательными напряжениями. Эквивалентное напряжение и условие прочности можно записать следующим образом: С учетом главных напряжений, определяемых по формуле (1.12), после преобразований получим: (1.64) где и соответственно нормальные и касательные напряжения в точке рассмотрения напряжённого состояния. Эта теория дает вполне удовлетворительные результаты для пластичных материалов, одинаково хорошо сопротивляющихся растяжению и сжатию, особенно в тех случаях, когда главные напряжения 3 разных знаков. Основным недостатком этой теории является то, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения 2 , которое, как установлено опытами, оказывает некоторое влияние на прочность материала. Вообще, третью теорию прочности можно рассматривать как условие наступления пластических деформаций. При этом условие текучести записывается следующим образом: Четвёртая теория, или энергетическая теория, основана на предположении, что причиной возникновения опасной пластической деформации (текучести) является энергия формоизменения. В соответствии с этой теорией предполагают, что опасное состояние при сложной деформации наступает тогда, когда его удельная энергия достигнет значений опасных при простом растяжении (сжатии). Расчетное (эквивалентное) напряжение по этой теории может быть записано в двух вариантах: (1.66) В случае плоского напряжённого состояния (возникает в балках при изгибе с кручением и т.д.) с учетом главных напряжений 1, 2(3) . Условие прочности можно составить в виде 33 Опыты хорошо подтверждают результаты, получаемые по этой теории, для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и она может быть рекомендована для практического применения. Такое же значение расчетного напряжения, как в формулах (1.66), можно получить, приняв в качестве критерия прочности октаэдрическое касательное напряжение. Теория октаэдрических касательных напряжений предполагает, что появление текучести при любом виде напряженного состояния наступает при достижении октаэдрическим касательным напряжением определенной величины, постоянной для данного материала. Теория предельных состояний (теория Мора) исходит из предположения, что прочность в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего 1 и наименьшего 3 главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение 2 лишь незначительно влияет на прочность. Опыты показали, что погрешность, вызванная пренебрежением 2 , в худшем случае не превышает 12 – 15 %, а обычно бывает меньше. Если не принимать во внимание, любое напряжённое состояние можно изобразить при помощи круга напряжений, построенного на разности главных напряжений. Причем, если достигают величин, соответствующих предельному напряжённому состоянию, при котором происходит нарушение прочности, то круг Мора является предельным. На рис. 1.25 показаны два предельных круга. Круг 1 с диаметром ОА, равным пределу прочности при растяжении, соответствует простому растяжению. Круг 2 соответствует простому сжатию и построен на диаметре ОВ, равным пределу прочности при сжатии. Промежуточным предельным напряженным состояниям будет соответствовать ряд промежуточных предельных кругов. Огибающая семейства предельных кругов (показана на рисунке пунктиром) ограничивает область прочности. Рис. 1.25 34 При наличии предельной огибающей оценка прочности материала при заданном напряженном состоянии производится путем построения круга напряжений по заданным величинам 3. Прочность будет обеспечена, если этот круг будет целиком помещаться внутри огибающей. Для получения расчетной формулы огибающую кривую между основными кругами 1 и 2 заменяют прямой линией (CD). В случае промежуточного круга 3 с главными напряжениями 3, касающегося прямой CD, из рассмотрения чертежа можно получить следующее условие прочности: На этом основании эквивалентное (расчётное) напряжение и условие прочности по теории Мора можно записать следующим образом: – для пластичных материалов; – для хрупких материалов; или – для любого материала. Здесь – пределы текучести соответственно при растяжении и сжатии; ПЧР – пределы прочности при растяжении и сжатии; – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. При материале, одинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию, т. е. при условие прочности по теории Мора совпадает с условием прочности по 3 теории. Поэтому теорию Мора можно рассматривать как обобщение 3 теории прочности. Теория Мора довольно широко применяется в расчетной практике. Наиболее хорошие результаты получаются при смешанных напряженных состояниях, когда круг Мора располагается между предельными кругами растяжения и сжатия (при Заслуживает внимание обобщение энергетической теории прочности, предложенное П.П. Баландиным с целью применения этой теории к оценке прочности материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию. Эквивалентное напряжение по предложению П.П. Баландина определяется по формуле эквивалентное напряжение, найденное по этой формуле, совпадает с эквивалентным напряжением по 4 (энергетической) теории прочности. В настоящее время опытных данных недостаточно для объективной оценки этого предложения. Н.Н. Давиденковым и Я.Б. Фридманом предложена новая "объединённая теория прочности”, обобщающая современные воззрения на прочность при хрупком и пластичном состояниях материала. В соответствии с этой теорией состояние, в котором находится материал, а следовательно, и характер вероятного разрушения определяется отношением материал находится в хрупком состоянии, разрушение происходит путем отрыва и расчет на прочность надо вести по теории наибольших линейных деформаций. Если же материал находится в пластичном состоянии, разрушение произойдёт путем среза, и расчет на прочность надо вести по теории наибольших касательных напряжений. Здесь р – сопротивление отрыву; р – сопротивление срезу. При отсутствии опытных данных об этих величинах можно отношение приближенно заменить отношением где – допускаемое напряжение на срез; – допускаемое напряжение на растяжение. 1.14. Примеры расчетов Пример 1.1 Стальная полоса (рис. 4.26.) имеет косой сварной шов под углом β = 60є к продольной оси. Проверить прочность полосы, если сила Р = 315кН, допускаемое нормальное напряжение материала, из которого она изготовлена [σ] = 160 МПа, 36 допускаемое нормальное напряжение сварного шва [σэ] =120 МПа, а касательного - [τ] = 70 МПа, размеры поперечного сечения В = 2 см, Н = 10 см. Рис 1.26 Решение 1. Определяем нормальные напряжения в поперечном сечении полосы Сопоставляем найденное напряжение σmax с допускаемым [σ] = 160 МПа, видим, что условие прочности выполняется, т.е. σmax < [σ]. Процент расхождения составляет 2. Находим напряжение, действующее по наклонному сечению (сварному шву) и выполняем проверку прочности. Используем метод РОЗУ (сечения). Рассечем полосу по шву (рис. 4.27) и рассмотрим левую ее часть. В сечении возникают два вида напряжения: нормальное σα и касательное τα, которые будем считать распределенными равномерно по сечению. Рассматриваем равновесие отсеченной части, составляем уравнение равновесия в виде сумм проекций всех сил на нормаль nα и ось t. С учётом площади наклонного сечения Аα = А/cosα получим cos2 ; Таким образом нормальное напряжение в сварном шве также меньше [σэ] = =120 МПа. 37 3. Определяем экстремальные (max, min) касательные напряжения τmax(min) в полосе. Вырежем из полосы в окрестности любой точки, например К, бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда (рис 1.28). На гранях его действуют только нормальные напряжения σmax=σ1 (материал испытывает линейное напряжённое состояние, т. к. σ2 = σ3 = 0). Из формулы (1.5) следует, что при α0 = 45є: Сопоставляя найденные напряжения с допустимыми, видим, что условие прочности выполняется. Пример 1.2 Под действием приложенных сил в детали, элемент, вырезанный из нее испытывает плоское напряженное состояние. Требуется определить величину и направление главных напряжений и экспериментальные касательные напряжения, а также относительные деформации в направлениях диагонали АС, удельное изменение объема и потенциальную энергию деформации. Напряжения действующие на гранях элемента известны: Решение 1. Определяем положение главных площадок. Угол положительный. Это говорит о том, что нормаль к главной площадке должна быть проведена под углом α0 положительным от направления σх против часовой стрелки. 2. Вычисляем величину главных напряжений. Для нашего случая имеем Так как σх, то под углом α0 к направлению σх действуют σmin= σ3 и под углом α0 + 90˚ действуют σmax = σ1. (Если σх > σу, то под углом α0 к направлению σх действуют σmax= σ1 и под углом α0 + 90˚ действуют σmin = σ3). Проверка: а) для этого определяем значение главных напряжений по формуле Видим, что под углом α0 действует напряжение σmin ≈ σα; б) проверка по касательным напряжениям на главных площадках Если угол α0 найден правильно Левая часть равна правой. Таким образом, проверка показывает, что напряжения к главной площадке определены правильно. 3. Определяем экстремальные значения касательных напряжений. Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом 45є к главным площадкам. При этой зависимости для определения экстремальных значений τ имеет вид 4. Определяем относительные деформации в направлениях, параллельным рёбрам. Для этого воспользуемся законом Гука: т. к. элемент испытывает плоское напряжённое состояние, т. е. σz = 0. То эти зависимости имеют вид: С учетом значений имеем: 5. Определяем удельное изменение объема 6. Абсолютное изменение объема 7. Определяем удельную потенциальную энергию деформации. т. к. σ2 = 0 получим 8. Определяем абсолютное удлинение (укорочение) ребер элементов: а) в направлении, параллельном оси у, происходит удлинение ребер ВС, АД. б) в направлении, параллельном оси х, укорочение ребер ВА, СД. Используя эти значения, можно определить удлинение диагонали АС и ВД на основании теоремы Пифагора. Пример 1.3 Стальной кубик со стороной 10 см, вставленный без зазоров между двумя жесткими стенками и опирающийся на неподвижное основание, сжимается нагрузкой q = 60 кН/м (рис. 1.30). Требуется вычислить: 1) напряжения и деформации по трём направлениям; 2) изменение объема кубика; 3) потенциальную энергию деформации; 4) нормальное и касательное напряжения на площадке, наклоненной под углом 45є к стенкам. Решение 1. Напряжение на верхней грани задано: σz=-60 МПа. Напряжение на свободной грани σу=0. Напряжение на боковых гранях σх можно найти из условия равенства нулю деформации кубика в направлении оси х из-за неподатливости стенок: откуда при σу = 0 σх- μσz = 0, следовательно, σх = μσz = -0,3 ּ60 = -18 МПа. 43 Рис. 1.30 Грани кубика являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напряжения. Главные напряжения равны σ1 = σу = 0; σ2 = σx = -18МПа; σ3 = σz = -60 МПа; 2. Определим деформации ребер кубика. Относительные линейные деформации Абсолютная деформация (укорочение) Относительная деформация в направлении оси У Абсолютная деформация (удлинение) Относительное изменение объёма кубика Абсолютное изменение объёма (уменьшение) 3. Потенциальная энергия деформации (удельная) равна Полная энергия равна 4. Нормальное и касательное напряжение на площадке, наклоненной к стенкам под углом 45є: Направление σα, τα показано на рис. 2.30. Пример 1.4 Цилиндрический тонкостенный стальной резервуар заполнен водой на уровне Н = 10 м. На расстоянии Н/3 от дна в точке К установлены под углом = 30, взаимно перпендикулярно, два тензометра А и В (Рис. 1.31) с базой S = 20 мм и ценой деления К= 0,0005 мм/дел. Определить главные напряжения в точке К, а также напряжение в направлении тензометров и их показания. Дано: Диаметр резервуара D=200см, толщина стенки t = 0,4 см, коэффициент поперечной деформации стали = 0,25, плотность жидкости γ = 10 кН/м3. Весом резервуара пренебречь. Решение. 1. Определяем главные напряжения в точке К. а. Рассмотрим равновесие нижней отсеченной части резервуара (рис. 1.32). 45 Рис. 1.31 Рис. 1.32 Составляем уравнение равновесия суммы проекций всех сил на ось у: – вес водяного столба. Отсюда находим нормальное напряжение (меридиональное) y в поперечном сечении резервуара. Определяем нормальные напряжения (окружные напряжения) в направлении оси х – x. Для этого рассмотрим равновесие полукольца шириной, равной единицы длины, вырезанного на уровне точки К (рис. 1.33). Элементарная сила dP, приходящая на элементарную площадку угла d, определяем по формуле – давление жидкости в точке К. Составляем уравнение равновесия полукольца на ось х: Отсюда получаем В соответствии с обозначением главных напряжений, сравнивая и y, имеем Главное напряжение Оно мало по сравнению с 2 и им можно пренебречь. Для выделенного в окрестности точки К бесконечно малого элемента, (abcd), главные напряжения представлены на (рис. 1.34). Определяем нормальные напряжения в направлении установки тензометров. Выполняем проверку правильности найденных напряжений. Должно выполнятся условие: Расхождение незначительно, связано с округлением при расчетах. Определяем относительные деформации в направлении установки тензометров. Используем обобщенный закон Гука. (31,390160,5261,90016)0,594014 002019 Устанавливаем показания тензометров. Используем формулы для определения относительных деформаций по показаниям тензометров: n - показания тензометра; i S - база тензометра; i К - цена деления. Отсюда имеем показания тензометров: Пример 1.5 Рассчитать врубку стропильной ноги в затяжку, определив глубину врубки hВР и длину выступающей части затяжки l (рис. 1.35). Размеры поперечных сечений ноги и затяжки показаны на чертеже. Угол. Расчетное усилие в ноге, найденное с учетом коэффициентов перегрузки, равно NР 83 кН. Решение. Расчет ведем по предельному состоянию. Определяем глубину врубки hВР из расчета на смятие. Расчет ведем для площадки затяжки, так как нормаль к этой площадке составляет угол = 30 и расчетное сопротивление для нее меньше, чем для ноги, ибо площадка смятия ноги перпендикулярна волокнам. Величина площадки смятия: откуда глубина врубки Расчетное сопротивление смятию найдем по формуле (1.52) Глубина врубки Длину выступающей части затяжки lCК определяем из расчета на скалывание. Площадь скалывания Величину среднего расчетного сопротивления скалыванию найдем по формуле (1.54): В данном случае плечо е равно 11 cм. По нормам проектирования длина площадки скалывания не должна быть менее 3е или 1,5h. Поэтому принимаем ориентировочно Необходимая длина площадки скалывания 0,33 м, т. е. соответствует ранее намеченной величине.