पहचान मैट्रिक्स के माध्यम से व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना। उच्च गणित

किसी भी गैर-एकवचन मैट्रिक्स A के लिए एक अद्वितीय मैट्रिक्स A -1 होता है

ए*ए -1 =ए -1 *ए = ई,

जहां E, A के समान क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम कहा जाता है।

यदि कोई भूल गया है, तो पहचान मैट्रिक्स में, एक से भरे विकर्ण को छोड़कर, अन्य सभी स्थान शून्य से भरे हुए हैं, एक पहचान मैट्रिक्स का एक उदाहरण:

सहायक मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

जहां ए आईजे - तत्व ए आईजे।

वे। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, आपको इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। फिर इसके सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक खोजें और उनसे एक नया मैट्रिक्स बनाएं। आगे आपको इस मैट्रिक्स को ट्रांसपोर्ट करना होगा। और नए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक से विभाजित करें।

आइए कुछ उदाहरण देखें.

मैट्रिक्स के लिए A -1 खोजें

समाधान। आइए सहायक मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके ए -1 खोजें। हमारे पास det A = 2 है। आइए हम मैट्रिक्स A के तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें। इस मामले में, मैट्रिक्स तत्वों के बीजगणितीय पूरक स्वयं मैट्रिक्स के संबंधित तत्व होंगे, जिन्हें सूत्र के अनुसार एक चिह्न के साथ लिया गया है।

हमारे पास ए 11 = 3, ए 12 = -4, ए 21 = -1, ए 22 = 2 है। हम सहायक मैट्रिक्स बनाते हैं

हम मैट्रिक्स A* को ट्रांसपोर्ट करते हैं:

हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:

हम पाते हैं:

सहायक मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके, A -1 खोजें यदि

समाधान: सबसे पहले, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए इस मैट्रिक्स की परिभाषा की गणना करते हैं। हमारे पास है

यहां हमने दूसरी पंक्ति के तत्वों में तीसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ा, जिन्हें पहले (-1) से गुणा किया गया था, और फिर दूसरी पंक्ति के लिए निर्धारक का विस्तार किया। चूँकि इस मैट्रिक्स की परिभाषा शून्येतर है, इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। आसन्न मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए, हम इस मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक पाते हैं। हमारे पास है

सूत्र के अनुसार

परिवहन मैट्रिक्स ए*:

फिर सूत्र के अनुसार

प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की विधि के अलावा, जो सूत्र (सहायक मैट्रिक्स विधि) से अनुसरण करती है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की एक विधि है, जिसे प्राथमिक परिवर्तनों की विधि कहा जाता है।

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन

निम्नलिखित परिवर्तनों को प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन कहा जाता है:

1) पंक्तियों (स्तंभों) की पुनर्व्यवस्था;

2) एक पंक्ति (स्तंभ) को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

3) एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को जोड़ना, पहले एक निश्चित संख्या से गुणा करना।

मैट्रिक्स ए -1 को खोजने के लिए, हम एक आयताकार मैट्रिक्स बी = (ए | ई) ऑर्डर (एन; 2 एन) का निर्माण करते हैं, दाईं ओर मैट्रिक्स ए को एक विभाजन रेखा के माध्यम से पहचान मैट्रिक्स ई निर्दिष्ट करते हैं:

आइए एक उदाहरण देखें.

प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करते हुए, A -1 खोजें यदि

समाधान। हम मैट्रिक्स बी बनाते हैं:

आइए मैट्रिक्स बी की पंक्तियों को α 1, α 2, α 3 से निरूपित करें। आइए मैट्रिक्स बी की पंक्तियों पर निम्नलिखित परिवर्तन करें।

मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A के संबंध में व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है यदि A*A -1 = E, जहां E nवें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद हो सकता है।

सेवा का उद्देश्य. इस सेवा का ऑनलाइन उपयोग करके आप बीजगणितीय पूरक, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स एटी, संबद्ध मैट्रिक्स और व्युत्क्रम मैट्रिक्स पा सकते हैं। निर्णय सीधे वेबसाइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और निःशुल्क है। गणना परिणाम वर्ड और एक्सेल प्रारूप में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं (यानी, समाधान की जांच करना संभव है)। डिज़ाइन उदाहरण देखें.

निर्देश। समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स के आयाम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। इसके बाद, नए डायलॉग बॉक्स में मैट्रिक्स ए भरें।

जॉर्डनो-गॉस विधि का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी देखें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी ढूँढना।
2. बीजगणितीय पूरकों की परिभाषा. मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उसके बीजगणितीय पूरक से बदलें।
3. बीजीय जोड़ से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स संकलित करना: परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।

1. निर्धारित करें कि मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। यदि नहीं, तो इसके लिए कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है।
2. मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समाधान जारी रखते हैं, अन्यथा व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
3. बीजगणितीय पूरकों की परिभाषा.
4. संघ (पारस्परिक, सहायक) मैट्रिक्स सी को भरना।
5. बीजगणितीय जोड़ से एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स संकलित करना: सहायक मैट्रिक्स सी के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया गया है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
6. वे जाँच करते हैं: वे मूल और परिणामी मैट्रिक्स को गुणा करते हैं। परिणाम एक पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए.

उदाहरण क्रमांक 1. आइए मैट्रिक्स को इस रूप में लिखें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एक और एल्गोरिदम

1. किसी दिए गए वर्ग मैट्रिक्स ए का निर्धारक ज्ञात करें।
2. हम मैट्रिक्स ए के सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक पाते हैं।
3. हम पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय जोड़ को कॉलम (ट्रांसपोज़िशन) में लिखते हैं।
4. हम परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मैट्रिक्स ए के निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं।

एक विशेष मामला: पहचान मैट्रिक्स ई का व्युत्क्रम पहचान मैट्रिक्स ई है।

किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिससे मूल को गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स मिलती है: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की उपस्थिति के लिए एक अनिवार्य और पर्याप्त शर्त यह है कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक है शून्य के बराबर नहीं (जिसका तात्पर्य यह है कि मैट्रिक्स वर्गाकार होना चाहिए)। यदि किसी मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के बराबर है, तो उसे एकवचन कहा जाता है और ऐसे मैट्रिक्स में व्युत्क्रम नहीं होता है। उच्च गणित में, व्युत्क्रम आव्यूह महत्वपूर्ण हैं और कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढनासमीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक मैट्रिक्स विधि का निर्माण किया गया था। हमारी सेवा साइट अनुमति देती है व्युत्क्रम मैट्रिक्स की ऑनलाइन गणना करेंदो विधियाँ: गॉस-जॉर्डन विधि और बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना। पहले में मैट्रिक्स के अंदर बड़ी संख्या में प्राथमिक परिवर्तन शामिल हैं, दूसरे में सभी तत्वों के लिए निर्धारक और बीजगणितीय परिवर्धन की गणना शामिल है। किसी मैट्रिक्स के निर्धारक की ऑनलाइन गणना करने के लिए, आप हमारी अन्य सेवा का उपयोग कर सकते हैं - ऑनलाइन मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना

साइट के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनतेज़ और मुफ़्त. साइट पर, हमारी सेवा का उपयोग करके गणना की जाती है और परिणाम खोजने के लिए विस्तृत समाधान के साथ दिया जाता है उलटा मैट्रिक्स. सर्वर हमेशा सटीक और सही उत्तर ही देता है। परिभाषा के अनुसार कार्यों में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइन, यह आवश्यक है कि निर्धारक मैट्रिक्सअन्यथा शून्येतर था वेबसाइटइस तथ्य के कारण व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की असंभवता की रिपोर्ट करेगा कि मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है। खोजने का कार्य उलटा मैट्रिक्सगणित की कई शाखाओं में पाया जाता है, जो बीजगणित की सबसे बुनियादी अवधारणाओं में से एक है और व्यावहारिक समस्याओं में गणितीय उपकरण है। स्वतंत्र व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषागणना में टाइपो या छोटी त्रुटियों से बचने के लिए महत्वपूर्ण प्रयास, बहुत समय, गणना और बहुत सावधानी की आवश्यकता होती है। इसलिए हमारी सेवा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढनाआपके कार्य को बहुत आसान बना देगा और गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक अनिवार्य उपकरण बन जाएगा। यहां तक ​​कि यदि तुम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजेंहम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं अपने सर्वर पर अपना समाधान जांचें। हमारे ऑनलाइन व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना में अपना मूल मैट्रिक्स दर्ज करें और अपना उत्तर जांचें। हमारा सिस्टम कभी गलती नहीं करता और न ही खोजता है उलटा मैट्रिक्समोड में दिया गया आयाम ऑनलाइनतुरन्त! स्थल पर वेबसाइटतत्वों में वर्ण प्रविष्टियों की अनुमति है मैट्रिक्स, इस मामले में उलटा मैट्रिक्स ऑनलाइनसामान्य प्रतीकात्मक रूप में प्रस्तुत किया जायेगा।

यह विषय छात्रों के बीच सबसे अधिक नापसंद किए जाने वाले विषयों में से एक है। इससे भी बदतर, शायद, क्वालीफायर हैं।

चाल यह है कि व्युत्क्रम तत्व की अवधारणा (और मैं केवल मैट्रिक्स के बारे में बात नहीं कर रहा हूं) हमें गुणन के संचालन को संदर्भित करता है। यहां तक ​​कि स्कूली पाठ्यक्रम में भी, गुणन को एक जटिल संक्रिया माना जाता है, और आव्यूहों का गुणन आम तौर पर एक अलग विषय है, जिसके लिए मेरे पास एक पूरा पैराग्राफ और वीडियो पाठ समर्पित है।

आज हम मैट्रिक्स गणना के विवरण में नहीं जाएंगे। आइए बस याद रखें: आव्यूहों को कैसे निर्दिष्ट किया जाता है, उन्हें कैसे गुणा किया जाता है, और इससे क्या होता है।

समीक्षा: मैट्रिक्स गुणन

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। $\left[ m\times n \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स $A$ बिल्कुल $m$ पंक्तियों और $n$ कॉलम वाली संख्याओं की एक तालिका है:

\=\अंडरब्रेस(\left[ \begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1n)) \\ (( a)_(21)) और ((a)_(22)) और ... और ((a)_(2n)) \ ... और ... और ... और ... \ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\end(matrix) \right])_(n)\]

गलती से पंक्तियों और स्तंभों के मिश्रण से बचने के लिए (मेरा विश्वास करें, किसी परीक्षा में आप एक को दो के साथ भ्रमित कर सकते हैं, कुछ पंक्तियों की तो बात ही छोड़ दें), बस चित्र देखें:

क्या हो रहा है? यदि आप मानक समन्वय प्रणाली $OXY$ को ऊपरी बाएँ कोने में रखते हैं और अक्षों को निर्देशित करते हैं ताकि वे पूरे मैट्रिक्स को कवर करें, तो इस मैट्रिक्स की प्रत्येक कोशिका को निर्देशांक $\left(x;y \right)$ के साथ विशिष्ट रूप से संबद्ध किया जा सकता है। - यह पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या होगी.

समन्वय प्रणाली को ऊपरी बाएँ कोने में क्यों रखा गया है? हाँ, क्योंकि यहीं से हम किसी भी पाठ को पढ़ना शुरू करते हैं। इसे याद रखना बहुत आसान है.

$x$ अक्ष नीचे की ओर निर्देशित क्यों है, दाईं ओर क्यों नहीं? फिर, यह सरल है: एक मानक समन्वय प्रणाली लें ($x$ अक्ष दाईं ओर जाता है, $y$ अक्ष ऊपर जाता है) और इसे घुमाएं ताकि यह मैट्रिक्स को कवर कर सके। यह 90 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाव है - हम चित्र में परिणाम देखते हैं।

सामान्य तौर पर, हमने यह पता लगा लिया है कि मैट्रिक्स तत्वों के सूचकांक कैसे निर्धारित करें। अब गुणा पर नजर डालते हैं.

परिभाषा। मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$, जब पहले में कॉलम की संख्या दूसरे में पंक्तियों की संख्या के साथ मेल खाती है, हैं सुसंगत कहा जाता है.

बिल्कुल उसी क्रम में. कोई भ्रमित हो सकता है और कह सकता है कि आव्यूह $A$ और $B$ एक क्रमित जोड़ी बनाते हैं $\left(A;B \right)$: यदि वे इस क्रम में सुसंगत हैं, तो यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि $B $ और $A$ वो. जोड़ी $\left(B;A \right)$ भी सुसंगत है।

केवल सुमेलित आव्यूहों को ही गुणा किया जा सकता है।

परिभाषा। मिलान किए गए मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ और $B=\left[ n\times k \right]$ का गुणनफल नया मैट्रिक्स $C=\left[ m\times k \right]$ है ]$ , जिसके तत्व $((c)_(ij))$ की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दूसरे शब्दों में: मैट्रिक्स $C=A\cdot B$ का तत्व $((c)_(ij))$ प्राप्त करने के लिए, आपको पहले मैट्रिक्स की $i$-पंक्ति, $j$ लेने की आवश्यकता है दूसरे मैट्रिक्स का -वाँ कॉलम, और फिर इस पंक्ति और कॉलम से जोड़े तत्वों को गुणा करें। परिणाम जोड़ें.

हाँ, यह बहुत कठोर परिभाषा है। इससे तुरंत कई तथ्य सामने आते हैं:

1. मैट्रिक्स गुणन, आम तौर पर बोलना, गैर-क्रमविनिमेय है: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. हालाँकि, गुणन साहचर्य है: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. और वितरणात्मक रूप से भी: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. और एक बार फिर वितरणात्मक रूप से: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

गुणन संक्रिया की गैर-विनिमेयता के कारण गुणन की वितरणशीलता को बाएँ और दाएँ योग कारक के लिए अलग-अलग वर्णित किया जाना था।

यदि यह पता चलता है कि $A\cdot B=B\cdot A$, तो ऐसे मैट्रिक्स को क्रमविनिमेय कहा जाता है।

सभी आव्यूहों में जिन्हें किसी चीज़ से गुणा किया जाता है, कुछ विशेष आव्यूह होते हैं - वे, जिन्हें किसी भी आव्यूह $A$ से गुणा करने पर फिर से $A$ मिलता है:

परिभाषा। एक मैट्रिक्स $E$ को पहचान कहा जाता है यदि $A\cdot E=A$ या $E\cdot A=A$. वर्ग मैट्रिक्स $A$ के मामले में हम लिख सकते हैं:

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करते समय पहचान मैट्रिक्स अक्सर अतिथि होता है। और सामान्य तौर पर, मैट्रिसेस की दुनिया में बार-बार आने वाला मेहमान। :)

और इस $E$ के कारण, कोई वह सारी बकवास लेकर आया जो आगे लिखा जाएगा।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स क्या है

चूँकि मैट्रिक्स गुणन एक बहुत ही श्रम-गहन ऑपरेशन है (आपको पंक्तियों और स्तंभों का एक समूह गुणा करना होगा), व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा भी सबसे तुच्छ नहीं है। और कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है.

मुख्य परिभाषा

खैर, अब सच जानने का समय आ गया है।

परिभाषा। एक मैट्रिक्स $B$ को मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को $((A)^(-1))$ द्वारा दर्शाया जाता है (डिग्री के साथ भ्रमित न हों!), इसलिए परिभाषा को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

ऐसा प्रतीत होगा कि सब कुछ अत्यंत सरल और स्पष्ट है। लेकिन इस परिभाषा का विश्लेषण करते समय तुरंत कई प्रश्न उठते हैं:

1. क्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा मौजूद होता है? और यदि हमेशा नहीं, तो यह कैसे निर्धारित किया जाए: यह कब मौजूद है और कब नहीं?
2. और किसने कहा कि बिल्कुल ऐसा ही एक मैट्रिक्स है? क्या होगा यदि कुछ प्रारंभिक मैट्रिक्स $A$ के लिए व्युत्क्रमों की एक पूरी भीड़ हो?
3. ये सभी "उलट" कैसे दिखते हैं? और वास्तव में, हमें उन्हें कैसे गिनना चाहिए?

जहां तक ​​गणना एल्गोरिदम का सवाल है, हम इसके बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। लेकिन बाकी सवालों के जवाब हम अभी देंगे. आइए हम उन्हें अलग-अलग कथन-लेम्मा के रूप में तैयार करें।

मूल गुण

आइए शुरुआत करते हैं कि मैट्रिक्स $A$ को, सिद्धांत रूप में, $((A)^(-1))$ के अस्तित्व के लिए कैसा दिखना चाहिए। अब हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हों और समान आकार के हों: $\left[ n\times n \right]$।

लेम्मा 1. एक मैट्रिक्स $A$ और इसका व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ दिया गया है। फिर ये दोनों आव्यूह वर्गाकार हैं, और समान क्रम के $n$ हैं।

सबूत। यह आसान है। मान लीजिए मैट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. चूँकि उत्पाद $A\cdot ((A)^(-1))=E$ परिभाषा के अनुसार मौजूद है, आव्यूह $A$ और $((A)^(-1))$ दिखाए गए क्रम में सुसंगत हैं:

\[\begin(संरेखित) और \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( संरेखित करें)\]

यह मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का प्रत्यक्ष परिणाम है: गुणांक $n$ और $a$ "पारगमन" हैं और समान होने चाहिए।

साथ ही, उलटा गुणन भी परिभाषित किया गया है: $((A)^(-1))\cdot A=E$, इसलिए आव्यूह $((A)^(-1))$ और $A$ हैं निर्दिष्ट क्रम में भी सुसंगत:

\[\begin(संरेखित) और \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( संरेखित करें)\]

इस प्रकार, व्यापकता की हानि के बिना, हम मान सकते हैं कि $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. हालाँकि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ की परिभाषा के अनुसार, इसलिए मैट्रिक्स के आकार सख्ती से मेल खाते हैं:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

तो यह पता चलता है कि सभी तीन आव्यूह - $A$, $((A)^(-1))$ और $E$ - आकार के वर्ग आव्यूह हैं $\left[ n\times n \right]$। लेम्मा सिद्ध है.

ख़ैर, यह पहले से ही अच्छा है। हम देखते हैं कि केवल वर्ग आव्यूह व्युत्क्रमणीय होते हैं। अब आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स हमेशा समान हो।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स $A$ और इसका व्युत्क्रम $((A)^(-1))$ दिया गया है। तब यह व्युत्क्रम मैट्रिक्स ही एकमात्र है।

सबूत। आइए विरोधाभास से चलें: मान लें कि मैट्रिक्स $A$ में कम से कम दो व्युत्क्रम हैं - $B$ और $C$। फिर, परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं:

\[\begin(संरेखित) और A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेम्मा 1 से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार आव्यूह - $A$, $B$, $C$ और $E$ - एक ही क्रम के वर्ग हैं: $\left[ n\times n \right]$। इसलिए, उत्पाद परिभाषित है:

चूँकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है (लेकिन क्रमविनिमेय नहीं!), हम लिख सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\दायाँ तीर B=C. \\ \end(संरेखित करें)\]

हमें एकमात्र संभावित विकल्प मिला: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की दो प्रतियां बराबर हैं। लेम्मा सिद्ध है.

उपरोक्त तर्क सभी वास्तविक संख्याओं $b\ne 0$ के लिए व्युत्क्रम तत्व की विशिष्टता के प्रमाण को लगभग शब्दशः दोहराते हैं। एकमात्र महत्वपूर्ण जोड़ मैट्रिक्स के आयाम को ध्यान में रखना है।

हालाँकि, हम अभी भी इस बारे में कुछ नहीं जानते हैं कि क्या प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है। यहां सारणिक हमारी सहायता के लिए आता है - यह सभी वर्ग आव्यूहों के लिए एक प्रमुख विशेषता है।

लेम्मा 3. एक मैट्रिक्स $A$ दिया गया है। यदि इसका व्युत्क्रम मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है, तो मूल मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है:

\[\बाएं| A\दाएं|\ne 0\]

सबूत। हम पहले से ही जानते हैं कि $A$ और $((A)^(-1))$ आकार के वर्ग आव्यूह हैं $\left[ n\times n \right]$। इसलिए, उनमें से प्रत्येक के लिए हम निर्धारक की गणना कर सकते हैं: $\left| A\right|$ और $\left| ((ए)^(-1)) \दाएं|$. हालाँकि, किसी उत्पाद का निर्धारक निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:

\[\बाएं| A\cdot B \दाएं|=\बाएं| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| बी \दाएं|\दायां तीर \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| ((ए)^(-1)) \दाएं|\]

लेकिन परिभाषा के अनुसार, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, और $E$ का निर्धारक हमेशा 1 के बराबर होता है, इसलिए

\[\begin(संरेखित करें) और A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \बाएं| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| ई\दाएं|; \\ & \बाएं| एक \दाएँ|\cdot \बाएँ| ((ए)^(-1)) \दाएं|=1. \\ \end(संरेखित करें)\]

दो संख्याओं का गुणनफल केवल एक के बराबर होता है यदि इनमें से प्रत्येक संख्या शून्येतर हो:

\[\बाएं| A \right|\ne 0;\quad \left| ((ए)^(-1)) \दाएं|\ne 0.\]

तो यह पता चला कि $\left| A \right|\ne 0$. लेम्मा सिद्ध है.

वास्तव में, यह आवश्यकता काफी तार्किक है। अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे - और यह पूरी तरह से स्पष्ट हो जाएगा कि, शून्य निर्धारक के साथ, सिद्धांत रूप में कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं हो सकता है।

लेकिन पहले, आइए एक "सहायक" परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा। एक विलक्षण मैट्रिक्स $\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य है।

इस प्रकार, हम यह दावा कर सकते हैं कि प्रत्येक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स गैर-एकवचन है।

मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें

अब हम व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करने के लिए एक सार्वभौमिक एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। सामान्य तौर पर, दो आम तौर पर स्वीकृत एल्गोरिदम हैं, और हम आज दूसरे पर भी विचार करेंगे।

अब जिस पर चर्चा की जाएगी वह $\left[ 2\times 2 \right]$ और - आंशिक रूप से - आकार $\left[ 3\times 3 \right]$ के आव्यूहों के लिए बहुत प्रभावी है। लेकिन आकार $\left[ 4\times 4 \right]$ से शुरू करके इसका उपयोग न करना ही बेहतर है। क्यों - अब आप खुद ही सब समझ जायेंगे.

बीजगणितीय जोड़

तैयार हो जाओ। अब तो दर्द होगा. नहीं, चिंता न करें: स्कर्ट और लेस वाले मोज़े में एक खूबसूरत नर्स आपके पास नहीं आएगी और आपको नितंब में इंजेक्शन नहीं लगाएगी। सब कुछ बहुत अधिक नीरस है: बीजगणितीय जोड़ और महामहिम "यूनियन मैट्रिक्स" आपके पास आते हैं।

चलिए मुख्य बात से शुरू करते हैं। मान लीजिए कि $A=\left[ n\times n \right]$ आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स है, जिसके तत्वों को $((a)_(ij))$ कहा जाता है। फिर ऐसे प्रत्येक तत्व के लिए हम एक बीजगणितीय पूरक परिभाषित कर सकते हैं:

परिभाषा। बीजगणित $((A)_(ij))$ को $((a)_(ij))$ तत्व से पूरक करता है जो मैट्रिक्स के $i$th पंक्ति और $j$th कॉलम में स्थित है $A=\left[ n \times n \right]$ फॉर्म का एक निर्माण है

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

जहां $M_(ij)^(*)$ समान $i$वीं पंक्ति और $j$th कॉलम को हटाकर मूल $A$ से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

दोबारा। निर्देशांक $\left(i;j \right)$ वाले मैट्रिक्स तत्व के बीजगणितीय पूरक को $((A)_(ij))$ के रूप में दर्शाया गया है और योजना के अनुसार गणना की जाती है:

1. सबसे पहले, हम मूल मैट्रिक्स से $i$-row और $j$-th कॉलम हटाते हैं। हमें एक नया वर्ग मैट्रिक्स प्राप्त होता है, और हम इसके निर्धारक को $M_(ij)^(*)$ के रूप में दर्शाते हैं।
2. फिर हम इस निर्धारक को $((\left(-1 \right))^(i+j))$ से गुणा करते हैं - पहले तो यह अभिव्यक्ति आश्चर्यजनक लग सकती है, लेकिन संक्षेप में हम केवल इसके सामने वाले चिह्न का पता लगा रहे हैं $M_(ij)^(*) $.
3. हम गिनते हैं और एक विशिष्ट संख्या प्राप्त करते हैं। वे। बीजगणितीय जोड़ वास्तव में एक संख्या है, न कि कोई नया मैट्रिक्स, आदि।

मैट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ को तत्व $((a)_(ij))$ का अतिरिक्त माइनर कहा जाता है। और इस अर्थ में, बीजगणितीय पूरक की उपरोक्त परिभाषा एक अधिक जटिल परिभाषा का एक विशेष मामला है - जिसे हमने निर्धारक के बारे में पाठ में देखा था।

महत्वपूर्ण लेख। दरअसल, "वयस्क" गणित में, बीजीय जोड़ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

1. हम एक वर्ग मैट्रिक्स में $k$ पंक्तियाँ और $k$ कॉलम लेते हैं। उनके प्रतिच्छेदन पर हमें $\left[ k\times k \right]$ आकार का एक मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को $k$ क्रम का लघु कहा जाता है और इसे $((M)_(k))$ दर्शाया जाता है।
2. फिर हम इन "चयनित" $k$ पंक्तियों और $k$ कॉलमों को काट देते हैं। एक बार फिर आपको एक वर्ग मैट्रिक्स मिलता है - इसके निर्धारक को अतिरिक्त लघु कहा जाता है और इसे $M_(k)^(*)$ दर्शाया जाता है।
3. $M_(k)^(*)$ को $((\left(-1 \right))^(t))$ से गुणा करें, जहां $t$ (अब ध्यान दें!) सभी चयनित पंक्तियों की संख्याओं का योग है और कॉलम. यह बीजगणितीय जोड़ होगा.

तीसरे चरण को देखें: वास्तव में $2k$ शब्दों का योग होता है! दूसरी बात यह है कि $k=1$ के लिए हमें केवल 2 पद मिलेंगे - ये वही $i+j$ होंगे - तत्व $((a)_(ij))$ के "निर्देशांक" जिसके लिए हम हैं एक बीजगणितीय पूरक की तलाश में।

इसलिए आज हम थोड़ी सरलीकृत परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं। लेकिन जैसा कि हम बाद में देखेंगे, यह पर्याप्त से अधिक होगा। निम्नलिखित बात अधिक महत्वपूर्ण है:

परिभाषा। वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ से संबद्ध मैट्रिक्स $S$ $\left[ n\times n \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है, जो $A$ से प्राप्त होता है $(( a)_(ij))$ को बीजीय जोड़ द्वारा प्रतिस्थापित करके $((A)_(ij))$:

\\दायां तीर S=\left[ \begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(11)) और ((ए)_(12)) और ... और ((ए)_(1n)) \\ (( ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) \ ... और ... और ... और ... \ ((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) \\\end(मैट्रिक्स) \दाएं]\]

इस परिभाषा को समझते ही सबसे पहला विचार यही उठता है कि "कितना गिनना पड़ेगा!" आराम करें: आपको गिनना होगा, लेकिन उतना नहीं। :)

खैर ये सब तो बहुत अच्छा है, लेकिन ये जरूरी क्यों है? लेकिन क्यों।

मुख्य प्रमेय

चलिए थोड़ा पीछे चलते हैं. याद रखें, लेम्मा 3 में यह कहा गया था कि व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स $A$ हमेशा गैर-एकवचन होता है (अर्थात, इसका निर्धारक गैर-शून्य होता है: $\left| A \right|\ne 0$)।

तो, विपरीत भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स $A$ एकवचन नहीं है, तो यह हमेशा उलटा होता है। और $((A)^(-1))$ के लिए एक खोज योजना भी है। इसकी जांच - पड़ताल करें:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्रमेय. मान लीजिए कि एक वर्ग मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ दिया गया है, और इसका निर्धारक शून्येतर है: $\left| A \right|\ne 0$. फिर व्युत्क्रम मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मौजूद है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

और अब - सब कुछ वैसा ही है, लेकिन सुपाठ्य लिखावट में। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको चाहिए:

1. निर्धारक $\left| की गणना करें A \right|$ और सुनिश्चित करें कि यह गैर-शून्य है।
2. यूनियन मैट्रिक्स $S$ का निर्माण करें, अर्थात। 100500 बीजगणितीय जोड़ $((A)_(ij))$ गिनें और उन्हें $((a)_(ij))$ के स्थान पर रखें।
3. इस मैट्रिक्स $S$ को स्थानांतरित करें, और फिर इसे किसी संख्या $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ से गुणा करें।

बस इतना ही! उलटा मैट्रिक्स $((A)^(-1))$ मिल गया है। आइए उदाहरण देखें:

\[\बाएं[ \शुरू(मैट्रिक्स) 3 और 1 \\ 5 और 2 \\\अंत(मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। आइए उत्क्रमणीयता की जाँच करें। आइए निर्धारक की गणना करें:

\[\बाएं| ए\दाएं|=\बाएं| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

निर्धारक शून्य से भिन्न है। इसका मतलब है कि मैट्रिक्स उलटा है. आइए एक यूनियन मैट्रिक्स बनाएं:

आइए बीजगणितीय योगों की गणना करें:

\[\begin(संरेखित) और ((ए)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \दाएं|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \दाएं|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \दाएं|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\दाएं|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

कृपया ध्यान दें: निर्धारक |2|, |5|, |1| और |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ आकार के आव्यूहों के निर्धारक हैं, मॉड्यूल नहीं। वे। यदि निर्धारकों में ऋणात्मक संख्याएँ थीं, तो "ऋण" को हटाने की कोई आवश्यकता नहीं है।

कुल मिलाकर, हमारा यूनियन मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (सरणी)(*(35)(आर)) 2 और -1 \ -5 और 3 \\अंत(सरणी) \दाएं]\]

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। समस्या सुलझ गई है।

उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

समाधान। हम निर्धारक की फिर से गणना करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \बाएं| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(संरेखित)\]

निर्धारक शून्येतर है—मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है। लेकिन अब यह वास्तव में कठिन होने जा रहा है: हमें 9 (नौ, मादरचोद!) बीजगणितीय योगों को गिनने की आवश्यकता है। और उनमें से प्रत्येक में निर्धारक $\left[ 2\times 2 \right]$ शामिल होगा। उड़ गया:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(मैट्रिक्स)\]

संक्षेप में, यूनियन मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 और 1 और 2 \\end(मैट्रिक्स) \दाएं]=\बाएं[ \begin(array)(*(35)(r))-2 और -1 और 3 \\ 1 और 1 और -1 \ \2 और 1 और -2 \\\अंत(सरणी) \दाएं]\]

इतना ही। यहाँ उत्तर है.

उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रत्येक उदाहरण के अंत में हमने एक जाँच की। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी:

जांचने में आलस्य न करें. मूल मैट्रिक्स को पाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स से गुणा करें - आपको $E$ प्राप्त होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, जब आप किसी मैट्रिक्स समीकरण को हल कर रहे हों, तो आगे की गणनाओं में त्रुटि ढूंढने की तुलना में यह जांच करना बहुत आसान और तेज़ है।

वैकल्पिक तरीका

जैसा कि मैंने कहा, उलटा मैट्रिक्स प्रमेय आकार $\left[ 2\times 2 \right]$ और $\left[ 3\times 3 \right]$ के लिए बहुत अच्छा काम करता है (बाद वाले मामले में, यह इतना "महान" नहीं है) ), लेकिन बड़े मैट्रिक्स के लिए उदासी शुरू होती है।

लेकिन चिंता न करें: एक वैकल्पिक एल्गोरिदम है जिसके साथ आप मैट्रिक्स $\left[ 10\times 10 \right]$ के लिए भी व्युत्क्रम शांति से पा सकते हैं। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, इस एल्गोरिदम पर विचार करने के लिए हमें थोड़ी सैद्धांतिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

प्राथमिक परिवर्तन

सभी संभावित मैट्रिक्स परिवर्तनों में से, कई विशेष परिवर्तन हैं - उन्हें प्राथमिक कहा जाता है। ऐसे तीन परिवर्तन हैं:

1. गुणन. आप $i$वीं पंक्ति (कॉलम) ले सकते हैं और इसे किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा कर सकते हैं;
2. जोड़ना। $i$-वीं पंक्ति (कॉलम) में कोई अन्य $j$-th पंक्ति (कॉलम) जोड़ें, किसी भी संख्या $k\ne 0$ से गुणा करें (आप निश्चित रूप से, $k=0$ कर सकते हैं, लेकिन क्या है) बिंदु? ? कुछ नहीं बदलेगा)।
3. पुनर्व्यवस्था। $i$th और $j$th पंक्तियाँ (कॉलम) लें और स्थानों की अदला-बदली करें।

इन परिवर्तनों को प्राथमिक क्यों कहा जाता है (बड़े मैट्रिक्स के लिए वे इतने प्राथमिक नहीं लगते हैं) और उनमें से केवल तीन ही क्यों हैं - ये प्रश्न आज के पाठ के दायरे से बाहर हैं। इसलिए, हम विवरण में नहीं जाएंगे।

एक और बात महत्वपूर्ण है: हमें इन सभी विकृतियों को सहायक मैट्रिक्स पर निष्पादित करना होगा। हाँ, हाँ: आपने सही सुना। अब एक और परिभाषा होगी - आज के पाठ में अंतिम।

सहायक मैट्रिक्स

निश्चित रूप से स्कूल में आपने जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल किया होगा। ठीक है, वहाँ, एक पंक्ति से दूसरी घटाएँ, किसी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करें - बस इतना ही।

तो: अब सब कुछ वैसा ही होगा, लेकिन "वयस्क" तरीके से। तैयार?

परिभाषा। मान लीजिए कि एक मैट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ और समान आकार का एक पहचान मैट्रिक्स $E$ $n$ दिया गया है। फिर सहायक मैट्रिक्स $\left[ A\left| इ\सही. \right]$ आकार का एक नया मैट्रिक्स है $\left[ n\times 2n \right]$ जो इस तरह दिखता है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| इ\सही. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) और 1 और 0 और ... और 0 \\((ए)_(21)) और ((ए)_(22)) और ... और ((ए)_(2एन)) और 0 और 1 और ... और 0 \\... और ... और ... और ... और ... और ... और ... और ... \((ए)_(एन1)) और ((ए)_(एन2)) और ... और ((ए)_(एनएन)) और 0 और 0 और ... और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\]

संक्षेप में, हम मैट्रिक्स $A$ लेते हैं, दाईं ओर हम इसे आवश्यक आकार का पहचान मैट्रिक्स $E$ निर्दिष्ट करते हैं, हम उन्हें सुंदरता के लिए एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ अलग करते हैं - यहां आपके पास सहायक है। :)

क्या चालबाजी है? यहाँ क्या है:

प्रमेय. मान लीजिए कि मैट्रिक्स $A$ उलटा है। सहायक मैट्रिक्स $\left[ A\left| पर विचार करें इ\सही. \दाएं]$. यदि उपयोग कर रहे हैं प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरणइसे $\left[ E\left| फॉर्म में लाएँ चमकदार। \दाएं]$, यानी। $A$ से दाईं ओर मैट्रिक्स $E$ प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को गुणा, घटाकर और पुनर्व्यवस्थित करके, फिर बाईं ओर प्राप्त मैट्रिक्स $B$ $A$ का व्युत्क्रम है:

\[\बाएं[ ए\बाएं| इ\सही. \दाएं]\से \बाएं[ ई\बाएं| चमकदार। \दाएं]\दायां तीर B=((ए)^(-1))\]

यह इतना आसान है! संक्षेप में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम इस तरह दिखता है:

1. सहायक मैट्रिक्स $\left[ A\left| लिखें इ\सही. \दाएं]$;
2. $A$ के बजाय $E$ प्रकट होने तक प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरण करें;
3. बेशक, बाईं ओर भी कुछ दिखाई देगा - एक निश्चित मैट्रिक्स $B$। यह विपरीत होगा;
4. लाभ!:)

निःसंदेह, यह कहना जितना आसान है करने से कहीं अधिक आसान है। तो आइए कुछ उदाहरण देखें: आकार $\left[ 3\times 3 \right]$ और $\left[ 4\times 4 \right]$ के लिए।

काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

समाधान। हम सहायक मैट्रिक्स बनाते हैं:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और -2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\]

चूँकि मूल मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम एक से भरा हुआ है, बाकी से पहली पंक्ति घटाएँ:

\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 3 और 2 और 1 और 0 और 1 और 0 \\ 6 और - 2 और 1 और 0 और 0 और 1 \\\अंत(सरणी) \दाएं]\प्रारंभ(मैट्रिक्स) \डाउनएरो \\ -1 \\ -1 \\\अंत(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं [\begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \5 और -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

पहली पंक्ति को छोड़कर, कोई और इकाइयाँ नहीं हैं। लेकिन हम इसे नहीं छूते हैं, अन्यथा नई हटाई गई इकाइयाँ तीसरे कॉलम में "गुणा" होने लगेंगी।

लेकिन हम दूसरी पंक्ति को अंतिम से दो बार घटा सकते हैं - हमें निचले बाएँ कोने में एक मिलती है:

\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 5 और -7 और 0 और -1 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) \ \\ \डाउनएरो \\ -2 \\\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \बाएं [\begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

अब हम अंतिम पंक्ति को पहली से और दो बार दूसरी से घटा सकते हैं - इस तरह हम पहले कॉलम को "शून्य" कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 5 और 1 और 1 और 0 और 0 \\ 2 और -3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(मैट्रिक्स)\to \\ & \ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

दूसरी पंक्ति को −1 से गुणा करें, और फिर इसे पहली पंक्ति से 6 बार घटाएँ और अंतिम में 1 बार जोड़ें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और -1 और 0 और -3 और 5 और -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \ \\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू(सरणी)(आरआरआर|आरआरआर) 0 और 6 और 1 और 0 और 2 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और -1 और 0 और 1 और -2 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\शुरू (मैट्रिक्स) -6 \\ \updownerror \\ +1 \\end (मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \शुरू(सरणी)(आरआरआर|आरआरआर) 0 और 0 और 1 और -18 और 32 और -13 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

जो कुछ बचा है वह पंक्ति 1 और 3 की अदला-बदली करना है:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 और 0 और 0 और 4 और -7 और 3 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 1 और - 18 और 32 और -13 \\\end(सरणी) \दाएं]\]

तैयार! दाईं ओर आवश्यक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है।

उत्तर। $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

काम। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें:

\[\left[ \begin(मैट्रिक्स) 1 और 4 और 2 और 3 \\ 1 और -2 और 1 और -2 \\ 1 और -1 और 1 और 1 \\ 0 और -10 और -2 और -5 \\\अंत(मैट्रिक्स) \दाएं]\]

समाधान। हम फिर से जोड़ बनाते हैं:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 और 1 और 0 और 0 \ \ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\अंत(सरणी) \दाएं]\]

आइए थोड़ा रो लें, दुखी हो जाएं कि अब हमें कितना गिनना है... और गिनना शुरू करें। सबसे पहले, आइए पंक्तियों 2 और 3 में से पंक्ति 1 को घटाकर पहले कॉलम को "शून्य करें":

\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 1 और -2 और 1 और -2 और 0 और 1 और 0 और 0 \\ 1 और -1 और 1 और 1 और 0 और 0 और 1 और 0 \\ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \ 0 और -6 और -1 और -5 और -1 और 1 और 0 और 0 \ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

हम पंक्ति 2-4 में बहुत सारे "नुकसान" देखते हैं। सभी तीन पंक्तियों को -1 से गुणा करें, और फिर पंक्ति 3 को बाकी से घटाकर तीसरे कॉलम को जला दें:

\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और 4 और 2 और 3 और 1 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और -6 और -1 और -5 और - 1 और 1 और 0 और 0 \ 0 और -5 और -1 और -2 और -1 और 0 और 1 और 0 \ 0 और -10 और -2 और -5 और 0 और 0 और 0 और 1 \ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \बाएं| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\ \बाएं| \cdot \बाएँ(-1 \दाएँ) \दाएँ। \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 और 1 और -1 और 0 और 0 \ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \ 0 और 10 और 2 और 5 और 0 और 0 और 0 और -1 \ \end (सरणी) \दाएं]\begin(मैट्रिक्स) -2 \\ -1 \\ \updownrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( आरआरआरआर| आरआरआरआर) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

अब मूल मैट्रिक्स के अंतिम कॉलम को "फ्राई" करने का समय है: बाकी से पंक्ति 4 घटाएं:

\[\begin(संरेखित) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और -1 और -1 और 0 और 2 और 0 \\ 0 और 1 और 0 और 3 और 0 और -1 और 1 और 0 \\ 0 और 5 और 1 और 2 और 1 और 0 और -1 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी ) \right]\begin(मैट्रिक्स) +1 \\ -3 \\ -2 \\ uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 & -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

अंतिम फेंक: पंक्ति 1 और 3 से पंक्ति 2 घटाकर दूसरे कॉलम को "बर्न आउट" करें:

\[\begin(संरेखित करें) और \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 और -6 और 0 और 0 और -3 और 0 और 4 और -1 \\ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \\ 0 और 5 और 1 और 0 और 5 और 0 और -5 और 2 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end( सारणी) \दाएं]\शुरू(मैट्रिक्स) 6 \\ \अपडाउनएरो \\ -5 \\ \ \\end(मैट्रिक्स)\से \\ और \से \बाएं[ \begin(सरणी)(आरआरआरआर|आरआरआरआर) 1 और 0 और 0 और 0 और 33 और -6 और -26 और -17 \ 0 और 1 और 0 और 0 और 6 और -1 और -5 और 3 \ 0 और 0 और 1 और 0 और -25 और 5 और 20 और -13 \\ 0 और 0 और 0 और 1 और -2 और 0 और 2 और -1 \\\end(सरणी) \दाएं] \\ \end(संरेखित)\]

और फिर से पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर है, जिसका अर्थ है कि व्युत्क्रम दाईं ओर है। :)

उत्तर। $\left[ \begin(मैट्रिक्स) 33 और -6 और -26 और 17 \\ 6 और -1 और -5 और 3 \\ -25 और 5 और 20 और -13 \\ -2 और 0 और 2 और - 1 \\\end(मैट्रिक्स) \दाएं]$

मान लीजिए कि nवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स A के संबंध में, यदि A*A -1 = E, जहां E nवें क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।

शिनाख्त सांचा- ऐसा वर्गाकार मैट्रिक्स जिसमें ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाले मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक होते हैं, और शेष शून्य होते हैं, उदाहरण के लिए:

उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग आव्यूहों के लिएवे। उन आव्यूहों के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या मेल खाती है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व की स्थिति के लिए प्रमेय

किसी मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह गैर-एकवचन हो।

मैट्रिक्स A = (A1, A2,...A n) कहलाता है गैर पतित, यदि स्तंभ सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। किसी मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स ए लिखें और इसे दाईं ओर (समीकरणों के दाईं ओर के स्थान पर) मैट्रिक्स ई निर्दिष्ट करें।
2. जॉर्डन ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स ए को यूनिट कॉलम वाले मैट्रिक्स में कम करें; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
3. यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत आपको पहचान मैट्रिक्स ई मिल सके।
4. व्युत्क्रम मैट्रिक्स A-1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स E के अंतर्गत अंतिम तालिका में स्थित है।

मैट्रिक्स A के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 खोजें

समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और पहचान मैट्रिक्स ई को दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं। जॉर्डन परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दी गई है।

आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच करें।

मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त किया गया था। इसलिए, गणना सही ढंग से की गई थी।

उत्तर:

मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना

मैट्रिक्स समीकरण इस प्रकार दिख सकते हैं:

एएक्स = बी, एचए = बी, एएक्सबी = सी,

जहां ए, बी, सी निर्दिष्ट मैट्रिक्स हैं, एक्स वांछित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम आव्यूहों से गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।

इसलिए, समीकरण का समाधान खोजने के लिए, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर के मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

अन्य समीकरण भी इसी प्रकार हल किये जाते हैं।

समीकरण AX = B को हल करें यदि

समाधान: चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स बराबर है (उदाहरण 1 देखें)

आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि

दूसरों के साथ-साथ इनका भी उपयोग किया जाता है मैट्रिक्स तरीके. ये विधियाँ रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं का विश्लेषण करने के प्रयोजनों के लिए किया जाता है। अधिकतर, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक प्रभागों का तुलनात्मक मूल्यांकन करना आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली बनाई जा रही है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम संख्याएँ अपनी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाई जाती हैं (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर स्तंभों में - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,....,एम).

दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, उपलब्ध संकेतक मानों में से सबसे बड़े की पहचान की जाती है, जिसे एक के रूप में लिया जाता है।

इसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को सबसे बड़े मूल्य से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाया जाता है।

तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक वर्गित हैं। यदि उनका अलग-अलग महत्व है, तो प्रत्येक मैट्रिक्स संकेतक को एक निश्चित वजन गुणांक सौंपा गया है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य विशेषज्ञ की राय से निर्धारित होता है।

आखिरी पर, चौथा चरणरेटिंग मान मिले आर.जेउनकी वृद्धि या कमी के क्रम में समूहीकृत किया गया है।

उल्लिखित मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विभिन्न निवेश परियोजनाओं के तुलनात्मक विश्लेषण के साथ-साथ संगठनों की गतिविधियों के अन्य आर्थिक संकेतकों का आकलन करने में।