Klasična vjerovatnoća. Vjerovatnoća slučajnog događaja. Nezavisnost događaja. Teorema množenja vjerovatnoće

U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala temeljna nauka. Prvi koji su mu dali matematički okvir bili su Fermat i Pascal.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće

Dvije osobe kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge od svojih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, a potonji je prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o tome da izvesna Fortuna daje sreću svojim miljenicima dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, u stvari, svaka kockarska igra sa svojim dobicima i gubicima samo je simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući strasti Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i čovjek koji nije bio ravnodušan prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo sljedeće pitanje: „Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?“ Drugo pitanje, koje je gospodina veoma zanimalo: „Kako podeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?“ Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matematičar nikada nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blez Paskal dao je prvu definiciju verovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerovatnoće je postala osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj nauci.

Šta je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda eksperimenta.

Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.

Da bismo mogli raditi s rezultatima eksperimenta, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatnoća slučajnog događaja

Da bismo započeli matematički dio vjerovatnoće, potrebno je definirati sve njene komponente.

Vjerovatnoća događaja je numerička mjera mogućnosti da se neki događaj (A ili B) dogodi kao rezultat nekog iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).

U teoriji vjerovatnoće razlikuju:

• pouzdan zagarantovano je da će se događaj dogoditi kao rezultat iskustva P(Ω) = 1;
• nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi P(Ø) = 0;
• nasumično događaj se nalazi između pouzdanog i nemogućeg, odnosno verovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (verovatnoća slučajnog događaja je uvek u opsegu 0≤R(A)≤ 1).

Odnosi između događaja

Uzimaju se u obzir i jedan i zbir događaja A+B, kada se događaj računa kada je barem jedna od komponenti, A ili B, ili obje, A i B, ispunjena.

U međusobnoj vezi događaji mogu biti:

• Jednako moguće.
• Kompatibilan.
• Nekompatibilno.
• Suprotnost (međusobno isključiva).
• Zavisni.

Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.

Ako pojava događaja A ne svede na nulu vjerovatnoću pojave događaja B, onda kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. Bacanje novčića je dobar primjer: pojava glava je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao “ne A”). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.

Zavisni događaji međusobno utiču, smanjujući ili povećavajući verovatnoću jedni drugih.

Odnosi između događaja. Primjeri

Koristeći primjere, mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja.

Eksperiment koji će se izvoditi sastoji se od vađenja loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda eksperimenta - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.

Test br. 1. Uključeno je 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima na sebi, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test br. 2. Postoji 6 plavih loptica sa brojevima od jedan do šest.

Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

• Pouzdan događaj. Na španskom Događaj broj 2 „dobi plavu kuglu“ je pouzdan, jer je verovatnoća njegovog nastanka jednaka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
• Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj „dobivanje ljubičaste kuglice“ je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
• Jednako mogući događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su mogući događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
• Kompatibilni događaji. Dobiti šesticu dva puta zaredom dok bacate kocku je kompatibilan događaj.
• Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Broj 1, događaji „dobiti crvenu loptu” i „dobiti loptu sa neparnim brojem” ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
• Suprotni događaji. Najupečatljiviji primjer ovoga je bacanje novčića, gdje je izvlačenje glave ekvivalentno necrtanju repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (puna grupa).
• Zavisni događaji. Dakle, na španskom Br. 1, možete postaviti cilj da izvučete crvenu loptu dva puta zaredom. Da li će biti preuzet prvi put ili ne utiče na vjerovatnoću da će biti preuzet drugi put.

Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatnoće događaja

Prelazak sa proricanja sudbine na precizne podatke odvija se prevođenjem teme u matematičku ravan. To jest, prosudbe o slučajnom događaju kao što je „velika verovatnoća” ili „minimalna verovatnoća” mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati ​​i unositi takav materijal u složenije proračune.

Sa računske tačke gledišta, određivanje vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u vezi sa određenim događajem. Verovatnoća je označena sa P(A), gde P označava reč „verovatno“, što je sa francuskog prevedeno kao „verovatnoća“.

Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. U ovom slučaju, vjerovatnoća događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer

Uzmimo španski. Br. 1 sa loptama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih problema:

• A - crvena lopta ispada. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno je opcija 6. Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerovatnoća događaja P(A)=3/6=0,5.
• B - bacanje parnog broja. Postoje 3 parna broja (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
• C - pojavljivanje broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda od 6. Vjerovatnoća događaja C jednaka je P(C)=4 /6=0,67.

Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj vjerovatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nekompatibilni događaji

Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1 nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kocki istovremeno.

Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A+B smatra se događajem koji se sastoji od pojave događaja A ili B, a njihov proizvod AB je pojava oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir više događaja je događaj koji pretpostavlja nastanak barem jednog od njih. Proizvodnja nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba veznika "i" označava zbir, a veznik "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja

Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka sabiranju njihovih vjerovatnoća:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: hajde da izračunamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama pojaviće se broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća dobijanja broja 2 je 1/6, verovatnoća da se dobije broj 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svih brojeva, rezultat će biti jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna strana događaj A, a druga suprotan događaj Ā, kao što je poznato,

P(A) + P(Ā) = 1

Vjerovatnoća nastanka nekompatibilnih događaja

Množenje vjerovatnoće se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom opažanju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti istovremeno jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatnoća da na španskom Br. 1, kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada se, kao rezultat dva pokušaja izvlačenja loptica, izvuku samo plave kuglice je 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se nastanak jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Uprkos činjenici da su zajednički, razmatra se vjerovatnoća nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kocke može dati rezultat kada se na objema pojavi broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili u isto vrijeme, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica nema uticaj na to.

Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.

Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer

Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbiru vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog nastanka (odnosno njihovog zajedničkog nastupa):

R zglob (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Pretpostavimo da je vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu 0,4. Tada događaj A pogađa metu u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da možete pogoditi metu i prvim i drugim hicima. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (barem jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: “Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica je 64%”.

Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.

Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće

Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što se može vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerovatnoće zbira mnogih (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazno. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Događaji se nazivaju zavisnim ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih događaja uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B, podložna nastanku događaja A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja je potrebna i može se uzeti u obzir u izvršenim proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja bio bi standardni špil karata.

Koristeći špil od 36 karata kao primjer, pogledajmo zavisne događaje. Moramo odrediti vjerovatnoću da će druga karta izvučena iz špila biti od dijamanata ako je prva izvučena karta:

1. Bubnovaya.
2. Drugačija boja.

Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je prva opcija tačna, da u špilu ima 1 karta (35) i 1 romb (8) manje, vjerovatnoća događaja B:

R A (B) =8/35=0,23

Ako je druga opcija tačna, onda špil ima 35 karata, a pun broj dijamanata (9) je i dalje zadržan, tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:

R A (B) =9/35=0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, onda se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.

Umnožavanje zavisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini je on slučajne prirode. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno izvlačenja dijamanta iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama za sebe, već je namijenjena da služi u praktične svrhe, pošteno je primijetiti da je ono što je najčešće potrebno vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.

Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A, pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (zavisnog od A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Zatim, u primjeru špila, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte sa odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571, ili 5,7%

I vjerovatnoća da se prvo ne izvuku dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerovatnoća da se dogodi događaj B veća pod uvjetom da je prva izvučena karta druge boje osim dijamanata. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerovatnoća događaja

Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višeslojan, ne može se izračunati korišćenjem konvencionalnih metoda. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2,…, A n, ..formira kompletnu grupu događaja:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B sa kompletnom grupom slučajnih događaja A1, A2,..., A n je jednaka:

Pogled u budućnost

Vjerovatnoća slučajnog događaja je izuzetno neophodna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnoće, potrebne su posebne radne metode. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se utvrdi mogućnost greške ili kvara.

Možemo reći da prepoznavanjem vjerovatnoće na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

At Kada procjenjujemo vjerovatnoću pojave bilo kojeg slučajnog događaja, vrlo je važno dobro razumjeti da li vjerovatnoća () pojave događaja koji nas zanima ovisi o tome kako se razvijaju drugi događaji.

U slučaju klasične sheme, kada su svi ishodi jednako vjerojatni, već možemo nezavisno procijeniti vrijednosti vjerovatnoće pojedinačnog događaja koji nas zanima. To možemo učiniti čak i ako je događaj složena zbirka nekoliko elementarnih ishoda. Šta ako se nekoliko slučajnih događaja dogodi istovremeno ili uzastopno? Kako to utiče na vjerovatnoću da se desi događaj koji nas zanima?

Ako bacim kockicu nekoliko puta i želim da se pojavi šestica, a stalno imam nesreću, da li to znači da treba da povećam svoju opkladu jer, prema teoriji vjerovatnoće, uskoro ću imati sreće? Nažalost, teorija vjerovatnoće ne kaže ništa slično ovome. Bez kockica, bez karata, bez novčića ne mogu se sjetiti šta su nam pokazali prošli put. Uopšte im je svejedno da li je prvi ili deseti put da danas iskušavam sreću. Svaki put kada ponovim bacanje, znam samo jedno: i ovaj put je vjerovatnoća da dobijem šesticu opet jedna šestina. Naravno, to ne znači da se broj koji mi treba nikada neće pojaviti. To samo znači da su moj gubitak nakon prvog bacanja i nakon svakog drugog bacanja nezavisni događaji.

Događaji A i B se nazivaju nezavisni, ako implementacija jednog od njih ni na koji način ne utiče na vjerovatnoću drugog događaja. Na primjer, vjerovatnoća pogađanja mete s prvim od dva oružja ne zavise od toga da li je cilj pogođen drugim oružjem, pa su događaji „prvo oružje pogodilo metu“ i „drugo oružje pogodilo metu“ nezavisni.

Ako su dva događaja A i B nezavisna, a vjerovatnoća svakog od njih je poznata, tada se vjerovatnoća istovremene pojave događaja A i događaja B (označeno AB) može izračunati korištenjem sljedeće teoreme.

Teorema množenja vjerovatnoće za nezavisne događaje

Primjer.Vjerovatnoće pogađanja mete pri gađanju prvog i drugog topova su jednake: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Nađite vjerovatnoću pogotka jednom salvom od oba topova istovremeno.

Rješenje: kao što smo već vidjeli, događaji A (pogodan prvim pištoljem) i B (pogodan drugim pištoljem) su nezavisni, tj. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Šta se događa s našim procjenama ako početni događaji nisu nezavisni? Promenimo malo prethodni primer.

Primjer.Dva strijelca gađaju mete na takmičenju, a ako jedan od njih gađa precizno, protivnik počinje da se nervira i rezultati mu se pogoršavaju. Kako ovu svakodnevnu situaciju pretvoriti u matematički problem i zacrtati načine za njegovo rješavanje? Intuitivno je jasno da je potrebno nekako razdvojiti te dvije opcije razvoja događaja, suštinski stvoriti dva scenarija, dva različita zadatka. U prvom slučaju, ako je protivnik promašio, scenarij će biti povoljan za nervoznog sportaša i njegova preciznost će biti veća. U drugom slučaju, ako je protivnik pristojno iskoristio svoju šansu, vjerovatnoća da će pogoditi metu za drugog sportaša se smanjuje.

Da bismo odvojili moguće scenarije (koje se često nazivaju hipotezama) za razvoj događaja, često ćemo koristiti dijagram „stabla vjerovatnoće“. Ovaj dijagram je po značenju sličan stablu odlučivanja s kojim ste se vjerovatno već bavili. Svaka grana predstavlja poseban scenario razvoja događaja, samo što sada ima svoje značenje tzv uslovno vjerovatnoće (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Ova šema je vrlo pogodna za analizu sekvencijalnih slučajnih događaja.

Ostaje da razjasnimo još jedno važno pitanje: odakle potiču početne vrijednosti vjerovatnoća? stvarne situacije ? Uostalom, teorija vjerovatnoće ne funkcionira samo s novčićima i kockicama? Obično se ove procjene uzimaju iz statistike, a kada statistički podaci nisu dostupni, mi provodimo vlastito istraživanje. I često to moramo započeti ne prikupljanjem podataka, već pitanjem koje su nam informacije zapravo potrebne.

Primjer.Recimo da u gradu sa populacijom od sto hiljada stanovnika trebamo procijeniti obim tržišta za novi proizvod koji nije neophodan, na primjer, za balzam za njegu farbane kose. Razmotrimo dijagram "drvo vjerovatnoće". U ovom slučaju, potrebno je približno procijeniti vrijednost vjerovatnoće na svakoj „grani“. Dakle, naše procjene tržišnog kapaciteta:

1) od svih stanovnika grada 50% su žene,

2) od svih žena, samo 30% često farba kosu,

3) od njih samo 10% koristi balzame za farbanu kosu,

4) od njih samo 10% može skupiti hrabrost da isproba novi proizvod,

5) 70% njih obično sve kupuje ne od nas, već od naših konkurenata.

Rješenje: Prema zakonu množenja vjerovatnoća, određujemo vjerovatnoću događaja koji nas zanima A = (stanovnik grada kupuje ovaj novi melem od nas) = ​​0,00045.

Pomnožimo ovu vrijednost vjerovatnoće sa brojem stanovnika grada. Kao rezultat toga, imamo samo 45 potencijalnih kupaca, a s obzirom da jedna boca ovog proizvoda traje nekoliko mjeseci, trgovina nije baš živa.

A ipak ima neke koristi od naših procjena.

Prvo, možemo uporediti prognoze različitih poslovnih ideja; one će imati različite „račve“ na dijagramima, a, naravno, i vrijednosti vjerovatnoće će biti različite.

Drugo, kao što smo već rekli, slučajna varijabla se ne zove slučajna jer ne zavisi ni od čega. Samo ona tačno značenje nije poznato unapred. Znamo da se prosječan broj kupaca može povećati (na primjer, oglašavanjem novog proizvoda). Zato ima smisla usmjeriti napore na one „rašlje“ gdje nam distribucija vjerovatnoća ne odgovara posebno, na one faktore na koje možemo utjecati.

Pogledajmo još jedan kvantitativni primjer istraživanja ponašanja potrošača.

Primjer. U prosjeku, 10.000 ljudi posjeti prehrambenu pijacu dnevno. Verovatnoća da posetilac pijace uđe u paviljon mlečnih proizvoda je 1/2. Poznato je da se u ovom paviljonu dnevno proda u prosjeku 500 kg raznih proizvoda.

Možemo li reći da prosječna kupovina u paviljonu teži samo 100 g?

Diskusija. Naravno da ne. Jasno je da nisu svi koji su ušli u paviljon na kraju nešto kupili.

Kao što je prikazano na dijagramu, da bismo odgovorili na pitanje o prosječnoj težini kupovine, moramo pronaći odgovor na pitanje kolika je vjerovatnoća da će osoba koja uđe u paviljon tamo nešto kupiti. Ako takve podatke ne raspolažemo, a trebaju nam, moraćemo sami da ih dobijemo posmatrajući neko vreme posetioce paviljona. Recimo, naša zapažanja su pokazala da samo petina posjetitelja paviljona nešto kupi.

Kada dobijemo ove procjene, zadatak postaje jednostavan. Od 10.000 ljudi koji dođu na pijacu, 5.000 će otići u paviljon mliječnih proizvoda, kupovina će biti samo 1.000, a prosječna težina kupovine je 500 grama. Zanimljivo je primijetiti da kako bismo izgradili potpunu sliku onoga što se dešava, logika uslovnog „grananja“ mora biti definirana u svakoj fazi našeg rasuđivanja tako jasno kao da radimo sa „specifičnom“ situacijom, a ne sa vjerovatnoćama.

Zadaci za samotestiranje

1. Neka postoji električni krug koji se sastoji od n elemenata povezanih u seriju, od kojih svaki radi nezavisno od drugih.

Vjerovatnoća p otkaza svakog elementa je poznata. Odrediti vjerovatnoću ispravnog rada cijelog dijela kola (događaj A).

2. Student zna 20 od 25 ispitnih pitanja. Odrediti vjerovatnoću da učenik zna tri pitanja koja mu je dao ispitivač.

3. Proizvodnja se sastoji od četiri uzastopne faze, u svakoj od kojih radi oprema, za koje su vjerovatnoće kvara u toku narednog mjeseca jednake p 1, p 2, p 3 i p 4, respektivno. Pronađi vjerovatnoću da za mjesec dana neće doći do prekida proizvodnje zbog kvara opreme.

Kratka teorija

Za kvantitativno upoređivanje događaja prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerovatnoća događaja. Vjerovatnoća slučajnog događaja je broj koji izražava mjeru objektivne mogućnosti da se događaj dogodi.

Količine koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi za očekivanje nastanka događaja karakteriziraju se vjerovatnoćom događaja. Mora se naglasiti da je vjerovatnoća objektivna veličina koja postoji nezavisno od poznavaoca i uslovljena je čitavim skupom uslova koji doprinose nastanku događaja.

Objašnjenja koja smo dali za koncept vjerovatnoće nisu matematička definicija, jer ne kvantifikuju koncept. Postoji nekoliko definicija vjerovatnoće slučajnog događaja, koje se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasična, geometrijska definicija vjerovatnoće, statistička, itd.).

Klasična definicija vjerovatnoće događaja svodi ovaj koncept na elementarniji koncept jednako mogućih događaja, koji više nije podložan definiciji i pretpostavlja se da je intuitivno jasan. Na primjer, ako je kocka homogena kocka, tada će gubitak bilo kojeg lica ove kocke biti jednako mogući događaji.

Neka se pouzdani događaj podijeli na jednako moguće slučajeve, čiji zbir daje događaj. Odnosno, slučajevi na koje se raspada nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih osigurava nastanak.

Vjerovatnoća događaja će biti označena simbolom.

Vjerovatnoća događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su za njega povoljni, od ukupnog broja jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, prema broju, tj.

Ovo je klasična definicija vjerovatnoće. Dakle, da bi se pronašla vjerovatnoća događaja, potrebno je, s obzirom na različite ishode testa, pronaći skup jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj slučajeva m povoljan za dati događaj, a zatim izvršite proračun koristeći gornju formulu.

Vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja eksperimentalnih ishoda koji su povoljni za događaj i ukupnog broja eksperimentalnih ishoda naziva se klasična verovatnoća slučajni događaj.

Iz definicije slijede sljedeća svojstva vjerovatnoće:

Svojstvo 1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.

Svojstvo 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Svojstvo 3. Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.

Svojstvo 4. Vjerovatnoća pojave događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Svojstvo 5. Vjerovatnoća pojave suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerovatnoća nastanka događaja A.

Broj slučajeva koji favorizuju pojavu suprotnog događaja. Stoga je vjerovatnoća pojave suprotnog događaja jednaka razlici između jedinice i vjerovatnoće pojave događaja A:

Važna prednost klasične definicije vjerovatnoće događaja je da se uz njenu pomoć vjerovatnoća događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na osnovu logičkog zaključivanja.

Kada se ispuni niz uslova, pouzdan događaj će se sigurno dogoditi, ali nemoguć događaj se definitivno neće dogoditi. Među događajima koji se mogu ili ne moraju dogoditi kada se stvori niz uslova, na pojavu nekih se može računati s dobrim razlogom, a na pojavu drugih s manje razloga. Ako, na primjer, ima više bijelih loptica u urni nego crnih, onda postoji više razloga da se nadamo pojavi bijele kugle kada se nasumično izvuče iz urne nego pojavi crne lopte.

Sljedeća stranica govori o tome.

Primjer rješenja problema

Primjer 1

Kutija sadrži 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih loptica. 3 kuglice se izvlače nasumično. Nađite vjerovatnoće sljedećih događaja: – izvučena je najmanje 1 crvena kugla, – postoje najmanje 2 loptice iste boje, – ima najmanje 1 crvena i 1 bela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda testa nalazimo kao broj kombinacija od 19 (8+4+7) elemenata od 3:

Nađimo vjerovatnoću događaja– izvučena je najmanje 1 crvena loptica (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoje najmanje 2 lopte iste boje (2 ili 3 bijele, 2 ili 3 crne i 2 ili 3 crvene lopte)

Broj ishoda povoljnih za događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

Neka događaj– postoji najmanje jedna crvena i 1 bela lopta

(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda povoljnih za događaj:

Potrebna vjerovatnoća:

odgovor: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Primjer 2

Bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da je zbir bodova najmanje 5.

Rješenje

Neka događaj bude rezultat najmanje 5

Koristimo klasičnu definiciju vjerovatnoće:

Ukupan broj mogućih ishoda testa

Broj pokušaja koji favorizuju događaj od interesa

Na ispuštenoj strani prve kocke može se pojaviti jedan bod, dva boda..., šest bodova. Slično, šest ishoda je moguće prilikom bacanja druge kocke. Svaki od ishoda bacanja prve kockice može se kombinirati sa svakim od ishoda druge. Dakle, ukupan broj mogućih ishoda elementarnog testa jednak je broju plasmana sa ponavljanjima (izbor sa plasmanima od 2 elementa iz seta 6. volumena):

Nađimo vjerovatnoću suprotnog događaja - zbir bodova je manji od 5

Sljedeće kombinacije izgubljenih bodova će favorizirati događaj:

Prosjek trošak rješavanja testa je 700 - 1200 rubalja (ali ne manje od 300 rubalja za cijelu narudžbu). Na cijenu u velikoj mjeri utiče hitnost odluke (od jednog dana do nekoliko sati). Cijena online pomoći za ispit/test je od 1000 rubalja. za rješavanje tiketa.

Zahtjev možete ostaviti direktno u chatu, nakon što ste prethodno poslali uslove zadataka i obavijestili vas o rokovima za rješenje koje vam je potrebno. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.

Primjeri povezanih problema

Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula
Na primjeru rješavanja problema razmatraju se formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula, a objašnjava se i šta su hipoteze i uslovne vjerovatnoće.

Da bi se događaji kvantitativno međusobno uporedili prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći što je događaj mogući. Ovaj broj ćemo nazvati vjerovatnoćom nekog događaja. dakle, vjerovatnoća događaja je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti ovog događaja.

Prvom definicijom vjerovatnoće treba smatrati onu klasičnu, koja je proizašla iz analize kockanja i u početku se primjenjivala intuitivno.

Klasična metoda određivanja vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednako mogućih i nekompatibilnih događaja, koji su ishodi datog iskustva i čine potpunu grupu nespojivih događaja.

Najjednostavniji primjer jednako mogućih i nespojivih događaja koji čine potpunu grupu je pojava jedne ili druge kugle iz urne koja sadrži nekoliko loptica iste veličine, težine i drugih opipljivih karakteristika, koje se razlikuju samo po boji, temeljito pomiješane prije nego što se izvuku.

Stoga se kaže da se test čiji ishodi čine kompletnu grupu nekompatibilnih i jednako mogućih događaja svodi na obrazac urni, ili uzorak slučajeva, ili se uklapa u klasični obrazac.

Jednako mogući i nespojivi događaji koji čine kompletnu grupu nazvat ćemo jednostavno slučajevi ili šanse. Štaviše, u svakom eksperimentu, zajedno sa slučajevima, mogu se desiti i složeniji događaji.

Primjer: Prilikom bacanja kocke, uz slučajeve A i - gubitak i-tačaka na gornjoj strani, možemo uzeti u obzir događaje kao što su B - gubitak parnog broja poena, C - gubitak većeg broja bodova. tačke koje su višestruke od tri...

U odnosu na svaki događaj koji se može dogoditi tokom eksperimenta, slučajevi su podijeljeni na povoljno, u kojem se ovaj događaj događa, i nepovoljan, u kojem se događaj ne događa. U prethodnom primjeru, događaj B favoriziraju slučajevi A 2, A 4, A 6; događaj C - slučajevi A 3, A 6.

Klasična vjerovatnoća pojavljivanje određenog događaja naziva se omjer broja slučajeva pogodnih za nastanak ovog događaja i ukupnog broja jednako mogućih, nekompatibilnih slučajeva koji čine kompletnu grupu u datom eksperimentu:

Gdje P(A)- vjerovatnoća nastanka događaja A; m- broj slučajeva pogodnih za događaj A; n- ukupan broj predmeta.

primjeri:

1) (vidi primjer iznad) P(B)= , P(C) =.

2) Urna sadrži 9 crvenih i 6 plavih kuglica. Pronađite vjerovatnoću da će jedna ili dvije nasumično izvučene kuglice ispasti crvene.

A- nasumično izvučena crvena kugla:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dvije nasumično izvučene crvene kuglice:

Sljedeća svojstva proizlaze iz klasične definicije vjerovatnoće (pokažite se):

1) Verovatnoća nemogućeg događaja je 0;

2) Verovatnoća pouzdanog događaja je 1;

3) Verovatnoća bilo kog događaja je između 0 i 1;

4) Vjerovatnoća događaja suprotnog događaju A,

Klasična definicija vjerovatnoće pretpostavlja da je broj ishoda suđenja konačan. U praksi vrlo često postoje testovi čiji je broj mogućih slučajeva beskonačan. Osim toga, slabost klasične definicije je u tome što je vrlo često nemoguće prikazati rezultat testa u obliku skupa elementarnih događaja. Još je teže navesti razloge zbog kojih se elementarni ishodi testa smatraju jednako mogućim. Obično se o jednakosti elementarnih ishoda testa zaključuje iz razmatranja simetrije. Međutim, takvi zadaci su vrlo rijetki u praksi. Iz ovih razloga, uz klasičnu definiciju vjerovatnoće, koriste se i druge definicije vjerovatnoće.

Statistička vjerovatnoća događaj A je relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja u obavljenim testovima:

gdje je vjerovatnoća pojave događaja A;

Relativna učestalost pojavljivanja događaja A;

Broj pokušaja u kojima se pojavio događaj A;

Ukupan broj pokušaja.

Za razliku od klasične vjerovatnoće, statistička vjerovatnoća je karakteristika eksperimentalne vjerovatnoće.

Primjer: Za kontrolu kvaliteta proizvoda iz serije, nasumično je odabrano 100 proizvoda, među kojima su se 3 proizvoda pokazala neispravnima. Odredite vjerovatnoću braka.

.

Statistička metoda određivanja vjerovatnoće primjenjiva je samo na one događaje koji imaju sljedeća svojstva:

Događaji koji se razmatraju trebali bi biti rezultati samo onih testova koji se mogu reproducirati neograničen broj puta pod istim skupom uslova.

Događaji moraju imati statističku stabilnost (ili stabilnost relativnih frekvencija). To znači da se u različitim serijama testova relativna učestalost događaja malo mijenja.

Broj pokušaja koji rezultiraju događajem A mora biti prilično velik.

Lako je provjeriti da su svojstva vjerovatnoće koja proizilaze iz klasične definicije također sačuvana u statističkoj definiciji vjerovatnoće.

Kada je novčić bačen, možemo reći da će pasti glavom gore, ili vjerovatnoća ovo je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, on će nužno pasti na glavu 5 puta. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, onda će glave pasti vrlo blizu pola vremena. Dakle, postoje dvije vrste vjerovatnoća: eksperimentalni I teorijski .

Eksperimentalna i teorijska vjerovatnoća

Ako bacimo novčić veliki broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta padne na glavu, možemo odrediti vjerovatnoću da će pasti na glavu. Ako se glava baci 503 puta, možemo izračunati vjerovatnoću da ona padne:
503/1000 ili 0,503.

Ovo eksperimentalni definicija vjerovatnoće. Ova definicija vjerovatnoće dolazi iz posmatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Evo, na primjer, neke vjerovatnoće koje su određene eksperimentalno:

1. Vjerovatnoća da će žena razviti rak dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga ko je prehlađen, onda je vjerovatnoća da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je isto tako vjerovatno da će on ispasti glavama ili repom, možemo izračunati vjerovatnoću dobijanja grla: 1/2 Ovo je teorijska definicija vjerovatnoće. Evo još nekih vjerovatnoća koje su teoretski određene matematikom:

1. Ako je u prostoriji 30 ljudi, vjerovatnoća da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tokom putovanja upoznate nekoga, a tokom razgovora otkrijete da imate zajedničkog prijatelja. Tipična reakcija: "Ovo ne može biti!" Zapravo, ova fraza nije prikladna, jer je vjerovatnoća takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Tako se eksperimentalne vjerovatnoće određuju posmatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerovatnoće se određuju putem matematičkog zaključivanja. Primjeri eksperimentalnih i teoretskih vjerovatnoća, poput onih o kojima je bilo riječi gore, a posebno onih koje ne očekujemo, dovode nas do važnosti proučavanja vjerovatnoće. Možete pitati: "Šta je prava vjerovatnoća?" U stvari, toga nema. Vjerovatnoće u određenim granicama mogu se odrediti eksperimentalno. One se mogu ili ne moraju podudarati sa vjerovatnoćama koje dobijamo teoretski. Postoje situacije u kojima je mnogo lakše odrediti jednu vrstu vjerovatnoće nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerovatnoću prehlade koristeći teorijsku vjerovatnoću.

Proračun eksperimentalnih vjerovatnoća

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerovatnoće. Osnovni princip koji koristimo za izračunavanje takvih vjerovatnoća je sljedeći.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n zapažanja, situacija ili događaj E dogodi m puta u n opservacija, tada se kaže da je eksperimentalna vjerovatnoća događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Provedeno je eksperimentalno istraživanje kako bi se utvrdio broj ljevorukih, dešnjaka i osoba čije su obje ruke podjednako razvijene, a rezultati su prikazani na grafikonu.

a) Odredite vjerovatnoću da je osoba dešnjak.

b) Odrediti vjerovatnoću da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerovatnoću da osoba podjednako tečno rukuje objema rukama.

d) Većina turnira profesionalnih kuglačkih saveza ograničeni su na 120 igrača. Na osnovu podataka iz ovog eksperimenta, koliko bi igrača moglo biti ljevoruko?

Rješenje

a) Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevaka je 17, a broj onih koji podjednako tečno govore obje ruke je 1. Ukupan broj zapažanja je 100. Dakle, vjerovatnoća da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerovatnoća da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100, ili 0,17, ili 17%.

c) Vjerovatnoća da osoba podjednako tečno drži obje ruke je P, gdje
P = 1/100, ili 0,01, ili 1%.

d) 120 kuglača, a iz (b) možemo očekivati ​​da je 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati ​​oko 20 igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvaliteta . Za proizvođača je veoma važno da kvalitet svojih proizvoda održava na visokom nivou. U stvari, kompanije angažuju inspektore za kontrolu kvaliteta kako bi osigurali ovaj proces. Cilj je proizvesti najmanji mogući broj neispravnih proizvoda. Ali pošto kompanija proizvodi hiljade proizvoda svaki dan, ne može sebi priuštiti da testira svaki proizvod kako bi utvrdila da li je neispravan ili ne. Kako bi saznali koji je postotak proizvoda neispravan, kompanija testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje prodaju uzgajivači mora proklijati. Za utvrđivanje kvaliteta sjemena koje poljoprivredno preduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki od proizvedenih. Nakon toga je izračunato da je niknulo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerovatnoća da će sjeme proklijati?

b) Da li sjeme ispunjava vladine standarde?

Rješenje a) Znamo da je od 500 zasađenih sjemenki niknulo 417. Vjerovatnoća klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, odnosno 83,4%.

b) Budući da je postotak klijavog sjemena premašio 80% koliko je potrebno, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 Televizijske ocjene. Prema statistikama, u Sjedinjenim Državama ima 105.500.000 domaćinstava sa televizorima. Svake sedmice se prikupljaju i obrađuju informacije o gledanju programa. U jednoj sedmici, 7.815.000 domaćinstava gledalo je hit humorističnu seriju "Svi vole Rejmonda" na CBS-u, a 8.302.000 domaćinstava gledalo je hit seriju "Zakon i red" na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Kolika je vjerovatnoća da je TV jednog domaćinstva podešen na "Svi vole Rejmonda" tokom date sedmice? na "Zakon i red"?

Rješenje Verovatnoća da je TV u jednom domaćinstvu podešen na "Svi vole Rejmonda" je P, i
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Šansa da je TV domaćinstva podešen na Zakon i red je P, i
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ovi procenti se nazivaju rejtingi.

Teorijska vjerovatnoća

Pretpostavimo da provodimo eksperiment, kao što je bacanje novčića ili pikado, izvlačenje karte iz špila ili testiranje kvaliteta proizvoda na montažnoj traci. Svaki mogući rezultat takvog eksperimenta naziva se Exodus . Skup svih mogućih ishoda se zove prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikado. Pretpostavimo da u eksperimentu bacanja strelice, strelica pogodi metu. Pronađite svako od sljedećeg:

b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi su: udaranje crnog (B), udaranje crvenog (R) i udaranje bijelog (B).

b) Prostor ishoda je (udaranje crnog, udaranje crvenog, udaranje bijelog), koji se može jednostavno napisati kao (H, K, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kocka je kocka sa šest strana, od kojih svaka ima jednu do šest tačaka.


Pretpostavimo da bacamo kocku. Nađi
a) Ishodi
b) Prostor ishoda

Rješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Prostor ishoda (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Označavamo vjerovatnoću da se događaj E desi kao P(E). Na primjer, „novčić će pasti na glavu“ može se označiti sa H. Tada P(H) predstavlja vjerovatnoću da će novčić pasti na glavu. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerovatnoću da će se dogoditi, za njih se kaže da su jednako vjerovatni. Da biste vidjeli razlike između događaja koji su podjednako vjerovatni i događaja koji nisu, razmotrite cilj prikazan ispod.

Za metu A, događaji pogađanja crnog, crvenog i bijelog su jednako vjerovatni, jer su crni, crveni i bijeli sektori isti. Međutim, za metu B zone sa ovim bojama nisu iste, odnosno pogoditi ih nije jednako vjerovatno.

Princip P (teorijski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerovatnoća događaja, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerovatnoća da bacite kockicu da dobijete 3?

Rješenje Postoji 6 jednako vjerovatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerovatnoća P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Kolika je vjerovatnoća bacanja parnog broja na kockicu?

Rješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednako vjerovatnih ishoda je 6. Tada je vjerovatnoća P(parna) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo nekoliko primjera koji uključuju standardni špil od 52 karte. Ovaj špil se sastoji od karata prikazanih na slici ispod.

Primjer 8 Kolika je vjerovatnoća da izvučete asa iz dobro promiješanog špila karata?

Rješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerovatni (ako je špil dobro promiješan), a postoje 4 načina da se izvuče as, pa je prema P principu vjerovatnoća
P(izvlačenje asa) = 4/52, ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da izaberemo, bez gledanja, jednu loptu iz vrećice sa 3 crvene i 4 zelene kuglice. Kolika je vjerovatnoća da odaberete crvenu loptu?

Rješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda izvlačenja bilo koje lopte, a pošto je broj načina da se izvuče crvena kuglica 3, dobijamo
P(izbor crvene lopte) = 3/7.

Sljedeće izjave su rezultati principa P.

Svojstva vjerovatnoće

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako je sigurno da će se dogoditi događaj E onda je P(E) = 1.
c) Vjerovatnoća da će se dogoditi događaj E je broj od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, u bacanju novčića, slučaj da novčić sleti na ivicu ima nultu vjerovatnoću. Vjerovatnoća da je novčić ili glava ili rep ima vjerovatnoću 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila od 52 karte. Kolika je vjerovatnoća da su oba vrha?

Rješenje Broj n načina za izvlačenje 2 karte iz dobro izmiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Pošto su 13 od 52 karte pikovi, broj načina na koji m izvuče 2 pika je 13 C 2 . onda,
P(povlačenje 2 vrha) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Kolika je vjerovatnoća da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani?

Rješenje Broj načina da odaberete tri osobe iz grupe od 10 ljudi je 10 C 3. Jedan muškarac može biti izabran na 6 C 1 načina, a 2 žene na 4 C 2 načina. Prema osnovnom principu brojanja, broj načina da odaberete 1 muškarca i 2 žene je 6 C 1. 4 C 2 . Tada je vjerovatnoća da će biti odabrani 1 muškarac i 2 žene
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerovatnoća bacanja ukupno 8 na dvije kockice?

Rješenje Svaka kocka ima 6 mogućih ishoda. Rezultati se udvostručuju, što znači da postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje se brojevi na dvije kockice mogu pojaviti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će vam pomoći da vizualizirate rezultat.)

Parovi brojeva koji imaju zbir do 8 prikazani su na donjoj slici. Postoji 5 mogućih načina da se dobije zbir jednak 8, stoga je vjerovatnoća 5/36.