Šta je zajedničko drvetu, morskoj obali, oblaku ili krvnim sudovima u našoj ruci? Postoji jedno svojstvo strukture koje je svojstveno svim navedenim objektima: oni su sami sebi slični. Iz grane, kao iz debla, izlaze manji izdanci, iz njih još manji itd., odnosno grana je slična cijelom stablu. Cirkulatorni sistem je ustrojen na sličan način: od arterija odlaze arteriole, a iz njih najmanji kapilari kroz koje kiseonik ulazi u organe i tkiva. Pogledajmo satelitske snimke morske obale: vidjet ćemo zaljeve i poluotoke; Pogledajmo to, ali iz ptičje perspektive: vidjet ćemo uvale i rtove; Sada zamislite da stojimo na plaži i gledamo u svoja stopala: uvijek će biti kamenčića koji vire više u vodu od ostalih. Odnosno, obala, kada se zumira, ostaje slična samoj sebi. Američki (iako je odrastao u Francuskoj) matematičar Benoit Mandelbrot nazvao je ovo svojstvo objekata fraktalnošću, a same takve objekte - fraktalima (od latinskog fractus - slomljen).

Zanimljiva je priča vezana za obalu, tačnije, sa pokušajem mjerenja njene dužine, koja je bila osnova Mandelbrotovog naučnog članka, a opisana je i u njegovoj knjizi “Fraktalna geometrija prirode”. Riječ je o eksperimentu koji je izveo Lewis Fry Richardson, vrlo talentirani i ekscentrični matematičar, fizičar i meteorolog. Jedan od pravaca njegovog istraživanja bio je pokušaj pronalaženja matematičkog opisa uzroka i vjerovatnoće oružanog sukoba između dvije zemlje. Među parametrima koje je uzeo u obzir bila je i dužina zajedničke granice dvije zaraćene zemlje. Kada je prikupio podatke za numeričke eksperimente, otkrio je da se podaci o zajedničkoj granici Španije i Portugala uvelike razlikuju od različitih izvora. To ga je dovelo do sljedećeg otkrića: dužina granica jedne zemlje ovisi o vladaru s kojim ih mjerimo. Što je skala manja, granica je duža. To je zbog činjenice da s većim povećanjem postaje moguće uzeti u obzir sve više i više novih zavoja obale, koji su prethodno bili zanemareni zbog grubosti mjerenja. A ako se, sa svakim povećanjem razmjera, otkriju prethodno neobračunate krivine linija, onda se ispostavi da je dužina granica beskonačna! Istina, to se zapravo ne događa - tačnost naših mjerenja ima konačnu granicu. Ovaj paradoks se zove Richardsonov efekat.

Danas se teorija fraktala široko koristi u različitim područjima ljudske aktivnosti. Osim fraktalnog slikanja, fraktali se koriste u teoriji informacija za komprimiranje grafičkih podataka (ovdje se uglavnom koristi svojstvo samosličnosti fraktala - uostalom, da zapamtite mali fragment slike i transformacije pomoću kojih možete dobiti preostali dijelovi, potrebno je mnogo manje memorije nego za pohranjivanje cijele datoteke). Dodavanjem nasumičnih poremećaja formulama koje definišu fraktal, možete dobiti stohastičke fraktale koji vrlo uvjerljivo prenose neke stvarne objekte - elemente reljefa, površine rezervoara, neke biljke, što se uspješno koristi u fizici, geografiji i kompjuterskoj grafici za postizanje veće veličine. sličnost simuliranih objekata sa stvarnim. U radioelektronici su se u posljednjoj deceniji počele proizvoditi antene fraktalnog oblika. Zauzimajući malo prostora, pružaju visokokvalitetan prijem signala. A ekonomisti koriste fraktale da opišu krivulje fluktuacije kursa (ovo svojstvo je otkrio Mandelbrot prije više od 30 godina).

Najgenijalnija otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti ljudski život. Izumljena vakcina može spasiti milione ljudi stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. U skorije vrijeme (na skali ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih zgodnih uređaja koji koriste električnu energiju. Ali postoje i otkrića kojima malo ko pridaje značaj, iako i ona uveliko utiču na naše živote.

Jedno od ovih “neupadljivih” otkrića su fraktali. Ovu privlačnu riječ ste vjerovatno već čuli, ali znate li šta ona znači i koliko se zanimljivih informacija krije u ovom pojmu?

Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da razumije svijet oko sebe. I u tom nastojanju osoba se trudi da se pridržava logike u prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava pronaći logiku onoga što se dešava i izvući neki obrazac. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, naučnici traže obrazac tamo gdje ga ne bi trebalo biti. Ipak, čak i u haosu moguće je pronaći veze između događaja. A ova veza je fraktalna.

Naša kćerkica, stara četiri i po godine, sada je u onoj divnoj dobi kada se broj pitanja “Zašto?” višestruko premašuje broj odgovora koje odrasli uspijevaju dati. Ne tako davno, dok je ispitivala granu podignutu od zemlje, moja ćerka je iznenada primetila da ova grana sa svojim grančicama i granama liči na drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje “Zašto?”, na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.

Sličnost jedne grane sa cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno zapažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i neorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, puževa „kuća“, kora i krošnje drveća, cirkulatorni sistem i tako dalje – nasumični oblici svih ovih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.

⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije

Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući briljantnom naučniku Benoit B. Mandelbrotu.

On je sam skovao taj termin 1970-ih, pozajmivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Šta je? Danas riječ “fraktal” najčešće označava grafički prikaz strukture koja je u većoj mjeri slična samoj sebi.

Matematička osnova za nastanak teorije fraktala postavljena je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogla razviti tek s pojavom računarskih uređaja. Na početku svoje naučne karijere, Benoit je radio u IBM istraživačkom centru. U to vrijeme zaposleni u centru radili su na prenošenju podataka na daljinu. Tokom istraživanja naučnici su se suočili sa problemom velikih gubitaka koji nastaju zbog smetnji buke. Benoit je imao težak i vrlo važan zadatak - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji šuma u elektronskim kolima kada se statistička metoda pokaže neefikasnom.

Gledajući rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je primijetio jedan čudan obrazac - grafovi buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan obrazac bez obzira da li se radi o grafu buke za jedan dan, sedmicu ili sat. Bilo je potrebno promijeniti skalu grafikona, a slika se svaki put ponavljala.

Tokom svog života, Benoit Mandelbrot je više puta govorio da nije proučavao formule, već se jednostavno igrao slikama. Ovaj čovjek je razmišljao vrlo slikovito i svaki algebarski problem preveo u oblast geometrije, gdje je, po njemu, tačan odgovor uvijek očigledan.

Nije iznenađujuće da je upravo čovjek s tako bogatom prostornom maštom postao otac fraktalne geometrije. Uostalom, svijest o suštini fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih obrazaca.

Fraktalni uzorak nema identične elemente, ali je sličan na bilo kojoj skali. Ranije je bilo jednostavno nemoguće konstruisati takvu sliku sa visokim stepenom detalja, to je zahtevalo ogromnu količinu proračuna. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, oni su spomenuti u radovima Leibniza i Georga Cantora.

Jedan od prvih fraktalnih crteža bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koji je nastao zahvaljujući istraživanju Gastona Maurice Julia.

Gaston Julia (uvijek nosi masku - povreda iz Prvog svjetskog rata)

Ovaj francuski matematičar se pitao kako bi skup izgledao da je konstruisan iz jednostavne formule koja se ponavlja kroz povratnu petlju. Ako to objasnimo "na prstima", to znači da za određeni broj pronalazimo novu vrijednost pomoću formule, nakon čega je ponovo zamjenjujemo u formulu i dobivamo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.

Da biste dobili potpunu sliku o takvom skupu, potrebno je izvršiti ogroman broj proračuna - stotine, hiljade, milione. To je bilo jednostavno nemoguće uraditi ručno. Ali kada su moćni računarski uređaji postali dostupni matematičarima, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili interesantni. Mandelbrot je prvi koristio kompjuter za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je rezultate iscrtao na graf. To je ono što je dobio.

Nakon toga, ova slika je obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja je po broju iteracija) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.

Kao što kaže drevna izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Savršeno je prikladan za tumačenje geometrije fraktala. Bez obzira koliko detaljno pogledamo fraktalnu sliku, uvijek ćemo vidjeti sličan obrazac.

Oni koji žele vidjeti kako bi slika Mandelbrotovog prostora izgledala kada je uvećana više puta, mogu to učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.

⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda

Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezana sa vizualizacijom sebi sličnih slika, ne čudi što su prvi usvojili algoritme i principe za konstruisanje neobičnih formi upravo umjetnici.

Budući suosnivač legendarnog studija Pixar, Loren C. Carpenter, počeo je da radi 1967. u kompaniji Boeing Computer Services, koja je bila jedna od divizija poznate korporacije koja je razvijala nove avione.

Godine 1977. kreirao je prezentacije sa prototipovima letećih modela. Lorenove odgovornosti uključivale su razvoj slika aviona koji se dizajnira. Morao je da kreira slike novih modela, prikazujući buduće avione iz različitih uglova. U nekom trenutku, budući osnivač Pixar Animation Studios došao je na kreativnu ideju da koristi sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali kasnih sedamdesetih godina prošlog stoljeća kompjuteri se nisu mogli nositi sa tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za 3D grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u radnji vidjela knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija. Ono što je privuklo njegovu pažnju u ovoj knjizi je da je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u stvarnom životu i tvrdio da se oni mogu opisati matematičkim izrazom.

Ovu analogiju matematičar nije slučajno izabrao. Činjenica je da se, čim je objavio svoje istraživanje, morao suočiti sa čitavom salvom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerile je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo su prelepe slike, ali ništa više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci jednostavno nusproizvod rada „đavolskih mašina“, koji su se u kasnim sedamdesetim mnogima činili kao nešto previše složeno i neistraženo da bi im se moglo u potpunosti vjerovati. Mandelbrot je pokušao pronaći očigledne primjene za teoriju fraktala, ali u velikoj shemi stvari nije mu bio potreban. Tokom narednih 25 godina, sljedbenici Benoita Mandelbrota dokazali su ogromne prednosti takve "matematičke radoznalosti", a Lauren Carpenter je bila jedna od prvih koja je isprobala fraktalni metod u praksi.

Nakon proučavanja knjige, budući animator ozbiljno je proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u kompjutersku grafiku. Za samo tri dana rada, Lauren je na svom kompjuteru uspeo da prikaže realističnu sliku planinskog sistema. Drugim riječima, formulama je naslikao potpuno prepoznatljiv planinski pejzaž.

Princip kojim je Lauren postigla svoj cilj bio je vrlo jednostavan. Sastojao se od dijeljenja veće geometrijske figure na male elemente, a oni su, pak, podijeljeni na slične figure manje veličine.

Koristeći veće trouglove, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovaj proces iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je uspio postati prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam za konstruiranje slika u kompjuterskoj grafici. Čim se pročulo o djelu, entuzijasti širom svijeta preuzeli su tu ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za imitiranje realističnih prirodnih oblika.

Jedna od prvih 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam

Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je bila u mogućnosti da svoje razvoje primeni u mnogo većem projektu. Animator je od njih napravio dvominutni demo Vol Libre, koji je prikazan na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.

Animacija je prikazana na računaru VAX-11/780 kompanije Digital Equipment Corporation sa taktom od pet megaherca, a za svaki kadar je bilo potrebno oko pola sata.

Radeći za Lucasfilm Limited, animator je kreirao 3D pejzaže koristeći istu shemu za drugi cjelovečernji film u sagi Star Trek. U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijelu planetu koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.

Trenutno sve popularne aplikacije za kreiranje 3D pejzaža koriste sličan princip za generiranje prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači oslanjaju se na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.

⇡ Fraktalne antene: manje je više

U poslednjih pola veka život se ubrzano počeo menjati. Većina nas napredak moderne tehnologije uzima zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što čini život ugodnijim. Rijetko ko postavlja pitanja „Odakle je ovo došlo?“ i "Kako to funkcionira?" Mikrovalna pećnica zagrijava doručak - odlično, pametni telefon vam daje priliku da razgovarate s drugom osobom - odlično. Ovo nam se čini kao očigledna mogućnost.

Ali život je mogao biti potpuno drugačiji da osoba nije tražila objašnjenje za događaje koji se dešavaju. Uzmimo, na primjer, mobilne telefone. Sjećate li se antena na uvlačenje na prvim modelima? Ometali su se, povećavali veličinu uređaja i na kraju često lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dio razloga za to su... fraktali.

Fraktalni obrasci fasciniraju svojim šarama. Definitivno podsjećaju na slike kosmičkih objekata - magline, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od ovih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, bio je inspiriran idejom ​​praktične primjene stečenog znanja. Istina, učinio je to intuitivno, a slučaj je odigrao važnu ulogu u njegovom otkriću. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu sa najvećom mogućom osjetljivošću.

Jedini način da se poboljšaju parametri antene, koji je tada bio poznat, bio je povećanje njenih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik nekretnine u centru Bostona koju je Nathan iznajmio bio je kategorički protiv postavljanja velikih uređaja na krov. Tada je Nathan počeo eksperimentirati s različitim oblicima antena, pokušavajući postići maksimalni rezultat uz minimalnu veličinu. Inspiriran idejom fraktalnih formi, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch osmislio je ovu krivu još 1904. godine. Dobiva se podjelom segmenta na tri dijela i zamjenom srednjeg segmenta jednakostraničnim trouglom bez stranice koja se poklapa s tim segmentom. Definiciju je malo teško razumjeti, ali na slici je sve jasno i jednostavno.

Postoje i druge varijacije Kochove krive, ali približan oblik krivulje ostaje sličan

Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je veoma iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Univerzitetu u Bostonu shvatio je da antena napravljena po fraktalnom uzorku ima visoku efikasnost i pokriva mnogo širi frekventni opseg u odnosu na klasična rješenja. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje omogućava značajno smanjenje geometrijskih dimenzija. Nathan Cohen je čak smislio teoremu koja dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno dati joj oblik samoslične fraktalne krive.

Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao kompaniju za razvoj i dizajn fraktalnih antena Fractal Antenna Systems, s pravom vjerujući da će se u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobiteli moći riješiti glomaznih antena i postati kompaktniji.

U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u pravnoj bitci s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, kao što je Motorola, već su postigli prijateljski sporazum sa izumiteljem fraktalne antene.

⇡ Fraktalne dimenzije: ne možete to razumjeti svojim umom

Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog naučnika Edwarda Kasnera.

Potonji je, kao i mnogi drugi poznati matematičari, volio komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobijati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera smislio je sada već dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. No, vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je da postavlja pitanje koliko je duga američka obala. Nakon što je saslušao mišljenje svog sagovornika, sam Edvard je izgovorio tačan odgovor. Ako mjerite dužinu na karti koristeći izlomljene segmente, rezultat će biti netačan, jer obala ima veliki broj nepravilnosti. Šta se događa ako izmjerimo što je moguće preciznije? Morat ćete uzeti u obzir dužinu svake neravnine - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaku uvalu, stijenu, dužinu stjenovite platforme, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena dužina obalne linije će se povećavati do beskonačnosti prilikom mjerenja svake nove nepravilnosti.

Što je manja mjera pri mjerenju, to je izmjerena dužina duža

Zanimljivo je da su djeca, slijedeći Edwardove upute, bila mnogo brža od odraslih u izgovaranju ispravnog rješenja, dok su ovi imali problema s prihvatanjem tako nevjerovatnog odgovora.

Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novog pristupa mjerenju. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - takozvana fraktalna dimenzija.

Svakome je jasno šta je regularna dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobijamo ravnu liniju, ako je dvije - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzije u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati „hrapavošću“. Što je veća hrapavost krivulje, veća je njena fraktalna dimenzija. Kriva koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od njene topološke dimenzije, ima približnu dužinu koja ne zavisi od broja dimenzija.

Trenutno naučnici pronalaze sve više oblasti za primjenu teorije fraktala. Koristeći fraktale, možete analizirati fluktuacije berzanskih cijena, proučavati sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za kompresiju podataka, kao što je kompresija slike. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu vašeg računara, ne morate imati doktorat.

⇡ Fraktal u pretraživaču

Možda je jedan od najlakših načina da dobijete fraktalni uzorak korištenje online vektorskog uređivača mladog talentiranog programera Tobyja Schachmana. Alati ovog jednostavnog grafičkog uređivača zasnovani su na istom principu samosličnosti.

Na raspolaganju su vam samo dva najjednostavnija oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnut tipku Shift) i rotirati ih. Preklapajući se prema principu Booleovih operacija sabiranja, ovi najjednostavniji elementi formiraju nove, manje trivijalne forme. Ovi novi oblici se zatim mogu dodati projektu, a program će ponavljati generisanje ovih slika beskonačno. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složenog oblika i urediti njen položaj i geometriju. Zabavna aktivnost, posebno ako uzmete u obzir da je jedini alat koji trebate kreirati pretraživač. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.

⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus

Mnogi grafički uređivači imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dozvoljavaju fino podešavanje generiranog fraktalnog uzorka. U slučajevima kada je potrebno konstruisati matematički tačan fraktal, u pomoć će priskočiti cross-platform editor XaoS. Ovaj program omogućava ne samo izgradnju samoslične slike, već i obavljanje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u realnom vremenu možete napraviti „šetnju“ duž fraktala mijenjajući njegovu skalu. Animirano kretanje duž fraktala može se sačuvati kao XAF datoteka i zatim reproducirati u samom programu.

XaoS može učitati nasumični skup parametara, a također može koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekat zamućenog pokreta, izgladiti oštre prijelaze između fraktalnih tačaka, simulirati 3D sliku i tako dalje.

⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator

U poređenju sa drugim generatorima fraktalnih slika, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira mogućnost određivanja palete boja slike. Možete birati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.

Također je vrlo zgodno koristiti opciju nasumičnog odabira nijansi boja i funkciju invertiranja svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog odabira nijansi - kada uključite odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.

Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u meniju programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slike, iako u malim količinama. Svaki dodijeljeni filter može se otkazati u bilo kojem trenutku.

⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni editor

Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se odnosi na ravnu, dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija prevazilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrija munje, i trodimenzionalne volumetrijske figure. Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne, a jedna vrlo jasna ilustracija 3D fraktala u svakodnevnom životu je glavica kupusa. Možda je najbolji način da vidite fraktale u sorti Romanesco, hibridu karfiola i brokule.

Takođe možete jesti ovaj fraktal

Program Mandelbulb3D može kreirati trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Da bi dobili 3D površinu koristeći fraktalni algoritam, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su kreirali je pravi trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različitih oblika. Budući da često promatramo fraktalne obrasce u prirodi, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt izgleda nevjerojatno realistično, pa čak i "živo".

Može ličiti na biljku, može ličiti na čudnu životinju, planetu ili nešto drugo. Ovaj efekat je poboljšan naprednim algoritmom za renderovanje, koji omogućava dobijanje realističnih refleksija, izračunavanje prozirnosti i senki, simulaciju efekta dubine polja i tako dalje. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i nivo detalja simuliranog objekta.

Incendia fraktal editor podržava dvostruko izglađivanje slike, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima poseban modul za uređivanje osnovnih oblika.

Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove tipove fraktalnih dizajna. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a mehanizam za renderiranje vam omogućava da koristite volumetrijske efekte magle i razne shadere. Program implementira opciju čuvanja bafera tokom dugotrajnog renderovanja i podržava kreiranje animacije.

Incendia vam omogućava da izvezete fraktalni model u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program pod nazivom Geometrica, poseban alat za podešavanje izvoza fraktalne površine u 3D model. Koristeći ovaj uslužni program, možete odrediti rezoluciju 3D površine i odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli se mogu koristiti u 3D projektima kada radite sa 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.

Nedavno je rad na projektu Incendia donekle usporen. Trenutno autor traži sponzore koji će mu pomoći da razvije program.

Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, nema veze. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u folderu INCENDIA_EX\parameters. Koristeći PAR datoteke, možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.

⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju

Obično ne govorimo o projektima na kojima se tek radi, ali u ovom slučaju moramo napraviti izuzetak, jer se radi o vrlo neobičnoj aplikaciji. Projekat, nazvan Aural, izmislila je ista osoba koja je stvorila Incendia. Istina, ovaj put program ne vizualizuje fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku muziku. Ideja je vrlo interesantna, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generiše melodije pomoću fraktalnih algoritama, odnosno u suštini je audio sintisajzer-sekvencer.

Redoslijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i... lijep. Može biti korisno za pisanje modernih ritmova i, čini nam se, posebno je pogodan za kreiranje zvučnih zapisa za screensaver televizijskih i radijskih programa, kao i "petlje" pozadinske muzike za kompjuterske igrice. Ramiro još nije dao demo svog programa, ali obećava da kada to učini, da biste radili sa Auralom, nećete morati da proučavate teoriju fraktala - samo ćete se morati igrati s parametrima algoritma za generiranje niza nota. Poslušajte kako fraktali zvuče i.

Fraktali: muzička pauza

Zapravo, fraktali vam mogu pomoći da pišete muziku čak i bez softvera. Ali to može učiniti samo neko ko je istinski prožet idejom prirodnog sklada, a pritom se nije pretvorio u nesretnog "štrebera". Ima smisla uzeti primjer od muzičara po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše kompozicije za časopis Popular Science. I za razliku od drugih izvođača, Colton objavljuje sva svoja djela pod Creative Commons Attribution-Noncommercial licencom, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućava besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju ( stvaranje izvedenih radova) tako da ga prilagodite svojim zadacima.

Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.

⇡ Zaključak

U svemu što nas okružuje često vidimo haos, ali u stvari to nije slučajnost, već idealna forma, koju nam fraktali pomažu da razaznamo. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Strukturiran je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo obrazac, to znači da ga trebamo tražiti u drugoj skali. Ljudi to sve bolje razumiju, pokušavajući na mnogo načina oponašati prirodne oblike. Inženjeri dizajniraju sisteme zvučnika u obliku školjke, kreiraju antene u obliku pahuljice i tako dalje. Sigurni smo da fraktali i dalje sadrže mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek treba da otkriju.

Često briljantna otkrića u nauci mogu radikalno promijeniti naše živote. Na primjer, pronalazak vakcine može spasiti mnoge ljude, ali stvaranje novog oružja vodi u ubistvo. Doslovno juče (na ljestvici istorije) čovjek je „ukrotio” električnu energiju, a danas više ne može zamisliti svoj život bez nje. Međutim, postoje i otkrića koja, kako kažu, ostaju u sjeni, unatoč tome što i ona imaju jedan ili drugi utjecaj na naše živote. Jedno od ovih otkrića bio je fraktal. Većina ljudi nikada nije ni čula za ovaj koncept i neće moći da objasne njegovo značenje. U ovom članku pokušat ćemo razumjeti pitanje što je fraktal i razmotriti značenje ovog pojma iz perspektive nauke i prirode.

Red u haosu

Da bismo razumeli šta je fraktal, trebalo bi da počnemo sa debrifingom sa pozicije matematike, ali pre nego što uđemo u to, malo ćemo filozofirati. Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, zahvaljujući kojoj uči o svijetu oko sebe. Često, u potrazi za znanjem, pokušava da koristi logiku u svojim prosudbama. Stoga, analizirajući procese koji se dešavaju oko njega, pokušava izračunati odnose i izvući određene obrasce. Najveći umovi na planeti zauzeti su rješavanjem ovih problema. Grubo govoreći, naši naučnici traže obrasce tamo gdje ih nema, a ne bi ih trebalo biti. Pa ipak, čak i u haosu postoji veza između određenih događaja. Ova veza je ono što je fraktal. Kao primjer, uzmite slomljenu granu koja leži na cesti. Ako ga bolje pogledamo, vidjet ćemo da sa svim svojim granama i grančicama i sam liči na drvo. Ova sličnost zasebnog dela sa jedinstvenom celinom ukazuje na takozvani princip rekurzivne samosličnosti. Fraktali se mogu naći posvuda u prirodi, jer se mnogi neorganski i organski oblici formiraju na sličan način. To su oblaci, morske školjke, školjke puževa, krošnje drveća, pa čak i krvožilni sistem. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi nasumični oblici se lako opisuju fraktalnim algoritmom. Sada smo došli da razmatramo šta je fraktal sa pozicije egzaktnih nauka.

Neke suve činjenice

Sama riječ “fraktal” sa latinskog je prevedena kao “djelomičan”, “podijeljen”, “fragmentiran”, a što se tiče sadržaja ovog pojma, ne postoji formulacija kao takva. Obično se tumači kao sebi sličan skup, dio cjeline, koji ponavlja svoju strukturu na mikro nivou. Ovaj termin je sedamdesetih godina dvadesetog veka skovao Benoit Mandelbrot, koji je prepoznat kao otac. Međutim, matematička osnova za stvaranje ove teorije bila je postavljena još prije rođenja samog Mandelbrota, ali se nije mogla razviti sve dok se nisu pojavili elektronski računari.

Istorijska pozadina, ili Kako je sve počelo

Na prelazu iz 19. u 20. vek proučavanje prirode fraktala bilo je sporadično. To se objašnjava činjenicom da su matematičari radije proučavali objekte koji se mogu istraživati ​​na osnovu općih teorija i metoda. Godine 1872. njemački matematičar K. Weierstrass konstruisao je primjer neprekidne funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, ispostavilo se da je ova konstrukcija potpuno apstraktna i teško uočljiva. Sljedeći je došao Šveđanin Helge von Koch, koji je 1904. godine konstruirao kontinuiranu krivu koja nigdje nije imala tangentu. Prilično je lako nacrtati i ispostavilo se da ima fraktalna svojstva. Jedna od varijanti ove krivulje dobila je ime po svom autoru - "Koch pahulja". Nadalje, ideju o samosličnosti figura razvio je budući mentor B. Mandelbrota, Francuz Paul Levy. Godine 1938. objavio je članak "Ravne i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini". U njemu je opisao novi tip - Lewyjevu C-krivu. Sve gore navedene figure se konvencionalno klasificiraju kao geometrijski fraktali.

Dinamički ili algebarski fraktali

Mandelbrotov skup pripada ovoj klasi. Prvi istraživači u ovom pravcu bili su francuski matematičari Pierre Fatou i Gaston Julia. Julia je 1918. objavila rad zasnovan na proučavanju iteracija racionalnih kompleksnih funkcija. Ovdje je opisao porodicu fraktala koji su usko povezani sa Mandelbrotovim skupom. Unatoč činjenici da je ovo djelo proslavilo autora među matematičarima, brzo je zaboravljeno. I samo pola veka kasnije, zahvaljujući kompjuterima, Julijin rad je dobio drugi život. Kompjuteri su omogućili da se svakom čovjeku učini vidljivom ljepota i bogatstvo svijeta fraktala koje su matematičari mogli „vidjeti“ prikazujući ih kroz funkcije. Mandelbrot je bio prvi koji je koristio kompjuter za izvođenje proračuna (ovakav volumen se ne može napraviti ručno) koji je omogućio konstruiranje slike ovih figura.

Osoba sa prostornom maštom

Mandelbrot je započeo svoju naučnu karijeru u IBM istraživačkom centru. Proučavajući mogućnosti prijenosa podataka na velike udaljenosti, naučnici su se suočili s činjenicom velikih gubitaka koji su nastali zbog smetnji buke. Benoit je tražio načine da riješi ovaj problem. Gledajući kroz rezultate mjerenja, primijetio je čudan obrazac, naime: grafovi šuma izgledali su isto na različitim vremenskim skalama.

Slična slika je uočena i za period od jednog dana i za sedam dana ili sat vremena. Sam Benoit Mandelbrot je često ponavljao da ne radi sa formulama, već se igra slikama. Ovaj naučnik se odlikovao maštovitim razmišljanjem, prevodio je svaki algebarski problem u geometrijsku oblast, gde je tačan odgovor očigledan. Stoga nije iznenađujuće što je bogat i postao otac fraktalne geometrije. Na kraju krajeva, svijest o ovoj figuri može doći samo kada proučavate crteže i razmišljate o značenju ovih čudnih vrtloga koji formiraju obrazac. Fraktalni obrasci nemaju identične elemente, ali su slični u bilo kojoj skali.

Julia - Mandelbrot

Jedan od prvih crteža ove figure bila je grafička interpretacija kompleta, koja je nastala iz rada Gastona Julije, a dalje je razvio Mandelbrot. Gaston je pokušao zamisliti kako bi skup izgledao na osnovu jednostavne formule koja se ponavljala kroz povratnu petlju. Hajde da pokušamo da objasnimo šta je rečeno ljudskim jezikom, da tako kažem, na prste. Za određenu numeričku vrijednost pronalazimo novu vrijednost pomoću formule. Zamjenjujemo ga u formulu i nalazimo sljedeće. Rezultat je veliki da bi se predstavio takav skup potrebno je izvršiti ovu operaciju ogroman broj puta: stotine, hiljade, milione. Ovo je Benoit uradio. Obradio je niz i rezultate prenio u grafički oblik. Nakon toga je obojio rezultirajuću figuru (svaka boja odgovara određenom broju iteracija). Ova grafička slika je nazvana “Mandelbrotov fraktal”.

L. Carpenter: umjetnost koju stvara priroda

Teorija fraktala brzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je vrlo blisko povezana sa vizualizacijom sebi sličnih slika, umjetnici su prvi usvojili principe i algoritme za konstruiranje ovih neobičnih oblika. Prva od njih bila je buduća osnivačica Pixara, Lauren Carpenter. Radeći na prezentaciji prototipova aviona, došao je na ideju da kao pozadinu koristi sliku planina. Danas skoro svaki korisnik računara može da se nosi sa takvim zadatkom, ali sedamdesetih godina prošlog veka računari nisu mogli da obavljaju takve procese, jer u to vreme nije bilo grafičkih uređivača niti aplikacija za trodimenzionalnu grafiku. A onda je Loren naišao na Mandelbrotovu knjigu “Fraktali: Forma, slučajnost i dimenzija”. U njoj je Benoit dao mnogo primjera, pokazujući da fraktali postoje u prirodi (fyva), opisao je njihove različite oblike i dokazao da se lako opisuju matematičkim izrazima. Matematičar je ovu analogiju naveo kao argument za korisnost teorije koju je razvijao kao odgovor na salvu kritika svojih kolega. Oni su tvrdili da je fraktal samo lijepa slika, da nema vrijednost i da je nusproizvod rada elektronskih mašina. Carpenter je odlučio isprobati ovu metodu u praksi. Nakon pažljivog proučavanja knjige, budući animator počeo je tražiti način implementacije fraktalne geometrije u kompjutersku grafiku. Trebalo mu je samo tri dana da na svom kompjuteru prikaže potpuno realističnu sliku planinskog pejzaža. I danas se ovaj princip široko koristi. Kako se ispostavilo, stvaranje fraktala ne zahtijeva mnogo vremena i truda.

Tesarsko rešenje

Princip koji je Lauren koristila bio je jednostavan. Sastoji se od dijeljenja većih na male elemente, a onih na slične manje i tako dalje. Carpenter ih je, koristeći velike trouglove, podijelio na 4 mala, i tako dalje, dok nije dobio realističan planinski pejzaž. Tako je postao prvi umjetnik koji je koristio fraktalni algoritam u kompjuterskoj grafici za konstruiranje potrebne slike. Danas se ovaj princip koristi za oponašanje različitih realističnih prirodnih oblika.

Prva 3D vizualizacija koristeći fraktalni algoritam

Nekoliko godina kasnije, Lauren je primijenio svoj razvoj u velikom projektu - animiranom videu Vol Libre, prikazanom na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video je šokirao mnoge, a njegov kreator je pozvan da radi u Lucasfilmu. Ovdje je animator mogao ostvariti svoj puni potencijal, kreirao je trodimenzionalne pejzaže (cijela planeta) za igrani film "Zvjezdane staze". Svaki moderni program (“Fraktali”) ili aplikacija za kreiranje 3D grafike (Terragen, Vue, Bryce) koristi isti algoritam za modeliranje tekstura i površina.

Tom Beddard

Nekadašnji laserski fizičar, a sada digitalni umjetnik i umjetnik, Beddard je stvorio niz vrlo intrigantnih geometrijskih oblika, koje je nazvao Fabergéovim fraktalima. Izvana liče na ukrasna jaja ruskog zlatara, imaju isti sjajan, zamršen uzorak. Beddard je koristio metodu šablona da kreira svoje digitalne prikaze modela. Dobiveni proizvodi zadivljuju svojom ljepotom. Iako mnogi odbijaju da uporede ručno rađeni proizvod sa kompjuterskim programom, mora se priznati da su dobijeni oblici izuzetno lepi. Vrhunac je da svako može napraviti takav fraktal koristeći WebGL softversku biblioteku. Omogućava vam da istražite različite fraktalne strukture u realnom vremenu.

Fraktali u prirodi

Malo ljudi obraća pažnju, ali ove nevjerovatne brojke prisutne su posvuda. Priroda je stvorena od sebi sličnih figura, mi to jednostavno ne primjećujemo. Dovoljno je da kroz lupu pogledamo našu kožu ili list drveta i videćemo fraktale. Ili uzmite, na primjer, ananas ili čak paunov rep - sastoje se od sličnih figura. A sorta brokule Romanescu općenito je upečatljiva svojim izgledom, jer se zaista može nazvati čudom prirode.

Muzička pauza

Ispostavilo se da fraktali nisu samo geometrijski oblici, već mogu biti i zvukovi. Tako, muzičar Jonathan Colton piše muziku koristeći fraktalne algoritme. Tvrdi da odgovara prirodnoj harmoniji. Kompozitor sva svoja djela objavljuje pod CreativeCommons Attribution-Nekomercijalnom licencom, koja omogućava besplatnu distribuciju, kopiranje i prijenos djela drugima.

Fraktalni indikator

Ova tehnika je našla vrlo neočekivanu primjenu. Na njegovoj osnovi stvoren je alat za analizu berzanskog tržišta, koji je kao rezultat toga počeo da se koristi na Forex tržištu. Danas se fraktalni indikator nalazi na svim trgovačkim platformama i koristi se u tehnici trgovanja koja se zove probijanje cijene. Ovu tehniku ​​je razvio Bill Williams. Kako autor komentira svoj izum, ovaj algoritam je kombinacija nekoliko "svijeća", u kojima središnja odražava maksimalnu ili, obrnuto, minimalnu ekstremnu tačku.

Konačno

Pa smo pogledali šta je fraktal. Ispostavilo se da u haosu koji nas okružuje zapravo postoje idealne forme. Priroda je najbolji arhitekta, idealan graditelj i inženjer. Vrlo je logično raspoređeno, a ako ne možemo pronaći obrazac, to ne znači da ne postoji. Možda treba da gledamo u drugom razmjeru. Sa sigurnošću možemo reći da fraktali još uvijek kriju mnoge tajne koje tek treba da otkrijemo.

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Autori:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sofia

Lideri:
Mogutova Tatjana Mihajlovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Uvod.

Teorijski dio projekta:

• Istorija razvoja fraktalne geometrije.
• Koncept fraktala.
• Vrste fraktala:

a) geometrijski fraktali, primjeri geometrijskih fraktala;
b) algebarski fraktali, primjeri algebarskih fraktala;
c) stohastički fraktali, primjeri.

• Prirodni fraktali.
• Praktična primjena fraktala:
• u književnosti;
• u telekomunikacijama;
• u medicini;
• u arhitekturi;
• u dizajnu;
• u ekonomiji;
• u igricama, bioskopu, muzici
• u prirodnim naukama
• u fizici;
• u biologiji
• fraktali za domaćice
• moderne slike – fraktalne grafike.
• Fraktalna grafika.
• Uloga fraktalne geometrije u životu je himna fraktalima!

Praktični dio projekta

• Izrada naučnog rada “Putovanje u svijet fraktala”
• Objavljivanje na Internetu.
• Učešće na olimpijadama i takmičenjima.
• Kreirajte vlastite fraktale.
• Izrada brošure “Čudesni svijet fraktala”
• Održavanje festivala „Nevjerovatni svijet fraktala.

Uvod

Geometrija se često opisuje kao hladna i suva. Jedan od razloga je njegova nesposobnost da opiše sve što nas okružuje: oblik oblaka, planine, drveta ili morske obale. Oblaci nisu kugle, planine nisu čunjevi, obale nisu krugovi, kora nije glatka, a munje ne putuju pravolinijski. Sa velikom radošću za nas saznali smo da u modernom svijetu postoji nova geometrija - geometrija fraktala.

Otkriće fraktala revolucioniralo je ne samo geometriju, već i fiziku, hemiju, biologiju i sva područja našeg života.

Relevantnost projekta:

• Uloga fraktala u modernom svijetu je prilično velika
• Uvjerljivi argumenti u prilog relevantnosti proučavanja fraktala je širina njihove primjene

hipoteza istraživanja:

Fraktalna geometrija je moderna, vrlo zanimljiva oblast ljudskog znanja. Pojava fraktalne geometrije je dokaz tekuće evolucije čovjeka i širenja njegovih načina razumijevanja svijeta.

Cilj projekta:

Proučite teoriju fraktala kako biste kreirali naučni rad „Čudesni svijet fraktala“ i razvili i implementirali na kompjuteru algoritme za crtanje fraktala na ravni.

Ciljevi projekta:

• Upoznati istoriju nastanka i razvoja fraktalne geometrije;
• Proučite vrste fraktala i njihovu primjenu u modernom svijetu.
• Izvršite programe za kreiranje fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo
• Napravite naučni rad o fraktalima i objavite ga na internetu.
• Napravite brošuru “Čudesni svijet fraktala”
• Održati festival “Nevjerovatni svijet fraktala” kako bismo učenike škole upoznali sa rezultatima našeg rada.

Na projektu smo radili 4 mjeseca.

Glavne faze našeg rada:

• Prikupljanje potrebnih informacija: korištenje interneta, knjiga, publikacija na ovu temu. (2 sedmice)
• Razvrstavanje informacija po temama: sistematizacija i određivanje redosleda pisanja rada. Radovi su trajali 2 sedmice.
• Priprema tekstualnog rada: pisanje teksta, djelimična priprema sistematizovanih informacija. Trebalo je mjesec dana.
• Izrada prezentacije: kompresija sistematizovanih informacija, određivanje strukture prezentacije, njeno kreiranje i dizajn, odvijalo se u toku mesec dana.
• Učenje programa za kreiranje fraktala i kreiranje vlastitih fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo (do danas)

Teorijski dio projekta

Proučavali smo istoriju stvaranja fraktalne geometrije.

Interes za fraktalne objekte oživljava se sredinom 70-ih godina 20. stoljeća.

Rođenje fraktalne geometrije obično se vezuje za objavljivanje Mandelbrotove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. godine. Njegovi radovi su koristili naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ali tek u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihov rad u jedan sistem.

Dakle, šta je fraktal?

fraktal - geometrijska figura sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri.

Mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Danas riječ “fraktal” najčešće označava grafički prikaz strukture koja je sama sebi slična u većem obimu.

Fraktali se dijele na geometrijske, geometrijske i stohastičke.

Geometrijski fraktali se nazivaju i klasični. Oni su najvizuelniji, jer imaju takozvanu rigidnu samosličnost, koja se ne menja kada se menja razmera. To znači da bez obzira koliko zumirate fraktal, i dalje vidite isti obrazac.

Navedimo najpoznatije primjere geometrijskih fraktala.

Snowflake Koch.

Izumio 1904. njemački matematičar Helge von Koch.

Za njegovu konstrukciju uzima se jedan segment, podijeljen na tri jednaka dijela, a srednja karika zamjenjuje se jednakostraničnim trouglom bez ove veze. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaki od četiri rezultujuća segmenta. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se fraktalna kriva.

Durerov pentagon.

Fraktal izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem petougla kao inicijatora i jednakokračnih trokuta, omjer veće i manje strane je tačno jednak takozvanom zlatnom rezu. Ovi trouglovi su izrezani iz sredine svakog petougla. što rezultira figurom sličnom 5 malih pentagona zalijepljenih za jedan veliki.

Salveta Sierpinskog.

Godine 1915. poljski matematičar Waclaw Sierpinski smislio je zanimljiv predmet.

Da biste ga konstruirali, uzmite čvrst jednakostranični trokut. U prvom koraku, obrnuti jednakostranični trokut se uklanja iz centra. Drugi korak uklanja tri obrnuta trougla od tri preostala trougla, i tako dalje.

Dragon Curve.

Izmislio italijanski matematičar Giuseppe Peano.

Sierpinski tepih.

Uzima se kvadrat, dijeli se na devet jednakih kvadrata, srednji se baca, a ista operacija se ponavlja beskonačno s ostalima.

Druga vrsta fraktala su algebarski fraktali.

Ime su dobili jer su izgrađeni na bazi algebarskih formula. Kao rezultat matematičke obrade ove formule, na ekranu se prikazuje tačka određene boje. Rezultat je čudna figura u kojoj se prave linije pretvaraju u krivulje i efekti samosličnosti se pojavljuju na različitim razinama skale. Skoro svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal.

Primjeri najpoznatijih algebarskih fraktala.

Mandelbrot set.

Mandelbrot skupovi su najčešći među algebarskim fraktalima. Može se naći u mnogim naučnim časopisima, naslovnicama knjiga, razglednicama i čuvarima ekrana računara. Ovaj fraktal podsjeća na mašinu za kardanje sa zapaljenim drvećem i kružnim područjima pričvršćenim za njega.

Puno Julije.

Julia set je izumio francuski matematičar Gaston Julia. Jednako poznati algebarski fraktal.

Newton Pools.

Stohastički fraktali.

Fraktali, pri čijoj konstrukciji se u iterativnom sistemu neki parametri nasumično mijenjaju, nazivaju se stohastičkim. Termin "stohastičnost" dolazi od grčke reči koja znači "pretpostavka".

U ovom slučaju, rezultirajući objekti su vrlo slični prirodnim - asimetrična stabla, neravne obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali se koriste u modeliranju terena i morskih površina.

Ovi fraktali se koriste u modeliranju terena i morskih površina, te u procesu elektrolize. Ova grupa fraktala je postala široko rasprostranjena zahvaljujući radu Michaela Barnsleya sa Tehnološkog instituta Georgije.
Tipičan predstavnik ove klase fraktala je "Plazma".

Za nas najrazumljiviji su takozvani prirodni fraktali.

“Velika knjiga prirode napisana je jezikom geometrije” (Galileo Galilei).

Prirodni fraktali.

• U divljini:
• Morske zvijezde i ježevi
• Cvijeće i biljke (brokula, kupus)
• Krošnje drveća i listovi biljaka
• voće (ananas)
• Cirkulatorni sistem i bronhi ljudi i životinja
• U neživoj prirodi:
• Granice geografskih objekata (države, regije, gradovi)
• Smrznuti uzorci na prozorskom staklu
• Stalaktiti, stalagmiti, heliktiti.

Gotovo sve prirodne formacije: krošnje drveća, oblaci, planine, obale imaju fraktalnu strukturu.
Šta to znači?

Ako pogledate fraktalni objekt u cjelini, zatim njegov dio u uvećanoj skali, zatim dio ovog dijela, nije teško vidjeti da izgledaju isto.

Morski fraktali.

Hobotnica je morska životinja koja živi na dnu iz reda glavonožaca.

Njena tijela i sisa na svih osam pipaka ove životinje imaju fraktalnu strukturu.

Još jedan tipičan predstavnik fraktalnog podvodnog svijeta je koral.

U prirodi je poznato preko 3.500 vrsta koralja.

Zeleni fraktal – listovi paprati.

Listovi paprati imaju oblik fraktalne figure - sami su slični.

Luk je fraktal koji vas tjera da plačete. Naravno, to je jednostavan fraktal: obični krugovi različitih prečnika, čak bi se moglo reći i primitivni fraktal.

Upečatljiv primjer fraktala u prirodi je „Romanescu“, također poznat kao „romanička brokula” ili „koraljna karfiol”.

Karfiol- tipičan fraktal.

Pogledajmo strukturu karfiola.

Ako odrežete jedan od cvjetova, očito je da vam u rukama ostaje ista karfiol, samo manja. Možemo nastaviti rezati iznova i iznova, čak i pod mikroskopom - ali sve što dobijemo su male kopije karfiola.

Matrjoška - igračka za suvenir- tipičan fraktal. Princip fraktalnosti je očigledan kada su sve figure drvene igračke poredane u niz, a ne ugniježđene jedna u drugu.

Čovek je fraktal.

Dijete se rađa i raste, a ovaj proces prati princip „samosličnosti“, fraktalnosti.

Opseg fraktala je širok.

Fraktali u književnosti

Među književnim djelima postoje ona koja imaju tekstualnu, strukturnu ili fraktalnu prirodu. U književnim fraktalima elementi teksta se beskonačno ponavljaju:

Sveštenik je imao psa
volio ju je.
Pojela je komad mesa
ubio ju je.
Zakopan u zemlju
Caption je napisao:
Sveštenik je imao psa...

“Evo kuće.
Koje je Jack napravio.
A evo i pšenice.

U kući,
Koju je Jack izgradio
A evo i vesele sise,
Koji pametno krade pšenicu,
Koja se čuva u tamnom ormaru
U kući,
Koje je Džek izgradio..." .

Fraktali u telekomunikacijama.

Za prijenos podataka na udaljenosti koriste se antene fraktalnih oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu.

Fraktali u medicini.

Trenutno se fraktali široko koriste u medicini. Samo ljudsko tijelo se sastoji od mnogih fraktalnih struktura: krvožilnog sistema, mišića, bronhija, bronhijalnih puteva u plućima, arterija.

Teorija fraktala se koristi za analizu elektrokardiograma.

Procjena veličine i ritmova fraktalne dimenzije omogućava da se u ranijoj fazi i sa većom preciznošću i informacijama sudi o poremećajima homeostaze i razvoju specifičnih srčanih oboljenja.

Rendgenske slike obrađene fraktalnim algoritmima daju kvalitetniju sliku, a samim tim i bolju dijagnostiku!!

Još jedno područje aktivne upotrebe fraktala je gastroenterologija.

Nova istraživačka metoda u medicini, elektrogastroenterografija je istraživačka metoda koja vam omogućava procjenu bioelektrične aktivnosti želuca, duodenuma i drugih dijelova gastrointestinalnog trakta.

Fraktali u arhitekturi.

Fraktalni princip razvoja prirodnih i geometrijskih objekata duboko prodire u arhitekturu i kao slika vanjskog rješenja objekta, i kao unutrašnji princip formiranja arhitektonskih oblika.

Krenuli su dizajneri iz cijelog svijeta koristite u svom radu izvanredne fraktalne strukture, koje su tek nedavno opisali istaknuti matematičari.

Upotreba fraktala dovela je skoro sve oblasti modernog dizajna na novi nivo.

Uvođenje fraktalnih struktura povećalo je i vizualne i funkcionalne komponente dizajna u mnogim slučajevima.

Dizajner Takeshi Miyakawa je kao dijete sanjao da postane matematičar.

Kako drugačije objasniti ovaj komad namještaja: noćni ormarić Fractal 23 sadrži 23 ladice različitih veličina i proporcija, koje nekako uspijevaju koegzistirati jedna s drugom unutar kubičnog tijela, ispunjavajući gotovo sav raspoloživi prostor.

Fraktali u ekonomiji.

Nedavno su fraktali postali popularni među ekonomistima za analizu berzanskih kurseva, valuta i tržišta trgovanja.
Fraktali se često pojavljuju na tržištu.

Fraktali u igricama.

Danas mnoge igre (možda najupečatljiviji primjer Minecrafta), u kojima su prisutne različite vrste prirodnih krajolika, koriste fraktalne algoritme na ovaj ili onaj način. Napravljen je veliki broj programa za generisanje pejzaža i pejzaža na osnovu fraktalnih algoritama.

Fraktali u bioskopu.

U bioskopu se fraktalni algoritam koristi za stvaranje različitih fantastičnih pejzaža. Fraktalna geometrija omogućava umjetnicima specijalnih efekata da lako kreiraju objekte kao što su oblaci, dim, plamen, zvjezdano nebo, itd. Šta onda reći o fraktalnoj animaciji, to je zaista nevjerovatan prizor.

Elektronska muzika.

Spektakl fraktalne animacije uspešno koriste VJ. Takve video instalacije posebno se često koriste na koncertima izvođača elektronske muzike.

Prirodne nauke.

Fraktali se često koriste u geologiji i geofizici. Nije tajna da obale ostrva i kontinenata imaju određenu fraktalnu dimenziju, znajući koju se može vrlo precizno izračunati dužine obala.

Proučavanje tektonike rasjeda i seizmičnosti ponekad se također proučava korištenjem fraktalnih algoritama.

Geofizika koristi fraktale i fraktalnu analizu za proučavanje anomalija magnetnog polja, za proučavanje širenja talasa i oscilacija u elastičnim medijima, za proučavanje klime i mnoge druge stvari.

Fraktali u fizici.

U fizici se fraktali koriste veoma široko. U fizici čvrstog stanja, fraktalni algoritmi omogućavaju precizno opisivanje i predviđanje svojstava čvrstih, poroznih, spužvastih tijela i aerogela. To pomaže u stvaranju novih materijala s neobičnim i korisnim svojstvima.
Primjer čvrste tvari su kristali.

Proučavanje turbulencije u tokovima se vrlo dobro prilagođava fraktalima.

Prelazak na fraktalni prikaz olakšava rad inženjerima i fizičarima, omogućavajući im da bolje razumiju dinamiku složenih sistema.
Koristeći fraktale također možete simulirati plamen.

Fraktali u biologiji.

U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnjih organa (sistem krvnih sudova). Nakon stvaranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi prilikom izračunavanja dužine obalne linije.

Fraktali za domaćice.

Teoriju fraktala je lako prenijeti u dom, uključujući i kuhinju.

Rezultat primjene može biti bilo što: fraktalne naušnice, fraktalna ukusna jetra i još mnogo toga. Potrebno je samo koristiti znanje i domišljatost!

Fraktalna grafika se široko koristi u modernom svijetu. Slike su popularne - rezultat fraktalne grafike.

I to nije slučajnost. Divite se ljepoti fraktalne grafike!

Praktični dio projekta

• Napravio naučni rad “Putovanje u svijet fraktala”
• Proučavali smo programe za kreiranje fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo.
• Kreirali ste vlastite fraktale.
• Napravili smo sopstveni „Sierpinski salveta“ i „Sierpinski Carpet“
• Izrađene "Fractal minđuše"
• Napravio je seriju slika "Čuda fraktalne grafike"
• Objavio rad „Putovanje u svet fraktala” na internetu.
• Učestvovali smo u radu „Putovanje u svet fraktala“ na VII sveruskoj olimpijadi za školarce i studente „Nauka 2.0“ iz nastavnog predmeta „Matematika“. Zauzeli smo prvo mjesto.
• Učestvovali smo na sveruskom konkursu „Velika otkrića i izumi“ sa radom „Putovanje u svet fraktala“. Zauzeli smo prvo mjesto.
• Učestvovali smo sa radom „Putovanje u svet fraktala“ na VIII Sveruskoj olimpijadi za učenike i studente „Ja sam istraživač“ iz nastavnog predmeta Matematika. Zauzeli smo prvo mjesto.
• Napravio prezentaciju “Čudesni svijet fraktala”
• Izrađene brošure “Korišćenje fraktala” i “Fraktali oko nas”
• Održali smo festival “Nevjerovatni svijet fraktala” za učenike 8-11 razreda.”

Dakle, sa potpunim povjerenjem možemo reći o ogromnoj praktičnoj primjeni fraktala i fraktalnih algoritama danas.

Opseg područja u kojima se koriste fraktali vrlo je širok i raznolik.

I sigurno će u bliskoj budućnosti fraktali, fraktalna geometrija, postati bliski i razumljivi svakome od nas. Ne možemo živjeti bez njih u našim životima!

Nadajmo se da je pojava fraktalne geometrije dokaz tekuće evolucije čovjeka i širenja njegovih načina poznavanja i razumijevanja svijeta. Možda će i naša djeca lako i smisleno operirati pojmovima fraktala i nelinearne dinamike, kao što mi operišemo konceptima klasične fizike i euklidske geometrije.

Rezultati projekta

• Upoznali smo se sa istorijom nastanka i razvoja fraktalne geometrije;
• Proučavali smo vrste fraktala i njihovu primjenu u modernom svijetu.
• Kreirali smo vlastite fraktale u programskim jezicima Pascal i Logo
• Napravio naučni rad o fraktalima.
• Izrađene brošure “Fraktali oko nas” i “Upotreba fraktala”
• Održali smo festival „Nevjerovatni svijet fraktala“ za učenike 8-11 razreda.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Predmet: Fraktali- posebanobjekataživIneživimir

Habarovsk TOGU 2015

• Sadržaj
• fraktalna geometrijska fraktalna grafika
• Istorija fraktala
• Klasifikacija fraktala
• Geometrijski fraktali
• Algebarski fraktali
• Primjena fraktala
• Fraktali i svijet oko nas
• Fraktalna grafika
• Primjena fraktala
• Prirodne nauke
• Radiotehnika
• Računarska nauka
• Ekonomija i finansije

Istorija fraktala

Vrlo često nailazimo na posebne objekte, ali malo ljudi zna da su to fraktali. Fraktali su jedinstveni objekti generirani nepredvidivim kretanjima haotičnog svijeta. Nalaze se kako u malim objektima, kao što je ćelijska membrana, tako i u velikim, kao što su Sunčev sistem i Galaksija. U svakodnevnom životu možemo vidjeti fraktale u tapetama, na tkanini, na desktop screensaveru na računaru, au prirodi - to su biljke, morske životinje i prirodni fenomeni.

Naučnici su od davnina bili fascinirani fraktalima, a programeri i stručnjaci za kompjutersku grafiku takođe vole ove objekte. Otkriće fraktala bilo je revolucija u ljudskoj percepciji svijeta i otkriće nove estetike umjetnosti i nauke.

Dakle, šta su fraktali? Fraktal- geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini.

Termin fraktal je predložen 1975. Benoit Mandelbrot da označi nepravilne, sebi slične strukture kojima se bavi. Rođenje fraktalne geometrije je objavljivanje njegove knjige “Fraktalna geometrija prirode” 1977. godine. Njegov rad se zasnivao na radovima naučnika Poincaréa, Fatoua, Julije, Cantora i Hausdorffa, koji su radili 1875. godine? 1925. na istom području. Ali tek u naše vrijeme uspjeli su spojiti svoj rad u jedan sistem.

Koncept „fraktala“ potiče od latinskog „fractus“? koji se sastoji od fragmenata. Jedna od definicija glasi: “Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su, u nekom smislu, slični cjelini.”

Benoit Mandelbrot je u svojim djelima dao živopisne primjere upotrebe fraktala za objašnjenje nekih prirodnih fenomena. Veliku pažnju posvetio je zanimljivoj osobini koju imaju mnogi fraktali. Činjenica je da se fraktal često može podijeliti na proizvoljno male dijelove tako da svaki dio ispadne jednostavno umanjena kopija cjeline. Drugim riječima, ako pogledamo fraktal kroz mikroskop, bićemo iznenađeni kada vidimo istu sliku kao bez mikroskopa. Ovo svojstvo samosličnosti oštro razlikuje fraktale od objekata klasične geometrije.

Za moderne naučnike, proučavanje fraktala? ne samo novo područje znanja. Ovo je otkriće nove vrste geometrije koja opisuje svijet oko nas i koja se može vidjeti ne samo u udžbenicima, već iu prirodi i u bezgraničnom Univerzumu. Sada su Mandelbrot i drugi naučnici proširili polje fraktalne geometrije tako da se može primijeniti na gotovo sve na svijetu, od predviđanja cijena na berzi do novih otkrića u teorijskoj fizici.

Klasifikacija fraktala

Postoje različite klasifikacije fraktala.

Glavna klasifikacija fraktala je podjela na geometrijske i algebarske.

Geometrijski fraktali imaju tačnu samosličnost, a algebarski fraktali približnu samosličnost.

Postoji i podjela na prirodne i umjetne fraktale.

Fraktali koje je napravio čovjek uključuju one koje su izmislili naučnici, oni imaju fraktalna svojstva na bilo kojoj skali. Prirodni fraktali podliježu ograničenju područja postojanja - odnosno maksimalne i minimalne veličine na kojoj objekt pokazuje fraktalna svojstva.

Najjednostavniji fraktali su geometrijski fraktali.

Geometrijski fraktali

Geometrijski fraktali se nazivaju i klasični, deterministički ili linearni. Oni su najvizuelniji, jer imaju takozvanu rigidnu samosličnost, koja se ne menja kada se menja razmera. To znači da bez obzira koliko zumirate fraktal, i dalje vidite isti obrazac.

U dvodimenzionalnom slučaju, takvi se fraktali mogu dobiti specificiranjem neke izlomljene linije koja se zove generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata date polilinije (inicijator) je zamijenjen generatorskom polilinijom u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se fraktalna kriva. Uprkos prividnoj složenosti ove krive, njen oblik određuje samo oblik generatora.

Najpoznatiji geometrijski fraktali: Kochova kriva, Minkowski kriva, Levyjeva kriva, zmajeva kriva, Sierpinski salveta i tepih, Durerov pentagon.

Konstrukcija nekih geometrijskih fraktala

1). Kochova kriva.

Izumio ga je 1904. godine njemački matematičar po imenu Helge von Koch. Za njegovu konstrukciju uzima se jedan segment, podijeljen na tri jednaka dijela, a srednja karika zamjenjuje se jednakostraničnim trouglom bez ove veze. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaki od četiri rezultujuća segmenta. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se fraktalna kriva.

2). Salveta Sierpinskog.

Godine 1915. poljski matematičar Waclaw Sierpinski smislio je zanimljiv predmet. Da biste ga konstruirali, uzmite čvrst jednakostranični trokut. U prvom koraku, obrnuti jednakostranični trokut se uklanja iz centra. Drugi korak uklanja tri obrnuta trougla od tri preostala trougla, i tako dalje. Prema teoriji, ovom procesu neće biti kraja, niti će ostati životni prostor u trokutu, ali se ni on neće raspasti - rezultat će biti objekat koji se sastoji samo od rupa.

3). Harter-Hathway's Dragon.

Harterovog zmaja, poznatog i kao Harter-Haithaway zmaj, prvi su proučavali NASA-ini fizičari? John Haithaway, William Harter i Bruce Banks. Opisao ju je 1967. Martin Gardner u rubrici "Matematičke igre" časopisa Scientific American.

U sljedećem koraku, svaki od odsječaka je zamijenjen sa dva segmenta koji čine bočne stranice jednakokračnog pravokutnog trokuta, za koji bi originalni segment bio hipotenuza. Kao rezultat, čini se da se segment savija pod pravim uglom. Smjer otklona se mijenja. Prvi segment se savija udesno (kako se kreće s lijeva na desno), drugi - ulijevo, treći - ponovo udesno, itd.

Primjeri geometrijskih fraktala

CurveKochSalvetaSierpinski

ZmajHarter-Hathway

Druga velika grupa fraktala je algebarska. Ime su dobili jer su izgrađeni na bazi algebarskih formula.

Algebarski fraktali

Složeni (algebarski) fraktali se ne mogu kreirati bez pomoći kompjutera. Da bi dobio živopisne rezultate, ovaj računar mora imati moćan matematički koprocesor i monitor visoke rezolucije. Ime su dobili jer su izgrađeni na bazi algebarskih formula. Kao rezultat matematičke obrade ove formule, na ekranu se prikazuje tačka određene boje. Rezultat je čudna figura u kojoj se prave linije pretvaraju u krivulje, a efekti samosličnosti se pojavljuju na različitim razinama, iako ne bez deformacija. Skoro svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal.

Najpoznatiji algebarski fraktali: Mandelbrot i Julia skupovi, Newtonovi bazeni.

Algebarski fraktali imaju približnu samosličnost. Zapravo, ako povećate malu površinu bilo kojeg složenog fraktala, a zatim učinite isto na malom dijelu tog područja, dva povećanja će se značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije slike će biti vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

ALGEBARSKI FRAKTALI

Mandelbrotov skup aproksimacija

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog je taj što opisuju stvarni svijet bolje od tradicionalne fizike i matematike.

Primjena fraktala

1). Teorija haosa: Fraktali su uvijek povezani sa riječju haos. Teorija haosa se definiše kao proučavanje složenih nelinearnih dinamičkih sistema. Haos je odsustvo predvidljivosti. Javlja se u dinamičkim sistemima kada se za dvije vrlo bliske početne vrijednosti sistem ponaša potpuno drugačije. Primjer haotičnog dinamičkog sistema je vrijeme. Primjeri takvih sistema su turbulentni tokovi, biološke populacije, društvo i njegovi podsistemi: ekonomski, politički i drugi društveni sistemi. Jedan od centralnih koncepata ove teorije je nemogućnost preciznog predviđanja stanja sistema. Teorija haosa se ne fokusira na poremećaj sistema (nasljednu nepredvidljivost sistema), već na poredak koji nasljeđuje (uobičajeno ponašanje sličnih sistema). Dakle, nauka o haosu je sistem ideja o različitim oblicima poretka, gde slučajnost postaje organizacioni princip.

2). Ekonomija: analiza tržišta vrijednosnih papira.

3). Astrofizika: opis procesa skupljanja galaksija u svemiru.

4). Geologija: proučavanje hrapavosti minerala;

5). Kartografija: proučavanje oblika obale; proučavanje široke mreže rečnih kanala.

6). Mehanika tečnosti i gasova, fizika površina:

- dinamika i turbulencija složenih tokova.

- modeliranje plamena;

7). biologija i medicina:

- modeliranje životinjskih populacija i migracija ptica;

- modeliranje epidemija;

- analiza strukture cirkulacijskog sistema;

- razmatranje složenih površina ćelijskih membrana;

- opis procesa unutar tijela, na primjer, otkucaji srca.

8). Fraktalne antene: Korištenje fraktalne geometrije u dizajnu antenskih uređaja prvi je koristio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je instalacija vanjskih antena na zgradama bila zabranjena. Izrezao je oblik Kochove krivulje od aluminijske folije i zalijepio ga na komad papira, a zatim ga pričvrstio na prijemnik. Ispostavilo se da takva antena ne radi ništa lošije od obične. I iako fizički principi rada takve antene još nisu proučeni, to nije spriječilo Cohena da osnuje vlastitu kompaniju i pokrene njihovu serijsku proizvodnju.

9). Kompresija slike: prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Još jedna prednost fraktalne kompresije je da kada se slika uveća, nema efekta pikselizacije (povećanje veličine tačaka do veličina koje iskrivljuju sliku). Sa fraktalnom kompresijom, nakon povećanja, slika često izgleda čak i bolje nego prije.

10). Kompjuterska grafika: Kompjuterska grafika danas prolazi kroz period intenzivnog razvoja. Bila je u stanju da rekreira beskrajnu raznolikost fraktalnih oblika i pejzaža na ekranu monitora, uranjajući gledaoca u neverovatan virtuelni prostor. U današnje vrijeme, uz pomoć relativno jednostavnih algoritama, postalo je moguće kreirati trodimenzionalne slike fantastičnih pejzaža i oblika koje se vremenom mogu transformirati u još uzbudljivije slike. Sklonost fraktala da liče na planine, cvijeće i drveće iskorištavaju neki grafički urednici (na primjer, fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu). Fraktalni modeli se danas široko koriste u kompjuterskim igrama, stvarajući okruženje u njima koje je teško razlikovati od stvarnosti.

Kraj dvadesetog veka obeležen je ne samo otkrićem neverovatno lepih i beskonačno raznovrsnih struktura zvanih fraktali, već i svešću o fraktalnoj prirodi prirode. Svijet oko nas je vrlo raznolik, a njegovi objekti se ne uklapaju u kruti okvir euklidskih linija i površina.

Fraktali i svijet oko nas

« Ljepota je uvijek relativna... Ne treba pretpostaviti da su obale okeana zaista bezoblične samo zato što se njihov oblik razlikuje od pravilnog oblika molova koje smo izgradili; oblik planina se ne može smatrati nepravilnim na osnovu toga što nisu pravilni čunjevi ili piramide; samo zato što su udaljenosti između zvijezda nejednake, to ne znači da su one razbacane po nebu nesposobnom rukom. Ove greške postoje samo u našoj mašti , zapravo, nisu takvi i ni na koji način ne ometaju prave manifestacije života na Zemlji, ni u carstvu biljaka i životinja, ni među ljudima.” Ove reči engleskog naučnika iz 17. veka. Richard Bentley ukazuje da se ideja kombiniranja oblika obala, planina i nebeskih objekata i suprotstavljanja euklidskim konstrukcijama pojavila u glavama ljudi jako dugo.

Galileo Galilei je rekao da je “velika knjiga prirode napisana jezikom geometrije”. Sada možemo sa sigurnošću reći da je napisana jezikom fraktalne geometrije.

Ono što opažamo u prirodi često nas zaintrigira beskonačnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanim ili smanjenim koliko god puta želimo. Bizarni oblici obala i zamršeni zavoji rijeka, isprekidane površine planinskih lanaca i obrisi oblaka, raširene grane drveća i koralni grebeni, plaho treperenje svijeće i pjenasti potoci planinskih rijeka - sve su to fraktali. Neki od njih, kao što su oblaci ili olujni potoci, stalno mijenjaju svoj oblik, drugi, poput drveća ili planinskih lanaca, održavaju svoju strukturu nepromijenjenom. Zajedničko svim tipovima fraktalnih struktura je njihova samosličnost - glavno svojstvo koje osigurava ispunjenje osnovnog zakona u fraktalima - zakona jedinstva u raznolikosti univerzuma.

Ljudski sistemi i organi su takođe fraktalne strukture. Na primjer, krvni sudovi se granaju više puta, tj. imaju fraktalnu prirodu. Električna aktivnost srca je fraktalni proces. Kardiolozi su otkrili da spektralne karakteristike otkucaja srca slijede fraktalne zakone, baš kao i zemljotresi i ekonomske pojave. U tkivima probavnog trakta, jedna valovita površina je ugrađena u drugu. Pluća također predstavljaju primjer velike površine koja je stisnuta u mali prostor. Zapravo, cjelokupna struktura ljudskog tijela je fraktalne prirode; ovo je već prepoznato od strane naučnika. U ljudski genom ugrađen je princip jednog jednostavnog, koji definira raznolik kompleks, kada jedna ćelija živog organizma sadrži informacije o cijelom organizmu kao cjelini.

Fraktalne strukture u prirodi

Evo nekoliko primjera fotografija:

Kao što je biolog John Haldane rekao: “Svijet nije samo čudniji nego što mislimo, već i čudniji nego što možemo zamisliti.” Fraktali nisu Mandelbrotovi izumi. Oni postoje objektivno. U prirodnim oblicima i procesima, u nauci i umjetnosti, koji odražavaju i razumiju ovaj svijet. Upravo je „za promjenu našeg pogleda na svijet zahvaljujući idejama fraktalne geometrije“ Benoit Mandelbrot dobio počasnu Vukovu nagradu za fiziku 1993. godine.

Trenutno su fraktalne slike veoma popularne. Ostavljaju apsolutno fantastičan utisak. Mnogo tankih linija koje čine jednu cjelinu, ili neobični elementi isprepleteni u jednu sliku. Bljeskovi jakog svjetla i umjereno glatke linije. Fraktal izgleda živ. Gori, svijetli, privlači i ne možete odvojiti pogled od njega, proučavajući i najsitnije i najnebitnije detalje.

Fraktalna grafika

Fraktalne slike u unutrašnjosti

Primjena fraktala

Prirodne nauke

U fizici, fraktali prirodno nastaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni difuzijsko-adsorpcijski procesi, plamenovi, oblaci i slično. Fraktali se koriste u modeliranju poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnjih organa (sistem krvnih sudova). Nakon stvaranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi prilikom izračunavanja dužine obalne linije.

Radiotehnika

Korištenje fraktalne geometrije u dizajnu antenskih uređaja prvi je upotrijebio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je ugradnja vanjskih antena na zgrade bila zabranjena. Nathan je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije i zalijepio ga na komad papira, a zatim ga pričvrstio na prijemnik. Cohen je osnovao vlastitu kompaniju i započeo njihovu serijsku proizvodnju.

Računarska nauka

Kompresija slike

Fraktalno drvo

Postoje algoritmi za kompresiju slike pomoću fraktala. Oni se zasnivaju na ideji da se umjesto same slike može pohraniti mapa kompresije za koju je ova slika (ili neka bliska) fiksna tačka. Jednu od varijanti ovog algoritma koristio je Microsoft prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali ti algoritmi nisu bili u širokoj upotrebi.

Kompjuterska grafika

Fraktali se široko koriste u kompjuterskoj grafici za konstruisanje slika prirodnih objekata, kao što su drveće, grmlje, planinski pejzaži, morske površine i tako dalje. Postoji mnogo dostupnih programa za generiranje fraktalnih slika.

Decentralizovano mreže

Sistem dodjele IP adresa u mreži Netsukuku (ova mreža je projekt za stvaranje distribuirane samoorganizirajuće peer-to-peer mreže sposobne osigurati interakciju ogromnog broja čvorova uz minimalno opterećenje centralnog procesora i memorije) koristi princip fraktalne kompresije informacija za kompaktno pohranjivanje informacija o mrežnim čvorovima. Svaki čvor u Netsukuku mreži pohranjuje samo 4 KB informacija o stanju susjednih čvorova, dok se svaki novi čvor povezuje na zajedničku mrežu bez potrebe za centralnom regulacijom distribucije IP adresa, što je npr. Internet. Dakle, princip fraktalne kompresije informacija garantuje potpuno decentralizovan, a samim tim i najstabilniji rad cele mreže.

Ekonomija i finansije

A. A. Almazov u svojoj knjizi „Teorija fraktala. Kako promijeniti svoj pogled na tržišta” predložio je način korištenja fraktala pri analizi kotacija dionica, posebno na Forex tržištu.

Svaki put kada pogledate fraktale, razmišljate o tome koliko su lijepi stvarni svijet i svijet matematike, te da je matematika zaista jezik koji može opisati gotovo sve što postoji u Univerzumu.

Bibliografija

1. Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. M.: “Institut za kompjuterska istraživanja”, 2002. 656 str.

2. Morozov A.D. Uvod u teoriju fraktala. N. Novgorod: Izdavačka kuća Nižnji Novgorod. Univerzitet, 1999, 140 str.

3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Ljepota fraktala. M.: “Mir”, 1993. - 176 str.

4. Tikhoplav V.Yu., Tikhoplav T.S. Harmonija haosa, ili fraktalna stvarnost. Sankt Peterburg: Izdavačka kuća “Ves”, 2003. 340 str.

5. Feder E. Fraktali. M: “Mir”, 1991. 254 str.

6. Schroeder M. Fraktali, haos, zakoni moći. Minijature iz beskrajnog raja. Iževsk: “RKhD”, 2001. 528 str.

Lista stranica o fraktalima

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Objavljeno na Allbest.ru

Slični dokumenti

Razmatranje fraktalne dimenzije kao jedne od karakteristika inženjerske površine. Opis prirodnih fraktala. Mjerenje dužine neglatke (izlomljene) linije. Sličnost i skaliranje, samosličnost i samoafinitet. Odnos perimetar-područje.

test, dodano 23.12.2015


Istorija nastanka teorije fraktala. Fraktal je samoslična struktura čija slika ne ovisi o mjerilu. Ovo je rekurzivni model, čiji svaki dio u svom razvoju ponavlja razvoj cijelog modela u cjelini. Praktična primjena teorije fraktala.

naučni rad, dodato 12.05.2010


Klasični fraktali. Samosličnost. Snowflake Koch. Sierpinski tepih. L-sistemi. Haotična dinamika. Lorentzov atraktor. Setovi Mandelbrota i Julije. Primena fraktala u računarskoj tehnici.

kurs, dodan 26.05.2006


Karakteristike nekih četverouglova. Implementacija modela geometrijskih situacija u dinamičkim geometrijskim okruženjima. Karakteristike dinamičkog okruženja "Živa geometrija", karakteristike konstrukcije modela paralelograma, romba, pravougaonika i kvadrata u njemu.

kurs, dodato 28.05.2013


Geometrijska slika svijeta i preduslovi za nastanak teorije fraktala. Elementi determinističkog L-sistema: abeceda, riječ za inicijalizaciju i skup pravila za generiranje. Fraktalna svojstva društvenih procesa: sinergetika i haotična dinamika.

kurs, dodato 22.03.2014


Proučavanje manifestacija geometrijskih zakonitosti u živoj prirodi i njihova upotreba u obrazovno-praktičnim aktivnostima. Opis geometrijskih zakona i suština geometrijskih konstrukcija. Grafičko obrazovanje i njegovo mjesto u savremenom svijetu.

teza, dodana 24.06.2010


Definicija pojma modela, potreba za njihovom primjenom u nauci i svakodnevnom životu. Karakteristike materijala i idealne metode modeliranja. Klasifikacija matematičkih modela (deterministički, stohastički), faze procesa njihove konstrukcije.

sažetak, dodan 20.08.2015


Proučavanje pojmova simetrije, proporcionalnosti, proporcionalnosti i uniformnosti u rasporedu dijelova. Karakteristike simetričnih svojstava geometrijskih figura. Opisi uloge simetrije u arhitekturi, prirodi i tehnologiji, u rješavanju logičkih problema.

prezentacija, dodano 12.06.2011


Istorija matematizacije nauke. Osnovne metode matematizacije. Granice i problemi matematizacije. Problemi primjene matematičkih metoda u raznim naukama povezani su sa samom matematikom (matematičko proučavanje modela), s područjem modeliranja.

sažetak, dodan 24.05.2005


Koncept i istorija proučavanja zlatnog preseka. Osobine njegovog odraza u matematici, prirodi, arhitekturi i slikarstvu. Redosled i principi građenja, struktura i oblasti praktične primene zlatnog preseka, matematičko opravdanje i značenje.