Решение иррациональных уравнений. Как решать иррациональные уравнения. Примеры

Изучая алгебру, школьники сталкиваются с уравнениями многих видов. Среди тех из них, которые наиболее простые, можно назвать линейные, содержащие одну неизвестную. Если переменная в математическом выражении возводится в определенную степень, то уравнение называют квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Указанные выражения могут содержать рациональные числа. Но существуют также уравнения иррациональные. От прочих они отличаются наличием функции, где неизвестное находится под знаком радикала (то есть чисто внешне переменную здесь можно увидеть написанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их следует обязательно учитывать.

«Невыразимые словами»

Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К таковым относятся, как известно, целые, выражаемые через обыкновенные и десятичные периодические дроби представители данного сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, иррациональные уравнения тоже учились решать. К примеру, греки знали подобные величины, но, облекая их в словесную форму, употребляли понятие «алогос», что означало «невыразимые». Несколько позднее европейцы, подражая им, называли подобные числа «глухими». От всех остальных они отличаются тем, что могут быть представлены только в форме бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще подобные представители царства чисел записываются в виде цифр и знаков как некоторое выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.

На основании вышесказанного попробуем дать определение иррациональному уравнению. Подобные выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Они могут представлять собой всевозможные довольно сложные варианты, но в своей наипростейшей форме имеют такой вид, как на фото ниже.

Преступая к решению иррациональных уравнений, перво-наперво необходимо вычислить область допустимых значений переменной.

Имеет ли смысл выражение?

Необходимость проверки полученных значений вытекает из свойств Как известно, подобное выражение приемлемо и имеет какой-либо смысл лишь при определенных условиях. В случаях корня четной степени все подкоренные выражения должны быть положительными или равняться нулю. Если данное условие не выполняется, то представленная математическая запись не может считаться осмысленной.

Приведем конкретный пример, как решать иррациональные уравнения (на фото ниже).

В данном случае очевидно, что указанные условия ни при каких значениях, принимаемых искомой величиной, выполняться не могут, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. А значит, решением может являться только Ø.

Метод анализа

Из вышеописанного становится понятно, как решать иррациональные уравнение некоторых типов. Здесь действенным способом может оказаться простой анализ.

Приведем ряд примеров, которые снова наглядно это продемонстрируют (на фото ниже).

В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу оказывается предельно ясно, что истинным оно быть не может. Действительно, ведь в левой части равенства должно получаться положительное число, которое никак не способно оказаться равным -1.

Во втором случае сумма двух положительных выражений может считаться равной нулю, лишь только когда х - 3 = 0 и х + 3 = 0 одновременно. А подобное опять невозможно. И значит, в ответе снова следует писать Ø.

Третий пример очень похож на уже рассмотренный ранее. Действительно, ведь здесь условия ОДЗ требуют, чтобы выполнялось следующее абсурдное неравенство: 5 ≤ х ≤ 2. А подобное уравнение аналогичным образом никак не может иметь здравых решений.

Неограниченное приближение

Природа иррационального наиболее ясно и полно может быть объяснена и познана только через нескончаемый ряд чисел десятичной дроби. А конкретным, ярким примером из членов этого семейства является πи. Не без оснований предполагается, что эта математическая константа была известна с древних времен, используясь при вычислении длин окружности и площади круга. Но среди европейцев ее впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.

Возникает эта константа следующим образом. Если сравнивать самые разные по длине окружности, то отношение их длин и диаметров в обязательном порядке равны одному и тому же числу. Это и есть πи. Если выразить его через обыкновенную дробь, то приблизительно получим 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого представлен на рисунке выше. Именно поэтому подобное число получило его имя. Но это не явное, а приближенное значение едва ли не самого удивительного из чисел. Гениальный ученый с точностью до 0,02 нашел искомую величину, но, по сути, данная константа не имеет реального значения, а выражается как 3,1415926535… Она представляет собой бесконечный ряд цифр, неограниченно приближаясь к некоему мифическому значению.

Возведение в квадрат

Но вернемся к иррациональным уравнениям. Чтобы отыскать неизвестное, в данном случае очень часто прибегают к простому методу: возводят обе части имеющегося равенства в квадрат. Подобный способ обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных величин. Все полученные в результате этого корни необходимо проверять, ведь они могут не подойти.

Но продолжим рассмотрение примеров и постараемся найти переменные вновь предложенным способом.

Совсем несложно, применив теорему Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных оперций у нас образовалось квадратное уравнение. Здесь получается, что среди корней будут 2 и -19. Однако при проверке, подставив полученные значение в изначальное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это частое явление в иррациональных уравнениях. Значит, наша дилемма вновь не имеет решений, а в ответе следует указать пустое множество.

Примеры посложней

В некоторых случаях требуется возводить в квадрат обе части выражения не один, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется указанное. Их можно увидеть ниже.

Получив корни, не забываем их проверять, ведь могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему такое возможно. При применении подобного метода происходит в некотором роде рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, которые мешают производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующую область значений, что чревато (как можно понять) последствиями. Предвидя подобное, мы и производим проверку. В данном случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: х = 0.

Системы

Что же делать в случаях, когда требуется осуществить решение систем иррациональных уравнений, и у нас в наличии не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как в обычных случаях, но с учетом вышеперечисленных свойств данных математических выражений. И в каждой новой задаче, разумеется, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше рассмотреть все на конкретном примере, представленном ниже. Здесь не просто требуется найти переменные х и у, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).

Как можно убедиться, подобная задача не представляет ничего сверхъестественно сложного. Требуется лишь проявить сообразительность и догадаться, что левая часть первого уравнения представляет собой квадрат суммы. Подобные задания встречаются в ЕГЭ.

Иррациональное в математике

Каждый раз потребность в создании новых видов чисел возникала у человечества тогда, когда ему не хватало «простора» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые великие мудрецы обратили на это внимание еще до нашей эры, веке в VII. Сделал это математик из Индии, известный под именем Манава. Он отчетливо понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. К примеру, к таковым относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.

Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к тому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Открыв математические элементы, которые не могут быть выражены цифровыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он настолько разозлил своих коллег, что был выброшен за борт корабля, в море. Дело в том, что другие пифагорейцы сочли его рассуждения бунтом против законов вселенной.

Знак радикала: эволюция

Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые о радикале начали задумываться европейские, в частности итальянские, математики приблизительно в XIII веке. Тогда же для обозначения придумали задействовать латинскую R. Но немецкие математики в своих работах поступали иначе. Им больше понравилась буква V. В германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), что призвано было выражать корень квадратный из 2, 3 и так далее. Позднее в дело вмешались нидерландцы и видоизменили знак радикала. А завершил эволюцию Рене Декарт, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.

Избавление от иррационального

Иррациональные уравнения и неравенства могут включать в себя переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самым распространенным способом от него избавиться является возможность возвести обе части равенства в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особенно не отличаются от тех, которые были уже разобраны нами ранее. Здесь должны быть учтены условия неотрицательности подкоренного выражения, а также по окончании решения необходимо производить отсев посторонних значений переменных таким образом, как было показано в рассмотренных уже примерах.

Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используется умножение выражения на сопряженное, а также нередко требуется введение новой переменной, что облегчает решение. В некоторых случаях, чтобы отыскать значение неизвестных, целесообразно применять графики.

Конспект урока

«Методы решения иррациональных уравнений»

11 класс физико-математического профиля.

Зеленодольского муниципального района РТ»

Валиева С.З.

Тема урока: Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока: 1.Изучить различные способы решения иррациональных уравнений.

1. 
   Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.
2. 
   Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи

Тип урока: семинар.
План урока:

1. 
   Организационный момент
2. 
   Изучение нового материала
3. 
   Закрепление
4. 
   Домашнее задание
5. 
   Итог урока

Ход урока
I . Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. При этом мы получаем уравнение-следствие, что приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней. Также рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня. В этом случае проверку можно не делать. Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с которыми мы сегодня и познакомимся. Предварительно класс был разделен на 8 творческих групп, и им было дано на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода. Слово даем им.

Из каждой группы 1 ученик объясняет ребятам способ решения иррациональных уравнений. Весь класс слушают и конспектируют их рассказ.

1 способ. Введение новой переменной.

Решить уравнение: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 – 2х – 6 = t 2 ;

4t 2 – 3t – 27 = 0

х 2 – 2х – 15 =0

х 2 – 2х – 6 =9;

Ответ: -3; 5.

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение

ОДЗ:


х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

+
(умножим обе части на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)

2=4, отсюда х=1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Решить уравнение

Пусть = u,
=v.

Получим систему:

Решим методом подстановки. Получим u = 2, v = 2. Значит,

получим х = 1.

Ответ: х = 1.

5 способ. Выделение полного квадрата.

Решить уравнение

Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

6 способ. Метод оценки

Решить уравнение

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

получим
т.е. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Решив уравнение разложением на множители, получим х = 2, х = -2

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение . Функции строго возрастают. Сумма возрастающих функций есть возрастающая и данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 1.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение . ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор
. Скалярное произведение векторов - есть левая часть. Найдем произведение их длин . Это есть правая часть. Получили
, т.е. векторы а и в – коллинеарны. Отсюда
. Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и х =
.

1. 
   Закрепление. (каждому ученику раздаются листы с заданиями)

Найти идею решения уравнений (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(замена)

4. (выделение полного квадрата)

5.
(Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)

6.
(умножением на сопряженное выражение)

7.
т.к.
. То данное уравнение не имеет корней.

8. Т.к. каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.

Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

решить уравнения под номерами 11,13,17,19

12. (х + 6) 2 -

14.

1. 
   Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?
2. 
   Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

1. 
   Домашнее задание: Решить оставшиеся уравнения.

1. 
   Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. М: Прсвещение, 2009

1. 
   Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.
3. 
   Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2004
4. 
   КИМы ЕГЭ 2002 – 2010 г. г

Как уже известно (глава II, § 2), уравнение

называется иррациональным, если есть иррациональная функция от неизвестных.

При решении иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел допустимыми системами значений неизвестных считают те и только те системы действительных значений, при которых значения подкоренных выражений всех корней четной степени неотрицательны; под значениями корней четной степени подразумевают их арифметические значения, а под значениями корней нечетной степени - действительные значения этих корней. Рассмотрим алгебраические способы решения иррациональных уравнений.

1. Освобождение иррационального уравнения от радикалов путем возведения обеих его частей в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом, как правило, выделяют последовательно по одному радикалу (т. е. оставляют в одной части выбранный радикал, а все другие члены уравнения переносят в другую его часть) и затем обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю выделенного радикала. Выделяют каждый раз обычно наиболее сложный радикал. Так продолжают до тех пор, пока совсем не освободятся от радикалов. В результате этого получают алгебраическое уравнение, которое является следствием заданного иррационального. Затем решают полученное алгебраическое уравнение.

В некоторых случаях (см. ниже пример 4), для того, чтобы быстрее освободиться от радикалов, целесообразно отделить не один, а сразу два радикала.

При решении иррациональных уравнений этим способом область определения уравнения может расшириться, так как при некоторых системах значений неизвестных

некоторые радикалы, входящие в заданное уравнение, могут в поле действительных чисел не иметь смысла, но эти системы значений неизвестных могут быть допустимыми для полученного алгебраического уравнения. Расширение же области определения уравнения, как известно, может привести к появлению посторонних решений, которые не будут принадлежать области определения заданного уравнения (см. пример 2, ниже).

Кроме того, возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести также к появлению посторонних решений, которые принадлежат области определения заданного уравнения. Появление этих посторонних решений будет вызываться не расширением области определения данного уравнения, а причинами иного характера (см. пример 3, ниже).

Поэтому, найдя решения алгебраического уравнения, полученного из заданного иррационального уравнения, обязательно надо путем подстановки каждого из них в заданное уравнение проверить, какие из них ему удовлетворяют и какие являются для него посторонними.

Примеры. 1. Решить уравнение

Решение. Выделим радикал т. е. оставим его в левой части уравнения, а радикал перенесем в правую часть. Будем иметь: или после упрощений: Сократив на 2 и снова отделив радикал, будем иметь:

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

Решениями этого уравнения являются Подстановкой в заданное уравнение убеждаемся, что каждое из этих решений удовлетворяет ему.

2. Решить уравнение

Решение. Перенеся V в правую часть уравнения будем иметь:

Возводим обе части этого уравнения в квадрат:

Возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получаем: или после упрощений:

Отсюда Решениями этого уравнения являются:

Второе из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а первое - для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается расширением области определения уравнения. Действительно, в область определения заданного уравнения число 0 не входит, а в область определения уравнения оно входит. Значение не может быть решением заданного уравнения, потому что оно не принадлежит к его области определения.

3. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, будем иметь:

Решениями этого уравнения являются Первое из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а второе - для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается не расширением области определения заданного уравнения, а тем, что уравнение не равносильно первоначальному, а лишь

выводимо из него. Оно является следствием не только заданного уравнения, но также и уравнения

Решение удовлетворяет уравнению . Решение же для этого уравнения является посторонним.

4. Решить уравнение

Решение. Перенесем радикалы в одну часты

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

или после упрощений:

Проверка показывает, что удовлетворяет заданному уравнению.

2. Сведение иррационального уравнения к смешанной рациональной системе путем введения новых неизвестных.

Совокупность одного или нескольких уравнений вида

и одного или нескольких неравенств вида

называют смешанной системой, если ставится требование установить, какие системы значений неизвестных удовлетворяют одновременно всем этим уравнениям и неравенствам. Система значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям и неравенствам смешанной системы, называется решением смешанной системы. Решить смешанную систему - это значит установить, имеет ли она решения, или нет, и если имеет, то найти все их.

Теорема. Всякое иррациональное уравнение

(кликните для просмотра скана)

Так как в уравнении (1) при любой допустимой системе значений неизвестных радикал четной степени обозначает арифметическое значение корня, а нечетной степени - единственное действительное значение корня, то вспомогательные неизвестные могут принимать только действительные значения и, кроме того,

Присоединим неравенства к системе (2). Получим смешанную рациональную систему

(см. скан)

Докажем теперь, что решение иррационального уравнения (1) сводится к решению смешанной рациональной системы (3).

Действительно, если есть решение уравнения (1), то

есть решение смешанной системы (3).

Наоборот, если система действительных чисел является решением смешанной системы (3), то

Кроме того, так как то является арифметическим значением корня степени из

Аналогично действительное число является единственным действительным значением Корня степени из т. е.

Из соотношений (4), (5) и (6) вытекает, что

и, следовательно, система чисел является решением уравнения (1).

Из сказанного вытекает, что для решения уравнения (1) достаточно найти все решения смешанной системы (3). Системы значений неизвестных входящие в состав найденных решений системы (3), будут решениями уравнения (1), причем ими исчерпываются все решения уравнения (1). Если окажется, что смешанная система (3) несовместна, то и уравнение (1) не имеет решений. В рассмотренном случае в состав иррационального уравнения

входили лишь простые радикалы. Если левая часть иррационального уравнения содержит радикалы, подкоренные выражения которых в свою очередь содержат радикалы, но операция извлечения корня выполняется конечное число раз, то путем последовательного введения вспомогательных неизвестных решение такого уравнения также сводится к решению смешанной рациональной системы.

Примеры. 1. Решить уравнение:

Решение. Предположив, что

составляем смешанную рациональную систему

Подставив во второе уравнение вместо получим систему, равносильную системе (7):

Из второго уравнения системы (8) вычтем по частям третье уравнение, что дает уравнение с целыми коэффициентами:

Непосредственная проверка показывает, что делитель 2 свободного члена удовлетворяет уравнению, т. е. уравнение (9) имеет решение Поэтому уравнение (9) можно записать так:

и, следовательно,

Решениями уравнения (10) являются и Следовательно, уравнение (9) в поле действительных чисел имеет только одно решение Это решение удовлетворяет неравенству

Подставив значение в уравнения находим значения а именно:

Таким образом, смешанная рациональная система (7) имеет единственное решение Отсюда вытекает, что заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел также единственное решение

2. Решить уравнение

Решение. Положив

составим смешанную рациональную систему

Решив первое уравнение относительно и подставив найденное значение в третье уравнение, получим смешанную систему, равносильную системе (11):

Подставив из второго и четвертого уравнений значения в третье уравнение (12), получим систему, равносильную системе (12):

Возведя обе части третьего уравнения системы (13) в квадрат, получим систему, которая является следствием системы (13):

Из трех последних уравнений этой системы получаем: или после упрощений:

Очевидно, что может быть решением заданного уравнения, так как и никакая система значений не может удовлетворять третьему уравнению системы заданному уравнению удовлетворяет. Следовательно, заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел единственное решение

Иногда при решении иррационального уравнения целесообразно способ введения новых неизвестных комбинировать со способом возведения обеих частей уравнения в степень.

Пример. Решить уравнение

Решение. Предположив, что будем иметь:

Уравнение (15) заменим смешанной системой

Отделив во втором уравнении системы (16) радикал и возведя обе части уравнения в квадрат, получим: или после упрощений:

Отсюда Оба эти решения удовлетворяют уравнению и неравенству Подставив значения в первое уравнение системы (16), получим следующие два уравнения:

Следовательно, смешанная система (16) имеет четыре решения:

и, значит уравнение (15) также имеет четыре решения, а именно:

Искусственные приемы. В практике решения иррациональных уравнений иногда с успехом применяют отдельные, так называемые искусственные приемы. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

а) Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на множитель сопряженный с левой его частью. Будем иметь:

или после преобразований:

Сложив по частям уравнения (17) и (18), получим:

Оба решения удовлетворяют заданному уравнению, в чем легко убедиться путем подстановки их в уравнение,

б) Решить уравнение

Решение. Возьмем тождество

и запишем его так:

Равенство (20) выполняется при любых значениях в частности и при значениях удовлетворяющих уравнению (19). Поэтому если мы в левой части тождества (20) заменим второй его множитель являющийся левой частью уравнения (19), выражением то получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19).

Уравнение (21) является, таким образом, следствием уравнения (19), и, следовательно, решения уравнения (19) следует искать среди решений уравнения (21). Уравнение (21) запишем так:

Отсюда видно, что уравнение (21) распадается на два уравнения:

Из изложенного выше вытекает, что решения уравнения (19) надо искать среди решений уравнения (22) и решений уравнения (23). Решением уравнения (22) является Это решение удовлетворяет и заданному уравнению (19). Для нахождения других решений уравнения (19) сложим по частям уравнения (19) и (23). Получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19), отличные от решения

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x 1 = -2 - истинно:
При x 2 = -2- истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение.

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Произведя проверку устанавливаем, что x 2 =0 лишний корень.
Ответ: x 1 =1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 - 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x 1 = 4, х 2 = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Отв. х 1 = 4, х 2 = 11.

Замечание . При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения = 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6 . Решить уравнение-= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x - 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - Зх + 3), или

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x 1 = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x 2 =- не удовлетворяет.

Ответ: x = 2.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).