Kako izračunati zapreminu obrtnog tela
korištenjem određenog integrala?

Općenito, postoji mnogo zanimljivih aplikacija u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, dužinu luka, površinu rotacija i još mnogo toga. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Uvedeni? ... Pitam se ko je šta predstavio... =))) Već smo našli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:

- oko ose apscise;
- oko ordinatne ose.

Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najviše poteškoća, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus na koji ću se vratiti problem nalaženja površine figure, a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž ose. To nije toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.

ravna figura oko ose

Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom figure ograničene linijama oko ose.

Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja površine, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno, na ravnini je potrebno konstruirati lik ograničen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako efikasnije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija i . Ovo je kineski podsjetnik i na ovom mjestu neću se dalje zadržavati.

Crtež ovdje je prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, to je ona koja se rotira oko ose.Kao rezultat rotacije, rezultat je blago jajoliki leteći tanjir koji je simetričan oko ose. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali ja sam previše lijen da razjasnim bilo šta u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?

Zapremina tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafikom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvek nenegativan, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovori:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.

Pronađite volumen tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama , ,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.

Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog skraćenog konusa sa .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

Odgovori:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.

Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.

Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi javljaju u opsegu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija, da vas podsjetim na materijal o lekciji geometrijske transformacije grafova: ako je argument podijeljen sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose

Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testnom radu. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).

Preporučujem ga svima, čak i potpunim lutkama. Štaviše, materijal naučen u drugom paragrafu pružiće neprocenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala.

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, svakako prvo pročitajte prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zbog toga:

Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, postoje korijeni ispod integrala, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam izabrao “bolje” funkcije za problem.

Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Lakše je sa ravnom linijom:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž ose striktno odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

U segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovori:

2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.

Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.

Odgovori:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.

Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zainteresovani mogu pronaći i površinu figure na „uobičajeni“ način, provjeravajući pritom tačku 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, tačan odgovor (također za one koji vole rješavati probleme).

Kompletno rješenje za dvije predložene tačke zadatka nalazi se na kraju lekcije.

Da, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno da biste razumjeli tijela rotacije i granice integracije!

Hteo sam da završim članak, ali danas su doneli zanimljiv primer samo za pronalaženje zapremine tela obrtanja oko ordinatne ose. svježe:

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose figure ograničene krivuljama i .

Rješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo sa grafovima nekih drugih funkcija. Evo zanimljivog grafikona parne funkcije...

Volumen tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafikom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - funkcija u formuli je na kvadrat: , dakle zapremina tela obrtanja je uvek nenegativna, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

odgovor:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.

Primjer 2

Pronađite volumen tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama , ,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.

Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog skraćenog konusa sa .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

odgovor:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.

Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, koje je primijetio Perelman (ne taj) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.

Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, koju je on napisao davne 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako reče humorista, razmišljanje i uči da se traži originalna, nestandardna rješenja problema. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.

Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Napominjemo da se sve stvari dešavaju u bendu, drugim riječima, date su praktično gotove granice integracije. Također pokušajte ispravno nacrtati grafove trigonometrijskih funkcija; ako je argument podijeljen sa dva: tada se grafovi dvaput rastežu duž ose. Pokušajte pronaći barem 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama i tačnije dovršite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose

Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testnom radu. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).

Primjer 5

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zbog toga:

Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, integrali su korijeni, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam izabrao “bolje” funkcije za problem.

Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Lakše je sa ravnom linijom:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Napomena: Granice integracije duž ose trebaju biti postavljene striktno odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

U segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.

odgovor:

2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.

Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.

odgovor:

Međutim, ne bolesni leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.

Primjer 6

Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

ravna figura oko ose

Primjer 3

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.

2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „normalan“ način. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:

- na segmentu ;

- na segmentu.

Zbog toga:

Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Lakše je sa ravnom linijom:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka : Granice integracije osovine treba postavitistriktno odozdo prema gore !

Pronalaženje područja:

U segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovori:

2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.

Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.

Odgovori:

Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.

Primjer 7

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose figure ograničene krivuljama i .

Rješenje: Napravimo crtež:

Usput se upoznajemo sa grafovima nekih drugih funkcija. Evo zanimljivog grafikona parne funkcije...

Za pronalaženje zapremine obrtnog tela dovoljno je koristiti desnu polovinu figure koju sam zasenčio plavom bojom. Obje funkcije su parne, njihovi grafovi su simetrični u odnosu na os, a naš lik je simetričan. Dakle, zasjenjeni desni dio, koji se okreće oko ose, sigurno će se poklopiti s lijevim nezasjenjenim dijelom.

Kao i kod problema pronalaženja područja, potrebne su vam samopouzdane vještine crtanja - to je gotovo najvažnija stvar (budući da će sami integrali često biti laki). Možete savladati kompetentne i brze tehnike grafiranja uz pomoć nastavnih materijala i geometrijskih transformacija grafova. Ali, zapravo, o važnosti crteža sam već govorio nekoliko puta na času.

Općenito, postoji mnogo zanimljivih primjena u integralnom računu; pomoću određenog integrala možete izračunati površinu figure, volumen tijela rotacije, dužinu luka, površinu rotacije i još mnogo toga više. Tako da će biti zabavno, budite optimistični!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Uvedeni? ... Pitam se ko je šta predstavio... =))) Već smo našli njegovu oblast. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:

– oko ose apscise;
– oko ose ordinata.

Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, izaziva najviše poteškoća, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose. Kao bonus na koji ću se vratiti problem nalaženja površine figure, a ja ću vam reći kako pronaći područje na drugi način - duž ose. To nije toliko bonus koliko se materijal dobro uklapa u temu.

Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.

ravna figura oko ose

Primjer 1

Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom figure ograničene linijama oko ose.

Rješenje: Kao iu problemu pronalaženja površine, rješenje počinje crtanjem ravne figure. Odnosno, na ravnini je potrebno konstruirati lik ograničen linijama, i ne zaboravite da jednadžba određuje os. Kako efikasnije i brže dovršiti crtež možete pronaći na stranicama Grafovi i svojstva elementarnih funkcija I Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Ovo je kineski podsjetnik i na ovom mjestu neću se dalje zadržavati.

Crtež ovdje je prilično jednostavan:

Željena ravna figura je osjenčana plavom bojom, to je ona koja se rotira oko ose.Kao rezultat rotacije, rezultat je blago jajoliki leteći tanjir koji je simetričan oko ose. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali ja sam previše lijen da razjasnim bilo šta u priručniku, pa idemo dalje.

Kako izračunati zapreminu tijela okretanja?

Zapremina tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafikom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: , dakle integral je uvek nenegativan, što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovori:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.

Primjer 2

Pronađite volumen tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama , ,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise figure ograničene linijama , , i

Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama , , , , ne zaboravljajući da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.

Izračunajmo zapreminu tijela okretanja kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog skraćenog konusa sa .

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa .

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

Odgovori:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.

Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.

Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je humorista rekao, razmišljanje i uči vas da tražite originalna, nestandardna rješenja problema. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.

Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte volumen tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama , , gdje je .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi javljaju u opsegu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija, da vas podsjetim na materijal o lekciji geometrijske transformacije grafova: ako je argument podijeljen sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.

Proračun volumena tijela nastalog rotacijom
ravna figura oko ose

Drugi pasus će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja volumena tijela okretanja oko ordinatne ose također je prilično čest gost u testnom radu. Usput će se razmotriti problem nalaženja površine figure druga metoda je integracija duž ose, to će vam omogućiti ne samo da poboljšate svoje vještine, već će vas naučiti da pronađete put do najisplativijeg rješenja. U tome ima i praktičnog životnog smisla! Kako se sa osmehom prisećala moja profesorica metodike matematike, mnogi maturanti su joj se zahvalili rečima: „Vaš predmet nam je mnogo pomogao, sada smo efikasni menadžeri i optimalno upravljamo kadrovima“. I ovom prilikom izražavam joj veliku zahvalnost, pogotovo što stečeno znanje koristim za koju nam je namjeru =).

Preporučujem ga svima, čak i potpunim lutkama. Štaviše, materijal naučen u drugom paragrafu pružiće neprocenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala.

Primjer 5

S obzirom na stan lik omeđen linijama , , .

1) Pronađite površinu ravne figure ograničenu ovim linijama.
2) Nađite zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Pažnja!Čak i ako želite da pročitate samo drugu tačku, prvu Neophodno procitaj prvu!

Rješenje: Zadatak se sastoji iz dva dijela. Počnimo s kvadratom.

1) Napravimo crtež:

Lako je vidjeti da funkcija specificira gornju granu parabole, a funkcija donju granu parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na svojoj strani".

Željena figura, čija se površina može pronaći, zasjenjena je plavom bojom.

Kako pronaći površinu figure? Može se naći na „uobičajeni“ način, o čemu se razgovaralo na času Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Štaviše, površina figure se nalazi kao zbir površina:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Zbog toga:

Zašto je uobičajeno rješenje loše u ovom slučaju? Prvo, dobili smo dva integrala. Drugo, integrali su korijeni, a korijeni u integralima nisu dar, a osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubojiti, ali u praksi sve može biti mnogo tužnije, samo sam izabrao “bolje” funkcije za problem.

Postoji racionalnije rješenje: sastoji se od prebacivanja na inverzne funkcije i integracije duž ose.

Kako doći do inverznih funkcija? Grubo govoreći, trebate izraziti “x” kroz “y”. Prvo, pogledajmo parabolu:

Ovo je dovoljno, ali budimo sigurni da se ista funkcija može izvesti iz donje grane:

Lakše je sa ravnom linijom:

Sada pogledajte osu: povremeno nagnite glavu udesno za 90 stepeni dok objašnjavate (ovo nije šala!). Figura koja nam je potrebna leži na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. U ovom slučaju, na segmentu se ravna linija nalazi iznad parabole, što znači da se područje figure treba pronaći pomoću formule koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo pismo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije duž ose striktno odozdo prema gore!

Pronalaženje područja:

U segmentu, dakle:

Obratite pažnju na to kako sam izvršio integraciju, ovo je najracionalniji način, a u sljedećem pasusu zadatka bit će jasno zašto.

Za čitaoce koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobijena je originalna integrand funkcija, što znači da je integracija izvršena ispravno.

Odgovori:

2) Izračunajmo volumen tijela nastalog rotacijom ove figure oko ose.

Ponovo ću nacrtati crtež u malo drugačijem dizajnu:

Dakle, lik osjenčan plavom bojom rotira oko ose. Rezultat je "lebdeći leptir" koji rotira oko svoje ose.

Da bismo pronašli zapreminu tela rotacije, integrisaćemo duž ose. Prvo trebamo prijeći na inverzne funkcije. Ovo je već urađeno i detaljno opisano u prethodnom paragrafu.

Sada ponovo naginjemo glavu udesno i proučavamo našu figuru. Očigledno, zapreminu tela rotacije treba naći kao razliku u zapreminama.

Rotiramo lik zaokružen crvenom bojom oko ose, što rezultira skraćenim konusom. Označimo ovaj volumen sa .

Rotiramo lik zaokružen zelenom bojom oko ose i označavamo ga volumenom rezultirajućeg tijela rotacije.

Volumen našeg leptira jednak je razlici volumena.

Koristimo formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

Koja je razlika u odnosu na formulu iz prethodnog paragrafa? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, o kojoj sam nedavno govorio, mnogo je lakše pronaći , umjesto da prvo podignemo integrand na 4. stepen.

Odgovori:

Međutim, ne bolesni leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura rotira oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije, s drugačijim volumenom, prirodno.

Primjer 6

Zadana je ravna figura omeđena linijama i osom.

1) Idite na inverzne funkcije i pronađite površinu ravne figure ograničene ovim linijama integracijom preko varijable.
2) Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom ravne figure ograničene ovim linijama oko ose.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Zainteresovani mogu pronaći i površinu figure na „uobičajeni“ način, provjeravajući pritom tačku 1). Ali ako, ponavljam, rotirate ravnu figuru oko ose, dobit ćete potpuno drugačije tijelo rotacije s drugačijim volumenom, usput, tačan odgovor (također za one koji vole rješavati probleme).

Kompletno rješenje za dvije predložene tačke zadatka nalazi se na kraju lekcije.

Da, i ne zaboravite nagnuti glavu udesno da biste razumjeli tijela rotacije i granice integracije!

Zapremina tijela okretanja može se izračunati pomoću formule:

U formuli, broj mora biti prisutan prije integrala. Tako se i dogodilo - sve što se vrti u životu povezano je sa ovom konstantom.

Mislim da je lako pogoditi kako postaviti granice integracije “a” i “be” iz završenog crteža.

Funkcija... koja je ovo funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura je ograničena grafom parabole na vrhu. Ovo je funkcija koja se podrazumijeva u formuli.

U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod ose. Ovo ništa ne mijenja - integrand u formuli je na kvadrat: dakle integral je uvek nenegativan , što je vrlo logično.

Izračunajmo volumen tijela rotacije koristeći ovu formulu:

Kao što sam već primijetio, integral se gotovo uvijek pokaže jednostavnim, glavna stvar je biti oprezan.

Odgovori:

U svom odgovoru morate navesti dimenziju - kubične jedinice. To jest, u našem tijelu rotacije ima otprilike 3,35 „kockica“. Zašto kubni jedinice? Jer najuniverzalnija formulacija. Moglo bi biti kubnih centimetara, moglo bi biti kubnih metara, moglo bi biti kubnih kilometara itd., toliko zelenih ljudi vaša mašta može staviti u leteći tanjir.

Primjer 2

Nađite zapreminu tijela nastalog rotacijom oko ose figure ograničene linijama,

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrimo dva složenija problema, koji se također često susreću u praksi.

Primjer 3

Izračunajte volumen tijela dobivenog rotacijom oko ose apscise lika ograničenog linijama ,, i

Rješenje: Hajde da na crtežu prikažemo ravnu figuru ograničenu linijama ,,,, a da ne zaboravimo da jednačina definira os:

Željena figura je osenčena plavom bojom. Kada se rotira oko svoje ose, ispada nadrealna krofna sa četiri ugla.

Izračunajmo zapreminu tijela rotacije kao razlika u zapremini tela.

Prvo, pogledajmo lik zaokružen crvenom bojom. Kada se rotira oko ose, dobija se skraćeni konus. Označimo volumen ovog krnjeg konusa sa.

Razmotrite figuru koja je zaokružena zelenom bojom. Ako zarotirate ovu figuru oko ose, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manji. Označimo njen volumen sa.

I, očigledno, razlika u zapremini je upravo zapremina naše „krofne“.

Koristimo standardnu ​​formulu za pronalaženje volumena tijela okretanja:

1) Lik zaokružen crvenom bojom je odozgo omeđen pravom linijom, dakle:

2) Figura zaokružena zelenom bojom je odozgo omeđena pravom linijom, dakle:

3) Volumen željenog tijela okretanja:

Odgovori:

Zanimljivo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračunavanje volumena krnjeg konusa.

Sama odluka je često napisana kraće, otprilike ovako:

Sada se malo odmorimo i pričamo o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane s tomovima, što je primijetio Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u riješenom zadatku - čini se da je mala po površini, a zapremina tijela okretanja je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini prevelikim. Inače, prosječan čovjek u svom životu popije ekvivalent prostoriji od 18 kvadratnih metara tečnosti, što se, naprotiv, čini premalim volumenom.

Generalno, obrazovni sistem u SSSR-u je bio zaista najbolji. Ista Perelmanova knjiga, objavljena davne 1950. godine, vrlo dobro razvija, kako je humorista rekao, razmišljanje i uči vas da tražite originalna, nestandardna rješenja problema. Nedavno sam sa velikim zanimanjem ponovo pročitala neka poglavlja, preporučujem, dostupna je čak i humanistima. Ne, ne treba da se smiješ što sam ponudio slobodno vrijeme, erudicija i široki horizonti u komunikaciji su odlična stvar.

Nakon lirske digresije, prikladno je riješiti kreativni zadatak:

Primjer 4

Izračunajte zapreminu tijela formiranog rotacijom oko ose ravne figure ograničene linijama,, gdje.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Imajte na umu da se svi slučajevi javljaju u opsegu, drugim riječima, gotova ograničenja integracije su zapravo data. Ispravno nacrtajte grafove trigonometrijskih funkcija, da vas podsjetim na materijal o lekciji geometrijske transformacije grafova : ako je argument podijeljen sa dva: , tada se grafovi dvaput razvlače duž ose. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama da tačnije završite crtež. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Inače, zadatak se može riješiti racionalno i ne baš racionalno.