Multiplikation zweier identischer Logarithmen. Logarithmusregeln für die Arbeit mit Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke, Lösungsbeispiele. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen befassen. Bei den Aufgaben geht es darum, die Bedeutung eines Ausdrucks herauszufinden. Es ist zu beachten, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Was das Einheitliche Staatsexamen betrifft, wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Lassen Sie uns Beispiele geben, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Grundlegende logarithmische Identität:

Eigenschaften von Logarithmen, die man sich immer merken muss:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen der Faktoren.

* * *

*Der Logarithmus eines Exponenten ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zu einer neuen Stiftung

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Die Berechnung von Logarithmen hängt eng mit der Verwendung von Exponenteneigenschaften zusammen.

Lassen Sie uns einige davon auflisten:

Der Kern dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich bei der Übertragung des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Eine Folgerung aus dieser Eigenschaft:

* * *

Bei der Potenzierung bleibt die Basis gleich, die Exponenten werden jedoch multipliziert.

* * *

Wie Sie gesehen haben, ist das Konzept eines Logarithmus selbst einfach. Die Hauptsache ist, dass Sie eine gute Übung brauchen, die Ihnen eine gewisse Fähigkeit verleiht. Natürlich sind Formelkenntnisse erforderlich. Wenn die Fähigkeit zur Umrechnung elementarer Logarithmen nicht entwickelt ist, können Sie beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Üben Sie, lösen Sie zunächst die einfachsten Beispiele aus dem Mathematikkurs und gehen Sie dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie „hässliche“ Logarithmen gelöst werden; diese werden im Einheitlichen Staatsexamen nicht auftauchen, aber sie sind von Interesse, verpassen Sie sie nicht!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

(aus dem Griechischen λόγος – „Wort“, „Beziehung“ und ἀριθμός – „Zahl“) Zahlen B bezogen auf A(log α B) heißt eine solche Zahl C, Und B= ein c, das heißt, zeichnet log α auf B=C Und b=aC sind gleichwertig. Der Logarithmus macht Sinn, wenn a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Mit anderen Worten Logarithmus Zahlen B bezogen auf A als Exponent formuliert, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt, dass die Berechnung x= log α B, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b.

Zum Beispiel:

log 2 8 = 3, weil 8 = 2 3 .

Wir betonen, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus eine sofortige Bestimmung ermöglicht Logarithmuswert, wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen als bestimmte Potenz der Basis fungiert. Tatsächlich ermöglicht die Formulierung des Logarithmus, das Wenn zu rechtfertigen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema verbunden ist Potenzen einer Zahl.

Die Berechnung des Logarithmus heißt Logarithmus. Logarithmus ist die mathematische Operation zur Logarithmusbildung. Bei der Logarithmierung werden Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die umgekehrte mathematische Operation des Logarithmus. Bei der Potenzierung wird eine bestimmte Base auf den Grad der Expression angehoben, über den die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in ein Produkt von Faktoren umgewandelt.

Sehr oft werden reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), Eulerzahl e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) verwendet.

In dieser Phase ist es ratsam, darüber nachzudenken Logarithmusproben Protokoll 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Und die Einträge lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, im zweiten eine negative Zahl in der Basis, und in der dritten steht eine negative Zahl unter dem Logarithmuszeichen und der Einheit an der Basis.

Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.

Es lohnt sich, die Bedingungen a > 0, a ≠ 1, b > 0, unter denen wir erhalten, gesondert zu betrachten Definition von Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen vorgenommen wurden. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form x = log α B, die grundlegende logarithmische Identität genannt, die sich direkt aus der oben angegebenen Definition des Logarithmus ergibt.

Nehmen wir die Bedingung a≠1. Da eins hoch zu jeder Potenz gleich eins ist, gilt die Gleichheit x=log α B kann nur existieren, wenn b=1, aber log 1 1 ist eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir a≠1.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a>0. Bei a=0 Nach der Formulierung kann der Logarithmus nur dann existieren, wenn b=0. Und dementsprechend dann log 0 0 kann jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null zu jeder Potenz ungleich Null Null ist. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Bedingung beseitigt werden a≠0. Und wann A<0 wir müssten die Analyse rationaler und irrationaler Werte des Logarithmus ablehnen, da ein Grad mit rationalem und irrationalem Exponenten nur für nichtnegative Basen definiert ist. Aus diesem Grund wird die Bedingung festgelegt a>0.

Und die letzte Bedingung b>0 folgt aus Ungleichheit a>0, da x=log α B und der Wert des Abschlusses mit positiver Basis A immer positiv.

Merkmale von Logarithmen.

Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbar Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um sorgfältige Berechnungen erheblich zu erleichtern. Wenn man sich „in die Welt der Logarithmen“ begibt, wird die Multiplikation in eine viel einfachere Addition, die Division in eine Subtraktion und die Potenzierung bzw. Wurzelziehung in eine Multiplikation bzw. Division mit dem Exponenten umgewandelt.

Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurde erstmals 1614 vom schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern erweitert und detailliert wurden, wurden häufig in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen verwendet und blieben bis zum Einsatz elektronischer Taschenrechner und Computer relevant.

Heute werden wir darüber reden logarithmische Formeln und wir geben Hinweise Lösungsbeispiele.

Sie selbst implizieren Lösungsmuster gemäß den Grundeigenschaften von Logarithmen. Bevor wir zur Lösung Logarithmusformeln anwenden, möchten wir Sie an alle Eigenschaften erinnern:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele für die Lösung von Logarithmen anhand von Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (bezeichnet durch log a b) ist ein Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Laut Definition ist log a b = x, was a x = b entspricht, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus- Dies ist ein gewöhnlicher Logarithmus mit der Basis 10. Er wird als lg bezeichnet.

log 10 100 = 2, weil 10 2 = 100

Natürlicher Logarithmus- ebenfalls ein gewöhnlicher Logarithmus, ein Logarithmus, aber mit der Basis e (e = 2,71828... - eine irrationale Zahl). Bezeichnet als ln.

Es ist ratsam, sich die Formeln bzw. Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal anhand von Beispielen durchgehen.

• Grundlegende logarithmische Identität
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften der Potenz einer logarithmischen Zahl und der Basis des Logarithmus

  Exponent der logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Übergang zu einer neuen Stiftung
  log a b = log c b/log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann ist log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen, sind die Formeln für Logarithmen nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir uns nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen angesehen haben, können wir mit logarithmischen Gleichungen fortfahren. Beispiele zur Lösung logarithmischer Gleichungen werden wir im Artikel „“ genauer betrachten. Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: Wir haben uns entschieden, eine andere Ausbildung zu absolvieren und optional im Ausland zu studieren.

*Masterstudent unter der wissenschaftlichen Leitung von A. A. Isakhov,Doktor der Mathematik und Computermodellierung

Haben Sie jemals darüber nachgedacht, wie die Menschen in der Antike zählten, als es weder Taschenrechner noch Computer gab? Berechnungen wurden manuell, auf Papier oder im Kopf durchgeführt. Obwohl die Aufgaben, vor denen sie standen, ebenso komplex waren wie moderne.

Der Mangel an Computern veranlasste die alten Mathematiker, Berechnungen zu vereinfachen. Sie erstellten Tabellen mit bereits berechneten Ausdrücken (z. B. eine Multiplikationstabelle) und suchten nach Möglichkeiten, komplexe Operationen durch einfache zu ersetzen. Heute werden wir über eine solche „Vereinfachung“ sprechen oder darüber, wie Menschen gelernt haben, Multiplikation durch Addition und Division durch Subtraktion zu ersetzen. Dadurch wurde der Logarithmus erfunden. Um zu verstehen, was es ist, müssen Sie nur drei Schritte ausführen.

SCHRITT 1: Vereinfachen und noch einmal vereinfachen

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel.

2 + 2 = 4

Lassen Sie uns das Problem komplizieren und die Summe von fünf Zweien ermitteln.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Und wir haben diese Aufgabe problemlos gemeistert. Was ist, wenn Sie die Summe von 1.000.000 Zweien ermitteln müssen? Die Verwendung einer ähnlichen Berechnungsmethode wird viel Platz und Zeit in Anspruch nehmen. Aber schlaue Mathematiker erkannten, wie einfach das ist. Sie haben die Multiplikationsoperation erfunden. Mal sehen, wie es aussieht:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, haben Mathematiker die Operation der Potenzierung erfunden. Es ist klar, dass wir davon sprechen, dieselbe Zahl n-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Warum sollte man sie duplizieren und immer wieder aufschreiben? Ist es nicht einfacher, es so zu schreiben?

Hier A– die Grundlagen des Abschlusses, N– Exponent. Daher haben wir die Aufnahme deutlich verkürzt. Unabhängig vom Wert des Exponenten sieht der Ausdruck sehr prägnant aus:

Michael Stiefel(1487–1567) – deutscher Mathematiker, leistete bedeutende Beiträge zur Entwicklung der Algebra und ihrer Bereiche wie Progressionen, Potenzierung und negative Zahlen. Stiefel war der erste, der die Begriffe „Exponent“ und „Wurzel“ verwendete. Obwohl der Wissenschaftler tatsächlich Logarithmen verwendete, gebührte der Ruhm des Entdeckers dem schottischen Mathematiker John Napier (1550–1617).

SCHRITT 2: Verstehen Sie die Eigenschaften von Abschlüssen

Wie wir bereits sagten, belasteten sich die antiken Mathematiker nicht jedes Mal mit Berechnungen, wenn sie Zahlen multiplizieren oder addieren mussten, sondern verwendeten Tabellen mit vorberechneten Ergebnissen. Sehr bequem! Ein deutscher Mathematiker verwendet eine ähnliche Tabelle Michael Stiefel bemerkte ein interessantes Muster zwischen arithmetischer und geometrischer Progression.

Versuchen wir auch, sie zu sehen. Schließlich ermöglicht Ihnen dieses Muster, den Betrieb zu vereinfachen Multiplikation und Division. Wir müssen das Produkt zweier Zahlen berechnen:

16 × 64 =  ?

Bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, schauen Sie sich die Tabelle an und finden Sie diese Zahlen: Dies sind Terme einer geometrischen Folge mit einer Schrittweite von 2. Die Zahlen darüber in der oberen Reihe: 4 über 16; 6 über 64 sind Terme einer arithmetischen Folge. Addieren wir diese Zahlen: 4 + 6 = 10. Schauen wir uns nun an, welche Zahl in der zweiten Zeile unter der Zahl 10 steht – 1024. Aber wenn wir unsere Anfangsaufgabe 16x64 erledigen, ist das Ergebnis gleich 1024. Das bedeutet, dass Wenn Sie die Tabelle verwenden und nur wissen, wie man Zahlen addiert, können Sie das Produkt leicht finden.

Betrachten Sie nun die Divisionsoperation:

Schauen Sie sich die Tabelle noch einmal an und finden Sie die entsprechenden Zahlen in der oberen Zeile. Wir bekommen 10 bzw. 7. Wenn wir beim Multiplizieren addieren, subtrahieren wir beim Dividieren: 10–7 = 3. Wir schauen uns die Zahl unter der Zahl 3 in der zweiten Zeile an, sie ist 8. Daher ist 1024:128 = 8.

Ebenso können Sie eine Tabelle für Operationen verwenden Potenzierung und Wurzelextraktion.

Zum Beispiel müssen wir 32 quadrieren. Wir schauen uns die Zahl über 32 in der oberen Reihe an. Wir erhalten 5. Multiplizieren Sie 5 mit 2. Es ergibt sich 10, dann schauen Sie sich die Zahl unter 10 an: 1024. Daher 32 2   = 1024.

Betrachten wir die Wurzelextraktion. Suchen wir zum Beispiel die dritte Wurzel der Zahl 512. Über der Zahl 512 in der oberen Reihe steht 9. Teilen Sie 9 durch 3, wir erhalten 3. Suchen Sie die entsprechende Zahl in der zweiten Reihe. Wir erhalten 8. Daher ist 83 = 512.

Alle vier Beispiele sind eine Folge der Eigenschaften von Graden, die wie folgt geschrieben werden können:

SCHRITT 3: Nennen wir es einen Logarithmus

Nachdem wir uns mit den Graden befasst haben, versuchen wir, eine kleine Gleichung zu lösen:

2 x = 4

Diese Gleichung heißt indikativ. Als X, was wir finden müssen, ist Indikator die Potenz, mit der 2 erhöht werden muss, um 4 zu erhalten. Lösung der Gleichung x  = 2.

Schauen wir uns ein weiteres ähnliches Beispiel an:

2 x = 5

Sagen wir die Bedingung noch einmal: Wir suchen nach der Zahl x, auf die 2 erhöht werden muss, um 5 zu erhalten. Diese Frage verwirrt uns. Wahrscheinlich gibt es eine Lösung. Wenn Sie beispielsweise Diagramme dieser Funktionen zeichnen, schneiden sie sich. Aber um es zu finden, müssen wir durch Versuch und Irrtum danach suchen. Und das könnte lange dauern.

Aus diesem Grund haben Wissenschaftler der Antike den Logarithmus erfunden; sie wussten, dass es eine Lösung für die Gleichung gab, diese wurde jedoch nicht immer sofort benötigt. Mathematisch wird es so geschrieben: x  =  log 2 5. Damit haben wir die Lösung der Gleichung 2 x = 5 gefunden. Antwort: x = log 2 5. Wenn wir die genaue Antwort geben, dann ist x = 2,32192809489..., und dieser Bruch endet nie.

Der Ausdruck lautet wie folgt: Logarithmus von 5 zur Basis 2. Es ist leicht zu merken: Die Basis wird immer unten geschrieben, sowohl in exponentieller als auch in logarithmischer Schreibweise.

Eigenschaften des Logarithmus

Logarithmen haben Einschränkungen. In der Mathematik gibt es zwei harte Grenzen.

a) Eine Division durch Null ist nicht möglich

b) Extrahieren Sie die gerade Wurzel einer negativen Zahl(da eine negative Zahl zum Quadrat immer positiv ist).

gleichbedeutend mit dem Schreiben

ein x = b

Einschränkungen für a

a ist die Basis, die x-potenziert werden muss, um b zu erhalten.

Wenn a  = 1. Eins zu jeder Potenz ergibt eins.

Was ist, wenn a kleiner als Null ist? Negative Zahlen sind launisch. Sie können bis zu einem Grad angehoben werden, aber nicht zu einem anderen. Deshalb schließen wir sie auch aus. Als Ergebnis erhalten wir: a > 0; a ≠ 1

Einschränkungen für b

Wenn eine positive Zahl beliebig potenziert wird, erhalten wir ebenfalls eine positive Zahl. Daher gilt: b > 0. x kann eine beliebige Zahl sein, da wir jede Zahl potenzieren können.

Wenn b  = 1. dann ist für jedes a der Wert x = 0.

Operationen auf Logarithmen

Unter Berücksichtigung der grundlegenden Eigenschaften von Potenzen leiten wir ähnliche für Logarithmen ab:

Summe. Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:

Unterschied. Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors:

Grad. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Logarithmen berechnen, dieser Vorgang wird aufgerufen Logarithmus. Zunächst werden wir die Berechnung von Logarithmen per Definition verstehen. Schauen wir uns als Nächstes an, wie die Werte von Logarithmen mithilfe ihrer Eigenschaften ermittelt werden. Danach konzentrieren wir uns auf die Berechnung von Logarithmen anhand der ursprünglich angegebenen Werte anderer Logarithmen. Lassen Sie uns abschließend lernen, wie man Logarithmustabellen verwendet. Die gesamte Theorie wird mit Beispielen mit detaillierten Lösungen versehen.

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Logarithmen per Definition berechnen

In den einfachsten Fällen ist eine recht schnelle und unkomplizierte Durchführung möglich Finden des Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition eines Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das heißt, per Definition entspricht die folgende Gleichungskette dem Finden des Logarithmus: log a b=log a a c =c.

Bei der Berechnung eines Logarithmus geht es also per Definition darum, eine Zahl c zu finden, für die a c = b gilt, und die Zahl c selbst ist der gewünschte Wert des Logarithmus.

Unter Berücksichtigung der Informationen in den vorherigen Absätzen können Sie, wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen durch eine bestimmte Potenz der Logarithmusbasis gegeben ist, sofort angeben, was der Logarithmus ist – er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Lösungen anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel.

Finden Sie log 2 2 −3 und berechnen Sie auch den natürlichen Logarithmus der Zahl e 5,3.

Lösung.

Die Definition des Logarithmus erlaubt es uns sofort zu sagen, dass log 2 2 −3 =−3. Tatsächlich ist die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 =5,3.

Antwort:

log 2 2 −3 =−3 und lne 5,3 =5,3.

Wenn die Zahl b unter dem Logarithmuszeichen nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben ist, müssen Sie sorgfältig prüfen, ob es möglich ist, eine Darstellung der Zahl b in der Form a c zu finden. Oft ist diese Darstellung ziemlich offensichtlich, insbesondere wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis hoch 1, oder 2, oder 3, ... ist.

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass 25=5 2 ist. Dadurch können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Fahren wir mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Die Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Somit, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Daher nach der Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden: .

Antwort:

log 5 25=2 , Und .

Wenn unter dem Logarithmuszeichen eine ausreichend große natürliche Zahl steht, kann es nicht schaden, diese in Primfaktoren zu zerlegen. Es hilft oft, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Logarithmus.

Lösung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Zu diesen Eigenschaften gehören die Eigenschaft des Logarithmus von Eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1. Das heißt, wenn unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine Zahl 1 oder eine Zahl a gleich der Basis des Logarithmus steht, dann sind die Logarithmen in diesen Fällen gleich 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind Logarithmen und log10 gleich?

Lösung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Logarithmuszeichen mit ihrer Basis überein, sodass der dezimale Logarithmus von zehn gleich eins ist, d. h. lg10=lg10 1 =1.

Antwort:

UND lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung der Gleichheit log a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

In der Praxis ist es sehr praktisch, die Formel zu verwenden, wenn eine Zahl unter dem Logarithmuszeichen und die Basis des Logarithmus leicht als Potenz einer bestimmten Zahl dargestellt werden können , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Schauen wir uns ein Beispiel zum Finden eines Logarithmus an, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus.

Lösung.

Antwort:

.

Auch Eigenschaften von Logarithmen, die oben nicht erwähnt wurden, werden in Berechnungen verwendet, wir werden jedoch in den folgenden Abschnitten darüber sprechen.

Finden von Logarithmen anhand anderer bekannter Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz führen das Thema der Nutzung der Eigenschaften von Logarithmen bei deren Berechnung fort. Der Hauptunterschied besteht jedoch darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung ein Beispiel geben. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1,584963, dann können wir beispielsweise log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zu nutzen. Allerdings ist es viel häufiger notwendig, ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zu verwenden, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn Sie wissen, dass log 60 2=a und log 60 5=b.

Lösung.

Wir müssen also log 60 27 finden. Es ist leicht zu erkennen, dass 27 = 3 3 und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz als 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie man log 60 3 durch bekannte Logarithmen ausdrückt. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es uns, die Gleichheit log 60 60=1 zu schreiben. Andererseits ist log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Auf diese Weise, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Somit, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Abschließend berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Antwort:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit beliebiger Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder deren Werte ermittelt werden können. Normalerweise gehen sie vom ursprünglichen Logarithmus mithilfe der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10 über, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, mit denen ihre Werte mit einem bestimmten Grad berechnet werden können Genauigkeit. Im nächsten Absatz zeigen wir, wie das geht.

Logarithmentabellen und ihre Verwendung

Zur näherungsweisen Berechnung können Logarithmuswerte verwendet werden Logarithmustabellen. Die am häufigsten verwendete Logarithmustabelle zur Basis 2, die natürliche Logarithmustabelle und die dezimale Logarithmustabelle. Wenn Sie im dezimalen Zahlensystem arbeiten, ist es praktisch, eine Logarithmentabelle zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu ermitteln.

Mit der vorgestellten Tabelle können Sie die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1.000 bis 9.999 (mit drei Dezimalstellen) mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel ermitteln. Wir werden das Prinzip, den Wert eines Logarithmus anhand einer Tabelle mit dezimalen Logarithmen zu ermitteln, anhand eines konkreten Beispiels analysieren – auf diese Weise ist es klarer. Suchen wir log1.256.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist der Übersichtlichkeit halber blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Ziffer 5) steht in der ersten bzw. letzten Zeile links von der Doppelzeile (diese Zahl ist rot umkreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Ziffer 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts von der Doppellinie (diese Zahl ist mit einer grünen Linie umkreist). Nun finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen werden orange hervorgehoben). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gewünschten Wert des dezimalen Logarithmus mit einer Genauigkeit auf die vierte Dezimalstelle, d. h. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte von Dezimallogarithmen von Zahlen zu ermitteln, die mehr als drei Nachkommastellen haben, sowie solche, die über den Bereich von 1 bis 9,999 hinausgehen? Ja, du kannst. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Berechnen wir lg102.76332. Zuerst müssen Sie aufschreiben Nummer in Standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle gerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, während der ursprüngliche Dezimallogarithmus ungefähr dem Logarithmus der resultierenden Zahl entspricht, das heißt, wir nehmen log102,76332≈lg1,028·10 2. Nun wenden wir die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1,028 aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Infolgedessen sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Sie mithilfe einer Tabelle mit Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu genügt es, mit der Übergangsformel zu Dezimallogarithmen zu gelangen, deren Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Gemäß der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen finden wir log3≈0,4771 und log2≈0,3010. Auf diese Weise, .

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).