У дома · На бележка · Как изглежда общата форма на диференциалното уравнение? Диференциални уравнения

Как изглежда общата форма на диференциалното уравнение? Диференциални уравнения

Или вече са решени по отношение на производната, или могат да бъдат решени по отношение на производната .

Общо решение на диференциални уравнения от типа на интервала х, което е дадено, може да се намери, като се вземе интегралът от двете страни на това равенство.

Получаваме .

Ако разгледаме свойствата на неопределения интеграл, намираме желаното общо решение:

y = F(x) + C,

Където F(x)- една от примитивните функции f(x)между х, А СЪС- произволна константа.

Моля, имайте предвид, че в повечето проблеми интервалът хне посочват. Това означава, че трябва да се намери решение за всички. х, за които и желаната функция ги оригиналното уравнение има смисъл.

Ако трябва да изчислите конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното условие y(x 0) = y 0, след това след изчисляване на общия интеграл y = F(x) + C, все още е необходимо да се определи стойността на константата C = C 0, използвайки началното условие. Тоест константа C = C 0определен от уравнението F(x 0) + C = y 0и желаното частично решение на диференциалното уравнение ще приеме формата:

y = F(x) + C 0.

Да разгледаме един пример:

Нека намерим общо решение на диференциалното уравнение и проверим правилността на резултата. Нека намерим конкретно решение на това уравнение, което ще удовлетвори първоначалното условие.

Решение:

След като интегрираме даденото диференциално уравнение, получаваме:

.

Нека вземем този интеграл, използвайки метода на интегриране по части:


Че., е общо решение на диференциалното уравнение.

За да сме сигурни, че резултатът е правилен, нека направим проверка. За да направим това, заместваме решението, което намерихме, в даденото уравнение:


.

Тоест, когато първоначалното уравнение се превръща в идентичност:

следователно общото решение на диференциалното уравнение е определено правилно.

Решението, което намерихме, е общо решение на диференциалното уравнение за всяка реална стойност на аргумента х.

Остава да се изчисли конкретно решение на ОДУ, което да удовлетворява началното условие. С други думи, необходимо е да се изчисли стойността на константата СЪС, при което ще бъде вярно равенството:

.

.

След това, заместване С = 2в общото решение на ODE, получаваме конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие:

.

Обикновено диференциално уравнение може да се реши за производната, като се разделят двете страни на уравнението на f(x). Тази трансформация ще бъде еквивалентна, ако f(x)не се превръща в нула при никакви обстоятелства хот интервала на интегриране на диференциалното уравнение х.

Има вероятни ситуации, когато за някои стойности на аргумента х ∈ хфункции f(x)И g(x)едновременно стават нула. За подобни стойности хобщото решение на диференциално уравнение е всяка функция г, което е определено в тях, т.к .

Ако за някои стойности на аргумент х ∈ хусловието е изпълнено, което означава, че в този случай ОДУ няма решения.

За всички останали хот интервала хобщото решение на диференциалното уравнение се определя от трансформираното уравнение.

Нека да разгледаме примери:

Пример 1.

Нека намерим общо решение на ODE: .

Решение.

От свойствата на основните елементарни функции става ясно, че функцията натурален логаритъм е дефинирана за неотрицателни стойности на аргумента, следователно домейнът на дефиниция на израза ln(x+3)има интервал х > -3 . Това означава, че даденото диференциално уравнение има смисъл за х > -3 . За тези стойности на аргумент изразът х+3не изчезва, така че можете да решите ODE за производната, като разделите 2-те части на х + 3.

Получаваме .

След това интегрираме полученото диференциално уравнение, решено по отношение на производната: . За да вземем този интеграл, използваме метода да го поставим под диференциалния знак.

Диференциалното уравнение е уравнение, което включва функция и една или повече от нейните производни. В повечето практически задачи функциите представляват физически величини, производните съответстват на скоростите на промяна на тези величини, а уравнението определя връзката между тях.


Тази статия обсъжда методи за решаване на някои видове обикновени диференциални уравнения, решенията на които могат да бъдат записани във формата елементарни функции, тоест полиномни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични, както и техните обратни функции. Много от тези уравнения се срещат в реалния живот, въпреки че повечето други диференциални уравнения не могат да бъдат решени с тези методи и за тях отговорът се записва под формата на специални функции или степенни редове или се намира чрез числени методи.


За да разберете тази статия, трябва да владеете диференциално и интегрално смятане, както и да имате известна представа за частни производни. Препоръчва се също така да се познават основите на линейната алгебра, приложена към диференциалните уравнения, особено диференциалните уравнения от втори ред, въпреки че познаването на диференциалното и интегралното смятане е достатъчно за решаването им.

Предварителна информация

  • Диференциалните уравнения имат обширна класификация. Тази статия говори за обикновени диференциални уравнения, тоест за уравнения, които включват функция на една променлива и нейните производни. Обикновените диференциални уравнения са много по-лесни за разбиране и решаване от частични диференциални уравнения, които включват функции на няколко променливи. Тази статия не обсъжда частични диференциални уравнения, тъй като методите за решаване на тези уравнения обикновено се определят от тяхната конкретна форма.
    • По-долу са някои примери за обикновени диференциални уравнения.
      • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
      • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
    • По-долу са някои примери за частични диференциални уравнения.
      • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
      • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
  • Поръчкана диференциално уравнение се определя от реда на най-високата производна, включена в това уравнение. Първото от горните обикновени диференциални уравнения е от първи ред, докато второто е уравнение от втори ред. Степенна диференциално уравнение е най-високата степен, на която е повдигнат един от членовете на това уравнение.
    • Например, уравнението по-долу е от трети ред и втора степен.
      • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ надясно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
  • Диференциалното уравнение е линейно диференциално уравнениев случай, че функцията и всички нейни производни са на първа степен. В противен случай уравнението е нелинейно диференциално уравнение. Линейните диференциални уравнения са забележителни с това, че техните решения могат да се използват за образуване на линейни комбинации, които също ще бъдат решения на даденото уравнение.
    • По-долу са някои примери за линейни диференциални уравнения.
    • По-долу са дадени някои примери за нелинейни диференциални уравнения. Първото уравнение е нелинейно поради синуса.
      • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
      • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
  • Общо решениеобикновеното диференциално уравнение не е уникално, то включва произволни интеграционни константи. В повечето случаи броят на произволните константи е равен на реда на уравнението. На практика стойностите на тези константи се определят въз основа на даденото начални условия, тоест според стойностите на функцията и нейните производни при x = 0. (\displaystyle x=0.)Броят на началните условия, които трябва да се намерят частно решениедиференциално уравнение, в повечето случаи също е равно на реда на даденото уравнение.
    • Например тази статия ще разгледа решаването на уравнението по-долу. Това е линейно диференциално уравнение от втори ред. Неговото общо решение съдържа две произволни константи. За да се намерят тези константи е необходимо да се знаят началните условия при x (0) (\displaystyle x(0))И x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обикновено началните условия се уточняват в точката x = 0, (\displaystyle x=0,), въпреки че това не е необходимо. Тази статия също така ще обсъди как да намерите конкретни решения за дадени начални условия.
      • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
      • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

стъпки

Част 1

Уравнения от първи ред

Когато използвате тази услуга, част от информацията може да бъде прехвърлена към YouTube.

  1. Линейни уравнения от първи ред.Този раздел обсъжда методи за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред в общи и специални случаи, когато някои членове са равни на нула. Нека се преструваме, че y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))И q (x) (\displaystyle q(x))са функции х. (\displaystyle x.)

    D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))

    P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Според една от основните теореми на математическия анализ, интегралът на производната на функция също е функция. По този начин е достатъчно просто да интегрирате уравнението, за да намерите неговото решение. Трябва да се има предвид, че при изчисляване на неопределения интеграл се появява произволна константа.

    • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

    Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Използваме метода разделяне на променливи. Това премества различни променливи към различни страни на уравнението. Например, можете да преместите всички членове от y (\displaystyle y)в едно и всички членове с x (\displaystyle x)от другата страна на уравнението. Членовете също могат да бъдат прехвърляни d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)И d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), които са включени в изразите на производни, но трябва да се помни, че това е само символ, който е удобен при диференциране на сложна функция. Обсъждане на тези членове, които се наричат диференциали, е извън обхвата на тази статия.

    • Първо, трябва да преместите променливите в противоположните страни на знака за равенство.
      • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
    • Нека интегрираме двете страни на уравнението. След интегрирането ще се появят произволни константи от двете страни, които могат да бъдат прехвърлени в дясната страна на уравнението.
      • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
      • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
    • Пример 1.1.В последната стъпка използвахме правилото e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))и заменен e C (\displaystyle e^(C))На C (\displaystyle C), тъй като това също е произволна интеграционна константа.
      • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
      • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(подравнено)))

    P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)За да намерим общо решение, ние въведохме интегриращ факторкато функция на x (\displaystyle x)за да намалим лявата страна до обща производна и по този начин да решим уравнението.

    • Умножете двете страни по μ (x) (\displaystyle \mu (x))
      • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
    • За да се намали лявата страна до общата производна, трябва да се направят следните трансформации:
      • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
    • Последното равенство означава това d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Това е интегриращ фактор, който е достатъчен за решаване на всяко линейно уравнение от първи ред. Сега можем да изведем формулата за решаване на това уравнение по отношение на μ , (\displaystyle \mu ,)въпреки че е полезно за обучение да се правят всички междинни изчисления.
      • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
    • Пример 1.2.Този пример показва как да се намери конкретно решение на диференциално уравнение с дадени начални условия.
      • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
      • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
      • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
      • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
      • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
      • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))


    Решаване на линейни уравнения от първи ред (записано от Intuit – Национален Отворен Университет).

  2. Нелинейни уравнения от първи ред. Този раздел обсъжда методи за решаване на някои нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Въпреки че няма общ метод за решаване на такива уравнения, някои от тях могат да бъдат решени с помощта на методите по-долу.

    D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
    d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Ако функцията f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))може да се раздели на функции на една променлива, такова уравнение се нарича диференциално уравнение с разделими променливи. В този случай можете да използвате горния метод:

    • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )х)
    • Пример 1.3.
      • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
      • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ начало (подравнено)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(подравнено)))

    D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Нека се преструваме, че g (x, y) (\displaystyle g(x,y))И h (x, y) (\displaystyle h(x,y))са функции x (\displaystyle x)И г. (\displaystyle y.)Тогава хомогенно диференциално уравнениее уравнение, в което g (\displaystyle g)И h (\displaystyle h)са хомогенни функциив същата степен. Тоест функциите трябва да отговарят на условието g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Където k (\displaystyle k)се нарича степен на хомогенност. Всяко хомогенно диференциално уравнение може да се използва по подходящ начин замествания на променливи (v = y / x (\displaystyle v=y/x)или v = x / y (\displaystyle v=x/y)) конвертирайте в разделимо уравнение.

    • Пример 1.4.Горното описание на хомогенността може да изглежда неясно. Нека разгледаме тази концепция с пример.
      • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
      • Като начало трябва да се отбележи, че това уравнение е нелинейно по отношение на г. (\displaystyle y.)Виждаме също, че в този случай е невъзможно да се разделят променливите. В същото време това диференциално уравнение е хомогенно, тъй като и числителят, и знаменателят са хомогенни със степен 3. Следователно можем да направим промяна на променливите v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
      • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
      • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
      • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В резултат на това имаме уравнението за v (\displaystyle v)с разделими променливи.
      • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
      • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

    D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Това Диференциално уравнение на Бернули- специален вид нелинейно уравнение от първа степен, чието решение може да бъде написано с помощта на елементарни функции.

    • Умножете двете страни на уравнението по (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
      • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
    • Използваме правилото за диференциране на сложна функция от лявата страна и трансформираме уравнението в линейно уравнение по отношение на y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)които могат да бъдат решени с помощта на горните методи.
      • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

    M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)Това уравнение в общи диференциали. Необходимо е да се намери т.нар потенциална функция φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), което отговаря на условието d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

    • За да се изпълни това условие е необходимо да има тотална производна. Общата производна отчита зависимостта от други променливи. За изчисляване на общата производна φ (\displaystyle \varphi )от x , (\displaystyle x,)предполагаме, че y (\displaystyle y)може също да зависи от х. (\displaystyle x.)
      • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
    • Сравняването на термините ни дава M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))И N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Това е типичен резултат за уравнения с няколко променливи, в които смесените производни на гладки функции са равни една на друга. Понякога този случай се нарича Теорема на Клеро. В този случай диференциалното уравнение е общо диференциално уравнение, ако е изпълнено следното условие:
      • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
    • Методът за решаване на уравнения в общите диференциали е подобен на намирането на потенциални функции при наличието на няколко производни, които ще обсъдим накратко. Първо нека се интегрираме M (\displaystyle M)от х. (\displaystyle x.)Тъй като M (\displaystyle M)е функция и x (\displaystyle x), И y , (\displaystyle y,)при интегриране получаваме непълна функция φ , (\displaystyle \varphi ,)обозначен като φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Резултатът също зависи от y (\displaystyle y)интеграционна константа.
      • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
    • След това, за да получите c (y) (\displaystyle c(y))можем да вземем частната производна на получената функция по отношение на y , (\displaystyle y,)приравнете резултата N (x, y) (\displaystyle N(x,y))и интегрирайте. Можете също първо да интегрирате N (\displaystyle N), и след това вземете частичната производна по отношение на x (\displaystyle x), което ще ви позволи да намерите произволна функция d(x). (\displaystyle d(x).)И двата метода са подходящи и обикновено за интегриране се избира по-простата функция.
      • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ частично (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
    • Пример 1.5.Можете да вземете частни производни и да видите, че уравнението по-долу е общо диференциално уравнение.
      • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
      • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
      • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
      • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
    • Ако диференциалното уравнение не е общо диференциално уравнение, в някои случаи можете да намерите интегриращ фактор, който ви позволява да го преобразувате в общо диференциално уравнение. Въпреки това, такива уравнения рядко се използват на практика, въпреки че интегриращият фактор съществува, случва се да го намерите Не е лесно, следователно тези уравнения не се разглеждат в тази статия.

Част 2

Уравнения от втори ред

  1. Хомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Тези уравнения се използват широко в практиката, така че тяхното решаване е от първостепенно значение. В този случай не говорим за хомогенни функции, а за факта, че от дясната страна на уравнението има 0. Следващият раздел ще покаже как да решите съответната разнороднидиференциални уравнения. По-долу a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)са константи.

    D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)

    Характеристично уравнение. Това диференциално уравнение е забележително с това, че може да бъде решено много лесно, ако обърнете внимание какви свойства трябва да притежават неговите решения. От уравнението става ясно, че y (\displaystyle y)и неговите производни са пропорционални една на друга. От предишни примери, които бяха обсъдени в раздела за уравнения от първи ред, знаем, че само експоненциална функция има това свойство. Следователно е възможно да се изложи анзац(обосновано предположение) какво ще бъде решението на това уравнение.

    • Решението ще има формата на експоненциална функция e r x , (\displaystyle e^(rx),)Където r (\displaystyle r)е константа, чиято стойност трябва да се намери. Заместете тази функция в уравнението и получете следния израз
      • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
    • Това уравнение показва, че произведението на експоненциална функция и полином трябва да е равно на нула. Известно е, че показателят не може да бъде равен на нула за никакви стойности на степента. От това заключаваме, че полиномът е равен на нула. Така сведохме проблема за решаване на диференциално уравнение до много по-простия проблем за решаване на алгебрично уравнение, което се нарича характеристично уравнение за дадено диференциално уравнение.
      • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
      • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
    • Имаме два корена. Тъй като това диференциално уравнение е линейно, общото му решение е линейна комбинация от частични решения. Тъй като това е уравнение от втори ред, знаем, че е така наистина лиобщо решение и няма други. По-строго оправдание за това се намира в теореми за съществуването и уникалността на решение, които могат да бъдат намерени в учебниците.
    • Полезен начин да проверите дали две решения са линейно независими е да изчислите Вронскиана. Вронскиан W (\displaystyle W)е детерминанта на матрица, чиито колони съдържат функции и техните последователни производни. Теоремата за линейната алгебра гласи, че функциите, включени в Wronskian, са линейно зависими, ако Wronskian е равен на нула. В този раздел можем да проверим дали две решения са линейно независими - за да направим това, трябва да сме сигурни, че Wronskian не е нула. Wronskian е важен при решаването на нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти по метода на вариращите параметри.
      • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
    • От гледна точка на линейната алгебра, наборът от всички решения на дадено диференциално уравнение образува векторно пространство, чиято размерност е равна на реда на диференциалното уравнение. В това пространство може да се избере основа от линейно независимирешения един от друг. Това е възможно поради факта, че функцията y (x) (\displaystyle y(x))валиден линеен оператор. Производна елинеен оператор, тъй като трансформира пространството на диференцируемите функции в пространството на всички функции. Уравненията се наричат ​​хомогенни в случаите, когато за всеки линеен оператор L (\displaystyle L)трябва да намерим решение на уравнението L [y] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

    Нека сега да разгледаме няколко конкретни примера. Ще разгледаме случая на множество корени на характеристичното уравнение малко по-късно, в раздела за намаляване на реда.

    Ако корените r ± (\displaystyle r_(\pm ))са различни реални числа, диференциалното уравнение има следното решение

    • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

    Два сложни корена.От основната теорема на алгебрата следва, че решенията на полиномни уравнения с реални коефициенти имат корени, които са реални или образуват спрегнати двойки. Следователно, ако комплексно число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )тогава е коренът на характеристичното уравнение r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )също е коренът на това уравнение. Така можем да запишем решението във формуляра c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)това обаче е комплексно число и не е желателно за решаване на практически проблеми.

    • Вместо това можете да използвате Формула на Ойлер e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), което ви позволява да напишете решението под формата на тригонометрични функции:
      • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
    • Сега можете вместо константа c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записвам c 1 (\displaystyle c_(1)), и изразът i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))заменен от c 2 . (\displaystyle c_(2).)След това получаваме следното решение:
      • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
    • Има друг начин да напишете решението по отношение на амплитудата и фазата, който е по-подходящ за физични задачи.
    • Пример 2.1.Нека намерим решение на даденото по-долу диференциално уравнение с дадените начални условия. За да направите това, трябва да вземете получения разтвор, както и неговата производна, и ги заместваме в началните условия, което ще ни позволи да определим произволни константи.
      • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
      • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )и)
      • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
      • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
      • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
      • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
      • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))


    Решаване на диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти (записано от Intuit - Национален отворен университет).

  2. Намаляващ ред.Намаляването на реда е метод за решаване на диференциални уравнения, когато е известно едно линейно независимо решение. Този метод се състои в понижаване на реда на уравнението с единица, което ви позволява да решите уравнението, като използвате методите, описани в предишния раздел. Нека решението е известно. Основната идея за намаляване на поръчката е да се намери решение във формата по-долу, където е необходимо да се дефинира функцията v (x) (\displaystyle v(x)), замествайки го в диференциалното уравнение и намирайки v(x). (\displaystyle v(x).)Нека да разгледаме как може да се използва намаляване на реда за решаване на диференциално уравнение с постоянни коефициенти и множество корени.


    Множество коренихомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Спомнете си, че уравнение от втори ред трябва да има две линейно независими решения. Ако характеристичното уравнение има множество корени, множеството от решения Необразува пространство, тъй като тези решения са линейно зависими. В този случай е необходимо да се използва намаляване на реда, за да се намери второ линейно независимо решение.

    • Нека характеристичното уравнение има множество корени r (\displaystyle r). Да приемем, че второто решение може да бъде записано във формата y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), и го заместете в диференциалното уравнение. В този случай повечето членове, с изключение на члена с втората производна на функцията v, (\displaystyle v,)ще бъдат намалени.
      • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
    • Пример 2.2.Нека е дадено следното уравнение, което има множество корени r = − 4. (\displaystyle r=-4.)По време на заместването повечето термини се намаляват.
      • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
      • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\край (подравнено)))
      • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
    • Подобно на нашия анзац за диференциално уравнение с постоянни коефициенти, в този случай само втората производна може да бъде равна на нула. Интегрираме два пъти и получаваме желания израз за v (\displaystyle v):
      • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
    • Тогава общото решение на диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случая, когато характеристичното уравнение има множество корени, може да бъде записано в следната форма. За удобство можете да запомните, че за да получите линейна независимост е достатъчно просто да умножите втория член по x (\displaystyle x). Този набор от решения е линейно независим и по този начин сме намерили всички решения на това уравнение.
      • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

    D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Намаляването на поръчката е приложимо, ако решението е известно y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), които могат да бъдат намерени или дадени в формулировката на проблема.

    • Търсим решение във формата y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))и го заместете в това уравнение:
      • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
    • Тъй като y 1 (\displaystyle y_(1))е решение на диференциално уравнение, всички членове с v (\displaystyle v)се намаляват. Накрая остава линейно уравнение от първи ред. За да видим това по-ясно, нека направим промяна на променливите w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
      • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
      • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
      • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
    • Ако интегралите могат да бъдат изчислени, получаваме общото решение като комбинация от елементарни функции. В противен случай решението може да се остави в интегрална форма.

  3. Уравнение на Коши-Ойлер.Уравнението на Коши-Ойлер е пример за диференциално уравнение от втори ред с променливикоефициенти, който има точни решения. Това уравнение се използва на практика, например, за решаване на уравнението на Лаплас в сферични координати.

    X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)

    Характеристично уравнение.Както можете да видите, в това диференциално уравнение всеки член съдържа фактор на мощността, чиято степен е равна на порядъка на съответната производна.

    • Така можете да опитате да потърсите решение във формата y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)където е необходимо да се определи n (\displaystyle n), точно както търсихме решение под формата на експоненциална функция за линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. След диференциране и заместване получаваме
      • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
    • За да използваме характеристичното уравнение, трябва да приемем, че x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Точка x = 0 (\displaystyle x=0)Наречен правилна особена точкадиференциално уравнение. Такива точки са важни при решаване на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Това уравнение има два корена, които могат да бъдат различни и реални, многократно или комплексно спрегнати.
      • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

    Два различни реални корена.Ако корените n ± (\displaystyle n_(\pm ))са реални и различни, тогава решението на диференциалното уравнение има следната форма:

    • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

    Два сложни корена.Ако характеристичното уравнение има корени n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), решението е сложна функция.

    • За да трансформираме решението в реална функция, правим промяна на променливите x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)това е t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)и използвайте формулата на Ойлер. Подобни действия бяха извършени преди това при определяне на произволни константи.
      • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
    • Тогава общото решение може да бъде написано като
      • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

    Множество корени.За да се получи второ линейно независимо решение, е необходимо редуцирането отново.

    • Необходими са доста изчисления, но принципът остава същият: ние заместваме y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))в уравнение, чието първо решение е y 1 (\displaystyle y_(1)). След редукции се получава следното уравнение:
      • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
    • Това е линейно уравнение от първи ред по отношение на v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Неговото решение е v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Така решението може да се запише в следната форма. Това е доста лесно за запомняне - за получаване на второто линейно независимо решение просто е необходим допълнителен член с ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
      • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

  4. Нееднородни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Нееднородните уравнения имат вида L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Където f (x) (\displaystyle f(x))- т.нар безплатен член. Според теорията на диференциалните уравнения общото решение на това уравнение е суперпозиция частно решение y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))И допълнително решение y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)В този случай обаче конкретно решение не означава решение, дадено от началните условия, а по-скоро решение, което се определя от наличието на хетерогенност (свободен термин). Допълнително решение е решение на съответното хомогенно уравнение, в което f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Цялостното решение е суперпозиция на тези две решения, тъй като L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), и оттогава L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)такава суперпозиция е наистина общо решение.

    D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))

    Метод на неопределените коефициенти.Методът на неопределените коефициенти се използва в случаите, когато интерсептът е комбинация от експоненциални, тригонометрични, хиперболични или степенни функции. Гарантирано е, че само тези функции имат краен брой линейно независими производни. В този раздел ще намерим конкретно решение на уравнението.

    • Нека сравним термините в f (x) (\displaystyle f(x))с условия в без да се обръща внимание на постоянни фактори. Има три възможни случая.
      • Няма два еднакви члена.В този случай конкретно решение y p (\displaystyle y_(p))ще бъде линейна комбинация от членове от y p (\displaystyle y_(p))
      • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е нула или положително цяло число и този член съответства на отделен корен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))ще се състои от комбинация от функцията x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)неговите линейно независими производни, както и други термини f (x) (\displaystyle f(x))и техните линейно независими производни.
      • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член h (x) , (\displaystyle h(x),) което е произведение x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е равно на 0 или положително цяло число и този член съответства на многократникорен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))е линейна комбинация от функцията x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Където s (\displaystyle s)- кратност на корена) и неговите линейно независими производни, както и други членове на функцията f (x) (\displaystyle f(x))и неговите линейно независими производни.
    • Нека го запишем y p (\displaystyle y_(p))като линейна комбинация от термините, изброени по-горе. Поради тези коефициенти в линейна комбинация, този метод се нарича „метод на неопределените коефициенти“. Когато се съдържа в y c (\displaystyle y_(c))термините могат да бъдат отхвърлени поради наличието на произволни константи в y c . (\displaystyle y_(c).)След това заместваме y p (\displaystyle y_(p))в уравнението и приравнете подобни членове.
    • Ние определяме коефициентите. На този етап се получава система от алгебрични уравнения, която обикновено се решава без проблеми. Решението на тази система ни позволява да получим y p (\displaystyle y_(p))и по този начин да реши уравнението.
    • Пример 2.3.Нека разгледаме нехомогенно диференциално уравнение, чийто свободен член съдържа краен брой линейно независими производни. Конкретно решение на такова уравнение може да се намери чрез метода на неопределените коефициенти.
      • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
      • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
      • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
      • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(подравнено)))
      • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ край (случаи)))
      • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

    Метод на Лагранж.Методът на Лагранж или методът на вариация на произволни константи е по-общ метод за решаване на нехомогенни диференциални уравнения, особено в случаите, когато интерсептираният член не съдържа краен брой линейно независими производни. Например с безплатни условия tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)или x − n (\displaystyle x^(-n))за намиране на определено решение е необходимо да се използва методът на Лагранж. Методът на Лагранж може дори да се използва за решаване на диференциални уравнения с променливи коефициенти, въпреки че в този случай, с изключение на уравнението на Коши-Ойлер, той се използва по-рядко, тъй като допълнителното решение обикновено не се изразява чрез елементарни функции.

    • Да приемем, че решението има следния вид. Производната му е дадена във втория ред.
      • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
      • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
    • Тъй като предложеното решение съдържа двенеизвестни количества, е необходимо да се наложи допълнителенсъстояние. Нека изберем това допълнително условие в следната форма:
      • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
      • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
      • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
    • Сега можем да получим второто уравнение. След заместване и преразпределение на членове, можете да групирате заедно членове с v 1 (\displaystyle v_(1))и членове с v 2 (\displaystyle v_(2)). Тези срокове са намалени, защото y 1 (\displaystyle y_(1))И y 2 (\displaystyle y_(2))са решения на съответното хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме следната система от уравнения
      • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
    • Тази система може да се трансформира в матрично уравнение от вида A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)чието решение е x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)За матрица 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2)обратната матрица се намира чрез разделяне на детерминантата, пренареждане на диагоналните елементи и промяна на знака на недиагоналните елементи. Всъщност детерминантата на тази матрица е Wronskian.
      • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
    • Изрази за v 1 (\displaystyle v_(1))И v 2 (\displaystyle v_(2))са дадени по-долу. Както при метода на редукция, и в този случай при интегрирането се появява произволна константа, която включва допълнително решение в общото решение на диференциалното уравнение.
      • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
      • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)


    Лекция от Национален отворен университет Интуит на тема "Линейни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти".

Практическа употреба

Диференциалните уравнения установяват връзка между функция и една или повече от нейните производни. Тъй като такива връзки са изключително често срещани, диференциалните уравнения са намерили широко приложение в различни области и тъй като живеем в четири измерения, тези уравнения често са диференциални уравнения в частенпроизводни. Този раздел обхваща някои от най-важните уравнения от този тип.

  • Експоненциален растеж и разпад.Радиоактивно разпадане. Сложна лихва. Скоростта на химичните реакции. Концентрация на лекарства в кръвта. Неограничен растеж на населението. Закон на Нютон-Рихман. Има много системи в реалния свят, в които скоростта на нарастване или разпадане във всеки даден момент е пропорционална на количеството в даден момент или може да бъде добре апроксимирана от модел. Това е така, защото решението на дадено диференциално уравнение, експоненциалната функция, е една от най-важните функции в математиката и други науки. По-общо, при контролиран растеж на населението, системата може да включва допълнителни условия, които ограничават растежа. В уравнението по-долу, константата k (\displaystyle k)може да бъде по-голямо или по-малко от нула.
    • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
  • Хармонични вибрации.Както в класическата, така и в квантовата механика, хармоничният осцилатор е една от най-важните физически системи поради своята простота и широко приложение при апроксимиране на по-сложни системи като обикновено махало. В класическата механика хармоничните вибрации се описват с уравнение, което свързва позицията на материална точка с нейното ускорение чрез закона на Хук. В този случай могат да се вземат предвид и затихването и движещите сили. В израза по-долу x ˙ (\displaystyle (\точка (x)))- времева производна на x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- параметър, който описва силата на затихване, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ъглова честота на системата, F (t) (\displaystyle F(t))- зависима от времето движеща сила. Хармоничният осцилатор присъства и в електромагнитните осцилаторни вериги, където може да се реализира с по-голяма точност, отколкото в механичните системи.
    • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
  • Уравнение на Бесел.Диференциалното уравнение на Бесел се използва в много области на физиката, включително решаване на вълновото уравнение, уравнението на Лаплас и уравнението на Шрьодингер, особено при наличието на цилиндрична или сферична симетрия. Това диференциално уравнение от втори ред с променливи коефициенти не е уравнение на Коши-Ойлер, така че неговите решения не могат да бъдат записани като елементарни функции. Решенията на уравнението на Бесел са функциите на Бесел, които са добре проучени поради приложението им в много области. В израза по-долу α (\displaystyle \alpha )- константа, която съответства в редФункции на Бесел.
    • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
  • Уравнения на Максуел.Заедно със силата на Лоренц, уравненията на Максуел формират основата на класическата електродинамика. Това са четирите частични диференциални уравнения за електричество E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))и магнитни B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))полета. В изразите по-долу ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- плътност на заряда, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- плътност на тока и ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))И μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- съответно електрически и магнитни константи.
    • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
  • Уравнение на Шрьодингер.В квантовата механика уравнението на Шрьодингер е основното уравнение на движението, което описва движението на частиците в съответствие с промяната на вълновата функция Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))с време. Уравнението на движението се описва от поведението Хамилтонов H^(\displaystyle (\hat (H))) - оператор, който описва енергията на системата. Един от добре известните примери за уравнението на Шрьодингер във физиката е уравнението за една нерелативистична частица, подложена на потенциала V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Много системи са описани от зависимото от времето уравнение на Шрьодингер, а от лявата страна на уравнението е E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)Където E (\displaystyle E)- енергия на частиците. В изразите по-долу ℏ (\displaystyle \hbar )- намалена константа на Планк.
    • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
    • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
  • Вълново уравнение.Физиката и технологиите не могат да се представят без вълни, те присъстват във всички видове системи. Като цяло вълните се описват с уравнението по-долу, в което u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))е желаната функция и c (\displaystyle c)- експериментално определена константа. d'Alembert беше първият, който откри, че за едномерния случай решението на вълновото уравнение е всякаквифункция с аргумент x − c t (\displaystyle x-ct), който описва вълна с произволна форма, разпространяваща се надясно. Общото решение за едномерния случай е линейна комбинация от тази функция с втора функция с аргумент x + c t (\displaystyle x+ct), което описва вълна, разпространяваща се наляво. Това решение е представено във втория ред.
    • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
    • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
  • Уравнения на Навие-Стокс.Уравненията на Навие-Стокс описват движението на течности. Тъй като течностите присъстват на практика във всяка област на науката и технологиите, тези уравнения са изключително важни за прогнозиране на времето, проектиране на самолети, изучаване на океанските течения и решаване на много други приложни проблеми. Уравненията на Навие-Стокс са нелинейни частични диференциални уравнения и в повечето случаи са много трудни за решаване, тъй като нелинейността води до турбулентност и получаването на стабилно решение чрез числени методи изисква разделяне на много малки клетки, което изисква значителна изчислителна мощност. За практически цели в хидродинамиката се използват методи като усредняване на времето за моделиране на турбулентни потоци. Дори по-основни въпроси като съществуването и уникалността на решенията на нелинейни частични диференциални уравнения са предизвикателство, а доказването на съществуването и уникалността на решение на уравненията на Навие-Стокс в три измерения е сред математическите проблеми на хилядолетието. По-долу са уравнението на потока на несвиваем флуид и уравнението за непрекъснатост.
    • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)
  • Много диференциални уравнения просто не могат да бъдат решени с помощта на горните методи, особено тези, споменати в последния раздел. Това се прилага, когато уравнението съдържа променливи коефициенти и не е уравнение на Коши-Ойлер, или когато уравнението е нелинейно, освен в няколко много редки случая. Горните методи обаче могат да решават много важни диференциални уравнения, които често се срещат в различни области на науката.
  • За разлика от диференцирането, което ви позволява да намерите производната на всяка функция, интегралът на много изрази не може да бъде изразен в елементарни функции. Така че не губете време в опити да изчислите интеграл там, където е невъзможно. Вижте таблицата с интегралите. Ако решението на диференциално уравнение не може да бъде изразено чрез елементарни функции, понякога то може да бъде представено в интегрална форма и в този случай няма значение дали този интеграл може да бъде изчислен аналитично.

Предупреждения

  • Външен виддиференциалното уравнение може да бъде подвеждащо. Например, по-долу са две диференциални уравнения от първи ред. Първото уравнение може лесно да бъде решено с помощта на методите, описани в тази статия. На пръв поглед незначителна промяна y (\displaystyle y)На y 2 (\displaystyle y^(2))във второто уравнение го прави нелинейно и става много трудно за решаване.
    • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
    • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Приложение

Решаване на диференциални уравнения онлайн на уебсайта за учениците, за да консолидират материала, който са преминали. И трениране на вашите практически умения. Диференциални уравнения онлайн. Difurs онлайн, решаване на математика онлайн. Стъпка по стъпка решения на математически задачи онлайн. Редът или степента на диференциалното уравнение е най-високият ред на производните, включени в него. Диференциални уравнения онлайн. Процесът на решаване на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблемът с интегрирането на диференциално уравнение се счита за решен, ако намирането на неизвестна функция може да бъде доведено до квадратура, независимо дали полученият интеграл е изразен в крайна форма чрез известни функции или не. Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. Всички диференциални уравнения могат да бъдат разделени на обикновени диференциални уравнения (ODE), които включват само функции (и техните производни) на един аргумент, и частични диференциални уравнения (PDE), в които входните функции зависят от много променливи. Диференциални уравнения онлайн. Съществуват и стохастични диференциални уравнения (SDE), включващи случайни процеси. Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. В зависимост от комбинациите от производни, функции и независими променливи диференциалните уравнения се делят на линейни и нелинейни, с постоянни или променливи коефициенти, хомогенни или нехомогенни. Поради важността на приложенията, квазилинейните (линейни по отношение на по-високите производни) частични диференциални уравнения се класифицират в отделен клас. Решенията на диференциалните уравнения се делят на общи и частни решения. Диференциални уравнения онлайн. Общите решения включват неопределени константи, а за частични диференциални уравнения произволни функции на независими променливи, които могат да бъдат прецизирани от допълнителни условия за интегриране (начални условия за обикновени диференциални уравнения, начални и гранични условия за частични диференциални уравнения). Стъпка по стъпка решение на диференциални уравнения онлайн. След определяне вида на посочените постоянни и неопределени функции, решенията стават частни. Търсенето на решения на обикновени диференциални уравнения доведе до създаването на клас специални функции - функции, често срещани в приложения, които не могат да бъдат изразени чрез известни елементарни функции. Диференциални уравнения онлайн. Техните свойства бяха подробно проучени, съставени бяха таблици със стойности, определени взаимни връзки и др. . Наборът от изброени числа може да бъде изследван. Най-добрият отговор на зададения проблем. Как да намерим, като първо приближение, изходящия вектор към областта на конвергенция относно диференциалните уравнения, без да открием намерената горна граница. Изборът е очевиден за увеличаване на математическите функции. Има прогресивен метод над нивото на изследване. Подравняването на първоначалното условие на проблема с решаването на диференциални уравнения ще ви помогне да намерите уникално избрана стойност. Възможно е той веднага да идентифицира неизвестното. Както в предишния пример за определяне на решение на математически проблем, линейните диференциални уравнения са отговорът на конкретен проблем в определен период от време. Поддържането на изследователската процедура не е локално определено. Ще бъде, че за всеки ученик се намира пример и решението на диференциалните уравнения ще се определя от лицето, назначено на отговорното лице от поне две стойности. Вземете функция с обща стойност на определен сегмент и предупредете по коя ос ще има празнина. Изучавайки диференциални уравнения онлайн, е възможно недвусмислено да се покаже колко важен е резултатът, ако е предвиден от началните условия. Изрязването на област от дефиниция на функция е невъзможно, тъй като няма локална дефиниция за задачата. Намерен от система от уравнения, отговорът съдържа променлива, която е изброима в общия смисъл, но решаването на диференциално уравнение онлайн естествено ще бъде възможно без това действие за определяне на споменатото условие. До интервала на сегмента можете да видите как решаването на диференциални уравнения онлайн може да придвижи резултата от изследването в положителна посока в момента на прекъсване на знанията на учениците. Най-доброто не винаги идва от общоприет подход към бизнеса. На ниво 2x е полезно да прегледате всички необходими линейни диференциални уравнения в естествено представяне, но възможността за изчисляване на числената стойност ще доведе до подобряване на знанията. Според всеки метод в математиката има диференциални уравнения, които са представени в съществено различни изрази, като хомогенни или комплексни. След извършване на общ анализ на изследването на функцията става ясно, че решаването на диференциали като набор от възможности представлява ясна грешка в стойностите. Истината в него се крие в пространството над абсцисните линии. Някъде в областта на дефинирането на сложна функция, в някакъв момент от дефиницията й, линейните диференциални уравнения ще могат да представят отговора в аналитична форма. тоест в общи линии като същност. Нищо не се променя, когато промените променливата. Трябва обаче да погледнете отговора с особен интерес. По същество калкулаторът променя връзката в крайна сметка, тоест как решението на диференциалните уравнения е пропорционално на глобалната стойност и се обозначава в границите на желаното решение. В някои случаи масивното предупреждение за грешка е неизбежно. Онлайн диференциалните уравнения реализират обща представа за проблема, но в крайна сметка е необходимо да се предвидят положителните аспекти на векторния продукт възможно най-скоро. В математиката случаите на погрешни схващания в теорията на числата не са необичайни. Определено ще е необходима проверка. Разбира се, по-добре е да дадете това право на професионалисти в своята област и те ще ви помогнат да решите диференциалното уравнение онлайн, тъй като техният опит е колосален и положителен. Разликата в повърхностите на фигурите и областта е такава, че не решаването на диференциални уравнения онлайн ще ви позволи да видите, но наборът от непресичащи се обекти е такъв, че линията е успоредна на оста. В резултат на това можете да получите два пъти повече стойности. Въпреки че не е изрично, нашето разбиране за коректността на формалната нотация включва линейни диференциални уравнения както в областта на гледане, така и във връзка с умишленото надценяване на качеството на резултата. Панелна дискусия по тема, която интересува всички ученици, се преглежда няколко пъти. По време на изучаването на пълния курс от лекции ние ще съсредоточим голямото си внимание върху диференциалните уравнения и свързаните с тях области на научно изследване, ако това не противоречи на истината. Много стъпки могат да бъдат избегнати в началото на пътуването. Ако решаването на диференциални уравнения все още е нещо фундаментално ново за учениците, тогава старото изобщо не е забравено, а напредва в бъдещето с висока скорост на развитие. Първоначално условията за задачата по математика се различават, но това е посочено в параграфа вдясно. След изтичане на определеното по дефиниция време не може да се изключи възможността за пропорционално зависим резултат от различни равнини на векторно движение. Такъв прост случай може да бъде коригиран по същия начин, както линейните диференциални уравнения са описани на калкулатор в обща форма, ще бъде по-бързо и отместването на изчисленията няма да доведе до погрешно мнение. Само пет случая, наречени според теорията, могат да прокарат границите на случващото се. Нашето решение на диференциални уравнения ще ви помогне ръчно да изчислите стойността в числа още на първите етапи от разлагането на функционалното пространство. На правилните места е необходимо да се представи точката на контакт на четирите линии в общ смисъл. Но ако трябва да изместите задачата, тогава ще бъде лесно да приравните сложността. Първоначалните данни са достатъчни за проектиране на съседния крак и онлайн диференциалните уравнения изглеждат подравнени вляво и повърхността е едностранно насочена към ротора на вектора. Над горната граница са възможни числени стойности извън определеното условие. Възможно е да се вземе предвид математическата формула и да се реши диференциалното уравнение онлайн, като се използват три неизвестни в общата стойност на пропорцията. Местният метод на изчисление се признава за валиден. Координатната система е правоъгълна при относителното движение на равнината. Общото решение на диференциални уравнения онлайн ни позволява недвусмислено да направим заключение в полза на изчислително преминаване през дефиниции на матрици върху цялата права линия, разположена над графиката на изрично определена функция. Решението е ясно видимо, ако приложите вектора на движение към точката на контакт на трите полукълба. Цилиндърът се получава чрез завъртане на правоъгълника около страната и линейните диференциални уравнения ще могат да покажат посоката на движение на точката според дадените изрази на нейния закон за движение. Изходните данни са верни и задачата по математика е взаимозаменяема при едно просто условие. Въпреки това, поради обстоятелства, поради сложността на поставената подзадача, диференциалните уравнения опростяват процеса на изчисляване на числови пространства на ниво триизмерно пространство. Лесно е да се докаже обратното, но може да се избегне, както в дадения пример. Във висшата математика са предвидени следните точки: когато даден проблем е сведен до опростен вид, трябва да се положат възможно най-големи усилия от страна на студентите към него. Вземат се предвид линии, насложени една върху друга. Относно решаването на диференциали все още се възобновява предимството на споменатия метод върху крива линия. Ако първо разпознаете нещо, което не е това, от което се нуждаете, тогава математическата формула ще създаде ново значение за израза. Целта е оптимален подход за решаване на поставените от професора задачи. Не трябва да приемате, че линейните диференциални уравнения в опростена форма ще надхвърлят очаквания резултат. Поставяме три вектора върху крайно съставена повърхност. ортогонални един на друг. Да изчислим произведението. Нека добавим по-голям брой символи и да изпишем всички променливи на функцията от получения израз. Има пропорция. Няколко действия, предшестващи края на изчислението, няма да дадат недвусмислен отговор на решението на диференциалните уравнения веднага, а само след като изтече определеното време по оста y. Вляво от точката на прекъсване, посочена имплицитно от функцията, начертаваме ос, ортогонална на най-добрия нарастващ вектор и поставяме онлайн диференциални уравнения по най-малката гранична стойност на долната повърхност на математическия обект. Добавяме допълнителния аргумент в областта за прекъсване на функцията. Вдясно от точките, където се намира кривата линия, формулите, които сме написали за привеждане до общ знаменател, ще ви помогнат да решите диференциалното уравнение онлайн. Ние ще вземем единствения правилен подход, който ще хвърли светлина върху нерешените проблеми от теория към практика, в общия случай недвусмислено. Линиите по посока на координатите на дадените точки никога не затваряха крайната позиция на квадрата, но решаването на диференциални уравнения онлайн ще помогне на учениците, нас и просто начинаещите в тази област в изучаването на математика. Говорим за възможността за заместване на аргумент стойност във всички значими редове на едно поле. По принцип, както може да се очаква, нашите линейни диференциални уравнения са нещо изолирано в едно понятие с даденото значение. За да помогне на студентите, един от най-добрите калкулатори сред подобни услуги. Вземете всички курсове и изберете най-добрия за себе си.

=

Нека разгледаме линейно хомогенно уравнение от втори ред, т.е. уравнението

и установете някои свойства на неговите решения.

Имот 1
Ако е решение на линейно хомогенно уравнение, тогава ° С, Където ° С- произволна константа, е решение на същото уравнение.
Доказателство.
Заместване в лявата страна на разглежданото уравнение ° С, получаваме: ,
но защото е решение на първоначалното уравнение.
следователно

и валидността на това свойство е доказана.

Имот 2
Сумата от две решения на линейно хомогенно уравнение е решение на едно и също уравнение.
Доказателство.
Тогава нека и са решения на разглежданото уравнение
И .
Сега, замествайки + в разглежданото уравнение, ще имаме:
, т.е. + е решението на първоначалното уравнение.
От доказаните свойства следва, че като знаем две конкретни решения на линейно хомогенно уравнение от втори ред, можем да получим решението , в зависимост от две произволни константи, т.е. от броя на константите, които уравнението от втори ред трябва да съдържа общо решение. Но това решение ще бъде ли генерално, т.е. Възможно ли е да се удовлетворят произволно зададени начални условия чрез избор на произволни константи?
Когато отговаряме на този въпрос, ще използваме концепцията за линейна независимост на функциите, която може да бъде дефинирана по следния начин.

Двете функции се извикват линейно независимина определен интервал, ако съотношението им на този интервал не е постоянно, т.е. Ако
.
В противен случай функциите се извикват линейно зависими.
С други думи се казва, че две функции са линейно зависими от определен интервал, ако от целия интервал.

Примери

1. Функции y 1 = д х и y 2 = д -х са линейно независими за всички стойности на x, тъй като
.
2. Функции y 1 = д х и y 2 = 5 е х линейно зависими, т.к
.

Теорема 1.

Ако функциите и са линейно зависими от определен интервал, тогава детерминантата се нарича Определителят на Вронски дадени функции е идентично равен на нула в този интервал.

Доказателство.

Ако
,
където , тогава и .
следователно
.
Теоремата е доказана.

Коментирайте.
Детерминантата на Вронски, която се появява в разглежданата теорема, обикновено се означава с буквата Уили символи .
Ако функциите са решения на линейно хомогенно уравнение от втори ред, то за тях е валидна следната обратна и освен това по-силна теорема.

Теорема 2.

Ако детерминантата на Wronski, съставена за решения и линейно хомогенно уравнение от втори ред, се нулира поне в една точка, тогава тези решения са линейно зависими.

Доказателство.

Нека детерминантата на Вронски се нулира в точката , т.е. =0,
и нека и .
Да разгледаме линейна хомогенна система

относително непознат и .
Детерминантата на тази система съвпада със стойността на детерминантата на Вронски при
x=, т.е. съвпада с , и следователно е равно на нула. Следователно системата има ненулево решение и ( и не са равни на нула). Използвайки тези стойности и, разгледайте функцията. Тази функция е решение на същото уравнение като функциите и. В допълнение, тази функция удовлетворява нулеви начални условия: , защото И .
От друга страна, очевидно е, че решението на уравнението, удовлетворяващо нулевите начални условия, е функцията г=0.
Поради уникалността на решението имаме: . Откъдето следва, че
,
тези. функции и са линейно зависими. Теоремата е доказана.

Последствия.

1. Ако детерминантата на Вронски, фигурираща в теоремите, е равна на нула за някаква стойност x=, то е равно на нула за всяка стойност хот разглеждания интервал.

2. Ако решенията са линейно независими, тогава детерминантата на Wronski не изчезва в нито една точка от разглеждания интервал.

3. Ако детерминантата на Wronski е различна от нула поне в една точка, тогава решенията са линейно независими.

Теорема 3.

Ако и са две линейно независими решения на хомогенно уравнение от втори ред, тогава функцията , където и са произволни константи, е общо решение на това уравнение.

Доказателство.

Както е известно, функцията е решение на разглежданото уравнение за всякакви стойности на и . Нека сега докажем, че каквито и да са началните условия
И ,
възможно е да се изберат стойностите на произволни константи и така съответното конкретно решение да отговаря на дадените начални условия.
Замествайки началните условия в равенствата, получаваме система от уравнения
.
От тази система е възможно да се определи и , тъй като детерминанта на тази система

има определител на Вронски за x=и следователно не е равно на нула (поради линейната независимост на решенията и ).

; .

Конкретно решение с получените стойности и удовлетворяващо зададените начални условия. Така теоремата е доказана.

Примери

Пример 1.

Общото решение на уравнението е решението .
Наистина ли,
.

Следователно функциите sinx и cosx са линейно независими. Това може да се провери чрез разглеждане на връзката на тези функции:

.

Пример 2.

Решение y = C 1 д х +C 2 д -х уравнението е общо, т.к .

Пример 3.

Уравнението , чиито коефициенти и
непрекъснат на всеки интервал, несъдържащ точката x = 0, допуска частични решения

(лесно се проверява чрез заместване). Следователно общото му решение има формата:
.

Коментирайте

Ние установихме, че общото решение на линейно хомогенно уравнение от втори ред може да бъде получено чрез познаване на всеки две линейно независими частични решения на това уравнение. Въпреки това, няма общи методи за намиране на такива частични решения в крайна форма за уравнения с променливи коефициенти. За уравнения с постоянни коефициенти такъв метод съществува и ще бъде разгледан по-късно.


В някои задачи на физиката не е възможно да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но е възможно да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е структурирана по такъв начин, че с нулеви познания по диференциални уравнения можете да се справите със задачата си.

Всеки тип диференциално уравнение е свързано с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Всичко, което трябва да направите, е да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) на различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо ще разгледаме типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат разрешени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

    Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата.

    Нека напишем няколко примера за такова дистанционно управление .

    Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнение, което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f(x) ≠ 0. Примери за такива ODE са.

    Ако има стойности на аргумента x, при които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумент. Примери за такива диференциални уравнения включват:

Диференциални уравнения от втори ред.

    Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    LDE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциално уравнение. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или сложни конюгати. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

    Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LODE с постоянни коефициенти има формата

    Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    Общото решение на LDDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси под формата на сумата от общото решение на съответния LDDE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f(x) от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариране на произволни константи.

    Като примери за LDDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние даваме

    За да разберете теорията и да се запознаете с подробни решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

    Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения (LNDE) от втори ред.

    Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LDDE с постоянни коефициенти.

    Общото решение на LODE на определен сегмент е представено от линейна комбинация от две линейно независими частични решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

    Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частни решения на диференциално уравнение от този тип. Обикновено конкретните решения се избират от следните системи от линейно независими функции:

    Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

    Пример за LOD е .

    Общото решение на LDDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LDDE, а е частното решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането му, но то може да се определи с помощта на метода на вариране на произволни константи.

    Може да се даде пример за LNDU .

Диференциални уравнения от по-високи редове.

    Диференциални уравнения, които позволяват редукция.

    Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

    В този случай първоначалното диференциално уравнение ще бъде намалено до . След намиране на неговото решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

    Например диференциалното уравнение след замяната то ще се превърне в уравнение с разделими променливи и редът му ще бъде намален от трети на първи.