ДЪРЖАВНО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

"Кривлянска гимназия"

ЖАБИНКОВСКИ РАЙОН

ЧИСЛАТА НА ФИБОНАЧИ И ЗЛАТНОТО СЕЧЕНИЕ

Проучване

Завършена работа:

ученик от 10 клас

Садовничик Валерия Алексеевна

Ръководител:

Лавренюк Лариса Николаевна,

учител по информатика и

Математика 1 квалификация

Числата на Фибоначи и природа

Характерна особеност на структурата на растенията и тяхното развитие е спиралността. Още Гьоте, който е не само велик поет, но и естествен учен, смята спираловидността за една от характерните черти на всички организми, проява на най-съкровената същност на живота. Пипалата на растенията се усукват в спирала, растежът на тъканите в стволовете на дърветата се извършва в спирала, семената в слънчогледа са разположени в спирала, спиралните движения (нутации) се наблюдават по време на растежа на корените и издънките.

На пръв поглед може да изглежда, че броят на листата и цветята може да варира в много широки граници и да приема всякаква стойност. Но подобно заключение се оказва несъстоятелно. Изследванията показват, че броят на органите със същото име в растенията не е произволен; има стойности, които често се срещат, и стойности, които са много редки.

В живата природа са широко разпространени формите, базирани на петоъгълна симетрия - морски звезди, морски таралежи, цветя.

Снимка 13. Лютиче

Лайката има 55 или 89 венчелистчета.

Снимка 14. лайка

Пиретрумът има 34 венчелистчета.

Фот. 15. Пиретрум

Нека да разгледаме шишарка. Люспите на повърхността му са разположени строго правилно - по две спирали, които се пресичат приблизително под прав ъгъл. Броят на тези спирали в борови шишарки е 8 и 13 или 13 и 21.

Снимка 16. Конус

В слънчогледовите кошници семената също са подредени в две спирали, броят им обикновено е 34/55, 55/89.

Снимка 17. Слънчоглед

Нека да разгледаме по-отблизо черупките. Ако преброите произволно взетите "ребра за втвърдяване" на първата черупка, се оказва, че са 21. Да вземем втората, третата, петата, десетата черупка - всички те ще имат 21 ребра на повърхността. Очевидно мекотелите са били не само добри инженери, те са „познавали“ числата на Фибоначи.

Снимка 18. Черупка

Тук отново виждаме естествена комбинация от числата на Фибоначи, разположени наблизо: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Съотношението им в границата клони към златната пропорция, изразена с числото 0,61803...

Числата на Фибоначи и животни

Броят на лъчите на морските звезди съответства на числата на Фибоначи или е много близо до тях и е равен на 5,8, 13,21,34,55.

Снимка 19. Морска звезда

Съвременните членестоноги са много разнообразни. Омарът също има пет чифта крака, пет пера на опашката, коремът е разделен на пет сегмента и всеки крак се състои от пет части.

Фот. 20. омар

При някои насекоми коремът се състои от осем сегмента, има три чифта крайници, състоящи се от осем части, и осем различни органи, подобни на антени, излизат от отвора на устата. Добре познатият ни комар има три чифта крака, коремът е разделен на осем сегмента, а на главата има пет антени. Ларвата на комара е разделена на 12 сегмента.

Фот. 21. комар

Коремът на зелевата муха е разделен на пет части, има три чифта крака, а ларвата е разделена на осем сегмента. Всяко от двете крила е разделено на осем части с тънки жилки.

Гъсениците на много насекоми са разделени на 13 сегмента, например тези на кожния бръмбар, лигавичния бръмбар и мавританския бугер. При повечето бръмбари вредители гъсеницата е разделена на 13 сегмента. Структурата на краката на бръмбарите е много характерна. Всеки крак се състои от три части, както при висшите животни - рамо, предмишница и лапа. Тънките, ажурни крака на бръмбарите са разделени на пет части.

Ажурните, прозрачни, безтегловни крила на водно конче са шедьовър на „инженерното“ майсторство на природата. Какви пропорции са в основата на дизайна на този малък летящ мускулен самолет? Съотношението на размаха на крилата към дължината на тялото при много водни кончета е 4/3. Тялото на водното конче е разделено на две основни части: масивно тяло и дълга тънка опашка. Тялото има три части: глава, гърди, корем. Коремът е разделен на пет сегмента, а опашката се състои от осем части. Тук също трябва да добавите три чифта крака с разделянето им на три части.

Фот. 22. водно конче

Не е трудно да се види в тази последователност от разделяне на цялото на части разгръщането на поредица от числа на Фибоначи. Дължината на опашката, тялото и общата дължина на водното конче са свързани помежду си чрез златното сечение: съотношението на дължините на опашката и тялото е равно на съотношението на общата дължина към дължината на опашката.

Не е изненадващо, че водното конче изглежда толкова перфектно, защото е създадено според законите на златното сечение.

Гледката на костенурка на фона на такир, покрита с пукнатини, е невероятно явление. В центъра на черупката има голямо овално поле с големи слети рогови плочи, а по краищата има граница от по-малки плочи.

Фот. 23. Костенурка

Вземете всяка костенурка - от близката до нас блатна костенурка до гигантската морска костенурка - и ще се убедите, че шарката на черупката им е подобна: върху овалното поле има 13 слети рогови пластини - 5 пластини в центъра и 8 в ръбовете, а по периферната граница около 21 плочи (чилийската костенурка има точно 21 плочи по периферията на черупката си). Костенурките имат 5 пръста на краката си, а гръбначният стълб се състои от 34 прешлена. Лесно е да се види, че всички тези стойности съответстват на числата на Фибоначи. Следователно развитието на костенурката, формирането на нейното тяло, разделянето на цялото на части се извършва съгласно закона на числовата серия на Фибоначи.

Най-висшият вид животни на планетата са бозайниците. Броят на ребрата при много животински видове е равен или близо до тринадесет. При напълно различни бозайници - кит, камила, елен, зубр - броят на ребрата е 13 ± 1. Броят на прешлените варира значително, особено поради опашките, които могат да бъдат с различна дължина дори при един и същи вид животно. Но в много от тях броят на прешлените е равен или близо до 34 и 55. И така, гигантският елен има 34 прешлена, китът има 55.

Скелетът на крайниците на домашните животни се състои от три еднакви костни връзки: раменна (тазова) кост, кост на предмишницата (тибия) и кост на лапата (стъпало). Кракът от своя страна се състои от три костни връзки.

Броят на зъбите при много домашни животни клони към числата на Фибоначи: заекът има 14 чифта, кучето, прасето и конят имат 21 ± 1 чифта зъби. При дивите животни броят на зъбите варира по-широко: при един торбест хищник е 54, при хиена - 34, при един вид делфин достига 233. Общият брой на костите в скелета на домашните животни (включително зъбите) в една група е близо до 230, а в друга - до 300. Трябва да се отбележи, че броят на костите на скелета не включва малки слухови костици и нестабилни костици. Като ги вземем предвид, общият брой на костите на скелета при много животни ще бъде близо 233, а при други ще надхвърли 300. Както виждаме, разделянето на тялото, придружено от развитието на скелета, се характеризира с дискретна промяна в броя на костите в различни органи на животни и тези числа съответстват на числата на Фибоначи или са много близки до тях, образувайки ред 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Съотношението на размера на повечето кокоши яйца е 4:3 (някои 3/2), тиквените семки - 3:2, семките от диня - 3/2. Съотношението на дължината на шишарките към диаметъра им се оказа 2:1. Размерите на брезовите листа са средно много близки, а на жълъдите - 5:2.

Смята се, че ако е необходимо да се раздели цветна морава на две части (трева и цветя), тогава тези ивици не трябва да се правят еднакви по ширина; ще бъде по-красиво, ако ги вземете в съотношение 5: 8 или 8:13, т.е. използвайте пропорция, наречена „златно сечение“.

Числата на Фибоначи и фотография

Когато се прилага във фотографското изкуство, златното сечение разделя кадъра на 9 неравни правоъгълника с две хоризонтални и две вертикални линии. За да улеснят заснемането на балансирани изображения, фотографите малко опростиха задачата и започнаха да разделят кадъра на 9 равни правоъгълника в съответствие с числата на Фибоначи. Така правилото на златното сечение се трансформира в правилото на третините, което се отнася до един от принципите на композицията.

Фот. 24. Рамка и златно сечение

Във визьорите на съвременните цифрови фотоапарати точките за фокусиране са разположени на 2/8 позиции или на въображаеми линии, разделящи кадъра според златното сечение.

Снимка 25. Цифров фотоапарат и точки за фокусиране

Снимка 26.

Снимка 27. Фотография и точки за фокусиране

Правилото на третините важи за всички сюжетни композиции: независимо дали снимате пейзаж или портрет, натюрморт или репортаж. Докато чувството ви за хармония стане придобито и неосъзнато, следването на простото правило на третините ще ви позволи да правите снимки, които са изразителни, хармонични и балансирани.

Снимка 28. Фотография и съотношението на небето и земята 1 към 2.

Най-успешният пример за демонстрация е пейзаж. Принципът на композицията е, че небето и земята (или водната повърхност) трябва да имат съотношение 1:2. Една трета от рамката трябва да бъде разпределена към небето, а две трети към земята или обратно.

Снимка 29. Снимка на цвете, усукано в спирала

Фибоначи и пространството

Съотношението на водата и сушата на планетата Земя е 62% и 38%.

Размерите на Земята и Луната са в златното сечение.

Снимка 30. Размери на Земята и Луната

Фигурата показва относителните размери на Земята и Луната в мащаб.

Нека начертаем радиуса на Земята. Нека начертаем сегмент от централната точка на Земята до централната точка на Луната, чиято дължина ще бъде равна на). Нека начертаем отсечка, за да свържем двете дадени отсечки, за да образуваме триъгълник. Получаваме златен триъгълник.

Сатурн показва златното сечение в няколко от своите измерения

Снимка 31. Сатурн и неговите пръстени

Диаметърът на Сатурн е много тясно свързан със златното сечение с диаметъра на пръстените, както е показано от зелените линии.Радиус вВътрешната част на пръстените е в съотношение, много близко до външния диаметър на пръстените, както е показано от синята линия.

Разстоянието на планетите от Слънцето също следва златното сечение.

Снимка 32. Разстоянието на планетите от Слънцето

Златно сечение в ежедневието

Златното сечение се използва и за придаване на стил и привлекателност в маркетинга и дизайна на ежедневни потребителски продукти. Има много примери, но ние ще илюстрираме само няколко.

Снимка 33. ЕмблемаТойота

Снимка 34. Златно сечение и облекло

Снимка 34. Златното сечение и автомобилния дизайн

Снимка 35. ЕмблемаЯбълка

Снимка 36. ЕмблемаGoogle

Казуси

Сега ще приложим придобитите знания на практика. Нека първо направим измервания сред учениците от 8 клас.

Ако погледнете внимателно телевизионна картина, нейните размери ще бъдат 16 към 9 или 16 към 10, което също е близо до златното сечение.

Извършване на измервания и строежи в CorelDRAW X4 и с помощта на рамка от новинарския канал Russia 24 можете да намерите следното:

а) отношението на дължината към ширината на рамката е 1,7.

б) човекът в кадъра е разположен точно във фокусните точки, разположени на разстояние 3/8.

След това нека се обърнем към официалния микроблог на вестник Известия, с други думи, към страницата в Twitter. За екран на монитор със страни 4:3 виждаме, че „заглавката“ на страницата е 3/8 от цялата височина на страницата.

Ако разгледате внимателно военните шапки, можете да намерите следното:

а) шапката на министъра на отбраната на Руската федерация има съотношение на посочените части от 21,73 до 15,52, равно на 1,4.

б) шапката на граничния служител на Република Беларус има размери на посочените части от 44,42 до 21,33, което е равно на 2,1.

в) капачката от времето на СССР е с размери на посочените части 49,67 до 31,04, което е равно на 1,6.

За този модел дължината на роклята е 113.13 мм.

Ако „завършим“ роклята до „идеалната“ дължина, ще получим подобна картина.

Всички измервания имат известна грешка, тъй като са направени от снимки, което не пречи да се види тенденцията - всичко, което е идеално, съдържа в една или друга степен златното сечение.

Заключение

Светът на живата природа ни изглежда съвсем различен - подвижен, променлив и изненадващо разнообразен. Животът ни показва един фантастичен карнавал на разнообразие и уникалност на творческите комбинации! Светът на неживата природа е преди всичко свят на симетрия, което придава на неговите творения устойчивост и красота. Природният свят е преди всичко свят на хармония, в който действа „законът за златното сечение“.

“„Златното сечение“ изглежда е онзи момент на истината, без който като цяло нищо съществуващо не е възможно. Каквото и да приемем като елемент на изследване, „златното сечение” ще бъде навсякъде; дори и да няма видимо спазване на това, то със сигурност се извършва на енергийно, молекулярно или клетъчно ниво.

Наистина, природата се оказва еднообразна (и следователно единна!) в проявлението на основните си закони. „Най-успешните“ решения, които тя откри, се отнасят за голямо разнообразие от обекти и за голямо разнообразие от форми на организация. Непрекъснатостта и дискретността на организацията идва от двойственото единство на материята - нейната корпускулярна и вълнова природа, прониква в химията, където дава законите на целочислената стехиометрия, химичните съединения с постоянен и променлив състав. В ботаниката непрекъснатостта и дискретността намират своя специфичен израз във филотаксиса, квантите на дискретността, квантите на растежа, единството на дискретността и непрекъснатостта на пространствено-времевата организация. И сега в числените съотношения на растителните органи се появява „принципът на множество съотношения“, въведен от А. Гурски - пълно повторение на основния закон на химията.

Разбира се твърдението, че всички тези явления се основават на редицата на Фибоначи, звучи твърде гръмко, но тенденцията е ясна. И освен това самата тя далеч не е идеална, както всичко на този свят.

Има предположение, че редицата на Фибоначи е опит на природата да се адаптира към по-фундаментална и съвършена логаритмична последователност на златното сечение, която е почти същата, само че започва от нищото и отива до нищото. Природата определено има нужда от някакво цялостно начало, от което да започне, тя не може да създаде нещо от нищото. Съотношенията на първите членове на редицата на Фибоначи са далеч от златното сечение. Но колкото повече се движим по него, толкова повече тези отклонения се изглаждат. За да се дефинира всяка серия, е достатъчно да се знаят нейните три члена, идващи един след друг. Но не и за златната редица, за нея са достатъчни две, тя е геометрична и аритметична прогресия едновременно. Може да се мисли, че това е основата за всички останали последователности.

Всеки член на златната логаритмична редица е степен на златната пропорция (). Част от поредицата изглежда така:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Ако закръглим стойността на златното сечение до три знака след десетичната запетая, получаваме=1,618 , тогава серията изглежда така:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Всеки следващ член може да се получи не само чрез умножаване на предишния по1,618 , но и чрез добавяне на двете предходни. Така се постига експоненциален растеж чрез просто добавяне на два съседни елемента. Това е поредица без начало и край и точно такава се опитва да изглежда редицата на Фибоначи. Имайки много определено начало, тя се стреми към идеала, без да го постига. Това е живота.

И все пак във връзка с всичко видяно и прочетено възникват съвсем логични въпроси:
Откъде идват тези числа? Кой е този архитект на вселената, който се опита да я направи идеална? Винаги ли всичко е било така, както е искал? И ако е така, защо се обърка? Мутации? Свободен избор? Какво ще последва? Спиралата навива ли се или се развива?

След като сте намерили отговора на един въпрос, ще получите следващия. Ако го решите, ще получите две нови. След като се справите с тях, ще се появят още три. След като решите и тях, ще имате пет нерешени. След това осем, после тринадесет, 21, 34, 55...

Списък на използваните източници

Васютински, Н. Златна пропорция / Васютински Н., Москва, Млада гвардия, 1990, - 238 с. - (Еврика).

Воробьов, Н.Н. Числата на Фибоначи,

Режим на достъп: . Дата на достъп: 17.11.2015 г.

Режим на достъп: . Дата на достъп: 16.11.2015г.

Режим на достъп: . Дата на достъп: 13.11.2015г.

Нека разберем какво е общото между древните египетски пирамиди, Мона Лиза на Леонардо да Винчи, слънчоглед, охлюв, шишарка и човешки пръсти?

Отговорът на този въпрос се крие в удивителните числа, които са открити Италианският средновековен математик Леонардо от Пиза, по-известен с името Фибоначи (роден около 1170 г. - починал след 1228 г.), италиански математик . Пътувайки из Изтока, той се запознава с постиженията на арабската математика; допринесли за прехвърлянето им на Запад.

След откриването му тези числа започват да се наричат ​​на известния математик. Удивителната същност на редицата от числа на Фибоначи е, че че всяко число в тази редица се получава от сумата на двете предходни числа.

И така, числата, образуващи последователността:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

се наричат ​​„числа на Фибоначи“, а самата последователност се нарича последователност на Фибоначи.

Има една много интересна особеност за числата на Фибоначи. При разделяне на което и да е число от редицата на числото пред нея в редицата, резултатът винаги ще бъде стойност, която се колебае около ирационалната стойност 1.61803398875... и понякога я надвишава, понякога не я достига. (Приблизително ирационално число, т.е. число, чието десетично представяне е безкрайно и непериодично)

Освен това след 13-то число в редицата този резултат от деленето става постоянен до безкрайността на редицата... Именно този постоянен брой деления през Средновековието е бил наричан Божествена пропорция, а сега се нарича златно сечение, златна среда или златна пропорция. . В алгебрата това число се обозначава с гръцката буква фи (Ф)

И така, златно сечение = 1:1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Човешкото тяло и златното сечение

Художници, учени, модни дизайнери, дизайнери правят своите изчисления, рисунки или скици въз основа на съотношението на златното сечение. Те използват измервания от човешкото тяло, което също е създадено според принципа на златното сечение. Преди да създадат своите шедьоври, Леонардо да Винчи и Льо Корбюзие са взели параметрите на човешкото тяло, създадено според закона на златната пропорция.

Най-важната книга на всички съвременни архитекти, справочникът на Е. Нойферт „Проектиране на сгради“, съдържа основни изчисления на параметрите на човешкия торс, които съдържат златната пропорция.

Пропорциите на различните части на нашето тяло са число, много близко до златното сечение. Ако тези пропорции съвпадат с формулата на златното сечение, тогава външният вид или тялото на човека се считат за идеални пропорции. Принципът на изчисляване на златната мярка върху човешкото тяло може да бъде изобразен под формата на диаграма:

M/m=1,618

Първият пример за златното сечение в структурата на човешкото тяло:
Ако приемем точката на пъпа за център на човешкото тяло и разстоянието между стъпалото на човек и точката на пъпа като мерна единица, тогава височината на човека е еквивалентна на числото 1,618.

В допълнение към това има още няколко основни златни пропорции на нашето тяло:

* разстоянието от върха на пръстите на китката до лакътя е 1:1.618;

* разстоянието от нивото на раменете до върха на главата и размера на главата е 1:1.618;

* разстоянието от точката на пъпа до темето на главата и от нивото на раменете до темето на главата е 1:1.618;

* разстоянието на точката на пъпа до коленете и от коленете до стъпалата е 1:1.618;

* разстоянието от върха на брадичката до върха на горната устна и от върха на горната устна до ноздрите е 1:1.618;

* разстоянието от върха на брадичката до горната линия на веждите и от горната линия на веждите до темето е 1:1.618;

* разстоянието от върха на брадичката до горната линия на веждите и от горната линия на веждите до темето е 1:1.618:

Златното сечение в чертите на човешкото лице като критерий за съвършена красота.

В структурата на чертите на човешкото лице също има много примери, близки по стойност до формулата на златното сечение. Не бързайте обаче веднага да търсите линийка, която да измерва лицата на всички хора. Защото точни съответствия на златното сечение според учени и художници, художници и скулптори има само при хора с перфектна красота. Всъщност точното присъствие на златната пропорция в лицето на човека е идеалът за красота за човешкия поглед.

Например, ако сумираме ширината на двата предни горни зъба и разделим тази сума на височината на зъбите, тогава, след като получим числото на златното сечение, можем да кажем, че структурата на тези зъби е идеална.

Има и други изпълнения на правилото за златното сечение върху човешкото лице. Ето някои от тези връзки:

*Височина на лицето/ширина на лицето;

* Централна точка на свързване на устните с основата на носа / дължина на носа;

* Височина на лицето / разстояние от върха на брадичката до централната точка, където се срещат устните;

*Ширина на устата/ширина на носа;

* Ширина на носа / разстояние между ноздрите;

* Разстояние между зениците / разстояние между веждите.

Човешка ръка

Достатъчно е само да доближите дланта си до себе си и да погледнете внимателно показалеца си и веднага ще откриете в него формулата на златното сечение. Всеки пръст на нашата ръка се състои от три фаланги.

* Сумата от първите две фаланги на пръста по отношение на цялата дължина на пръста дава числото на златното сечение (с изключение на палеца);

* Освен това съотношението между средния пръст и малкия пръст също е равно на златното сечение;

* Човек има 2 ръце, пръстите на всяка ръка се състоят от 3 фаланги (с изключение на палеца). На всяка ръка има 5 пръста, тоест общо 10, но с изключение на два палеца с две фаланги, само 8 пръста са създадени според принципа на златното сечение. Докато всички тези числа 2, 3, 5 и 8 са числата на редицата на Фибоначи:

Златното сечение в структурата на човешките бели дробове

Американският физик Б. Д. Уест и д-р А. Л. Голдбергер по време на физически и анатомични изследвания установи, че златното сечение съществува и в структурата на човешките бели дробове.

Особеността на бронхите, които изграждат човешките бели дробове, се крие в тяхната асиметрия. Бронхите се състоят от два главни дихателни пътя, единият от които (левият) е по-дълъг, а другият (десният) е по-къс.

* Установено е, че тази асиметрия продължава в разклоненията на бронхите, във всички по-малки дихателни пътища. Освен това съотношението на дължините на късите и дългите бронхи също е златното сечение и е равно на 1:1,618.

Структура на златния ортогонален четириъгълник и спирала

Златното сечение е такова пропорционално разделяне на сегмент на неравни части, при което целият сегмент е свързан с по-голямата част, както самата по-голяма част е свързана с по-малката; или с други думи, по-малкият сегмент е към по-големия, както по-големият е към цялото.

В геометрията правоъгълник с това съотношение се нарича златен правоъгълник. Дългите му страни са спрямо късите му страни в съотношение 1,168:1.

Златният правоъгълник също има много невероятни свойства. Златният правоъгълник има много необичайни свойства. Изрязвайки квадрат от златния правоъгълник, чиято страна е равна на по-малката страна на правоъгълника, отново получаваме златен правоъгълник с по-малки размери. Този процес може да продължи безкрайно дълго. Докато продължаваме да режем квадрати, ще имаме все по-малки и по-малки златни правоъгълници. Освен това те ще бъдат разположени в логаритмична спирала, което е важно при математическите модели на природни обекти (например черупки на охлюви).

Полюсът на спиралата лежи в пресечната точка на диагоналите на първоначалния правоъгълник и първия вертикален правоъгълник, който трябва да бъде изрязан. Освен това диагоналите на всички следващи намаляващи златни правоъгълници лежат върху тези диагонали. Разбира се, има го и златният триъгълник.

Английският дизайнер и естетик Уилям Чарлтън заяви, че хората намират спиралните форми за приятни за окото и ги използват от хиляди години, обяснявайки това по следния начин:

„Харесваме външния вид на спирала, защото визуално можем лесно да я разгледаме.“

В природата

* Правилото на златното сечение, което е в основата на структурата на спиралата, се среща в природата много често в творения с несравнима красота. Най-очевидните примери са, че спираловидната форма може да се види в подреждането на слънчогледови семки, шишарки, ананаси, кактуси, структурата на розовите листенца и др.;

* Ботаниците са установили, че в подреждането на листата на клон, слънчогледови семки или шишарки ясно се проявява серията на Фибоначи и следователно се проявява законът на златното сечение;

Всемогъщият Господ установи специална мярка за всяко свое творение и му даде пропорционалност, което се потвърждава от примери, открити в природата. Могат да се дадат много примери, когато процесът на растеж на живите организми протича в строго съответствие с формата на логаритмична спирала.

Всички пружини в спиралата имат еднаква форма. Математиците са установили, че дори при увеличаване на размера на пружините, формата на спиралата остава непроменена. Няма друга форма в математиката, която да има същите уникални свойства като спиралата.

Структурата на морските черупки

Учени, които са изследвали вътрешната и външната структура на черупките на мекотели мекотели, живеещи на дъното на моретата, заявяват:

„Вътрешната повърхност на черупките е безупречно гладка, докато външната е изцяло покрита с грапавини и неравности. Мекотелото беше в черупка и за това вътрешната повърхност на черупката трябваше да бъде идеално гладка. Външните ъгли-огъвания на черупката увеличават нейната здравина, твърдост и по този начин увеличават нейната здравина. Съвършенството и удивителната интелигентност на структурата на черупката (охлюва) е невероятна. Спираловидната идея на черупките е перфектна геометрична форма и е удивителна в своята изпипана красота."

При повечето охлюви, които имат черупки, черупката расте във формата на логаритмична спирала. Няма съмнение обаче, че тези неразумни същества не само нямат представа за логаритмичната спирала, но нямат дори най-простите математически познания, за да създадат спираловидна черупка за себе си.

Но как тогава тези неразумни създания са успели да определят и изберат за себе си идеалната форма на растеж и съществуване под формата на спирална обвивка? Могат ли тези живи същества, които научният свят нарича примитивни форми на живот, да изчислят, че логаритмичната форма на черупката би била идеална за тяхното съществуване?

Разбира се, че не, защото такъв план не може да се реализира без интелект и знания. Но нито примитивните мекотели, нито несъзнателната природа притежават такъв интелект, който обаче някои учени наричат ​​създател на живота на земята (?!)

Да се ​​опитваме да обясним произхода на такава дори най-примитивна форма на живот чрез случайна комбинация от определени природни обстоятелства е меко казано абсурдно. Ясно е, че този проект е съзнателно творение.

Биологът сър Д'Арки Томпсън нарича този тип растеж морски черупки "форма на растеж на джуджетата".

Сър Томпсън прави следния коментар:

„Няма по-проста система от растежа на морски раковини, които растат и се разширяват пропорционално, поддържайки същата форма. Най-удивителното е, че черупката расте, но никога не променя формата си.

Наутилусът, с размери няколко сантиметра в диаметър, е най-яркият пример за навика на растеж на гномите. С. Морисън описва този процес на растеж на наутилуса по следния начин, който изглежда доста труден за планиране дори с човешкия ум:

„Вътре в черупката на наутилус има много отделения-стаи с прегради от седеф, а самата черупка вътре е спирала, разширяваща се от центъра. Докато наутилусът расте, в предната част на черупката израства още една стая, но този път тя е по-голяма от предишната, а преградите на стаята, останали зад нея, са покрити със слой от седеф. Така спиралата се разширява пропорционално през цялото време.

Ето само някои видове спираловидни черупки с логаритмичен модел на растеж в съответствие с техните научни имена:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Всички открити фосилни останки от черупки също са имали развита спираловидна форма.

Логаритмичната форма на растеж обаче се среща в животинския свят не само при мекотелите. Рогата на антилопи, диви кози, овни и други подобни животни също се развиват под формата на спирала по законите на златното сечение.

Златно сечение в човешкото ухо

Във вътрешното ухо на човека има орган, наречен кохлея („Охлюв“), който изпълнява функцията за предаване на звукови вибрации. Тази костна структура е пълна с течност и също е оформена като охлюв, съдържащ стабилна логаритмична спираловидна форма = 73º 43'.

Животински рога и бивни, развиващи се в спираловидна форма

Бивните на слоновете и изчезналите мамути, ноктите на лъвовете и клюновете на папагалите са с логаритмична форма и наподобяват формата на ос, която има тенденция да се превърне в спирала. Паяците винаги тъкат мрежите си под формата на логаритмична спирала. Структурата на микроорганизми като планктон (видове globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) също имат спирална форма.

Златно сечение в структурата на микрокосмосите

Геометричните фигури не се ограничават само до триъгълник, квадрат, петоъгълник или шестоъгълник. Ако свържем тези фигури една с друга по различни начини, получаваме нови триизмерни геометрични фигури. Примери за това са фигури като куб или пирамида. Но освен тях има и други триизмерни фигури, които не сме срещали в ежедневието и чиито имена чуваме може би за първи път. Сред такива триизмерни фигури са тетраедър (правилна четиристранна фигура), октаедър, додекаедър, икосаедър и др. Додекаедърът се състои от 13 петоъгълника, икосаедърът от 20 триъгълника. Математиците отбелязват, че тези фигури се трансформират математически много лесно и тяхната трансформация се извършва в съответствие с формулата на логаритмичната спирала на златното сечение.

В микрокосмоса триизмерните логаритмични форми, изградени според златните пропорции, са повсеместни . Например, много вируси имат триизмерна геометрична форма на икосаедър. Може би най-известният от тези вируси е вирусът Adeno. Белтъчната обвивка на аденовируса се формира от 252 единици протеинови клетки, подредени в определена последователност. Във всеки ъгъл на икосаедъра има 12 единици протеинови клетки във формата на петоъгълна призма и подобни на шипове структури се простират от тези ъгли.

Златното сечение в структурата на вирусите е открито за първи път през 50-те години на миналия век. учени от Birkbeck College London А. Клуг и Д. Каспар. 13 Вирусът Polyo е първият, който показва логаритмична форма. Формата на този вирус се оказа подобна на формата на вируса Rhino 14.

Възниква въпросът как вирусите образуват толкова сложни триизмерни форми, чиято структура съдържа златното сечение, които са доста трудни за конструиране дори с нашия човешки ум? Откривателят на тези форми на вируси, вирусологът А. Клуг, дава следния коментар:

„Д-р Каспар и аз показахме, че за сферичната обвивка на вируса най-оптималната форма е симетрията като формата на икосаедър. Този ред минимизира броя на свързващите елементи... Повечето от геодезичните полусферични кубове на Buckminster Fuller са изградени на подобен геометричен принцип. 14 Монтирането на такива кубове изисква изключително точна и подробна обяснителна схема. Докато самите несъзнателни вируси изграждат такава сложна обвивка от еластични, гъвкави протеинови клетъчни единици.

по книгата на Б. Бигс „Хеджър изникна от мъглата“

За числата на Фибоначи и търговията

Като въведение в темата, нека се обърнем накратко към техническия анализ. Накратко, техническият анализ има за цел да предвиди бъдещото движение на цените на даден актив въз основа на минали исторически данни. Най-известната формулировка на неговите поддръжници е, че цената вече включва цялата необходима информация. Внедряването на техническия анализ започна с развитието на спекулациите на фондовия пазар и вероятно все още не е напълно завършено, тъй като потенциално обещава неограничени печалби. Най-известните методи (термини) в техническия анализ са нива на подкрепа и съпротива, японски свещници, фигури, предвещаващи обръщане на цената и др.

Парадоксът на ситуацията, според мен, се състои в следното - повечето от описаните методи са станали толкова широко разпространени, че въпреки липсата на доказателствена база за тяхната ефективност, те всъщност имат възможност да повлияят на пазарното поведение. Следователно дори скептиците, които използват фундаментални данни, трябва да вземат предвид тези концепции, просто защото толкова много други играчи („технари“) ги вземат под внимание. Техническият анализ може да работи добре в историята, но на практика почти никой не успява да спечели стабилни пари с негова помощ - много по-лесно е да забогатеете, като публикувате книга в големи количества на тема „как да станете милионер с помощта на технически анализ“. .

В този смисъл се отличава теорията на Фибоначи, която също се използва за прогнозиране на цените за различни периоди. Нейните последователи обикновено се наричат ​​"wavers". Той се отличава с това, че не се е появил едновременно с пазара, а много по-рано - цели 800 години. Друга негова особеност е, че теорията се отразява почти като световна концепция за описание на всичко и всички, а пазарът е само частен случай за нейното приложение. Ефективността на теорията и периодът на нейното съществуване й осигурява както нови поддръжници, така и нови опити за създаване на най-малко противоречивото и общоприето описание на поведението на пазарите на нейна основа. Но уви, теорията не е напреднала отвъд индивидуалните успешни пазарни прогнози, което може да се приравни на късмет.

Същността на теорията на Фибоначи

Фибоначи живее дълъг живот, особено за времето си, което посвещава на решаването на редица математически проблеми, формулирайки ги в обемистия си труд „Книгата на абака“ (началото на 13 век). Той винаги се е интересувал от мистиката на числата - вероятно е бил не по-малко гениален от Архимед или Евклид. Проблеми, свързани с квадратни уравнения, бяха поставени и частично решени преди Фибоначи, например от известния Омар Хаям, учен и поет; обаче Фибоначи формулира проблема за размножаването на зайци, изводите от които му донесоха нещо, което позволи името му да не се изгуби през вековете.

Накратко задачата е следната. Чифт зайци бяха поставени на място, оградено от всички страни със стена, и всяка двойка зайци ражда още една двойка всеки месец, като се започне от втория месец от тяхното съществуване. Размножаването на зайци във времето ще бъде описано от последователността: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и т.н. От математическа гледна точка последователността се оказа просто уникална, тъй като имаше редица изключителни свойства:

• сумата от произволни две последователни числа е следващото число в редицата;

• съотношението на всяко число в редицата, започвайки от петото, към предходното е 1,618;

• разликата между квадрата на всяко число и квадрата на число две позиции вляво ще бъде числото на Фибоначи;

• сумата от квадратите на съседните числа ще бъде числото на Фибоначи, което е две позиции след най-голямото от числата на квадрат

От тези открития второто е най-интересно, защото използва числото 1,618, известно като „златното сечение“. Това число е било известно на древните гърци, които са го използвали по време на строителството на Партенона (между другото, според някои източници Централната банка е обслужвала гърците). Не по-малко интересно е, че числото 1.618 може да се намери в природата както в микро, така и в макромащаби - от спиралните завои на черупката на охлюв до големите спирали на космическите галактики. Пирамидите в Гиза, създадени от древните египтяни, също съдържат няколко параметъра от редицата на Фибоначи по време на строителството. Правоъгълник, чиято една страна е 1,618 пъти по-голяма от другата, изглежда най-приятен за окото - това съотношение е използвано от Леонардо да Винчи за неговите картини и в по-ежедневен смисъл понякога се използва при създаването на прозорци или врати. Дори една вълна, както е на фигурата в началото на статията, може да бъде представена като спирала на Фибоначи.

В живата природа редицата на Фибоначи се появява не по-рядко - може да се намери в нокти, зъби, слънчогледи, паяжини и дори растеж на бактерии. Ако желаете, последователност се намира в почти всичко, включително човешкото лице и тяло. И въпреки това се смята, че много от твърденията, които намират числата на Фибоначи в природните и историческите явления, са неверни - това е често срещан мит, който често се оказва неточно съвпадение с желания резултат.

Числата на Фибоначи на финансовите пазари

Един от първите, които се занимават най-тясно с приложението на числата на Фибоначи на финансовия пазар, е Р. Елиът. Работата му не е била напразна в смисъл, че пазарните описания, използващи теорията на Фибоначи, често се наричат ​​„вълни на Елиът“. Развитието на пазарите тук се основава на модела на човешкото развитие от суперцикли с три стъпки напред и две стъпки назад. Фактът, че човечеството се развива нелинейно, е очевиден за почти всички - знанията на Древен Египет и атомистичното учение на Демокрит са напълно изгубени през Средновековието, т.е. след около 2000 години; 20-ти век породи такъв ужас и незначителност на човешкия живот, че беше трудно да си представим дори в ерата на Пуническите войни на гърците. Въпреки това, дори ако приемем теорията за стъпките и техния брой за истина, размерът на всяка стъпка остава неясен, което прави вълните на Елиът сравними с предсказващата сила на главите и опашките. Отправната точка и правилното изчисляване на броя на вълните бяха и очевидно ще бъдат основната слабост на теорията.

Въпреки това теорията имаше успехи на местно ниво. Боб Пречър, който може да се счита за ученик на Елиът, правилно предсказа бичия пазар от началото на 80-те години и видя 1987 г. като повратна точка. Това наистина се случи, след което Боб очевидно се почувства гений - поне в очите на другите той със сигурност се превърна в инвестиционен гуру. Абонаментът на Prechter за Elliott Wave Theorist нарасна до 20 000 през същата година.обаче той намаля в началото на 1990-те години, тъй като по-нататъшните прогнозирани „гибел и мрак“ на американския пазар решиха да се задържат малко. Тя обаче проработи за японския пазар и редица поддръжници на теорията, които „закъсняха“ там за една вълна, загубиха или своя капитал, или капитала на клиентите на техните компании. По същия начин и със същия успех те често се опитват да приложат теорията при търговията на валутния пазар.

Теорията обхваща различни периоди на търговия – от седмични, което я прави подобна на стандартните стратегии за технически анализ, до изчисления за десетилетия, т.е. навлиза в територията на фундаменталните прогнози. Това е възможно чрез промяна на броя на вълните. Слабостите на теорията, които бяха споменати по-горе, позволяват на нейните привърженици да говорят не за несъответствието на вълните, а за собствените си грешни изчисления сред тях и неправилно определяне на изходната позиция. Това е като лабиринт - дори да имате точната карта, можете да я следвате само ако разбирате точно къде се намирате. Иначе картата не става за нищо. В случая с вълните на Елиът има всички признаци на съмнение не само в правилността на вашето местоположение, но и в точността на картата като такава.

заключения

Вълновото развитие на човечеството има реална основа - през Средновековието се редуват вълни на инфлация и дефлация, когато войните отстъпват място на относително спокоен мирен живот. Наблюдението на редицата на Фибоначи в природата, поне в някои случаи, също не буди съмнение. Следователно всеки има право да даде свой отговор на въпроса кой е Бог: математик или генератор на случайни числа. Моето лично мнение е, че въпреки че цялата човешка история и пазари могат да бъдат представени в концепцията за вълната, височината и продължителността на всяка вълна не могат да бъдат предвидени от никого.

В същото време 200 години наблюдение на американския пазар и повече от 100 години на други пазари ясно показват, че фондовият пазар расте, преминавайки през различни периоди на растеж и стагнация. Този факт е напълно достатъчен за дългосрочни печалби на фондовия пазар, без да се прибягва до противоречиви теории и да им се доверява повече капитал, отколкото трябва да бъде в рамките на разумните рискове.

Напоследък, работейки в индивидуални и групови процеси с хора, се върнах към мислите за комбиниране на всички процеси (кармични, ментални, физиологични, духовни, трансформационни и т.н.) в едно.

Приятелите зад булото все повече разкриваха образа на многоизмерния Човек и взаимовръзката на всичко във всичко.

Един вътрешен подтик ме подтикна да се върна към стари изследвания с числа и отново да прегледам книгата на Друнвало Мелхизедек „Древната тайна на цветето на живота“.

По това време филмът "Шифърът на Да Винчи" беше показан в кината. Нямам за цел да обсъждам качеството, стойността или истината на този филм. Но моментът с кода, когато числата започнаха да се въртят бързо, стана един от ключовите моменти в този филм за мен.

Моята интуиция ми подсказа, че си струва да обърна внимание на редицата от числа на Фибоначи и златното сечение. Ако погледнете в Интернет, за да намерите нещо за Фибоначи, ще бъдете бомбардирани с информация. Ще научите, че тази последователност е била известна във всички времена. Тя е представена в природата и космоса, в технологиите и науката, в архитектурата и живописта, в музиката и пропорциите в човешкото тяло, в ДНК и РНК. Много изследователи на тази последователност са стигнали до извода, че ключови събития в живота на човек, държава и цивилизация също са подчинени на закона за златното сечение.

Изглежда, че на човека е даден фундаментален намек.

Тогава възниква мисълта, че Човек може съзнателно да приложи принципа на Златното сечение за възстановяване на здравето и коригиране на съдбата, т.е. рационализиране на протичащите процеси в собствената вселена, разширяване на съзнанието, връщане към Благосъстоянието.

Нека си припомним заедно редицата на Фибоначи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Всяко следващо число се образува чрез събиране на предходните две:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 и т.н.

Сега предлагам да намалим всяко число в поредицата до една цифра: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Ето какво получихме:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

поредица от 24 числа, която се повтаря отново от 25-то:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Не ви ли се струва странно или естествено това

• има 24 часа в деня,
• космически къщи - 24,
• ДНК вериги - 24,
• 24 старейшини от Бог-звезда Сириус,
• Повтарящата се последователност в редицата на Фибоначи е 24 цифри.

Ако получената последователност е написана по следния начин,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

тогава ще видим, че 1-во и 13-то число от редицата, 2-ро и 14-то, 3-то и 15-то, 4-то и 16-то... сборът на 12-ти и 24-ти дава 9 .

3 3 6 9 6 6 3 9

При тестването на тези числови серии получихме:

• Детски принцип;
• Бащин принцип;
• Майчин принцип;
• Принцип на единството.

Матрицата на златното сечение

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Практическо приложение на редицата на Фибоначи

Един от моите приятели изрази намерението си да работи индивидуално с него по темата за развитието на неговите възможности и способности.

Неочаквано, в самото начало, Сай Баба се включи в процеса и ме покани да го последвам.

Започнахме да се издигаме вътре в Божествената монада на нашия приятел и, напускайки я чрез Причинното тяло, се озовахме в друга реалност на нивото на Космическия дом.

Тези, които са изучавали произведенията на Марк и Елизабет Клер Пророци, знаят учението за космическия часовник, което Майка Мария им предаде.

На нивото на Космическата къща Юрий видя кръг с вътрешен център с 12 стрели.

Старейшината, който ни срещна на това ниво, каза, че пред нас Божественият часовник и 12 стрелки представляват 12 (24) Проявления на Божествени аспекти... (вероятно Създатели).

Колкото до Космическия часовник, те се намираха под Божествения часовник според принципа на енергийната осмица.

— В какъв режим са Божествените часовници по отношение на вас?

— Стрелките на часовника стоят неподвижни, няма движение.Сега ми идват мисли, че преди много векове съм изоставил Божественото съзнание и съм следвал друг път, пътя на Магьосника. Всички мои магически артефакти и амулети, които имам и съм натрупал в себе си през много прераждания, на това ниво изглеждат като бебешки дрънкалки. На финия план те представляват образ на магическо енергийно облекло.

— Завършено.Въпреки това благославям магическото си преживяване.Преживяването на това преживяване наистина ме мотивира да се върна към източника, към целостта.Предлагат ми да сваля магическите си артефакти и да застана в центъра на Часовника.

— Какво трябва да се направи, за да се активира Божественият часовник?

— Сай Баба се появи отново и предлага да изрази намерението да свърже сребърната струна с часовника. Той също така казва, че имате някаква числова серия. Той е ключът към активирането. Образът на Човека на Леонард да Винчи се появява пред очите ви.

- 12 пъти.

„Моля ви да центрирате целия процес в Бога и да насочите енергията на сериите от числа, за да активирате Божествения часовник.

Прочетете на глас 12 пъти

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

В процеса на четене стрелките на часовника започнаха да се движат.

Енергията течеше по сребърната струна, свързваща всички нива на монадата на Юрина, както и земните и небесните енергии...

Най-неочакваното в този процес беше, че на Часовника се появиха четири Същности, които са част от Едното Цяло с Юра.

По време на комуникацията стана ясно, че някога е имало разделение на Централната душа и всяка част е избрала своя област във Вселената за изпълнение.

Беше взето решение за интеграция, което се случи в център Divine Hours.

Резултатът от този процес беше създаването на Общия кристал на това ниво.

След това си спомних, че Сай Баба веднъж говори за определен план, който включва първо свързване на две същности в една, след това четири и така нататък според бинарния принцип.

Разбира се, тази числова серия не е панацея. Това е само инструмент, който ви позволява бързо да извършите необходимата работа с човек, да го приведете вертикално към различни нива на Битие.

Италианският математик Леонардо Фибоначи е живял през 13 век и е един от първите в Европа, който използва арабски (индийски) цифри. Той измисли донякъде изкуствен проблем за зайци, отглеждани във ферма, като всички те се считат за женски, а мъжките се игнорират. Зайците започват да се размножават след като навършат два месеца и след това раждат по едно зайче всеки месец. Зайците никога не умират.

Трябва да определим колко зайци ще има във фермата през нмесеца, ако първоначално е имало само едно новородено зайче.

Очевидно фермерът има един заек през първия месец и един заек през втория месец. До третия месец ще има два зайчета, до четвъртия месец ще станат три и т.н. Нека обозначим броя на зайците в нмесец като . По този начин,
,
,
,
,
, …

Възможно е да се конструира алгоритъм за намиране по всяко н.

Според постановката на проблема, общият брой на зайците
V н+1 месец е разделен на три компонента:

едномесечни зайци, неспособни да се възпроизвеждат, в размер на

;

Така получаваме

. (8.1)

Формула (8.1) ви позволява да изчислите поредица от числа: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Числата в тази последователност се наричат Числата на Фибоначи .

Ако приемем
И
, тогава с помощта на формула (8.1) можете да определите всички други числа на Фибоначи. Формула (8.1) се извиква рецидивиращ формула ( рецидив – „връщане“ на латински).

Пример 8.1.Да предположим, че има стълбище нстъпки. Можем да го изкачим на стъпки от едно стъпало или на стъпала от две стъпала. Колко комбинации от различни методи за повдигане има?

Ако н= 1, има само едно решение на проблема. За н= 2 има 2 опции: две единични стъпки или една двойна. За н= 3 има 3 опции: три единични стъпки, или една единична и една двойна, или една двойна и една единична.

В следния случай н= 4, имаме 5 възможности (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

За да отговорите на произволно зададения въпрос н, нека обозначим броя на опциите като , и нека се опитаме да определим
според известното И
. Ако започнем с една стъпка, значи имаме комбинации за останалите нстъпки. Ако започнем с двойна стъпка, тогава имаме
комбинации за останалите н– 1 стъпки. Общ брой опции за н+1 стъпки е равно на

. (8.2)

Получената формула прилича на формула (8.1) като близнак. Това обаче не ни позволява да определим броя на комбинациите с числата на Фибоначи . Виждаме, например, че
, Но
. Съществува обаче следната зависимост:

.

Това е вярно за н= 1, 2 и също вярно за всички н. Числа на Фибоначи и брой комбинации се изчисляват по същата формула, но първоначалните стойности
,
И
,
те се различават.

Пример 8.2.Този пример е от практическо значение за проблемите на кодирането с коригиране на грешки. Намерете броя на всички двоични думи с дължина н, несъдържащ няколко нули подред. Нека означим това число с . очевидно,
, а думите с дължина 2, които удовлетворяват нашето ограничение са: 10, 01, 11, т.е.
. Позволявам
- такава дума от нгерои. Ако символът
, Че
може да бъде произволно (
)-литерална дума, която не съдържа няколко нули подред. Това означава, че броят на думите, завършващи на едно, е
.

Ако символът
, тогава определено
, и първият
символ
могат да бъдат произволни, при спазване на разглежданите ограничения. Следователно има
дължина на думите нс нула накрая. Така общият брой думи, които ни интересуват, е равен на

.

Като се има предвид това
И
, получената последователност от числа е числата на Фибоначи.

Пример 8.3.В пример 7.6 открихме, че броят на двоичните думи с постоянно тегло T(и дължина к) равно на . Сега нека намерим броя на двоичните думи с постоянно тегло T, несъдържащ няколко нули подред.

Можете да мислите така. Позволявам
броят на нулите във въпросните думи. Всяка дума има
интервали между най-близките нули, всяка от които съдържа една или повече единици. Предполага се, че
. Иначе няма нито една дума без съседни нули.

Ако премахнем точно една единица от всеки интервал, получаваме дума с дължина
съдържащи нули. Всяка такава дума може да бъде получена по посочения начин от някои (и само един) к-буквална дума, съдържаща нули, нито две от които не са съседни. Това означава, че необходимият брой съвпада с броя на всички думи с дължина
, съдържащ точно нули, т.е. равно на
.

Пример 8.4.Нека докажем, че сумата
равно на числата на Фибоначи за всяко цяло число . Символ
означава най-малкото цяло число, по-голямо или равно на . Например ако
, Че
; и ако
, Че
таван("таван"). Има и символ
, което обозначава най-голямото цяло число, по-малко или равно на . На английски тази операция се нарича етаж ("етаж").

Ако
, Че
. Ако
, Че
. Ако
, Че
.

Така за разглежданите случаи сумата наистина е равна на числата на Фибоначи. Сега представяме доказателството за общия случай. Тъй като числата на Фибоначи могат да бъдат получени с помощта на рекурентното уравнение (8.1), трябва да бъде спазено равенството:

.

И наистина работи:

Тук използвахме получената по-рано формула (4.4):
.

Сума от числата на Фибоначи

Нека определим сумата на първото нЧислата на Фибоначи.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Лесно е да се види, че като добавим единица към дясната страна на всяко уравнение, отново получаваме числото на Фибоначи. Обща формула за определяне на сбора на първия нЧислата на Фибоначи имат формата:

Нека докажем това с помощта на метода на математическата индукция. За да направите това, нека напишем:

Тази сума трябва да е равна
.

Намалявайки лявата и дясната страна на уравнението с –1, получаваме уравнение (6.1).

Формула за числата на Фибоначи

Теорема 8.1. Числата на Фибоначи могат да бъдат изчислени с помощта на формулата

.

Доказателство. Нека проверим валидността на тази формула за н= 0, 1 и след това ще докажем валидността на тази формула за произволно нчрез индукция. Нека изчислим отношението на двете най-близки числа на Фибоначи:

Виждаме, че съотношението на тези числа варира около 1,618 (ако игнорираме първите няколко стойности). Това свойство на числата на Фибоначи наподобява условията на геометрична прогресия. Да приемем
, (
). Тогава изразът

преобразуван в

което след опростяване изглежда така

.

Получихме квадратно уравнение, чиито корени са равни:

Сега можем да напишем:

(Където ° Се константа). И двамата членове И не давайте числата на Фибоначи например
, докато
. Разликата обаче
удовлетворява рекурентното уравнение:

За н=0 тази разлика дава , това е:
. Въпреки това, когато н=1 имаме
. Придобивам
, трябва да приемете:
.

Сега имаме две последователности: И
, които започват с едни и същи две числа и отговарят на една и съща формула за повторение. Те трябва да са равни:
. Теоремата е доказана.

При увеличаване нчлен става много голям, докато
и ролята на члена разликата се намалява. Следователно на свобода нможем да напишем приблизително

.

Пренебрегваме 1/2 (тъй като числата на Фибоначи нарастват до безкрайност като ндо безкрайност).

Поведение
Наречен златно сечение, използва се извън математиката (например в скулптурата и архитектурата). Златното сечение е съотношението между диагонала и страната Правилен петоъгълник(фиг. 8.1).

Ориз. 8.1. Правилен петоъгълник и неговите диагонали

За обозначаване на златното сечение е обичайно да се използва буквата
в чест на известния атински скулптор Фидий.

прости числа

Всички естествени числа, големите, попадат в два класа. Първата включва числа, които имат точно два естествени делителя, едно и себе си, втората включва всички останали. Извикват се първокласни номера просто, а второто – композитен. Прости числа в рамките на първите три десетки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Свойствата на простите числа и връзката им с всички естествени числа са изследвани от Евклид (3 век пр.н.е.). Ако запишете прости числа подред, ще забележите, че тяхната относителна плътност намалява. За първата десетка са 4, т.е. 40%, за сто – 25, т.е. 25%, на хиляда – 168, т.е. под 17%, на милион – 78498, т.е. по-малко от 8% и т.н. Общият им брой обаче е безкраен.

Сред простите числа има двойки такива числа, разликата между които е равна на две (т.нар прости близнаци), обаче, крайността или безкрайността на такива двойки не е доказана.

Евклид счита за очевидно, че чрез умножаване само на прости числа могат да се получат всички естествени числа и всяко естествено число може да бъде представено като произведение на прости числа по уникален начин (до реда на факторите). По този начин простите числа образуват мултипликативна основа на естествения ред.

Изследването на разпределението на простите числа доведе до създаването на алгоритъм, който позволява да се получат таблици с прости числа. Такъв алгоритъм е сито на Ератостен(3 век пр.н.е.). Този метод се състои в елиминиране (например чрез зачертаване) на тези цели числа от дадена последователност
, които се делят на поне едно от по-малките прости числа
.

Теорема 8 . 2 . (Евклидова теорема). Броят на простите числа е безкраен.

Доказателство. Ще докажем теоремата на Евклид за безкрайността на простите числа, като използваме метода, предложен от Леонхард Ойлер (1707–1783). Ойлер разглежда произведението върху всички прости числа стр:

при
. Този продукт се сближава и ако се разшири, тогава поради уникалността на разлагането на естествените числа на прости множители се оказва, че е равен на сумата от серията , от което следва самоличността на Ойлер:

.

Откога
редът отдясно се разминава (хармоничен ред), тогава теоремата на Евклид следва от тъждеството на Ойлер.

Руският математик П.Л. Чебишев (1821–1894) извежда формула, която определя границите, в които се намира броят на простите числа
, не повече х:

,

Където
,
.