कार्यों के बढ़ने और घटने के पर्याप्त संकेत। बढ़ने और घटने का अंतराल

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें

2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

3. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें

4. परिभाषा क्षेत्र पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें

5. प्रत्येक परिणामी अंतराल में अवकलज के चिह्न की गणना करें

6. प्रत्येक अंतराल में फ़ंक्शन का व्यवहार ज्ञात करें।

उदाहरण: बढ़ते और घटते फलन के अंतराल ज्ञात कीजिएएफ(एक्स) = और अंतराल पर इस फ़ंक्शन के शून्य की संख्या।

समाधान:

1.डी( एफ) = आर

2. एफ"(एक्स) =

डी( एफ") = डी( एफ) = आर

3. समीकरण को हल करके फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें एफ"(एक्स) = 0.

एक्स(एक्स – 10) = 0

किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु एक्स= 0 और एक्स = 10.

4. आइए अवकलज का चिह्न निर्धारित करें।

एफ"(एक्स) + – +

एफ(एक्स) 0 10एक्स

अंतराल (-∞; 0) और (10; +∞) में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है और बिंदुओं पर एक्स= 0 और x = 10 फ़ंक्शन एफ(एक्स) निरंतर है, इसलिए, यह फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है: (-∞; 0]; .

आइए हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन मानों का चिह्न निर्धारित करें।

एफ(0) = 3, एफ(0) > 0

एफ(10) = , एफ(10) < 0.

चूंकि खंड पर फ़ंक्शन घटता है और फ़ंक्शन मानों का चिह्न बदलता है, तो इस खंड पर फ़ंक्शन का एक शून्य होता है।

उत्तर: फ़ंक्शन f(x) अंतराल पर बढ़ता है: (-∞; 0]; ;

अंतराल पर फ़ंक्शन का एक फ़ंक्शन शून्य होता है।

2. फ़ंक्शन के चरम बिंदु: अधिकतम बिंदु और न्यूनतम बिंदु। किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें। चरम के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने का नियम .

परिभाषा 1:वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, क्रांतिक या स्थिर कहलाते हैं।

परिभाषा 2. किसी बिंदु को किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन के निकटतम मानों से कम (अधिक) हो।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस मामले में अधिकतम और न्यूनतम स्थानीय हैं।

चित्र में. 1. स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा दिखाए गए हैं।

प्रमेय 1.(किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत)। यदि किसी बिंदु पर अवकलनीय फ़ंक्शन का इस बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम है, तो इसका व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

प्रमेय 2.(फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का पर्याप्त संकेत)। यदि किसी सतत फलन में किसी अंतराल के सभी बिंदुओं पर एक व्युत्पन्न होता है जिसमें एक महत्वपूर्ण बिंदु होता है (इस बिंदु के संभावित अपवाद के साथ), और यदि व्युत्पन्न, जब तर्क महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से बाएं से दाएं गुजरता है, तो प्लस से माइनस में चिह्न बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है, और जब चिह्न माइनस से प्लस में बदलता है, तो इसका न्यूनतम होता है।

किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में बहुत महत्वपूर्ण जानकारी बढ़ते और घटते अंतराल द्वारा प्रदान की जाती है। उन्हें ढूंढना फ़ंक्शन की जांच करने और ग्राफ़ बनाने की प्रक्रिया का हिस्सा है। इसके अलावा, एक निश्चित अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने पर उन चरम बिंदुओं पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जिन पर बढ़ने से घटने या घटने से बढ़ने की ओर परिवर्तन होता है।

इस लेख में हम आवश्यक परिभाषाएँ देंगे, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के लिए पर्याप्त मानदंड और एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करेंगे, और इस पूरे सिद्धांत को उदाहरणों और समस्याओं को हल करने के लिए लागू करेंगे।

पेज नेविगेशन.

एक अंतराल पर कार्य को बढ़ाना और घटाना।

बढ़ते फलन की परिभाषा.

फलन y=f(x) अंतराल X पर बढ़ता है यदि किसी और के लिए असमानता कायम है. दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

घटते फलन की परिभाषा.

फलन y=f(x) अंतराल X पर घटता है यदि किसी और के लिए असमानता कायम है . दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

ध्यान दें: यदि फ़ंक्शन बढ़ते या घटते अंतराल (ए;बी) के अंत में परिभाषित और निरंतर है, अर्थात, x=a और x=b पर, तो ये बिंदु बढ़ते या घटते अंतराल में शामिल हैं। यह अंतराल X पर बढ़ते और घटते फ़ंक्शन की परिभाषाओं का खंडन नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों से हम जानते हैं कि y=sinx तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए परिभाषित और निरंतर है। इसलिए, अंतराल पर साइन फ़ंक्शन में वृद्धि से, हम यह दावा कर सकते हैं कि यह अंतराल पर बढ़ता है।

चरम बिंदु, किसी कार्य का चरम बिंदु।

बिंदु कहा जाता है अधिकतम बिंदुफ़ंक्शन y=f(x) यदि असमानता इसके पड़ोस में सभी x के लिए सत्य है। अधिकतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतमऔर निरूपित करें.

बिंदु कहा जाता है न्यूनतम बिंदुफ़ंक्शन y=f(x) यदि असमानता इसके पड़ोस में सभी x के लिए सत्य है। न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान कहलाता है न्यूनतम कार्यऔर निरूपित करें.

किसी बिंदु के पड़ोस को अंतराल के रूप में समझा जाता है , जहां एक पर्याप्त छोटी धनात्मक संख्या है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और चरम बिंदुओं के अनुरूप फ़ंक्शन मान कहलाते हैं समारोह की चरम सीमा.

किसी फ़ंक्शन के चरम को फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के साथ भ्रमित न करें।

पहले चित्र में, खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान अधिकतम बिंदु पर प्राप्त किया जाता है और यह फ़ंक्शन के अधिकतम के बराबर होता है, और दूसरे चित्र में, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बिंदु x=b पर प्राप्त किया जाता है , जो कि अधिकतम बिंदु नहीं है.

कार्यों को बढ़ाने और घटाने के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

किसी फलन के बढ़ने और घटने की पर्याप्त स्थितियों (संकेतों) के आधार पर फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात किये जाते हैं।

यहां एक अंतराल पर बढ़ते और घटते कार्यों के संकेतों का सूत्रीकरण दिया गया है:

• यदि फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न अंतराल X से किसी भी x के लिए सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन X से बढ़ जाता है;
• यदि फ़ंक्शन y=f(x) का व्युत्पन्न अंतराल X से किसी भी x के लिए नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन X पर घट जाता है।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, यह आवश्यक है:

आइए एल्गोरिदम को समझाने के लिए बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

बढ़ते और घटते फलन के अंतराल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहला कदम फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन ढूंढना है। हमारे उदाहरण में, हर में व्यंजक शून्य पर नहीं जाना चाहिए, इसलिए,।

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए आगे बढ़ें:

पर्याप्त मानदंड के आधार पर किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, हम परिभाषा के क्षेत्र में असमानताओं को हल करते हैं। आइए अंतराल विधि के सामान्यीकरण का उपयोग करें। अंश का एकमात्र वास्तविक मूल x = 2 है, और हर x=0 पर शून्य हो जाता है। ये बिंदु परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है। आइए इन बिंदुओं को संख्या रेखा पर अंकित करें। हम परंपरागत रूप से प्लस और माइनस द्वारा उन अंतरालों को निरूपित करते हैं जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक या नकारात्मक होता है। नीचे दिए गए तीर संबंधित अंतराल पर फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी को योजनाबद्ध रूप से दर्शाते हैं।

इस प्रकार, और .

बिंदु पर x=2 फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है, इसलिए इसे बढ़ते और घटते दोनों अंतरालों में जोड़ा जाना चाहिए। बिंदु x=0 पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, इसलिए हम इस बिंदु को आवश्यक अंतराल में शामिल नहीं करते हैं।

हम इसके साथ प्राप्त परिणामों की तुलना करने के लिए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ प्रस्तुत करते हैं।

उत्तर:

से कार्य बढ़ता है , अंतराल पर घटता है (0;2] .

किसी कार्य के चरम के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।

किसी फ़ंक्शन की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, आप एक्सट्रीम के तीन संकेतों में से किसी एक का उपयोग कर सकते हैं, बेशक, यदि फ़ंक्शन उनकी शर्तों को पूरा करता है। उनमें से सबसे आम और सुविधाजनक पहला है।

चरम सीमा के लिए पहली पर्याप्त स्थिति.

मान लीजिए कि फलन y=f(x) बिंदु के -पड़ोस में अवकलनीय है और बिंदु पर ही सतत है।

दूसरे शब्दों में:

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु के पहले संकेत के आधार पर चरम बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिदम।

• हम फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं।
• हम परिभाषा के क्षेत्र पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं।
• हम अंश के शून्य, व्युत्पन्न के हर के शून्य और परिभाषा के क्षेत्र के बिंदु निर्धारित करते हैं जिसमें व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (सभी सूचीबद्ध बिंदुओं को कहा जाता है) संभावित चरम के बिंदु, इन बिंदुओं से गुजरते हुए, व्युत्पन्न केवल अपना चिह्न बदल सकता है)।
• ये बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अंतरालों में विभाजित करते हैं जिसमें व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है। हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न निर्धारित करते हैं (उदाहरण के लिए, किसी विशेष अंतराल में किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान की गणना करके)।
• हम उन बिंदुओं का चयन करते हैं जिन पर फ़ंक्शन निरंतर होता है और, जिसके माध्यम से गुजरते हुए, व्युत्पन्न संकेत बदलता है - ये चरम बिंदु हैं।

बहुत सारे शब्द हैं, आइए किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु के लिए पहली पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु को खोजने के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन x=2 को छोड़कर वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है।

व्युत्पन्न ढूँढना:

अंश के शून्य बिंदु x=-1 और x=5 हैं, हर x=2 पर शून्य हो जाता है। इन बिंदुओं को संख्या अक्ष पर अंकित करें

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं; ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल के किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदुओं पर x=-2, x=0, x=3 और एक्स=6.

इसलिए, अंतराल पर व्युत्पन्न सकारात्मक है (आकृति में हम इस अंतराल पर प्लस चिह्न लगाते हैं)। वैसे ही

इसलिए, हम दूसरे अंतराल के ऊपर एक माइनस, तीसरे के ऊपर एक माइनस और चौथे के ऊपर एक प्लस लगाते हैं।

यह उन बिंदुओं का चयन करने के लिए रहता है जिन पर फ़ंक्शन निरंतर होता है और इसका व्युत्पन्न संकेत बदलता है। ये चरम बिंदु हैं.

बिंदु पर x=-1 फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, इसलिए, चरम के पहले चिह्न के अनुसार, x=-1 अधिकतम बिंदु है, फ़ंक्शन का अधिकतम इसके अनुरूप है .

बिंदु पर x=5 फ़ंक्शन निरंतर है और व्युत्पन्न चिह्न ऋण से प्लस में बदलता है, इसलिए, x=-1 न्यूनतम बिंदु है, फ़ंक्शन का न्यूनतम इसके अनुरूप है .

ग्राफिक चित्रण.

उत्तर:

कृपया ध्यान दें: एक चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के लिए बिंदु पर ही फ़ंक्शन की भिन्नता की आवश्यकता नहीं होती है।

उदाहरण।

फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु खोजें .

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। फ़ंक्शन को स्वयं इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

बिंदु पर x=0 व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, क्योंकि जब तर्क शून्य हो जाता है तो एकतरफा सीमा के मान मेल नहीं खाते हैं:

साथ ही, मूल फ़ंक्शन बिंदु x=0 पर निरंतर है (निरंतरता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने पर अनुभाग देखें):

आइए उस तर्क का मान ज्ञात करें जिस पर व्युत्पन्न शून्य हो जाता है:

आइए सभी प्राप्त बिंदुओं को संख्या रेखा पर चिह्नित करें और प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम प्रत्येक अंतराल के मनमाने बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करते हैं, उदाहरण के लिए, पर x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

वह है,

इस प्रकार, चरम के पहले संकेत के अनुसार, न्यूनतम अंक हैं , अधिकतम अंक हैं .

हम फ़ंक्शन के संगत न्यूनतम की गणना करते हैं

हम फ़ंक्शन के संगत मैक्सिमा की गणना करते हैं

ग्राफिक चित्रण.

उत्तर:

.

किसी कार्य की चरम सीमा का दूसरा लक्षण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी फ़ंक्शन के चरम के इस संकेत के लिए बिंदु पर कम से कम दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता होती है।

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किसी फ़ंक्शन की प्रकृति निर्धारित करने और उसके व्यवहार के बारे में बात करने के लिए वृद्धि और कमी के अंतराल का पता लगाना आवश्यक है। इस प्रक्रिया को फ़ंक्शन रिसर्च और ग्राफ़िंग कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने पर चरम बिंदु का उपयोग किया जाता है, क्योंकि उन पर फ़ंक्शन अंतराल से बढ़ता या घटता है।

यह आलेख परिभाषाओं का खुलासा करता है, अंतराल पर वृद्धि और कमी का पर्याप्त संकेत और एक चरम के अस्तित्व के लिए एक शर्त तैयार करता है। यह उदाहरणों और समस्याओं को हल करने पर लागू होता है। विभेदक कार्यों पर अनुभाग दोहराया जाना चाहिए, क्योंकि समाधान के लिए व्युत्पन्न खोजने का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

Yandex.RTB R-A-339285-1 परिभाषा 1

फ़ंक्शन y = f (x) अंतराल x पर बढ़ेगा, जब किसी x 1 ∈ X और x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए, असमानता f (x 2) > f (x 1) संतुष्ट हो जाती है। दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

परिभाषा 2

फ़ंक्शन y = f (x) को अंतराल x पर घटता हुआ माना जाता है, जब किसी x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए, समानता f (x 2) > f (x 1) सच माना जाता है. दूसरे शब्दों में, एक बड़ा फ़ंक्शन मान एक छोटे तर्क मान से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

टिप्पणी: जब फ़ंक्शन बढ़ने और घटने के अंतराल के अंत में निश्चित और निरंतर होता है, यानी (ए; बी), जहां एक्स = ए, एक्स = बी, अंक बढ़ने और घटने के अंतराल में शामिल होते हैं। यह परिभाषा का खंडन नहीं करता है; इसका मतलब है कि यह अंतराल x पर होता है।

प्रकार y = syn x के प्राथमिक कार्यों के मुख्य गुण तर्कों के वास्तविक मूल्यों के लिए निश्चितता और निरंतरता हैं। यहां से हमें पता चलता है कि अंतराल पर ज्या बढ़ती है - π 2; π 2, तो खंड पर वृद्धि का रूप है - π 2; π 2.

बिन्दु x 0 कहलाता है अधिकतम बिंदुफ़ंक्शन y = f (x) के लिए, जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) ≥ f (x) मान्य है। अधिकतम कार्यएक बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, और इसे y m a x द्वारा दर्शाया जाता है।

बिंदु x 0 को फ़ंक्शन y = f (x) के लिए न्यूनतम बिंदु कहा जाता है, जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) ≤ f (x) मान्य होती है। न्यूनतम कार्यएक बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, और इसमें y m i n के रूप का एक पदनाम है।

बिंदु x 0 के पड़ोस पर विचार किया जाता है चरम बिंदु,और फ़ंक्शन का मान जो चरम बिंदुओं से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान वाले फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

पहला आंकड़ा कहता है कि खंड [ए; से फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना आवश्यक है; बी ] । यह अधिकतम बिंदुओं का उपयोग करके पाया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम मान के बराबर होता है, और दूसरा आंकड़ा x = b पर अधिकतम बिंदु खोजने जैसा है।

किसी फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त स्थितियाँ

किसी फ़ंक्शन की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, उस स्थिति में चरम के संकेतों को लागू करना आवश्यक है जब फ़ंक्शन इन शर्तों को पूरा करता है। पहला चिन्ह सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला माना जाता है।

चरम सीमा के लिए पहली पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए एक फ़ंक्शन y = f (x) दिया गया है, जो बिंदु x 0 के ε पड़ोस में भिन्न है, और दिए गए बिंदु x 0 पर निरंतरता है। यहीं से हमें वह मिलता है

• जब f " (x) > 0 x ∈ (x 0 - ε ; x 0) और f " (x) के साथ< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• जब एफ "(एक्स)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) के लिए 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है।

दूसरे शब्दों में, हम चिह्न स्थापित करने के लिए उनकी शर्तें प्राप्त करते हैं:

• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसमें बदलते चिह्न के साथ एक व्युत्पन्न होता है, अर्थात + से - तक, जिसका अर्थ है कि बिंदु को अधिकतम कहा जाता है;
• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसमें - से + तक बदलते चिह्न के साथ एक व्युत्पन्न होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु को न्यूनतम कहा जाता है।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, आपको उन्हें खोजने के लिए एल्गोरिदम का पालन करना होगा:

• परिभाषा का क्षेत्र खोजें;
• इस क्षेत्र पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें;
• शून्य और बिंदुओं की पहचान करें जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है;
• अंतरालों पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करना;
• उन बिंदुओं का चयन करें जहां फ़ंक्शन चिह्न बदलता है।

आइए किसी फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने के कई उदाहरणों को हल करके एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण 1

दिए गए फलन y = 2 (x + 1) 2 x - 2 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र x = 2 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढें और प्राप्त करें:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (एक्स + 1) " (एक्स - 2) - (एक्स + 1) 2 1 (एक्स - 2) 2 = 2 2 (एक्स + 1) (एक्स - 2 ) - (एक्स + 2) 2 (एक्स - 2) 2 = = 2 · (एक्स + 1) · (एक्स - 5) (एक्स - 2) 2

यहां से हम देखते हैं कि फ़ंक्शन के शून्य x = - 1, x = 5, x = 2 हैं, अर्थात, प्रत्येक कोष्ठक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए इसे संख्या अक्ष पर अंकित करें और प्राप्त करें:

अब हम प्रत्येक अंतराल से अवकलज के चिह्न निर्धारित करते हैं। अंतराल में शामिल एक बिंदु का चयन करना और उसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अंक x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

हमें वह मिल गया

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, जिसका अर्थ है कि अंतराल - ∞ ; - 1 का एक धनात्मक अवकलज है। इसी प्रकार, हम पाते हैं कि

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

चूंकि दूसरा अंतराल शून्य से कम निकला, इसका मतलब है कि अंतराल पर व्युत्पन्न नकारात्मक होगा। तीसरा माइनस के साथ, चौथा प्लस के साथ। निरंतरता निर्धारित करने के लिए, आपको व्युत्पन्न के संकेत पर ध्यान देने की आवश्यकता है; यदि यह बदलता है, तो यह एक चरम बिंदु है।

हम पाते हैं कि बिंदु x = - 1 पर फलन सतत होगा, जिसका अर्थ है कि अवकलज का चिह्न + से - में बदल जाएगा। पहले चिह्न के अनुसार, हमारे पास है कि x = - 1 एक अधिकतम बिंदु है, जिसका अर्थ है कि हमें प्राप्त होता है

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

बिंदु x = 5 इंगित करता है कि फ़ंक्शन निरंतर है, और व्युत्पन्न चिह्न - से + में बदल जाएगा। इसका मतलब है कि x = -1 न्यूनतम बिंदु है, और इसके निर्धारण का रूप है

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

इस तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि एक चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के उपयोग के लिए बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन की भिन्नता की आवश्यकता नहीं होती है, इससे गणना सरल हो जाती है।

उदाहरण 2

फलन y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसे इस प्रकार के समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

फिर आपको व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

बिंदु x = 0 का कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि एक तरफा सीमा के मान भिन्न हैं। हमें वह मिलता है:

लिम वाई "एक्स → 0 - 0 = लिम वाई एक्स → 0 - 0 - 1 2 एक्स 2 - 4 एक्स - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 लिम y "

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि फलन बिंदु x = 0 पर सतत है, फिर हम गणना करते हैं

लिम y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 लिम y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

जब व्युत्पन्न शून्य हो जाता है तो तर्क का मान ज्ञात करने के लिए गणना करना आवश्यक है:

1 2 एक्स 2 - 4 एक्स - 22 3 , एक्स< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

प्रत्येक अंतराल का चिह्न निर्धारित करने के लिए सभी प्राप्त बिंदुओं को एक सीधी रेखा पर अंकित किया जाना चाहिए। इसलिए, प्रत्येक अंतराल के लिए मनमाने बिंदुओं पर व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, हम x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6 मान वाले अंक ले सकते हैं। हमें वह मिल गया

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

सीधी रेखा पर छवि ऐसी दिखती है

इसका मतलब यह है कि हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि चरम सीमा के पहले संकेत का सहारा लेना आवश्यक है। आइए गणना करें और उसे खोजें

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , तो यहां से अधिकतम बिंदुओं का मान x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3 है

आइए न्यूनतम की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

आइए फ़ंक्शन की अधिकतम सीमा की गणना करें। हमें वह मिल गया

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 एक्स - 8 एक्स = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ग्राफ़िक छवि

उत्तर:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

यदि एक फ़ंक्शन f "(x 0) = 0 दिया गया है, तो यदि f "" (x 0) > 0, तो हम प्राप्त करते हैं कि x 0 एक न्यूनतम बिंदु है यदि f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

उदाहरण 3

फलन y = 8 x x + 1 का अधिकतम और निम्नतम ज्ञात कीजिए।

समाधान

सबसे पहले, हम परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। हमें वह मिल गया

डी(वाई) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

फ़ंक्शन को अलग करना आवश्यक है, जिसके बाद हमें मिलता है

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

x = 1 पर, व्युत्पन्न शून्य हो जाता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु एक संभावित चरम है। स्पष्ट करने के लिए, दूसरा व्युत्पन्न खोजना और x = 1 पर मान की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

इसका मतलब यह है कि एक चरम के लिए 2 पर्याप्त शर्तों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं कि x = 1 एक अधिकतम बिंदु है। अन्यथा, प्रविष्टि y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 जैसी दिखती है।

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: y m a x = y (1) = 4 ..

फ़ंक्शन y = f (x) का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु x 0 के ε पड़ोस में nवें क्रम तक होता है और इसका व्युत्पन्न बिंदु x 0 पर n + प्रथम क्रम तक होता है। फिर f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = एफ एन (एक्स 0) = 0।

इसका तात्पर्य यह है कि जब n एक सम संख्या है, तो x 0 को एक विभक्ति बिंदु माना जाता है, जब n एक विषम संख्या है, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और f (n + 1) (x 0) > 0, तो x 0 एक न्यूनतम बिंदु है, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

उदाहरण 4

फलन y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

मूल फलन एक तर्कसंगत संपूर्ण फलन है, जिसका अर्थ है कि परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। कार्य में अंतर करना आवश्यक है। हमें वह मिल गया

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (एक्स - 3) 3) = 1 16 (एक्स + 1) 2 (एक्स - 3) 3 (3 एक्स - 9 + 4 एक्स + 4) = 1 16 (एक्स + 1) 2 (एक्स - 3) 3 (7 x - 5)

यह व्युत्पन्न x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 पर शून्य हो जाएगा। अर्थात्, बिंदु संभावित चरम बिंदु हो सकते हैं। चरम सीमा के लिए तीसरी पर्याप्त शर्त लागू करना आवश्यक है। दूसरा व्युत्पन्न ढूँढने से आप किसी फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम की उपस्थिति को सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं। दूसरे व्युत्पन्न की गणना उसके संभावित चरम के बिंदुओं पर की जाती है। हमें वह मिल गया

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

इसका मतलब यह है कि x 2 = 5 7 अधिकतम बिंदु है। तीसरे पर्याप्त मानदंड को लागू करने पर, हम पाते हैं कि n = 1 और f (n + 1) 5 7 के लिए< 0 .

बिंदुओं x 1 = - 1, x 3 = 3 की प्रकृति निर्धारित करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको तीसरा व्युत्पन्न ढूंढना होगा और इन बिंदुओं पर मूल्यों की गणना करनी होगी। हमें वह मिल गया

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

इसका मतलब यह है कि x 1 = - 1 फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु है, क्योंकि n = 2 और f (n + 1) (- 1) ≠ 0 के लिए। बिंदु x 3 = 3 की जांच करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम चौथा व्युत्पन्न ढूंढते हैं और इस बिंदु पर गणना करते हैं:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ऊपर जो निर्णय लिया गया उससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x 3 = 3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

ग्राफ़िक छवि

उत्तर: x 2 = 5 7 अधिकतम बिंदु है, x 3 = 3 दिए गए फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

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समारोह की चरम सीमा

परिभाषा 2

एक बिंदु $x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का एक पड़ोस ऐसा है कि इस पड़ोस में सभी $x$ के लिए असमानता $f(x)\le f(x_0) $ धारण करता है।

परिभाषा 3

एक बिंदु $x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु का एक पड़ोस ऐसा है कि इस पड़ोस में सभी $x$ के लिए असमानता $f(x)\ge f(x_0) $ धारण करता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम की अवधारणा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की अवधारणा से निकटता से संबंधित है। आइये इसकी परिभाषा से परिचित कराते हैं।

परिभाषा 4

$x_0$ को फ़ंक्शन $f(x)$ का एक महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है यदि:

1) $x_0$ - परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ या अस्तित्व में नहीं है।

चरम की अवधारणा के लिए, हम इसके अस्तित्व के लिए पर्याप्त और आवश्यक शर्तों पर प्रमेय तैयार कर सकते हैं।

प्रमेय 2

चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए कि बिंदु $x_0$ फ़ंक्शन $y=f(x)$ के लिए महत्वपूर्ण है और अंतराल $(a,b)$ में स्थित है। मान लीजिए कि प्रत्येक अंतराल $\left(a,x_0\right)\ और\ (x_0,b)$ पर व्युत्पन्न $f"(x)$ मौजूद है और एक स्थिर चिह्न बनाए रखता है। फिर:

1) यदि अंतराल $(a,x_0)$ पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right)>0$ है, और अंतराल $(x_0,b)$ पर व्युत्पन्न $f"\left( है x\दाएं)

2) यदि अंतराल $(a,x_0)$ पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right)0$ है, तो बिंदु $x_0$ इस फ़ंक्शन के लिए न्यूनतम बिंदु है।

3) यदि अंतराल $(a,x_0)$ और अंतराल $(x_0,b)$ दोनों पर व्युत्पन्न $f"\left(x\right) >0$ या व्युत्पन्न $f"\left(x) \सही)

यह प्रमेय चित्र 1 में दर्शाया गया है।

चित्र 1. एक्स्ट्रेमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति

चरम सीमाओं के उदाहरण (चित्र 2)।

चित्र 2. चरम बिंदुओं के उदाहरण

चरम के लिए किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने का नियम

2) व्युत्पन्न $f"(x)$ खोजें;

7) प्रमेय 2 का उपयोग करके प्रत्येक अंतराल पर मैक्सिमा और मिनिमा की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

बढ़ते और घटते कार्य

आइए सबसे पहले बढ़ते और घटते फलनों की परिभाषाएँ प्रस्तुत करें।

परिभाषा 5

कहा जाता है कि अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ बढ़ रहा है यदि $x_1 पर किसी भी बिंदु $x_1,x_2\in X$ के लिए

परिभाषा 6

अंतराल $X$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ को घटता हुआ माना जाता है यदि $x_1f(x_2)$ के लिए किसी भी बिंदु $x_1,x_2\in X$ के लिए।

किसी फ़ंक्शन को बढ़ाने और घटाने के लिए अध्ययन करना

आप व्युत्पन्न का उपयोग करके बढ़ते और घटते कार्यों का अध्ययन कर सकते हैं।

बढ़ते और घटते अंतरालों के लिए किसी फ़ंक्शन की जांच करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करना होगा:

1) फ़ंक्शन $f(x)$ की परिभाषा का डोमेन खोजें;

2) व्युत्पन्न $f"(x)$ खोजें;

3) उन बिंदुओं को ढूंढें जिन पर समानता $f"\left(x\right)=0$ कायम है;

4) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर $f"(x)$ मौजूद नहीं है;

5) समन्वय रेखा पर पाए गए सभी बिंदुओं और इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को चिह्नित करें;

6) प्रत्येक परिणामी अंतराल पर व्युत्पन्न $f"(x)$ का चिह्न निर्धारित करें;

7) एक निष्कर्ष निकालें: अंतराल पर जहां $f"\left(x\right)0$ फ़ंक्शन बढ़ता है।

बढ़ने, घटने और एक्स्ट्रेमा बिंदुओं की उपस्थिति के कार्यों का अध्ययन करने के लिए समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

बढ़ने और घटने और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

चूँकि पहले 6 बिंदु समान हैं, आइए पहले उन पर अमल करें।

1) परिभाषा का क्षेत्र - सभी वास्तविक संख्याएँ;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ परिभाषा के क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर मौजूद है;

5) समन्वय रेखा:

चित्र तीन।

6) प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न $f"(x)$ का चिह्न निर्धारित करें:

\ \}