Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei geraden Linien besteht, die an Punkten verbunden sind, die nicht auf derselben geraden Linie liegen. Die Verbindungspunkte der Linien sind die Eckpunkte des Dreiecks, die mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden (z. B. A, B, C). Die verbindenden Geraden eines Dreiecks werden Segmente genannt, die meist auch mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden. Folgende Arten von Dreiecken werden unterschieden:

• Rechteckig.
• Stumpf.
• Akut kantig.
• Vielseitig.
• Gleichseitig.
• Gleichschenklige.

Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf Länge und Höhe

S= a*h/2,
Dabei ist a die Länge der Seite des Dreiecks, deren Fläche ermittelt werden muss, h ist die Länge der zur Basis gezeichneten Höhe.

Herons Formel

S=√ð*(ð-à)*(ð-b)*(p-c),
Dabei ist √ die Quadratwurzel, p der Halbumfang des Dreiecks und a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks. Der Halbumfang eines Dreiecks kann mit der Formel p=(a+b+c)/2 berechnet werden.

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf dem Winkel und der Länge des Segments

S = (a*b*sin(α))/2,
Dabei ist b,c die Länge der Seiten des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels zwischen den beiden Seiten.

Formel für die Fläche eines Dreiecks bei gegebenem Radius des eingeschriebenen Kreises und drei Seiten

S=p*r,
Dabei ist p der Halbumfang des Dreiecks, dessen Fläche ermittelt werden muss, und r der Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des umschriebenen Kreises

S= (a*b*c)/4*R,
Dabei ist a,b,c die Länge jeder Seite des Dreiecks und R der Radius des Kreises, der das Dreieck umschreibt.

Formel für die Fläche eines Dreiecks unter Verwendung der kartesischen Punktkoordinaten

Kartesische Koordinaten von Punkten sind Koordinaten im xOy-System, wobei x die Abszisse und y die Ordinate ist. Das kartesische Koordinatensystem xOy auf einer Ebene sind die zueinander senkrechten numerischen Achsen Ox und Oy mit einem gemeinsamen Ursprung im Punkt O. Wenn die Koordinaten von Punkten auf dieser Ebene in der Form A(x1, y1), B(x2, y2) angegeben sind ) und C(x3, y3 ), dann können Sie die Fläche des Dreiecks mit der folgenden Formel berechnen, die aus dem Vektorprodukt zweier Vektoren erhalten wird.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
wo || steht für Modul.

So finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad. Ein Dreieck kann nur einen solchen Winkel haben.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks auf zwei Seiten

S= a*b/2,
wobei a,b die Länge der Beine ist. Beine sind die Seiten, die an einem rechten Winkel angrenzen.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf Hypotenuse und spitzem Winkel

S = a*b*sin(α)/ 2,
Dabei sind a, b die Schenkel des Dreiecks und sin(α) der Sinus des Winkels, in dem sich die Geraden a, b schneiden.

Formel für die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks basierend auf der Seite und dem entgegengesetzten Winkel

S = a*b/2*tg(β),
wobei a, b die Schenkel des Dreiecks sind, tan(β) der Tangens des Winkels ist, in dem die Schenkel a, b verbunden sind.

So berechnen Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten. Diese Seiten werden Seiten genannt und die andere Seite ist die Basis. Um die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, können Sie eine der folgenden Formeln verwenden.

Grundformel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks

S=h*c/2,
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und h die Höhe des auf die Basis abgesenkten Dreiecks.

Formel eines gleichschenkligen Dreiecks basierend auf Seite und Basis

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Dabei ist c die Basis des Dreiecks und a die Größe einer der Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.

So ermitteln Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich sind. Um die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:
S = (√3*a*a)/4,
Dabei ist a die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks.

Mit den obigen Formeln können Sie die erforderliche Fläche des Dreiecks berechnen. Es ist wichtig zu bedenken, dass Sie zur Berechnung der Fläche von Dreiecken die Art des Dreiecks und die verfügbaren Daten berücksichtigen müssen, die für die Berechnung verwendet werden können.

Das Dreieck ist eine Figur, die jeder kennt. Und das trotz der großen Formenvielfalt. Rechteckig, gleichseitig, spitz, gleichschenklig, stumpf. Jeder von ihnen ist in irgendeiner Weise anders. Aber für jeden muss man die Fläche eines Dreiecks herausfinden.

Für alle Dreiecke gemeinsame Formeln, die Seitenlängen oder Höhen verwenden

Die in ihnen übernommenen Bezeichnungen: Seiten - a, b, c; Höhen auf den entsprechenden Seiten auf a, n in, n mit.

1. Die Fläche eines Dreiecks wird als Produkt aus ½, einer Seite und der davon subtrahierten Höhe berechnet. S = ½ * a * n a. Die Formeln für die anderen beiden Seiten sollten ähnlich geschrieben werden.

2. Herons Formel, in der der Halbumfang vorkommt (im Gegensatz zum Vollumfang wird er normalerweise mit dem kleinen Buchstaben p bezeichnet). Der Halbumfang muss wie folgt berechnet werden: Addieren Sie alle Seiten und teilen Sie sie durch 2. Die Formel für den Halbumfang lautet: p = (a+b+c) / 2. Dann gilt die Gleichheit für die Fläche von ​​Die Abbildung sieht so aus: S = √ (p * (p - a) * ( ð - в) * (ð - с)).

3. Wenn Sie keinen Halbumfang verwenden möchten, ist eine Formel nützlich, die nur die Längen der Seiten enthält: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c – a ) * (a + c – c) * (a + b – c)). Es ist etwas länger als das vorherige, hilft aber, wenn Sie vergessen haben, den Halbumfang zu finden.

Allgemeine Formeln für die Winkel eines Dreiecks

Zum Lesen der Formeln erforderliche Notationen: α, β, γ – Winkel. Sie liegen jeweils auf den gegenüberliegenden Seiten a, b, c.

1. Demnach ist das halbe Produkt zweier Seiten und der Sinus des Winkels zwischen ihnen gleich der Fläche des Dreiecks. Das heißt: S = ½ a * b * sin γ. Die Formeln für die anderen beiden Fälle sollten auf ähnliche Weise geschrieben werden.

2. Die Fläche eines Dreiecks kann aus einer Seite und drei bekannten Winkeln berechnet werden. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Es gibt auch eine Formel mit einer bekannten Seite und zwei benachbarten Winkeln. Es sieht so aus: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Die letzten beiden Formeln sind nicht die einfachsten. Es ist ziemlich schwierig, sich an sie zu erinnern.

Allgemeine Formeln für Situationen, in denen die Radien eingeschriebener oder umschriebener Kreise bekannt sind

Zusätzliche Bezeichnungen: r, R - Radien. Der erste wird für den Radius des eingeschriebenen Kreises verwendet. Der zweite ist für den beschriebenen.

1. Die erste Formel, nach der die Fläche eines Dreiecks berechnet wird, bezieht sich auf den Halbumfang. S = r * r. Eine andere Schreibweise ist: S = ½ r * (a + b + c).

2. Im zweiten Fall müssen Sie alle Seiten des Dreiecks multiplizieren und durch das Vierfache des Radius des umschriebenen Kreises dividieren. Im wörtlichen Ausdruck sieht es so aus: S = (a * b * c) / (4R).

3. In der dritten Situation können Sie auf die Kenntnis der Seiten verzichten, benötigen jedoch die Werte aller drei Winkel. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

Dies ist die einfachste Situation, da nur die Länge beider Beine benötigt wird. Sie werden mit den lateinischen Buchstaben a und b bezeichnet. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte der Fläche des dazu addierten Rechtecks.

Mathematisch sieht es so aus: S = ½ a * b. Es ist am einfachsten, sich daran zu erinnern. Da es wie die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​​​aussieht, erscheint nur ein Bruchteil, der die Hälfte angibt.

Sonderfall: gleichschenkliges Dreieck

Da es zwei gleiche Seiten hat, sehen einige Formeln für seine Fläche etwas vereinfacht aus. Die Formel von Heron, die die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnet, sieht beispielsweise wie folgt aus:

S = ½ Zoll √((a + ½ Zoll)*(a - ½ Zoll)).

Wenn Sie es transformieren, wird es kürzer. In diesem Fall lautet Herons Formel für ein gleichschenkliges Dreieck wie folgt:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Die Flächenformel sieht etwas einfacher aus als für ein beliebiges Dreieck, wenn die Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind. S = ½ a 2 * sin β.

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

Normalerweise ist bei Problemen die Seite darüber bekannt oder kann auf irgendeine Weise herausgefunden werden. Dann lautet die Formel zum Ermitteln der Fläche eines solchen Dreiecks wie folgt:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme beim Finden der Fläche, wenn das Dreieck auf kariertem Papier abgebildet ist

Die einfachste Situation ist, wenn ein rechtwinkliges Dreieck so gezeichnet wird, dass seine Schenkel mit den Linien des Papiers übereinstimmen. Dann müssen Sie nur noch die Anzahl der Zellen zählen, die in die Beine passen. Dann multipliziere sie und dividiere durch zwei.

Wenn das Dreieck spitz oder stumpf ist, muss es zu einem Rechteck gezeichnet werden. Dann wird die resultierende Figur 3 Dreiecke haben. Eine davon ist die in der Aufgabe angegebene. Und die anderen beiden sind Hilfs- und rechteckig. Die Flächen der letzten beiden müssen mit der oben beschriebenen Methode bestimmt werden. Berechnen Sie dann die Fläche des Rechtecks ​​und subtrahieren Sie davon die für die Hilfsflächen berechneten. Die Fläche des Dreiecks wird bestimmt.

Als wesentlich komplizierter erweist sich die Situation, in der keine der Seiten des Dreiecks mit den Linien des Papiers übereinstimmt. Dann muss es in ein Rechteck eingeschrieben werden, sodass die Eckpunkte der Originalfigur auf seinen Seiten liegen. In diesem Fall gibt es drei rechtwinklige Hilfsdreiecke.

Beispiel für ein Problem mit der Heron-Formel

Zustand. Manche Dreiecke haben bekannte Seiten. Sie betragen 3, 5 und 6 cm. Sie müssen die Fläche herausfinden.

Jetzt können Sie die Fläche des Dreiecks mit der obigen Formel berechnen. Unter der Quadratwurzel steht das Produkt aus vier Zahlen: 7, 4, 2 und 1. Das heißt, die Fläche ist √(4 * 14) = 2 √(14).

Wenn keine größere Genauigkeit erforderlich ist, können Sie die Quadratwurzel aus 14 ziehen. Sie entspricht 3,74. Dann beträgt die Fläche 7,48.

Antwort. S = 2 √14 cm 2 oder 7,48 cm 2.

Beispielproblem mit einem rechtwinkligen Dreieck

Zustand. Ein Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist 31 cm größer als das zweite. Sie müssen ihre Länge ermitteln, wenn die Fläche des Dreiecks 180 cm 2 beträgt.
Lösung. Wir müssen ein System aus zwei Gleichungen lösen. Die erste bezieht sich auf die Fläche. Die zweite betrifft das Verhältnis der Beine, das in der Aufgabe angegeben ist.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Zunächst muss der Wert von „a“ in die erste Gleichung eingesetzt werden. Es stellt sich heraus: 180 = ½ (in + 31) * in. Es gibt nur eine unbekannte Größe und ist daher leicht zu lösen. Nach dem Öffnen der Klammern erhält man die quadratische Gleichung: 2 + 31 360 = 0. Damit erhält man zwei Werte für „in“: 9 und – 40. Die zweite Zahl ist als Antwort nicht geeignet, da die Länge der Seite eines Dreiecks darf kein negativer Wert sein.

Es bleibt noch das zweite Bein zu berechnen: Addiere 31 zur resultierenden Zahl. Es ergibt sich 40. Dies sind die im Problem gesuchten Größen.

Antwort. Die Beine des Dreiecks sind 9 und 40 cm lang.

Problem, eine Seite durch Fläche, Seite und Winkel eines Dreiecks zu finden

Zustand. Die Fläche eines bestimmten Dreiecks beträgt 60 cm 2. Es ist notwendig, eine seiner Seiten zu berechnen, wenn die zweite Seite 15 cm beträgt und der Winkel zwischen ihnen 30 ° beträgt.

Lösung. Basierend auf der akzeptierten Notation ist die gewünschte Seite „a“, die bekannte Seite ist „b“ und der angegebene Winkel ist „γ“. Dann kann die Flächenformel wie folgt umgeschrieben werden:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Hier beträgt der Sinus von 30 Grad 0,5.

Nach den Transformationen ergibt sich, dass „a“ gleich 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ist. Das sind 16.

Antwort. Die erforderliche Seitenlänge beträgt 16 cm.

Problem mit einem Quadrat, das in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist

Zustand. Der Scheitelpunkt eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 24 cm fällt mit dem rechten Winkel des Dreiecks zusammen. Die anderen beiden liegen an den Seiten. Die dritte gehört zur Hypotenuse. Die Länge eines der Beine beträgt 42 cm. Wie groß ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks?

Lösung. Betrachten Sie zwei rechtwinklige Dreiecke. Der erste ist der in der Aufgabe angegebene. Der zweite basiert auf dem bekannten Schenkel des ursprünglichen Dreiecks. Sie sind ähnlich, weil sie einen gemeinsamen Winkel haben und durch parallele Linien gebildet werden.

Dann sind die Verhältnisse ihrer Beine gleich. Die Beine des kleineren Dreiecks sind gleich 24 cm (Seite des Quadrats) und 18 cm (bei gegebenem Bein 42 cm abzüglich der Seite des Quadrats 24 cm). Die entsprechenden Schenkel eines großen Dreiecks sind 42 cm und x cm. Dieses „x“ wird benötigt, um die Fläche des Dreiecks zu berechnen.

18/42 = 24/x, also x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Dann ist die Fläche gleich dem Produkt aus 56 und 42 dividiert durch zwei, also 1176 cm 2.

Antwort. Die benötigte Fläche beträgt 1176 cm 2.

Anweisungen

Partys und Winkel gelten als Grundelemente A. Ein Dreieck wird vollständig durch eines seiner folgenden Grundelemente definiert: entweder drei Seiten oder eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und einen Winkel zwischen ihnen. Für die Existenz Dreieck gegeben durch drei Seiten a, b, c, ist es notwendig und ausreichend, die Ungleichungen zu erfüllen, die Ungleichungen genannt werden Dreieck:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Zum Bauen Dreieck Auf drei Seiten a, b, c ist es notwendig, vom Punkt C des Segments CB = a aus mit einem Zirkel einen Kreis mit Radius b zu zeichnen. Zeichnen Sie dann auf die gleiche Weise einen Kreis vom Punkt B aus mit einem Radius gleich der Seite c. Ihr Schnittpunkt A ist der dritte Scheitelpunkt des Gewünschten Dreieck ABC, wobei AB=c, CB=a, CA=b – Seiten Dreieck. Das Problem gilt, wenn die Seiten a, b, c die Ungleichungen erfüllen Dreieck in Schritt 1 angegeben.

Auf diese Weise konstruierter Bereich S Dreieck ABC mit bekannten Seiten a, b, c wird mit der Formel von Heron berechnet:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
wobei a, b, c Seiten sind Dreieck, p – Halbumfang.
p = (a+b+c)/2

Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, d. h. alle seine Seiten gleich sind (a=b=c).Fläche Dreieck berechnet nach der Formel:
S=(a^2 v3)/4

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, das heißt, einer seiner Winkel gleich 90° ist und die Seiten, die es bilden, Schenkel sind, ist die dritte Seite die Hypotenuse. In diesem Fall Quadrat entspricht dem Produkt der Beine dividiert durch zwei.
S=ab/2

Finden Quadrat Dreieck, können Sie eine der vielen Formeln verwenden. Wählen Sie eine Formel abhängig davon, welche Daten bereits bekannt sind.

Du wirst brauchen

• Kenntnis der Formeln zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks

Anweisungen

Wenn Sie die Größe einer der Seiten und den Wert der zu dieser Seite abgesenkten Höhe aus dem gegenüberliegenden Winkel kennen, können Sie die Fläche wie folgt ermitteln: S = a*h/2, wobei S die Fläche ist des Dreiecks ist a eine der Seiten des Dreiecks und h die Höhe zur Seite a.

Es gibt eine bekannte Methode zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks, wenn seine drei Seiten bekannt sind. Es ist Herons Formel. Um die Aufzeichnung zu vereinfachen, wird ein Zwischenwert eingeführt – Halbumfang: p = (a+b+c)/2, wobei a, b, c – . Dann lautet Herons Formel wie folgt: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ Potenzierung.

Nehmen wir an, Sie kennen eine Seite eines Dreiecks und drei Winkel. Dann ist es leicht, die Fläche des Dreiecks zu ermitteln: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), wobei β der Winkel gegenüber der Seite a und α und γ die zur Seite benachbarten Winkel sind.

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beachten Sie

Die allgemeinste Formel, die für alle Fälle geeignet ist, ist die Heron-Formel.

Quellen:

Tipp 3: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand von drei Seiten

Das Ermitteln der Fläche eines Dreiecks ist eines der häufigsten Probleme in der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In besonderen Fällen gleichseitiger Dreiecke reicht es aus, die Längen von zwei bzw. einer Seite zu kennen.

Du wirst brauchen

• Seitenlängen von Dreiecken, Heronsche Formel, Kosinussatz

Anweisungen

Herons Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Wenn wir den Halbumfang p schreiben, erhalten wir: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Eine Formel für die Fläche eines Dreiecks kann man aus Überlegungen beispielsweise durch Anwendung des Kosinussatzes ableiten.

Nach dem Kosinussatz gilt AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Mit den eingeführten Notationen können diese auch in der Form geschrieben werden: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Daher ist cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Die Fläche eines Dreiecks wird auch durch die Formel S = a*c*sin(ABC)/2 unter Verwendung zweier Seiten und des Winkels zwischen ihnen ermittelt. Der Sinus des Winkels ABC kann dadurch ausgedrückt werden, indem man die grundlegende trigonometrische Identität verwendet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Indem man den Sinus in die Formel für die Fläche einsetzt und ausschreibt , können Sie die Formel für die Fläche des Dreiecks ABC ermitteln.

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Zur Durchführung von Reparaturarbeiten kann eine Messung erforderlich sein Quadrat Wände Dies erleichtert die Berechnung der benötigten Farb- oder Tapetenmenge. Für Messungen verwenden Sie am besten ein Maßband oder Maßband. Anschließend sollten Messungen vorgenommen werden Wände wurden eingeebnet.

Du wirst brauchen

• -Roulette;
• -Leiter.

Anweisungen

Zählen Quadrat Wände müssen Sie die genaue Höhe der Decken kennen und auch die Länge entlang des Bodens messen. Dies geschieht wie folgt: Nehmen Sie einen Zentimeter und legen Sie ihn über die Fußleiste. Normalerweise reicht ein Zentimeter nicht für die gesamte Länge aus. Befestigen Sie es daher in der Ecke und wickeln Sie es dann auf die maximale Länge ab. Setzen Sie an dieser Stelle eine Markierung mit einem Bleistift, notieren Sie das erhaltene Ergebnis und führen Sie weitere Messungen auf die gleiche Weise, beginnend mit dem letzten Messpunkt, durch.

Die Standarddecken betragen je nach Haus 2 Meter 80 Zentimeter, 3 Meter und 3 Meter 20 Zentimeter. Wenn das Haus vor den 50er Jahren gebaut wurde, ist die tatsächliche Höhe höchstwahrscheinlich etwas niedriger als angegeben. Wenn Sie rechnen Quadrat Für Reparaturarbeiten kann ein kleiner Vorrat nicht schaden - berücksichtigen Sie dies anhand der Norm. Wenn Sie dennoch die tatsächliche Höhe wissen müssen, nehmen Sie Messungen vor. Das Prinzip ähnelt der Längenmessung, allerdings benötigen Sie eine Trittleiter.

Multiplizieren Sie die resultierenden Indikatoren – das ist Quadrat dein Wände. Es stimmt, beim Malen oder zum Malen ist es notwendig, etwas zu subtrahieren Quadrat Tür- und Fensteröffnungen. Legen Sie dazu einen Zentimeter entlang der Öffnung. Wenn es sich um eine Tür handelt, die Sie später ändern möchten, fahren Sie mit dem Entfernen des Türrahmens fort und berücksichtigen Sie dabei nur Quadrat direkt zur Öffnung selbst. Die Fläche des Fensters wird entlang des Umfangs seines Rahmens berechnet. Nachdem Quadrat Wenn Sie Fenster und Türöffnung berechnet haben, subtrahieren Sie das Ergebnis von der resultierenden Gesamtfläche des Raums.

Bitte beachten Sie, dass die Messung der Länge und Breite des Raumes von zwei Personen durchgeführt wird, dies erleichtert das Anbringen eines Zentimeter- oder Maßbandes und dementsprechend ein genaueres Ergebnis. Führen Sie die gleiche Messung mehrmals durch, um sicherzustellen, dass die erhaltenen Zahlen korrekt sind.

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Das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln ist wirklich keine triviale Aufgabe. Tatsache ist, dass ein Dreieck eine zweidimensionale Figur ist, d.h. es liegt vollständig in einer Ebene, hat also einfach kein Volumen. Natürlich kann man nichts finden, was es nicht gibt. Aber lasst uns nicht aufgeben! Wir können die folgende Annahme akzeptieren: Das Volumen einer zweidimensionalen Figur ist ihre Fläche. Wir werden nach der Fläche des Dreiecks suchen.

Du wirst brauchen

• Blatt Papier, Bleistift, Lineal, Taschenrechner

Anweisungen

Zeichnen Sie mit Lineal und Bleistift auf ein Blatt Papier. Durch sorgfältige Untersuchung des Dreiecks können Sie sicherstellen, dass es sich tatsächlich nicht um ein Dreieck handelt, da es auf einer Ebene gezeichnet ist. Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks: Eine Seite sei „a“, die andere Seite „b“ und die dritte Seite „c“. Beschriften Sie die Eckpunkte des Dreiecks mit den Buchstaben „A“, „B“ und „C“.

Messen Sie eine beliebige Seite des Dreiecks mit einem Lineal und notieren Sie das Ergebnis. Stellen Sie anschließend vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt aus eine Senkrechte zur gemessenen Seite her. Diese Senkrechte entspricht der Höhe des Dreiecks. Im in der Abbildung gezeigten Fall wird die Senkrechte „h“ vom Scheitelpunkt „A“ zur Seite „c“ wiederhergestellt. Messen Sie die resultierende Höhe mit einem Lineal und notieren Sie das Messergebnis.

Es kann für Sie schwierig sein, die exakte Senkrechte wiederherzustellen. In diesem Fall sollten Sie eine andere Formel verwenden. Messen Sie alle Seiten des Dreiecks mit einem Lineal. Berechnen Sie anschließend den Halbumfang des Dreiecks „p“, indem Sie die resultierenden Längen der Seiten addieren und ihre Summe in zwei Hälften teilen. Wenn Sie über den Wert des Halbumfangs verfügen, können Sie die Formel von Heron verwenden. Dazu müssen Sie die Quadratwurzel aus Folgendem ziehen: p(p-a)(p-b)(p-c).

Sie haben die erforderliche Fläche des Dreiecks erhalten. Das Problem, das Volumen eines Dreiecks zu ermitteln, ist nicht gelöst, das Volumen jedoch, wie oben erwähnt, nicht. In der dreidimensionalen Welt kann man ein Volumen finden, das im Wesentlichen ein Dreieck ist. Wenn wir uns vorstellen, dass unser ursprüngliches Dreieck zu einer dreidimensionalen Pyramide geworden ist, dann ist das Volumen einer solchen Pyramide das Produkt der Länge ihrer Basis und der Fläche des Dreiecks, die wir erhalten haben.

beachten Sie

Je sorgfältiger Sie messen, desto genauer werden Ihre Berechnungen.

Quellen:

• Rechner „Alles zu allem“ – ein Portal für Richtwerte
• Dreiecksvolumen im Jahr 2019

Die drei Punkte, die ein Dreieck im kartesischen Koordinatensystem eindeutig definieren, sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position relativ zu jeder der Koordinatenachsen kennen, können Sie alle Parameter dieser flachen Figur berechnen, einschließlich der durch ihren Umfang begrenzten Quadrat. Dies kann auf verschiedene Arten erfolgen.

Anweisungen

Verwenden Sie die Formel von Heron, um die Fläche zu berechnen Dreieck. Dabei geht es um die Abmessungen der drei Seiten der Figur. Beginnen Sie Ihre Berechnungen also mit . Die Länge jeder Seite muss gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Längen ihrer Projektionen auf die Koordinatenachsen sein. Wenn wir die Koordinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) und C(X₃,Y₃,Z₃) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Um die Berechnungen zu vereinfachen, führen Sie eine Hilfsvariable ein – Semiperimeter (P). Aus der Tatsache, dass dies die Hälfte der Summe der Längen aller Seiten ist: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, können Sie verschiedene Formeln verwenden. Von allen Methoden besteht die einfachste und am häufigsten verwendete Methode darin, die Höhe mit der Länge der Basis zu multiplizieren und das Ergebnis dann durch zwei zu dividieren. Diese Methode ist jedoch bei weitem nicht die einzige. Nachfolgend können Sie lesen, wie Sie mit verschiedenen Formeln die Fläche eines Dreiecks ermitteln.

Unabhängig davon werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, die Fläche bestimmter Dreieckstypen zu berechnen – rechteckig, gleichschenklig und gleichseitig. Wir begleiten jede Formel mit einer kurzen Erklärung, die Ihnen hilft, ihr Wesen zu verstehen.

Universelle Methoden zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks

Die folgenden Formeln verwenden eine spezielle Notation. Wir werden jeden von ihnen entschlüsseln:

• a, b, c – die Längen der drei Seiten der Figur, die wir betrachten;
• r ist der Radius des Kreises, der in unser Dreieck eingeschrieben werden kann;
• R ist der Radius des Kreises, der um ihn herum beschrieben werden kann;
• α ist die Größe des Winkels, den die Seiten b und c bilden;
• β ist die Größe des Winkels zwischen a und c;
• γ ist die Größe des Winkels, den die Seiten a und b bilden;
• h ist die Höhe unseres Dreiecks, abgesenkt vom Winkel α zur Seite a;
• p – die halbe Summe der Seiten a, b und c.

Es ist logisch klar, warum man auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks ermitteln kann. Das Dreieck lässt sich leicht zu einem Parallelogramm ergänzen, bei dem eine Seite des Dreiecks als Diagonale fungiert. Die Fläche eines Parallelogramms wird ermittelt, indem man die Länge einer seiner Seiten mit dem Wert der darauf gezeichneten Höhe multipliziert. Die Diagonale teilt dieses bedingte Parallelogramm in 2 identische Dreiecke. Daher ist es ganz offensichtlich, dass die Fläche unseres ursprünglichen Dreiecks gleich der Hälfte der Fläche dieses Hilfsparallelogramms sein muss.

S=½ a b sin γ

Nach dieser Formel ergibt sich die Fläche eines Dreiecks durch Multiplikation der Längen seiner beiden Seiten, also a und b, mit dem Sinus des von ihnen gebildeten Winkels. Diese Formel leitet sich logisch von der vorherigen ab. Wenn wir die Höhe vom Winkel β zur Seite b verringern, erhalten wir gemäß den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn wir die Länge der Seite a mit dem Sinus des Winkels γ multiplizieren, die Höhe des Dreiecks, d. h. h .

Die Fläche der betreffenden Figur ergibt sich aus der Multiplikation des halben Radius des Kreises, der in sie eingeschrieben werden kann, mit ihrem Umfang. Mit anderen Worten: Wir ermitteln das Produkt aus dem Halbumfang und dem Radius des genannten Kreises.

S= a b c/4R

Nach dieser Formel lässt sich der benötigte Wert ermitteln, indem man das Produkt der Seiten der Figur durch 4 Radien des um sie herum beschriebenen Kreises dividiert.

Diese Formeln sind universell, da sie es ermöglichen, die Fläche jedes Dreiecks (skalenförmig, gleichschenklig, gleichseitig, rechteckig) zu bestimmen. Dies kann durch komplexere Berechnungen erfolgen, auf die wir nicht näher eingehen.

Flächen von Dreiecken mit spezifischen Eigenschaften

Wie finde ich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? Die Besonderheit dieser Figur besteht darin, dass ihre beiden Seiten gleichzeitig ihre Höhen darstellen. Wenn a und b Beine sind und c zur Hypotenuse wird, dann finden wir die Fläche wie folgt:

Wie finde ich die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks? Es hat zwei Seiten mit der Länge a und eine Seite mit der Länge b. Folglich kann seine Fläche bestimmt werden, indem das Produkt des Quadrats der Seite a durch den Sinus des Winkels γ durch 2 geteilt wird.

Wie finde ich die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks? Darin ist die Länge aller Seiten gleich a und der Betrag aller Winkel ist α. Seine Höhe entspricht dem halben Produkt aus der Länge der Seite a und der Quadratwurzel aus 3. Um die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie das Quadrat der Seite a mit der Quadratwurzel aus 3 multiplizieren und durch dividieren 4.

Konzept der Fläche

Der Begriff der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für die Flächeneinheit einer beliebigen geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei grundlegende Eigenschaften für das Konzept der Flächen geometrischer Figuren.

Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.

Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der Originalfigur gleich der Summe der Flächen aller ihrer Bestandteile.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1

Offensichtlich ist eine der Seiten des Dreiecks eine Diagonale eines Rechtecks, dessen eine Seite eine Länge von 5 $ hat (da es 5 $-Zellen gibt) und die andere Seite 6 $ hat (da es 6 $-Zellen gibt). Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​beträgt

Dann ist die Fläche des Dreiecks gleich

Antwort: 15 $.

Als nächstes betrachten wir mehrere Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich die Verwendung der Höhe und der Basis, die Verwendung der Heron-Formel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand seiner Höhe und Basis

Satz 1

Die Fläche eines Dreiecks kann als halbes Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe dieser Seite ermittelt werden.

Mathematisch sieht es so aus

$S=\frac(1)(2)αh$

Dabei ist $a$ die Länge der Seite und $h$ die dorthin gezogene Höhe.

Nachweisen.

Betrachten Sie ein Dreieck $ABC$, in dem $AC=α$. Auf dieser Seite wird die Höhe $BH$ eingezeichnet, die gleich $h$ ist. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.

Die Fläche des Rechtecks ​​$AXBH$ beträgt $h\cdot AH$, und die Fläche des Rechtecks ​​$HBYC$ beträgt $h\cdot HC$. Dann

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks gemäß Eigenschaft 2 gleich

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der Abbildung unten, wenn die Zelle eine Fläche von eins hat

Die Basis dieses Dreiecks ist gleich 9 $ (da 9 $ aus 9 $ Quadraten besteht). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwort: 40,5 $.

Herons Formel

Satz 2

Wenn wir drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ erhalten, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier bedeutet $ρ$ den Halbumfang dieses Dreiecks.

Nachweisen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$

Aus dem Dreieck $CBH$ ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann $α+β+γ=2ρ$, was bedeutet

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nach Satz 1 erhalten wir

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$