Perluasan seri fungsional online. Perluasan suatu fungsi menjadi deret Taylor, Maclaurin, Laurent

Bagaimana cara menyisipkan rumus matematika pada website?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaan, ini metode universal akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Jika Anda sering menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs web Anda, yang akan secara otomatis dimuat dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.

Fraktal apa pun dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara berurutan dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.

Jika fungsi f(x) mempunyai turunan semua orde pada interval tertentu yang mengandung titik a, maka rumus Taylor dapat diterapkan padanya:
,
Di mana tidak– yang disebut sisa suku atau sisa deret, dapat diperkirakan dengan menggunakan rumus Lagrange:
, dimana bilangan x berada di antara x dan a.

f(x)=

Di titik x 0 =
Jumlah elemen baris 3 4 5 6 7
Gunakan perluasan fungsi dasar e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Jika untuk beberapa nilai X tidak→0 jam N→∞, maka pada limit rumus Taylor menjadi konvergen untuk nilai ini Seri Taylor:
,
Jadi, fungsi f(x) dapat diperluas menjadi deret Taylor di titik x yang ditinjau jika:
1) memiliki turunan dari semua pesanan;
2) deret yang dibangun konvergen pada titik ini.

Ketika a = 0 kita memperoleh deret yang disebut deret Maclaurin:
,
Perluasan fungsi (dasar) paling sederhana dalam deret Maclaurin:
Fungsi eksponensial
, R=∞
Fungsi trigonometri
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Fungsi actgx tidak meluas dalam pangkat x, karena ctg0=∞
Fungsi hiperbolik


Fungsi logaritma
, -1