Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές χρησιμοποιώντας μια λεπτομερή λύση. Παραδείγματα

Στην προηγούμενη ενότητα, αφιερωμένη στην ανάλυση της γεωμετρικής σημασίας ενός ορισμένου ολοκληρώματος, λάβαμε έναν αριθμό τύπων για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x για μια συνεχή και μη θετική συνάρτηση y = f (x) στο διάστημα [ a ; β ] .

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για την επίλυση σχετικά απλών προβλημάτων. Στην πραγματικότητα, συχνά θα πρέπει να δουλέψουμε με πιο σύνθετα στοιχεία. Από αυτή την άποψη, θα αφιερώσουμε αυτήν την ενότητα σε μια ανάλυση αλγορίθμων για τον υπολογισμό του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από συναρτήσεις σε ρητή μορφή, δηλ. όπως y = f(x) ή x = g(y).

Έστω οι συναρτήσεις y = f 1 (x) και y = f 2 (x) καθορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [ a ; b ] , και f 1 (x) ≤ f 2 (x) για οποιαδήποτε τιμή x από [ a ; β ] . Τότε ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος G, οριοθετημένος από τις ευθείες x = a, x = b, y = f 1 (x) και y = f 2 (x) θα μοιάζει με S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Ένας παρόμοιος τύπος θα ισχύει για την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = c, y = d, x = g 1 (y) και x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Απόδειξη

Ας δούμε τρεις περιπτώσεις για τις οποίες θα ισχύει ο τύπος.

Στην πρώτη περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα της προσθετικότητας της περιοχής, το άθροισμα των εμβαδών του αρχικού σχήματος G και του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς G 1 είναι ίσο με το εμβαδόν του σχήματος G 2. Αυτό σημαίνει ότι

Επομένως, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Μπορούμε να εκτελέσουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την τρίτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Στη δεύτερη περίπτωση, η ισότητα είναι αληθής: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:

Αν και οι δύο συναρτήσεις είναι μη θετικές, παίρνουμε: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Η γραφική απεικόνιση θα μοιάζει με:

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της γενικής περίπτωσης όταν y = f 1 (x) και y = f 2 (x) τέμνουν τον άξονα O x.

Σημειώνουμε τα σημεία τομής ως x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Αυτά τα σημεία χωρίζουν το τμήμα [a; b ] σε n μέρη x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, όπου α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Ως εκ τούτου,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Μπορούμε να κάνουμε την τελευταία μετάβαση χρησιμοποιώντας την πέμπτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος.

Ας δείξουμε τη γενική περίπτωση στο γράφημα.

Ο τύπος S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x μπορεί να θεωρηθεί αποδεδειγμένος.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ανάλυση παραδειγμάτων υπολογισμού του εμβαδού των ψηφίων που περιορίζονται από τις γραμμές y = f (x) και x = g (y).

Θα ξεκινήσουμε την εξέταση οποιουδήποτε από τα παραδείγματα κατασκευάζοντας ένα γράφημα. Η εικόνα θα μας επιτρέψει να αναπαραστήσουμε πολύπλοκα σχήματα ως ενώσεις απλούστερων σχημάτων. Εάν η κατασκευή γραφημάτων και σχημάτων σε αυτά είναι δύσκολη για εσάς, μπορείτε να μελετήσετε την ενότητα για τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τον γεωμετρικό μετασχηματισμό γραφημάτων συναρτήσεων, καθώς και την κατασκευή γραφημάτων κατά τη μελέτη μιας συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από την παραβολή y = - x 2 + 6 x - 5 και τις ευθείες γραμμές y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Στο τμήμα [ 1 ; 4 ] η γραφική παράσταση της παραβολής y = - x 2 + 6 x - 5 βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = - 1 3 x - 1 2. Από αυτή την άποψη, για να λάβουμε την απάντηση χρησιμοποιούμε τον τύπο που λήφθηκε νωρίτερα, καθώς και τη μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Απάντηση: S(G) = 13

Ας δούμε ένα πιο σύνθετο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x + 2, y = x, x = 7.

Λύση

Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε μόνο μία ευθεία που βρίσκεται παράλληλα στον άξονα x. Αυτό είναι x = 7. Αυτό απαιτεί να βρούμε μόνοι μας το δεύτερο όριο ένταξης.

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα και ας σχεδιάσουμε πάνω του τις γραμμές που δίνονται στη δήλωση προβλήματος.

Έχοντας το γράφημα μπροστά στα μάτια μας, μπορούμε εύκολα να προσδιορίσουμε ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης θα είναι η τετμημένη του σημείου τομής της γραφικής παράστασης της ευθείας y = x και της ημιπαραβολής y = x + 2. Για να βρούμε την τετμημένη χρησιμοποιούμε τις ισότητες:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Αποδεικνύεται ότι η τετμημένη του σημείου τομής είναι x = 2.

Εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι στο γενικό παράδειγμα του σχεδίου, οι ευθείες y = x + 2, y = x τέμνονται στο σημείο (2; 2), επομένως τέτοιοι λεπτομερείς υπολογισμοί μπορεί να φαίνονται περιττοί. Έχουμε δώσει μια τόσο λεπτομερή λύση εδώ μόνο επειδή σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις η λύση μπορεί να μην είναι τόσο προφανής. Αυτό σημαίνει ότι είναι καλύτερο να υπολογίζουμε πάντα αναλυτικά τις συντεταγμένες της τομής των γραμμών.

Στο διάστημα [ 2 ; 7] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x + 2. Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το εμβαδόν:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Απάντηση: S (G) = 59 6

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τα γραφήματα των συναρτήσεων y = 1 x και y = - x 2 + 4 x - 2.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε τις γραμμές στο γράφημα.

Ας ορίσουμε τα όρια της ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραμμών εξισώνοντας τις παραστάσεις 1 x και - x 2 + 4 x - 2. Με την προϋπόθεση ότι το x δεν είναι μηδέν, η ισότητα 1 x = - x 2 + 4 x - 2 γίνεται ισοδύναμη με την εξίσωση τρίτου βαθμού - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Για να ανανεώσετε τη μνήμη σας σχετικά με τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, μπορούμε να ανατρέξουμε στην ενότητα «Επίλυση κυβικών εξισώσεων».

Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Διαιρώντας την παράσταση - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 με το διώνυμο x - 1, παίρνουμε: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Μπορούμε να βρούμε τις υπόλοιπες ρίζες από την εξίσωση x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Βρήκαμε το διάστημα x ∈ 1; 3 + 13 2, στο οποίο το σχήμα G περιέχεται πάνω από τη μπλε και κάτω από την κόκκινη γραμμή. Αυτό μας βοηθά να προσδιορίσουμε την περιοχή του σχήματος:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Απάντηση: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις καμπύλες y = x 3, y = - log 2 x + 1 και τον άξονα της τετμημένης.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε όλες τις γραμμές στο γράφημα. Μπορούμε να πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = - log 2 x + 1 από τη γραφική παράσταση y = log 2 x αν την τοποθετήσουμε συμμετρικά γύρω από τον άξονα x και την μετακινήσουμε μία μονάδα προς τα πάνω. Η εξίσωση του άξονα x είναι y = 0.

Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής των ευθειών.

Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (0; 0). Αυτό συμβαίνει επειδή x = 0 είναι η μόνη πραγματική ρίζα της εξίσωσης x 3 = 0.

x = 2 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης - log 2 x + 1 = 0, άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = - log 2 x + 1 και y = 0 τέμνονται στο σημείο (2; 0).

x = 1 είναι η μόνη ρίζα της εξίσωσης x 3 = - log 2 x + 1 . Από αυτή την άποψη, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = x 3 και y = - log 2 x + 1 τέμνονται στο σημείο (1; 1). Η τελευταία πρόταση μπορεί να μην είναι προφανής, αλλά η εξίσωση x 3 = - log 2 x + 1 δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες, καθώς η συνάρτηση y = x 3 είναι αυστηρά αύξουσα και η συνάρτηση y = - log 2 x + 1 είναι αυστηρά φθίνουσα.

Η περαιτέρω λύση περιλαμβάνει πολλές επιλογές.

Επιλογή 1

Μπορούμε να φανταστούμε το σχήμα G ως το άθροισμα δύο καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται κάτω από τη μέση γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 1, και το δεύτερο είναι κάτω από την κόκκινη γραμμή στο τμήμα x ∈ 1. 2. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή θα είναι ίση με S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Επιλογή Νο. 2

Το σχήμα G μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο σχημάτων, το πρώτο από τα οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα x και κάτω από την μπλε γραμμή στο τμήμα x ∈ 0. 2, και το δεύτερο μεταξύ των κόκκινων και μπλε γραμμών στο τμήμα x ∈ 1; 2. Αυτό μας επιτρέπει να βρούμε την περιοχή ως εξής:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Σε αυτή την περίπτωση, για να βρείτε την περιοχή θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν τύπο της μορφής S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Στην πραγματικότητα, οι γραμμές που δέσμευαν το σχήμα μπορούν να αναπαρασταθούν ως συναρτήσεις του ορίσματος y.

Ας λύσουμε τις εξισώσεις y = x 3 και - log 2 x + 1 ως προς το x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Παίρνουμε την απαιτούμενη περιοχή:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Απάντηση: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, η οποία περιορίζεται από τις γραμμές y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Λύση

Με κόκκινη γραμμή σχεδιάζουμε τη γραμμή που ορίζεται από τη συνάρτηση y = x. Σχεδιάζουμε τη γραμμή y = - 1 2 x + 4 με μπλε χρώμα και τη γραμμή y = 2 3 x - 3 με μαύρο.

Ας σημειώσουμε τα σημεία τομής.

Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Έλεγχος: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 όχι Είναι η λύση της εξίσωσης x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (4; 2) σημείο τομής i y = x και y = - 1 2 x + 4

Ας βρούμε το σημείο τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = x και y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Έλεγχος: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 είναι η λύση της εξίσωσης ⇒ (9 ; 3) σημείο a s y = x και y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Δεν υπάρχει λύση στην εξίσωση

Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) σημείο τομής y = - 1 2 x + 4 και y = 2 3 x - 3

Μέθοδος Νο. 1

Ας φανταστούμε το εμβαδόν του επιθυμητού σχήματος ως το άθροισμα των εμβαδών των μεμονωμένων σχημάτων.

Τότε το εμβαδόν του σχήματος είναι:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Μέθοδος Νο. 2

Το εμβαδόν του αρχικού σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο άλλων σχημάτων.

Στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση της γραμμής σε σχέση με το x και μόνο μετά από αυτό εφαρμόζουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της περιοχής του σχήματος.

y = x ⇒ x = y 2 κόκκινη γραμμή y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 μαύρη γραμμή y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Η περιοχή λοιπόν είναι:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Όπως μπορείτε να δείτε, οι τιμές είναι οι ίδιες.

Απάντηση: S (G) = 11 3

Για να βρούμε το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από δεδομένες γραμμές, πρέπει να κατασκευάσουμε γραμμές σε ένα επίπεδο, να βρούμε τα σημεία τομής τους και να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε την περιοχή. Σε αυτήν την ενότητα, εξετάσαμε τις πιο συνηθισμένες παραλλαγές εργασιών.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πώς να εισάγετε μαθηματικούς τύπους σε έναν ιστότοπο;

Εάν χρειαστεί ποτέ να προσθέσετε έναν ή δύο μαθηματικούς τύπους σε μια ιστοσελίδα, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι όπως περιγράφεται στο άρθρο: οι μαθηματικοί τύποι εισάγονται εύκολα στον ιστότοπο με τη μορφή εικόνων που δημιουργούνται αυτόματα από το Wolfram Alpha . Εκτός από την απλότητα, αυτή η καθολική μέθοδος θα βοηθήσει στη βελτίωση της προβολής του ιστότοπου στις μηχανές αναζήτησης. Λειτουργεί εδώ και πολύ καιρό (και, νομίζω, θα λειτουργεί για πάντα), αλλά είναι ήδη ηθικά ξεπερασμένο.

Εάν χρησιμοποιείτε τακτικά μαθηματικούς τύπους στον ιστότοπό σας, τότε σας συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το MathJax - μια ειδική βιβλιοθήκη JavaScript που εμφανίζει μαθηματικούς σημειώσεις σε προγράμματα περιήγησης ιστού χρησιμοποιώντας σήμανση MathML, LaTeX ή ASCIIMathML.

Υπάρχουν δύο τρόποι για να ξεκινήσετε να χρησιμοποιείτε το MathJax: (1) χρησιμοποιώντας έναν απλό κώδικα, μπορείτε να συνδέσετε γρήγορα ένα σενάριο MathJax στον ιστότοπό σας, το οποίο θα φορτωθεί αυτόματα από έναν απομακρυσμένο διακομιστή την κατάλληλη στιγμή (λίστα διακομιστών). (2) κατεβάστε το σενάριο MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή στον διακομιστή σας και συνδέστε το σε όλες τις σελίδες του ιστότοπού σας. Η δεύτερη μέθοδος - πιο περίπλοκη και χρονοβόρα - θα επιταχύνει τη φόρτωση των σελίδων του ιστότοπού σας και εάν ο γονικός διακομιστής MathJax γίνει προσωρινά μη διαθέσιμος για κάποιο λόγο, αυτό δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο τον δικό σας ιστότοπο. Παρά τα πλεονεκτήματα αυτά, επέλεξα την πρώτη μέθοδο καθώς είναι πιο απλή, πιο γρήγορη και δεν απαιτεί τεχνικές δεξιότητες. Ακολουθήστε το παράδειγμά μου και σε μόλις 5 λεπτά θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις δυνατότητες του MathJax στον ιστότοπό σας.

Μπορείτε να συνδέσετε το σενάριο της βιβλιοθήκης MathJax από έναν απομακρυσμένο διακομιστή χρησιμοποιώντας δύο επιλογές κώδικα που λαμβάνονται από τον κύριο ιστότοπο του MathJax ή από τη σελίδα τεκμηρίωσης:

Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών και ή αμέσως μετά την ετικέτα. Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί αυτόματα και φορτώνει τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν εισαγάγετε τον δεύτερο κώδικα, οι σελίδες θα φορτώνονται πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.

Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτου μέρους, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα λήψης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης των MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να εισαγάγετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες του ιστότοπού σας.

Οποιοδήποτε φράκταλ κατασκευάζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται με συνέπεια απεριόριστες φορές. Κάθε τέτοιος χρόνος ονομάζεται επανάληψη.

Ο επαναληπτικός αλγόριθμος για την κατασκευή ενός σφουγγαριού Menger είναι αρκετά απλός: ο αρχικός κύβος με την πλευρά 1 χωρίζεται με επίπεδα παράλληλα προς τις όψεις του σε 27 ίσους κύβους. Ένας κεντρικός κύβος και 6 κύβοι δίπλα του κατά μήκος των όψεων αφαιρούνται από αυτό. Το αποτέλεσμα είναι ένα σετ που αποτελείται από τους υπόλοιπους 20 μικρότερους κύβους. Κάνοντας το ίδιο με κάθε έναν από αυτούς τους κύβους, παίρνουμε ένα σετ που αποτελείται από 400 μικρότερους κύβους. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία ατελείωτα, παίρνουμε ένα σφουγγάρι Menger.

ΕΝΑ)

Λύση.

Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κλήρωση.

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η εξίσωση y=0ορίζει τον άξονα "x".

- x=-2Και x=1- ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;

- y=x 2 +2 -μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με την κορυφή στο σημείο (0;2).

Σχόλιο. Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0βρείτε την τομή με τον άξονα OUκαι λύνοντας την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση, να βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Μπορείτε επίσης να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο.

Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι, Να γιατί:

Απάντηση: μικρό=9 τετρ. μονάδες

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Τι να κάνετε εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ω;

β) Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές y=-e x , x=1και άξονες συντεταγμένων.

Λύση.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Εάν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται εντελώς κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απάντηση: S=(e-1)τ. μονάδες» 1,72 τ. μονάδες

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.

γ) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές y=2x-x 2, y=-x.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και ευθεία Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική.

Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .

Μπορείτε να δημιουργήσετε γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: μικρό=4,5 τ. μονάδες

Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να βρίσκετε την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές χρησιμοποιώντας ολοκληρωμένους υπολογισμούς. Για πρώτη φορά συναντάμε τη διατύπωση ενός τέτοιου προβλήματος στο λύκειο, όταν μόλις ολοκληρώσαμε τη μελέτη ορισμένων ολοκληρωμάτων και ήρθε η ώρα να ξεκινήσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της αποκτηθείσας γνώσης στην πράξη.

Έτσι, τι απαιτείται για την επιτυχή επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα:

• Δυνατότητα δημιουργίας ικανών σχεδίων.
• Ικανότητα επίλυσης ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο Newton-Leibniz.
• Η ικανότητα να "δείτε" μια πιο κερδοφόρα επιλογή λύσης - δηλ. καταλαβαίνετε πώς θα είναι πιο βολικό να πραγματοποιήσετε την ενοποίηση σε μια ή την άλλη περίπτωση; Κατά μήκος του άξονα x (OX) ή του άξονα y (OY);
• Λοιπόν, πού θα ήμασταν χωρίς σωστούς υπολογισμούς;) Αυτό περιλαμβάνει την κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτού του άλλου τύπου ολοκληρωμάτων και τους σωστούς αριθμητικούς υπολογισμούς.

Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:

1. Χτίζουμε ένα σχέδιο. Συνιστάται να το κάνετε αυτό σε ένα καρό χαρτί, σε μεγάλη κλίμακα. Υπογράφουμε το όνομα αυτής της συνάρτησης με ένα μολύβι πάνω από κάθε γράφημα. Η υπογραφή των γραφημάτων γίνεται αποκλειστικά για τη διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών. Έχοντας λάβει ένα γράφημα του επιθυμητού σχήματος, στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι αμέσως σαφές ποια όρια ολοκλήρωσης θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι, λύνουμε το πρόβλημα γραφικά. Ωστόσο, συμβαίνει ότι οι τιμές των ορίων είναι κλασματικές ή παράλογες. Επομένως, μπορείτε να κάνετε πρόσθετους υπολογισμούς, μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.

2. Αν δεν προσδιορίζονται ρητά τα όρια ολοκλήρωσης, τότε βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων μεταξύ τους και βλέπουμε αν η γραφική μας λύση συμπίπτει με την αναλυτική.

3. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσετε το σχέδιο. Ανάλογα με το πώς είναι διατεταγμένα τα γραφήματα συναρτήσεων, υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις για την εύρεση του εμβαδού ενός σχήματος. Ας δούμε διαφορετικά παραδείγματα εύρεσης του εμβαδού ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.

3.1. Η πιο κλασική και απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι όταν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς. Τι είναι ένα καμπύλο τραπεζοειδές; Αυτό είναι ένα επίπεδο σχήμα που περιορίζεται από τον άξονα x (y = 0), τις ευθείες x = a, x = b και οποιαδήποτε καμπύλη συνεχή στο διάστημα από το a έως το b. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός είναι μη αρνητικός και βρίσκεται όχι κάτω από τον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, το οποίο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

Παράδειγμα 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Από ποιες γραμμές οριοθετείται το σχήμα; Έχουμε μια παραβολή y = x2 - 3x + 3, η οποία βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX, είναι μη αρνητική, επειδή όλα τα σημεία αυτής της παραβολής έχουν θετικές τιμές. Στη συνέχεια δίνονται οι ευθείες x = 1 και x = 3, οι οποίες είναι παράλληλες με τον άξονα του op-amp και είναι οι οριακές γραμμές του σχήματος αριστερά και δεξιά. Λοιπόν, y = 0, που είναι επίσης ο άξονας x, που περιορίζει το σχήμα από κάτω. Το σχήμα που προκύπτει είναι σκιασμένο, όπως φαίνεται από το σχήμα στα αριστερά. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να ξεκινήσετε αμέσως την επίλυση του προβλήματος. Μπροστά μας είναι ένα απλό παράδειγμα καμπύλου τραπεζοειδούς, το οποίο στη συνέχεια λύνουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

3.2. Στην προηγούμενη παράγραφο 3.1, εξετάσαμε την περίπτωση που ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι ίδιες, εκτός από το ότι η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα x. Ένα μείον προστίθεται στον τυπικό τύπο Newton-Leibniz. Θα εξετάσουμε πώς να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα παρακάτω.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Σε αυτό το παράδειγμα έχουμε μια παραβολή y = x2 + 6x + 2, η οποία προέρχεται από κάτω από τον άξονα OX, ευθείες x = -4, x = -1, y = 0. Εδώ το y = 0 περιορίζει το επιθυμητό σχήμα από πάνω. Οι ευθείες x = -4 και x = -1 είναι τα όρια εντός των οποίων θα υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα. Η αρχή της επίλυσης του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος συμπίπτει σχεδόν πλήρως με το παράδειγμα 1. Η μόνη διαφορά είναι ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι θετική και είναι επίσης συνεχής στο διάστημα [-4; -1]. Τι εννοείς όχι θετικό; Όπως φαίνεται από το σχήμα, το σχήμα που βρίσκεται μέσα στα δεδομένα x έχει αποκλειστικά «αρνητικές» συντεταγμένες, κάτι που πρέπει να δούμε και να θυμόμαστε όταν λύνουμε το πρόβλημα. Αναζητούμε την περιοχή του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, μόνο με το σύμβολο μείον στην αρχή.

Το άρθρο δεν έχει ολοκληρωθεί.