Класическа вероятност. Вероятността за случайно събитие. Независимост на събитията. Теорема за умножение на вероятностите

Първоначално, бидейки просто сбор от информация и емпирични наблюдения за играта на зарове, теорията на вероятностите се превърна в задълбочена наука. Първите, които му дадоха математическа рамка, бяха Ферма и Паскал.

От мисълта за вечното до теорията на вероятностите

Двамата личности, на които теорията на вероятностите дължи много от своите фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, като последният е презвитериански свещеник. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението, че определена съдба дава късмет на своите фаворити, е дало тласък на изследванията в тази област. В края на краищата всъщност всяка хазартна игра с нейните печалби и загуби е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на страстта на Шевалие дьо Мер, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от следния въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надвишава 50%?“ Вторият въпрос, който беше от голям интерес за господина: „Как да разделим залога между участниците в незавършената игра?“ Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мере, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мер остава известна в тази област, а не в литературата.

Преди това нито един математик не се е опитвал да изчисли вероятностите за събития, тъй като се смяташе, че това е само предполагаемо решение. Блез Паскал даде първото определение на вероятността за събитие и показа, че това е конкретна цифра, която може да бъде математически обоснована. Теорията на вероятностите се е превърнала в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от вероятните резултати от експеримента.

Опитът е изпълнението на конкретни действия при постоянни условия.

За да може да се работи с резултатите от експеримента, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E...

Вероятност за случайно събитие

За да започне математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността някакво събитие (А или Б) да се случи в резултат на преживяване. Вероятността се означава като P(A) или P(B).

В теорията на вероятностите те разграничават:

• надежденсъбитието е гарантирано да се случи в резултат на опита P(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи P(Ø) = 0;
• случаенсъбитието се намира между надеждно и невъзможно, т.е. вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в диапазона 0≤Р(А)≤ 1).

Връзки между събития

Вземат се предвид както едно, така и сумата от събития A+B, когато събитието се брои, когато поне един от компонентите, A или B, или и двата, A и B, е изпълнен.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• Съвместим.
• Несъвместим.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие A не намалява до нула вероятността за настъпване на събитие B, тогава те съвместим.

Ако събития A и B никога не се случват едновременно в едно и също преживяване, тогава те се извикват несъвместими. Хвърлянето на монета е добър пример: появата на глави автоматично означава непоява на глави.

Вероятността за сумата от такива несъвместими събития се състои от сумата от вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно настъпването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като „не A“). Настъпването на събитие A означава, че Ā не се е случило. Тези две събития образуват пълна група със сума от вероятности, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, като намаляват или увеличават вероятността едно от друго.

Връзки между събития. Примери

С помощта на примери е много по-лесно да се разберат принципите на теорията на вероятностите и комбинациите от събития.

Експериментът, който ще се проведе, се състои в изваждане на топки от кутия, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитието е един от възможните резултати от експеримент - червена топка, синя топка, топка с номер шест и т.н.

Тест №1. Участват 6 топки, три от които са сини с нечетни числа по тях, а другите три са червени с четни числа.

Тест No2. Има 6 сини топки с числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да именуваме комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2 събитието „вземете синята топка“ е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е равна на 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е случайно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието „получаване на лилавата топка“ е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еднакво възможни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с номер 2“ и „вземете топката с номер 3“ са еднакво възможни, както и събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с номер 2“ ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шест два пъти подред, докато хвърляте зар, е съвместимо събитие.
• Несъвместими събития.На същия испански № 1, събитията „вземете червена топка“ и „вземете топка с нечетно число“ не могат да се комбинират в едно и също преживяване.
• Противоположни събития.Най-яркият пример за това е хвърлянето на монета, където тегленето на глави е еквивалентно на нетеглене на опашки и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански № 1, можете да си поставите за цел да изтеглите червената топка два пъти подред. Независимо дали е изтеглен за първи път, влияе върху вероятността да бъде изтеглен втори път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността от второто (40% и 60%).

Формула за вероятност на събитието

Преходът от гадаене към точни данни става чрез превод на темата в математическа равнина. Тоест преценките за случайно събитие като „висока вероятност“ или „минимална вероятност“ могат да бъдат преведени в конкретни числени данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От изчислителна гледна точка, определянето на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опит по отношение на определено събитие. Вероятността се обозначава с P(A), където P означава думата „probabilite“, която се превежда от френски като „вероятност“.

И така, формулата за вероятността от събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. В този случай вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността от събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който беше описан по-рано: 3 сини топки с числата 1/3/5 и 3 червени топки с числата 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да се разгледат няколко различни проблема:

• A - падаща червена топка. Има 3 червени топки, а опциите са общо 6. Това е най-простият пример, в който вероятността за събитие е P(A)=3/6=0,5.
• Б - хвърляне на четно число. Има 3 четни числа (2,4,6), а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0,5.
• C - появата на число, по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общ брой възможни изхода 6. Вероятността за събитие C е равна на P(C)=4 /6=0,67.

Както може да се види от изчисленията, събитие C има по-висока вероятност, тъй като броят на вероятните положителни резултати е по-висок, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански № 1 невъзможно е да вземеш синя и червена топка едновременно. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зара едновременно.

Вероятността от две събития се разглежда като вероятността от тяхната сума или продукт. Сборът от такива събития A+B се счита за събитие, което се състои от настъпване на събитие A или B, а произведението от тях AB е настъпване и на двете. Например, появата на две шестици наведнъж върху лицата на два зара при едно хвърляне.

Сумата от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Производството на няколко събития е съвместното събитие на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на връзката "и" означава сума, а връзката "или" - умножение. Формулите с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събирането и умножението в теорията на вероятностите.

Вероятност на сумата от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността от несъвместими събития, тогава вероятността от сумата от събития е равна на добавянето на техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: нека изчислим вероятността на испански. No1 със сини и червени топчета ще се появи число между 1 и 4. Ще смятаме не с едно действие, а чрез сумата от вероятностите на елементарните компоненти. И така, в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни изхода. Числата, които отговарят на условието, са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността да се получи числото 3 също е 1/6. Вероятността да получите число между 1 и 4 е:

Вероятността за сумата от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримент с куб съберем вероятностите всички числа да се появят, резултатът ще бъде едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната страна е събитието А, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

P(A) + P(Ā) = 1

Вероятност за възникване на несъвместими събития

Умножението на вероятността се използва, когато се разглежда появата на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събитията A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например вероятността на испански № 1, в резултат на два опита ще се появи синя топка два пъти, равна на

Тоест, вероятността за възникване на събитие, когато в резултат на два опита за изваждане на топки се извадят само сини топки, е 25%. Много е лесно да се направят практически експерименти по този проблем и да се види дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато настъпването на едно от тях може да съвпадне с настъпването на друго. Въпреки факта, че са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато и на двата се появи числото 6. Въпреки че събитията съвпаднаха и се появиха по едно и също време, те са независими едно от друго – само една шестица може да падне, второто зарче няма влияние върху него.

Вероятността от съвместни събития се разглежда като вероятността от тяхната сума.

Вероятност за сумата от съвместни събития. Пример

Вероятността за сумата от събития A и B, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите на събитието минус вероятността за тяхното възникване (т.е. съвместното им възникване):

R става (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Да приемем, че вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,4. Тогава събитие А е попадение в целта при първия опит, Б - при втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да уцелите целта както с първия, така и с втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността за поразяване на целта с два изстрела (поне с един)? Според формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: „Вероятността за попадение в целта с два изстрела е 64%“.

Тази формула за вероятността от събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно възникване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сумата от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Геометрия на вероятността за яснота

Интересното е, че вероятността от сбора на съвместните събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както се вижда от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Имайте предвид, че геометричните решения не са необичайни в теорията на вероятностите.

Определянето на вероятността за сумата от много (повече от две) съвместни събития е доста тромаво. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Събитията се наричат ​​​​зависими, ако появата на едно (A) от тях влияе върху вероятността за възникване на друго (B). Освен това се отчита влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обикновената вероятност се обозначава като P(B) или вероятността от независими събития. В случай на зависими събития се въвежда ново понятие - условна вероятност P A (B), която е вероятността за зависимо събитие B, предмет на настъпването на събитие A (хипотеза), от което то зависи.

Но събитие А също е случайно, така че също има вероятност, която се нуждае и може да бъде взета предвид при извършените изчисления. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития би било стандартно тесте карти.

Като използваме тесте от 36 карти като пример, нека да разгледаме зависимите събития. Трябва да определим вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде от диаманти, ако първата изтеглена карта е:

1. Бубновая.
2. Различен цвят.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, че има 1 карта (35) и 1 каро (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

R A (B) =8/35=0,23

Ако втората опция е вярна, тогава тестето има 35 карти и пълният брой диаманти (9) все още се запазва, тогава вероятността от следното събитие B:

R A (B) =9/35=0,26.

Може да се види, че ако събитие A е обусловено от факта, че първата карта е каро, тогава вероятността за събитие B намалява и обратно.

Умножаване на зависими събития

Водени от предходната глава, приемаме първото събитие (А) за факт, но по същество то е със случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно изтегляне на каро от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е предназначена да служи за практически цели, справедливо е да се отбележи, че това, което най-често е необходимо, е вероятността за генериране на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите от зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (зависимо от A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Тогава, в примера с колодата, вероятността да изтеглите две карти с цвят каро е:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Може да се види, че вероятността събитие B да се случи е по-голяма, при условие че първата изтеглена карта е от цвят, различен от каро. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Обща вероятност за събитие

Когато проблем с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с помощта на конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2,…, A n, ..формира пълна група от събития, при условие че:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2,..., A n е равна на:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е изключително необходима в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и т.н. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като самите те са вероятностни по природа, са необходими специални методи на работа. Теорията за вероятността на събитието може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Можем да кажем, че като разпознаваме вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична крачка в бъдещето, разглеждайки го през призмата на формулите.

При Когато оценяваме вероятността за настъпване на всяко случайно събитие, е много важно да имаме добро разбиране дали вероятността () за настъпване на събитието, което ни интересува, зависи от това как се развиват други събития.

В случай на класическата схема, когато всички резултати са еднакво вероятни, ние вече можем независимо да оценим стойностите на вероятността на отделното събитие, което ни интересува. Можем да направим това, дори ако събитието е сложна колекция от няколко елементарни резултата. Ами ако няколко случайни събития се случат едновременно или последователно? Как това влияе на вероятността да се случи събитието, което ни интересува?

Ако хвърля зар няколко пъти и искам да се появи шестица и продължавам да нямам късмет, означава ли това, че трябва да увелича залога си, защото според теорията на вероятностите съм на път да извадя късмет? Уви, теорията на вероятностите не твърди нищо подобно. Без зарове, без карти, без монети не мога да си спомня какво ни показаха последния път. За тях няма никакво значение дали днес за първи или за десети път си пробвам късмета. Всеки път, когато повтарям хвърлянето, знам само едно: и този път вероятността да получа шестица е отново една шеста. Разбира се, това не означава, че номерът, от който се нуждая, никога няма да се появи. Това означава само, че загубата ми след първото хвърляне и след всяко друго хвърляне са независими събития.

Събития A и B се извикват независима, ако изпълнението на едно от тях не влияе по никакъв начин на вероятността от друго събитие. Например, вероятностите за поразяване на цел с първото от двете оръжия не зависят от това дали целта е била поразена от другото оръжие, така че събитията „първото оръжие е поразило целта“ и „второто оръжие е поразило целта“ са независима.

Ако две събития A и B са независими и вероятността за всяко от тях е известна, тогава вероятността за едновременно възникване както на събитие A, така и на събитие B (означено като AB) може да се изчисли с помощта на следната теорема.

Теорема за умножение на вероятностите за независими събития

Пример.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от първото и второто оръдие са съответно равни: p 1 =0,7; р 2 =0,8. Намерете вероятността за попадение с един залп от двете оръдия едновременно.

Решение:както вече видяхме, събития A (попадение от първия пистолет) и B (попадение от втория пистолет) са независими, т.е. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Какво се случва с нашите оценки, ако първоначалните събития не са независими? Нека променим малко предишния пример.

Пример.Двама стрелци стрелят по мишени на състезание и ако единият стреля точно, противникът започва да нервничи и резултатите му се влошават. Как да превърнем тази ежедневна ситуация в математическа задача и да очертаем начини за нейното решаване? Интуитивно е ясно, че е необходимо по някакъв начин да се разделят двата варианта за развитие на събитията, по същество да се създадат два сценария, две различни задачи. В първия случай, ако противникът пропусне, сценарият ще бъде благоприятен за нервния спортист и неговата точност ще бъде по-висока. Във втория случай, ако противникът се е възползвал от шанса си прилично, вероятността за попадение в целта за втория спортист намалява.

За да разделим възможните сценарии (често наричани хипотези) за развитието на събитията, често ще използваме диаграма „дърво на вероятностите“. Тази диаграма е подобна по значение на дървото на решенията, с което вероятно вече сте се занимавали. Всеки клон представлява отделен сценарий за развитие на събитията, само че сега има собствено значение на т.нар условновероятности (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Тази схема е много удобна за анализиране на последователни случайни събития.

Остава да изясним още един важен въпрос: откъде идват първоначалните стойности на вероятностите? реални ситуации ? В крайна сметка теорията на вероятностите не работи само с монети и зарове? Обикновено тези оценки са взети от статистиката и когато не е налична статистическа информация, ние провеждаме собствено проучване. И често трябва да започнем не със събиране на данни, а с въпроса от каква информация всъщност се нуждаем.

Пример.Да кажем, че трябва да оценим в град с население от сто хиляди жители обема на пазара за нов продукт, който не е основен продукт, например за балсам за грижа за боядисана коса. Нека разгледаме диаграмата "дърво на вероятностите". В този случай трябва да оценим приблизително стойността на вероятността за всеки „клон“. И така, нашите оценки за пазарния капацитет:

1) от всички жители на града 50% са жени,

2) от всички жени само 30% боядисват косата си често,

3) от тях само 10% използват балсами за боядисана коса,

4) от тях само 10% могат да съберат смелост да опитат нов продукт,

5) 70% от тях обикновено купуват всичко не от нас, а от нашите конкуренти.

Решение:Според закона за умножение на вероятностите, ние определяме вероятността на събитието, което ни интересува A = (жител на града купува този нов балсам от нас) = 0,00045.

Нека умножим тази стойност на вероятността по броя на жителите на града. В резултат на това имаме само 45 потенциални клиенти и като се има предвид, че една бутилка от този продукт стига за няколко месеца, търговията не е много оживена.

И все пак има известна полза от нашите оценки.

Първо, можем да сравним прогнози за различни бизнес идеи; те ще имат различни „разклонения“ в диаграмите и, разбира се, стойностите на вероятността също ще бъдат различни.

Второ, както вече казахме, случайната променлива не се нарича случайна, защото не зависи от нищо. Само нея точнозначението не е известно предварително. Знаем, че средният брой купувачи може да се увеличи (например чрез реклама на нов продукт). Така че има смисъл да съсредоточим усилията си върху онези „разклонения“, където разпределението на вероятностите не ни подхожда особено, върху онези фактори, на които можем да повлияем.

Нека да разгледаме още един количествен пример за изследване на поведението на потребителите.

Пример.Средно 10 000 души посещават хранителния пазар на ден. Вероятността посетител на пазара да влезе в павилиона за млечни продукти е 1/2. Известно е, че този павилион продава средно по 500 кг различни продукти на ден.

Можем ли да кажем, че средната покупка в павилиона тежи само 100 g?

Дискусия.Разбира се, че не. Ясно е, че не всеки, който влезе в павилиона, накрая си купи нещо там.

Както е показано на диаграмата, за да отговорим на въпроса за средното тегло на една покупка, трябва да намерим отговор на въпроса каква е вероятността човек, влизащ в павилиона, да купи нещо там. Ако не разполагаме с такива данни, но са ни необходими, ще трябва да ги набавим сами, като наблюдаваме известно време посетителите на павилиона. Да кажем, че нашите наблюдения показват, че само една пета от посетителите на павилиона купуват нещо.

След като получим тези оценки, задачата става проста. От 10 000 души, които идват на пазара, 5000 ще отидат в павилиона за млечни продукти, покупките ще са само 1000. Средното тегло на покупката е 500 грама. Интересно е да се отбележи, че за да се изгради пълна картина на случващото се, логиката на условното „разклоняване“ трябва да бъде дефинирана на всеки етап от нашите разсъждения толкова ясно, сякаш работим с „конкретна“ ситуация, а не с вероятности.

Задачи за самопроверка

1. Нека има електрическа верига, състояща се от n последователно свързани елемента, всеки от които работи независимо от останалите.

Известна е вероятността p за отказ на всеки елемент. Определете вероятността за правилна работа на цялата секция от веригата (събитие A).

2. Студентът знае 20 от 25 изпитни въпроса. Намерете вероятността студентът да знае трите въпроса, дадени му от изпитващия.

3. Производството се състои от четири последователни етапа, на всеки от които работи оборудване, за което вероятностите за повреда през следващия месец са равни съответно на p 1, p 2, p 3 и p 4. Намерете вероятността да няма спиране на производството поради повреда на оборудването след месец.

Кратка теория

За количествено сравняване на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие. Вероятността за случайно събитиее число, което изразява мярката на обективната възможност за настъпване на събитие.

Величините, които определят колко значими са обективните причини да се очаква настъпването на дадено събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективна величина, която съществува независимо от познаващия и е обусловена от цялата съвкупност от условия, които допринасят за настъпването на дадено събитие.

Обясненията, които дадохме за концепцията за вероятност, не са математическа дефиниция, тъй като не определят количествено концепцията. Има няколко дефиниции на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаване на конкретни проблеми (класическа, геометрична дефиниция на вероятността, статистическа и др.).

Класическа дефиниция на вероятността за събитиесвежда тази концепция до по-елементарната концепция за еднакво възможни събития, която вече не подлежи на дефиниране и се приема за интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенен куб, тогава загубата на което и да е от лицата на този куб ще бъде еднакво възможно събитие.

Нека надеждно събитие се раздели на еднакво възможни случаи, сборът от които дава събитието. Тоест случаите, на които се разпада, се наричат ​​благоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява настъпването.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникално възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи към броя, т.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, като се вземат предвид различните резултати от теста, да се намери набор от уникално възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой n, броят на случаите m, благоприятни за дадено събитие и след това извършете изчислението, като използвате горната формула.

Вероятността за събитие, равна на отношението на броя на експерименталните резултати, благоприятни за събитието, към общия брой експериментални резултати се нарича класическа вероятностслучайно събитие.

От определението следват следните свойства на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Свойство 4. Вероятността за възникване на събития, които образуват пълна група, е равна на единица.

Свойство 5. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин, както вероятността за настъпване на събитие А.

Броят на случаите, благоприятстващи настъпването на противоположно събитие. Следователно вероятността за настъпване на противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността за настъпване на събитие А:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи без прибягване до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Когато набор от условия е изпълнен, надеждно събитие определено ще се случи, но невъзможно събитие определено няма да се случи. Сред събитията, които могат или не могат да настъпят, когато се създаде набор от условия, настъпването на някои може да се разчита с основателна причина, а настъпването на други с по-малко основание. Ако, например, има повече бели топки в урна, отколкото черни топки, тогава има повече основания да се надяваме за появата на бяла топка, когато се тегли от урната на случаен принцип, отколкото за появата на черна топка.

На следващата страница се обсъжда.

Пример за решение на проблем

Пример 1

Една кутия съдържа 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. На случаен принцип се изтеглят 3 топки. Намерете вероятностите за следните събития: – изтеглена е поне 1 червена топка, – има поне 2 топки от един и същи цвят, – има поне 1 червена и 1 бяла топка.

Решението на проблема

Намираме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8+4+7) елемента от 3:

Нека намерим вероятността за събитието– изтеглена е поне 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)

Брой изходи, благоприятни за събитието:

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне една червена и 1 бяла топка

(1 червена, 1 бяла, 1 черна или 1 червена, 2 бели или 2 червени, 1 бяла)

Брой изходи, благоприятни за събитието:

Изисквана вероятност:

Отговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точки да е най-малко 5.

Решение

Нека събитието е с оценка поне 5

Нека използваме класическата дефиниция на вероятността:

Общ брой възможни резултати от теста

Брой опити, благоприятстващи събитието от интерес

На изпуснатата страна на първия зар може да се появят една точка, две точки..., шест точки. по подобен начин са възможни шест изхода при хвърляне на втория зар. Всеки от резултатите от хвърлянето на първия зар може да се комбинира с всеки от резултатите от втория. Така общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на поставянията с повторения (избор с поставяния на 2 елемента от набор от том 6):

Нека намерим вероятността за обратното събитие - сборът от точки е по-малък от 5

Следните комбинации от изпуснати точки ще благоприятстват събитието:

Средно аритметичноцената за решаване на тест е 700 - 1200 рубли (но не по-малко от 300 рубли за цялата поръчка). Цената е силно повлияна от спешността на решението (от ден до няколко часа). Цената на онлайн помощ за изпит/тест е от 1000 рубли. за решаване на билета.

Можете да оставите заявка директно в чата, като предварително сте изпратили условията на задачите и сте информирали за крайните срокове за необходимото решение. Времето за реакция е няколко минути.

Примери за свързани проблеми

Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс
Използвайки примера за решаване на задача, се разглеждат формулата за пълна вероятност и формулата на Байс, а също така се обяснява какво представляват хипотезите и условните вероятности.

За да се сравнят количествено събитията едно с друго според степента на тяхната възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Ще наречем това число вероятност за събитие. По този начин, вероятност за събитиее числена мярка за степента на обективна възможност за това събитие.

Първото определение на вероятността трябва да се счита за класическото, което произлиза от анализа на хазарта и първоначално се прилага интуитивно.

Класическият метод за определяне на вероятността се основава на концепцията за еднакво възможни и несъвместими събития, които са резултат от даден опит и образуват пълна група от несъвместими събития.

Най-простият пример за еднакво възможни и несъвместими събития, образуващи пълна група, е появата на една или друга топка от урна, съдържаща няколко топки с еднакъв размер, тегло и други осезаеми характеристики, различаващи се само по цвят, старателно смесени преди да бъдат извадени.

Следователно, тест, чиито резултати формират пълна група от несъвместими и еднакво възможни събития, се казва, че може да бъде сведен до модел от урни или модел от случаи, или се вписва в класическия модел.

Еднакво възможни и несъвместими събития, които съставляват пълна група, ще се наричат ​​просто случаи или шансове. Освен това във всеки експеримент, наред със случаите, могат да възникнат и по-сложни събития.

Пример: При хвърляне на зарове, заедно със случаите A i - загуба на i-точки от горната страна, можем да разгледаме такива събития като B - загуба на четен брой точки, C - загуба на няколко точки, кратни на три...

Във връзка с всяко събитие, което може да се случи по време на експеримента, случаите се разделят на благоприятен, при които това събитие настъпва, и неблагоприятни, при които събитието не настъпва. В предишния пример събитие B е предпочитано от случаи A 2, A 4, A 6; събитие C - случаи A 3, A 6.

Класическа вероятностнастъпването на определено събитие се нарича съотношението на броя на случаите, благоприятни за настъпването на това събитие, към общия брой еднакво възможни, несъвместими случаи, които съставляват пълната група в даден експеримент:

Където P(A)- вероятност за настъпване на събитие А; м- броят на случаите, благоприятни за събитие А; н- общ брой случаи.

Примери:

1) (вижте примера по-горе) P(B)= , P(C) =.

2) Урната съдържа 9 червени и 6 сини топки. Намерете вероятността една или две произволно изтеглени топки да се окажат червени.

А- червена топка, изтеглена на случаен принцип:

м= 9, н= 9 + 6 = 15, P(A)=

б- две произволно изтеглени червени топки:

Следните свойства следват от класическата дефиниция на вероятността (покажете себе си):

1) Вероятността за невъзможно събитие е 0;

2) Вероятността за надеждно събитие е 1;

3) Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1;

4) Вероятността за събитие, противоположно на събитие А,

Класическата дефиниция на вероятността предполага, че броят на резултатите от едно изпитание е краен. В практиката много често има тестове, чийто брой възможни случаи е безкраен. В допълнение, слабостта на класическата дефиниция е, че много често е невъзможно да се представи резултатът от теста под формата на набор от елементарни събития. Още по-трудно е да се посочат причините елементарните резултати от теста да се считат за еднакво възможни. Обикновено равнопоставеността на резултатите от елементарния тест се заключава от съображения за симетрия. Такива задачи обаче са много редки на практика. Поради тези причини, наред с класическата дефиниция за вероятност се използват и други дефиниции за вероятност.

Статистическа вероятностсъбитие A е относителната честота на възникване на това събитие в извършените тестове:

където е вероятността за възникване на събитие А;

Относителна честота на поява на събитие А;

Броят опити, в които се появи събитие А;

Общ брой опити.

За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е характеристика на експерименталната вероятност.

Пример: За контрол на качеството на продуктите от партида са избрани на случаен принцип 100 продукта, сред които 3 продукта са се оказали дефектни. Определете вероятността от брак.

.

Статистическият метод за определяне на вероятността е приложим само за онези събития, които имат следните свойства:

Разглежданите събития трябва да бъдат резултатите само от тези тестове, които могат да бъдат възпроизведени неограничен брой пъти при един и същи набор от условия.

Събитията трябва да имат статистическа стабилност (или стабилност на относителните честоти). Това означава, че в различни серии от тестове относителната честота на събитието се променя малко.

Броят на опитите, водещи до събитие А, трябва да е доста голям.

Лесно е да се провери, че свойствата на вероятността, произтичащи от класическата дефиниция, се запазват и в статистическата дефиниция на вероятността.

Когато се хвърли монета, можем да кажем, че тя ще кацне хедс-ъп, или вероятност това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще падне върху главите 5 пъти. Ако монетата е „честна“ и ако бъде хвърлена много пъти, тогава главите ще паднат много близо през половината от времето. Следователно има два вида вероятности: експериментален И теоретичен .

Експериментална и теоретична вероятност

Ако хвърлим монета голям брой пъти - да кажем 1000 - и преброим колко пъти тя попада върху глави, можем да определим вероятността да попадне върху глави. Ако главите бъдат хвърлени 503 пъти, можем да изчислим вероятността да се приземи:
503/1000, или 0,503.

Това експериментален определяне на вероятността. Това определение за вероятност идва от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещано и много полезно. Ето, например, някои вероятности, които са определени експериментално:

1. Вероятността една жена да развие рак на гърдата е 1/11.

2. Ако целунете някой, който е настинал, тогава вероятността вие също да получите настинка е 0,07.

3. Човек, който току-що е бил освободен от затвора, има 80% шанс да се върне в затвора.

Ако обмислим хвърлянето на монета и като вземем предвид, че е еднакво вероятно тя да излезе с глави или опашки, можем да изчислим вероятността да получим глави: 1/2 Това е теоретична дефиниция на вероятността. Ето някои други вероятности, които са определени теоретично с помощта на математика:

1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат една и съща рождена дата (без годината) е 0,706.

2. По време на пътуване срещате някого и по време на разговора откривате, че имате общ приятел. Типична реакция: „Това не може да бъде!“ Всъщност тази фраза не е подходяща, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.

По този начин експерименталните вероятности се определят чрез наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят чрез математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност такова нещо няма. Вероятностите в определени граници могат да бъдат определени експериментално. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се определи един вид вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретичната вероятност.

Изчисляване на експериментални вероятности

Нека първо разгледаме експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е следният.

Принцип P (експериментален)

Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуация или събитие E се появи m пъти в n наблюдения, тогава се казва, че експерименталната вероятност за събитието е P (E) = m/n.

Пример 1 Социологическо проучване. Проведено е експериментално изследване за определяне на броя на левичарите, десничарите и хората, чиито и двете ръце са еднакво развити.Резултатите са показани на графиката.

а) Определете вероятността лицето да е дясна ръка.

b) Определете вероятността човекът да е левичар.

в) Определете вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце.

d) Повечето турнири на Професионалната боулинг асоциация са ограничени до 120 играчи. Въз основа на данните от този експеримент, колко играчи могат да бъдат левичари?

Решение

а) Броят на хората, които са десничари, е 82, броят на левичарите е 17, а броят на онези, които владеят еднакво свободно и двете си ръце, е 1. Общият брой наблюдения е 100. Следователно вероятността че човек е дясна ръка е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятността човек да владее еднакво свободно и двете си ръце е P, където
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

г) 120 играчи на боулинг, а от (б) можем да очакваме, че 17% са левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.

Пример 2 Контрол на качеството . За производителя е много важно да поддържа качеството на продуктите си на високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да гарантират този процес. Целта е да се произвеждат възможно най-малко дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди продукти всеки ден, тя не може да си позволи да тества всеки продукт, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, продавани от производителите, да покълнат. За да се определи качеството на семената, които произвежда една земеделска фирма, се засяват 500 семена от произведените. След това е изчислено, че са покълнали 417 семена.

а) Каква е вероятността семето да покълне?

б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?

Решениеа) Знаем, че от 500 семена, които са били засадени, 417 са покълнали. Вероятност за покълване на семена P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.

б) Тъй като процентът на покълналите семена е надвишил 80%, както се изисква, семената отговарят на държавните стандарти.

Пример 3 Телевизионни рейтинги. Според статистиката в САЩ има 105 500 000 домакинства с телевизори. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледаните програми. За една седмица 7 815 000 домакинства гледаха хитовия комедиен сериал „Всички обичат Реймънд“ по CBS и 8 302 000 домакинства гледаха хитовия сериал „Закон и ред“ по NBC (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът на едно домакинство да бъде настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?

РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Шансът телевизорът на домакинството да е бил настроен на Закон и ред е P, и
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Тези проценти се наричат ​​рейтинги.

Теоретична вероятност

Да предположим, че провеждаме експеримент, като хвърляне на монета или дартс, теглене на карта от тесте или тестване на продукти за качество на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича резултатно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.

Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримент с хвърляне на стреличка стреличката уцелва мишена. Намерете всяко от следните:

б) Пространство на резултатите

Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (B), удряне на червено (R) и удряне на бяло (B).

b) Пространството на резултатите е (удар в черно, уцел в червено, уцел в бяло), което може да се запише просто като (H, K, B).

Пример 5 Хвърляне на зарове. Зарът е куб с шест страни, всяка с една до шест точки върху нея.


Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Пространство на резултатите

Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство за резултат (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, „монетата ще кацне на глави“ може да се означи с H. Тогава P(H) представлява вероятността монетата да кацне на глави. Когато всички резултати от експеримент имат една и съща вероятност да се появят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликите между събития, които са еднакво вероятни, и събития, които не са, помислете за целта, показана по-долу.

За мишена А, събитията на попадение в черно, червено и бяло са еднакво вероятни, тъй като черният, червеният и белият сектор са еднакви. За мишена B обаче зоните с тези цветове не са еднакви, тоест попадението им не е еднакво вероятно.

Принцип P (теоретичен)

Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни еднакво вероятни изхода от пространството на изхода S, тогава теоретична вероятност събития, P(E) е
P(E) = m/n.

Пример 6Каква е вероятността да хвърлите зар, за да получите 3?

РешениеИма 6 еднакво вероятни изхода на зара и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.

Пример 7Каква е вероятността да хвърлите четно число на зара?

РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да се случи по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на еднакво вероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четен) = 3/6, или 1/2.

Ще използваме редица примери, включващи стандартно тесте от 52 карти. Това тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу.

Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?

РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре разбъркано) и има 4 начина да изтеглите асо, така че според принципа P, вероятността
P(теглене на асо) = 4/52, или 1/13.

Пример 9Да предположим, че избираме, без да гледаме, една топка от торба с 3 червени топки и 4 зелени топки. Каква е вероятността да изберете червена топка?

РешениеИма 7 еднакво вероятни резултата от тегленето на която и да е топка и тъй като броят на начините за теглене на червена топка е 3, получаваме
P(избор на червена топка) = 3/7.

Следните твърдения са резултат от принцип P.

Свойства на вероятността

а) Ако събитие E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E е сигурно, че ще се случи, тогава P(E) = 1.
в) Вероятността събитие E да се случи е число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, при хвърляне на монета събитието, че монетата падне на ръба си, има нулева вероятност. Вероятността дадена монета да е глави или опашки има вероятност 1.

Пример 10Да приемем, че 2 карти са изтеглени от тесте от 52 карти. Каква е вероятността и двете да са върхове?

РешениеБроят n начини да изтеглите 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52-те карти са пики, броят на начините m да изтеглите 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (издърпване на 2 пика) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11Да предположим, че 3 души са произволно избрани от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?

РешениеБроят на начините да изберете трима души от група от 10 души е 10 C 3. Един мъж може да бъде избран по 6 C 1 начина, а 2 жени могат да бъдат избрани по 4 C 2 начина. Според основния принцип на броенето, броят на начините за избор на 1 мъж и 2 жени е 6 C 1. 4 C 2 . Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?

РешениеВсеки зар има 6 възможни изхода. Резултатите се удвояват, което означава, че има 6,6 или 36 възможни начина, по които могат да се появят числата на двата зара. (По-добре е кубчетата да са различни, да кажем, че едното е червено, а другото е синьо - това ще ви помогне да визуализирате резултата.)

Двойките числа, които се събират до 8, са показани на фигурата по-долу. Има 5 възможни начина да се получи сума, равна на 8, следователно вероятността е 5/36.