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जटिल समीकरण को ऑनलाइन हल करें। मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना


आइए हम समीकरणों की प्रणालियों के दो प्रकार के समाधानों का विश्लेषण करें:

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।
2. सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि द्वाराआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. एक्सप्रेस. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम परिणामी मान को व्यक्त चर के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरण जोड़ते या घटाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक चर वाला समीकरण बनता है।
3. परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, जिसका अर्थ है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y

2.इसे व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3+10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले बिंदु में जहां हमने इसे व्यक्त किया था, हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

अंक लिखने की प्रथा है, पहले स्थान पर हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि का उपयोग करके हल करें।

जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. हम एक वेरिएबल चुनते हैं, मान लीजिए कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. एक्स खोजें। हम पाए गए y को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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I. कुल्हाड़ी 2 =0अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0, सी=0 ). समाधान: x=0. उत्तर: 0.

समीकरण हल करें.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

समाधान।आइए कोष्ठक को गुणा करके खोलें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; हम शब्दों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; यहाँ समान शब्द हैं:

3x 2 =0, इसलिए x=0.

उत्तर: 0.

द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0अधूरा द्विघात समीकरण (सी=0 ). समाधान: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a. उत्तर: 0; -बी ० ए।

5x 2 -26x=0.

समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के बाहर:

x(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य के बराबर हो सकता है:

एक्स=0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x=5.2.

उत्तर: 0; 5,2.

उदाहरण 3. 64x+4x 2 =0.

समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के बाहर:

4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स=0या 16+x=0. अंतिम समानता से हमें x=-16 मिलता है।

उत्तर: -16; 0.

उदाहरण 4.(x-3) 2 +5x=9.

समाधान।दो भावों के अंतर के वर्ग का सूत्र लागू करके हम कोष्ठक खोलेंगे:

x 2 -6x+9+5x=9; फॉर्म में बदलें: x 2 -6x+9+5x-9=0; आइए हम ऐसे ही शब्द प्रस्तुत करें:

एक्स 2 -एक्स=0; हम इसे बाहर निकाल लेंगे एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स=0या x-1=0→ x=1.

उत्तर: 0; 1.

तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +सी=0अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0 ); समाधान: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

अगर (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। अगर (-с/а)>0

उदाहरण 5. x 2 -49=0.

समाधान।

x 2 =49, यहाँ से x=±7. उत्तर:-7; 7.

उदाहरण 6. 9x 2 -4=0.

समाधान।

अक्सर आपको द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों (x 1 2 +x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 +x 2 3) का योग ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, कम अक्सर - पारस्परिक मानों का योग ​​किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का या मूलों के अंकगणितीय वर्गमूलों का योग:

विएटा का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:

x 2 +px+q=0

एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.

आइए व्यक्त करें के माध्यम से पीऔर क्यू:

1) समीकरण के मूलों के वर्गों का योग x 2 +px+q=0;

2) समीकरण की जड़ों के घनों का योग x 2 +px+q=0.

समाधान।

1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 +एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 = -पी;

(एक्स 1 +एक्स 2) 2 =(-पी) 2 ; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; हम आवश्यक राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. हमें एक उपयोगी समानता मिली: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.

2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 +एक्स 2 3आइए हम सूत्र का उपयोग करके घनों का योग निरूपित करें:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

एक अन्य उपयोगी समीकरण: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

उदाहरण।

3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक का मान परिकलित करें एक्स 1 2 +एक्स 2 2.

समाधान।

एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=3,और काम x 1 ∙x 2 =q=उदाहरण 1 में) समानता:

एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.हमारे पास है -पी=एक्स 1 +एक्स 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू= x 1 x 2 = -4. तब x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

उत्तर:एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।

समाधान।

विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=2,और काम x 1 ∙x 2 =q=-4. आइए जो प्राप्त हुआ है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 में) समानता: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

उत्तर: एक्स 1 3 +एक्स 2 3 =32.

प्रश्न: यदि हमें एक अघटीकृत द्विघात समीकरण दिया जाए तो क्या होगा? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद दर पद विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।

5) 2x 2 -5x-7=0.निर्णय किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 +एक्स 2 2.

समाधान।हमें पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समानता के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5=0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग बराबर होता है 2,5 ; जड़ों का गुणनफल बराबर होता है -3,5 .

हम इसे उदाहरण की तरह ही हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.

एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0.खोजो:

आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करें -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता 1 का उपयोग किया): एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.

हमारे उदाहरण में एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

7) x 2 -13x+36=0.खोजो:

आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसका उपयोग द्विघात समीकरण की जड़ों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

हमारे पास है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=13; x 1 ∙x 2 =q=36. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

सलाह : हमेशा एक उपयुक्त विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की संभावना की जांच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा उपयोगी सूत्रआपको किसी कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ें ढूंढें और उन पर काम करें। उदाहरण के लिए, अंतिम उदाहरण में हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? निश्चित रूप से, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात करें: 2+3=5. इतना ही!

I. विएटा का प्रमेयघटे हुए द्विघात समीकरण के लिए.

घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:

एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें।

उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी=-1, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-30.सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि इस समीकरण की जड़ें हैं, और जड़ें (यदि कोई हों) पूर्णांकों में व्यक्त की जाएंगी। ऐसा करने के लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।

विवेचक का पता लगाना डी=बी 2 — 4एसी=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

अब, विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, अर्थात। ( क्यू). तब:

एक्स 1 +एक्स 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.हमें दो संख्याएँ ऐसी चुननी हैं जिनका गुणनफल बराबर हो -30 , और राशि है इकाई. ये संख्याएं हैं -5 और 6 . उत्तर:-5; 6.

उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ घटा हुआ द्विघात समीकरण है पी=6और मुफ़्त सदस्य क्यू=8. आइए सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए विवेचक को खोजें डी 1 डी 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विभेदक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , जिसका अर्थ है कि इस समीकरण की जड़ें पूर्णांक हैं। आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करें: जड़ों का योग बराबर है –r=-6, और जड़ों का गुणनफल बराबर है क्यू=8. ये संख्याएं हैं -4 और -2 .

वास्तव में: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2.

उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-4. आइए विवेचक को खोजें डी 1, चूँकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम ऐसा करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसका मतलब यह है कि हम हमेशा की तरह, सूत्रों का उपयोग करके (इस मामले में, सूत्रों का उपयोग करके) इस समीकरण को हल करते हैं। हम पाते हैं:

उदाहरण 4).यदि इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें x 1 =-7, x 2 =4.

समाधान।आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, और, विएटा के प्रमेय पर आधारित –पी=एक्स 1 +एक्स 2=-7+4=-3 → पी=3; क्यू=एक्स 1 ∙एक्स 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण इस प्रकार बनेगा: x 2 +3x-28=0.

उदाहरण 5).इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें यदि:

द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0.

मूलों का योग ऋणात्मक है बी, द्वारा विभाजित , जड़ों का गुणनफल बराबर है साथ, द्वारा विभाजित ए:

एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए; एक्स 1 ∙एक्स 2 =सी/ए.

उदाहरण 6).द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x 2 -7x-11=0.

समाधान।

हम सुनिश्चित करते हैं कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक अभिव्यक्ति बनाना पर्याप्त है, और, इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . अब प्रयोग करते हैं प्रमेय विएटासंपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए.

एक्स 1 +एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.

उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x 2 +8x-21=0.

समाधान।

आइए विवेचक को खोजें डी 1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है. डी 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 ∙x 2 =सी:ए=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– सामान्य द्विघात समीकरण

विभेदक डी=बी 2 - 4एसी.

अगर डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक जड़ें हैं:

अगर डी=0, तो हमारे पास एक ही मूल (या दो समान जड़ें) हैं x=-b/(2a).

यदि डी<0, то действительных корней нет.

उदाहरण 1) 2x 2 +5x-3=0.

समाधान। =2; बी=5; सी=-3.

डी=बी 2 - 4एसी=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें.

4x 2 +21x+5=0.

समाधान। =4; बी=21; सी=5.

डी=बी 2 - 4एसी=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें.

द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0विशेष रूप का द्विघात समीकरण सम सेकंड के साथ

गुणक बी


उदाहरण 3) 3x 2 -10x+3=0.

समाधान। =3; बी=-10 (सम संख्या); सी=3.

उदाहरण 4) 5x 2 -14x-3=0.

समाधान। =5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.

उदाहरण 5) 71x 2 +144x+4=0.

समाधान। =71; बी=144 (सम संख्या); सी=4.

उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.

समाधान। =9; बी=-30 (सम संख्या); सी=25.

तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 द्विघात समीकरण निजी प्रकार प्रदान किया गया: a-b+c=0.

पहला मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है, और दूसरा मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है साथ, द्वारा विभाजित :

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

उदाहरण 7) 2x 2 +9x+7=0.

समाधान। =2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .

तब x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.उत्तर: -1; -3,5.

चतुर्थ. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 किसी विशेष रूप के द्विघात समीकरण के अधीन : a+b+c=0.

पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ हमेशा एक के बराबर होती है साथ, द्वारा विभाजित :

एक्स 1 =1, एक्स 2 =सी/ए.

उदाहरण 8) 2x 2 -9x+7=0.

समाधान। =2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .

तब x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.उत्तर: 1; 3,5.

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आवेदन

अध्ययन की गई सामग्री को समेकित करने के लिए छात्रों और स्कूली बच्चों के लिए साइट पर किसी भी प्रकार के समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। समीकरण ऑनलाइन. बीजगणितीय, पैरामीट्रिक, ट्रान्सेंडैंटल, कार्यात्मक, अंतर और अन्य प्रकार के समीकरण हैं। समीकरणों के कुछ वर्गों में विश्लेषणात्मक समाधान होते हैं, जो सुविधाजनक होते हैं क्योंकि वे न केवल मूल का सटीक मान देते हैं, बल्कि आपको समाधान लिखने की भी अनुमति देते हैं। एक सूत्र का रूप, जिसमें पैरामीटर शामिल हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ न केवल जड़ों की गणना करने की अनुमति देती हैं, बल्कि पैरामीटर मानों के आधार पर उनके अस्तित्व और उनकी मात्रा का विश्लेषण करने की भी अनुमति देती हैं, जो अक्सर जड़ों के विशिष्ट मूल्यों की तुलना में व्यावहारिक उपयोग के लिए और भी अधिक महत्वपूर्ण होती है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। किसी समीकरण को हल करना तर्कों के ऐसे मान ज्ञात करने का कार्य है जिन पर यह समानता प्राप्त होती है। तर्कों के संभावित मूल्यों पर अतिरिक्त शर्तें (पूर्णांक, वास्तविक, आदि) लगाई जा सकती हैं। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। आप समीकरण को तुरंत और परिणाम की उच्च सटीकता के साथ ऑनलाइन हल कर सकते हैं। समीकरण के मामले में निर्दिष्ट कार्यों के तर्क (कभी-कभी "चर" भी कहा जाता है) को "अज्ञात" कहा जाता है। अज्ञात के वे मान जिन पर यह समानता प्राप्त की जाती है, इस समीकरण के समाधान या मूल कहलाते हैं। कहा जाता है कि जड़ें इस समीकरण को संतुष्ट करती हैं। किसी समीकरण को ऑनलाइन हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधानों (मूलों) का समुच्चय खोजना या यह साबित करना कि कोई मूल नहीं हैं। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। वे समीकरण जिनके मूलों का समुच्चय मेल खाता है, समतुल्य या बराबर कहलाते हैं। जिन समीकरणों के मूल नहीं होते उन्हें भी समतुल्य माना जाता है। समीकरणों की तुल्यता में समरूपता का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, तो दूसरा समीकरण पहले के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता में परिवर्तनशीलता का गुण होता है: यदि एक समीकरण दूसरे के बराबर है, और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला समीकरण तीसरे के बराबर है। समीकरणों की तुल्यता संपत्ति हमें उनके साथ परिवर्तन करने की अनुमति देती है, जिस पर उन्हें हल करने के तरीके आधारित होते हैं। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। साइट आपको समीकरण को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देगी। जिन समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं उनमें चौथी डिग्री से अधिक के बीजगणितीय समीकरण शामिल हैं: रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चौथी डिग्री के समीकरण। सामान्य स्थिति में उच्च डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों का कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है, हालांकि उनमें से कुछ को कम डिग्री के समीकरणों में घटाया जा सकता है। जिन समीकरणों में पारलौकिक कार्य शामिल होते हैं उन्हें पारलौकिक कहा जाता है। उनमें से, कुछ त्रिकोणमितीय समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान ज्ञात हैं, क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्यों के शून्य सर्वविदित हैं। सामान्य स्थिति में, जब कोई विश्लेषणात्मक समाधान नहीं पाया जा सकता है, तो संख्यात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है। संख्यात्मक विधियाँ सटीक समाधान प्रदान नहीं करती हैं, बल्कि केवल उस अंतराल को कम करने की अनुमति देती हैं जिसमें मूल एक निश्चित पूर्व निर्धारित मान पर स्थित होता है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना.. समीकरण ऑनलाइन.. ऑनलाइन समीकरण के बजाय, हम कल्पना करेंगे कि कैसे एक ही अभिव्यक्ति एक रैखिक संबंध बनाती है, न केवल एक सीधे स्पर्शरेखा के साथ, बल्कि ग्राफ के विभक्ति बिंदु पर भी। यह विधि विषय के अध्ययन में हर समय अपरिहार्य है। अक्सर ऐसा होता है कि अनंत संख्याओं का उपयोग करके और वेक्टर लिखकर समीकरणों को हल करते हुए अंतिम मान तक पहुंचते हैं। प्रारंभिक डेटा की जांच करना आवश्यक है और यही कार्य का सार है। अन्यथा, स्थानीय स्थिति एक सूत्र में परिवर्तित हो जाती है। किसी दिए गए फ़ंक्शन से एक सीधी रेखा में उलटा, जिसे समीकरण कैलकुलेटर निष्पादन में अधिक देरी के बिना गणना करेगा, ऑफसेट स्थान के विशेषाधिकार के रूप में काम करेगा। हम वैज्ञानिक माहौल में छात्रों की सफलता के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, उपरोक्त सभी की तरह, यह हमें खोजने की प्रक्रिया में मदद करेगा और जब आप समीकरण को पूरी तरह से हल कर लेंगे, तो परिणामी उत्तर को सीधी रेखा खंड के अंत में संग्रहीत करेंगे। अंतरिक्ष में रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु को रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित कहा जाता है। लाइन पर अंतराल पहले निर्दिष्ट अनुसार दर्शाया गया है। गणित के अध्ययन के लिए सर्वोच्च पद प्रकाशित किया जाएगा। पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट सतह से एक तर्क मान निर्दिष्ट करना और समीकरण को ऑनलाइन हल करना किसी फ़ंक्शन तक उत्पादक पहुंच के सिद्धांतों को रेखांकित करने में सक्षम होगा। मोबियस पट्टी, या अनंत, जैसा कि इसे कहा जाता है, आठ की आकृति की तरह दिखती है। यह एकतरफ़ा सतह है, दोतरफ़ा नहीं। आम तौर पर सभी को ज्ञात सिद्धांत के अनुसार, हम निष्पक्ष रूप से रैखिक समीकरणों को मूल पदनाम के रूप में स्वीकार करेंगे जैसा कि अनुसंधान के क्षेत्र में होता है। क्रमिक रूप से दिए गए तर्कों के केवल दो मान ही वेक्टर की दिशा को प्रकट करने में सक्षम हैं। यह मानते हुए कि ऑनलाइन समीकरणों का एक अन्य समाधान इसे हल करने से कहीं अधिक है, इसका मतलब है कि परिणामस्वरूप अपरिवर्तनीय का पूर्ण संस्करण प्राप्त करना। एकीकृत दृष्टिकोण के बिना, छात्रों के लिए इस सामग्री को सीखना कठिन है। पहले की तरह, प्रत्येक विशेष मामले के लिए, हमारा सुविधाजनक और स्मार्ट ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर कठिन समय में हर किसी की मदद करेगा, क्योंकि आपको केवल इनपुट पैरामीटर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है और सिस्टम स्वयं उत्तर की गणना करेगा। इससे पहले कि हम डेटा दर्ज करना शुरू करें, हमें एक इनपुट टूल की आवश्यकता होगी, जो बिना किसी कठिनाई के किया जा सकता है। प्रत्येक उत्तर अनुमान की संख्या हमारे निष्कर्षों के लिए एक द्विघात समीकरण को जन्म देगी, लेकिन ऐसा करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसके विपरीत सिद्ध करना आसान है। यह सिद्धांत, अपनी विशेषताओं के कारण, व्यावहारिक ज्ञान द्वारा समर्थित नहीं है। उत्तर प्रकाशित करने के चरण में भिन्न कैलकुलेटर को देखना गणित में कोई आसान काम नहीं है, क्योंकि किसी सेट पर संख्या लिखने का विकल्प फ़ंक्शन की वृद्धि को बढ़ाने में मदद करता है। हालाँकि, छात्र प्रशिक्षण के बारे में बात न करना गलत होगा, इसलिए हममें से प्रत्येक उतना ही कहेगा जितना इसे करने की आवश्यकता है। पहले पाया गया घन समीकरण सही मायने में परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होगा और इसमें संख्यात्मक मानों के साथ-साथ प्रतीकात्मक चर का स्थान भी शामिल होगा। प्रमेय को सीखने या याद करने के बाद, हमारे छात्र अपना सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करेंगे और हम उनके लिए खुश होंगे। कई फ़ील्ड चौराहों के विपरीत, हमारे ऑनलाइन समीकरणों को दो और तीन संख्यात्मक संयुक्त रेखाओं को गुणा करके गति के एक विमान द्वारा वर्णित किया जाता है। गणित में एक सेट को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। छात्रों के अनुसार, सबसे अच्छा समाधान अभिव्यक्ति की पूरी रिकॉर्डिंग है। जैसा कि वैज्ञानिक भाषा में कहा गया है, प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों का अमूर्तन मामलों की स्थिति में प्रवेश नहीं करता है, लेकिन समीकरणों का समाधान सभी ज्ञात मामलों में एक स्पष्ट परिणाम देता है। शिक्षक के पाठ की अवधि इस प्रस्ताव की आवश्यकताओं पर निर्भर करती है। विश्लेषण ने कई क्षेत्रों में सभी कम्प्यूटेशनल तकनीकों की आवश्यकता को दर्शाया, और यह बिल्कुल स्पष्ट है कि एक समीकरण कैलकुलेटर एक छात्र के प्रतिभाशाली हाथों में एक अनिवार्य उपकरण है। गणित के अध्ययन के प्रति एक निष्ठावान दृष्टिकोण विभिन्न दिशाओं से विचारों के महत्व को निर्धारित करता है। आप प्रमुख प्रमेयों में से किसी एक को पहचानना चाहते हैं और समीकरण को इस प्रकार हल करना चाहते हैं, जिसके उत्तर के आधार पर इसके अनुप्रयोग की और आवश्यकता होगी। इस क्षेत्र में एनालिटिक्स गति पकड़ रहा है। आइए शुरुआत से शुरू करें और सूत्र निकालें। फ़ंक्शन की वृद्धि के स्तर को तोड़ने के बाद, विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा के साथ रेखा निश्चित रूप से इस तथ्य को जन्म देगी कि समीकरण को ऑनलाइन हल करना फ़ंक्शन के तर्क से उसी ग्राफ के निर्माण में मुख्य पहलुओं में से एक होगा। यदि यह शर्त छात्रों के निष्कर्षों का खंडन नहीं करती है तो शौकिया दृष्टिकोण को लागू करने का अधिकार है। यह वह उपकार्य है जो गणितीय स्थितियों के विश्लेषण को उस वस्तु की परिभाषा के मौजूदा क्षेत्र में रैखिक समीकरणों के रूप में रखता है जिसे पृष्ठभूमि में लाया जाता है। ऑर्थोगोनैलिटी की दिशा में नेटिंग एकल निरपेक्ष मान के लाभ को रद्द कर देती है। यदि आप कोष्ठक को पहले धन चिह्न से और फिर ऋण चिह्न से खोलते हैं तो मोडुलो समीकरणों को ऑनलाइन हल करने से समान संख्या में समाधान मिलते हैं। इस मामले में, दोगुने समाधान होंगे, और परिणाम अधिक सटीक होगा। एक स्थिर और सही ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर शिक्षक द्वारा निर्धारित कार्य में इच्छित लक्ष्य को प्राप्त करने में सफलता है। महान वैज्ञानिकों के विचारों में महत्वपूर्ण अंतर के कारण सही विधि का चयन करना संभव प्रतीत होता है। परिणामी द्विघात समीकरण रेखाओं के वक्र, तथाकथित परवलय का वर्णन करता है, और चिह्न वर्ग समन्वय प्रणाली में इसकी उत्तलता निर्धारित करेगा। समीकरण से हम विएटा के प्रमेय के अनुसार विवेचक और मूल दोनों प्राप्त करते हैं। पहला कदम अभिव्यक्ति को उचित या अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना और भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग करना है। इसी के आधार पर हमारी आगे की गणना की योजना बनेगी। सैद्धांतिक दृष्टिकोण वाला गणित हर स्तर पर उपयोगी होगा। हम निश्चित रूप से परिणाम को एक घन समीकरण के रूप में प्रस्तुत करेंगे, क्योंकि किसी विश्वविद्यालय में एक छात्र के लिए कार्य को सरल बनाने के लिए हम इस अभिव्यक्ति में इसकी जड़ें छिपाएंगे। कोई भी विधि तभी अच्छी होती है जब वह सतही विश्लेषण के लिए उपयुक्त हो। अतिरिक्त अंकगणितीय परिचालनों से गणना संबंधी त्रुटियां नहीं होंगी। दी गई सटीकता के साथ उत्तर निर्धारित करता है। समीकरणों के समाधान का उपयोग करते हुए, आइए इसका सामना करें - किसी दिए गए फ़ंक्शन के स्वतंत्र चर को ढूंढना इतना आसान नहीं है, खासकर अनंत पर समानांतर रेखाओं का अध्ययन करने की अवधि के दौरान। अपवाद को देखते हुए इसकी आवश्यकता बहुत स्पष्ट है। ध्रुवीयता का अंतर स्पष्ट है. संस्थानों में पढ़ाने के अनुभव से, हमारे शिक्षक ने मुख्य पाठ सीखा जिसमें ऑनलाइन समीकरणों का पूर्ण गणितीय अर्थ में अध्ययन किया गया था। यहां हम सिद्धांत को लागू करने में उच्च प्रयासों और विशेष कौशल के बारे में बात कर रहे थे। अपने निष्कर्षों के पक्ष में किसी चश्मे से नहीं देखना चाहिए। हाल तक, यह माना जाता था कि एक बंद सेट इस क्षेत्र में तेजी से बढ़ता है और समीकरणों के समाधान की बस जांच की जानी चाहिए। पहले चरण में, हमने सभी संभावित विकल्पों पर विचार नहीं किया, लेकिन यह दृष्टिकोण पहले से कहीं अधिक उचित है। कोष्ठक के साथ अतिरिक्त क्रियाएं ऑर्डिनेट और एब्सिस्सा अक्षों के साथ कुछ प्रगति को उचित ठहराती हैं, जिन्हें नग्न आंखों से नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। फलन में व्यापक आनुपातिक वृद्धि के अर्थ में विभक्ति बिन्दु होता है। एक बार फिर हम यह साबित करेंगे कि वेक्टर की एक या दूसरी अवरोही स्थिति के घटने के पूरे अंतराल में आवश्यक शर्त कैसे लागू की जाएगी। एक सीमित स्थान में, हम अपनी स्क्रिप्ट के प्रारंभिक ब्लॉक से एक वेरिएबल का चयन करेंगे। तीन सदिशों के आधार पर निर्मित एक प्रणाली बल के मुख्य क्षण की अनुपस्थिति के लिए जिम्मेदार है। हालाँकि, समीकरण कैलकुलेटर उत्पन्न हुआ और निर्मित समीकरण के सभी पदों को सतह के ऊपर और समानांतर रेखाओं के साथ खोजने में मदद मिली। आइए प्रारंभिक बिंदु के चारों ओर एक वृत्त बनाएं। इस प्रकार, हम खंड रेखाओं के साथ ऊपर जाना शुरू कर देंगे, और स्पर्शरेखा वृत्त को उसकी पूरी लंबाई के साथ वर्णित करेगी, जिसके परिणामस्वरूप एक वक्र बनेगा जिसे इनवॉल्यूट कहा जाएगा। वैसे आइए इस वक्र के बारे में थोड़ा इतिहास बताते हैं। तथ्य यह है कि ऐतिहासिक रूप से गणित में आज की तरह अपनी शुद्ध समझ में गणित की कोई अवधारणा नहीं थी। पहले, सभी वैज्ञानिक एक सामान्य कार्य में लगे हुए थे, वह है विज्ञान। बाद में, कई शताब्दियों के बाद, जब वैज्ञानिक दुनिया भारी मात्रा में जानकारी से भर गई, तब भी मानवता ने कई विषयों की पहचान की। वे अभी भी अपरिवर्तित हैं. और फिर भी, हर साल, दुनिया भर के वैज्ञानिक यह साबित करने की कोशिश करते हैं कि विज्ञान असीमित है, और जब तक आपको प्राकृतिक विज्ञान का ज्ञान नहीं होगा तब तक आप समीकरण को हल नहीं कर पाएंगे। अंततः इसे समाप्त करना संभव नहीं होगा। इसके बारे में सोचना उतना ही व्यर्थ है जितना बाहर की हवा को गर्म करना। आइए उस अंतराल को खोजें जिस पर तर्क, यदि इसका मान सकारात्मक है, तेजी से बढ़ती दिशा में मान के मापांक को निर्धारित करेगा। प्रतिक्रिया आपको कम से कम तीन समाधान खोजने में मदद करेगी, लेकिन आपको उनकी जांच करने की आवश्यकता होगी। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि हमें अपनी वेबसाइट की अनूठी सेवा का उपयोग करके समीकरण को ऑनलाइन हल करने की आवश्यकता है। आइए दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों को दर्ज करें, "हल करें" बटन पर क्लिक करें और कुछ ही सेकंड में सटीक उत्तर प्राप्त करें। विशेष मामलों में, आइए गणित पर एक किताब लें और अपने उत्तर की दोबारा जांच करें, यानी केवल उत्तर को देखें और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। एक कृत्रिम निरर्थक समान्तर चतुर्भुज के लिए एक ही परियोजना समाप्त हो जाएगी। इसके समानांतर पक्षों के साथ एक समांतर चतुर्भुज है, और यह प्राकृतिक रूप सूत्रों में खोखले स्थान को जमा करने की आरोही प्रक्रिया के स्थानिक संबंध का अध्ययन करने के लिए कई सिद्धांतों और दृष्टिकोणों की व्याख्या करता है। अस्पष्ट रैखिक समीकरण एक निश्चित समय पर हमारे सामान्य समाधान पर वांछित चर की निर्भरता दिखाते हैं, और हमें किसी तरह अनुचित अंश को प्राप्त करना होगा और एक गैर-तुच्छ मामले में लाना होगा। सीधी रेखा पर दस बिंदु चिह्नित करें और उत्तल बिंदु को ऊपर रखते हुए, दी गई दिशा में प्रत्येक बिंदु से होकर एक वक्र बनाएं। बिना किसी विशेष कठिनाई के, हमारा समीकरण कैलकुलेटर एक अभिव्यक्ति को ऐसे रूप में प्रस्तुत करेगा कि नियमों की वैधता की जांच रिकॉर्डिंग की शुरुआत में भी स्पष्ट होगी। गणितज्ञों के लिए स्थिरता के विशेष निरूपण की प्रणाली पहले आती है, जब तक कि सूत्र द्वारा अन्यथा प्रदान न किया गया हो। हम निकायों की प्लास्टिक प्रणाली की आइसोमोर्फिक स्थिति के विषय पर एक रिपोर्ट की विस्तृत प्रस्तुति के साथ इसका जवाब देंगे और समीकरणों को ऑनलाइन हल करके इस प्रणाली में प्रत्येक भौतिक बिंदु की गति का वर्णन करेंगे। गहन शोध के स्तर पर कम से कम अंतरिक्ष की निचली परत के व्युत्क्रमण के मुद्दे को विस्तार से स्पष्ट करना आवश्यक होगा। उस अनुभाग में चढ़ते हुए जहां फ़ंक्शन असंतत है, हम एक उत्कृष्ट शोधकर्ता की सामान्य पद्धति को लागू करेंगे, वैसे, हमारे साथी देशवासी, और विमान के व्यवहार के बारे में नीचे बताएंगे। विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन की मजबूत विशेषताओं के कारण, हम प्राधिकरण की व्युत्पन्न सीमाओं के भीतर केवल अपने इच्छित उद्देश्य के लिए ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं। आगे तर्क करते हुए, हम अपनी समीक्षा को समीकरण की एकरूपता पर ही केंद्रित करेंगे, अर्थात इसका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। आइए एक बार फिर सुनिश्चित करें कि गणित में हमारा निर्णय सही है। एक तुच्छ समाधान प्राप्त करने से बचने के लिए, हम सिस्टम की सशर्त स्थिरता की समस्या के लिए प्रारंभिक स्थितियों में कुछ समायोजन करेंगे। आइए एक द्विघात समीकरण बनाएं, जिसके लिए हम एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके दो प्रविष्टियाँ लिखते हैं और नकारात्मक मूल ढूंढते हैं। यदि एक जड़ दूसरी और तीसरी जड़ से पांच इकाई बड़ी है, तो मुख्य तर्क में परिवर्तन करके हम उपकार्य की प्रारंभिक स्थितियों को विकृत कर देते हैं। अपने स्वभाव से, गणित में कुछ असामान्य को हमेशा एक सकारात्मक संख्या के निकटतम सौवें हिस्से तक वर्णित किया जा सकता है। सर्वर लोड के सर्वोत्तम क्षण में अंश कैलकुलेटर समान संसाधनों पर अपने एनालॉग्स से कई गुना बेहतर है। कोटि अक्ष के अनुदिश बढ़ने वाले वेग सदिश की सतह पर, हम एक दूसरे के विपरीत दिशाओं में मुड़ी हुई सात रेखाएँ खींचते हैं। निर्दिष्ट फ़ंक्शन तर्क की अनुरूपता रिकवरी बैलेंस काउंटर की रीडिंग से आगे है। गणित में, हम इस घटना को काल्पनिक गुणांक वाले घन समीकरण के साथ-साथ घटती रेखाओं की द्विध्रुवी प्रगति के माध्यम से प्रस्तुत कर सकते हैं। उनके कई अर्थों और प्रगति में तापमान अंतर के महत्वपूर्ण बिंदु एक जटिल भिन्नात्मक फ़ंक्शन को कारकों में विघटित करने की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं। यदि आपसे किसी समीकरण को हल करने के लिए कहा जाए, तो उसे तुरंत करने में जल्दबाजी न करें, पहले पूरी कार्ययोजना का मूल्यांकन जरूर करें और उसके बाद ही सही तरीका अपनाएं। अवश्य लाभ होगा. काम में आसानी स्पष्ट है, और गणित में भी यही सच है। समीकरण को ऑनलाइन हल करें. सभी ऑनलाइन समीकरण संख्याओं या मापदंडों के एक निश्चित प्रकार के रिकॉर्ड और एक चर का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसे निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। इस वैरिएबल की गणना करें, अर्थात, मानों के एक सेट के विशिष्ट मान या अंतराल खोजें, जिस पर पहचान कायम रहेगी। प्रारंभिक और अंतिम स्थितियाँ सीधे निर्भर करती हैं। समीकरणों के सामान्य समाधान में आमतौर पर कुछ चर और स्थिरांक शामिल होते हैं, जिन्हें सेट करके हम किसी दिए गए समस्या कथन के समाधान के पूरे परिवार प्राप्त करेंगे। सामान्य तौर पर, यह 100 सेंटीमीटर के बराबर भुजा वाले स्थानिक घन की कार्यक्षमता बढ़ाने में किए गए प्रयासों को उचित ठहराता है। आप उत्तर के निर्माण के किसी भी चरण में एक प्रमेय या प्रमेयिका लागू कर सकते हैं। यदि उत्पादों के योग के किसी भी अंतराल पर सबसे छोटा मान दिखाना आवश्यक हो तो साइट धीरे-धीरे एक समीकरण कैलकुलेटर तैयार करती है। आधे मामलों में, ऐसी गेंद, खोखली होने के कारण, मध्यवर्ती उत्तर निर्धारित करने की आवश्यकताओं को पूरा नहीं करती है। कम से कम सदिश निरूपण की दिशा में कोटि अक्ष पर, यह अनुपात निस्संदेह पिछली अभिव्यक्ति की तुलना में अधिक इष्टतम होगा। उस समय जब रैखिक कार्यों पर एक पूर्ण बिंदु विश्लेषण किया जाता है, हम वास्तव में, हमारे सभी जटिल संख्याओं और द्विध्रुवीय समतल स्थानों को एक साथ लाएंगे। परिणामी अभिव्यक्ति में एक चर को प्रतिस्थापित करके, आप चरण दर चरण समीकरण को हल करेंगे और उच्च सटीकता के साथ सबसे विस्तृत उत्तर देंगे। एक विद्यार्थी के लिए गणित में अपने कार्यों को एक बार फिर से जाँचना अच्छा होगा। अंशों के अनुपात में अनुपात ने शून्य वेक्टर की गतिविधि के सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रों में परिणाम की अखंडता को दर्ज किया। पूर्ण किए गए कार्यों के अंत में तुच्छता की पुष्टि की जाती है। एक सरल कार्य के साथ, यदि छात्र कम से कम समय में समीकरण को ऑनलाइन हल करते हैं तो उन्हें कोई कठिनाई नहीं होगी, लेकिन सभी विभिन्न नियमों के बारे में न भूलें। उपसमुच्चय का एक समूह अभिसारी संकेतन के क्षेत्र में प्रतिच्छेद करता है। विभिन्न मामलों में, उत्पाद को ग़लती से गुणनखंडित नहीं किया गया है। आपको विश्वविद्यालयों और तकनीकी कॉलेजों में छात्रों के लिए महत्वपूर्ण अनुभागों के लिए गणितीय तकनीकों की मूल बातें समर्पित हमारे पहले खंड में समीकरण को ऑनलाइन हल करने में मदद मिलेगी। हमें उत्तरों के लिए कुछ दिनों तक इंतजार नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि पिछली सदी की शुरुआत में समाधानों की क्रमिक खोज के साथ वेक्टर विश्लेषण की सर्वोत्तम बातचीत की प्रक्रिया का पेटेंट कराया गया था। यह पता चला है कि आसपास की टीम के साथ संबंध स्थापित करने के प्रयास व्यर्थ नहीं थे, स्पष्ट रूप से पहले कुछ और की आवश्यकता थी। कई पीढ़ियों के बाद, दुनिया भर के वैज्ञानिकों ने लोगों को यह विश्वास दिलाया कि गणित विज्ञान की रानी है। चाहे वह बायां उत्तर हो या दायां, सभी समान, विस्तृत शब्दों को तीन पंक्तियों में लिखा जाना चाहिए, क्योंकि हमारे मामले में हम निश्चित रूप से मैट्रिक्स के गुणों के वेक्टर विश्लेषण के बारे में ही बात करेंगे। एक बंद प्रणाली के सभी भौतिक बिंदुओं के स्थान में गति के प्रक्षेपवक्र की गणना के लिए सर्वोत्तम तरीकों के बारे में द्विघात समीकरणों के साथ-साथ गैर-रेखीय और रैखिक समीकरणों ने हमारी पुस्तक में एक विशेष स्थान लिया है। लगातार तीन सदिशों के अदिश गुणनफल का एक रैखिक विश्लेषण हमें इस विचार को जीवन में लाने में मदद करेगा। प्रत्येक कथन के अंत में, निष्पादित संख्या स्थान ओवरले में अनुकूलित संख्यात्मक अपवादों को लागू करके कार्य को आसान बना दिया जाता है। एक अलग निर्णय एक वृत्त में त्रिभुज के मनमाने आकार में पाए गए उत्तर के विपरीत नहीं होगा। दो वैक्टरों के बीच के कोण में मार्जिन का आवश्यक प्रतिशत होता है, और समीकरणों को ऑनलाइन हल करने से अक्सर प्रारंभिक स्थितियों के विपरीत समीकरण की एक निश्चित सामान्य जड़ का पता चलता है। अपवाद किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के क्षेत्र में सकारात्मक समाधान खोजने की संपूर्ण अपरिहार्य प्रक्रिया में उत्प्रेरक की भूमिका निभाता है। यदि ऐसा नहीं कहा जाता है कि आप कंप्यूटर का उपयोग नहीं कर सकते हैं, तो एक ऑनलाइन समीकरण कैलकुलेटर आपकी कठिन समस्याओं के लिए बिल्कुल सही है। आपको बस अपना सशर्त डेटा सही प्रारूप में दर्ज करना होगा और हमारा सर्वर कम से कम समय में पूर्ण परिणामी उत्तर जारी करेगा। एक घातीय फलन एक रैखिक फलन की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। स्मार्ट लाइब्रेरी साहित्य के तल्मूड इसकी गवाही देते हैं। तीन जटिल गुणांकों के साथ दिए गए द्विघात समीकरण की तरह सामान्य अर्थों में गणना करेंगे। अर्ध-तल के ऊपरी भाग में परवलय बिंदु के अक्षों के अनुदिश सीधीरेखीय समानांतर गति को दर्शाता है। यहां शरीर के कार्य स्थान में संभावित अंतर का उल्लेख करना उचित है। एक उप-इष्टतम परिणाम के बदले में, हमारा अंश कैलकुलेटर सर्वर साइड पर कार्यात्मक कार्यक्रमों की समीक्षा की गणितीय रेटिंग में पहला स्थान रखता है। इस सेवा के उपयोग में आसानी को लाखों इंटरनेट उपयोगकर्ताओं द्वारा सराहा जाएगा। यदि आप नहीं जानते कि इसका उपयोग कैसे करना है, तो हमें आपकी सहायता करने में खुशी होगी। हम कई प्राथमिक विद्यालय की समस्याओं से घन समीकरण को विशेष रूप से नोट करना और उजागर करना चाहेंगे, जब इसकी जड़ों को जल्दी से ढूंढना और एक विमान पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना आवश्यक होता है। प्रजनन की उच्च डिग्री संस्थान में जटिल गणितीय समस्याओं में से एक है और इसके अध्ययन के लिए पर्याप्त संख्या में घंटे आवंटित किए जाते हैं। सभी रैखिक समीकरणों की तरह, कई वस्तुनिष्ठ नियमों के अनुसार हमारे समीकरण भी अपवाद नहीं हैं; विभिन्न दृष्टिकोणों से देखें, और यह प्रारंभिक स्थितियों को निर्धारित करने के लिए सरल और पर्याप्त साबित होता है। वृद्धि का अंतराल फ़ंक्शन के उत्तलता के अंतराल के साथ मेल खाता है। समीकरणों को ऑनलाइन हल करना। सिद्धांत का अध्ययन मुख्य अनुशासन के अध्ययन पर कई वर्गों के ऑनलाइन समीकरणों पर आधारित है। अनिश्चित समस्याओं में इस दृष्टिकोण के मामले में, समीकरणों के समाधान को पूर्व निर्धारित रूप में प्रस्तुत करना और न केवल निष्कर्ष निकालना बहुत सरल है, बल्कि ऐसे सकारात्मक समाधान के परिणाम की भविष्यवाणी भी करना है। गणित की सर्वोत्तम परंपराओं में एक सेवा हमें विषय क्षेत्र को सीखने में मदद करेगी, जैसा कि पूर्व में प्रथागत है। समय अंतराल के सर्वोत्तम क्षणों में, समान कार्यों को दस के सामान्य कारक से गुणा किया गया। समीकरण कैलकुलेटर में कई चरों के गुणन की प्रचुरता द्रव्यमान या शरीर के वजन जैसे मात्रात्मक चर के बजाय गुणवत्ता से गुणा होने लगी। भौतिक प्रणाली के असंतुलन के मामलों से बचने के लिए, गैर-अपक्षयी गणितीय मैट्रिक्स के तुच्छ अभिसरण पर त्रि-आयामी ट्रांसफार्मर की व्युत्पत्ति हमारे लिए काफी स्पष्ट है। कार्य पूरा करें और दिए गए निर्देशांक में समीकरण को हल करें, क्योंकि निष्कर्ष पहले से अज्ञात है, जैसे कि पोस्ट-स्पेस समय में सभी चर शामिल हैं। थोड़े समय के लिए, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें और दोनों पक्षों को पहले से ही सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करें। संख्याओं के परिणामी कवर किए गए सबसेट के नीचे से, एक छोटी अवधि में एक पंक्ति में तैंतीस बिंदुओं को विस्तृत तरीके से निकालें। इस हद तक कि हर छात्र के लिए किसी समीकरण को सर्वोत्तम तरीके से ऑनलाइन हल करना संभव है, आगे देखते हुए, आइए एक महत्वपूर्ण लेकिन महत्वपूर्ण बात कहें, जिसके बिना भविष्य में रहना मुश्किल होगा। पिछली शताब्दी में, महान वैज्ञानिक ने गणित के सिद्धांत में कई पैटर्न देखे। व्यवहार में, परिणाम घटनाओं का अपेक्षित प्रभाव नहीं था। हालाँकि, सिद्धांत रूप में, ऑनलाइन समीकरणों का यह समाधान छात्रों द्वारा कवर की गई सैद्धांतिक सामग्री के अध्ययन और व्यावहारिक समेकन के लिए समग्र दृष्टिकोण की समझ और धारणा को बेहतर बनाने में मदद करता है। आपके अध्ययन के समय में ऐसा करना बहुत आसान है।

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7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में हमारा पहली बार सामना होता है दो चर वाले समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात वाले समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला जिसमें समीकरण के गुणांकों पर कुछ शर्तें पेश की जाती हैं जो उन्हें सीमित करती हैं, दृष्टि से ओझल हो जाती हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि इस तरह की समस्याएं एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री और प्रवेश परीक्षाओं में अधिक से अधिक बार पाई जाती हैं।

किस समीकरण को दो चर वाला समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह तब सत्य हो जाता है जब x = 2 और y = 3 होता है, इसलिए चर मानों की यह जोड़ी प्रश्न में समीकरण का एक समाधान है।

इस प्रकार, दो चर वाले किसी भी समीकरण का समाधान क्रमित जोड़े (x; y) का एक सेट है, चर के मान जो इस समीकरण को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हो सकता है:

ए) एक समाधान है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय समाधान है (0; 0);

बी) अनेक समाधान हैं.उदाहरण के लिए, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

वी) कोई समाधान नहीं है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई समाधान नहीं है;

जी) अनंत रूप से कई समाधान हैं.उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के समाधान वे संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 के बराबर है। इस समीकरण के समाधानों का सेट (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई वास्तविक है संख्या।

दो चर वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ गुणनखंडन अभिव्यक्तियों पर आधारित विधियाँ हैं, एक पूर्ण वर्ग को अलग करना, द्विघात समीकरण के गुणों, सीमित अभिव्यक्तियों और अनुमान विधियों का उपयोग करना। समीकरण को आमतौर पर एक ऐसे रूप में बदल दिया जाता है जिससे अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें: xy – 2 = 2x – y.

समाधान।

हम गुणनखंडन के उद्देश्य से शब्दों को समूहित करते हैं:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से हम एक सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. हमारे पास है:

y = 2, x - कोई वास्तविक संख्या या x = -1, y - कोई वास्तविक संख्या।

इस प्रकार, उत्तर फॉर्म (x; 2), x € R और (-1; y), y € R के सभी जोड़े हैं।

गैर-ऋणात्मक संख्याओं की शून्य से समानता

उदाहरण 2.

समीकरण हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

समाधान।

समूहन:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

इसका मतलब है x = 2/3 और y = 3/2.

उत्तर: (2/3; 3/2).

आकलन विधि

उदाहरण 3.

समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में हम एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2। आइए अनुमान लगाएं कोष्ठक में भावों का अर्थ.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 और (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y – 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2).

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने की एक अन्य विधि से परिचित हों। इस पद्धति में समीकरण को इस प्रकार मानना ​​शामिल है कुछ चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4.

समीकरण हल करें: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

समाधान।

आइए समीकरण को x के द्विघात समीकरण के रूप में हल करें। आइए विभेदक खोजें:

डी = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2. समीकरण का हल केवल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। हम मूल समीकरण में y का मान प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि x = 3 है।

उत्तर: (3; 4).

अक्सर दो अज्ञात वाले समीकरणों में वे संकेत देते हैं चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5.

समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

समाधान।

आइए समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। परिणामी समीकरण का दाहिना पक्ष 5 से विभाजित करने पर 2 शेषफल देता है। इसलिए, x 2, 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन a का वर्ग 5 से विभाज्य न होने वाली संख्या 1 या 4 का शेषफल देती है। इस प्रकार, समानता असंभव है और इसका कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

उदाहरण 6.

समीकरण हल करें: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

समाधान।

आइए प्रत्येक कोष्ठक में पूर्ण वर्गों को उजागर करें:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या उसके बराबर होता है। समानता संभव है बशर्ते |x| – 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3.

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7.

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x;y) के प्रत्येक जोड़े के लिए
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। कृपया अपने उत्तर में सबसे छोटी राशि बताएं.

समाधान।

आइए पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। यदि हम 1 + 36 जोड़ते हैं तो हमें दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 37 के बराबर मिलता है। इसलिए:

(x – y) 2 = 36 और (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 और (y + 2) 2 = 36.

इन प्रणालियों को हल करते हुए और यह ध्यान में रखते हुए कि x और y नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर:-17.

यदि आपको दो अज्ञात लोगों के साथ समीकरण हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण को संभाल सकते हैं।

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