आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रमानुपाती ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

इतने भिन्न अनुपात

समानतादो मात्राओं के नाम बताइए जो एक दूसरे पर परस्पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। नतीजतन, मात्राओं के बीच संबंधों को प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता द्वारा वर्णित किया जाता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता– यह दो मात्राओं के बीच का ऐसा संबंध है जिसमें एक में वृद्धि या कमी से दूसरी में वृद्धि या कमी होती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता.

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा के लिए अध्ययन में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या आप सैर पर जितनी अधिक चीज़ें अपने साथ ले जाएंगे, आपका बैग ले जाने के लिए उतना ही भारी होगा। वे। परीक्षा की तैयारी में खर्च किए गए प्रयास की मात्रा सीधे प्राप्त ग्रेड पर निर्भर करती है। और बैकपैक में पैक की गई चीज़ों की संख्या सीधे उसके वजन पर निर्भर करती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य में कई बार कमी या वृद्धि होती है (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आश्रित मूल्य में आनुपातिक (यानी, समान संख्या में) वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे कहा जाता है) समारोह)।

आइए एक सरल उदाहरण से स्पष्ट करें। आप बाज़ार से सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत अनुपात में है। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचेंगे।

फ़ंक्शन और उसका ग्राफ़

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के/एक्स. जिसमें एक्स≠ 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र सिवाय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(य): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. सीमा को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं य= 0. ई(वाई): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है.
4. यह विषम है तथा इसका ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित है।
5. गैर आवधिक.
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
7. कोई शून्य नहीं है.
8. अगर क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फ़ंक्शन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। अगर क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे बहस बढ़ती है ( क> 0) फ़ंक्शन के नकारात्मक मान अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक मान अंतराल (0; +∞) में हैं। जब तर्क कम हो जाता है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ़ को हाइपरबोला कहा जाता है। इस प्रकार दिखाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कई कार्यों पर नजर डालें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उन्हें हल करने से आपको यह कल्पना करने में मदद मिलेगी कि व्युत्क्रम आनुपातिकता क्या है और यह ज्ञान आपके रोजमर्रा के जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

कार्य क्रमांक 1. एक कार 60 किमी/घंटा की गति से चल रही है। उन्हें अपनी मंजिल तक पहुंचने में 6 घंटे लग गए. यदि वह दोगुनी गति से चले तो उसे समान दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरुआत कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के बीच संबंध का वर्णन करता है: t = S/V। सहमत हूं, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि एक कार सड़क पर जो समय बिताती है और जिस गति से वह चलती है वह विपरीत अनुपात में है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो स्थिति के अनुसार 2 गुना अधिक है: V 2 = 60 * 2 = 120 किमी/घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब यह पता लगाना मुश्किल नहीं है कि समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें कितना समय t 2 चाहिए: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में विपरीत आनुपातिक हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति पर, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। तो आइए सबसे पहले यह आरेख बनाएं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर व्युत्क्रमानुपाती संबंध दर्शाते हैं। वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय, रिकॉर्ड के दाहिने हिस्से को पलट देना चाहिए: 60/120 = x/6। हमें x = 60 * 6/120 = 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

कार्य क्रमांक 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो दिए गए कार्य को 4 घंटे में पूरा कर सकते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?

आइए हम समस्या की स्थितियों को एक दृश्य आरेख के रूप में लिखें:

↓ 6 कर्मचारी - 4 घंटे

↓ 3 कर्मचारी - x ज

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4. और हमें x = 6 * 4/3 = 8 घंटे मिलते हैं। यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो शेष सभी काम करने में 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

कार्य क्रमांक 3. पूल में जाने वाले दो पाइप हैं। एक पाइप से पानी 2 लीटर/सेकेंड की गति से बहता है और 45 मिनट में पूल भर जाता है। दूसरे पाइप से 75 मिनट में पूल भर जाएगा। इस पाइप के माध्यम से पानी किस गति से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में घटा दें। ऐसा करने के लिए, हम पूल भरने की गति को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 एल/एस = 2 * 60 = 120 एल/मिनट।

चूँकि शर्त का अर्थ है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भरता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। आनुपातिकता व्युत्क्रम है. आइए x के माध्यम से अज्ञात गति को व्यक्त करें और निम्नलिखित चित्र बनाएं:

↓ 120 एल/मिनट - 45 मिनट

↓ x एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम अनुपात बनाते हैं: 120/x = 75/45, जहां से x = 120 * 45/75 = 72 लीटर/मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर प्रति सेकंड लीटर में व्यक्त की गई है; आइए प्राप्त उत्तर को उसी रूप में कम करें: 72/60 = 1.2 एल/एस।

टास्क नंबर 4. एक छोटा निजी प्रिंटिंग हाउस बिजनेस कार्ड छापता है। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी 42 बिजनेस कार्ड प्रति घंटे की गति से काम करता है और पूरे दिन - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और एक घंटे में 48 बिजनेस कार्ड छापता, तो वह कितनी देर पहले घर जा सकता था?

हम सिद्ध पथ का अनुसरण करते हैं और समस्या की स्थितियों के अनुसार वांछित मान को x के रूप में निर्दिष्ट करते हुए एक आरेख बनाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/घंटा - 8 घंटे

↓ 48 बिजनेस कार्ड/घंटा - x घंटा

हमारे बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे जितनी बार अधिक बिजनेस कार्ड प्रिंट करता है, उसे उसी काम को पूरा करने के लिए उतनी ही बार कम समय की आवश्यकता होगी। यह जानकर, आइए एक अनुपात बनाएं:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये व्युत्क्रम आनुपातिकता समस्याएँ वास्तव में सरल हैं। हमें उम्मीद है कि अब आप भी उनके बारे में ऐसा ही सोचेंगे. और मुख्य बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

न केवल गणित के पाठों और परीक्षाओं में। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जाने के लिए तैयार होते हैं, खरीदारी करने जाते हैं, छुट्टियों के दौरान कुछ अतिरिक्त पैसे कमाने का निर्णय लेते हैं, आदि।

हमें टिप्पणियों में बताएं कि आप अपने आसपास व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंधों के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे ऐसा खेल होने दो. आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस लेख को सोशल नेटवर्क पर साझा करना न भूलें ताकि आपके मित्र और सहपाठी भी खेल सकें।

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प्रथम स्तर

विपरीत रिश्ते। प्रथम स्तर।

अब हम एक फलन के रूप में व्युत्क्रम निर्भरता, या दूसरे शब्दों में - व्युत्क्रम आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। क्या आपको याद है कि एक फ़ंक्शन एक निश्चित प्रकार की निर्भरता है? यदि आपने अभी तक विषय नहीं पढ़ा है, तो मैं दृढ़तापूर्वक अनुशंसा करता हूं कि आप सब कुछ छोड़ दें और इसे पढ़ें, क्योंकि आप यह समझे बिना कि यह क्या है - एक फ़ंक्शन - किसी विशिष्ट फ़ंक्शन का अध्ययन नहीं कर सकते।

इस विषय को शुरू करने से पहले दो सरल कार्यों में महारत हासिल करना भी बहुत उपयोगी है: और। वहां आप एक फ़ंक्शन की अवधारणा को सुदृढ़ करेंगे और गुणांक और ग्राफ़ के साथ काम करना सीखेंगे।

तो, क्या आपको याद है कि फ़ंक्शन क्या है?
आइए हम दोहराएँ: एक फ़ंक्शन एक नियम है जिसके अनुसार एक सेट (तर्क) का प्रत्येक तत्व एक निश्चित ( एकमात्र!) दूसरे सेट का तत्व (फ़ंक्शन मानों का सेट)। यानी, यदि आपके पास कोई फ़ंक्शन है, तो इसका मतलब है कि एक चर के प्रत्येक वैध मान (जिसे "तर्क" कहा जाता है) के लिए एक चर का एक संबंधित मान होता है (जिसे "फ़ंक्शन" कहा जाता है)। "स्वीकार्य" का क्या मतलब है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकते हैं, तो फिर से "" विषय पर लौटें! यह सब अवधारणा में है "कार्यक्षेत्र": कुछ कार्यों के लिए, सभी तर्क समान रूप से उपयोगी नहीं होते हैं और उन्हें निर्भरता में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए, नकारात्मक तर्क मानों की अनुमति नहीं है।

व्युत्क्रम निर्भरता का वर्णन करने वाला कार्य

यह उस फॉर्म का एक फ़ंक्शन है जहां.

दूसरे तरीके से, इसे व्युत्क्रम आनुपातिकता कहा जाता है: तर्क में वृद्धि से फ़ंक्शन में आनुपातिक कमी होती है।
आइए परिभाषा के क्षेत्र को परिभाषित करें। यह किसके बराबर हो सकता है? या, दूसरे शब्दों में, यह किसके बराबर नहीं हो सकता?

एकमात्र संख्या जिससे विभाजित नहीं किया जा सकता वह है:

या, वही क्या है,

(इस तरह के संकेतन का मतलब है कि यह कोई भी संख्या हो सकती है, सिवाय इसके: "" चिन्ह वास्तविक संख्याओं के सेट को दर्शाता है, यानी सभी संभावित संख्याएं; "" चिन्ह इस सेट से कुछ के बहिष्करण को दर्शाता है ("माइनस के अनुरूप") " चिह्न), और घुंघराले कोष्ठक में एक संख्या का मतलब सिर्फ एक संख्या है; यह पता चलता है कि हम सभी संभावित संख्याओं को बाहर कर देते हैं)।

यह पता चला है कि फ़ंक्शन मानों का सेट बिल्कुल वैसा ही है: आखिरकार, यदि, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे किससे विभाजित करते हैं, यह काम नहीं करेगा:

सूत्र में कुछ भिन्नताएँ भी संभव हैं। उदाहरण के लिए, यह भी एक फ़ंक्शन है जो व्युत्क्रम संबंध का वर्णन करता है।
इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और मानों की सीमा स्वयं निर्धारित करें। इसे ऐसा दिखना चाहिए:

आइए इस फ़ंक्शन को देखें: . क्या यह विपरीत रूप से संबंधित है?

पहली नज़र में, यह कहना मुश्किल है: आखिरकार, वृद्धि के साथ, भिन्न के हर और अंश दोनों में वृद्धि होती है, इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि क्या फ़ंक्शन घट जाएगा, और यदि हां, तो क्या यह आनुपातिक रूप से घट जाएगा? इसे समझने के लिए, हमें अभिव्यक्ति को बदलने की आवश्यकता है ताकि अंश में कोई चर न हो:

दरअसल, हमें एक उलटा रिश्ता मिला, लेकिन एक चेतावनी के साथ:।

यहाँ एक और उदाहरण है: .

यहां यह अधिक जटिल है: आखिरकार, अंश और हर अब निश्चित रूप से रद्द नहीं होते हैं। लेकिन हम अभी भी कोशिश कर सकते हैं:

क्या आप समझते हैं कि मैंने क्या किया? अंश-गणक में, मैंने समान संख्या () को जोड़ा और घटाया, इसलिए मुझे कुछ भी परिवर्तन नहीं हुआ, लेकिन अब अंश-गणक में एक भाग है जो हर के बराबर है। अब मैं पदों को पदों से विभाजित करूंगा, अर्थात इस भिन्न को दो भिन्नों के योग में विभाजित करूंगा:

(वास्तव में, यदि हम जो मुझे प्राप्त हुआ उसे एक सामान्य हर में घटा दें, तो हमें अपना प्रारंभिक अंश प्राप्त होगा):

बहुत खूब! यह फिर से काम करता है विपरीत रिश्ते, बस अब इसमें एक नंबर जुड़ गया है।
यह विधि बाद में ग्राफ़ बनाते समय हमारे लिए बहुत उपयोगी होगी।

अब भावों को स्वयं विपरीत संबंध में बदलें:

उत्तर:

2. यहां आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाता है (यह विषय "" में विस्तार से वर्णित है)। मैं आपको याद दिला दूं कि इसके लिए आपको संबंधित द्विघात समीकरण के मूल खोजने होंगे:। मैं उन्हें मौखिक रूप से विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए पाऊंगा: , । यह कैसे किया है? यह आप विषय को पढ़कर सीख सकते हैं।
तो, हमें मिलता है: , इसलिए:

3. क्या आपने पहले ही इसे स्वयं हल करने का प्रयास किया है? क्या चालबाजी है? निश्चित रूप से तथ्य यह है कि हमारे पास अंश और हर में है - यह सरल है। यह कोई समस्या नहीं है। हमें कम करने की आवश्यकता होगी, इसलिए अंश में हमें इसे कोष्ठक से बाहर रखना चाहिए (ताकि कोष्ठक में हम इसे गुणांक के बिना प्राप्त कर सकें):

व्युत्क्रम संबंध ग्राफ

हमेशा की तरह, आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें:।
आइए एक तालिका बनाएं:

आइए निर्देशांक तल पर बिंदु बनाएं:

अब इन्हें सुचारू रूप से जोड़ने की जरूरत है, लेकिन कैसे? यह देखा जा सकता है कि दायीं और बायीं ओर के बिंदु असंबद्ध घुमावदार रेखाएँ बनाते हैं। जिस तरीके से है वो। ग्राफ़ इस तरह दिखेगा:

इस ग्राफ को कहा जाता है "अतिपरवलय"(उस नाम में "पैराबोला" जैसा कुछ है, है ना?) परवलय की तरह, अतिपरवलय की भी दो शाखाएँ होती हैं, केवल वे एक-दूसरे से जुड़ी नहीं होती हैं। उनमें से प्रत्येक अपनी धुरी से कुल्हाड़ियों के करीब पहुंचने का प्रयास करता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंच पाता है। यदि आप उसी अतिशयोक्ति को दूर से देखें, तो आपको निम्नलिखित चित्र मिलता है:

यह समझ में आता है: चूँकि ग्राफ़ अक्ष को पार नहीं कर सकता। लेकिन साथ ही, ग्राफ़ कभी भी अक्ष को नहीं छूएगा।

खैर, अब देखते हैं कि गुणांक क्या प्रभावित करते हैं। आइए इन कार्यों पर विचार करें:
:

वाह, क्या सुन्दरता है!
सभी ग्राफ़ को अलग-अलग रंगों में प्लॉट किया गया है ताकि उन्हें एक-दूसरे से अलग करना आसान हो सके।

तो, हमें सबसे पहले किस पर ध्यान देना चाहिए? उदाहरण के लिए, यदि किसी फ़ंक्शन में भिन्न से पहले माइनस है, तो ग्राफ फ़्लिप हो जाता है, अर्थात अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

दूसरा: हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, ग्राफ़ मूल से उतना ही दूर भागेगा।

यदि फ़ंक्शन अधिक जटिल दिखता है, उदाहरण के लिए, तो क्या होगा?

इस मामले में, अतिशयोक्ति बिल्कुल सामान्य जैसी ही होगी, केवल इसमें थोड़ा बदलाव आएगा। आइए सोचें, कहां?

अब यह किसके बराबर नहीं हो सकता? सही, । इसका मतलब यह है कि ग्राफ कभी भी सीधी रेखा तक नहीं पहुंचेगा। यह किसके बराबर नहीं हो सकता? अब। इसका मतलब यह है कि अब ग्राफ़ सीधी रेखा की ओर जाएगा, लेकिन उसे कभी पार नहीं करेगा। तो, अब सीधी रेखाएँ फ़ंक्शन के लिए निर्देशांक अक्षों के समान भूमिका निभाती हैं। ऐसी रेखाओं को कहा जाता है स्पर्शोन्मुख(वे पंक्तियाँ जिन तक ग्राफ़ जाता है लेकिन पहुँचता नहीं है):

हम विषय में इस बारे में और जानेंगे कि ऐसे ग्राफ़ कैसे बनाए जाते हैं।

अब समेकित करने के लिए कुछ उदाहरणों को हल करने का प्रयास करें:

1. चित्र एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। परिभाषित करना।

2. यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। परिभाषित करना

3. यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। परिभाषित करना।

4. यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। परिभाषित करना।

5. यह आंकड़ा कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है और।

सही अनुपात चुनें:

उत्तर:

जीवन में विपरीत निर्भरता

हमें व्यवहार में ऐसा कार्य कहां मिलता है? ऐसे कई उदाहरण हैं. सबसे आम गति है: हम जितनी अधिक गति से आगे बढ़ेंगे, उतनी ही दूरी तय करने में हमें उतना ही कम समय लगेगा। दरअसल, आइए हम गति के सूत्र को याद रखें: गति कहां है, यात्रा का समय है, दूरी (पथ) है।

यहां से हम समय व्यक्त कर सकते हैं:

उदाहरण:

एक व्यक्ति किमी/घंटा की औसत गति से काम पर जाता है और एक घंटे में वहां पहुंच जाता है। यदि वह किमी/घंटा की गति से गाड़ी चलाता है तो वह उसी सड़क पर कितने मिनट बिताएगा?

समाधान:

सामान्य तौर पर, आप पहले ही 5वीं और 6वीं कक्षा में ऐसी समस्याओं का समाधान कर चुके हैं। आपने अनुपात बनाया:

यानी व्युत्क्रम आनुपातिकता की अवधारणा से आप पहले से ही परिचित हैं। तो हमें याद आया. और अब वही बात, केवल वयस्क तरीके से: एक समारोह के माध्यम से।

गति पर मिनटों में समय का कार्य (अर्थात् निर्भरता):

यह ज्ञात है कि, तब:

ढूंढना होगा:

अब जीवन से कुछ उदाहरण लेकर आएं जिनमें व्युत्क्रम आनुपातिकता मौजूद है।
आविष्कार? यदि आप ऐसा करते हैं तो अच्छा है। आपको कामयाबी मिले!

विपरीत निर्भरता. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. परिभाषा

व्युत्क्रम निर्भरता का वर्णन करने वाला कार्यप्रपत्र का एक कार्य है जहाँ.

दूसरे तरीके से, इस फ़ंक्शन को व्युत्क्रम आनुपातिकता कहा जाता है, क्योंकि तर्क में वृद्धि से फ़ंक्शन में आनुपातिक कमी आती है।

या, वही क्या है,

व्युत्क्रम ग्राफ एक अतिपरवलय है।

2. गुणांक, और.

के लिए जिम्मेदार "सपाटता" और ग्राफ़ की दिशा: यह गुणांक जितना बड़ा होगा, हाइपरबोला मूल बिंदु से उतना ही दूर स्थित होगा, और इसलिए, यह कम तेजी से "मुड़ता है" (आंकड़ा देखें)। गुणांक का चिह्न प्रभावित करता है कि ग्राफ़ किस तिमाही में स्थित है:

• यदि, तो हाइपरबोला की शाखाएँ और क्वार्टर में स्थित हैं;
• यदि, तो में और।

x=a है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट, अर्थात्, वह ऊर्ध्वाधर जिस ओर ग्राफ़ झुकता है।

संख्या फ़ंक्शन ग्राफ़ को if की मात्रा से ऊपर की ओर स्थानांतरित करने और यदि की संख्या को नीचे की ओर स्थानांतरित करने के लिए ज़िम्मेदार है।

इसलिए, यह है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा.

विषय पर 1 पाठ

प्रदर्शन किया:

टेलीगिना एल.बी.

पाठ का उद्देश्य:

1. फ़ंक्शंस पर अध्ययन की गई सभी सामग्री को दोहराएं।
2. व्युत्क्रम आनुपातिकता की परिभाषा प्रस्तुत करें और इसका ग्राफ बनाना सिखाएं।
3. तार्किक सोच विकसित करें.
4. ध्यान, सटीकता, सटीकता विकसित करें।

शिक्षण योजना:

1. दोहराव.
2. नई सामग्री की व्याख्या.
3. शारीरिक शिक्षा मिनट.
4. समेकन।

उपकरण: पोस्टर.

कक्षाओं के दौरान:

1. पाठ की शुरुआत दोहराव से होती है। छात्रों को एक क्रॉसवर्ड पहेली (जो कागज की एक बड़ी शीट पर पहले से तैयार की जाती है) को हल करने के लिए कहा जाता है।

क्रॉसवर्ड प्रश्न:

1. चरों के बीच निर्भरता, जिसमें स्वतंत्र चर का प्रत्येक मान आश्रित चर के एकल मान से मेल खाता है। [समारोह]।

2. स्वतंत्र चर. [तर्क]।

3. भुज निर्देशांक तल के बिंदुओं का समुच्चय, जो तर्क के मानों के बराबर है, और निर्देशांक फ़ंक्शन के मानों के बराबर हैं। [अनुसूची]।

4. सूत्र y=kx+b द्वारा दिया गया फलन। [रैखिक].

5. किसी संख्या को क्या गुणांक कहा जाता है?क सूत्र में y=kx+b? [कोना]।

6. एक रैखिक फलन का ग्राफ क्या है? [सीधा]।

7. यदि k≠0 है, तो ग्राफ y=kx+b इस अक्ष को काटता है, और यदि k=0 है, तो यह इसके समानांतर है। यह अक्ष किस अक्षर से निर्दिष्ट है? [एक्स]।

8. फ़ंक्शन के नाम में शब्द y=kx? [आनुपातिकता]।

9. सूत्र y=x द्वारा दिया गया फलन 2. [द्विघात]।

10. द्विघात फलन के ग्राफ का नाम. [परबोला]।

11. लैटिन वर्णमाला का एक अक्षर, जो अक्सर किसी फ़ंक्शन को दर्शाता है। [इग्रेक]।

12. किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के तरीकों में से एक। [सूत्र].

अध्यापक : किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के मुख्य तरीके क्या हैं जिन्हें हम जानते हैं?

(एक छात्र को बोर्ड पर एक कार्य मिलता है: उसके तर्क के दिए गए मानों का उपयोग करके फ़ंक्शन 12/x के मानों की एक तालिका भरें, और फिर समन्वय विमान पर संबंधित बिंदुओं को प्लॉट करें)।

बाकी शिक्षक के प्रश्नों के उत्तर देते हैं: (जो बोर्ड पर पहले से लिखे होते हैं)

1. सूत्रों द्वारा दिए गए निम्नलिखित कार्यों के नाम क्या हैं: y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. निम्नलिखित कार्यों की परिभाषा का क्षेत्र निर्दिष्ट करें: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

फिर छात्र शिक्षक द्वारा पूछे गए प्रश्नों का उत्तर देते हुए तालिका के अनुसार काम करते हैं:

1. तालिका से कौन सा चित्र ग्राफ़ दिखाता है:

ए) रैखिक कार्य;

बी) प्रत्यक्ष आनुपातिकता;

ग) द्विघात फलन;

d) y=kx रूप के कार्य 3 ?

2. y=kx+b रूप के सूत्रों में गुणांक k का कौन सा चिह्न है, जो तालिका के चित्र 1, 2, 4, 5 में ग्राफ़ के अनुरूप है?

3. तालिका में रैखिक फलनों के ग्राफ़ खोजें जिनकी ढलानें हैं:

ए) बराबर;

बी) परिमाण में बराबर और संकेत में विपरीत।

(फिर पूरी कक्षा जाँचती है कि क्या बोर्ड पर बुलाए गए छात्र ने तालिका को सही ढंग से भरा है और बिंदुओं को निर्देशांक तल पर रखा है)।

2. स्पष्टीकरण की शुरुआत प्रेरणा से होती है।

अध्यापक: जैसा कि आप जानते हैं, प्रत्येक फ़ंक्शन हमारे आसपास की दुनिया में होने वाली कुछ प्रक्रियाओं का वर्णन करता है।

उदाहरण के लिए, भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करें x और y और क्षेत्रफल 12 सेमी 2 . यह ज्ञात है कि x*y=12, लेकिन क्या होगा यदि आप आयत की एक भुजा को बदलना शुरू करें, मान लें कि लंबाई वाली एक भुजाएक्स?

साइड की लंबाई y सूत्र y=12/x से पाया जा सकता है। अगरएक्स 2 गुना वृद्धि करने पर, इसका मान y=12/2x होगा, अर्थात ओरय 2 गुना कम हो जाएगा. यदि मानएक्स 3, 4, 5... गुना वृद्धि, फिर मूल्यय उतनी ही मात्रा में कमी आएगी. इसके विपरीत, यदिएक्स फिर कई बार कम करेंय उतनी ही मात्रा में वृद्धि होगी. (तालिका के अनुसार कार्य करें)।

इसलिए, y=12/x के रूप का एक फलन व्युत्क्रम आनुपातिकता कहलाता है। सामान्य तौर पर, इसे y=k/x के रूप में लिखा जाता है, जहां k एक स्थिरांक है, और k≠0 है।

यह आज के पाठ का विषय है, हमने इसे अपनी नोटबुक में लिखा है। मैं एक सख्त परिभाषा देता हूं. फ़ंक्शन y=12/x के लिए, जो एक विशेष प्रकार की व्युत्क्रम आनुपातिकता है, हमने तालिका में तर्क और फ़ंक्शन के कई मान पहले ही लिख दिए हैं और समन्वय विमान पर संबंधित बिंदुओं को चित्रित करेंगे। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है? निर्मित बिंदुओं के आधार पर पूरे ग्राफ़ का आकलन करना कठिन है, क्योंकि बिंदुओं को किसी भी तरह से जोड़ा जा सकता है। आइए तालिका और सूत्र पर विचार करने से उत्पन्न होने वाले फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बारे में निष्कर्ष निकालने का एक साथ प्रयास करें।

कक्षा के लिए प्रश्न:

1. फलन y=12/x की परिभाषा का क्षेत्र क्या है?
2. क्या y मान सकारात्मक हैं या नकारात्मक यदि

ए) एक्स

बी) x>0?

3. किसी वेरिएबल का मान कैसे बदलता हैय बदलते मूल्य के साथएक्स?

इसलिए,

1. बिंदु (0,0) ग्राफ़ से संबंधित नहीं है, अर्थात यह OX या OY अक्ष को नहीं काटता है;
2. ग्राफ़ Ι और ΙΙΙ समन्वय तिमाहियों में है;
3. Ι समन्वय तिमाही और ΙΙΙ दोनों में समन्वय अक्षों तक सुचारू रूप से पहुंचता है, और यह अक्षों को वांछित के करीब पहुंचता है।

इस जानकारी के होने पर, हम पहले से ही चित्र में बिंदुओं को जोड़ सकते हैं (शिक्षक स्वयं बोर्ड पर ऐसा करता है) और फ़ंक्शन y=12/x का संपूर्ण ग्राफ़ देख सकते हैं। परिणामी वक्र को हाइपरबोला कहा जाता है, जिसका ग्रीक में अर्थ है "किसी चीज़ से गुज़रना।" इस वक्र की खोज ईसा पूर्व चौथी शताब्दी के आसपास प्राचीन यूनानी स्कूल के गणितज्ञों ने की थी। शब्द, हाइपरबोले, पेरगामम (एशिया माइनर) शहर के अपोलोनियस द्वारा पेश किया गया था, जो 6ठी-8वीं शताब्दी में रहते थे। ईसा पूर्व.

अब, फ़ंक्शन y=12/x के ग्राफ़ के आगे, हम फ़ंक्शन y=-12/x का ग्राफ़ बनाएंगे। (छात्र इस कार्य को नोटबुक में पूरा करते हैं, और एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर)।

दोनों ग्राफ़ों की तुलना करने पर, छात्रों ने देखा कि दूसरा 2 और 4 निर्देशांक वाले क्वार्टरों पर है। इसके अलावा, यदि फ़ंक्शन y=12/x का ग्राफ़ op-amp अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाता है, तो फ़ंक्शन y=-12/x का ग्राफ़ प्राप्त किया जाएगा।

प्रश्न: हाइपरबोला y=k/x के ग्राफ़ का स्थान चिह्न और गुणांक k के मान पर कैसे निर्भर करता है?

छात्र आश्वस्त हैं कि यदि k>0, तो ग्राफ़ Ι में स्थित हैऔर ΙΙΙ समन्वय तिमाहियों, और यदि k

1. शारीरिक शिक्षा पाठ का संचालन शिक्षक द्वारा किया जाता है।

1. जो अध्ययन किया जा रहा है उसका समेकन पाठ्यपुस्तक से क्रमांक 180, 185 को पूरा करने पर होता है।

1. पाठ का सारांश, ग्रेड, होमवर्क है: पृष्ठ 8 संख्या 179, 184।

विषय पर पाठ 2

"व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन और उसका ग्राफ़।"

प्रदर्शन किया:

टेलीगिना एल.बी.

पाठ का उद्देश्य:

1. व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के कौशल को समेकित करें;
2. विषय में रुचि विकसित करना, तार्किक सोच;
3. स्वतंत्रता और ध्यान विकसित करें।

शिक्षण योजना:

1. होमवर्क पूरा होने की जाँच करना।
2. मौखिक कार्य.
3. समस्या को सुलझाना।
4. शारीरिक शिक्षा मिनट.
5. बहुस्तरीय स्वतंत्र कार्य।
6. सारांश, आकलन, होमवर्क।

उपकरण: कार्ड.

कक्षाओं के दौरान:

1. शिक्षक पाठ के विषय, उद्देश्यों और पाठ योजना की घोषणा करता है।

फिर दो छात्र बोर्ड पर दिए गए मकान नंबर 179, 184 को पूरा करते हैं।

1. बाकी छात्र शिक्षक के सवालों का जवाब देते हुए आगे बढ़कर काम करते हैं।

प्रशन:

• व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को परिभाषित करें।
• व्युत्क्रम आनुपातिकता फलन का ग्राफ क्या है?
• हाइपरबोला y=k/x के ग्राफ़ का स्थान गुणांक k के मान पर कैसे निर्भर करता है?

कार्य:

1. सूत्रों द्वारा निर्दिष्ट कार्यों में व्युत्क्रम आनुपातिकता के कार्य हैं:

ए) वाई=एक्स 2 +5, बी) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, ज) y=15/x-2.

2. व्युत्क्रम आनुपातिकता के कार्यों के लिए, गुणांक को नाम दें और इंगित करें कि ग्राफ़ किस तिमाही में स्थित है।

3. व्युत्क्रम आनुपातिकता के फलनों की परिभाषा का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

(फिर छात्र बोर्ड पर संख्याओं के शिक्षक द्वारा जाँचे गए समाधानों के आधार पर पेंसिल से एक-दूसरे के होमवर्क की जाँच करते हैं और एक ग्रेड देते हैं)।

पाठ्यपुस्तक संख्या 190, 191, 192, 193 (मौखिक) के अनुसार फ्रंटल कार्य।

1. पाठ्यपुस्तक संख्या 186(बी), 187(बी), 182 से नोटबुक और बोर्ड पर निष्पादन।

4. शिक्षक द्वारा शारीरिक शिक्षा पाठ संचालित किया जाता है।

5. स्वतंत्र कार्य अलग-अलग जटिलता (कार्डों पर वितरित) के तीन विकल्पों में दिया गया है।

Ι सी. (हल्का)।

तालिका का उपयोग करके व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन y=-6/x का ग्राफ़ बनाएं:

ग्राफ़ का उपयोग करके, खोजें:

a) y का मान यदि x = - 1.5; 2;

बी) x का मान जिस पर y = - 1; 4.

ΙΙ सदी (मध्यम कठिनाई)

पहले तालिका भरकर व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन y=16/x का एक ग्राफ़ बनाएं।

ग्राफ़ का उपयोग करके पता लगाएं कि कौन से मान हैं x y >0.

ΙΙΙ सदी (कठिनाई बढ़ी)

पहले तालिका भरकर व्युत्क्रम आनुपातिकता फलन y=10/x-2 का ग्राफ बनाएं।

इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें.

(छात्र परीक्षण के लिए प्लॉट किए गए ग्राफ़ वाली शीट हाथ में लेते हैं)।

6. पाठ, आकलन, होमवर्क का सारांश: संख्या 186 (ए), 187 (ए)।

आइए कार्यों के बारे में सिद्धांत को दोहराएं। फ़ंक्शन एक नियम है जिसके अनुसार एक सेट (तर्क) का प्रत्येक तत्व एक निश्चित ( एकमात्र!) दूसरे सेट का तत्व (फ़ंक्शन मानों का सेट)। यानी अगर कोई फंक्शन है \(y = f(x)\), इसका मतलब है कि चर के प्रत्येक वैध मान के लिए \(एक्स\)(जिसे "तर्क" कहा जाता है) चर के एक मान से मेल खाता है \(y\)(जिसे "फ़ंक्शन" कहा जाता है)।

व्युत्क्रम निर्भरता का वर्णन करने वाला कार्य

यह प्रपत्र का एक कार्य है \(y = \frac(k)(x)\), कहाँ \(k\ne 0.\)

दूसरे तरीके से, इसे व्युत्क्रम आनुपातिकता कहा जाता है: तर्क में वृद्धि से फ़ंक्शन में आनुपातिक कमी होती है।
आइए परिभाषा के क्षेत्र को परिभाषित करें। \(x\) किसके बराबर हो सकता है? या, दूसरे शब्दों में, यह किसके बराबर नहीं हो सकता?

एकमात्र संख्या जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता वह 0 है, इसलिए \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

या, जो समान है:

\(D(y) = R\backslash \( 0\).\)

इस संकेतन का अर्थ है कि \(x\) 0 को छोड़कर कोई भी संख्या हो सकती है: चिह्न "R" वास्तविक संख्याओं के सेट को दर्शाता है, यानी सभी संभावित संख्याएं; चिह्न "\" इस सेट से किसी चीज़ के बहिष्करण को इंगित करता है ("माइनस" चिह्न के अनुरूप), और घुंघराले कोष्ठक में संख्या 0 का अर्थ केवल संख्या 0 है; यह पता चला है कि सभी संभावित संख्याओं में से हम 0 को बाहर कर देते हैं।

यह पता चला है कि फ़ंक्शन मानों का सेट बिल्कुल वैसा ही है: आखिरकार, यदि \(k \ne 0.\) है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे किससे विभाजित करते हैं, 0 काम नहीं करेगा:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

या \(E(y) = R\backslash \( 0\).\)

सूत्र में कुछ भिन्नताएँ भी संभव हैं \(y = \frac(k)(x)\)​. उदाहरण के लिए, \(y = \frac(k)((x + a))\)​यह भी एक फ़ंक्शन है जो व्युत्क्रम संबंध का वर्णन करता है। इस फ़ंक्शन के मानों का दायरा और सीमा इस प्रकार है:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

चलो गौर करते हैं उदाहरण, आइए हम अभिव्यक्ति को व्युत्क्रम संबंध के रूप में कम करें:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3)) ) + 5))((x - 3)).\)

हमने अंश में कृत्रिम रूप से मान 3 शामिल किया है, और अब हम अंश को हर से विभाजित करते हैं, पद दर पद, हमें प्राप्त होता है:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

हमें व्युत्क्रम संबंध और संख्या 1 प्राप्त हुई।

व्युत्क्रम संबंध ग्राफ

आइए एक साधारण मामले से शुरुआत करें \(y = \frac(1)(x).\)

आइए मानों की एक तालिका बनाएं:

आइए निर्देशांक तल पर बिंदु बनाएं:

बिंदुओं को कनेक्ट करें, ग्राफ़ इस तरह दिखेगा:

इस ग्राफ को कहा जाता है "अतिपरवलय". परवलय की तरह, अतिपरवलय की भी दो शाखाएँ होती हैं, केवल वे एक-दूसरे से जुड़ी नहीं होती हैं। उनमें से प्रत्येक अपने सिरों को अक्षों के करीब ले जाता है बैलऔर ओए, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता।

आइए फ़ंक्शन की कुछ विशेषताओं पर ध्यान दें:

1. यदि किसी फ़ंक्शन में भिन्न से पहले ऋण होता है, तो ग्राफ फ़्लिप हो जाता है, अर्थात यह अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है बैल।
2. हर में संख्या जितनी बड़ी होगी, ग्राफ़ मूल बिंदु से उतना ही दूर चला जाएगा।

जीवन में विपरीत निर्भरता

हमें व्यवहार में ऐसा कार्य कहां मिलता है? ऐसे कई उदाहरण हैं. सबसे आम गति है: हम जितनी अधिक गति से आगे बढ़ेंगे, उतनी ही दूरी तय करने में हमें उतना ही कम समय लगेगा। आइए गति सूत्र याद रखें:

\(v = \frac(S)(t),\)

जहां v गति है, t यात्रा का समय है, S दूरी (पथ) है।

यहां से हम समय व्यक्त कर सकते हैं: \(t = \frac(S)(v).\)