Contoh mencari varians. Ekspektasi variabel acak diskrit

Perbedaan (hamburan) suatu variabel acak adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Untuk menghitung varians, Anda dapat menggunakan rumus yang sedikit dimodifikasi

Karena M(X), 2 dan
– nilai konstan. Dengan demikian,

4.2.2. Sifat dispersi

Properti 1. Varians dari nilai konstan adalah nol. Memang, menurut definisi

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya.

Bukti

terpusat variabel acak adalah penyimpangan variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Besaran terpusat mempunyai dua sifat yang sesuai untuk transformasi:

Properti 3. Jika variabel acak X dan Y kalau begitu, mereka mandiri

Bukti. Mari kita tunjukkan
. Kemudian.

Pada suku kedua, karena independensi variabel acak dan sifat variabel acak terpusat

Contoh 4.5. Jika A Dan B– konstanta, laluD (AX+B)= D(AX)+D(B)=
.

4.2.3. Deviasi standar

Dispersi, sebagai ciri penyebaran suatu variabel acak, memiliki satu kelemahan. Jika, misalnya, X– kesalahan pengukuran memiliki dimensi MM, maka dispersi tersebut mempunyai dimensi
. Oleh karena itu, mereka sering kali lebih suka menggunakan karakteristik pencar lainnya - deviasi standar , yang sama dengan akar kuadrat dari varians

Simpangan baku memiliki dimensi yang sama dengan variabel acak itu sendiri.

Contoh 4.6. Varians jumlah kemunculan suatu peristiwa dalam desain uji coba mandiri

Diproduksi N uji coba independen dan peluang terjadinya suatu peristiwa pada setiap uji coba adalah R. Mari kita nyatakan, seperti sebelumnya, jumlah kemunculan suatu peristiwa X melalui jumlah kemunculan peristiwa dalam percobaan individu:

Karena eksperimen bersifat independen, variabel acak terkait dengan eksperimen mandiri. Dan karena kemerdekaan kita punya

Tetapi masing-masing variabel acak mempunyai hukum distribusi (contoh 3.2)

Dan
(contoh 4.4). Oleh karena itu, menurut definisi varians:

Di mana Q=1- P.

Sebagai hasilnya, kita punya
,

Simpangan baku jumlah kemunculan suatu peristiwa di N eksperimen independen sama
.

4.3. Momen variabel acak

Selain yang telah dibahas, variabel acak memiliki banyak karakteristik numerik lainnya.

Momen awal k X (
) disebut ekspektasi matematis k-pangkat dari variabel acak ini.

Momen sentral k variabel acak orde ke-th X disebut ekspektasi matematis k-pangkat dari besaran terpusat yang bersesuaian.

Sangat mudah untuk melihat bahwa momen pusat orde pertama selalu sama dengan nol, momen pusat orde kedua sama dengan dispersi, karena .

Momen sentral orde ketiga memberikan gambaran tentang asimetri distribusi suatu variabel acak. Momen berorde lebih tinggi dari detik relatif jarang digunakan, jadi kami akan membatasi diri hanya pada konsep itu sendiri.

4.4. Contoh menemukan hukum distribusi

Mari kita perhatikan contoh mencari hukum distribusi variabel acak dan karakteristik numeriknya.

Contoh 4.7.

Buatlah hukum pembagian jumlah pukulan pada suatu sasaran dengan tiga tembakan tepat sasaran, jika peluang mengenai sasaran pada setiap tembakan adalah 0,4. Temukan fungsi integralnya F(X) untuk distribusi yang dihasilkan dari variabel acak diskrit X dan buatlah grafiknya. Temukan nilai yang diharapkan M(X) , varians D(X) dan deviasi standar
(X) variabel acak X.

Larutan

1) Variabel acak diskrit X– jumlah pukulan tepat sasaran dengan tiga tembakan – dapat mengambil empat nilai: 0, 1, 2, 3 . Peluang dia menerima masing-masingnya ditentukan dengan menggunakan rumus Bernoulli dengan: N=3,P=0,4,Q=1- P=0,6 dan M=0, 1, 2, 3:

Mari kita dapatkan probabilitas dari nilai yang mungkin X:;

Mari kita buat hukum distribusi variabel acak yang diinginkan X:

Kontrol: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Mari kita buat poligon distribusi dari variabel acak yang dihasilkan X. Untuk melakukan ini, dalam sistem koordinat persegi panjang kita menandai titik (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Mari kita hubungkan titik-titik ini dengan ruas garis lurus, garis putus-putus yang dihasilkan adalah poligon distribusi yang diinginkan (Gbr. 4.1).

2) Jika x 0, lalu F(X)=0. Memang, untuk nilai yang kurang dari nol, nilainya X tidak menerima. Oleh karena itu, untuk semua X0, menggunakan definisi F(X), kita mendapatkan F(X)=P(X< X) =0 (sebagai peluang terjadinya kejadian yang mustahil).

Jika 0 , Itu F(X) =0,216. Memang benar, dalam hal ini F(X)=P(X< X) = =P(- < X 0)+ P(0< X< X) =0,216+0=0,216.

Jika kita mengambil contoh, X=0,2, lalu F(0,2)=P(X<0,2) . Tapi kemungkinan suatu kejadian X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаX hanya dalam satu kasus yang mengambil nilai kurang dari 0,2 yaitu 0 dengan probabilitas 0,216.

Jika 1 , Itu

Benar-benar, X dapat mengambil nilai 0 dengan probabilitas 0,216 dan nilai 1 dengan probabilitas 0,432; oleh karena itu, salah satu dari makna ini, tidak peduli yang mana, X dapat menerima (menurut teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai) dengan probabilitas 0,648.

Jika 2 , lalu, dengan alasan serupa, kita dapatkan F(X)=0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Memang benar, misalnya saja, X=3. Kemudian F(3)=P(X<3) menyatakan kemungkinan suatu kejadian X<3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF(X).

Jika X>3, lalu F(X)=0,216+0,432+0,288+0,064=1. Memang benar acaranya X
dapat diandalkan dan probabilitasnya sama dengan satu, dan X>3 – tidak mungkin. Mengingat bahwa

F(X)=P(X< X) =P(X 3) + P(3< X< X) , kami mendapatkan hasil yang ditunjukkan.

Jadi, diperoleh fungsi distribusi integral yang diperlukan dari variabel acak X:

F(X) =

grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 4.2.

3) Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit sama dengan jumlah produk dari semua nilai yang mungkin X pada probabilitasnya:

M(X)=0=1,2.

Artinya, rata-rata ada satu pukulan tepat sasaran dengan tiga tembakan.

Varians dapat dihitung dari definisi varians D(X)= M(X- M(X)) atau gunakan rumusnya D(X)= M(X
, yang mengarah ke tujuan lebih cepat.

Mari kita tuliskan hukum distribusi variabel acak X :

Mari kita cari ekspektasi matematisnya X:

M(X ) = 04
= 2,16.

Mari kita hitung varians yang dibutuhkan:

D(X) = M(X ) – (M(X)) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Kami menemukan simpangan baku menggunakan rumus

(X) =
= 0,848.

Interval ( M- ; M+ ) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) – interval nilai yang paling mungkin dari variabel acak X, itu berisi nilai 1 dan 2.

Contoh 4.8.

Diberikan fungsi distribusi diferensial (fungsi kepadatan) dari variabel acak kontinu X:

F(X) =

1) Tentukan parameter konstanta A.

2) Temukan fungsi integralnya F(X) .

3) Membangun grafik fungsi F(X) Dan F(X) .

4) Temukan probabilitas dengan dua cara P(0,5< X 1,5) Dan P(1,5< X<3,5) .

5). Temukan nilai yang diharapkan M(X), varians D(X) dan deviasi standar
variabel acak X.

Larutan

1) Diferensial fungsi berdasarkan properti F(X) harus memenuhi syarat tersebut
.

Mari kita hitung integral tak wajar untuk fungsi ini F(X) :

Substitusikan hasil ini ke ruas kiri persamaan, kita peroleh hasilnya A=1. Dalam kondisi untuk F(X) ganti parameternya A oleh 1:

2) Untuk menemukan F(X) mari kita gunakan rumusnya

.

Jika x
, Itu
, karena itu,

Jika 1
Itu

Jika x>2, maka

Jadi, diperlukan fungsi integral F(X) memiliki bentuk:

3) Mari kita buat grafik fungsi F(X) Dan F(X) (Gbr. 4.3 dan 4.4).

4) Kemungkinan suatu variabel acak masuk ke dalam interval tertentu (A,B) dihitung dengan rumus
, jika fungsinya diketahui F(X), dan sesuai rumus P(A < X < B) = F(B) – F(A), jika fungsinya diketahui F(X).

Kami akan menemukannya
menggunakan dua rumus dan membandingkan hasilnya. Dengan syarat a=0,5;B=1,5; fungsi F(X) ditentukan dalam poin 1). Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan menurut rumus adalah:

Probabilitas yang sama dapat dihitung dengan menggunakan rumus b) melalui kenaikan yang diperoleh pada langkah 2). fungsi integral F(X) pada interval ini:

Karena F(0,5)=0.

Demikian pula yang kita temukan

Karena F(3,5)=1.

5) Untuk mencari ekspektasi matematis M(X) mari kita gunakan rumusnya
Fungsi F(X) diberikan dalam solusi poin 1), sama dengan nol di luar interval (1,2]:

Varians dari variabel acak kontinu D(X) ditentukan oleh kesetaraan

, atau kesetaraan yang setara

.

Untuk temuan D(X) Mari kita gunakan rumus terakhir dan memperhitungkan semua nilai yang mungkin F(X) termasuk dalam interval (1,2]:

Deviasi standar
=
=0,276.

Interval nilai yang paling mungkin dari suatu variabel acak X sama

(M-
,M+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Teori probabilitas merupakan cabang matematika khusus yang hanya dipelajari oleh mahasiswa perguruan tinggi. Apakah Anda suka perhitungan dan rumus? Apakah Anda tidak takut dengan prospek mengenal distribusi normal, entropi ansambel, ekspektasi matematis, dan dispersi variabel acak diskrit? Maka topik ini akan sangat menarik bagi Anda. Mari berkenalan dengan beberapa konsep dasar terpenting dari cabang ilmu ini.

Mari kita ingat dasar-dasarnya

Sekalipun Anda mengingat konsep teori probabilitas yang paling sederhana, jangan abaikan paragraf pertama artikel tersebut. Intinya tanpa pemahaman dasar yang jelas, Anda tidak akan bisa mengerjakan rumus-rumus yang dibahas di bawah ini.

Jadi, terjadi suatu peristiwa acak, suatu eksperimen. Sebagai hasil dari tindakan yang kita ambil, kita dapat memperoleh beberapa hasil - beberapa di antaranya lebih sering terjadi, yang lainnya lebih jarang. Probabilitas suatu kejadian adalah rasio jumlah hasil aktual yang diperoleh dari suatu jenis dengan jumlah total kemungkinan yang terjadi. Hanya dengan mengetahui definisi klasik dari konsep ini seseorang dapat mulai mempelajari ekspektasi matematis dan dispersi variabel acak kontinu.

Rata-rata

Kembali ke sekolah, selama pelajaran matematika, Anda mulai mengerjakan mean aritmatika. Konsep ini banyak digunakan dalam teori probabilitas, dan oleh karena itu tidak dapat diabaikan. Hal utama bagi kita saat ini adalah kita akan menemukannya dalam rumus ekspektasi matematis dan varians variabel acak.

Kami memiliki barisan angka dan ingin mencari mean aritmatika. Yang perlu kita lakukan hanyalah menjumlahkan semua yang ada dan membaginya dengan jumlah elemen dalam barisan tersebut. Misalkan kita mempunyai bilangan dari 1 sampai 9. Jumlah unsur-unsurnya adalah 45, dan kita membagi nilainya dengan 9. Jawaban: - 5.

Penyebaran

Dalam istilah ilmiah, dispersi adalah kuadrat rata-rata deviasi nilai-nilai yang diperoleh suatu karakteristik dari mean aritmatika. Dilambangkan dengan satu huruf latin kapital D. Apa yang diperlukan untuk menghitungnya? Untuk setiap elemen barisan, kami menghitung selisih antara bilangan yang ada dan rata-rata aritmatika dan mengkuadratkannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil dari peristiwa yang sedang kita pertimbangkan. Selanjutnya, kita menjumlahkan semua yang diterima dan membaginya dengan jumlah elemen dalam barisan tersebut. Jika kita mempunyai lima kemungkinan hasil, bagilah dengan lima.

Dispersi juga mempunyai sifat-sifat yang perlu diingat agar dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah. Misalnya, ketika variabel acak bertambah X kali, variansnya bertambah X kuadrat kali (yaitu X*X). Itu tidak pernah kurang dari nol dan tidak bergantung pada pergeseran nilai ke atas atau ke bawah dengan jumlah yang sama. Selain itu, untuk uji coba independen, varians dari jumlah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan contoh varians dari variabel acak diskrit dan ekspektasi matematisnya.

Katakanlah kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapatkan 7 hasil berbeda. Kami mengamatinya masing-masing sebanyak 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali. Berapakah variansnya?

Pertama, mari kita hitung mean aritmatikanya: jumlah elemennya, tentu saja, adalah 21. Bagilah dengan 7, dapatkan 3. Sekarang kurangi 3 dari setiap bilangan pada barisan aslinya, kuadratkan setiap nilainya, dan jumlahkan hasilnya. Hasilnya adalah 12. Sekarang yang harus kita lakukan hanyalah membagi bilangan tersebut dengan banyaknya elemen, dan sepertinya itu saja. Tapi ada batasannya! Mari kita bahas.

Ketergantungan pada jumlah percobaan

Ternyata saat menghitung varians, penyebutnya bisa berisi salah satu dari dua angka: N atau N-1. Di sini N adalah jumlah percobaan yang dilakukan atau jumlah elemen dalam barisan (yang pada dasarnya sama). Hal ini bergantung pada apa?

Jika banyaknya tes diukur dalam ratusan, maka penyebutnya harus N, jika dalam satuan maka N-1. Para ilmuwan memutuskan untuk menggambar perbatasan secara simbolis: hari ini melewati angka 30. Jika kita melakukan kurang dari 30 percobaan, maka kita akan membagi jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Tugas

Mari kita kembali ke contoh penyelesaian masalah varians dan ekspektasi matematis. Kami mendapat angka perantara 12, yang harus dibagi dengan N atau N-1. Karena kami melakukan 21 percobaan, yang mana kurang dari 30, kami akan memilih opsi kedua. Jadi jawabannya adalah: variansnya adalah 12/2 = 2.

Nilai yang diharapkan

Mari kita beralih ke konsep kedua, yang harus kita pertimbangkan dalam artikel ini. Ekspektasi matematis adalah hasil penjumlahan semua kemungkinan hasil dikalikan dengan probabilitas yang bersangkutan. Penting untuk dipahami bahwa nilai yang diperoleh, serta hasil penghitungan varians, hanya diperoleh satu kali untuk keseluruhan soal, tidak peduli berapa banyak hasil yang dipertimbangkan di dalamnya.

Rumus ekspektasi matematisnya cukup sederhana: kita ambil hasilnya, kalikan dengan probabilitasnya, tambahkan hasil yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dan seterusnya. Segala sesuatu yang berhubungan dengan konsep ini tidak sulit untuk dihitung. Misalnya, jumlah nilai yang diharapkan sama dengan nilai yang diharapkan dari jumlah tersebut. Hal yang sama juga berlaku untuk pekerjaan tersebut. Tidak semua kuantitas dalam teori probabilitas memungkinkan Anda melakukan operasi sederhana seperti itu. Mari kita ambil soal dan menghitung arti dari dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, perhatian kami terganggu oleh teori - saatnya berlatih.

Satu contoh lagi

Kami menjalankan 50 uji coba dan mendapatkan 10 jenis hasil - angka dari 0 hingga 9 - yang muncul dalam persentase berbeda. Yaitu masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingatlah bahwa untuk mendapatkan probabilitas, Anda perlu membagi nilai persentase dengan 100. Jadi, kita mendapatkan 0,02; 0,1, dll. Mari kita berikan contoh penyelesaian masalah varians suatu variabel acak dan ekspektasi matematis.

Kita menghitung mean aritmatika menggunakan rumus yang kita ingat dari sekolah dasar: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita ubah probabilitas menjadi jumlah hasil “berkeping-keping” agar lebih mudah dihitung. Kita mendapatkan 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Dari setiap nilai yang diperoleh, kita kurangi mean aritmatika, setelah itu kita kuadratkan setiap hasil yang diperoleh. Lihat cara melakukannya menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Berikutnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lainnya, lakukan sendiri operasi ini. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, maka setelah menjumlahkan semuanya Anda akan mendapatkan 90.

Mari kita lanjutkan menghitung varians dan nilai yang diharapkan dengan membagi 90 dengan N. Mengapa kita memilih N daripada N-1? Benar, karena jumlah percobaan yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kita peroleh variansnya. Jika Anda mendapatkan nomor yang berbeda, jangan putus asa. Kemungkinan besar, Anda membuat kesalahan sederhana dalam perhitungan. Periksa kembali apa yang Anda tulis, dan semuanya mungkin akan beres.

Terakhir, ingat rumus ekspektasi matematis. Kami tidak akan memberikan semua perhitungannya, kami hanya akan menulis jawaban yang dapat Anda periksa setelah menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang diharapkan adalah 5,48. Mari kita ingat saja bagaimana melakukan operasi, dengan menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 0*0.02 + 1*0.1... dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, kita cukup mengalikan nilai hasil dengan probabilitasnya.

Deviasi

Konsep lain yang terkait erat dengan dispersi dan ekspektasi matematis adalah deviasi standar. Ini dilambangkan dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani “sigma”. Konsep ini menunjukkan seberapa besar rata-rata nilai yang menyimpang dari fitur sentral. Untuk mencari nilainya, Anda perlu menghitung akar kuadrat dari variansnya.

Jika Anda membuat grafik distribusi normal dan ingin melihat deviasi kuadrat secara langsung, hal ini dapat dilakukan dalam beberapa tahap. Ambil separuh gambar di kiri atau kanan mode (nilai tengah), gambarlah garis tegak lurus terhadap sumbu horizontal sehingga luas gambar yang dihasilkan sama. Besar kecilnya segmen antara titik tengah distribusi dan proyeksi yang dihasilkan pada sumbu horizontal akan mewakili simpangan baku.

Perangkat lunak

Terlihat dari uraian rumus dan contoh yang disajikan, menghitung varians dan ekspektasi matematis bukanlah prosedur yang paling sederhana dari sudut pandang aritmatika. Agar tidak membuang waktu, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di institusi pendidikan tinggi - yang disebut “R”. Ini memiliki fungsi yang memungkinkan Anda menghitung nilai untuk banyak konsep dari statistik dan teori probabilitas.

Misalnya, Anda menentukan vektor nilai. Ini dilakukan sebagai berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Dispersi dan ekspektasi matematis adalah hal yang tanpanya sulit untuk menghitung apa pun di masa depan. Dalam mata kuliah utama di universitas-universitas, hal-hal tersebut sudah dibahas pada bulan-bulan pertama perkuliahan mata kuliah tersebut. Justru karena kurangnya pemahaman tentang konsep-konsep sederhana ini dan ketidakmampuan untuk menghitungnya, banyak siswa yang segera tertinggal dalam program ini dan kemudian menerima nilai buruk di akhir sesi, yang membuat mereka kehilangan beasiswa.

Berlatihlah setidaknya selama satu minggu, setengah jam sehari, selesaikan tugas-tugas serupa dengan yang disajikan dalam artikel ini. Kemudian, pada tes teori probabilitas apa pun, Anda akan mampu mengatasi contoh-contoh tanpa tip dan lembar contekan yang asing.

Dimana σ 2 j adalah varians intragrup dari grup ke-j.

Untuk data yang tidak dikelompokkan varians sisa– ukuran akurasi perkiraan, mis. perkiraan garis regresi terhadap data asli:
dimana y(t) – perkiraan menurut persamaan tren; yt – rangkaian dinamika awal; n – jumlah poin; p – jumlah koefisien persamaan regresi (jumlah variabel penjelas).
Dalam contoh ini disebut penduga varians yang tidak bias.

Contoh No.1. Sebaran pekerja di tiga perusahaan dalam satu asosiasi menurut kategori tarif ditandai dengan data sebagai berikut:

Mendefinisikan:
1. varians untuk setiap perusahaan (varians intra-grup);
2. rata-rata variansi dalam kelompok;
3. penyebaran antarkelompok;
4. varians total.

Larutan.
Sebelum memulai penyelesaian masalah, perlu diketahui fitur mana yang efektif dan mana yang faktorial. Dalam contoh yang dipertimbangkan, atribut yang dihasilkan adalah “Kategori tarif”, dan atribut faktornya adalah “Jumlah (nama) perusahaan”.
Kemudian kita memiliki tiga kelompok (perusahaan), yang perlu menghitung rata-rata kelompok dan varians intragrup:

Saat memecahkan masalah praktis, sering kali kita harus berurusan dengan fitur yang hanya mengambil dua nilai alternatif. Dalam hal ini, kita tidak berbicara tentang bobot nilai tertentu dari suatu fitur, tetapi tentang bagiannya dalam totalitas. Jika proporsi unit populasi yang mempunyai sifat yang diteliti dilambangkan dengan “ R", dan mereka yang tidak memiliki - melalui" Q", maka variansnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
s 2 = p×q

Contoh No.2. Berdasarkan data produksi enam pekerja dalam satu tim, tentukan varians antarkelompok dan evaluasi dampak shift kerja terhadap produktivitas tenaga kerja mereka jika varians totalnya adalah 12,2.

Larutan. Data awal

Contoh No.3. Berdasarkan data upah rata-rata dan kuadrat deviasi dari nilainya untuk dua kelompok pekerja, carilah varians total dengan menerapkan aturan penjumlahan varians:

Dispersi dalam statistik ditemukan sebagai nilai individual dari karakteristik yang dikuadratkan dari . Bergantung pada data awal, ditentukan dengan menggunakan rumus varians sederhana dan tertimbang:

1. (untuk data yang tidak dikelompokkan) dihitung menggunakan rumus:

2. Varians tertimbang (untuk rangkaian variasi):

dimana n adalah frekuensi (pengulangan faktor X)

Contoh mencari varians

Halaman ini menjelaskan contoh standar untuk menemukan varians, Anda juga dapat melihat masalah lain untuk menemukannya

Contoh 1. Data berikut tersedia untuk sekelompok 20 siswa korespondensi. Perlu dibuat deret interval sebaran suatu sifat, menghitung nilai rata-rata suatu sifat dan mempelajari penyebarannya

Mari kita membangun pengelompokan interval. Mari kita tentukan rentang intervalnya menggunakan rumus:

dimana X max adalah nilai maksimum dari karakteristik pengelompokan;
X min – nilai minimum karakteristik pengelompokan;
n – jumlah interval:

Kami menerima n=5. Langkahnya adalah: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Mari buat pengelompokan interval

Untuk perhitungan lebih lanjut, kami akan membuat tabel tambahan:

X'i adalah titik tengah interval. (misalnya tengah interval 159 – 165.6 = 162.3)

Kita menentukan rata-rata tinggi badan siswa menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:

Mari kita tentukan variansnya menggunakan rumus:

Rumus dispersi dapat diubah sebagai berikut:

Dari rumus ini berikut ini varians sama dengan perbedaan antara rata-rata kuadrat pilihan dan kuadrat dan rata-rata.

Dispersi dalam deret variasi dengan interval yang sama menggunakan metode momen dapat dihitung dengan cara berikut menggunakan sifat dispersi kedua (membagi semua opsi dengan nilai interval). Menentukan varians, dihitung menggunakan metode momen, menggunakan rumus berikut ini tidak terlalu memakan waktu:

dimana i adalah nilai interval;
A adalah nol konvensional, yang mana akan lebih mudah untuk menggunakan titik tengah interval dengan frekuensi tertinggi;
m1 adalah kuadrat momen orde pertama;
m2 - momen orde kedua

(jika dalam suatu populasi statistik suatu karakteristik berubah sedemikian rupa sehingga hanya terdapat dua pilihan yang saling eksklusif, maka variabilitas tersebut disebut alternatif) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mengganti q = 1- p ke dalam rumus dispersi ini, kita memperoleh:

Jenis varians

Varians total mengukur variasi suatu karakteristik pada seluruh populasi secara keseluruhan di bawah pengaruh semua faktor yang menyebabkan variasi tersebut. Ini sama dengan kuadrat rata-rata dari deviasi nilai individu suatu karakteristik x dari nilai rata-rata keseluruhan x dan dapat didefinisikan sebagai varians sederhana atau varians tertimbang.

mencirikan variasi acak, yaitu bagian dari variasi yang disebabkan oleh pengaruh faktor-faktor yang tidak terhitung dan tidak bergantung pada atribut-faktor yang menjadi dasar kelompoknya. Dispersi tersebut sama dengan kuadrat rata-rata deviasi nilai individu atribut dalam grup X dari mean aritmatika grup dan dapat dihitung sebagai dispersi sederhana atau sebagai dispersi tertimbang.

Dengan demikian, ukuran varians dalam kelompok variasi suatu sifat dalam suatu kelompok dan ditentukan dengan rumus:

dimana xi adalah rata-rata kelompok;
ni adalah jumlah unit dalam grup.

Misalnya varians intragrup yang perlu ditentukan dalam tugas mempelajari pengaruh kualifikasi pekerja terhadap tingkat produktivitas tenaga kerja di suatu bengkel menunjukkan variasi output pada setiap kelompok yang disebabkan oleh semua faktor yang mungkin (kondisi teknis peralatan, ketersediaan peralatan). alat dan bahan, umur pekerja, intensitas tenaga kerja, dan lain-lain.), kecuali perbedaan kategori kualifikasi (dalam suatu kelompok semua pekerja mempunyai kualifikasi yang sama).

Rata-rata varians dalam kelompok mencerminkan acak, yaitu bagian variasi yang terjadi di bawah pengaruh semua faktor lain, kecuali faktor pengelompokan. Itu dihitung menggunakan rumus:

Mencirikan variasi sistematis dari ciri-ciri yang dihasilkan, yang disebabkan oleh pengaruh tanda-faktor yang menjadi dasar kelompok. Nilai ini sama dengan kuadrat rata-rata deviasi rata-rata kelompok dari rata-rata keseluruhan. Varians antarkelompok dihitung dengan menggunakan rumus:

Aturan untuk menambahkan varians dalam statistik

Berdasarkan aturan untuk menambahkan varians varians total sama dengan jumlah rata-rata varians dalam kelompok dan antar kelompok:

Arti dari aturan ini adalah bahwa total varians yang timbul karena pengaruh semua faktor sama dengan jumlah varians yang timbul karena pengaruh semua faktor lain dan varians yang timbul karena faktor pengelompokan.

Dengan menggunakan rumus penjumlahan varians, Anda dapat menentukan varians ketiga yang tidak diketahui dari dua varians yang diketahui, dan juga menilai kekuatan pengaruh karakteristik pengelompokan.

Sifat dispersi

1. Jika semua nilai suatu karakteristik dikurangi (ditambah) dengan jumlah konstan yang sama, maka dispersinya tidak akan berubah.
2. Jika semua nilai suatu karakteristik dikurangi (ditambah) sebanyak n^2 kali, maka variansnya juga akan berkurang (meningkat) sebanyak n^2 kali.

Langkah

Menghitung varians sampel

1. Catat nilai sampel. Dalam kebanyakan kasus, ahli statistik hanya memiliki akses terhadap sampel populasi tertentu. Misalnya, sebagai aturan, ahli statistik tidak menganalisis biaya pemeliharaan total semua mobil di Rusia - mereka menganalisis sampel acak beberapa ribu mobil. Sampel seperti itu akan membantu menentukan harga rata-rata sebuah mobil, tetapi kemungkinan besar, nilai yang dihasilkan akan jauh dari nilai sebenarnya.

   • Misalnya, mari kita analisis jumlah roti yang terjual di sebuah kafe selama 6 hari, yang diambil secara acak. Sampelnya seperti ini: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Ini adalah sampel, bukan populasi, karena kami tidak memiliki data roti yang terjual setiap hari kafe buka.
   • Jika Anda diberikan nilai populasi dan bukan sampel, lanjutkan ke bagian berikutnya.

2. Tuliskan rumus untuk menghitung varians sampel. Dispersi adalah ukuran penyebaran nilai-nilai dalam besaran tertentu. Semakin dekat nilai variansnya dengan nol, maka semakin dekat pula nilai-nilai tersebut dikelompokkan. Saat mengerjakan sampel nilai, gunakan rumus berikut untuk menghitung varians:

   • s 2 (\gaya tampilan s^(2)) = ∑[(x saya (\gaya tampilan x_(i))- X) 2 (\gaya tampilan ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\gaya tampilan s^(2))– ini adalah dispersi. Dispersi diukur dalam satuan persegi.
   • x saya (\gaya tampilan x_(i))– setiap nilai dalam sampel.
   • x saya (\gaya tampilan x_(i)) Anda perlu mengurangi x̅, mengkuadratkannya, lalu menjumlahkan hasilnya.
   • x̅ – mean sampel (rata-rata sampel).
   • n – jumlah nilai dalam sampel.

3. Hitung mean sampel. Dilambangkan dengan x̅. Rata-rata sampel dihitung sebagai rata-rata aritmatika sederhana: jumlahkan semua nilai dalam sampel, lalu bagi hasilnya dengan jumlah nilai dalam sampel.

   • Dalam contoh kita, tambahkan nilai dalam sampel: 15+17+23+7+9+13=84
     Sekarang bagi hasilnya dengan jumlah nilai dalam sampel (dalam contoh kita ada 6): 84 6 = 14.
     Rata-rata sampel x̅ = 14.
   • Rata-rata sampel adalah nilai pusat di mana nilai-nilai dalam sampel didistribusikan. Jika nilai-nilai dalam cluster sampel berada di sekitar mean sampel, maka variansnya kecil; jika tidak, variansnya besar.

4. Kurangi mean sampel dari setiap nilai dalam sampel. Sekarang hitung selisihnya x saya (\gaya tampilan x_(i))- x̅, dimana x saya (\gaya tampilan x_(i))– setiap nilai dalam sampel. Setiap hasil yang diperoleh menunjukkan derajat penyimpangan suatu nilai tertentu dari mean sampel, yaitu seberapa jauh nilai tersebut dari mean sampel.

   • Dalam contoh kita:
     x 1 (\gaya tampilan x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\gaya tampilan x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\gaya tampilan x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\gaya tampilan x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\gaya tampilan x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\gaya tampilan x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Kebenaran hasil yang diperoleh mudah untuk diperiksa, karena jumlahnya harus sama dengan nol. Hal ini terkait dengan pengertian rata-rata, karena nilai negatif (jarak dari rata-rata ke nilai yang lebih kecil) sepenuhnya diimbangi dengan nilai positif (jarak dari rata-rata ke nilai yang lebih besar).

5. Seperti disebutkan di atas, jumlah perbedaannya x saya (\gaya tampilan x_(i))- x̅ harus sama dengan nol. Artinya varians rata-rata selalu nol, sehingga tidak memberikan gambaran apapun tentang penyebaran nilai suatu besaran tertentu. Untuk mengatasi masalah ini, kuadratkan setiap perbedaannya x saya (\gaya tampilan x_(i))- X. Ini akan mengakibatkan Anda hanya mendapatkan angka positif, yang tidak akan pernah berjumlah 0.

   • Dalam contoh kita:
     (x 1 (\gaya tampilan x_(1))- X) 2 = 3 2 = 9 (\gaya tampilan ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\gaya tampilan (x_(2))- X) 2 = 1 2 = 1 (\gaya tampilan ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Anda menemukan kuadrat selisihnya - x̅) 2 (\gaya tampilan ^(2)) untuk setiap nilai dalam sampel.

6. Hitung jumlah kuadrat selisihnya. Artinya, carilah bagian rumus yang ditulis seperti ini: ∑[( x saya (\gaya tampilan x_(i))- X) 2 (\gaya tampilan ^(2))]. Di sini tanda Σ berarti jumlah selisih kuadrat untuk setiap nilai x saya (\gaya tampilan x_(i)) dalam sampel. Anda telah menemukan perbedaan kuadratnya (xi (\gaya tampilan (x_(i))- X) 2 (\gaya tampilan ^(2)) untuk setiap nilai x saya (\gaya tampilan x_(i)) dalam sampel; sekarang tambahkan saja kotak-kotak ini.

   • Dalam contoh kita: 9+1+81+49+25+1= 166 .

7. Bagilah hasilnya dengan n - 1, dimana n adalah banyaknya nilai dalam sampel. Beberapa waktu lalu, untuk menghitung varians sampel, ahli statistik cukup membagi hasilnya dengan n; dalam hal ini Anda akan mendapatkan rata-rata varians kuadrat, yang ideal untuk mendeskripsikan varians sampel tertentu. Namun perlu diingat bahwa sampel apa pun hanyalah sebagian kecil dari nilai populasi. Jika Anda mengambil sampel lain dan melakukan perhitungan yang sama, Anda akan mendapatkan hasil yang berbeda. Ternyata, membaginya dengan n - 1 (bukan hanya n) akan memberikan perkiraan varians populasi yang lebih akurat, dan itulah yang Anda minati. Pembagian dengan n – 1 sudah menjadi hal yang umum, sehingga dimasukkan dalam rumus menghitung varians sampel.

   • Dalam contoh kita, sampel mencakup 6 nilai, yaitu n = 6.
     Varians sampel = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Perbedaan antara varians dan deviasi standar. Perhatikan bahwa rumusnya mengandung eksponen, sehingga dispersi diukur dalam satuan kuadrat dari nilai yang dianalisis. Terkadang besarnya seperti itu cukup sulit untuk dioperasikan; dalam kasus seperti ini, gunakan deviasi standar, yang sama dengan akar kuadrat dari varians. Itulah sebabnya varians sampel dilambangkan sebagai s 2 (\gaya tampilan s^(2)), dan simpangan baku sampel adalah sebagai s (\gaya tampilan s).

   • Dalam contoh kita, simpangan baku sampel adalah: s = √33.2 = 5.76.

   Menghitung Varians Populasi

   1. Analisis serangkaian nilai. Himpunan mencakup semua nilai besaran yang dipertimbangkan. Misalnya, jika Anda mempelajari usia penduduk wilayah Leningrad, maka totalitasnya mencakup usia seluruh penduduk wilayah tersebut. Saat bekerja dengan suatu populasi, disarankan untuk membuat tabel dan memasukkan nilai populasi ke dalamnya. Perhatikan contoh berikut:

      • Dalam suatu ruangan terdapat 6 akuarium. Setiap akuarium berisi jumlah ikan berikut:
        x 1 = 5 (\gaya tampilan x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\gaya tampilan x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\gaya tampilan x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\gaya tampilan x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\gaya tampilan x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\gaya tampilan x_(6)=18)

   2. Tuliskan rumus untuk menghitung varians populasi. Karena populasi mencakup semua nilai kuantitas tertentu, rumus di bawah ini memungkinkan Anda memperoleh nilai pasti varians populasi. Untuk membedakan varians populasi dari varians sampel (yang hanya merupakan perkiraan), ahli statistik menggunakan berbagai variabel:

      • σ 2 (\gaya tampilan ^(2)) = (∑(x saya (\gaya tampilan x_(i)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2)))/N
      • σ 2 (\gaya tampilan ^(2))– penyebaran penduduk (dibaca “sigma kuadrat”). Dispersi diukur dalam satuan persegi.
      • x saya (\gaya tampilan x_(i))– setiap nilai secara keseluruhan.
      • Σ – tanda penjumlahan. Artinya, dari setiap nilai x saya (\gaya tampilan x_(i)) Anda perlu mengurangi μ, mengkuadratkannya, lalu menjumlahkan hasilnya.
      • μ – rata-rata populasi.
      • n – jumlah nilai dalam populasi.

   3. Hitung rata-rata populasi. Saat menangani suatu populasi, meannya dilambangkan sebagai μ (mu). Rata-rata populasi dihitung sebagai rata-rata aritmatika sederhana: jumlahkan semua nilai dalam populasi, lalu bagi hasilnya dengan banyaknya nilai dalam populasi.

      • Ingatlah bahwa rata-rata tidak selalu dihitung sebagai rata-rata aritmatika.
      • Dalam contoh kita, rata-rata populasi: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Kurangi mean populasi dari setiap nilai dalam populasi. Semakin dekat nilai selisihnya ke nol, maka semakin dekat nilai spesifiknya dengan rata-rata populasi. Temukan perbedaan antara setiap nilai dalam populasi dan rata-ratanya, dan Anda akan mendapatkan gambaran pertama tentang distribusi nilai.

      • Dalam contoh kita:
        x 1 (\gaya tampilan x_(1))- = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\gaya tampilan x_(2))- = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\gaya tampilan x_(3))- = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\gaya tampilan x_(4))- = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\gaya tampilan x_(5))- = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\gaya tampilan x_(6))- = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Kuadratkan setiap hasil yang diperoleh. Nilai selisihnya akan positif dan negatif; Jika nilai-nilai tersebut diplot pada garis bilangan, maka nilai-nilai tersebut akan terletak di kanan dan kiri mean populasi. Ini tidak baik untuk menghitung varians karena bilangan positif dan negatif saling meniadakan. Jadi kuadratkan setiap selisih untuk mendapatkan bilangan positif saja.

      • Dalam contoh kita:
        (x saya (\gaya tampilan x_(i)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2)) untuk setiap nilai populasi (dari i = 1 sampai i = 6):
        (-5,5)2 (\gaya tampilan ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\gaya tampilan ^(2)), Di mana x n (\gaya tampilan x_(n))– nilai terakhir dalam populasi.
      • Untuk menghitung nilai rata-rata dari hasil yang diperoleh, Anda perlu mencari jumlahnya dan membaginya dengan n:(( x 1 (\gaya tampilan x_(1)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2)) + (x 2 (\gaya tampilan x_(2)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2)) + ... + (x n (\gaya tampilan x_(n)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2)))/N
      • Sekarang mari kita tuliskan penjelasan di atas dengan menggunakan variabel: (∑( x saya (\gaya tampilan x_(i)) - μ) 2 (\gaya tampilan ^(2))) / n dan dapatkan rumus untuk menghitung varians populasi.