Prva izuzetna granica. Druga izuzetna granica: primjeri pronalaženja, problemi i detaljna rješenja

Postoji nekoliko izuzetnih granica, ali najpoznatije su prva i druga izuzetna granica. Ono što je izvanredno u vezi sa ovim ograničenjima je to što se široko koriste i uz njihovu pomoć se mogu pronaći i druga ograničenja koja se susreću u brojnim problemima. To je ono što ćemo raditi u praktičnom dijelu ove lekcije. Da bismo riješili probleme svođenjem na prvu ili drugu izuzetnu granicu, nema potrebe otkrivati nesigurnosti sadržane u njima, budući da su vrijednosti ovih granica odavno zaključili veliki matematičari.

Prva divna granica naziva se granica omjera sinusa infinitezimalnog luka i istog luka, izražena u radijanskoj mjeri:

Pređimo na rješavanje problema na prvoj izuzetnoj granici. Napomena: ako postoji trigonometrijska funkcija ispod graničnog znaka, to je gotovo siguran znak da se ovaj izraz može svesti na prvu izvanrednu granicu.

Primjer 1. Pronađite granicu.

Rješenje. Umjesto toga x nula dovodi do neizvjesnosti:

Imenilac je sinus, dakle, izraz se može dovesti do prve izuzetne granice. Započnimo transformaciju:

Imenilac je sinus od tri X-a, ali brojnik ima samo jedan X, što znači da morate dobiti i tri X-a u brojiocu. Za što? Uvesti 3 x = a i dobiti izraz.

I dolazimo do varijacije prve izvanredne granice:

jer nije bitno koje slovo (varijabla) u ovoj formuli stoji umjesto X.

Pomnožimo X sa tri i odmah podijelimo:

U skladu s prvom uočenom značajnom granicom, zamjenjujemo frakcijski izraz:

Sada konačno možemo riješiti ovu granicu:

Primjer 2. Pronađite granicu.

Rješenje. Direktna zamjena opet dovodi do nesigurnosti "nula podijeljena nulom":

Da bismo dobili prvu izuzetnu granicu, potrebno je da x ispod predznaka sinusa u brojiocu i samo x u nazivniku imaju isti koeficijent. Neka ovaj koeficijent bude jednak 2. Da biste to uradili, zamislite trenutni koeficijent za x kao dole, izvodeći operacije sa razlomcima, dobijamo:

Primjer 3. Pronađite granicu.

Rješenje. Prilikom zamjene, opet dobivamo nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":

Verovatno već razumete da iz originalnog izraza možete dobiti prvu divnu granicu pomnoženu sa prvom divnom granicom. Da bismo to učinili, razlažemo kvadrate x u brojiocu i sinus u nazivniku na identične faktore, a da bismo dobili iste koeficijente za x i sinus, podijelimo x u brojiocu sa 3 i odmah pomnožimo za 3. Dobijamo:

Primjer 4. Pronađite granicu.

Rješenje. Još jednom dobijamo nesigurnost "nula podeljena sa nulom":

Možemo dobiti omjer prve dvije izuzetne granice. Podijelimo i brojilac i imenilac sa x. Zatim, tako da se koeficijenti za sinuse i xes poklope, gornji x pomnožimo sa 2 i odmah podijelimo sa 2, a donji x pomnožimo sa 3 i odmah podijelimo sa 3. Dobijamo:

Primjer 5. Pronađite granicu.

Rješenje. I opet nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":

Iz trigonometrije se sjećamo da je tangent omjer sinusa i kosinusa, a kosinus nule jednak je jedan. Izvodimo transformacije i dobijamo:

Primjer 6. Pronađite granicu.

Rješenje. Trigonometrijska funkcija pod znakom granice opet sugerira korištenje prve izvanredne granice. Predstavljamo ga kao omjer sinusa i kosinusa.

Prva izuzetna granica je sljedeća jednakost:

\begin(jednačina)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina)

Pošto za $\alpha\to(0)$ imamo $\sin\alpha\to(0)$, kažu da prva izuzetna granica otkriva nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Uopšteno govoreći, u formuli (1), umjesto varijable $\alpha$, svaki izraz se može staviti pod sinusni znak i u nazivnik, sve dok su ispunjena dva uslova:

Izrazi pod predznakom sinusa i u nazivniku istovremeno teže nuli, tj. postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.
Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku su isti.

Često se koriste i konsekvence iz prve izuzetne granice:

\begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina) \begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(jednačina) \begin(jednačina) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end (jednačina)

Na ovoj stranici je riješeno jedanaest primjera. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2)-(4). Primjeri br. 2, br. 3, br. 4 i br. 5 sadrže rješenja sa detaljnim komentarima. Primjeri br. 6-10 sadrže rješenja gotovo bez komentara, jer su detaljna objašnjenja data u prethodnim primjerima. Rješenje koristi neke trigonometrijske formule koje se mogu pronaći.

Dozvolite mi da napomenem da prisustvo trigonometrijskih funkcija zajedno sa nesigurnošću $\frac (0) (0)$ ne znači nužno primjenu prve izvanredne granice. Ponekad su dovoljne jednostavne trigonometrijske transformacije - na primjer, vidi.

Primjer br. 1

Dokažite da je $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Pošto je $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, onda:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Pošto je $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , to:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Napravimo promjenu $\alpha=\sin(y)$. Pošto je $\sin(0)=0$, onda iz uslova $\alpha\to(0)$ imamo $y\to(0)$. Osim toga, postoji susjedstvo nule u kojem je $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, pa:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

c) Napravimo zamjenu $\alpha=\tg(y)$. Pošto je $\tg(0)=0$, tada su uslovi $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ ekvivalentni. Osim toga, postoji susjedstvo nule u kojem $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, dakle, na osnovu rezultata tačke a), imat ćemo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

Jednakosti a), b), c) se često koriste zajedno sa prvom značajnom granicom.

Primjer br. 2

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Pošto je $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, tj. a i brojnik i imenilac razlomka istovremeno teže nuli, onda je ovdje riječ o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$, tj. urađeno. Osim toga, jasno je da se izrazi pod sinusnim znakom i u nazivniku poklapaju (tj. i da je zadovoljeno):

Dakle, oba uslova navedena na početku stranice su ispunjena. Iz ovoga slijedi da je formula primjenjiva, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Odgovori: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Primjer br. 3

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Pošto $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac (0 )(0)$, tj. urađeno. Međutim, izrazi ispod predznaka sinusa i u nazivniku se ne poklapaju. Ovdje trebate prilagoditi izraz u nazivniku u željeni oblik. Trebamo da izraz $9x$ bude u nazivniku, tada će postati istinit. U suštini, nedostaje nam faktor od 9$ u nazivniku, koji nije tako teško unijeti – samo pomnožite izraz u nazivniku sa 9$. Naravno, da biste kompenzirali množenje sa $9$, morat ćete odmah podijeliti sa $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Sada se izrazi u nazivniku i pod znakom sinusa poklapaju. Oba uslova za granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ su zadovoljena. Prema tome, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znači da:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Primjer br. 4

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ovdje imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, forma prve izuzetne granice je narušena. Brojač koji sadrži $\sin(5x)$ zahtijeva nazivnik od $5x$. U ovoj situaciji, najlakši način je podijeliti brojilac sa $5x$, i odmah pomnožiti sa $5x$. Osim toga, izvršit ćemo sličnu operaciju sa nazivnikom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ sa $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Smanjenjem za $x$ i uzimanjem konstante $\frac(5)(8)$ izvan graničnog znaka, dobijamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Imajte na umu da $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ u potpunosti zadovoljava zahtjeve za prvu izvanrednu granicu. Za pronalaženje $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ primjenjiva je sljedeća formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Primjer br. 5

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (zapamti da je $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, da biste primijenili prvu izvanrednu granicu, trebali biste se riješiti kosinusa u brojiocu, prijeći na sinuse (da biste zatim primijenili formulu) ili tangente (da biste zatim primijenili formulu). To se može uraditi sljedećom transformacijom:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vratimo se na limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$

Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ je već blizu forme potrebnog za prvu izvanrednu granicu. Poradimo malo s razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, prilagođavajući ga na prvu izvanrednu granicu (imajte na umu da se izrazi u brojiocu i ispod sinusa moraju podudarati):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Vratimo se na dotičnu granicu:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Primjer br. 6

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Hajde da to otkrijemo uz pomoć prve izuzetne granice. Da bismo to učinili, prijeđimo s kosinusa na sinus. Pošto je $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, onda:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prelazeći na sinuse u datom limitu, imat ćemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Primjer br. 7

Izračunajte granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ podložno $\alpha\neq \ beta$.

Detaljna objašnjenja su data ranije, ali ovdje jednostavno napominjemo da opet postoji nesigurnost $\frac(0)(0)$. Pređimo s kosinusa na sinus koristeći formulu

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Koristeći ovu formulu, dobijamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\desno)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Primjer br. 8

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Pošto je $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, tada imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Razložimo to na sljedeći način:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Primjer br. 9

Pronađite granicu $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Pošto je $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Prije nego što pređemo na njegovo proširenje, zgodno je izvršiti promjenu varijable na način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha \to 0$). Najlakši način je uvođenje varijable $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti daljih transformacija (ova korist se može vidjeti u toku rješenja ispod), vrijedi napraviti sljedeću zamjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Napominjem da su u ovom slučaju primjenjive obje zamjene, samo će vam druga zamjena omogućiti da manje radite sa razlomcima. Pošto je $x\to(3)$, onda je $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\desno| =\lijevo|\begin(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odgovori: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Primjer br. 10

Pronađite granicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Još jednom imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Prije nego što pređemo na njeno proširenje, zgodno je izvršiti promjenu varijable na način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je u formulama varijabla $\alpha\to(0)$). Najlakši način je uvođenje varijable $t=\frac(\pi)(2)-x$. Pošto je $x\to\frac(\pi)(2)$, onda je $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\left|\begin(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\desno))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Primjer br. 11

Pronađite granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

U ovom slučaju ne moramo koristiti prvu divnu granicu. Imajte na umu da i prva i druga granica sadrže samo trigonometrijske funkcije i brojeve. Često je u primjerima ove vrste moguće pojednostaviti izraz koji se nalazi ispod znaka granice. Štaviše, nakon pomenutog pojednostavljenja i redukcije nekih faktora, neizvjesnost nestaje. Dao sam ovaj primjer samo sa jednom svrhom: da pokažem da prisustvo trigonometrijskih funkcija pod graničnim znakom ne znači nužno korištenje prve izvanredne granice.

Pošto je $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (zapamtite da je $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (da vas podsjetim da je $\cos\frac(\pi)(2)=0$), onda imamo baveći se nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, to ne znači da ćemo morati koristiti prvu divnu granicu. Da bi se otkrila nesigurnost, dovoljno je uzeti u obzir da je $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Slično rješenje postoji u Demidovičevoj knjizi rješenja (br. 475). Što se tiče drugog ograničenja, kao iu prethodnim primjerima u ovom dijelu, imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Zašto nastaje? Nastaje jer $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ove vrijednosti koristimo za transformaciju izraza u brojniku i nazivniku. Cilj naših radnji je da zapišemo zbir u brojniku i nazivniku kao proizvod. Inače, često je unutar sličnog tipa zgodno promijeniti varijablu, napravljenu tako da nova varijabla teži nuli (pogledajte, na primjer, primjere br. 9 ili br. 10 na ovoj stranici). Međutim, u ovom primjeru nema smisla zamjenjivati, iako po želji zamjenu varijable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ nije teško implementirati.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\desno))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kao što vidite, nismo morali primijeniti prvu divnu granicu. Naravno, to možete učiniti ako želite (pogledajte napomenu ispod), ali nije neophodno.

Koje je rješenje korištenjem prve izvanredne granice? prikaži\sakrij

Koristeći prvo značajno ograničenje dobijamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ desno))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odgovori: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Pronađite divne granice Teško je ne samo mnogim studentima prve i druge godine koji uče teoriju granica, već i nekim nastavnicima.

Formula za prvu izvanrednu granicu

Posljedice prve izvanredne granice zapišimo to formulama
1. 2. 3. 4. Ali same opšte formule izuzetnih granica nikome ne pomažu na ispitu ili testu. Poenta je da su pravi zadaci konstruisani tako da još uvek treba da dođete do gore napisanih formula. A većina studenata koji izostaju sa nastave, studiraju ovaj predmet u odsustvu ili imaju nastavnike koji ni sami ne razumiju uvijek ono što objašnjavaju, ne može da izračuna najelementarnije primjere do izvanrednih granica. Iz formula prve izvanredne granice vidimo da je uz njihovu pomoć moguće proučavati nesigurnosti tipa nula podijeljene nulom za izraze sa trigonometrijskim funkcijama. Razmotrimo prvo nekoliko primjera prve izvanredne granice, a zatim proučimo drugu izuzetnu granicu.

Primjer 1. Pronađite granicu funkcije sin(7*x)/(5*x)
Rješenje: Kao što vidite, funkcija ispod granice je blizu prve izvanredne granice, ali granica same funkcije definitivno nije jednaka jedinici. U ovakvim zadacima o granicama treba izabrati u nazivniku varijablu sa istim koeficijentom kao i onaj koji se nalazi u varijabli ispod sinusa. U ovom slučaju, podijelite i pomnožite sa 7

Nekima će se takav detalj činiti nepotrebnim, ali većini učenika koji imaju poteškoća s ograničenjima to će im pomoći da bolje razumiju pravila i savladaju teorijski materijal.
Također, ako postoji inverzni oblik funkcije, ovo je ujedno i prva divna granica. A sve zato što je divna granica jednaka jedan

Isto pravilo važi i za posledice 1. izuzetne granice. Stoga, ako vas pitaju: "Koja je prva izuzetna granica?" Trebali biste bez oklijevanja odgovoriti da je to jedinica.

Primjer 2. Pronađite granicu funkcije sin(6x)/tan(11x)
Rješenje: Da bismo razumjeli konačni rezultat, zapišimo funkciju u obrazac

Da biste primijenili pravila izuzetne granice, pomnožite i podijelite faktorima

Zatim pišemo granicu proizvoda funkcija kroz proizvod granica

Bez složenih formula, pronašli smo granicu trigonometrijskih funkcija. Da biste savladali jednostavne formule, pokušajte smisliti i pronaći granicu na 2 i 4, formulu za rezultat 1 divne granice. Razmotrićemo složenije probleme.

Primjer 3: Izračunajte granicu (1-cos(x))/x^2
Rješenje: Prilikom provjere zamjenom, dobijamo nesigurnost 0/0. Mnogi ljudi ne znaju kako takav primjer svesti na jednu izuzetnu granicu. Ovdje treba koristiti trigonometrijsku formulu

U ovom slučaju, granica će se transformisati u jasan oblik

Uspjeli smo svesti funkciju na kvadrat izuzetne granice.

Primjer 4. Pronađite granicu
Rješenje: Prilikom zamjene dobijamo poznatu osobinu 0/0. Međutim, varijabla teži pi, a ne nuli. Stoga, da bismo primijenili prvo značajno ograničenje, izvršit ćemo takvu promjenu varijable x tako da nova varijabla ide na nulu. Da bismo to učinili, nazivnik označavamo kao novu varijablu Pi-x=y

Dakle, koristeći trigonometrijsku formulu datu u prethodnom zadatku, primjer je sveden na 1 izuzetnu granicu.

Primjer 5: Izračunajte ograničenje
Rješenje: U početku nije jasno kako pojednostaviti ograničenja. Ali pošto postoji primjer, onda mora postojati i odgovor. Činjenica da varijabla ide u jedinicu daje, prilikom zamjene, obilježje oblika nula pomnoženog sa beskonačnošću, pa se tangenta mora zamijeniti pomoću formule

Nakon toga dobijamo potrebnu nesigurnost 0/0. Zatim vršimo promjenu varijabli u granici i koristimo periodičnost kotangensa

Posljednje zamjene nam omogućavaju da koristimo Korolar 1 izuzetnog ograničenja.

Druga izuzetna granica je jednaka eksponencijalnoj

Ovo je klasik do kojeg nije uvijek lako doći u stvarnim ograničenjima.
U proračunima će vam trebati ograničenja su posljedice druge izuzetne granice:
1. 2. 3. 4.
Zahvaljujući drugoj izuzetnoj granici i njenim posljedicama, moguće je proučavati nesigurnosti kao što su nula podijeljena nulom, jedan na stepen beskonačnosti i beskonačnost podijeljena beskonačnošću, pa čak i do istog stepena

Počnimo s jednostavnim primjerima.

Primjer 6. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Direktna primjena 2. izuzetnog ograničenja neće raditi. Prvo, trebali biste transformirati eksponent tako da izgleda kao inverzno terminu u zagradama

Ovo je tehnika svođenja na 2. izuzetnu granicu i, u suštini, izvođenje 2. formule za posledicu granice.

Primjer 7. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Imamo zadatke za formulu 3 posljedice 2 divne granice. Zamjena nule daje singularnost oblika 0/0. Da bismo podigli granicu na pravilo, okrećemo imenilac tako da varijabla ima isti koeficijent kao u logaritmu

Takođe je lako razumeti i izvesti na ispitu. Poteškoće učenika u izračunavanju granica počinju sa sljedećim problemima.

Primjer 8. Izračunajte granicu funkcije[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Rješenje: Imamo singularitet tipa 1 na stepen beskonačnosti. Ako mi ne vjerujete, možete svugdje zamijeniti beskonačnost sa "X" i uvjeriti se u to. Da bismo konstruirali pravilo, podijelimo brojilac sa nazivnikom u zagradama, da bismo to učinili, prvo izvodimo manipulacije

Zamijenimo izraz u granicu i pretvorimo ga u 2 divna granica

Granica je jednaka eksponencijalnoj snazi 10. Konstante koje su termini sa promjenljivom, kako u zagradama tako iu stepenu, ne uvode nikakvo “vrijeme” - to treba imati na umu. A ako vas nastavnici pitaju: "Zašto ne pretvorite indikator?" (Za ovaj primjer u x-3), zatim recite: "Kada varijabla teži beskonačnosti, onda joj čak dodajte 100 ili oduzmite 1000, a granica će ostati ista kao što je bila!"
Postoji drugi način za izračunavanje ograničenja ovog tipa. O tome ćemo razgovarati u sljedećem zadatku.

Primjer 9. Pronađite granicu
Rješenje: Hajde da sada izvadimo varijablu u brojniku i nazivniku i pretvorimo jednu osobinu u drugu. Da bismo dobili konačnu vrijednost koristimo formulu Korolar 2 izuzetne granice

Primjer 10. Pronađite granicu funkcije
Rješenje: Ne može svako pronaći dato ograničenje. Da biste podigli granicu na 2, zamislite da je sin (3x) varijabla i trebate okrenuti eksponent

Dalje, zapisujemo indikator kao snagu na stepen

Intermedijarni argumenti su opisani u zagradama. Kao rezultat korištenja prve i druge izvanredne granice, dobili smo eksponencijal u kocki.

Primjer 11. Izračunajte granicu funkcije sin(2*x)/ln(3*x+1)
Rješenje: Imamo nesigurnost oblika 0/0. Osim toga, vidimo da funkciju treba konvertirati da koristi oba divna ograničenja. Izvršimo prethodne matematičke transformacije

Dalje, bez poteškoća, granica će uzeti vrijednost

Ovako ćete se osjećati slobodni na zadacima, testovima, modulima ako naučite brzo ispisivati funkcije i svesti ih na prvu ili drugu divnu granicu. Ako vam je teško zapamtiti date metode za pronalaženje granica, uvijek možete naručiti od nas probni rad o granicama.
Da biste to učinili, ispunite obrazac, navedite podatke i priložite datoteku s primjerima. Pomogli smo mnogim studentima - možemo pomoći i vama!

Sada, mirne duše, pređimo na razmatranje divne granice.
izgleda kao .

Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže 0.

Potrebno je izračunati granicu

Kao što vidite, ova granica je vrlo slična prvoj izuzetnoj, ali to nije sasvim tačno. Općenito, ako primijetite grijeh u granici, onda biste trebali odmah razmisliti o tome da li je moguće koristiti prvu izvanrednu granicu.

Prema našem pravilu br. 1, zamjenjujemo nulu umjesto x:

Dobijamo neizvjesnost.

Pokušajmo sada sami organizirati prvu divnu granicu. Da biste to učinili, napravimo jednostavnu kombinaciju:

Tako organiziramo brojilac i nazivnik da istaknemo 7x. Sada se već pojavila poznata izuzetna granica. Preporučljivo je to istaknuti prilikom odlučivanja:

Zamijenimo rješenje s prvim izvanrednim primjerom i dobijemo:

Pojednostavljivanje razlomka:

Odgovor: 7/3.

Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno.

Izgleda kao , gdje je e = 2,718281828... iracionalan broj.

Umjesto varijable x mogu biti prisutne različite funkcije, glavna stvar je da teže .

Potrebno je izračunati granicu

Ovdje vidimo prisustvo stepena pod znakom granice, što znači da je moguće koristiti drugu izuzetnu granicu.

Kao i uvek, koristićemo pravilo br. 1 - zameni x umesto:

Može se vidjeti da je kod x osnova stepena , a eksponent 4x > , tj. dobijamo nesigurnost oblika:

Iskoristimo drugu divnu granicu da otkrijemo svoju neizvjesnost, ali prvo je moramo organizirati. Kao što vidite, potrebno je da postignemo prisustvo u indikatoru, za šta podižemo bazu na stepen od 3x, a istovremeno na stepen od 1/3x, kako se izraz ne bi promenio:

Ne zaboravite istaknuti naše divno ograničenje:

Takvi su zaista divne granice!
Ako još uvijek imate pitanja o prva i druga divna granica, onda ih slobodno pitajte u komentarima.
Svima ćemo odgovoriti koliko god je to moguće.

Takođe možete raditi sa nastavnikom na ovoj temi.
Sa zadovoljstvom Vam možemo ponuditi usluge odabira kvalifikovanog tutora u Vašem gradu. Naši partneri će brzo odabrati dobrog nastavnika za vas po povoljnim uslovima.

Nemate dovoljno informacija? - Možeš !

Možete pisati matematičke proračune u notes. Mnogo je prijatnije pisati pojedinačno u sveske sa logom (http://www.blocnot.ru).

dokaz:

Hajde da prvo dokažemo teoremu za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da kako n raste, broj pozitivnih članova na desnoj strani raste. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa tako i vrijednosti se povećavaju. Stoga redoslijed raste, i (2)*Pokazujemo da je ograničen. Zamijenite svaku zagradu na desnoj strani jednakosti jednim, desna strana će se povećati i dobićemo nejednakost

Pojačajmo rezultirajuću nejednakost, zamijenimo 3,4,5, ..., koje stoji u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbir pronalazimo u zagradi koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije: Stoga (3)*

Dakle, niz je ograničen odozgo, a nejednakosti (2) i (3) su zadovoljene: Stoga, na osnovu Weierstrassove teoreme (kriterij za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničen je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. One.

Znajući da je druga izuzetna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izuzetnu granicu za realno x, odnosno dokazujemo da . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja: ,gdje je cijeli broj x. => =>

Ako , onda Prema tome, prema granici Imamo

Na osnovu kriterija (o granici međufunkcije) postojanja granica

2. Neka . Onda napravimo zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizilazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Poređenje infinitezimala. Teorema o zamjeni infinitezimala sa ekvivalentnim u graničnom dijelu i teorema o glavnom dijelu infinitezimala.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. at x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1)a( x) pozvao infinitezimalno višeg reda od b (x) Ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) I b( x)su pozvani infinitezimima istog reda, Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) I b( x) su pozvani ekvivalentno , Ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4)a( x) naziva se infinitezimalnim reda k relativnom
apsolutno beskonačno mali b( x), ako je beskonačno mali a( x)I(b( x))k imaju isti red, tj. Ako

gdje je CÎℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih s ekvivalentnim).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Onda

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).

Neka a( x)I b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a pošto b( x) – viši red od a( x), zatim, tj. od jasno je da ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u tački (na jeziku epsilon-delta, geometrijske granice) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva kontinuiranih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0 .

DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako je jednakost tačna

Bilješke.

1) Na osnovu teoreme 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku

Stanje (2) – definicija kontinuiteta funkcije u tački u jeziku jednostranih granica.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: „ako je funkcija kontinuirana u nekoj tački x 0, tada se predznak granice i funkcija mogu zamijeniti."

DEFINICIJA 2 (na e-d jeziku).

Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 Ako"e>0 $d>0 takav, Šta

ako je x OU( x 0 , d) (tj. | x – x 0 | < d),

zatim f(x)ÎU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 – fiksno, x – proizvoljno)

Označimo: D x= x – x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – povećanje funkcije u tačkix 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

Funkcija f(x) uključeno pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 ako u ovom trenutku beskonačno mali prirast u argumentu odgovara beskonačno malom prirastu funkcije, tj.

Neka funkcija f(x) je definiran na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 – d; x 0 ]).

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u jednoj tački x 0 desno (lijevo ), ako je jednakost tačna

Očigledno je da f(x) je kontinuiran u tački x 0 Û f(x) je kontinuiran u tački x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u intervalu e ( a; b) ako je kontinuiran u svakoj tački ovog intervala.

Funkcija f(x) se naziva kontinuirano na segmentu [a; b] ako je kontinuirano na intervalu (a; b) i ima jednosmjerni kontinuitet na graničnim tačkama(tj. kontinuirano u tački a desno, u tački b- lijevo).

11) Prelomne tačke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako je funkcija f(x) definisano u nekoj okolini tačke x 0 , ali u ovom trenutku nije kontinuirano f(x) naziva se diskontinuiranim u tački x 0 , i sama tačka x 0 nazvana tačka prekida funkcije f(x) .

Bilješke.

1) f(x) može se definirati u nekompletnom susjedstvu tačke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednosmjerni kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije Þ tačke x 0 je tačka prekida funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)O D(f) , ali za f(x) jednakost ne vrijedi

b) U * ( x 0 , d)O D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 – tačka prekida funkcije f(x) .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida I nekako ako funkcija f(x)ima konačne granice na lijevoj i desnoj strani u ovoj tački.

Ako su ove granice jednake, tada je tačka x 0 pozvao uklonjiva tačka prekida , inače - jump point .

DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida II nekako ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije f(x)u ovom trenutku jednaka¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu (teoreme Weierstrassa (bez dokaza) i Cauchy

Weierstrassova teorema

Neka je funkcija f(x) neprekidna na intervalu, dakle

1)f(x) je ograničen na

2) f(x) uzima svoju najmanju i najveću vrijednost na intervalu

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koje x€ D(f).

Za vrijednost funkcije m=f se kaže da je najveća ako je m≥f(x) za bilo koje x € D(f).

Funkcija može poprimiti najmanju/najveću vrijednost u nekoliko tačaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) neprekidna na segmentu i x je broj između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna tačka x 0 € takva da je f(x 0)= g