जटिल समीकरण को ऑनलाइन हल करें। मैट्रिक्स समीकरणों को हल करना
आइए हम समीकरणों की प्रणालियों के दो प्रकार के समाधानों का विश्लेषण करें:
1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।
2. सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना।
समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि द्वाराआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करना होगा:
1. एक्सप्रेस. किसी भी समीकरण से हम एक चर व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम परिणामी मान को व्यक्त चर के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
समाधान करना पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि द्वारा प्रणालीकरने की जरूरत है:
1. एक वेरिएबल का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरण जोड़ते या घटाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक चर वाला समीकरण बनता है।
3. परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।
सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
आइए उदाहरणों का उपयोग करके सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।
उदाहरण 1:
आइए प्रतिस्थापन विधि से हल करें
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)
1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक के साथ एक चर x है, जिसका अर्थ है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
x=3+10y
2.इसे व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में वेरिएबल x के स्थान पर 3+10y प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1
3. परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें।
2(3+10y)+5y=1 (कोष्ठक खोलें)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2
समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, इसलिए हमें x और y को खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y शामिल हैं। आइए x खोजें, पहले बिंदु में जहां हमने इसे व्यक्त किया था, हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
अंक लिखने की प्रथा है, पहले स्थान पर हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर वेरिएबल y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)
उदाहरण #2:
आइए पद-दर-पद जोड़ (घटाव) विधि का उपयोग करके हल करें।
जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)
1. हम एक वेरिएबल चुनते हैं, मान लीजिए कि हम x चुनते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांकों को समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल गुणांक 6 प्राप्त करते हैं।
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएँ। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. एक्स खोजें। हम पाए गए y को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, मान लीजिए कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स=4.6
प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; y=6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)
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I. कुल्हाड़ी 2 =0 – अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0, सी=0 ). समाधान: x=0. उत्तर: 0.
समीकरण हल करें.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
समाधान।आइए कोष्ठक को गुणा करके खोलें 2xकोष्ठक में प्रत्येक पद के लिए:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; हम शब्दों को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाते हैं:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; यहाँ समान शब्द हैं:
3x 2 =0, इसलिए x=0.
उत्तर: 0.
द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (सी=0 ). समाधान: x (ax+b)=0 → x 1 =0 या ax+b=0 → x 2 =-b/a. उत्तर: 0; -बी ० ए।
5x 2 -26x=0.
समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें एक्सकोष्ठक के बाहर:
x(5x-26)=0; प्रत्येक कारक शून्य के बराबर हो सकता है:
एक्स=0या 5x-26=0→ 5x=26, समानता के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 5 और हमें मिलता है: x=5.2.
उत्तर: 0; 5,2.
उदाहरण 3. 64x+4x 2 =0.
समाधान।आइए सामान्य कारक निकालें 4 एक्सकोष्ठक के बाहर:
4x(16+x)=0. हमारे पास तीन गुणनखंड हैं, 4≠0, इसलिए, या एक्स=0या 16+x=0. अंतिम समानता से हमें x=-16 मिलता है।
उत्तर: -16; 0.
उदाहरण 4.(x-3) 2 +5x=9.
समाधान।दो भावों के अंतर के वर्ग का सूत्र लागू करके हम कोष्ठक खोलेंगे:
x 2 -6x+9+5x=9; फॉर्म में बदलें: x 2 -6x+9+5x-9=0; आइए हम ऐसे ही शब्द प्रस्तुत करें:
एक्स 2 -एक्स=0; हम इसे बाहर निकाल लेंगे एक्सकोष्ठक के बाहर, हमें मिलता है: x (x-1)=0. यहाँ से या एक्स=0या x-1=0→ x=1.
उत्तर: 0; 1.
तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +सी=0 –अधूरा द्विघात समीकरण (बी=0 ); समाधान: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
अगर (-सीए)<0 , तो कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। अगर (-с/а)>0
उदाहरण 5. x 2 -49=0.
समाधान।
x 2 =49, यहाँ से x=±7. उत्तर:-7; 7.
उदाहरण 6. 9x 2 -4=0.
समाधान।
अक्सर आपको द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों (x 1 2 +x 2 2) या घनों का योग (x 1 3 +x 2 3) का योग ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, कम अक्सर - पारस्परिक मानों का योग किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का या मूलों के अंकगणितीय वर्गमूलों का योग:
विएटा का प्रमेय इसमें मदद कर सकता है:
x 2 +px+q=0
एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.
आइए व्यक्त करें के माध्यम से पीऔर क्यू:
1) समीकरण के मूलों के वर्गों का योग x 2 +px+q=0;
2) समीकरण की जड़ों के घनों का योग x 2 +px+q=0.
समाधान।
1) अभिव्यक्ति एक्स 1 2 +एक्स 2 2समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है एक्स 1 + एक्स 2 = -पी;
(एक्स 1 +एक्स 2) 2 =(-पी) 2 ; कोष्ठक खोलें: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; हम आवश्यक राशि व्यक्त करते हैं: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. हमें एक उपयोगी समानता मिली: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
2) अभिव्यक्ति एक्स 1 3 +एक्स 2 3आइए हम सूत्र का उपयोग करके घनों का योग निरूपित करें:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).
एक अन्य उपयोगी समीकरण: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).
उदाहरण।
3) x 2 -3x-4=0.समीकरण को हल किए बिना, व्यंजक का मान परिकलित करें एक्स 1 2 +एक्स 2 2.
समाधान।
एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=3,और काम x 1 ∙x 2 =q=उदाहरण 1 में) समानता:
एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.हमारे पास है -पी=एक्स 1 +एक्स 2 = 3 → पी 2 =3 2 =9; क्यू= x 1 x 2 = -4. तब x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
उत्तर:एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.गणना करें: x 1 3 +x 2 3।
समाधान।
विएटा के प्रमेय के अनुसार, इस घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=2,और काम x 1 ∙x 2 =q=-4. आइए जो प्राप्त हुआ है उसे लागू करें ( उदाहरण 2 में) समानता: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
उत्तर: एक्स 1 3 +एक्स 2 3 =32.
प्रश्न: यदि हमें एक अघटीकृत द्विघात समीकरण दिया जाए तो क्या होगा? उत्तर: इसे पहले गुणांक द्वारा पद दर पद विभाजित करके हमेशा "कम" किया जा सकता है।
5) 2x 2 -5x-7=0.निर्णय किए बिना, गणना करें: एक्स 1 2 +एक्स 2 2.
समाधान।हमें पूर्ण द्विघात समीकरण दिया गया है। समानता के दोनों पक्षों को 2 (पहला गुणांक) से विभाजित करें और निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त करें: x 2 -2.5x-3.5=0.
विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग बराबर होता है 2,5 ; जड़ों का गुणनफल बराबर होता है -3,5 .
हम इसे उदाहरण की तरह ही हल करते हैं 3) समानता का उपयोग करना: एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
उत्तर: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2=0.खोजो:
आइए हम इस समानता को रूपांतरित करें और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, जड़ों के योग को प्रतिस्थापित करें -पी, और जड़ों के उत्पाद के माध्यम से क्यू, हमें एक और उपयोगी सूत्र मिलता है। सूत्र प्राप्त करते समय, हमने समानता 1 का उपयोग किया): एक्स 1 2 +एक्स 2 2 =पी 2 -2क्यू.
हमारे उदाहरण में एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
7) x 2 -13x+36=0.खोजो:
आइए इस योग को रूपांतरित करें और एक सूत्र प्राप्त करें जिसका उपयोग द्विघात समीकरण की जड़ों से अंकगणितीय वर्गमूलों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
हमारे पास है एक्स 1 +एक्स 2 =-पी=13; x 1 ∙x 2 =q=36. हम इन मानों को परिणामी सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
सलाह : हमेशा एक उपयुक्त विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की संभावना की जांच करें, क्योंकि 4 की समीक्षा उपयोगी सूत्रआपको किसी कार्य को शीघ्रता से पूरा करने की अनुमति देता है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां विवेचक एक "असुविधाजनक" संख्या है। सभी साधारण मामलों में, जड़ें ढूंढें और उन पर काम करें। उदाहरण के लिए, अंतिम उदाहरण में हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करते हैं: जड़ों का योग बराबर होना चाहिए 13 , और जड़ों का उत्पाद 36 . ये संख्याएँ क्या हैं? निश्चित रूप से, 4 और 9.अब इन संख्याओं के वर्गमूलों का योग ज्ञात करें: 2+3=5. इतना ही!
I. विएटा का प्रमेयघटे हुए द्विघात समीकरण के लिए.
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग x 2 +px+q=0विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 ∙x 2 =क्यू.
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें।
उदाहरण 1) x 2 -x-30=0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण है ( x 2 +px+q=0), दूसरा गुणांक पी=-1, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-30.सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि इस समीकरण की जड़ें हैं, और जड़ें (यदि कोई हों) पूर्णांकों में व्यक्त की जाएंगी। ऐसा करने के लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग हो।
विवेचक का पता लगाना डी=बी 2 — 4एसी=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
अब, विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त पद के बराबर है, अर्थात। ( क्यू). तब:
एक्स 1 +एक्स 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.हमें दो संख्याएँ ऐसी चुननी हैं जिनका गुणनफल बराबर हो -30 , और राशि है इकाई. ये संख्याएं हैं -5 और 6 . उत्तर:-5; 6.
उदाहरण 2) x 2 +6x+8=0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ घटा हुआ द्विघात समीकरण है पी=6और मुफ़्त सदस्य क्यू=8. आइए सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। आइए विवेचक को खोजें डी 1 डी 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . विभेदक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 , जिसका अर्थ है कि इस समीकरण की जड़ें पूर्णांक हैं। आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके जड़ों का चयन करें: जड़ों का योग बराबर है –r=-6, और जड़ों का गुणनफल बराबर है क्यू=8. ये संख्याएं हैं -4 और -2 .
वास्तव में: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. उत्तर - 4; -2.
उदाहरण 3) x 2 +2x-4=0. इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी=2, और मुफ़्त सदस्य क्यू=-4. आइए विवेचक को खोजें डी 1, चूँकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए हम ऐसा करते हैं निष्कर्ष: इस समीकरण के मूल पूर्णांक नहीं हैं और इन्हें विएटा के प्रमेय का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है।इसका मतलब यह है कि हम हमेशा की तरह, सूत्रों का उपयोग करके (इस मामले में, सूत्रों का उपयोग करके) इस समीकरण को हल करते हैं। हम पाते हैं:
उदाहरण 4).यदि इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें x 1 =-7, x 2 =4.
समाधान।आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: x 2 +px+q=0, और, विएटा के प्रमेय पर आधारित –पी=एक्स 1 +एक्स 2=-7+4=-3 → पी=3; क्यू=एक्स 1 ∙एक्स 2=-7∙4=-28 . तब समीकरण इस प्रकार बनेगा: x 2 +3x-28=0.
उदाहरण 5).इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखें यदि:
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0.
मूलों का योग ऋणात्मक है बी, द्वारा विभाजित ए, जड़ों का गुणनफल बराबर है साथ, द्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए; एक्स 1 ∙एक्स 2 =सी/ए.
उदाहरण 6).द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x 2 -7x-11=0.
समाधान।
हम सुनिश्चित करते हैं कि इस समीकरण की जड़ें होंगी। ऐसा करने के लिए, विवेचक के लिए एक अभिव्यक्ति बनाना पर्याप्त है, और, इसकी गणना किए बिना, बस यह सुनिश्चित करें कि विवेचक शून्य से बड़ा है। डी=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . अब प्रयोग करते हैं प्रमेय विएटासंपूर्ण द्विघात समीकरणों के लिए.
एक्स 1 +एक्स 2 =-बी:ए=- (-7):2=3,5.
उदाहरण 7). द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए 3x 2 +8x-21=0.
समाधान।
आइए विवेचक को खोजें डी 1, दूसरे गुणांक के बाद से ( 8 ) एक सम संख्या है. डी 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . द्विघात समीकरण है 2 जड़, विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का उत्पाद एक्स 1 ∙x 2 =सी:ए=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0– सामान्य द्विघात समीकरण
विभेदक डी=बी 2 - 4एसी.
अगर डी>0, तो हमारे पास दो वास्तविक जड़ें हैं:
अगर डी=0, तो हमारे पास एक ही मूल (या दो समान जड़ें) हैं x=-b/(2a).
यदि डी<0, то действительных корней нет.
उदाहरण 1) 2x 2 +5x-3=0.
समाधान। ए=2; बी=5; सी=-3.
डी=बी 2 - 4एसी=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 असली जड़ें.
4x 2 +21x+5=0.
समाधान। ए=4; बी=21; सी=5.
डी=बी 2 - 4एसी=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 असली जड़ें.
द्वितीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – विशेष रूप का द्विघात समीकरण सम सेकंड के साथ
गुणक बी
उदाहरण 3) 3x 2 -10x+3=0.
समाधान। ए=3; बी=-10 (सम संख्या); सी=3.
उदाहरण 4) 5x 2 -14x-3=0.
समाधान। ए=5; बी= -14 (सम संख्या); सी=-3.
उदाहरण 5) 71x 2 +144x+4=0.
समाधान। ए=71; बी=144 (सम संख्या); सी=4.
उदाहरण 6) 9x 2 -30x+25=0.
समाधान। ए=9; बी=-30 (सम संख्या); सी=25.
तृतीय. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – द्विघात समीकरण निजी प्रकार प्रदान किया गया: a-b+c=0.
पहला मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है, और दूसरा मूल सदैव ऋण एक के बराबर होता है साथ, द्वारा विभाजित ए:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
उदाहरण 7) 2x 2 +9x+7=0.
समाधान। ए=2; बी=9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए-बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
तब x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3.5.उत्तर: -1; -3,5.
चतुर्थ. कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0 – किसी विशेष रूप के द्विघात समीकरण के अधीन : a+b+c=0.
पहली जड़ हमेशा एक के बराबर होती है, और दूसरी जड़ हमेशा एक के बराबर होती है साथ, द्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 =1, एक्स 2 =सी/ए.
उदाहरण 8) 2x 2 -9x+7=0.
समाधान। ए=2; बी=-9; सी=7. आइए समानता की जाँच करें: ए+बी+सी=0.हम पाते हैं: 2-9+7=0 .
तब x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3.5.उत्तर: 1; 3,5.
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7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में हमारा पहली बार सामना होता है दो चर वाले समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात वाले समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला जिसमें समीकरण के गुणांकों पर कुछ शर्तें पेश की जाती हैं जो उन्हें सीमित करती हैं, दृष्टि से ओझल हो जाती हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि इस तरह की समस्याएं एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री और प्रवेश परीक्षाओं में अधिक से अधिक बार पाई जाती हैं।
किस समीकरण को दो चर वाला समीकरण कहा जाएगा?
इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।
समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह तब सत्य हो जाता है जब x = 2 और y = 3 होता है, इसलिए चर मानों की यह जोड़ी प्रश्न में समीकरण का एक समाधान है।
इस प्रकार, दो चर वाले किसी भी समीकरण का समाधान क्रमित जोड़े (x; y) का एक सेट है, चर के मान जो इस समीकरण को वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।
दो अज्ञात के साथ एक समीकरण हो सकता है:
ए) एक समाधान है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय समाधान है (0; 0);
बी) अनेक समाधान हैं.उदाहरण के लिए, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
वी) कोई समाधान नहीं है.उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई समाधान नहीं है;
जी) अनंत रूप से कई समाधान हैं.उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के समाधान वे संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 के बराबर है। इस समीकरण के समाधानों का सेट (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई वास्तविक है संख्या।
दो चर वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ गुणनखंडन अभिव्यक्तियों पर आधारित विधियाँ हैं, एक पूर्ण वर्ग को अलग करना, द्विघात समीकरण के गुणों, सीमित अभिव्यक्तियों और अनुमान विधियों का उपयोग करना। समीकरण को आमतौर पर एक ऐसे रूप में बदल दिया जाता है जिससे अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।
गुणन
उदाहरण 1।
समीकरण हल करें: xy – 2 = 2x – y.
समाधान।
हम गुणनखंडन के उद्देश्य से शब्दों को समूहित करते हैं:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से हम एक सामान्य गुणनखंड निकालते हैं:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. हमारे पास है:
y = 2, x - कोई वास्तविक संख्या या x = -1, y - कोई वास्तविक संख्या।
इस प्रकार, उत्तर फॉर्म (x; 2), x € R और (-1; y), y € R के सभी जोड़े हैं।
गैर-ऋणात्मक संख्याओं की शून्य से समानता
उदाहरण 2.
समीकरण हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
समाधान।
समूहन:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।
इसका मतलब है x = 2/3 और y = 3/2.
उत्तर: (2/3; 3/2).
आकलन विधि
उदाहरण 3.
समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
समाधान।
प्रत्येक कोष्ठक में हम एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2। आइए अनुमान लगाएं कोष्ठक में भावों का अर्थ.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 और (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:
(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y – 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।
उत्तर: (-1; 2).
आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने की एक अन्य विधि से परिचित हों। इस पद्धति में समीकरण को इस प्रकार मानना शामिल है कुछ चर के संबंध में वर्ग.
उदाहरण 4.
समीकरण हल करें: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
समाधान।
आइए समीकरण को x के द्विघात समीकरण के रूप में हल करें। आइए विभेदक खोजें:
डी = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2. समीकरण का हल केवल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। हम मूल समीकरण में y का मान प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं कि x = 3 है।
उत्तर: (3; 4).
अक्सर दो अज्ञात वाले समीकरणों में वे संकेत देते हैं चर पर प्रतिबंध.
उदाहरण 5.
समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
समाधान।
आइए समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। परिणामी समीकरण का दाहिना पक्ष 5 से विभाजित करने पर 2 शेषफल देता है। इसलिए, x 2, 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन a का वर्ग 5 से विभाज्य न होने वाली संख्या 1 या 4 का शेषफल देती है। इस प्रकार, समानता असंभव है और इसका कोई समाधान नहीं है।
उत्तर: कोई जड़ नहीं.
उदाहरण 6.
समीकरण हल करें: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
समाधान।
आइए प्रत्येक कोष्ठक में पूर्ण वर्गों को उजागर करें:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या उसके बराबर होता है। समानता संभव है बशर्ते |x| – 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3.
उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।
उदाहरण 7.
समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x;y) के प्रत्येक जोड़े के लिए
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। कृपया अपने उत्तर में सबसे छोटी राशि बताएं.
समाधान।
आइए पूर्ण वर्ग चुनें:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। यदि हम 1 + 36 जोड़ते हैं तो हमें दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 37 के बराबर मिलता है। इसलिए:
(x – y) 2 = 36 और (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 और (y + 2) 2 = 36.
इन प्रणालियों को हल करते हुए और यह ध्यान में रखते हुए कि x और y नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।
उत्तर:-17.
यदि आपको दो अज्ञात लोगों के साथ समीकरण हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण को संभाल सकते हैं।
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