Спин простыми словами. Мир прекрасен

© Мученик Науки.

Приняты следующие обозначения:
- Векторы – жирными буквами чуть большего размера чем остальной текст. W , g , A .
- пояснения к обозначениям в таблицах – курсивом.
- целочисленные индексы – жирным шрифтом обычного размера. m , i , j .
- не векторные переменные величины и формулы – курсивом чуть более крупного размера: q , r , k , sin , cos .

Момент импульса. Школьный уровень.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Это величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Момент импульса вращающейся вокруг оси Z гантельки из двух шариков массы m , каждый из которых расположен на расстоянии l от оси вращения, с линейной скоростью шариков V , равен:

M= 2·m·l·V ;

Ну понятно, в формуле стоит 2 потому что у гантельки два шарика.

Момент импульса. Университетский уровень.

Момент импульса L материальной точки (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения ) относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

L = [ r х p ]

где r - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, p - импульс частицы.
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

L = Σ i [ r i х p i ]

где r i , p i - радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.
В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределённой сиситемы это может быть записано как

L = ∫ r xd p

где d p - импульс бесконечно малого точечного элемента системы.
Из определения момента импульса следует его аддитивность как для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

L Σ = Σ i L i

Опыт Штерна и Герлаха.

В 1922 году физики проделали эксперимент, в котором оказалось, что атомы серебра имеют свой момент импульса. Причём проекция этого момента импульса на ось Z (см.рис) оказалась равной либо некоторой положительной величине, либо некоторой отрицательной величине, но не нулю. Это невозможно объяснить орбитальным моментом импульса электронов в атоме серебра. Потому что орбитальные моменты обязательно давали бы, в том числе, и нулевую проекцию. А здесь строго плюс и минус, и в нуле ничего. Впоследствии, в 1927 г. это было интерпретировано как доказательство существования спина у электронов.
В опыте Штерна и Герлаха (1922) путем испарения в вакуумной печи атомов серебра или другого металла с помощью тонких щелей формируется узкий атомный пучок (рис).

Этот пучок пропускается через неоднородное магнитное поле с существенным градиентом магнитной индукции. Индукция магнитного поля B в опыте велика и направлена вдоль оси Z . На пролетающие в зазоре магнита атомы вдоль направления магнитного поля действует сила F z , обусловленная градиентом индукции неоднородного магнитного поля и зависящая от величины проекции магнитного момента атома на направление поля. Эта сила отклоняет движущийся атом в направлении оси Z , причем за время пролета магнита движущийся атом отклоняется тем больше, чем больше величина силы. При этом одни атомы отклоняются вверх, а другие вниз.
С позиций классической физики, пролетевшие через магнит атомы серебра должны были образовать сплошную широкую зеркальную полосу на стеклянной пластинке.
Если же, как предсказывает квантовая теория, имеет место пространственное квантование, и проекция магнитного момента p Z M атома принимает только определенные дискретные значения, то под действием силы F Z атомный пучок должен расщепиться на дискретное число пучков, которые, оседая на стеклянной пластинке, дают серию узких дискретных зеркальных полосок из напыленных атомов. Именно этот результат наблюдался в эксперименте. С одним лишь но: не было полоски по самому центру пластинки.
Но это ещё не было открытием спина у электронов. Ну дискретный ряд моментов импульса у атомов серебра, ну и что? Однако учёные продолжали думать, почему нет полоски по центру пластины?
Пучок невозбужденных атомов серебра расщепился на два пучка, которые напылили на стеклянной пластинке две узкие зеркальные полоски, сдвинутые симметрично вверх и вниз. Измерение этих сдвигов позволило определить магнитный момент невозбужденного атома серебра. Его проекция на направление магнитного поля оказалась равной + μ Б или -μ Б . То есть магнитный момент невозбуждённого атома серебра оказался строго не равным нулю. Это не имело объяснения.
Однако, из химии было известно, что валентность серебра равна +1 . То есть на внешней электронной оболочке находится один активный электрон. А общее число электронов в атоме нечётно.

Гипотеза о спине электрона

Это противоречие теории и опыта стало не единственным, обнаруженным в различных экспериментах. Такое же отличие наблюдалось при изучении тонкой структуры оптических спектров щелочных металлов (они, кстати, тоже одновалентны). В опытах с ферромагнетиками было обнаружено аномальное значение гиромагнитного отношения, отличающегося от ожидаемого значения в два раза.
В 1924 г. Вольфганг Паули ввёл двухкомпонентную внутреннюю степень свободы для описания эмиссионных спектров валентного электрона в щелочных металлах.
В который раз обращает на себя внимание, как западные учёные с лёгкостью придумывают новые частицы, феномены, реальности для объяснения старых. Точно так же введён и бозон Хиггса для объяснения массы. Далее будет бозон Шмиггса для объяснения бозона Хиггса.
В 1927 году Паули модифицирует недавно открытое уравнение Шрёдингера для учёта спиновой переменной. Модифицированное таким образом уравнение носит сейчас название уравнение Паули. При таком описании у электрона появляется новая спиновая часть волновой функции, которая описывается спинором — «вектором» в абстрактном двумерном спиновом пространстве.
Это позволило ему сформулировать принцип Паули, согласно которому в некоторой системе взаимодействующих частиц у каждого электрона должен быть свой собственный неповторяющийся набор квантовых чисел (все электроны в каждый момент времени находятся в разных состояниях). Поскольку физическая интерпретация спина у электрона была неясна с самого начала (и это имеет место до сих пор), в 1925 г. Ральф Крониг (ассистент известного физика Альфреда Ланде) высказал предположение о спине как результате собственного вращения электрона.
Все эти трудности квантовой теории были преодолены, когда осенью 1925 г. Дж. Уленбек и С. Гаудсмит постулировали, что электрон является носителем "собственных" механического и магнитного моментов, не связанных с движением электрона в пространстве. То есть обладает спином S = ½ ћ в единицах постоянной Дирака ћ , и спиновым магнитным моментом, равным магнетону Бора. Это предположение и было принято научным сообществом, поскольку удовлетворительно объясняло известные факты.
Эта гипотеза получила название гипотезы о спине электрона. Такое название связано с английским словом spin , которое переводится как "кружение", "верчение".
В 1928 г. П.Дирак ещё сильнее обобщил квантовую теорию на случай релятивистского движения частицы и вводит уже четырёхкомпонентную величину — биспинор.
В основе релятивистской квантовой механики лежит уравнение Дирака, записанное первоначально для релятивистского электрона. Это уравнение значительно сложнее уравнения Шредингера по своей структуре и математическому аппарату, используемому при его записи. Мы не станем обсуждать это уравнение. Скажем лишь, что из уравнения Дирака четвертое, спиновое квантовое число получается так же «естественно», как и три квантовых числа при решении уравнения Шредингера.
В квантовой механике квантовые числа для спина не совпадают с квантовыми числами для орбитального момента частиц, что приводит к неклассической трактовке спина. Кроме этого, у спина и орбитального момента частиц возникает различная связь с соответствующими магнитными дипольными моментами, сопровождающими любое вращение заряженных частиц. В частности, в формуле для спина и его магнитного момента гиромагнитное отношение не равно 1 .
Концепция спина у электрона привлекается для объяснения многих явлений, таких как расположение атомов в периодической системе химических элементов, тонкая структура атомных спектров, эффект Зеемана, ферромагнетизм, а также для обоснования принципа Паули. Недавно возникшая область исследований, называемая «спинтроника», занимается манипуляциями спинов зарядов в полупроводниковых устройствах. В ядерном магнитном резонансе используется взаимодействие радиоволн со спинами ядер, позволяющее осуществлять спектроскопию химических элементов и получать изображения внутренних органов в медицинской практике. Для фотонов как частиц света спин связывается с поляризацией света.

Механическая модель спина.

В 20-30-х годах прошлого столетия было проведено множество экспериментов, которые доказали наличие спина у элементарных частиц. Эксперименты доказали реальность спина как именно момента вращения. Но откуда берётся это вращение в электроне или протоне?

Предположим простейшее, что электрон - это малюсенький твердый шарик. Предполагаем, что этот шарик имеет некую среднюю плотность и некие физические параметры, близкие к известным экспериментальным и теоретическим величинам реального электрона. Имеем экспериментальные величины:
Масса покоя электрона: m e
Спин электрона S e = ½ ћ
В качестве линейного размера объекта берем его комптоновскую длину волны, подтвержденную как экспериментально, так и теоретически. Комптоновскую длина волны электрона:

Очевидно, это диаметр объекта. Радиус в 2 раза меньше:

Имеем теоретические величины, получаемые из механики и квантовой физики.
1) Вычисляем момент инерции объекта I e . Поскольку мы не знаем достоверно его формы, то вводим поправочный коэффициенты k e , который, в зависимости от формы, теоретически может иметь величину от почти 0,0 (иголка, вращающаяся вокруг длинной оси) до 1,0 (при точной форме длинной гантельки как на рисунке в начале статьи или широкого, но тонкого бублика). К примеру, значение 0,4 достигается при точной форме шара. Итак:

2) Из формулы S = I · ω , находим угловую скорость вращения объектов:

3) Этой угловой скорости соответствует линейная скорость V "поверхности" электрона:

Или

V = 0,4 c ;

Если брать как на рисунке в начале статьи электрон имеющим вид гантельки, то получается

V = 0,16 c ;

4) Совершенно аналогично проделываем выкладки для протона или нейтрона. Линейная скорость "поверхности" протона или нейтрона для шариковой модели получается точно такая же, 0,4 c :

5) Делаем выводы. Результат зависит от формы объекта (коэффициент k при вычислении момента инерции) и от коэффициентов в формулах для спинов электрона или протона (½). Но, как ни крути, а в среднем получается около, близко к скорости света . Как у электрона, так и у протона. Не больше скорости света! Результат, который трудно назвать случайным. Мы делали "бессмысленные" выкладки, но получили абсолютно осмысленный, выделенный результат!

Все не так, ребята! - говорил Владимир Высоцкий. Это не сигнал, это дилемма: либо - либо! Либо что-то пополам, либо что-то вдребезги. Эйнштейн и Шрёдингер лишают смысла эти рассуждения, так как по Эйнштейну при скоростях порядка скорости света масса растет до бесконечности, а по Шрёдингеру они не имеют ни формы, ни размеров. Однако все на свете "относительно" и неизвестно, что чего и кто кого лишает смысла. Теория Гукуума имеет ответ, по которому волновые вихри – электроны, в Гукууме как раз и крутятся со световой линейной скоростью! Собственно масса - она всегда движется и всегда исключительно со световой скоростью. Электрон и протон, каждый элемент в них, каждая точка движется по своей замкнутой траектории и не иначе как со скоростью света. Именно в этом и состоит настоящий и простой смысл формулы:

Это практически удвоенная формула кинетической энергии волны. Почему удвоенная? – Потому что в упругой волне половина энергии кинетическая, а вторая половина энергии – скрытая, потенциальная, в виде деформации среды, в которой происходит распространение волны.

Фразы, объясняющие спин электрона.

Какова же таки физическая природа наличия у электрона спина, если она не объяснима с механической точки зрения? Ответа на этот вопрос нет не только к классической физике, но и рамках нерелятивистской квантовой механики, в основе которой лежит уравнение Шредингера. Спин вносится в виде некой дополнительной гипотезы, необходимой для согласования эксперимента и теории.

Рассуждения о форме или внутреннем устройстве элементарных частиц, например электрона, в современной физике легко относятся к "не имеющим смысла". Раз их глазами не видно, значит нечего и спрашивать! Микробы появились на свет с изобретением микроскопа (Михаил Генин). Попытки таких рассуждений всегда заканчиваются словами, что,

Фраза №1.
Законы и понятия классической физики перестают действовать в микромире.
Если само местонахождение объекта неизвестно, это Ψ -функция, то что говорить об его устройстве? Размазан - и всё тут. Нет никакого устройства.
То же самое говорится и о физическом смысле момента импульса - спина электрона (протона). Вращение как бы есть, спин тоже есть, но

Фраза №2.
Спрашивать как выглядит это вращение - "не имеет смысла".
Есть аналогии и в макро - мире. Допустим, мы хотим спросить олигарха: а как вы заработали свои миллиарды? Или, где вы храните наворованное? - А вам отвечают: ваш вопрос не имеет смысла! Тайна за семью печатями.

Фраза №3.
Спин электрона не имеет классического аналога.
То есть спин как бы имеет какой-то аналог, но вот классического аналога он не имеет. Он как бы характеризует внутреннее свойство квантовой частицы, связанное с наличием у нее дополнительной степени свободы. Количественная характеристика этой степени свободы - спин S = ½ ћ является для электрона такой же величиной как, например, его масса m 0 и заряд - e . Однако спин – это реально вращение, это момент вращения и проявляется в экспериментах.

Фраза №4.
Спин вносится в виде дополнительной гипотезы, не вытекающей из основных положений теории, но необходимой для согласования эксперимента и теории .

Фраза №5.
Спин является некоторым внутренним свойством, наподобие массы или заряда, требующим особого, пока ещё не известного обоснования .
Другими словами. Спин (от англ. spin — вертеться, вращение) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий «квантовую природу» и не связанный с движением частицы как целого. В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин не связан с любым движением в пространстве. Спин — это якобы внутренняя, исключительно квантовая характеристика, которую нельзя объяснить в рамках механики.

Фраза №6.
Однако, несмотря на всю свою загадочность происхождения, спин является объективно существующей и вполне измеряемой физической величиной.
В то же время, оказывается, что спин (и его проекции на какую-либо ось) могут принимать только целые или полуцелые значения в единицах постоянной Дирака ħ = h /2π . Где h – постоянная Планка. Для тех частиц, которые имеют полуцелые спины, проекция спина не бывает равной нулю.

Фраза №7.
Существует пространство состояний, никак не связанных с перемещением частицы в обычном пространстве. Обобщение этой идеи в ядерной физике привело к понятию изотопического спина, который действует в «особом изоспиновом пространстве».
Как говорится, уж молоть так молоть!
В дальнейшем, при описании сильных взаимодействий были введены внутреннее цветовое пространство и квантовое число «цвет» — более сложный аналог спина.
То есть, количество загадок нарастало, но все они решались гипотезой, что существует некое пространство состояний, не связанных с перемещением частицы в обычном пространстве.

Фраза №8.
Итак, в самых общих словах можно сказать, что собственные механический и магнитный моменты у электрона появляются как следствие релятивистских эффектов в квантовой теории.

Фраза №9.
Спин (от англ. spin — вертеть[-ся], вращение) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого.

Фраза №10.
Существование спина в системе тождественных взаимодействующих частиц является причиной нового квантовомеханического явления, не имеющего аналогии в классической механике: обменного взаимодействия.

Фраза 11.
Будучи одним из проявлений углового момента, спин в квантовой механике описывается векторным оператором спина ŝ , алгебра компонент которого полностью совпадает с алгеброй операторов орбитального углового момента l . Однако, в отличие от орбитального углового момента, оператор спина не выражается через классические переменные, иными словами, это только квантовая величина.
Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения.

Фраза 12.
В квантовой механике квантовые числа для спина не совпадают с квантовыми числами для орбитального момента частиц, что приводит к неклассической трактовке спина.
Как говорится, если часто что-то повторять, то этому начинаешь верить. Вот сейчас далдонят, демократия, демократия, власть закона. И люди привыкают, начинают верить.
Также неявно используется перевод с английского слова «спин» – от англ. вращаться. Дескать англичане–то смысл спина знают, просто переводчики никак не могут толково перевести.

Структура электрона.

Как показывает попытка погуглить размер электрона, это тоже для всех физиков такая же загадка как и природа спина электрона. Попробуйте, и вы не найдёте нигде, ни в Википедии, ни в Физической энциклопедии. Выдвигаются самые разные цифры. От долей процента размера протона, до тысяч размеров протона. А без знания размера электрона, а ещё лучше структуры электрона, невозможно понять происхождение его спина.
А вот теперь подойдём к объяснению спина с позиции структурного электрона. С позиции теории упругой вселенной. Вот так выглядит электрон.

Здесь изображены не твёрденькие колечки, не бублики, а волновые кольца. То есть бегающие по кругу волны, такое решение даёт математика. Вертящиеся по кругу со скоростью света , причём (!) соседние кольца движутся в противоположных направлениях. Собственно, этот рисунок есть иллюстрация формулы распределения энергии внутри электрона:

Желающие могут легко проверить эту формулу.
Здесь q – радиальная координата.
Именно это вращение составляющих колец создаёт суммарный ненулевой внутренний момент импульса - спин электрона. В этом - разгадка появления спина, который до сих пор остаётся загадкой в общепринятой науке. Правда, эту загадку на деле никто и не стремится разгадать, но это отдельный вопрос.
Именно это вращение соседних колец в противоположные стороны, во-первых даёт сходимость интеграла по моменту вращения, а во-вторых, создаёт несоответствие между магнитным моментом и спином.
На этом (приблизительном) рисунке показаны только основные, ближайшие кольца, всего их бесконечно много. Весь объект является единым целым, очень устойчивым, никакая часть его не может быть удалена. И это целое - есть элементарная частица, электрон. Это не выдумка, не фантазия, не подгонка. Это, еще раз, строгая математика!
Пусть не пугаются от неожиданности те, кто считает, что в атоме водорода (простейший случай) электрон вращается вокруг ядра. Нет, он не вращается как целое вокруг ядра. Просто электрон – это облако, реальное волновое облако, и таковым он является даже когда одиночный и свободный. Просто ядро атома водорода находится внутри электрона.

Объяснение феномена спина.

А дальше остаётся только вычислить момент импульса данной сложной структуры из волновых бубликов.
Момент импульса электрона определяется следующим образом.
- Есть распределения энергии в электроне. При переходе из слоя в слой направление движения энергии изменяется на противоположное.
Таким образом, правдоподобная общая формула для проекции момента импульса всех частиц M z , имеет вид:

R - ранее определённая величина.

Под знаком интеграла четыре элемента, которые для наглядности выделены в квадратные скобки. Первая квадратная скобка содержит в себе элементы плотности массы электрона (отличие от энергии - c 2 в знаменателе), с учетом "наслоения" бегущей волны саму на себя (r 2 в знаменателе) и также с учетом знака, с которым эта масса войдет в формулу момента импульса (функция sign ). То есть, в зависимости от направления вращения данного элемента. Вторая квадратная скобка - расстояние от оси вращения - оси Z . Третья квадратная скобка - скорость движения элемента массы, скорость света. Четвертая - элемент объема. То есть это момент импульса в классическом его понимании.

Данное уравнение для момента импульса не объявляется точным количественно, хотя и это не исключено. Но корреляционную картину распределения момента импульса оно дает. А как станет видно из окончательных результатов, такое определение момента импульса дает и хорошее количественное значение момента импульса (с точностью до знака).
Полный момент импульса электрона после численного интегрирования:

Где L 1 и L 2 - коэффициенты Ламэ Гукуума (характеристики упругости). Они приводятся на указанном сайте.
Как показывает анализ, данная формула прекрасно вписывается в известные физические результаты. Но анализ её слишком объёмен чтобы выкладывать здесь.

Сравнение теоретических и экспериментальных размеров частиц.

Данная процедура делается вот для чего. В найденные теоретические формулы для связи размеров частиц, их масс и спинов, подставляются их известные экспериментальные спины и массы. После чего вычисляются (полу)теоретические размеры частиц и сравниваются с известными экспериментальными. Так оказалось удобнее.
Вводятся обозначения: локи (0,0), (1,0) и (1,1) – это, соответственно, электрон, нейтрон и протон.

Теоретические величины.

Какое отношение имеют величины, λ 0,0 , λ 1,0 , λ 1,1 к реальным размерам частиц? Если посмотреть на теоретические распределения плотности частиц (или на рисунок электрона), то видно, что они распределены волнообразно, с убыванием. Эффективный радиус каждой частицы, до радиуса, охватывающего основную часть массы (это 3-4 волны плотности) примерно равен:

R 0,0 ≈ 2,5 π единиц q ;

R 1,0 ≈ 2 π единиц q ;

R 1,1 ≈ 2 π единиц q .

Где h - обычная, не перечеркнутая постоянная Планка.
Имеющий глаза да увидит: эффективные теоретические радиусы локов (0,0), (1,0) и (1,1) равны почти в точности половине комптоновской длине волны электрона, нейтрона и протона. То есть, комптоновская длина волны частицы выступает как их диаметр.

Комптоновская длина волны есть линейный размер, а масса частицы характеризует объём частицы, то есть линейный размер в кубе. Как видно, в формуле масса стоит в знаменателе. По этой причине относиться к этой формуле слишком доверительно не стоит. Было бы, на наш взгляд, правильнее за размер частицы брать величину, пропорциональную следующей:

Где K – некоторый коэффициент пропорциональности.
Изначально протон в 12 раз (по размеру) меньше электрона и легко влезает в центральную дырку электрона. А затем при взаимодействии электрона с протоном электрон меняет своё состояние (в поле протона) и раздувается ещё в 40 раз, что не удивительно.

Так устроен атом водорода (жёлтенький протон внутри серого электрона).
Как известно из официальной физики, комптоновский размер электрона (R компт =1,21▪10 -10 см .) примерно в 40 раз меньше чем размер атома водорода (первый боровский радиус равен: R бор =0,53▪10 -8 см .). Это кажущееся противоречие с нашей теорией, которое нуждается в устранении и уточнении. Либо при образовании водорода электрон (как волновое облако) меняет свою форму и растягивается. При этом он обволакивает протон. Либо надо пересмотреть, что же такое боровский радиус и каков его физический смысл. Физику в части размеров частиц надо капитально пересмотреть.

Определение 1

Спин электрона (и других микрочастиц) -- это квантовая величина, у которой нет классического аналога. Это внутреннее свойство электрона, которое можно уподобить заряду или массе. Понятие спина было предложено американскими физиками Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом для того, чтобы объяснить существование тонкой структуры спектральных линий. Ученые предположили, что электрон имеет собственный механический момент импульса , который не связан с движением электронам в пространстве который был назван спином.

Если считать, что электрон имеет спин (собственный механический момент импульса (${\overrightarrow{L}}_s$)), то значит должен иметь собственный магнитный момент (${\overrightarrow{p}}_{ms}$). В соответствии с общими выводами квантовой физики спин квантуется как:

где $s$ -- спиновое квантовое число. Проводя аналогию с механическим моментом импульса, проекция спина ($L_{sz}$) квантуется таким образом, что число ориентаций вектора ${\overrightarrow{L}}_s$ равно $2s+1.$ В опытах Штерна и Герлаха ученые наблюдали две ориентации, то $2s+1=2$, следовательно, $s=\frac{1}{2}$.

При этом проекция спина на направление внешнего магнитного поля определена формулой:

где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число.

Получилось, что экспериментальные данные привели к необходимости введения дополнительной внутренней степени свободы. Для полного описания состояния электрона в атоме необходимы: главное, орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа.

Позднее Дирак показал, что наличие спина следует из полученного им релятивистского волнового уравнения.

Атомы первой валентной группы периодической системы имеют валентный электрон, находящийся в состоянии с $l=0$. При этом момент импульса всего атома равен спину валентного электрона. Поэтому когда обнаружили для подобных атомов, пространственное квантование момента импульса атома в магнитном поле это стало доказательством существования спина только двух ориентаций во внешнем поле.

Спиновое квантовое число, отличаясь от других квантовых чисел, является дробным. Количественную величину спина электрона можно найти в соответствии с формулой (1):

Для электрона имеем:

Иногда говорят, что спин электрона ориентирован по направлению или против направления напряженности магнитного поля. Такое высказывание является неточным. Так как при этом на самом деле имеется в виду направление его составляющей $L_{sz}.$

где ${\mu }_B$ -- магнетон Бора.

Найдем отношение проекций $L_{sz}$ и $p_{ms_z}$, применяя формулы (4) и (5), имеем:

Выражение (6) называют спиновым гиромагнитным отношением. Оно в два раза превышает орбитальное гиромагнитное отношение. В векторной записи гиромагнитное отношение записывают как:

Опыты Эйнштейна и де Гааза определили спиновое гиромагнитное отношение для ферромагнетиков . Это дало возможность определить спиновую природу магнитных свойств ферромагнетиков и получить теорию ферромагнетизма.

Пример 1

Задание: Найдите численные значения: 1) собственного механического момента импульса (спина) электрона, 2) проекции спина электрона на направление внешнего магнитного поля.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем выражение:

где $s=\frac{1}{2}$. Зная величину $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$, проведем вычисления:

В качестве основы для решения задачи используем формулу:

где $m_s=\pm \frac{1}{2}$-магнитное спиновое квантовое число. Следовательно, можно провести вычисления:

Ответ: $L_s=9,09\cdot {10}^{-35}{\rm Дж}\cdot {\rm с},\ L_{sz}=\pm 5,25\cdot {10}^{-35}Дж\cdot с.$

Пример 2

Задание: Каков спиновый магнитный момент электрона ($p_{ms}$) и его проекция ($p_{ms_z}$) на направление внешнего поля?

Решение:

Спиновый магнитный момент электрона может быть определен из гиромагнитного соотношения как:

Собственный механический момента импульса (спина) электрона можно найти как:

где $s=\frac{1}{2}$.

Подставим выражение для спина электрона в формулу (2.1), имеем:

Используем известные для электрона величины:

поведем вычисление магнитного момента:

Из опытов Штерна и Герлаха получено, что $p_{ms_z}$ (проекция собственного магнитного момента электрона) равна:

Вычислим $p_{ms_z}$ для электрона:

Ответ: $p_{ms}=1,6\cdot {10}^{-23}A\cdot м^2,\ p_{ms_z}=9,27\cdot {10}^{-24}A\cdot м^2.$

При изучении спектра атома водорода обнаружили, что они имеют дуплетную структуру (каждая спектральная линия расщеплена на две полоски). Чтобы объяснить это явление предположили, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса – спином (). Первоначально спин связывали с вращением электрона вокруг своей оси. Впоследствии выяснилось, что это ошибочно. Спин – это внутреннее квантовое свойство электрона – у него нет классического аналога. Спин квантуется по закону:

где - спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция
спина квантуется так, что векторможет принимать
ориентаций. Так как спектральная линия расщепляется только на две части, то ориентацийтолько две:
, отсюда
. Проекция спина на выделенное направление определяется выражением:

где - магнитное квантовое число. Оно может иметь только два значения
.

Таким образом, опытные данные привели к необходимости введения спина. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям.

Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

(
1, 2, 3,…) – квантует энергию,

(
0, 1, 2,…,
) – квантует орбитальный механический момент,

(
0,
,
,…,
) – квантует проекцию момента импульса на заданное направление,

(
) – квантует проекцию спина на заданное направление
.

С возрастанием растет энергия. В нормальном состоянии атома электроны находятся на самых низких энергетических уровнях. Казалось бы, что все они должны быть в состоянии 1s. Но опыт показывает, что это не так.

Швейцарский физик В.Паули сформулировал принцип: в одном и том же атоме не может быть двух электронов с одинаковыми квантовыми числами ,,
,. То есть два электрона должны отличаться по крайней мере значениями одного квантового числа.

Значению соответствуетсостояний, отличающихся значениямии
. Но ещеимеет два значения
и
, значит всего
состояний. Поэтому в состояниях с заданныммогут находиться
электронов. Совокупность электронов с одинаковымназывается слоем, а с одинаковымии- оболочкой.

Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения отдо
, число оболочек в слое равно. Количество электронов в оболочке определяется магнитным и спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в оболочке с заданнымравно
. Обозначение слоев и распределение электронов по слоям и оболочкам представлены в таблице 1.

Пользуясь распределением электронов по состояниям можно объяснить периодический закон Менделеева. Каждый последующий атом имеет на один электрон больше, располагается он в состоянии с возможно меньшей энергией.

Периодическая система элементов начинается с простейшего атома водорода. Его единственный электрон находится в состоянии 1s, характеризуемом квантовыми числами
,
и
(ориентация спина произвольна).

В атоме
два электрона находятся в 1sсостоянии с антипараллельными спинами. На атоме
заканчивается заполнениеK-слоя, что соответствует завершению 1 периода Периодической системы Менделеева.

У атома
3 электрона. Согласно принципу Паули третий электрон уже не может разместиться в целиком заполненном слое К и занимает наинизшее энергетическое состояние с
(L-слой), то есть 2sсостояние. Электронная конфигурация для атома
: 12. Атомом
начинается 2 период Периодической системы Менделеева. Заканчивается 2 период инертным газом неоном. У атома неона полностью заполнена 2pоболочка и полностью заполнен слойL.

Одиннадцатый электрон
размещается вMслое (
), занимая наименьшее состояние 3s. Электронная конфигурация для
: 1223. Электрон 3s(как и 2sу лития) является валентным, поэтому свойства
подобны свойствам
.
завершает 3 период. Его электронная конфигурация
: 12233. Начиная с атома калия в застройке электронных оболочек происходит отклонение. Вместо заполнения 3dоболочки, заполняется сначала 4s(
: 122334). Это происходит потому, что оболочка 4sэнергетически выгоднее, ближе расположена к ядру, чем 3d. После заполнения 4sзаполняется 3d, а затем 4р оболочка, которая дальше от ядра, чем 3d.

С такими отклонениями приходится сталкиваться и дальше. Оболочка 4f, которая содержит 14 электронов, начинает заполняться после того, как заполняются 5s, 5p, 6s. В итоге у элементов 58-71 добавляющиеся электроны садятся в 4fсостояния, а внешние электронные оболочки у этих элементов одинаковы. Поэтому их свойства близки. Эти элементы называют лантанидами. Аналогично близки по свойствам актиниды (90-103), где заполняется 5fоболочка при неизменном 7.

Таким образом, открытая Менделеевым периодичность в химических свойствах элементов объясняется повторяемостью в структуре внешних оболочек у атомов родственных элементов.

Валентность химического элемента равна числу электронов в sили р оболочке с максимальнымn. Еслиs,p,d,… оболочки полностью заполнены, то их спины скомпенсированы. Такие элементы являются диамагнетиками. Если оболочки не полностью заполнены, то имеются не скомпенсированные спины. Это парамагнетики.

1/2, для фотона 1, для p - и К-мезонов 0.

Спином наз. также собств. момент кол-ва движения , мол. системы; в этом случае спин системы определяется как векторная сумма спинов отдельных частиц: S s = S. Так, спин ядра равен целому или полуцелому числу (обозначается обычно I) в зависимости от того, включает ли ядро четное или нечетное число и . Напр., для 1 Н I = 1/2, для 10 В I = 3, для 11 В I = 3/2, для 17 О I = 5/2, для 16 О I = 0. Для Не в основном состоя нии полный электронный спин S = 0, в первом S = 1. В совр. теоретич. физике, гл. обр. в теории , спином часто называют полный момент кол-ва движения частицы, равный сумме орбитального и собств. моментов.

Концепция спина введена в 1925 Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом, к-рые для интерпретации эксперим. данных о расщеплении пучка в магн. поле предположили, что можно рассматривать Как вращающийся вокруг своей оси волчок с проекцией на направление поля, равной В том же году В. Паули ввел понятие спина в математич. аппарат нерелятивистской и сформулировал принцип запрета, утверждающий, что две тождеств. частицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в системе в одном и том же (см. ). Согласно подходу В. Паули, существуют s 2 и s z , к-рые обладают собств. значениями ђ 2 s(s + 1) и ђs z соотв. и действуют нат. наз. спиновые части волновой ф-ции a и b (спин-функции) так же, как орбитального момента кол-ва движения I 2 и I z действуют на пространств. часть волновой ф-ции Y (r), где r-радиус-вектор частицы. s 2 и s z подчиняются тем же правилам коммутации, что и I 2 и I z .

Спиновый . В Брейта-Паули Н ВР входят два члена, линейно зависящие от компонент векторного потенциала А, определяющего внеш. магн. поле:

Для однородного поля А = 1/2 В x r , знак x означает векторное произведение, и

Где -магнетон . Векторная величина наз. магн. моментом частицы с зарядом е и массой т (в данном случае-электрона), векторная же величина получила назв. спинового магн. момента. Отношение коэффициентов перед s и l наз. g-фактор ом частицы. Для 1 Н (спин I = 1/2) g-фактор равен 5,5854, для ядра 13 С с тем же спином I = 1/2 g-фактор равен 1,4042; возможны и отрицат. g-факторы, напр.: для ядра 29 Si g-фактор равен - 1,1094 (спин равен 1/2). Экспериментально определяемая величина g-фактора составляет 2,002319.

Как для одного , так и для системы или др. частиц спином S ориентируется относительно направления однородного поля. Проекция спина S z на направление поля принимает 2S + 1 значение: - S, - S + 1, ... , S. Число разл. проекций спина наз. системы со спином S.

Магн. поле, действующее на или ядро в , м.б. не только внешним, оно может создаваться и др. либо возникать при вращении системы заряженных частиц как целого. Так, взаимод. магн. поля, создаваемого i, с ядром v приводит к появлению в гамильтониане члена вида:

где n v - единичный в направлении радиуса-вектора ядра R v , Z v и М v -заряд и масса ядра. Члены вида I v ·I i отвечают , члены вида I v ·s i - . Для атомных и мол. систем наряду с указанными возникают и члены, пропорциональные (s i ·s j), (I v ·I m ) и т.п. Эти члены обусловливают расщепление вырожденных энергетич. уровней, а также приводят к разл. сдвигам уровней, что определяет тонкую структуру и сверхтонкую структуру (см. , ).

Экспериментальные проявления спина. Наличие отличного от нуля спина электронной подсистемы приводит к тому, что у в однородном магн. поле наблюдается расщеп-ление уровней энергии, причем на величину этого расщепления влияет хим. (см. ). Наличие ненулевых спинов также приводит к расщеплению уровней, причем это расщепление зависит от экранирования внеш. поля ближайшим к данному ядру окружением (см. ). Спин-орбитальное взаимод. приводит к сильным расщеплениям уровней электронных состояний, достигающим величин порядка неск. десятых эВ и даже неск. единиц эВ. Особенно сильно оно проявляется у тяжелых элементов, когда становится невозможным говорить о том или ином спине или , а можно говорить лишь о полном моменте импульса системы. Более слабыми, но тем не менее отчетливо устанавливаемыми при исследовании спектров являются спин-вращательные и .

Для конденсир. сред наличие спинов частиц проявляется в магн. св-вах этих сред. При определенной т-ре возможно возникновение упорядоченного состояния спинов частиц ( , ), находящихся, напр., в узлах кристаллич. решетки, а следовательно, и связанных со спинами магн. моментов, что ведет к появлению у системы сильного парамагнетизма (ферромагнетизма, антиферромагнетизма). Нарушение упорядоченности спинов частиц проявляется в виде спиновых волн (см. ). Взаимод. собственных магн. моментов с упругими колебаниями среды наз. спин-фонон-ным взаимод. (см. ); оно определяет спин-решеточную и спин-фононное поглощение звука.

Спин (spin – вращение) это наиболее простая вещь на которой можно продемонстрировать отличия квантовой механики от классической. Из определения кажется, что связан он с вращением, но не надо представлять себе электрон или протон вращающимися шариками. Как и в случае многих других устоявшихся научных терминов было доказано что это не так, но терминология уже устоялась. Электрон – точечная частица (нулевого радиуса). А спин отвечает за магнитные свойства. Если электрически заряженная частица движется по кривой траектории (в том числе вращается), то образуется магнитное поле. Электромагниты так работают – электроны движутся по проводам катушки. Но спин отличается от классического магнита. Вот неплохая анимация:

Если магнитики пропускать через неоднородное магнитное поле (обратите внимание на различную форму северного и южного полюсов магнита, задающего поле), то в зависимости от ориентации магнитика (его вектора магнитного момента) они будут притягиваться (отталкиваться) от полюса с большей концентрацией силовых линий магнитного поля (заостренный полюс магнита). В случае перпендикулярной ориентации магнитик вообще никуда не отклонится и попадет в центр экрана.

Пропуская электроны мы будем наблюдать только отклонение вверх или вниз на одно и то же расстояние . Это пример квантования (дискретности). Спин электрона может принимать только одно из двух значений относительно заданной оси ориентации магнита – «вверх» или «вниз». Поскольку электрон мысленно представить себе нельзя (у него нет ни цвета, ни формы, ни даже траектории движения), как и во всех подобных анимациях цветные шарики не отражают реальность, но суть думаю понятна.

Если электрон отклонился вверх, то говорят, что его спин направлен «вверх» (+1/2 условно обозначают) относительно оси магнита. Если вниз, то -1/2. И казалось бы спин можно описать обычным вектором, указывающим направление. У тех электронов, где он был направлен вверх, они и отклонятся вверх в магнитном поле, а у которых вниз – те соответственно вниз. Но не все так просто! Электрон отклоняется вверх (вниз) на одно и тоже расстояние относительно любой ориентации магнита . На видео выше можно было бы менять не ориентацию пропускаемых магнитиков, а поворачивать сам магнит, создающий магнитное поле. Эффект в случае обычных магнитиков был бы тот же. Что будет в случае электронов – в отличие от магнитиков они всегда будут отклонятся на одно и тоже расстояние вверх или вниз.

Если, например, пропустить вертикально расположенный классический магнитик через два перпендикулярно ориентированных друг относительно друга магнита, то отклоняясь вверх в первом, он не отклонится во втором вообще никак – его вектор магнитного момента будет перпендикулярен линиям магнитного поля. На видео выше это тот случай когда магнитик попадает в центр экрана. Электрон же обязан куда-нибудь отклонится.

Если мы будем пропускать через второй магнит только электроны со спином вверх, как на рисунке, то окажется что часть из них оказались еще и со спином вверх (вниз) относительно другой перпендикулярной оси. Вправо и влево фактически, но спин измеряют относительно выбранной оси, поэтому «вверх» и «вниз» общепринятая терминология вместе с указанием оси. Вектор не может быть направлен сразу вверх и вправо. Делаем вывод, что спин – это не классический вектор, прикрепленный к электрону наподобие вектора магнитного момента магнитика. Более того, зная, что спин электрона направлен вверх после прохождения первого магнита (отклоняющиеся вниз блокируем), невозможно предсказать куда он отклонится во втором случае: вправо или влево.

Ну и можно еще чуть-чуть усложнить эксперимент – блокировать электроны, отклонившиеся влево и пропустить через третий магнит, ориентированный как и первый.

И мы увидим, что электроны будут отклонятся как вверх, так и вниз. То есть электроны, попадающие во второй магнит все имели спин вверх относительно ориентации первого магнита, а потом часть из них стала вдруг со спином вниз относительно той же самой оси.

Странно! Если через такую конструкцию пропускать классические магнитики, повернутые под одним и тем же произвольно выбранным углом, то они всегда будут попадать в конце в одну и ту же точку экрана. Это называется детерминизмом. Повторив эксперимент при полном соответствии начальных условий мы должны получить тот же результат. В этом заключается основа предсказательной силы науки. Даже наша интуиция основана на повторяемости результатов в схожих ситуациях. В квантовой механике предсказать куда отклонится конкретно взятый электрон в общем случае невозможно. Хотя в некоторых ситуациях есть исключения: если поставить два магнита с одинаковой ориентацией, то если электрон отклонится вверх в первом, то он точно отклонится вверх и во втором. А если магниты повернуты на 180 градусов друг относительно друга и в первом электрон отклонился, например, вниз, то во втором он точно отклонится вверх. И наоборот. Сам по себе спин не меняется. Это уже хорошо)

Какие из всего этого можно сделать общие выводы.

1. Многие величины, которые могли принимать любые значения в классической механике, могут иметь только некоторые дискретные (квантованные) значения в квантовой теории. Помимо спина энергия электронов в атомах является ярким примером.
2. Объектам микромира нельзя приписать никакие классические характеристики до момента измерения. Нельзя полагать, что спин имел какое-то определенное направление до того как мы посмотрели куда отклонился электрон. Это общее положение и оно касается всех измеряемых величин: координат, скорости и т.п. Квантовая механика . Она утверждает, что объективный, не зависимый ни от кого классический мир, просто не существует. наиболее наглядно демонстрирует данный факт. (наблюдателя) в квантовой механике чрезвычайно важна.
3. Процесс измерения затирает (делает неактуальной) информацию о предыдущем измерении. Если спин оказался направлен вверх относительно оси y , то неважно, что раньше он был направлен вверх относительно оси x , он может оказаться и спином вниз относительно той же самой оси x впоследствии. Опять же данное обстоятельство касается не только спина. Например, если электрон обнаружен в точке с координатами (x , y , z ) это в общем случае не значит, что он был в этой точке до этого. Данный факт известен под названием «коллапс волновой функции».
4. Есть такие физические величины значения которых невозможно знать одновременно. Например, нельзя измерить спин относительно оси x и одновременно относительно перпендикулярной ей оси y . Если мы попытаемся сделать это одновременно, то магнитные поля двух повернутых магнитов наложатся и мы вместо двух разных осей получим одну новую и измерим спин относительно нее. Последовательно измерять тоже не удастся вследствие предыдуще изложенного вывода №3. Это тоже общий принцип. Например, координату и импульс (скорость) тоже нельзя измерить одновременно с большой точностью — знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга.
5. Предсказать результат единичного измерения невозможно в принципе. Квантовая механика позволяет лишь вычислять вероятности того или иного события. Например, можно посчитать, что в опыте на первой картинке при ориентации магнитов 90° друг к другу 50% отклонится влево и 50% вправо. Предсказать куда отклонится конкретно взятый электрон нельзя. Данное общее обстоятельство известно как «правило Борна» и является центральным в .
6. Детерминированные классические законы выводятся из вероятностных квантовомеханических за счет того, что в макроскопическом объекте очень много частиц и вероятностные флуктуации усредняются. Например, если в опыте на первой картинке пропускать вертикально ориентированный классический магнитик, то 50% составляющих его частиц будут «тянуть» его вправо, а 50% влево. В итоге он никуда не отклонится. При других ориентациях углов магнита меняется процентное соотношение, что в итоге и влияет на отклоняемое расстояние. Квантовая механика позволяет рассчитать конкретные вероятности и как следствие из нее можно вывести формулу для отклоняемого расстояния в зависимости от угла ориентации магнитика, получаемую обычно из классической электродинамики. Так классическая физика выводится и является следствием квантовой.

Да, описанные действия с магнитиками называются эксперимент Штерна-Герлаха.

Существует видеоверсия данного поста в и элементарного введения в квантовую механику.