समतलों (डायहेड्रल कोण) के बीच का कोण ज्ञात करना। गणित पाठ नोट्स "डायहेड्रल कोण"

दो अलग-अलग विमानों के बीच के कोण का परिमाण विमानों की किसी भी सापेक्ष स्थिति के लिए निर्धारित किया जा सकता है।

यदि विमान समानांतर हैं तो एक मामूली मामला। तब उनके बीच का कोण शून्य के बराबर माना जाता है।

यदि विमान प्रतिच्छेद करते हैं तो यह एक गैर-तुच्छ मामला है। यह मामला आगे चर्चा का विषय है. सबसे पहले हमें एक डायहेड्रल कोण की अवधारणा की आवश्यकता है।

9.1 डायहेड्रल कोण

एक डायहेड्रल कोण एक सामान्य सीधी रेखा वाले दो अर्ध-तल होते हैं (जिसे डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है)। चित्र में. 50 अर्ध-तलों द्वारा निर्मित एक डायहेड्रल कोण दिखाता है और; इस डायहेड्रल कोण का किनारा सीधी रेखा a है, जो इन अर्ध-तलों के लिए उभयनिष्ठ है।

चावल। 50. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण को एक शब्द में डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है, डायहेड्रल कोण का कोणीय मान दर्ज करें। यह अग्रानुसार होगा।

अर्ध-तलों द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण के किनारे पर, हम एक मनमाना बिंदु M लेते हैं। आइए हम क्रमशः इन अर्ध-तलों में और किनारे के लंबवत किरणें MA और MB खींचते हैं (चित्र 51)।

चावल। 51. रैखिक विकर्ण कोण

परिणामी कोण AMB डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। कोण " = \AMB बिल्कुल हमारे डायहेड्रल कोण का कोणीय मान है।

परिभाषा। एक डायहेड्रल कोण का कोणीय परिमाण किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का परिमाण है।

एक द्विफलकीय कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं (आखिरकार, वे एक दूसरे से समानांतर बदलाव द्वारा प्राप्त होते हैं)। इसलिए, यह परिभाषा सही है: मान " डायहेड्रल कोण के किनारे पर बिंदु एम की विशिष्ट पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

9.2 समतलों के बीच के कोण का निर्धारण

जब दो तल प्रतिच्छेद करते हैं, तो चार द्विफलकीय कोण प्राप्त होते हैं। यदि उन सभी का आकार समान है (प्रत्येक 90), तो तलों को लंबवत कहा जाता है; तब तलों के बीच का कोण 90 होता है।

यदि सभी डायहेड्रल कोण समान नहीं हैं (अर्थात, दो न्यून कोण और दो अधिक कोण हैं), तो तलों के बीच का कोण न्यून डायहेड्रल कोण का मान है (चित्र 52)।

चावल। 52. तलों के बीच का कोण

9.3 समस्या समाधान के उदाहरण

आइए तीन समस्याओं पर नजर डालें. पहला सरल है, दूसरा और तीसरा गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में लगभग सी2 स्तर पर हैं।

समस्या 1. एक नियमित चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान। माना कि ABCD एक नियमित चतुष्फलक है। आइए हम संगत फलकों की माध्यिकाएं AM और DM, साथ ही चतुष्फलक DH की ऊंचाई बनाएं (चित्र 53)।

चावल। 53. कार्य 1 के लिए

माध्यिकाएँ होने के कारण, AM और DM समबाहु त्रिभुज ABC और DBC के शीर्षलंब भी हैं। इसलिए, कोण " = \AMD, फलकों ABC और DBC द्वारा निर्मित द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। हम इसे त्रिभुज DHM से पाते हैं:

उत्तर: आर्ककोस 1 3 .

समस्या 2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD (शीर्ष S के साथ) में, किनारे का किनारा आधार के किनारे के बराबर है। बिंदु K, किनारे SA का मध्य है। समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधान। रेखा BC, AD के समानांतर है और इस प्रकार समतल ADS के समानांतर है। इसलिए, समतल KBC, समतल ADS को BC के समानांतर सीधी रेखा KL के अनुदिश काटता है (चित्र 54)।

चावल। 54. कार्य 2 के लिए

इस स्थिति में, केएल भी रेखा AD के समानांतर होगा; इसलिए, केएल त्रिभुज एडीएस की मध्य रेखा है, और बिंदु एल डीएस का मध्य बिंदु है।

आइए पिरामिड SO की ऊंचाई ज्ञात करें। माना N, DO का मध्य है। तब LN त्रिभुज DOS की मध्य रेखा है, और इसलिए LN k SO है। इसका मतलब है कि LN समतल ABC पर लंबवत है।

बिंदु N से हम लंबवत NM को सीधी रेखा BC पर नीचे लाते हैं। सीधी रेखा NM, ABC तल पर झुके हुए LM का प्रक्षेपण होगी। तीन लंबवत प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एलएम भी बीसी पर लंबवत है।

इस प्रकार, कोण " = \LMN अर्ध-तल KBC और ABC द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। हम इस कोण को समकोण त्रिभुज LMN से देखेंगे।

माना कि पिरामिड का किनारा a के बराबर है। सबसे पहले हम पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करते हैं:

समाधान। मान लीजिए L रेखा A1 K और AB का प्रतिच्छेदन बिंदु है। फिर समतल A1 KC समतल ABC को सीधी रेखा CL पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 55)।

ए सी

चावल। 55. समस्या 3 के लिए

त्रिभुज A1 B1 K और KBL पाद और न्यूनकोण में बराबर हैं। इसलिए, अन्य पैर बराबर हैं: A1 B1 = BL।

त्रिभुज ACL पर विचार करें। इसमें BA = BC = BL. कोण सीबीएल 120 है; इसलिए, \BCL = 30। साथ ही, \BCA = 60। इसलिए \ACL = \BCA + \BCL = 90।

तो, एलसी? एसी। लेकिन रेखा AC समतल ABC पर रेखा A1 C के प्रक्षेपण के रूप में कार्य करती है। तीन लंबों के प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एलसी? ए1 सी.

इस प्रकार, कोण A1 CA अर्ध-तल A1 KC और ABC द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। यह वांछित कोण है. समद्विबाहु समकोण त्रिभुज A1 AC से हम देखते हैं कि यह 45 के बराबर है।

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यह पाठ "डायहेड्रल एंगल" विषय के स्वतंत्र अध्ययन के लिए है। इस पाठ में, छात्र सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृतियों में से एक, डायहेड्रल कोण से परिचित होंगे। इसके अलावा पाठ में हम सीखेंगे कि प्रश्न में ज्यामितीय आकृति के रैखिक कोण को कैसे निर्धारित किया जाए और आकृति के आधार पर डायहेड्रल कोण क्या है।

आइए हम दोहराएँ कि समतल पर कोण क्या होता है और इसे कैसे मापा जाता है।

चावल। 1. विमान

आइए समतल α पर विचार करें (चित्र 1)। बिंदु से के बारे मेंदो किरणें निकलती हैं - ओबीऔर ओए.

परिभाषा. एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी आकृति को कोण कहा जाता है।

कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

आइए याद करें कि रेडियन क्या है।

चावल। 2. रेडियन

यदि हमारे पास एक केंद्रीय कोण है जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो ऐसे केंद्रीय कोण को 1 रेडियन का कोण कहा जाता है। ,∠ एओबी= 1 रेड (चित्र 2)।

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध.

खुश।

हमें यह मिल गया, मुझे ख़ुशी है। (). तब,

परिभाषा. डायहेड्रल कोणएक सीधी रेखा से बनी आकृति कहलाती है एऔर एक समान सीमा वाले दो अर्ध-तल ए, एक ही विमान से संबंधित नहीं।

चावल। 3. अर्ध-तल

आइए दो अर्ध-तलों α और β पर विचार करें (चित्र 3)। उनकी साझी सीमा है ए. इस आकृति को डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

शब्दावली

अर्ध-तल α और β एक डायहेड्रल कोण के फलक हैं।

सीधा एएक डायहेड्रल कोण का एक किनारा है।

एक आम किनारे पर एडायहेड्रल कोण, एक मनमाना बिंदु चुनें के बारे में(चित्र 4)। अर्ध-तल में α बिंदु से के बारे मेंलंब को पुनर्स्थापित करें ओएएक सीधी रेखा की ओर ए. उसी बिंदु से के बारे मेंदूसरे अर्ध-तल β में हम एक लंब बनाते हैं ओबीकिनारे करने के लिए ए. एक एंगल मिल गया एओबी, जिसे डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

चावल। 4. डायहेड्रल कोण माप

आइए हम किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के लिए सभी रैखिक कोणों की समानता सिद्ध करें।

आइए हमारे पास एक डायहेड्रल कोण है (चित्र 5)। आइए एक बिंदु चुनें के बारे मेंऔर अवधि ओ 1एक सीधी रेखा पर ए. आइए बिंदु के अनुरूप एक रैखिक कोण बनाएं के बारे में, यानी हम दो लंब खींचते हैं ओएऔर ओबीसमतल α और β में क्रमशः किनारे तक ए. हमें कोण मिलता है एओबी- डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण।

चावल। 5. प्रमाण का चित्रण

बिंदु से ओ 1आइए दो लंब रेखाएं बनाएं ओए 1और ओबी 1किनारे करने के लिए एक्रमशः समतल α और β में और हमें दूसरा रैखिक कोण प्राप्त होता है ए 1 ओ 1 बी 1.

किरणों ओ 1 ए 1और ओएसह-दिशात्मक, क्योंकि वे एक ही आधे-तल में स्थित हैं और एक ही रेखा के दो लंबों की तरह एक-दूसरे के समानांतर हैं ए.

इसी प्रकार, किरणें 1 में 1 के बारे मेंऔर ओबीसह-निर्देशित हैं, जिसका अर्थ है ∠ एओबी =∠ ए 1 ओ 1 बी 1कोड-दिशात्मक भुजाओं वाले कोणों के रूप में, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होता है।

सिद्ध करना: ए ⊥ एओबी.

चावल। 6. प्रमाण का चित्रण

सबूत:

ओए ⊥ एनिर्माण द्वारा, ओबी ⊥ एनिर्माण द्वारा (चित्र 6)।

हमें वह रेखा मिलती है एदो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत ओएऔर ओबीहवाई जहाज से बाहर एओबी, जिसका मतलब है कि यह सीधा है एविमान के लंबवत ओएवी, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

एक डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक कोण में जितनी डिग्री रेडियन समाहित होती हैं, उतनी ही डिग्री रेडियन उसके डायहेड्रल कोण में समाहित होती हैं। इसके अनुसार, निम्न प्रकार के डायहेड्रल कोणों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

तीव्र (चित्र 6)

एक डायहेड्रल कोण न्यून होता है यदि इसका रैखिक कोण न्यून होता है, अर्थात। .

सीधा (चित्र 7)

एक द्विफलकीय कोण तब समकोण होता है जब उसका रैखिक कोण 90° - अधिककोण हो (चित्र 8)

एक डायहेड्रल कोण तब अधिक होता है जब उसका रैखिक कोण अधिक होता है, अर्थात। .

चावल। 7. समकोण

चावल। 8. अधिक कोण

वास्तविक आकृतियों में रैखिक कोण बनाने के उदाहरण

एबीसीडी- चतुष्फलक.

1. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं अब.

चावल। 9. समस्या के लिए चित्रण

निर्माण:

हम एक किनारे से बनने वाले डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं अबऔर किनारे अबडीऔर एबीसी(चित्र 9)।

चलो एक सीधा रास्ता बनाते हैं डीएनविमान के लंबवत एबीसी, एन- लम्ब का आधार. आइए एक झुकाव बनाएं डीएमएक सीधी रेखा के लंबवत एबी,एम- झुका हुआ आधार। तीन लंबों के प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक तिरछा प्रक्षेपण समुद्री मील दूररेखा के लंबवत भी अब.

यानि बिंदु से एमकिनारे पर दो लम्बवत बहाल कर दिए गए हैं अबदो तरफ अबडीऔर एबीसी. हमें रैखिक कोण मिला डीएम.एन..

नोटिस जो अब, एक डायहेड्रल कोण का एक किनारा, रैखिक कोण के तल के लंबवत, अर्थात, समतल डीएम.एन.. समस्या सुलझ गई है।

टिप्पणी. डायहेड्रल कोण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: डीएबीसी, कहाँ

अब- किनारा, और अंक डीऔर साथकोण के विभिन्न पक्षों पर लेटें।

2. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं एसी.

आइए एक लंब बनाएं डीएनविमान के लिए एबीसीऔर झुका हुआ डीएनएक सीधी रेखा के लंबवत एसी।तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करके, हम इसे पाते हैं एन.एन- तिरछा प्रक्षेपण डीएनविमान के लिए एबीसी,रेखा के लंबवत भी एसी।डीराष्ट्रीय राजमार्ग- एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण एसी.

चतुष्फलक में डीएबीसीसभी किनारे बराबर हैं. डॉट एम- पसली के बीच में एसी. उस कोण को सिद्ध कीजिए डीएमवी- रैखिक डायहेड्रल कोण आपडी, यानी एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण एसी. इसका एक चेहरा है एसीडी, दूसरा - डीआइए(चित्र 10)।

चावल। 10. समस्या के लिए चित्रण

समाधान:

त्रिकोण एडीसी- समबाहु, डीएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, डीएम ⊥ एसी।इसी प्रकार, त्रिकोण एमेंसी- समबाहु, मेंएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। मतलब, वीएम ⊥ एसी।

इस प्रकार, बिंदु से एमपसलियां एसीडायहेड्रल कोण ने दो लंबों को बहाल किया डीएमऔर वीएमडायहेड्रल कोण के फलकों में इस किनारे तक।

तो, ∠ डीएममेंडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

तो हमने डायहेड्रल कोण, डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण को परिभाषित किया है।

अगले पाठ में हम रेखाओं और तलों की लंबवतता को देखेंगे, फिर हम सीखेंगे कि आकृतियों के आधार पर एक डायहेड्रल कोण क्या होता है।

"डायहेड्रल कोण", "ज्यामितीय आकृतियों के आधार पर डायहेड्रल कोण" विषय पर संदर्भों की सूची

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"डायहेड्रल कोण" विषय पर होमवर्क, आंकड़ों के आधार पर डायहेड्रल कोण का निर्धारण

ज्यामिति. ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा संस्थानों (बुनियादी और विशिष्ट स्तर) के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / आई. एम. स्मिरनोवा, वी. ए. स्मिरनोव। - 5वां संस्करण, संशोधित और विस्तारित - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पीपी.: बीमार।

कार्य 2, 3 पी. 67.

रैखिक डायहेड्रल कोण क्या है? इसका निर्माण कैसे करें?

एबीसीडी- चतुष्फलक. एक किनारे वाले डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण बनाएं:

ए) मेंडीबी) डीसाथ।

एबीसीडी.ए. 1 बी 1 सी 1 डी 1 - घनक्षेत्र डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करें ए 1 एबीसीपसली के साथ अब. इसकी डिग्री माप निर्धारित करें।

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा देने के लिए छात्रों को तैयार करना, एक नियम के रूप में, बुनियादी सूत्रों को दोहराने से शुरू होता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो आपको विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ज्यामिति का यह खंड स्कूली पाठ्यक्रम में पर्याप्त विस्तार से शामिल है, कई स्नातकों को मूल सामग्री को दोहराने की आवश्यकता होती है। यह समझकर कि विमानों के बीच के कोण को कैसे खोजा जाए, हाई स्कूल के छात्र किसी समस्या को हल करते समय तुरंत सही उत्तर की गणना करने में सक्षम होंगे और एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों पर अच्छे अंक प्राप्त करने पर भरोसा करेंगे।

मुख्य बारीकियाँ

यह सुनिश्चित करने के लिए कि डायहेड्रल कोण को खोजने का प्रश्न कठिनाइयों का कारण न बने, हम एक समाधान एल्गोरिदम का पालन करने की सलाह देते हैं जो आपको एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों से निपटने में मदद करेगा।

सबसे पहले आपको उस सीधी रेखा को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

फिर आपको इस रेखा पर एक बिंदु चुनना होगा और उस पर दो लंबवत रेखाएँ खींचनी होंगी।

अगला कदम लंबों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को ढूंढना है। ऐसा करने का सबसे सुविधाजनक तरीका परिणामी त्रिभुज की मदद से है, जिसका कोण एक हिस्सा है।

उत्तर कोण या उसके त्रिकोणमितीय फलन का मान होगा।

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उन समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते समय, जिनमें दो विमानों के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता होती है, छात्रों के पास किसी भी कार्य को "पसंदीदा" के रूप में ऑनलाइन सहेजने का अवसर होता है। इसके लिए धन्यवाद, वे आवश्यक संख्या में इस पर लौट सकेंगे और स्कूल शिक्षक या शिक्षक के साथ इसके समाधान की प्रगति पर चर्चा कर सकेंगे।

डायहेड्रल कोण. रैखिक विकर्ण कोण. डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं होती है और उनकी एक सामान्य सीमा होती है - सीधी रेखा ए। एक डायहेड्रल कोण बनाने वाले आधे-तलों को इसके चेहरे कहा जाता है, और इन आधे-तलों की सामान्य सीमा को डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है। डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण वह कोण होता है जिसकी भुजाएँ किरणें होती हैं जिनके अनुदिश डायहेड्रल कोण के फलक डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित होते हैं। प्रत्येक डायहेड्रल कोण में किसी भी संख्या में रैखिक कोण होते हैं: किनारे के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से कोई इस किनारे पर लंबवत एक विमान खींच सकता है; किरणें जिनके अनुदिश यह तल एक डायहेड्रल कोण के फलकों को काटता है, रैखिक कोण बनाती हैं।

एक द्विफलकीय कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि यदि पिरामिड KABC के आधार के तल और उसके पार्श्व फलकों के तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोण बराबर हैं, तो शीर्ष K से खींचे गए लंब का आधार त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का केंद्र है।

सबूत। सबसे पहले, आइए समान डायहेड्रल कोणों के रैखिक कोणों का निर्माण करें। परिभाषा के अनुसार, एक रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होना चाहिए। इसलिए, एक डायहेड्रल कोण का किनारा रैखिक कोण की भुजाओं के लंबवत होना चाहिए। यदि KO आधार तल पर लंबवत है, तो हम OR लंबवत AC, OR लंबवत SV, OQ लंबवत AB खींच सकते हैं, और फिर बिंदु P, Q, R को बिंदु K से जोड़ सकते हैं। इस प्रकार, हम झुके हुए RK, QK का एक प्रक्षेपण बनाएंगे। , आरके ताकि किनारे AC, NE, AB इन प्रक्षेपणों के लंबवत हों। नतीजतन, ये किनारे स्वयं झुके हुए किनारों के लंबवत हैं। और इसलिए त्रिभुज ROK, QOK, ROK के तल डायहेड्रल कोण के संगत किनारों के लंबवत हैं और उन समान रैखिक कोणों का निर्माण करते हैं जिनका उल्लेख स्थिति में किया गया है। समकोण त्रिभुज ROK, QOK, ROK सर्वांगसम हैं (क्योंकि उनका एक उभयनिष्ठ पैर OK है और इस पैर के विपरीत कोण बराबर हैं)। इसलिए, OR = OR = OQ. यदि हम केंद्र O और त्रिज्या OP के साथ एक वृत्त खींचते हैं, तो त्रिभुज ABC की भुजाएँ त्रिज्या OP, OR और OQ के लंबवत होती हैं और इसलिए इस वृत्त की स्पर्शरेखा होती हैं।

विमानों की लंबवतता. अल्फा और बीटा विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके चौराहे पर बने डायहेड्रल कोणों में से एक का रैखिक कोण 90 के बराबर है।" दो विमानों की लंबवतता के संकेत यदि दो विमानों में से एक दूसरे विमान के लंबवत रेखा से गुजरता है, तब ये तल लंबवत होते हैं।

चित्र एक आयताकार समांतर चतुर्भुज को दर्शाता है। इसका आधार आयत ABCD और A1B1C1D1 हैं। और पार्श्व पसलियां AA1 BB1, CC1, DD1 आधारों के लंबवत हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AA1, AB पर लंबवत है, अर्थात पार्श्व फलक एक आयत है। इस प्रकार, हम एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुणों को उचित ठहरा सकते हैं: एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयताकार होते हैं। एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

प्रमेय एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आइए हम फिर से चित्र की ओर मुड़ें, और सिद्ध करें कि AC12 = AB2 + AD2 + AA12 चूँकि किनारा CC1 आधार ABCD के लंबवत है, कोण ACC1 समकोण है। समकोण त्रिभुज ACC1 से, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, हम AC12 = AC2 + CC12 प्राप्त करते हैं। लेकिन AC, आयत ABCD का एक विकर्ण है, इसलिए AC2 = AB2 + AD2 है। इसके अलावा, CC1 = AA1. अतः AC12=AB2+AD2+AA12 प्रमेय सिद्ध है।