असंगत प्रणालियाँ. सामान्य समाधान वाले सिस्टम. निजी समाधान. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय तीन मामले

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली n रैखिक समीकरणों का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में k चर होते हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है:

कई लोग, जब पहली बार उच्च बीजगणित का सामना करते हैं, तो गलती से मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से चर की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए। स्कूली बीजगणित में यह आमतौर पर होता है, लेकिन उच्च बीजगणित के लिए यह आम तौर पर सच नहीं है।

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक क्रम है (k 1, k 2, ..., k n), जो प्रणाली के प्रत्येक समीकरण का समाधान है, अर्थात। इस समीकरण में चर x 1, x 2, ..., x n के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर सही संख्यात्मक समानता मिलती है।

तदनुसार, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट ढूंढना या यह साबित करना कि यह सेट खाली है। चूँकि समीकरणों की संख्या और अज्ञातों की संख्या मेल नहीं खा सकती है, तीन मामले संभव हैं:

1. प्रणाली असंगत है, अर्थात सभी समाधानों का सेट खाली है. यह एक दुर्लभ मामला है जिसका आसानी से पता लगाया जा सकता है, भले ही सिस्टम को हल करने के लिए किसी भी विधि का उपयोग किया जाए।
2. प्रणाली सुसंगत और निर्धारित है, अर्थात्। बिल्कुल एक ही समाधान है. क्लासिक संस्करण, जो स्कूल के समय से प्रसिद्ध है।
3. प्रणाली सुसंगत और अपरिभाषित है, अर्थात। इसके अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं। यह सबसे कठिन विकल्प है. यह इंगित करना पर्याप्त नहीं है कि "सिस्टम में समाधानों का एक अनंत सेट है" - यह वर्णन करना आवश्यक है कि यह सेट कैसे संरचित है।

एक चर x i को अनुमत कहा जाता है यदि यह सिस्टम के केवल एक समीकरण में शामिल है, और 1 के गुणांक के साथ। दूसरे शब्दों में, अन्य समीकरणों में चर x i का गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए।

यदि हम प्रत्येक समीकरण में एक अनुमत चर का चयन करते हैं, तो हमें समीकरणों की संपूर्ण प्रणाली के लिए अनुमत चर का एक सेट प्राप्त होता है। इस रूप में लिखी गई प्रणाली को भी हल किया हुआ कहा जाएगा। सामान्यतया, एक ही मूल प्रणाली को अलग-अलग अनुमत प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन फिलहाल हम इस बारे में चिंतित नहीं हैं। यहां अनुमत प्रणालियों के उदाहरण दिए गए हैं:

दोनों प्रणालियों को चर x 1, x 3 और x 4 के संबंध में हल किया गया है। हालाँकि, उसी सफलता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि दूसरी प्रणाली x 1, x 3 और x 5 के संबंध में हल हो गई है। यह अंतिम समीकरण को x 5 = x 4 के रूप में फिर से लिखने के लिए पर्याप्त है।

आइए अब एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि हमारे पास कुल मिलाकर k चर हैं, जिनमें से r की अनुमति है। तब दो स्थितियाँ संभव हैं:

1. अनुमत चर r की संख्या चर k की कुल संख्या के बराबर है: r = k। हमें k समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है जिसमें r = k अनुमत चर होते हैं। ऐसी व्यवस्था संयुक्त एवं निश्चित होती है, क्योंकि एक्स 1 = बी 1, एक्स 2 = बी 2, ..., एक्स के = बी के;
2. अनुमत चर r की संख्या चर k: r की कुल संख्या से कम है< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

तो, उपरोक्त प्रणालियों में, चर x 2, x 5, x 6 (पहले सिस्टम के लिए) और x 2, x 5 (दूसरे के लिए) मुफ़्त हैं। जब मुक्त चर होते हैं तो मामले को प्रमेय के रूप में बेहतर ढंग से तैयार किया जाता है:

कृपया ध्यान दें: यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है! इस पर निर्भर करते हुए कि आप परिणामी प्रणाली को कैसे लिखते हैं, समान चर को या तो अनुमति दी जा सकती है या मुक्त किया जा सकता है। अधिकांश उच्चतर गणित शिक्षक चरों को शब्दकोषीय क्रम में लिखने की सलाह देते हैं, अर्थात्। आरोही सूचकांक. हालाँकि, आप इस सलाह का पालन करने के लिए बाध्य नहीं हैं।

प्रमेय. यदि n समीकरणों की प्रणाली में चर x 1, x 2, ..., x r की अनुमति है, और x r + 1, x r + 2, ..., x k स्वतंत्र हैं, तो:

1. यदि हम मुक्त चर के मान निर्धारित करते हैं (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), और फिर मान x 1, x 2, ज्ञात करें। ..., एक्स आर, हमें निर्णयों में से एक मिलता है।
2. यदि दो समाधानों में मुक्त चर के मान मेल खाते हैं, तो अनुमत चर के मान भी मेल खाते हैं, अर्थात। समाधान समान हैं.

इस प्रमेय का क्या अर्थ है? समीकरणों की एक हल की गई प्रणाली के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, मुक्त चर को अलग करना पर्याप्त है। फिर, मुक्त चरों को अलग-अलग मान निर्दिष्ट करके, हम तैयार समाधान प्राप्त करेंगे। बस इतना ही - इस तरह आप सिस्टम के सभी समाधान प्राप्त कर सकते हैं। कोई अन्य समाधान नहीं हैं.

निष्कर्ष: समीकरणों की हल की गई प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है। यदि किसी हल की गई प्रणाली में समीकरणों की संख्या चरों की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली निश्चित होगी; यदि कम है, तो यह अनिश्चित होगी।

और सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन सवाल उठता है: समीकरणों की मूल प्रणाली से हल कैसे प्राप्त किया जाए? इसके लिए वहाँ है

स्थिरता के लिए रैखिक आयुगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली का अध्ययन करने का मतलब यह पता लगाना है कि इस प्रणाली के पास समाधान हैं या नहीं। खैर, यदि समाधान हैं तो बताएं कि कितने हैं।

हमें "रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली। मूल पद। अंकन का मैट्रिक्स रूप" विषय से जानकारी की आवश्यकता होगी। विशेष रूप से, सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स जैसी अवधारणाओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का निर्माण उन पर आधारित है। हमेशा की तरह, हम सिस्टम मैट्रिक्स को $A$ अक्षर से और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को $\वाइडटिल्डे(A)$ अक्षर से निरूपित करेंगे।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर हो, यानी। $\रंग ए=\रंग\वाइडटिल्डे(ए)$.

मैं आपको याद दिला दूं कि एक प्रणाली को संयुक्त कहा जाता है यदि उसके पास कम से कम एक समाधान हो। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय यह कहता है: यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)$, तो एक समाधान है; यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो इस SLAE का कोई समाधान नहीं है (असंगत)। इन समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम द्वारा दिया गया है। परिणाम के निर्माण में, अक्षर $n$ का उपयोग किया जाता है, जो दिए गए SLAE के चरों की संख्या के बराबर है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का परिणाम

1. यदि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो SLAE असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।
2. यदि $\rang A=\rang\ widthilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. यदि $\rang A=\rang\whitetilde(A) = n$, तो SLAE निश्चित है (बिल्कुल एक समाधान है)।

कृपया ध्यान दें कि तैयार किया गया प्रमेय और उसका परिणाम यह नहीं दर्शाता है कि SLAE का समाधान कैसे खोजा जाए। इनकी मदद से आप केवल यह पता लगा सकते हैं कि ये समाधान मौजूद हैं या नहीं और अगर मौजूद हैं तो कितने हैं।

उदाहरण क्रमांक 1

SLAE का पता लगाएं )\right.$ अनुकूलता के लिए। यदि SLAE संगत है, तो समाधानों की संख्या इंगित करें।

किसी दिए गए SLAE के समाधान के अस्तित्व का पता लगाने के लिए, हम क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करते हैं। हमें सिस्टम $A$ के मैट्रिक्स और सिस्टम $\वाइडटिल्डे(A)$ के विस्तारित मैट्रिक्स की आवश्यकता होगी, हम उन्हें लिखेंगे:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \वाइडटिल्ड(ए)=\बाएं(\प्रारंभ(सरणी) (सीसीसी|सी) -3 और 9 और-7 और 17 \\ -1 और 2 और -4 और 9\\ 4 और -2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं). $$

हमें $\rang A$ और $\rang\वाइडटिल्डे(A)$ खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ मैट्रिक्स रैंक अनुभाग में सूचीबद्ध हैं। आमतौर पर, ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए दो तरीकों का उपयोग किया जाता है: "परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना" या "प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना"।

विधि संख्या 1. परिभाषा के अनुसार रैंक की गणना।

परिभाषा के अनुसार, रैंक मैट्रिक्स के अवयस्कों का उच्चतम क्रम है, जिनमें से कम से कम एक ऐसा होता है जो शून्य से भिन्न होता है। आमतौर पर, अध्ययन पहले क्रम के नाबालिगों के साथ शुरू होता है, लेकिन यहां मैट्रिक्स $A$ के तीसरे क्रम के नाबालिग की गणना तुरंत शुरू करना अधिक सुविधाजनक है। तीसरे क्रम के छोटे तत्व प्रश्न में मैट्रिक्स की तीन पंक्तियों और तीन स्तंभों के चौराहे पर स्थित हैं। चूँकि मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं, मैट्रिक्स $A$ का तीसरा ऑर्डर माइनर मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है, अर्थात। $\डेल्टा ए$. निर्धारक की गणना करने के लिए, हम "दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए सूत्र" विषय से सूत्र संख्या 2 लागू करते हैं:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

तो, मैट्रिक्स $A$ का एक तीसरा ऑर्डर माइनर है, जो शून्य के बराबर नहीं है। चौथे क्रम के माइनर का निर्माण करना असंभव है, क्योंकि इसके लिए 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों की आवश्यकता होती है, और मैट्रिक्स $A$ में केवल 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। तो, मैट्रिक्स $A$ के अवयस्कों का उच्चतम क्रम, जिनमें से कम से कम एक ऐसा है जो शून्य के बराबर नहीं है, 3 के बराबर है। इसलिए, $\rang A=3$।

हमें $\rang\वाइडटिल्डे(ए)$ भी ढूंढना होगा। आइए मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की संरचना को देखें। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ में लाइन तक मैट्रिक्स $A$ के तत्व हैं, और हमें पता चला कि $\Delta A\neq 0$। नतीजतन, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ में तीसरे क्रम का नाबालिग है, जो शून्य के बराबर नहीं है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के चौथे क्रम के माइनर का निर्माण नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang\वाइडटिल्डे(ए)=3$।

चूँकि $\rang A=\rang\whitetilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है (कम से कम एक)। समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, प्रणाली निश्चित है, अर्थात। एक अनोखा समाधान है.

समस्या सुलझ गई है। इस पद्धति के क्या नुकसान और फायदे हैं? सबसे पहले बात करते हैं फायदे की. सबसे पहले, हमें केवल एक निर्धारक खोजने की आवश्यकता थी। इसके बाद, हमने तुरंत समाधानों की संख्या के बारे में निष्कर्ष निकाला। आमतौर पर, मानक मानक गणनाएँ समीकरणों की प्रणालियाँ देती हैं जिनमें तीन अज्ञात होते हैं और एक अद्वितीय समाधान होता है। ऐसी प्रणालियों के लिए, यह विधि बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि एक समाधान है (अन्यथा उदाहरण मानक गणना में नहीं होता)। वे। हमें बस सबसे तेज़ तरीके से समाधान का अस्तित्व दिखाना है। दूसरे, सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक का परिकलित मान (यानी $\Delta A$) बाद में उपयोगी होगा: जब हम क्रैमर विधि का उपयोग करके या व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके किसी दिए गए सिस्टम को हल करना शुरू करते हैं।

हालाँकि, रैंक की गणना करने की विधि परिभाषा के अनुसार उपयोग करने के लिए अवांछनीय है यदि सिस्टम का मैट्रिक्स $A$ आयताकार है। इस मामले में, दूसरी विधि का उपयोग करना बेहतर है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी। इसके अलावा, यदि $\Delta A=0$, तो हम किसी दिए गए अमानवीय SLAE के समाधानों की संख्या के बारे में कुछ नहीं कह सकते। हो सकता है कि SLAE के पास अनंत संख्या में समाधान हों, या शायद कोई भी नहीं। यदि $\Delta A=0$, तो अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है, जो अक्सर बोझिल होता है।

जो कहा गया है उसे संक्षेप में बताने के लिए, मैं नोट करता हूं कि पहली विधि उन SLAEs के लिए अच्छी है जिनका सिस्टम मैट्रिक्स वर्गाकार है। इसके अलावा, SLAE में स्वयं तीन या चार अज्ञात शामिल हैं और इसे मानक मानक गणनाओं या परीक्षणों से लिया गया है।

विधि संख्या 2. प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि द्वारा रैंक की गणना।

इस विधि का वर्णन संबंधित विषय में विस्तार से किया गया है। हम मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करना शुरू करेंगे। मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(A)$ और $A$ क्यों नहीं? तथ्य यह है कि मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ का हिस्सा है, इसलिए, मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक की गणना करके हम एक साथ मैट्रिक्स $ए$ की रैंक पाएंगे .

\begin(संरेखित) और\वाइडटिल्डे(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 और 19 और -42 \end(सरणी) \दाएं) \दायां तीर \बाएं|\पाठ(पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें)\दाएं| \दायां तीर \\ और\दायां तीर \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ -3 और 9 और-7 और 17\\ 4 और -2 और 19 और - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \fantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (सरणी) (सीसीसी|सी) -1 और 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और5 और -10\\ 0 और 6 और 3 और -6 \end(सरणी) \दाएं) \begin(सरणी) ( एल) \फैंटम(0) \\ फैंटम(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 और -4 और 9 \\ 0 और 3 और 5 और -10\\ 0 और 0 और -7 और 14 \end(सरणी) \दाएं) \end(संरेखित)

हमने मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ को घटाकर समलम्बाकार रूप में कर दिया है। परिणामी मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ में तीन गैर-शून्य तत्व हैं: -1, 3 और -7। निष्कर्ष: मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ की रैंक 3 है, यानी। $\रंग\वाइडटिल्डे(ए)=3$. मैट्रिक्स $\वाइडटिल्डे(ए)$ के तत्वों के साथ परिवर्तन करते समय, हमने एक साथ लाइन तक स्थित मैट्रिक्स $ए$ के तत्वों को बदल दिया। मैट्रिक्स $A$ को भी समलम्बाकार रूप में घटा दिया गया है: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \सही )$. निष्कर्ष: मैट्रिक्स $A$ की रैंक भी 3 है, अर्थात। $\रंग ए=3$.

चूँकि $\rang A=\rang\whitetilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार प्रणाली सुसंगत है, अर्थात। एक समाधान है. समाधानों की संख्या इंगित करने के लिए, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि हमारे SLAE में 3 अज्ञात हैं: $x_1$, $x_2$ और $x_3$। चूँकि अज्ञात की संख्या $n=3$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं: $\rang A=\rang\ widthilde(A)=n$, इसलिए, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के परिणाम के अनुसार, सिस्टम को परिभाषित किया गया है, यानी। एक अनोखा समाधान है.

दूसरी विधि के क्या फायदे हैं? इसका मुख्य लाभ इसकी बहुमुखी प्रतिभा है। हमारे लिए यह मायने नहीं रखता कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्गाकार है या नहीं। इसके अलावा, हमने वास्तव में गॉसियन पद्धति के आगे के परिवर्तनों को अंजाम दिया। केवल कुछ चरण शेष हैं, और हम इस SLAE का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सच कहूँ तो, मुझे पहले की तुलना में दूसरी विधि अधिक पसंद है, लेकिन चुनाव स्वाद का मामला है।

उत्तर: दिया गया SLAE सुसंगत और परिभाषित है।

उदाहरण क्रमांक 2

SLAE का पता लगाएं अनुकूलता के लिए 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(संरेखित) \right.$।

हम प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके सिस्टम मैट्रिक्स और विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पाएंगे। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: $\ widthilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 और 3 और 2 \\ 3 और -2 और 5 और 1 \\ 2 और -3 और 5 और -4 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को परिवर्तित करके आवश्यक रैंक खोजें:

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में घटाया गया है। यदि किसी मैट्रिक्स को सोपानक रूप में घटाया जाता है, तो उसकी रैंक गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है। इसलिए, $\rang A=3$. मैट्रिक्स $A$ (लाइन तक) को ट्रैपेज़ॉइडल रूप में घटा दिया गया है और इसकी रैंक 2 है, $\rang A=2$।

चूँकि $\rang A\neq\rang\ widthilde(A)$, तो क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार सिस्टम असंगत है (यानी, इसका कोई समाधान नहीं है)।

उत्तर: सिस्टम असंगत है.

उदाहरण संख्या 3

SLAE का पता लगाएं ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(allined) \right.$ अनुकूलता के लिए।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है: $\ widthilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 और 0 और 2 और 17 \ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \end(सरणी) \दाएं)$। आइए इस मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें ताकि पहली पंक्ति का पहला तत्व एक हो जाए: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 और 0 और 7 और -5 और 11 और 42 \\ -3 और 9 और -11 और 0 और -7 और -64 \\ -5 और 17 और -16 और -5 और -4 और -90 \\ 7 और -17 और 23 और 0 और 15 और 132 \end(सरणी) \दाएं)$।

हमने सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स और सिस्टम के मैट्रिक्स को ही एक समलम्बाकार रूप में कम कर दिया है। सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक तीन के बराबर है, सिस्टम के मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है। चूँकि सिस्टम में $n=5$ अज्ञात हैं, अर्थात। $\रंग\वाइडटिल्डे(ए)=\रंग ए< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

उत्तर: सिस्टम अनिश्चित है.

दूसरे भाग में, हम उन उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे जो अक्सर उच्च गणित में मानक गणना या परीक्षणों में शामिल होते हैं: इसमें शामिल मापदंडों के मूल्यों के आधार पर एसएलएई की स्थिरता अनुसंधान और समाधान।

हालाँकि, व्यवहार में दो और मामले व्यापक हैं:

- सिस्टम असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है);
- प्रणाली सुसंगत है और इसमें अनंत रूप से कई समाधान हैं।

टिप्पणी : शब्द "संगति" का अर्थ है कि सिस्टम के पास कम से कम कुछ समाधान है। कई समस्याओं में, पहले संगतता के लिए सिस्टम की जांच करना आवश्यक है; यह कैसे करें, इस पर लेख देखें मैट्रिक्स की रैंक.

इन प्रणालियों के लिए, सभी समाधान विधियों में से सबसे सार्वभौमिक का उपयोग किया जाता है - गाऊसी विधि. वास्तव में, "स्कूल" पद्धति भी उत्तर की ओर ले जाएगी, लेकिन उच्च गणित में अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की गाऊसी पद्धति का उपयोग करने की प्रथा है। जो लोग गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म से परिचित नहीं हैं, कृपया पहले पाठ का अध्ययन करें नौसिखियों के लिए गाऊसी विधि.

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन स्वयं बिल्कुल समान हैं, अंतर समाधान के अंत में होगा। सबसे पहले, आइए कुछ उदाहरण देखें जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

उदाहरण 1

इस प्रणाली के बारे में कौन सी चीज़ तुरंत आपकी नज़र में आती है? समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम है। यदि समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि सिस्टम या तो असंगत है या इसमें अनंत रूप से कई समाधान हैं। और जो कुछ बचा है वह पता लगाना है।

समाधान की शुरुआत पूरी तरह से सामान्य है - हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(1) शीर्ष बाएँ चरण पर हमें +1 या -1 प्राप्त करना होगा। पहले कॉलम में ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ नहीं मिलेगा। इकाई को स्वयं को व्यवस्थित करना होगा, और यह कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: पहली पंक्ति में हम तीसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 से गुणा करते हैं।

(2) अब हमें पहले कॉलम में दो शून्य मिलते हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके जोड़ते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ते हैं।

(3) परिवर्तन पूरा होने के बाद, यह देखना हमेशा उचित होता है कि क्या परिणामी स्ट्रिंग को सरल बनाना संभव है? कर सकना। हम दूसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करते हैं, साथ ही दूसरे चरण पर आवश्यक -1 प्राप्त करते हैं। तीसरी पंक्ति को -3 से विभाजित करें।

(4) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें।

संभवतः सभी ने उस ख़राब रेखा पर ध्यान दिया जो प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुई: . साफ़ है कि ऐसा नहीं हो सकता. दरअसल, आइए हम परिणामी मैट्रिक्स को फिर से लिखें रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर वापस:

यदि, प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, फॉर्म की एक स्ट्रिंग प्राप्त होती है, जहां शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या होती है, तो सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं है)।

किसी कार्य का अंत कैसे लिखें? आइए सफेद चाक से बनाएं: "प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, फॉर्म की एक स्ट्रिंग, जहां " प्राप्त होती है और उत्तर दें: सिस्टम में कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

यदि, स्थिति के अनुसार, अनुकूलता के लिए सिस्टम पर शोध करना आवश्यक है, तो अवधारणा का उपयोग करके समाधान को अधिक ठोस शैली में औपचारिक बनाना आवश्यक है मैट्रिक्स रैंक और क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय.

कृपया ध्यान दें कि यहां गाऊसी एल्गोरिदम का कोई उलटफेर नहीं है - कोई समाधान नहीं है और खोजने के लिए कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। मैं आपको फिर से याद दिलाता हूं कि आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है; गाऊसी एल्गोरिदम में मजबूत "कठोरता" नहीं है।

समाधान की एक अन्य तकनीकी विशेषता: प्राथमिक परिवर्तनों को रोका जा सकता है तुरंत, जैसे ही एक पंक्ति जैसे , कहाँ . आइए एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि पहले परिवर्तन के बाद मैट्रिक्स प्राप्त होता है . मैट्रिक्स को अभी तक इकोलोन फॉर्म में कम नहीं किया गया है, लेकिन आगे प्राथमिक परिवर्तनों की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि फॉर्म की एक पंक्ति दिखाई दी है, जहां। इसका उत्तर तुरंत दिया जाना चाहिए कि सिस्टम असंगत है।

जब रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, तो यह लगभग एक उपहार है, इस तथ्य के कारण कि एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त होता है, कभी-कभी वस्तुतः 2-3 चरणों में।

लेकिन इस दुनिया में सब कुछ संतुलित है, और एक समस्या जिसमें सिस्टम के पास असीमित कई समाधान हैं, बस लंबी है।

उदाहरण 3

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

4 समीकरण और 4 अज्ञात हैं, इसलिए सिस्टम में या तो एक ही समाधान हो सकता है, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, या अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जो भी हो, गाऊसी पद्धति हमें किसी भी स्थिति में उत्तर तक ले जायेगी। यही इसकी बहुमुखी प्रतिभा है.

शुरुआत फिर से मानक है. आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

बस, और तुम डर गये।

(1) कृपया ध्यान दें कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, इसलिए ऊपरी बाएँ चरण पर 2 ठीक है। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -4 से गुणा करके जोड़ते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -2 से गुणा किया जाता है। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है।

ध्यान!कई लोग चौथी पंक्ति से आकर्षित हो सकते हैं घटानापहली पंक्ति। ऐसा किया जा सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है; अनुभव से पता चलता है कि गणना में त्रुटि की संभावना कई गुना बढ़ जाती है। बस जोड़ें: चौथी पंक्ति में पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके जोड़ें - बिल्कुल!

(2) अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो को हटाया जा सकता है।

यहां फिर से हमें दिखाने की जरूरत है ध्यान बढ़ा, लेकिन क्या रेखाएँ वास्तव में आनुपातिक हैं? सुरक्षित रहने के लिए (विशेषकर चायदानी के लिए), दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करना और चौथी पंक्ति को 2 से विभाजित करना एक अच्छा विचार होगा, जिसके परिणामस्वरूप तीन समान रेखाएँ प्राप्त होंगी। और उसके बाद ही उनमें से दो को हटा दें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स चरणबद्ध रूप में कम हो जाता है:

किसी कार्य को नोटबुक में लिखते समय, स्पष्टता के लिए वही नोट्स पेंसिल में बनाने की सलाह दी जाती है।

आइए हम समीकरणों की संगत प्रणाली को फिर से लिखें:

यहां की व्यवस्था में "सामान्य" एकल समाधान की कोई गंध नहीं है। कोई ख़राब लाइन भी नहीं है. इसका मतलब यह है कि यह तीसरा शेष मामला है - सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं। कभी-कभी, स्थिति के अनुसार, सिस्टम की अनुकूलता की जांच करना आवश्यक होता है (अर्थात साबित करें कि कोई समाधान मौजूद है), आप इसके बारे में लेख के अंतिम पैराग्राफ में पढ़ सकते हैं मैट्रिक्स की रैंक कैसे पता करें?लेकिन अभी आइए बुनियादी बातों पर गौर करें:

किसी प्रणाली के समाधानों का एक अनंत सेट संक्षेप में तथाकथित के रूप में लिखा जाता है प्रणाली का सामान्य समाधान .

हम गाऊसी विधि के व्युत्क्रम का उपयोग करके प्रणाली का सामान्य समाधान पाते हैं।

सबसे पहले हमें यह परिभाषित करने की आवश्यकता है कि हमारे पास कौन से चर हैं बुनियादी, और कौन से चर मुक्त. आपको रैखिक बीजगणित की शर्तों से परेशान होने की ज़रूरत नहीं है, बस याद रखें कि ऐसी शर्तें हैं बुनियादी चरऔर मुक्त चर.

मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते" हैं.
इस उदाहरण में, मूल चर हैं और

मुफ़्त चर ही सब कुछ हैं शेषवेरिएबल जिन्हें एक चरण नहीं मिला। हमारे मामले में उनमें से दो हैं:- मुक्त चर।

अब आपको चाहिए सभी बुनियादी चरअभिव्यक्त करना केवल भीतर से मुक्त चर.

गॉसियन एल्गोरिदम का उल्टा पारंपरिक रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है।
सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम मूल चर व्यक्त करते हैं:

अब पहले समीकरण पर नजर डालें: . सबसे पहले हम इसमें पाए गए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

यह मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करना बाकी है:

अंततः हमें वह मिल गया जिसकी हमें आवश्यकता थी - सभीबुनियादी चर (और) व्यक्त किए जाते हैं केवल भीतर सेमुफ़्त चर:

दरअसल, सामान्य समाधान तैयार है:

सामान्य समाधान को सही ढंग से कैसे लिखें?
मुक्त चर सामान्य समाधान में "स्वयं द्वारा" और सख्ती से अपने स्थानों पर लिखे जाते हैं। इस स्थिति में, मुक्त चर को दूसरे और चौथे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:
.

बुनियादी चर के लिए परिणामी अभिव्यक्तियाँ और जाहिर तौर पर इसे पहले और तीसरे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:

निःशुल्क चर देना मनमाना मूल्य, आप असीमित रूप से अनेक पा सकते हैं निजी समाधान. सबसे लोकप्रिय मान शून्य हैं, क्योंकि विशेष समाधान प्राप्त करना सबसे आसान है। आइए सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:

- निजी समाधान.

एक और प्यारी जोड़ी है, आइए उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें:

- एक और निजी समाधान.

यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली है अनंत रूप से अनेक समाधान(चूँकि हम मुफ़्त चर दे सकते हैं कोईमान)

प्रत्येकविशेष समाधान को संतुष्ट करना चाहिए प्रत्येक के लिएसिस्टम का समीकरण. यह समाधान की शुद्धता की "त्वरित" जांच का आधार है। उदाहरण के लिए, एक विशेष समाधान लें और इसे मूल प्रणाली के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर रखें:

सब कुछ एक साथ आना चाहिए. और आपको जो भी विशेष समाधान मिले, उससे सब कुछ सहमत भी होना चाहिए।

लेकिन, सख्ती से कहें तो, किसी विशेष समाधान की जाँच करना कभी-कभी धोखा देने वाला होता है, यानी। कुछ विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं, लेकिन सामान्य समाधान वास्तव में गलत तरीके से पाया जाता है।

इसलिए, सामान्य समाधान का सत्यापन अधिक गहन और विश्वसनीय है। परिणामी सामान्य समाधान की जांच कैसे करें ?

यह कठिन नहीं है, लेकिन काफी थका देने वाला है। हमें अभिव्यक्ति लेने की जरूरत है बुनियादीइस मामले में, चर और, और उन्हें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें।

सिस्टम के पहले समीकरण के बाईं ओर:

सिस्टम के दूसरे समीकरण के बाईं ओर:


मूल समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

उदाहरण 4

गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। सामान्य समाधान और दो विशेष समाधान खोजें। सामान्य समाधान की जाँच करें.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यहां, वैसे, फिर से समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम है, जिसका अर्थ है कि यह तुरंत स्पष्ट है कि सिस्टम या तो असंगत होगा या इसमें अनंत संख्या में समाधान होंगे। निर्णय प्रक्रिया में ही क्या महत्वपूर्ण है? ध्यान, और फिर से ध्यान. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

और सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए कुछ और उदाहरण

उदाहरण 5

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें. यदि सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं, तो दो विशेष समाधान खोजें और सामान्य समाधान की जांच करें

समाधान: आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें। तीसरी पंक्ति में हम 2 से गुणा की गई पहली पंक्ति जोड़ते हैं। चौथी पंक्ति में हम 3 से गुणा की गई पहली पंक्ति जोड़ते हैं।
(2) तीसरी पंक्ति में हम -5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं। चौथी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -7 से गुणा किया जाता है।
(3) तीसरी और चौथी पंक्तियाँ समान हैं, हम उनमें से एक को हटा देते हैं।

यह ऐसी सुंदरता है:

बुनियादी चर चरणों पर बैठते हैं, इसलिए - बुनियादी चर।
केवल एक मुफ़्त वैरिएबल है जिसे एक चरण नहीं मिला:

रिवर्स:
आइए मूल चर को एक मुक्त चर के माध्यम से व्यक्त करें:
तीसरे समीकरण से:

आइए दूसरे समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:

आइए पहले समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए भावों को प्रतिस्थापित करें:

हाँ, साधारण भिन्नों की गणना करने वाला कैलकुलेटर अभी भी सुविधाजनक है।

तो सामान्य समाधान यह है:

एक बार फिर, यह कैसे हुआ? मुक्त चर अपने सही चौथे स्थान पर अकेला बैठता है। बुनियादी चरों के लिए परिणामी अभिव्यक्तियों ने भी अपना क्रमिक स्थान ले लिया।

आइए तुरंत सामान्य समाधान की जाँच करें। काम अश्वेतों के लिए है, लेकिन मैंने इसे पहले ही कर लिया है, इसलिए इसे पकड़ें =)

हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर तीन नायकों को प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों के संगत दाएँ पक्ष प्राप्त किए जाते हैं, इस प्रकार सामान्य समाधान सही पाया जाता है।

अब पाए गए सामान्य समाधान से हमें दो विशेष समाधान प्राप्त होते हैं। यहां एकमात्र निःशुल्क चर शेफ है। अपना दिमाग लगाने की जरूरत नहीं है.

फिर रहने दो - निजी समाधान.
फिर रहने दो - एक और निजी समाधान.

उत्तर: सामान्य निर्णय: , निजी समाधान: , .

मुझे अश्वेतों के बारे में याद नहीं रखना चाहिए था... ...क्योंकि सभी प्रकार के परपीड़क इरादे मेरे दिमाग में आ गए और मुझे प्रसिद्ध फ़ोटोशॉप याद आ गया जिसमें कू क्लक्स क्लैन्समैन सफेद वस्त्र में एक काले फुटबॉल खिलाड़ी के पीछे मैदान में दौड़ रहे हैं। मैं बैठ जाता हूं और चुपचाप मुस्कुराता हूं। तुम्हें पता है कितना ध्यान भटकाने वाला...

बहुत सारा गणित हानिकारक है, इसलिए इसे स्वयं हल करने के लिए एक समान अंतिम उदाहरण।

उदाहरण 6

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

मैंने पहले ही सामान्य समाधान की जाँच कर ली है, उत्तर पर भरोसा किया जा सकता है। आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है, मुख्य बात यह है कि सामान्य समाधान मेल खाते हैं।

संभवतः, कई लोगों ने समाधानों में एक अप्रिय क्षण देखा: बहुत बार, गाऊसी पद्धति के विपरीत पाठ्यक्रम के दौरान, हमें साधारण अंशों के साथ छेड़छाड़ करनी पड़ती थी। व्यवहार में, यह वास्तव में मामला है; ऐसे मामले जहां कोई भिन्न नहीं हैं, बहुत कम आम हैं। मानसिक रूप से और, सबसे महत्वपूर्ण, तकनीकी रूप से तैयार रहें।

मैं समाधान की कुछ विशेषताओं पर ध्यान केन्द्रित करूँगा जो हल किए गए उदाहरणों में नहीं पाई गईं।

सिस्टम के सामान्य समाधान में कभी-कभी एक स्थिरांक (या स्थिरांक) शामिल हो सकता है, उदाहरण के लिए:। यहां मूल चरों में से एक एक स्थिर संख्या के बराबर है:। इसमें कुछ भी विदेशी नहीं है, ऐसा होता है। जाहिर है, इस मामले में, किसी भी विशेष समाधान में पहले स्थान पर पांच होगा।

शायद ही कभी, लेकिन ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से अधिक है. गॉसियन विधि सबसे गंभीर परिस्थितियों में काम करती है; किसी को मानक एल्गोरिदम का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में शांति से कम करना चाहिए। ऐसी प्रणाली असंगत हो सकती है, इसमें अनंत रूप से कई समाधान हो सकते हैं, और, अजीब तरह से, एक ही समाधान हो सकता है।

गॉसियन विधि, जिसे अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की विधि भी कहा जाता है, इस प्रकार है। प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ऐसे रूप में लाया जाता है कि इसके गुणांकों का मैट्रिक्स बन जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या ट्रैपेज़ॉइडल के करीब (गॉसियन विधि का सीधा स्ट्रोक, इसके बाद बस सीधा स्ट्रोक)। ऐसी प्रणाली और उसके समाधान का एक उदाहरण ऊपर चित्र में है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान स्पष्ट रूप से पाया जा सकता है। इस चर का मान फिर पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है ( गाऊसी पद्धति का उलटा , फिर ठीक इसके विपरीत), जिससे पिछला चर पाया जाता है, इत्यादि।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर नहीं होते हैं यऔर एक्स, और दूसरा समीकरण चर है एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स के एक समलम्बाकार आकार लेने के बाद, सिस्टम की अनुकूलता के मुद्दे को समझना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं रह गया है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि जितनी बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि से हल करने के लिए कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणालियों को हल कर सकती है, अर्थात, जिनका एक सामान्य समाधान है (और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर विधि का उपयोग करके, हम केवल यह बता सकते हैं कि प्रणाली अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल कर सकते हैं जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका भी विश्लेषण करेंगे);
4. यह विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात को प्रतिस्थापित करने की विधि और समीकरण जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ है।

सभी के लिए यह समझने के लिए कि रैखिक समीकरणों की समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरणबद्ध) प्रणालियों को किस सरलता से हल किया जाता है, हम रिवर्स मोशन का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का त्वरित समाधान पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1।व्युत्क्रम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस समलम्बाकार प्रणाली में चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं य:

अब हम दो वेरिएबल्स के मान जानते हैं - जेडऔर य. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से हम समीकरणों की प्रणाली का समाधान लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े फॉरवर्ड स्ट्रोक का उपयोग करना आवश्यक है। यह बहुत कठिन भी नहीं है.

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

किसी सिस्टम के समीकरणों को बीजगणितीय रूप से जोड़ने की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमें पता चला कि सिस्टम के समीकरणों में से एक में हम सिस्टम का एक और समीकरण जोड़ सकते हैं, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें इसके समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉसियन पद्धति का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार प्रणाली में बदल जाती है। यानी वह जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा और खुद को आश्वस्त किया कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को ढूंढना आसान है। इस तरह का परिवर्तन कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय कर सकना:

1. पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें (इसका उल्लेख इस लेख की शुरुआत में ही किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक पंक्तियाँ बनती हैं, तो एक को छोड़कर, उन्हें हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करना;
5. किसी भी पंक्ति में एक निश्चित संख्या से गुणा करके दूसरी पंक्ति जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें इसके समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम के वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के एल्गोरिदम और उदाहरण

आइए पहले हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने पर विचार करें जिनमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, अर्थात इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल विधियों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, हमने समीकरणों में से एक को शब्द दर शब्द एक निश्चित संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएं हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह काम करती है।

समाधान की उपस्थिति को सरल बनाने के लिए आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक ऊर्ध्वाधर रेखा से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त पद ऊर्ध्वाधर रेखा के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के लिए गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एकता से विभाजन प्राप्त करने के लिए) आइए सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें. हमें इसके समतुल्य एक प्रणाली प्राप्त होती है, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है:

नए प्रथम समीकरण का उपयोग करना वैरिएबल को खत्म करें एक्सदूसरे और उसके बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (हमारे मामले में, द्वारा) से गुणा किया जाता है, तीसरी पंक्ति में - पहली पंक्ति, जिसे (हमारे मामले में, द्वारा) से गुणा किया जाता है।

ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण होते, तो हमें बाद के सभी समीकरणों में पहली पंक्ति जोड़नी होती, जिसे ऋण चिह्न के साथ संबंधित गुणांकों के अनुपात से गुणा किया जाता।

परिणामस्वरूप, हमें समीकरणों की एक नई प्रणाली के इस सिस्टम के समतुल्य एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है, जिसमें दूसरे से शुरू होने वाले सभी समीकरण होते हैं कोई वेरिएबल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, इसे गुणा करें और फिर से इस प्रणाली के समतुल्य समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करें:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके हम चर को हटा देते हैं य बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (हमारे मामले में) से गुणा किया जाता है।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण होते, तो हमें बाद के सभी समीकरणों में एक दूसरी पंक्ति जोड़नी होती, जिसे ऋण चिह्न के साथ लिए गए संबंधित गुणांकों के अनुपात से गुणा किया जाता।

परिणामस्वरूप, हम फिर से रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के समतुल्य प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

हमने रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार न हो जाए, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान ढूंढेंगे - विपरीत कदम. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम ढूंढ लेंगे य:

पहले समीकरण से हम ढूंढ लेंगे एक्स:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का हल है .

: इस मामले में वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो यह उत्तर होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

यहां फिर से हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है। एल्गोरिदम से हमारे डेमो उदाहरण में अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को हटाने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। आइए प्रारंभिक कार्य करें। गुणांकों के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक प्राप्त करना होगा। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति से तीसरी घटाएं, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक निष्कासन करें। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को, से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में जोड़ें, और दूसरी, को, से गुणा करके, चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चौथे समीकरण से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करके जोड़ें। हमें एक विस्तारित समलम्बाकार मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जिसके लिए दी गई प्रणाली समतुल्य है:

नतीजतन, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ संगत और निश्चित हैं। हम अंतिम समाधान "अंत से" ढूंढते हैं। चौथे समीकरण से हम सीधे चर "x-चार" का मान व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहला समीकरण देता है

,

हमें "x प्रथम" कहां मिलेगा:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है .

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं: इस मामले में, यदि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है तो वही उत्तर दिया जाएगा।

मिश्र धातुओं पर एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करके गॉस विधि का उपयोग करके लागू समस्याओं को हल करना

भौतिक दुनिया में वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग किया जाता है। आइए इन समस्याओं में से एक को हल करें - मिश्र धातु। इसी तरह की समस्याएं मिश्रण, वस्तुओं के समूह में व्यक्तिगत वस्तुओं की लागत या हिस्सेदारी और इसी तरह की समस्याएं हैं।

उदाहरण 5.मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किलोग्राम है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा होता है, दूसरे में - 30%, तीसरे में - 10%। इसके अलावा, दूसरे और तीसरे मिश्रधातु को मिलाकर पहले मिश्रधातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम तांबा है, और तीसरे मिश्रधातु में दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम तांबा है। मिश्रधातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

हम दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करते हैं, हमें रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त होती है:

हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं:

ध्यान दें, सीधे आगे। किसी संख्या से गुणा की गई एक पंक्ति को जोड़ने (हमारे मामले में, घटाने) से (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधी चाल ख़त्म हो गई है. हमने एक विस्तारित ट्रैपेज़ॉइडल मैट्रिक्स प्राप्त किया।

हम विपरीत चाल लागू करते हैं। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हमने देखा कि।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं: इस मामले में, यदि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है तो वही उत्तर दिया जाएगा।

गॉस की विधि की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट लगे। उनके नाम पर नामित विधि के अलावा, गॉस के कार्यों से यह कहावत ज्ञात होती है कि "हमें जो अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है उसे बिल्कुल असंभव के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए" - खोज करने पर एक प्रकार का संक्षिप्त निर्देश।

कई लागू समस्याओं में कोई तीसरी बाधा नहीं हो सकती है, यानी, तीसरा समीकरण, तो आपको गॉसियन विधि का उपयोग करके तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना होगा, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करेंगे।

गॉसियन विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई सिस्टम संगत या असंगत है एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा करना और विभाजित करना, एक पंक्ति में दूसरी संख्या जोड़ना), फॉर्म की पंक्तियाँ दिखाई दे सकती हैं

यदि सभी समीकरणों का रूप है

मुक्त पद शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और हम उन्हें प्रणाली से बाहर कर देते हैं।

उदाहरण 6.

समाधान। आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करके, हम बाद के समीकरणों से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में पहली पंक्ति को इससे गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी में जोड़ते हैं।

परिणामस्वरूप, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण में बदल गए। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें खारिज किया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर मान विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से इसका मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दी गई और अंतिम दोनों प्रणालियाँ सुसंगत, लेकिन अनिश्चित और सूत्र हैं

मनमानी के लिए और हमें किसी दिए गए सिस्टम के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और समाधान रहित रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, जिसका कोई समाधान नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर इस प्रकार तैयार किया जाता है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की पंक्तियाँ सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में दिखाई दे सकती हैं

प्रपत्र के एक समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें शून्येतर मुक्त पद (अर्थात) वाला कम से कम एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है और इसका समाधान पूर्ण है।

उदाहरण 7.गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर कर देते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से गुणा करें और पहली पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को हटाने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण को बाहर करने के लिए, दूसरे को से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में जोड़ें, और दूसरे को, से गुणा करके, चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चौथे समीकरण से चर को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति से गुणा करके जोड़ें।

इसलिए दी गई प्रणाली निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मान से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली के पास कोई समाधान नहीं है.

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• समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ में सरकारी निकायों के अनुरोध के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।