Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis dengan menggunakan solusi detail. Contoh

Pada bagian sebelumnya, yang membahas tentang analisis makna geometris integral tertentu, kami menerima sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:

Yandex.RTB RA-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-negatif y = f (x) pada interval [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada interval [ a ; B ] .

Rumus ini dapat diterapkan untuk memecahkan masalah yang relatif sederhana. Pada kenyataannya, kita sering kali harus bekerja dengan figur yang lebih kompleks. Dalam hal ini, bagian ini akan kami persembahkan untuk analisis algoritma untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, yaitu. seperti y = f(x) atau x = g(y).

Misalkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) terdefinisi dan kontinu pada interval [ a ; b ] , dan f 1 (x) ≤ f 2 (x) untuk nilai apa pun x dari [ a ; B ] . Maka rumus menghitung luas bangun G yang dibatasi oleh garis x = a, x = b, y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) akan menjadi S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Rumus serupa juga berlaku untuk luas bangun yang dibatasi oleh garis y = c, y = d, x = g 1 (y) dan x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (kamu) - g 1 (kamu) d kamu .

Bukti

Mari kita lihat tiga kasus yang rumusnya valid.

Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat penjumlahan luas, jumlah luas gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2. Artinya

Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Kita dapat melakukan transisi terakhir dengan menggunakan sifat ketiga dari integral tertentu.

Dalam kasus kedua, persamaannya benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Jika kedua fungsi tersebut non-positif, diperoleh: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafisnya akan terlihat seperti:

Mari kita beralih ke kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x.

Titik potongnya kita nyatakan sebagai x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Titik-titik ini membagi segmen [a; b ] menjadi n bagian x i - 1 ; x saya, saya = 1, 2, . . . , n, dimana α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Karena itu,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat kelima dari integral tertentu.

Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.

Rumus S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dianggap terbukti.

Sekarang mari kita beralih ke menganalisis contoh penghitungan luas bangun yang dibatasi oleh garis y = f (x) dan x = g (y).

Kami akan memulai pertimbangan kami terhadap salah satu contoh dengan membuat grafik. Gambar ini akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai gabungan dari bentuk yang lebih sederhana. Jika membuat grafik dan gambar di atasnya sulit bagi Anda, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometri grafik fungsi, serta membuat grafik sambil mempelajari suatu fungsi.

Contoh 1

Perlu ditentukan luas bangun yang dibatasi oleh parabola y = - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Larutan

Mari kita menggambar garis pada grafik dalam sistem koordinat kartesius.

Di segmen [ 1 ; 4 ] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2. Sehubungan dengan itu, untuk memperoleh jawabannya kita menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jawaban: S(G) = 13

Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.

Contoh 2

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x + 2, y = x, x = 7.

Larutan

Dalam hal ini, kita hanya mempunyai satu garis lurus yang terletak sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7. Hal ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.

Mari kita membuat grafik dan memplot garis-garis yang diberikan dalam rumusan masalah di atasnya.

Dengan adanya grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi adalah absis titik potong grafik garis lurus y = x dan setengah parabola y = x + 2. Untuk mencari absis kita menggunakan persamaan:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ternyata absis titik potongnya adalah x = 2.

Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa dalam contoh umum pada gambar, garis y = x + 2, y = x berpotongan di titik (2; 2), sehingga perhitungan mendetail seperti itu mungkin tampak tidak diperlukan. Kami telah memberikan solusi terperinci di sini hanya karena dalam kasus yang lebih kompleks, solusinya mungkin tidak begitu jelas. Artinya, selalu lebih baik menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.

Pada interval [ 2 ; 7] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2. Mari kita terapkan rumus untuk menghitung luas:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jawaban: S (G) = 59 6

Contoh 3

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi y = 1 x dan y = - x 2 + 4 x - 2.

Larutan

Mari kita gambarkan garis pada grafik.

Mari kita tentukan batasan integrasi. Caranya, kita menentukan koordinat titik potong garis dengan menyamakan persamaan 1 x dan - x 2 + 4 x - 2. Asalkan x bukan nol, maka persamaan 1 x = - x 2 + 4 x - 2 menjadi ekuivalen dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 dengan koefisien bilangan bulat. Untuk menyegarkan ingatan Anda tentang algoritme penyelesaian persamaan tersebut, kita dapat merujuk ke bagian “Menyelesaikan persamaan kubik”.

Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Kita dapat mencari akar-akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Kami menemukan intervalnya x ∈ 1; 3 + 13 2, dimana gambar G terdapat di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kita menentukan luas gambar:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jawaban: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Contoh 4

Perlu dilakukan perhitungan luas bangun yang dibatasi oleh kurva y = x 3, y = - log 2 x + 1 dan sumbu absis.

Larutan

Mari kita gambarkan semua garis pada grafik. Grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dapat kita peroleh dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x adalah y = 0.

Mari kita tandai titik potong garis tersebut.

Terlihat dari gambar, grafik fungsi y = x 3 dan y = 0 berpotongan di titik (0; 0). Hal ini terjadi karena x = 0 merupakan satu-satunya akar real dari persamaan x 3 = 0.

x = 2 merupakan akar tunggal persamaan - log 2 x + 1 = 0, jadi grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2; 0).

x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Sehubungan dengan itu, grafik fungsi y = x 3 dan y = - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1). Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 = - log 2 x + 1 tidak boleh memiliki lebih dari satu akar, karena fungsi y = x 3 meningkat tajam, dan fungsi y = - log 2 x + 1 adalah sangat menurun.

Solusi selanjutnya melibatkan beberapa pilihan.

Pilihan 1

Kita dapat membayangkan bangun G sebagai hasil penjumlahan dua buah trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu x, yang pertama terletak di bawah garis tengah ruas x ∈ 0; 1, dan garis kedua di bawah garis merah pada ruas x ∈ 1; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opsi No.2

Gambar G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x ∈ 0; 2, dan garis kedua antara garis merah dan biru pada ruas x ∈ 1; 2. Hal ini memungkinkan kita untuk mencari luas sebagai berikut:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 dx - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang membatasi gambar tersebut dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.

Mari kita selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Contoh 5

Kita perlu menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Larutan

Dengan garis merah kita memplot garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x. Kita menggambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.

Mari kita tandai titik persimpangannya.

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Periksa: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 tidak Apakah penyelesaian persamaan x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (4; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4

Mari kita cari titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 adalah penyelesaian persamaan ⇒ (9 ; 3) titik a s y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian

Cari titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3

Metode No.1

Mari kita bayangkan luas bangun yang diinginkan sebagai jumlah luas masing-masing bangun.

Maka luas gambar tersebut adalah:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode nomor 2

Luas bangun asli dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dari dua bangun lainnya.

Kemudian kita selesaikan persamaan garis relatif terhadap x, dan baru setelah itu kita terapkan rumus menghitung luas bangun tersebut.

y = x ⇒ x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Jadi luasnya adalah:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Seperti yang Anda lihat, nilainya sama.

Jawaban: S (G) = 11 3

Untuk mencari luas suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu membuat garis-garis pada suatu bidang, mencari titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luasnya. Di bagian ini, kami memeriksa varian tugas yang paling umum.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Bagaimana cara menyisipkan rumus matematika pada website?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.

Setiap fraktal dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.

A)

Larutan.

Poin pertama dan terpenting dalam pengambilan keputusan adalah menggambar.

Mari kita membuat gambarnya:

Persamaannya kamu=0 mengatur sumbu “x”;

- x=-2 Dan x=1- lurus, sejajar dengan sumbu universitas;

- kamu=x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik sudut di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat, yaitu. menempatkan x=0 carilah perpotongan dengan sumbunya kamu dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai, temukan perpotongan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Anda juga dapat membuat garis titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi kamu=x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi, Itu sebabnya:

Menjawab: S=9 unit persegi

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambarnya dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kita menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, akan ada sekitar 9, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita mendapat, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka jelas ada kesalahan yang terjadi di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan salah.

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu Oh?

b) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis kamu=-ex , x=1 dan koordinat sumbu.

Larutan.

Mari kita membuat gambar.

Jika trapesium lengkung seluruhnya terletak di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi

Perhatian! Kedua jenis tugas ini tidak boleh disamakan:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu tanpa makna geometri apa pun, maka integral tersebut mungkin negatif.

2) Jika diminta mencari luas suatu bangun dengan menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul pada rumus yang baru saja dibahas.

Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah.

c) Carilah luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.

Larutan.

Pertama, Anda perlu menyelesaikan gambarnya. Secara umum, ketika membuat gambar dalam soal luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan lurus Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Metode pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Artinya batas bawah integrasi sebuah=0, batas atas integrasi b=3 .

Anda dapat membuat garis titik demi titik, dan batas integrasi menjadi jelas “dengan sendirinya”. Meskipun demikian, metode analitis untuk mencari limit terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi detailnya tidak mengungkapkan limit integrasi (bisa berupa pecahan atau irasional).

Bentuk yang diinginkan dibatasi oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.

Di segmen tersebut , menurut rumus yang sesuai:

Menjawab: S=4,5 unit persegi

Pada artikel ini Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun yang dibatasi garis dengan menggunakan perhitungan integral. Rumusan masalah seperti itu pertama kali kita jumpai di sekolah menengah, ketika kita baru saja menyelesaikan pembelajaran integral tertentu dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometri dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.

Jadi, apa yang diperlukan agar berhasil menyelesaikan masalah mencari luas suatu bangun menggunakan integral:

• Kemampuan membuat gambar yang kompeten;
• Kemampuan menyelesaikan integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
• Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. memahami bagaimana akan lebih mudah untuk melakukan integrasi dalam satu atau lain kasus? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
• Nah, bagaimana jadinya kita tanpa perhitungan yang benar?) Hal ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis integral lainnya dan perhitungan numerik yang benar.

Algoritma penyelesaian masalah menghitung luas bangun yang dibatasi garis:

1. Kami membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas kotak-kotak, dalam skala besar. Kami menandatangani nama fungsi ini dengan pensil di atas setiap grafik. Penandatanganan grafik dilakukan semata-mata untuk memudahkan perhitungan selanjutnya. Setelah menerima grafik dari angka yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, nilai batasnya bersifat pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.

2. Jika batas integrasi tidak ditentukan secara eksplisit, maka kita mencari titik potong grafik satu sama lain dan melihat apakah solusi grafis kita bertepatan dengan solusi analitis.

3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambarnya. Bergantung pada bagaimana grafik fungsi disusun, ada beberapa pendekatan berbeda untuk mencari luas suatu bangun. Mari kita lihat berbagai contoh mencari luas suatu bangun menggunakan integral.

3.1. Versi soal yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (y = 0), garis lurus x = a, x = b, dan setiap kurva yang kontinu pada interval dari a ke b. Apalagi angka ini non-negatif dan terletak tidak di bawah sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu, dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Contoh 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Garis manakah yang dibatasi oleh bangun tersebut? Kita mempunyai parabola y = x2 - 3x + 3 yang terletak di atas sumbu OX, tidak negatif karena semua titik parabola ini bernilai positif. Selanjutnya diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang sejajar dengan sumbu op-amp dan merupakan garis batas gambar di kiri dan kanan. Ya, y = 0, yang juga merupakan sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Gambar yang dihasilkan diarsir, seperti terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di hadapan kita adalah contoh sederhana trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.

3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kita memeriksa kasus ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Kami akan mempertimbangkan cara mengatasi masalah seperti itu di bawah.

Contoh 2. Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Pada contoh ini kita mempunyai parabola y = x2 + 6x + 2 yang berasal dari bawah sumbu OX, garis lurus x = -4, x = -1, y = 0. Di sini y = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Garis lurus x = -4 dan x = -1 merupakan batas di mana integral tentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah mencari luas suatu bangun hampir seluruhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Perbedaannya hanya pada fungsi yang diberikan tidak positif, dan juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa maksudnya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, angka yang terletak di dalam x tertentu hanya memiliki koordinat “negatif”, yang perlu kita lihat dan ingat saat menyelesaikan soal. Kita mencari luas bangun menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.

Artikel ini belum selesai.