Lösen Sie das System mit der multiplen Regressionsmethode von Cramer. Lineare Gleichungen. Lösen linearer Gleichungssysteme. Cramer-Methode

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Dadurch wird der Lösungsprozess deutlich beschleunigt.

Mit der Methode von Cramer kann ein System aus so vielen linearen Gleichungen gelöst werden, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann die Cramer-Methode in der Lösung verwendet werden, wenn sie jedoch gleich Null ist, dann nicht. Darüber hinaus kann die Methode von Cramer verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Eine Determinante, die aus Koeffizienten für Unbekannte besteht, wird als Determinante des Systems bezeichnet und mit (Delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man durch Ersetzen der Koeffizienten der entsprechenden Unbekannten durch freie Terme:

;

.

Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, dann hat das lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner enthält die Determinante des Systems, und der Zähler enthält die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten dieser Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.

Beispiel 1. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem:

Entsprechend Satz von Cramer wir haben:

Also die Lösung zu System (2):

Online-Rechner, Lösungsmethode nach Cramer.

Drei Fälle beim Lösen linearer Gleichungssysteme

Wie aus klar hervorgeht Satz von Cramer Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Ein lineares Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(Das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Ein lineares Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(Das System ist konsistent und unsicher)

** ,

diese. Die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(Das System ist inkonsistent)

Also das System M lineare Gleichungen mit N sogenannte Variablen nicht gelenkig, wenn sie keine einzige Lösung hat, und gemeinsam, wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein simultanes Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, heißt bestimmt, und mehr als eine – unsicher.

Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode

Das System sei gegeben

.

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

Wo
-

Systemdeterminante. Die restlichen Determinanten erhalten wir, indem wir die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Terme ersetzen:

Beispiel 2.

.

Daher ist das System eindeutig. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Daher ist (1; 0; -1) die einzige Lösung für das System.

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

Wenn es in einem linearen Gleichungssystem keine Variablen in einer oder mehreren Gleichungen gibt, dann sind in der Determinante die entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

.

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also ungleich Null, daher ist das System definit. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Mit Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

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Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme mit der Cramer-Methode

Wie bereits erwähnt, ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen, wenn die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten der Unbekannten ungleich Null sind. Lassen Sie uns das anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir Determinanten für Unbekannte

Die Determinanten der Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, das heißt, es hat keine Lösungen.

Um Lösungen für die Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie einen Online-Rechner verwenden, der die Lösungsmethode von Cramer verwendet.

Bei Problemen mit linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen neben Buchstaben, die Variablen bezeichnen, auch andere Buchstaben vorkommen. Diese Buchstaben stellen eine Zahl dar, meist eine echte Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen bei der Suche nach allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene oder Objekte. Das heißt, Sie haben ein neues Material oder Gerät erfunden, und um seine Eigenschaften zu beschreiben, die unabhängig von der Größe oder Menge der Probe gleich sind, müssen Sie ein System linearer Gleichungen lösen, in dem es anstelle einiger Koeffizienten für Variablen gibt Briefe. Nach Beispielen muss man nicht lange suchen.

Das folgende Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine bestimmte reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 8. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Methode:

Lösung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden

Cramers Methode.

Die Cramer-Methode wird verwendet, um Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu lösen ( SLAU).

Formeln am Beispiel eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Gegeben: Lösen Sie das System mit der Cramer-Methode

Bezüglich Variablen X Und bei.
Lösung:
Finden wir die Determinante der Matrix, die sich aus den Koeffizienten des Systems zur Berechnung der Determinanten zusammensetzt. :

Wenden wir die Formeln von Cramer an und ermitteln die Werte der Variablen:
Und .
Beispiel 1:
Lösen Sie das Gleichungssystem:

bezüglich Variablen X Und bei.
Lösung:


Ersetzen wir die erste Spalte dieser Determinante durch eine Spalte mit Koeffizienten von der rechten Seite des Systems und ermitteln ihren Wert:

Machen wir dasselbe und ersetzen die zweite Spalte in der ersten Determinante:

Anwendbar Cramers Formeln und finden Sie die Werte der Variablen:
Und .
Antwort:
Kommentar: Mit dieser Methode können Systeme höherer Dimensionen gelöst werden.

Kommentar: Wenn sich herausstellt, dass , aber nicht durch Null geteilt werden kann, dann sagt man, dass das System keine eindeutige Lösung hat. In diesem Fall hat das System entweder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösungen.

Beispiel 2(unendlich viele Lösungen):

Lösen Sie das Gleichungssystem:

bezüglich Variablen X Und bei.
Lösung:
Finden wir die Determinante der Matrix, bestehend aus den Koeffizienten des Systems:

Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode.

Die erste Gleichung des Systems ist eine Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt (da 4 immer gleich 4 ist). Das bedeutet, dass nur noch eine Gleichung übrig ist. Dies ist eine Gleichung für die Beziehung zwischen Variablen.
Wir haben herausgefunden, dass die Lösung des Systems ein beliebiges Wertepaar von Variablen ist, die durch die Gleichheit miteinander in Beziehung stehen.
Die allgemeine Lösung wird wie folgt geschrieben:
Bestimmte Lösungen können bestimmt werden, indem man einen beliebigen Wert von y wählt und x aus dieser Verbindungsgleichheit berechnet.

usw.
Es gibt unendlich viele solcher Lösungen.
Antwort: gemeinsame Entscheidung
Private Lösungen:

Beispiel 3(keine Lösungen, System ist inkompatibel):

Lösen Sie das Gleichungssystem:

Lösung:
Finden wir die Determinante der Matrix, bestehend aus den Koeffizienten des Systems:

Cramers Formeln können nicht verwendet werden. Lösen wir dieses System mit der Substitutionsmethode

Die zweite Gleichung des Systems ist eine Gleichheit, die für keine Werte der Variablen gilt (natürlich, da -15 nicht gleich 2 ist). Wenn eine der Gleichungen des Systems für keinen der Werte der Variablen gilt, dann hat das gesamte System keine Lösungen.
Antwort: keine Lösungen

Bei der gleichen Anzahl von Gleichungen wie der Anzahl der Unbekannten mit der Hauptdeterminante der Matrix, die ungleich Null ist, sind die Koeffizienten des Systems (für solche Gleichungen gibt es eine Lösung und es gibt nur eine).

Satz von Cramer.

Wenn die Determinante der Matrix eines quadratischen Systems ungleich Null ist, bedeutet dies, dass das System konsistent ist und eine Lösung hat und durch gefunden werden kann Cramers Formeln:

wo Δ - Determinante der Systemmatrix,

Δ ich ist die Determinante der Systemmatrix, in der statt ich Die te Spalte enthält die Spalte der rechten Seiten.

Wenn die Determinante eines Systems Null ist, bedeutet dies, dass das System kooperativ oder inkompatibel werden kann.

Diese Methode wird üblicherweise bei kleinen Systemen mit umfangreichen Berechnungen und wenn die Bestimmung einer der Unbekannten erforderlich ist, verwendet. Die Komplexität der Methode besteht darin, dass viele Determinanten berechnet werden müssen.

Beschreibung der Cramer-Methode.

Es gibt ein Gleichungssystem:

Ein System aus 3 Gleichungen kann mit der Cramer-Methode gelöst werden, die oben für ein System aus 2 Gleichungen besprochen wurde.

Aus den Koeffizienten der Unbekannten bilden wir eine Determinante:

Es wird sein Systemdeterminante. Wann D≠0, was bedeutet, dass das System konsistent ist. Lassen Sie uns nun 3 zusätzliche Determinanten erstellen:

,,

Wir lösen das System durch Cramers Formeln:

Beispiele für die Lösung von Gleichungssystemen mit der Cramer-Methode.

Beispiel 1.

Gegebenes System:

Lösen wir es mit der Cramer-Methode.

Zuerst müssen Sie die Determinante der Systemmatrix berechnen:

Weil Δ≠0, was bedeutet, dass das System nach dem Satz von Cramer konsistent ist und eine Lösung hat. Wir berechnen zusätzliche Determinanten. Die Determinante Δ 1 wird aus der Determinante Δ erhalten, indem ihre erste Spalte durch eine Spalte mit freien Koeffizienten ersetzt wird. Wir bekommen:

Auf die gleiche Weise erhalten wir die Determinante von Δ 2 aus der Determinante der Systemmatrix, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Koeffizienten ersetzen:

Die Cramer-Methode oder die sogenannte Cramer-Regel ist eine Methode zur Suche nach unbekannten Größen aus Gleichungssystemen. Es kann nur verwendet werden, wenn die Anzahl der gesuchten Werte der Anzahl der algebraischen Gleichungen im System entspricht, d. h. die aus dem System gebildete Hauptmatrix muss quadratisch sein und darf keine Nullzeilen enthalten, und auch wenn ihre Determinante dies muss nicht Null sein.

Satz 1

Satz von Cramer Wenn die Hauptdeterminante $D$ der aus den Koeffizienten der Gleichungen zusammengestellten Hauptmatrix ungleich Null ist, dann ist das Gleichungssystem konsistent und hat eine eindeutige Lösung. Die Lösung eines solchen Systems wird durch die sogenannten Cramer-Formeln zur Lösung linearer Gleichungssysteme berechnet: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Was ist die Cramer-Methode?

Der Kern der Cramer-Methode ist wie folgt:

1. Um mit der Cramer-Methode eine Lösung für das System zu finden, berechnen wir zunächst die Hauptdeterminante der Matrix $D$. Wenn sich herausstellt, dass die berechnete Determinante der Hauptmatrix bei der Berechnung nach der Cramer-Methode gleich Null ist, dann hat das System keine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Um in diesem Fall eine allgemeine oder grundlegende Antwort für das System zu finden, empfiehlt sich die Verwendung der Gaußschen Methode.
2. Dann müssen Sie die äußerste Spalte der Hauptmatrix durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und die Determinante $D_1$ berechnen.
3. Wiederholen Sie das Gleiche für alle Spalten und erhalten Sie Determinanten von $D_1$ bis $D_n$, wobei $n$ die Nummer der Spalte ganz rechts ist.
4. Nachdem alle Determinanten $D_1$...$D_n$ gefunden wurden, können die unbekannten Variablen mit der Formel $x_i = \frac(D_i)(D)$ berechnet werden.

Techniken zur Berechnung der Determinante einer Matrix

Um die Determinante einer Matrix mit einer Dimension größer als 2 x 2 zu berechnen, können Sie mehrere Methoden verwenden:

• Die Dreiecksregel oder Sarrus-Regel erinnert an dieselbe Regel. Der Kern der Dreiecksmethode besteht darin, dass bei der Berechnung der Determinante die Produkte aller Zahlen, die in der Abbildung rechts durch die rote Linie verbunden sind, mit einem Pluszeichen geschrieben werden und alle Zahlen in der Abbildung links auf ähnliche Weise verbunden sind werden mit einem Minuszeichen geschrieben. Beide Regeln eignen sich für Matrizen der Größe 3 x 3. Bei der Sarrus-Regel wird zunächst die Matrix selbst umgeschrieben, daneben werden ihre erste und zweite Spalte noch einmal umgeschrieben. Durch die Matrix und diese Zusatzspalten werden Diagonalen gezogen; Matrixelemente, die auf der Hauptdiagonalen oder parallel dazu liegen, werden mit einem Pluszeichen geschrieben, und Elemente, die auf oder parallel zu der Nebendiagonalen liegen, werden mit einem Minuszeichen geschrieben.

Abbildung 1. Dreiecksregel zur Berechnung der Determinante für die Cramer-Methode

• Unter Verwendung einer Methode, die als Gaußsche Methode bekannt ist, wird diese Methode manchmal auch als Reduzieren der Ordnung der Determinante bezeichnet. In diesem Fall wird die Matrix transformiert und auf die Dreiecksform reduziert, und dann werden alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen multipliziert. Beachten Sie, dass Sie bei der Suche nach einer Determinante auf diese Weise keine Zeilen oder Spalten mit Zahlen multiplizieren oder dividieren können, ohne sie als Multiplikator oder Divisor herauszunehmen. Bei der Suche nach einer Determinante ist das Subtrahieren und Addieren von Zeilen und Spalten nur möglich, nachdem die subtrahierte Zeile zuvor mit einem Faktor ungleich Null multipliziert wurde. Wenn Sie die Zeilen oder Spalten der Matrix neu anordnen, sollten Sie außerdem daran denken, dass das Endzeichen der Matrix geändert werden muss.
• Wenn Sie ein SLAE mit 4 Unbekannten mithilfe der Cramer-Methode lösen, ist es am besten, die Gauß-Methode zum Suchen und Finden von Determinanten zu verwenden oder die Determinante durch die Suche nach Minderjährigen zu bestimmen.

Lösen von Gleichungssystemen mit der Cramer-Methode

Wenden wir die Cramer-Methode auf ein System aus zwei Gleichungen und zwei erforderlichen Größen an:

$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(cases)$

Lassen Sie es uns der Einfachheit halber in erweiterter Form anzeigen:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Finden wir die Determinante der Hauptmatrix, auch Hauptdeterminante des Systems genannt:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Wenn die Hauptdeterminante nicht gleich Null ist, müssen zur Lösung des Sloughs mit der Cramer-Methode einige weitere Determinanten aus zwei Matrizen berechnet werden, wobei die Spalten der Hauptmatrix durch eine Reihe freier Terme ersetzt werden:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Suchen wir nun die Unbekannten $x_1$ und $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Beispiel 1

Cramers Methode zur Lösung von SLAEs mit einer Hauptmatrix 3. Ordnung (3 x 3) und drei erforderlichen.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

$\begin(cases) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(cases)$

Berechnen wir die Hauptdeterminante der Matrix anhand der oben unter Punkt 1 genannten Regel:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Und nun drei weitere Determinanten:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - 296 $

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 $

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - 60 $

Finden wir die benötigten Mengen:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Betrachten Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Unter Verwendung von Determinanten 3. Ordnung kann die Lösung eines solchen Systems in der gleichen Form geschrieben werden wie für ein System aus zwei Gleichungen, d. h.

(2.4)

wenn 0. Hier

Das ist Cramers Regel Lösen eines Systems aus drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten.

Beispiel 2.3. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Cramer-Regel:

Lösung . Finden der Determinante der Hauptmatrix des Systems

Da 0, können wir, um eine Lösung für das System zu finden, die Cramer-Regel anwenden, aber zuerst berechnen wir drei weitere Determinanten:

Untersuchung:

Daher wurde die Lösung richtig gefunden. 

Cramers Regeln für lineare Systeme 2. und 3. Ordnung legen nahe, dass die gleichen Regeln für lineare Systeme beliebiger Ordnung formuliert werden können. Passiert wirklich

Satz von Cramer. Quadratisches System linearer Gleichungen mit einer Determinante ungleich Null der Hauptmatrix des Systems (0) hat eine und nur eine Lösung und diese Lösung wird anhand der Formeln berechnet

(2.5)

Wo  – Determinante der Hauptmatrix,  ich – Matrixdeterminante, vom Hauptgerät erhalten, ersetzendichSpalte der freien Mitglieder.

Beachten Sie, dass bei =0 die Cramer-Regel nicht gilt. Das bedeutet, dass das System entweder überhaupt keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen hat.

Nach der Formulierung des Satzes von Cramer stellt sich natürlich die Frage nach der Berechnung von Determinanten höherer Ordnung.

2.4. Determinanten n-ter Ordnung

Zusätzliches Nebenfach M ij Element A ij ist eine Determinante, die man durch Löschen aus einem Gegebenen erhält ich te Linie und J Spalte. Algebraisches Komplement A ij Element A ij das Moll dieses Elements mit dem Vorzeichen (–1) wird aufgerufen ich + J, d.h. A ij = (–1) ich + J M ij .

Lassen Sie uns zum Beispiel die Nebenkomplemente und algebraischen Komplemente der Elemente finden A 23 und A 31 Qualifikanten

Wir bekommen



Mit dem Konzept des algebraischen Komplements können wir formulieren DeterminantenentwicklungssatzN-te Reihenfolge nach Zeile oder Spalte.

Satz 2.1. MatrixdeterminanteAist gleich der Summe der Produkte aller Elemente einer bestimmten Zeile (oder Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen:

(2.6)

Dieser Satz liegt einer der Hauptmethoden zur Berechnung von Determinanten zugrunde, der sogenannten. Bestellreduzierungsmethode. Als Ergebnis der Erweiterung der Determinante N Ordnung über eine beliebige Zeile oder Spalte erhalten wir n Determinanten ( N–1)te Ordnung. Um weniger solcher Determinanten zu haben, empfiehlt es sich, die Zeile oder Spalte auszuwählen, die die meisten Nullen enthält. In der Praxis wird die Erweiterungsformel für die Determinante normalerweise wie folgt geschrieben:

diese. algebraische Additionen werden explizit in Minor-Formen geschrieben.

Beispiele 2.4. Berechnen Sie die Determinanten, indem Sie sie zunächst in eine Zeile oder Spalte sortieren. Wählen Sie in solchen Fällen normalerweise die Spalte oder Zeile aus, die die meisten Nullen enthält. Die ausgewählte Zeile oder Spalte wird durch einen Pfeil angezeigt.



2.5. Grundlegende Eigenschaften von Determinanten

Wenn wir die Determinante über eine beliebige Zeile oder Spalte erweitern, erhalten wir n Determinanten ( N–1)te Ordnung. Dann ist jede dieser Determinanten ( N–1)ter Ordnung kann auch in eine Summe von Determinanten zerlegt werden ( N–2)te Ordnung. Wenn man diesen Prozess fortsetzt, kann man zu den Determinanten 1. Ordnung gelangen, d. h. zu den Elementen der Matrix, deren Determinante berechnet wird. Um Determinanten 2. Ordnung zu berechnen, müssen Sie also die Summe von zwei Termen berechnen, für Determinanten 3. Ordnung die Summe von 6 Termen und für Determinanten 4. Ordnung 24 Terme. Die Anzahl der Terme nimmt mit zunehmender Ordnung der Determinante stark zu. Dies bedeutet, dass die Berechnung von Determinanten sehr hoher Ordnung zu einer ziemlich arbeitsintensiven Aufgabe wird, die sogar die Fähigkeiten eines Computers übersteigt. Determinanten können jedoch auch auf andere Weise berechnet werden, indem die Eigenschaften von Determinanten verwendet werden.

Eigentum 1 . Die Determinante ändert sich nicht, wenn die darin enthaltenen Zeilen und Spalten vertauscht werden, d. h. beim Transponieren einer Matrix:

.

Diese Eigenschaft gibt die Gleichheit der Zeilen und Spalten der Determinante an. Mit anderen Worten: Jede Aussage über die Spalten einer Determinante gilt auch für ihre Zeilen und umgekehrt.

Eigentum 2 . Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen (Spalten) vertauscht werden.

Folge . Wenn die Determinante zwei identische Zeilen (Spalten) hat, ist sie gleich Null.

Eigentum 3 . Der gemeinsame Faktor aller Elemente in einer beliebigen Zeile (Spalte) kann aus dem Determinantenzeichen entnommen werden.

Zum Beispiel,

Folge . Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile (Spalte) einer Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

Eigentum 4 . Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer Zeile (Spalte) zu den Elementen einer anderen Zeile (Spalte) addiert und mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden.

Zum Beispiel,

Eigentum 5 . Die Determinante des Matrizenprodukts ist gleich dem Produkt der Matrizendeterminanten: