Memecahkan persamaan irasional. Cara menyelesaikan persamaan irasional. Contoh

Saat mempelajari aljabar, anak sekolah dihadapkan pada berbagai jenis persamaan. Di antara yang paling sederhana adalah yang linier, berisi satu hal yang tidak diketahui. Jika suatu variabel dalam suatu ekspresi matematika dipangkatkan tertentu, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat, kubik, bikuadrat, dan seterusnya. Ekspresi ini mungkin berisi bilangan rasional. Namun ada juga persamaan yang tidak rasional. Mereka berbeda dari yang lain dengan adanya fungsi di mana yang tidak diketahui berada di bawah tanda radikal (yaitu, secara eksternal, variabel di sini dapat dilihat ditulis di bawah akar kuadrat). Penyelesaian persamaan irasional memiliki ciri khas tersendiri. Saat menghitung nilai suatu variabel untuk mendapatkan jawaban yang benar, mereka harus diperhitungkan.

"Tak terkatakan dengan kata-kata"

Bukan rahasia lagi bahwa matematikawan kuno terutama beroperasi dengan bilangan rasional. Ini termasuk, seperti diketahui, bilangan bulat yang dinyatakan dalam pecahan periodik biasa dan desimal, yang merupakan perwakilan dari komunitas tertentu. Namun, para ilmuwan di Timur Tengah dan Dekat, serta India, yang mengembangkan trigonometri, astronomi, dan aljabar, juga belajar memecahkan persamaan irasional. Misalnya, orang Yunani mengetahui besaran yang serupa, tetapi ketika memasukkannya ke dalam bentuk verbal, mereka menggunakan konsep “alogos”, yang berarti “tidak dapat diungkapkan”. Belakangan, orang-orang Eropa, yang menirunya, menyebut angka-angka tersebut “tuli”. Mereka berbeda dari yang lain karena mereka hanya dapat direpresentasikan sebagai pecahan non-periodik tak terbatas, yang ekspresi numerik akhirnya tidak mungkin diperoleh. Oleh karena itu, lebih sering perwakilan kerajaan bilangan tersebut ditulis dalam bentuk angka dan tanda sebagai semacam ekspresi yang terletak di bawah akar derajat kedua atau lebih tinggi.

Berdasarkan penjelasan di atas, mari kita coba mendefinisikan persamaan irasional. Ekspresi tersebut mengandung apa yang disebut "bilangan yang tidak dapat diungkapkan", yang ditulis menggunakan tanda akar kuadrat. Pilihannya bisa bermacam-macam yang agak rumit, tetapi dalam bentuknya yang paling sederhana, tampilannya seperti pada foto di bawah.

Saat mulai menyelesaikan persamaan irasional, pertama-tama perlu menghitung kisaran nilai variabel yang diizinkan.

Apakah ungkapan tersebut masuk akal?

Kebutuhan untuk memeriksa nilai yang diperoleh mengikuti dari properti Seperti diketahui, ungkapan seperti itu dapat diterima dan memiliki arti hanya dalam kondisi tertentu. Dalam kasus akar-akar yang derajatnya genap, semua ekspresi radikal harus positif atau sama dengan nol. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka notasi matematika yang disajikan tidak dapat dianggap bermakna.

Mari kita berikan contoh spesifik tentang cara menyelesaikan persamaan irasional (gambar di bawah).

Dalam hal ini, jelas bahwa kondisi yang ditentukan tidak dapat dipenuhi untuk nilai apa pun yang diterima oleh nilai yang diinginkan, karena ternyata 11 ≤ x ≤ 4. Artinya hanya Ø yang dapat menjadi solusi.

Metode analisis

Dari penjelasan di atas, menjadi jelas bagaimana menyelesaikan beberapa jenis persamaan irasional. Di sini analisis sederhana bisa menjadi cara yang efektif.

Mari kita berikan sejumlah contoh yang sekali lagi akan menunjukkan hal ini dengan jelas (gambar di bawah).

Dalam kasus pertama, setelah memeriksa ungkapan tersebut dengan cermat, menjadi sangat jelas bahwa ungkapan itu tidak mungkin benar. Memang benar, ruas kiri persamaan harus menghasilkan bilangan positif, yang tidak mungkin sama dengan -1.

Dalam kasus kedua, jumlah dua ekspresi positif dapat dianggap sama dengan nol hanya jika x - 3 = 0 dan x + 3 = 0 pada saat yang bersamaan. Dan ini lagi-lagi mustahil. Artinya jawabannya harus ditulis lagi Ø.

Contoh ketiga sangat mirip dengan contoh yang telah dibahas sebelumnya. Memang, di sini kondisi ODZ mengharuskan terpenuhinya pertidaksamaan absurd berikut: 5 ≤ x ≤ 2. Dan persamaan seperti itu tidak dapat memiliki solusi yang masuk akal.

Zoomnya tidak terbatas

Sifat irasional paling jelas dan lengkap dapat dijelaskan dan diketahui hanya melalui rangkaian angka desimal yang tak ada habisnya. Contoh spesifik dan mencolok dari anggota keluarga ini adalah pi. Bukan tanpa alasan konstanta matematika ini telah dikenal sejak zaman dahulu kala digunakan dalam menghitung keliling dan luas lingkaran. Namun di kalangan orang Eropa, hal ini pertama kali dipraktikkan oleh orang Inggris William Jones dan orang Swiss Leonard Euler.

Konstanta ini muncul sebagai berikut. Jika kita membandingkan lingkaran dengan keliling yang berbeda, maka perbandingan panjang dan diameternya harus sama dengan angka yang sama. Ini pi. Jika kita nyatakan dalam pecahan biasa, kita mendapatkan kira-kira 22/7. Ini pertama kali dilakukan oleh Archimedes yang agung, yang potretnya ditunjukkan pada gambar di atas. Itulah sebabnya nomor tersebut mendapatkan namanya. Tapi ini bukan nilai eksplisit, tapi nilai perkiraan dari angka yang mungkin paling menakjubkan. Seorang ilmuwan brilian menemukan nilai yang diinginkan dengan akurasi 0,02, tetapi, pada kenyataannya, konstanta ini tidak memiliki arti sebenarnya, tetapi dinyatakan sebagai 3.1415926535... Ini adalah rangkaian angka yang tak ada habisnya, mendekati nilai mitos tanpa batas.

mengkuadratkan

Tapi mari kita kembali ke persamaan irasional. Untuk menemukan yang tidak diketahui, dalam hal ini mereka sering menggunakan metode sederhana: mengkuadratkan kedua sisi persamaan yang ada. Cara ini biasanya memberikan hasil yang baik. Tetapi kita harus memperhitungkan bahaya dari jumlah yang tidak rasional. Semua akar yang diperoleh dari hasil ini harus diperiksa, karena mungkin tidak cocok.

Namun mari kita lanjutkan melihat contoh dan mencoba mencari variabel menggunakan metode yang baru diusulkan.

Sama sekali tidak sulit, dengan menggunakan teorema Vieta, untuk menemukan nilai besaran yang diinginkan setelah, sebagai hasil operasi tertentu, kita membentuk persamaan kuadrat. Di sini ternyata di antara akar-akarnya akan ada 2 dan -19. Namun, saat memeriksa, dengan mensubstitusi nilai yang dihasilkan ke dalam ekspresi asli, Anda dapat memastikan bahwa tidak ada akar yang cocok. Ini adalah kejadian umum dalam persamaan irasional. Artinya dilema kita lagi-lagi tidak mempunyai solusi, dan jawabannya harus menunjukkan himpunan kosong.

Contoh yang lebih kompleks

Dalam beberapa kasus, kedua sisi ekspresi perlu dikuadratkan tidak hanya sekali, tetapi beberapa kali. Mari kita lihat contoh di mana hal ini diperlukan. Mereka dapat dilihat di bawah.

Setelah menerima akarnya, jangan lupa untuk memeriksanya, karena mungkin akan muncul akar tambahan. Harus dijelaskan mengapa hal ini mungkin terjadi. Saat menerapkan metode ini, persamaannya agak dirasionalisasi. Namun dengan menghilangkan akar-akar yang tidak kita sukai, yang menghalangi kita melakukan operasi aritmatika, kita tampaknya memperluas jangkauan makna yang ada, yang (seperti yang dapat dipahami) penuh dengan konsekuensi. Mengantisipasi hal tersebut, kami melakukan pengecekan. Dalam hal ini, ada kemungkinan untuk memastikan bahwa hanya satu akar yang cocok: x = 0.

Sistem

Apa yang harus kita lakukan jika kita perlu menyelesaikan sistem persamaan irasional, dan kita tidak memiliki satu, tapi dua hal yang tidak diketahui? Di sini kita bertindak dengan cara yang sama seperti dalam kasus biasa, tetapi dengan mempertimbangkan sifat-sifat ekspresi matematika di atas. Dan dalam setiap tugas baru tentunya harus menggunakan pendekatan kreatif. Namun, sekali lagi, lebih baik mempertimbangkan semuanya menggunakan contoh spesifik yang disajikan di bawah ini. Di sini Anda tidak hanya perlu mencari variabel x dan y, tetapi juga menunjukkan jumlahnya dalam jawabannya. Jadi, ada sistem yang mengandung besaran irasional (lihat foto di bawah).

Seperti yang Anda lihat, tugas seperti itu bukanlah sesuatu yang sangat sulit. Anda hanya perlu pintar dan menebak bahwa ruas kiri persamaan pertama adalah kuadrat dari jumlah tersebut. Tugas serupa ditemukan di Unified State Examination.

Irasional dalam matematika

Setiap saat, kebutuhan untuk menciptakan jenis bilangan baru muncul di kalangan umat manusia ketika umat manusia tidak memiliki cukup “ruang” untuk menyelesaikan beberapa persamaan. Tidak terkecuali bilangan irasional. Sebagaimana dibuktikan oleh fakta-fakta dari sejarah, orang bijak pertama kali memperhatikan hal ini bahkan sebelum zaman kita, pada abad ke-7. Hal ini dilakukan oleh seorang matematikawan asal India yang dikenal dengan nama Manava. Dia memahami dengan jelas bahwa tidak mungkin mengekstraksi akar dari beberapa bilangan asli. Misalnya, ini termasuk 2; 17 atau 61, serta banyak lainnya.

Salah satu orang Pythagoras, seorang pemikir bernama Hippasus, sampai pada kesimpulan yang sama dengan mencoba melakukan perhitungan menggunakan ekspresi numerik dari sisi-sisi pentagram. Dengan menemukan unsur-unsur matematika yang tidak dapat dinyatakan dalam nilai numerik dan tidak memiliki sifat-sifat bilangan biasa, ia membuat marah rekan-rekannya sehingga ia terlempar ke luar kapal ke laut. Faktanya adalah orang Pythagoras lainnya menganggap alasannya sebagai pemberontakan melawan hukum alam semesta.

Tanda Radikal: Evolusi

Tanda akar untuk menyatakan nilai numerik dari bilangan “tuli” tidak segera digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan dan persamaan irasional. Ahli matematika Eropa, khususnya Italia, pertama kali mulai berpikir tentang radikal sekitar abad ke-13. Pada saat yang sama, mereka mendapat ide untuk menggunakan huruf Latin R. Namun matematikawan Jerman bertindak berbeda dalam karya mereka. Mereka lebih menyukai huruf V. Di Jerman, sebutan V(2), V(3) segera menyebar, yang dimaksudkan untuk menyatakan akar kuadrat dari 2, 3, dan seterusnya. Belakangan, Belanda turun tangan dan memodifikasi tanda radikal tersebut. Dan Rene Descartes menyelesaikan evolusinya, membawa tanda akar kuadrat ke kesempurnaan modern.

Menyingkirkan hal-hal yang tidak rasional

Persamaan dan pertidaksamaan irasional dapat mencakup variabel tidak hanya di bawah tanda akar kuadrat. Itu bisa dalam tingkat apa pun. Cara paling umum untuk menghilangkannya adalah dengan menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat yang sesuai. Ini adalah tindakan utama yang membantu dalam operasi yang tidak rasional. Tindakan dalam kasus genap tidak jauh berbeda dengan tindakan yang telah kita bahas sebelumnya. Di sini kondisi non-negatif dari ekspresi radikal harus diperhitungkan, dan pada akhir penyelesaian perlu untuk menyaring nilai-nilai asing dari variabel dengan cara yang sama seperti yang ditunjukkan dalam contoh yang telah dipertimbangkan. .

Di antara transformasi tambahan yang membantu menemukan jawaban yang benar, perkalian ekspresi dengan konjugasinya sering digunakan, dan sering kali juga perlu memasukkan variabel baru, yang membuat penyelesaiannya lebih mudah. Dalam beberapa kasus, disarankan untuk menggunakan grafik untuk mencari nilai yang tidak diketahui.

Ringkasan pelajaran

"Metode untuk menyelesaikan persamaan irasional"

Profil fisika dan matematika kelas 11.

Distrik kota Zelenodolsk di Republik Tatarstan"

Valieva S.Z.

Topik pelajaran: Metode penyelesaian persamaan irasional

Tujuan pelajaran: 1.Pelajari berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan irasional.

1. 
   Mengembangkan kemampuan menggeneralisasi dan memilih metode yang tepat untuk menyelesaikan persamaan irasional.
2. 
   Mengembangkan kemandirian, meningkatkan literasi bicara

Jenis pelajaran: seminar.
Rencana belajar:

1. 
   Waktu pengorganisasian
2. 
   Mempelajari materi baru
3. 
   Konsolidasi
4. 
   Pekerjaan rumah
5. 
   Ringkasan pelajaran

Selama kelas
SAYA. Waktu penyelenggaraan: pesan topik pelajaran, tujuan pelajaran.

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah membahas penyelesaian persamaan irasional yang mengandung akar kuadrat dengan mengkuadratkannya. Dalam hal ini, kita memperoleh persamaan akibat wajar, yang terkadang mengarah pada munculnya akar-akar asing. Dan kemudian bagian wajib dalam menyelesaikan persamaan tersebut adalah memeriksa akar-akarnya. Kami juga melihat penyelesaian persamaan menggunakan definisi akar kuadrat. Dalam hal ini, pemeriksaan tidak dapat dilakukan. Namun, saat memecahkan persamaan, Anda tidak harus selalu langsung mulai menerapkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan secara “secara membabi buta”. Dalam tugas-tugas UN Unified State terdapat persamaan yang cukup banyak, dalam penyelesaiannya perlu dipilih metode penyelesaian yang memungkinkan penyelesaian persamaan tersebut lebih mudah dan cepat. Oleh karena itu, perlu diketahui metode lain untuk menyelesaikan persamaan irasional yang akan kita bahas hari ini. Sebelumnya, kelas dibagi menjadi 8 kelompok kreatif, dan mereka diberikan contoh spesifik untuk mengungkap esensi metode tertentu. Kami memberi mereka kesempatan.

Dari setiap kelompok, 1 siswa menjelaskan kepada anak cara menyelesaikan persamaan irasional. Seluruh kelas mendengarkan dan mencatat cerita mereka.

1 cara. Pengenalan variabel baru.

Selesaikan persamaan: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Jawaban: -3; 5.

Metode 2. penelitian DL.

Selesaikan persamaannya

ODZ:


x = 2. Dengan memeriksa kita yakin bahwa x = 2 adalah akar persamaan.

3 cara. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan faktor konjugasinya.

+
(kalikan kedua ruas dengan -
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)

2=4, maka x=1. Dengan memeriksa kita yakin bahwa x = 1 adalah akar persamaan ini.

Selesaikan persamaannya

Misalkan = kamu,
=v.

Kami mendapatkan sistem:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi. Kita peroleh u = 2, v = 2. Artinya

kita mendapatkan x = 1.

Jawaban: x = 1.

5 cara. Memilih persegi lengkap.

Selesaikan persamaannya

Mari kita perluas modulnya. Karena -1≤сos0.5x≤1, lalu -4≤сos0.5x-3≤-2 yang artinya . Juga,

Lalu kita mendapatkan persamaannya

x = 4πn, nZ.

Jawaban: 4πn, nZ.

6 cara. Metode evaluasi

Selesaikan persamaannya

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, menurut definisi, ruas kanannya adalah -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

kita mendapatkan
itu. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Menyelesaikan persamaan dengan memfaktorkan, kita mendapatkan x = 2, x = -2

Metode 7: Menggunakan sifat monotonisitas fungsi.

Selesaikan persamaannya. Fungsinya semakin meningkat. Jumlah fungsi yang bertambah semakin bertambah dan persamaan ini mempunyai paling banyak satu akar. Dengan seleksi kita menemukan x = 1.

8 cara. Menggunakan vektor.

Selesaikan persamaannya. ODZ: -1≤х≤3.

Biarkan vektor
. Hasil kali skalar vektor adalah ruas kiri. Mari kita cari hasil kali panjangnya. Ini adalah sisi kanan. Telah mendapatkan
, yaitu. vektor a dan b adalah segaris. Dari sini
. Mari kita persegikan kedua sisinya. Menyelesaikan persamaan tersebut, kita mendapatkan x = 1 dan x =
.

1. 
   Konsolidasi.(setiap siswa diberikan lembar kerja)

Temukan ide untuk menyelesaikan persamaan (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3.x 2 – 3x +
(penggantian)

4. (memilih kotak yang lengkap)

5.
(Mengurangi persamaan menjadi suatu sistem dengan memasukkan variabel.)

6.
(mengalikan dengan ekspresi konjugasi)

7.
Karena
. Maka persamaan ini tidak mempunyai akar.

8. Karena Setiap suku non-negatif, kita samakan dengan nol dan selesaikan sistemnya.

9. 3

10. Temukan akar persamaan (atau hasil kali akar-akarnya, jika ada beberapa) persamaan tersebut.

Karya mandiri tertulis dilanjutkan dengan pengujian

selesaikan persamaan bernomor 11,13,17,19

12. (x + 6) 2 -

14.

1. 
   Manakah dari metode berikut yang digunakan untuk menyelesaikan jenis persamaan lainnya?
2. 
   Manakah dari metode berikut yang paling Anda sukai dan mengapa?

1. 
   Pekerjaan Rumah: Selesaikan persamaan yang tersisa.

1. 
   Aljabar dan permulaan analisis matematika: buku teks. untuk kelas 11 pendidikan umum institusi / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

1. 
   Materi didaktik aljabar dan permulaan analisis untuk kelas 11 / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Pendidikan, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Aljabar dan awal analisis. Kelas 10 – 11: Buku soal untuk pendidikan umum. institusi. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Latihan mandiri dan tes aljabar dan permulaan analisis untuk kelas 10 – 11. – M.: Ilexa, 2004
4. 
   Ujian Negara Bersatu KIM 2002 - 2010

Sebagaimana telah diketahui (Bab II, § 2), persamaannya

disebut irasional jika terdapat fungsi irasional dari yang tidak diketahui.

Saat menyelesaikan persamaan irasional dan sistem yang menyertakan persamaan irasional dalam bidang bilangan real, sistem nilai real tersebut dan hanya sistem nilai real yang nilai ekspresi radikal semua akar derajat genapnya non-negatif dianggap dapat diterima. sistem nilai yang tidak diketahui; yang kami maksud dengan nilai-nilai akar-akar yang berderajat genap adalah nilai-nilai aritmatikanya, dan yang kami maksud dengan nilai-nilai akar-akar yang berderajat ganjil adalah nilai-nilai riil dari akar-akar tersebut. Mari kita pertimbangkan metode aljabar untuk menyelesaikan persamaan irasional.

1. Membebaskan persamaan irasional dari persamaan radikal dengan menaikkan kedua bagiannya ke pangkat yang sama. Saat menyelesaikan persamaan irasional dengan cara ini, sebagai suatu peraturan, satu radikal diisolasi secara berurutan (yaitu, radikal yang dipilih dibiarkan di satu bagian, dan semua suku persamaan lainnya dipindahkan ke bagian lain) dan kemudian kedua bagian persamaan tersebut. dipangkatkan, eksponennya sama dengan indikator radikal terisolasi. Radikal yang paling kompleks biasanya diisolasi setiap saat. Hal ini terus dilakukan hingga mereka benar-benar terbebas dari radikal. Hasilnya adalah persamaan aljabar yang merupakan konsekuensi dari persamaan irasional yang diberikan. Kemudian persamaan aljabar yang dihasilkan diselesaikan.

Dalam beberapa kasus (lihat contoh 4 di bawah), untuk menghilangkan radikal dengan cepat, disarankan untuk memisahkan bukan hanya satu, tetapi dua radikal sekaligus.

Saat menyelesaikan persamaan irasional dengan cara ini, domain definisi persamaan dapat diperluas, karena untuk beberapa sistem yang nilainya tidak diketahui

Beberapa radikal yang termasuk dalam persamaan tertentu mungkin tidak masuk akal dalam bidang bilangan real, namun sistem nilai yang tidak diketahui ini mungkin valid untuk persamaan aljabar yang dihasilkan. Memperluas domain definisi suatu persamaan, seperti diketahui, dapat menyebabkan munculnya solusi asing yang tidak termasuk dalam domain definisi persamaan tertentu (lihat contoh 2 di bawah).

Selain itu, menaikkan kedua ruas persamaan ke pangkat genap juga dapat menyebabkan munculnya solusi asing yang termasuk dalam domain definisi persamaan yang diberikan. Munculnya solusi asing ini tidak akan disebabkan oleh perluasan domain definisi persamaan ini, tetapi karena alasan yang berbeda sifatnya (lihat contoh 3 di bawah).

Oleh karena itu, setelah menemukan solusi persamaan aljabar yang diperoleh dari persamaan irasional tertentu, dengan mensubstitusi masing-masing persamaan tersebut ke dalam persamaan yang diberikan, perlu untuk memeriksa mana yang memenuhi dan mana yang asing.

Contoh. 1. Selesaikan persamaannya

Larutan. Mari kita pilih radikalnya, yaitu biarkan di ruas kiri persamaan, dan pindahkan radikalnya ke ruas kanan. Kita akan mendapatkan: atau setelah penyederhanaan: Mengurangi dengan 2 dan sekali lagi memisahkan radikalnya, kita akan mendapatkan:

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, diperoleh:

Solusi untuk persamaan ini adalah Substitusi ke dalam persamaan yang diberikan, kami memastikan bahwa setiap solusi memenuhi persamaan tersebut.

2. Selesaikan persamaannya

Larutan. Memindahkan V ke ruas kanan persamaan kita mempunyai:

Kami mengkuadratkan kedua sisi persamaan ini:

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh: atau setelah penyederhanaan:

Oleh karena itu solusi persamaan ini adalah:

Solusi kedua memenuhi persamaan yang diberikan, dan solusi pertama asing bagi persamaan tersebut.

Munculnya solusi asing disebabkan oleh perluasan domain definisi persamaan. Memang angka 0 tidak termasuk dalam domain definisi persamaan yang diberikan, tetapi termasuk dalam domain definisi persamaan tersebut. Suatu nilai tidak dapat menjadi solusi persamaan tertentu karena nilai tersebut tidak termasuk dalam domainnya.

3. Selesaikan persamaannya

Larutan. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, diperoleh:

Solusi persamaan ini adalah: Solusi pertama memenuhi persamaan yang diberikan, dan solusi kedua asing bagi persamaan tersebut.

Munculnya solusi asing bukan disebabkan oleh perluasan domain definisi persamaan tertentu, tetapi oleh kenyataan bahwa persamaan tersebut tidak ekuivalen dengan persamaan aslinya, tetapi hanya

dapat dikurangkan darinya. Ini bukan hanya merupakan konsekuensi dari persamaan yang diberikan, tetapi juga dari persamaan tersebut

Solusinya memenuhi persamaan. Solusi terhadap persamaan ini tidak relevan.

4. Selesaikan persamaannya

Larutan. Mari kita pindahkan kelompok radikal menjadi satu bagian

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, diperoleh:

atau setelah penyederhanaan:

Pengujian menunjukkan bahwa itu memenuhi persamaan yang diberikan.

2. Reduksi persamaan irasional menjadi sistem rasional campuran dengan memasukkan persamaan-persamaan baru yang tidak diketahui.

Satu set satu atau lebih persamaan bentuk

dan satu atau lebih ketidaksetaraan bentuk

disebut sistem campuran jika persyaratannya adalah untuk menetapkan sistem nilai yang tidak diketahui mana yang secara bersamaan memenuhi semua persamaan dan pertidaksamaan ini. Sistem nilai yang tidak diketahui yang memenuhi semua persamaan dan pertidaksamaan sistem campuran disebut solusi sistem campuran. Menyelesaikan sistem campuran berarti menentukan apakah sistem tersebut mempunyai solusi atau tidak, dan jika memiliki solusi, maka temukan semuanya.

Dalil. Persamaan irasional apa pun

(klik untuk melihat pemindaian)

Karena dalam persamaan (1) untuk setiap sistem nilai yang tidak diketahui yang dapat diterima, akar derajat genap menunjukkan nilai aritmatika dari akar, dan derajat ganjil merupakan satu-satunya nilai nyata dari akar, maka bilangan tambahan yang tidak diketahui hanya dapat mengambil nilai nyata dan, sebagai tambahan,

Mari kita tambahkan pertidaksamaan pada sistem (2). Kami memperoleh sistem rasional campuran

(lihat pemindaian)

Sekarang mari kita buktikan bahwa penyelesaian persamaan irasional (1) direduksi menjadi penyelesaian sistem rasional campuran (3).

Memang benar, jika ada solusi untuk persamaan (1), maka

ada solusi untuk sistem campuran (3).

Sebaliknya, jika sistem bilangan real merupakan solusi sistem campuran (3), maka

Apalagi karena itulah nilai aritmatika dari akar pangkat

Demikian pula, bilangan real adalah satu-satunya nilai riil dari akar pangkat yaitu.

Dari relasi (4), (5) dan (6) berikut ini

dan, oleh karena itu, sistem bilangan adalah solusi persamaan (1).

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa untuk menyelesaikan persamaan (1) cukup mencari semua solusi sistem campuran (3). Sistem yang nilainya tidak diketahui yang termasuk dalam solusi yang ditemukan dari sistem (3) akan menjadi solusi persamaan (1), dan sistem tersebut akan menghabiskan semua solusi persamaan (1). Jika ternyata sistem campuran (3) tidak konsisten, maka persamaan (1) tidak mempunyai penyelesaian. Dalam kasus yang dipertimbangkan, persamaan irasional meliputi

hanya radikal sederhana yang dimasukkan. Jika ruas kiri persamaan irasional mengandung radikal, yang ekspresi radikalnya juga mengandung radikal, tetapi operasi mengekstraksi akar dilakukan beberapa kali, maka dengan memasukkan bilangan bantu yang tidak diketahui secara berturut-turut, penyelesaian persamaan tersebut adalah juga direduksi menjadi solusi sistem rasional campuran.

Contoh. 1. Selesaikan persamaan:

Larutan. Berasumsi bahwa

menyusun sistem rasional campuran

Mengganti ke persamaan kedua kita memperoleh sistem yang setara dengan sistem (7):

Dari persamaan kedua sistem (8) kita kurangi persamaan ketiga menjadi beberapa bagian, yang menghasilkan persamaan dengan koefisien bilangan bulat:

Verifikasi langsung menunjukkan bahwa pembagi 2 suku bebas memenuhi persamaan tersebut, yaitu persamaan (9) mempunyai penyelesaian, sehingga persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut:

dan maka dari itu

Solusi persamaan (10) adalah dan Oleh karena itu, persamaan (9) dalam bidang bilangan real hanya mempunyai satu solusi. Solusi ini memenuhi pertidaksamaan

Mengganti nilai ke dalam persamaan kita menemukan nilai yaitu:

Jadi, sistem rasional campuran (7) mempunyai solusi unik, sehingga persamaan irasional yang diberikan juga mempunyai solusi unik dalam bidang bilangan real.

2. Selesaikan persamaannya

Larutan. Menempatkan

mari kita ciptakan sistem rasional campuran

Menyelesaikan persamaan pertama secara relatif dan mensubstitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan ketiga, kita memperoleh sistem campuran yang setara dengan sistem (11):

Substitusikan nilai persamaan kedua dan keempat ke dalam persamaan ketiga (12), kita peroleh sistem yang ekuivalen dengan sistem (12):

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ketiga sistem (13), kita memperoleh sistem yang merupakan konsekuensi dari sistem (13):

Dari tiga persamaan terakhir sistem ini kita peroleh: atau setelah penyederhanaan:

Jelas sekali, apa yang bisa menjadi solusi untuk persamaan tertentu, karena tidak ada sistem nilai yang dapat memenuhi persamaan ketiga dari sistem yang memenuhi persamaan yang diberikan. Akibatnya, persamaan irasional yang diberikan memiliki solusi unik dalam bidang bilangan real

Kadang-kadang, ketika menyelesaikan persamaan irasional, disarankan untuk menggabungkan metode memasukkan hal-hal baru yang tidak diketahui dengan metode menaikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat.

Contoh. Selesaikan persamaannya

Larutan. Dengan asumsi bahwa kita memiliki:

Kita ganti persamaan (15) dengan sistem campuran

Memisahkan radikal pada persamaan kedua sistem (16) dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita memperoleh: atau setelah penyederhanaan:

Oleh karena itu, kedua solusi ini memenuhi persamaan dan pertidaksamaan.Dengan mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan pertama sistem (16), kita memperoleh dua persamaan berikut:

Oleh karena itu, sistem campuran (16) memiliki empat solusi:

dan oleh karena itu persamaan (15) juga mempunyai empat penyelesaian, yaitu:

Teknik buatan. Dalam praktik penyelesaian persamaan irasional, apa yang disebut teknik buatan kadang-kadang berhasil digunakan. Mari kita lihat beberapa di antaranya dengan contoh.

a) Selesaikan persamaannya

Larutan. Kalikan kedua ruas persamaan dengan faktor konjugasi ruas kirinya. Akan memiliki:

atau setelah transformasi:

Menambahkan persamaan (17) dan (18) per bagian, kita memperoleh:

Kedua solusi memenuhi persamaan yang diberikan, yang dapat dengan mudah diverifikasi dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan,

b) Selesaikan persamaannya

Larutan. Mari kita ambil identitasnya

dan tulis seperti ini:

Kesetaraan (20) terpenuhi untuk nilai apa pun, khususnya untuk nilai yang memenuhi persamaan (19). Oleh karena itu, jika kita mengganti faktor keduanya di ruas kiri identitas (20), yaitu ruas kiri persamaan (19), dengan persamaan tersebut, kita memperoleh persamaan

yang akan dipenuhi oleh semua solusi persamaan (19).

Persamaan (21) dengan demikian merupakan konsekuensi dari persamaan (19), dan oleh karena itu, solusi persamaan (19) harus dicari di antara solusi persamaan (21). Kita tuliskan Persamaan (21) sebagai berikut:

Hal ini menunjukkan bahwa persamaan (21) terbagi menjadi dua persamaan:

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa solusi persamaan (19) harus dicari di antara solusi persamaan (22) dan solusi persamaan (23). Solusi persamaan (22) adalah Solusi ini juga memenuhi persamaan yang diberikan (19). Untuk mencari solusi lain persamaan (19), kita tambahkan bagian persamaan (19) dan (23). Kami mendapatkan persamaannya

yang akan dipenuhi oleh semua solusi persamaan (19), selain solusinya

Persamaan yang suatu variabel berada di bawah tanda akar disebut irasional.

Metode penyelesaian persamaan irasional biasanya didasarkan pada kemungkinan mengganti (dengan bantuan beberapa transformasi) persamaan irasional dengan persamaan rasional yang setara dengan persamaan irasional asli atau merupakan konsekuensinya. Seringkali, kedua ruas persamaan dipangkatkan sama. Ini menghasilkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya.

Saat menyelesaikan persamaan irasional, hal-hal berikut harus diperhatikan:

1) jika eksponen radikalnya bilangan genap, maka ekspresi radikalnya harus non-negatif; dalam hal ini, nilai akar juga non-negatif (definisi akar dengan eksponen genap);

2) jika eksponen akarnya adalah bilangan ganjil, maka ekspresi akarnya dapat berupa bilangan real apa pun; dalam hal ini, tanda akar bertepatan dengan tanda ekspresi radikal.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan.
x 2 - 3 = 1;
Mari kita pindahkan -3 dari ruas kiri persamaan ke kanan dan lakukan pengurangan suku-suku serupa.
x 2 = 4;
Persamaan kuadrat tidak lengkap yang dihasilkan memiliki dua akar -2 dan 2.

Mari kita periksa akar-akar yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai-nilai variabel x ke dalam persamaan aslinya.
Penyelidikan.
Ketika x 1 = -2 - benar:
Ketika x 2 = -2- benar.
Oleh karena itu persamaan irasional asli memiliki dua akar -2 dan 2.

Contoh 2. Selesaikan persamaannya .

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama seperti pada contoh pertama, namun kita akan melakukannya secara berbeda.

Mari kita cari ODZ dari persamaan ini. Dari definisi akar kuadrat dapat disimpulkan bahwa dalam persamaan ini dua kondisi harus dipenuhi secara bersamaan:

ODZ level ini: x.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 3. Selesaikan persamaannya =+ 2.

Menemukan ODZ dalam persamaan ini adalah tugas yang agak sulit. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 =0.
Setelah memeriksa, kami menetapkan bahwa x 2 =0 adalah akar tambahan.
Jawaban: x 1 =1.

Contoh 4. Selesaikan persamaan x =.

Dalam contoh ini, ODZ mudah ditemukan. ODZ persamaan ini: x[-1;).

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan ini, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan x 2 = x + 1. Akar persamaan ini adalah:

Sulit untuk memverifikasi akar yang ditemukan. Namun, meskipun kedua akar tersebut termasuk dalam ODZ, tidak mungkin untuk menyatakan bahwa kedua akar tersebut adalah akar dari persamaan aslinya. Hal ini akan mengakibatkan kesalahan. Dalam hal ini, persamaan irasional setara dengan kombinasi dua pertidaksamaan dan satu persamaan:

x+10 Dan x0 Dan x 2 = x + 1, yang berarti bahwa akar negatif persamaan irasional adalah asing dan harus dibuang.

Contoh 5. Selesaikan persamaan += 7.

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan dan melakukan pengurangan suku-suku yang sejenis, pindahkan suku-suku tersebut dari satu ruas persamaan ke ruas lainnya dan kalikan kedua ruas tersebut dengan 0,5. Hasilnya, kita mendapatkan persamaannya
= 12, (*) yang merupakan konsekuensi dari asal. Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi. Kita memperoleh persamaan (x + 5)(20 - x) = 144, yang merupakan konsekuensi dari persamaan awal. Persamaan yang dihasilkan direduksi menjadi bentuk x 2 - 15x + 44 =0.

Persamaan ini (juga merupakan konsekuensi dari persamaan awal) memiliki akar-akar x 1 = 4, x 2 = 11. Kedua akar tersebut, seperti yang ditunjukkan oleh verifikasi, memenuhi persamaan aslinya.

Reputasi. x 1 = 4, x 2 = 11.

Komentar. Saat mengkuadratkan persamaan, siswa sering kali mengalikan ekspresi radikal dalam persamaan seperti (*), yaitu, alih-alih persamaan = 12, mereka menulis persamaannya = 12. Hal ini tidak menimbulkan kesalahan, karena persamaan merupakan konsekuensi dari persamaan. Namun perlu diingat bahwa dalam kasus umum, perkalian ekspresi radikal menghasilkan persamaan yang tidak setara.

Dalam contoh yang dibahas di atas, pertama-tama kita dapat memindahkan salah satu radikal ke ruas kanan persamaan. Maka akan ada satu akar kiri di ruas kiri persamaan, dan setelah mengkuadratkan kedua ruas persamaan, akan diperoleh fungsi rasional di ruas kiri persamaan. Teknik ini (isolasi radikal) cukup sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan irasional.

Contoh 6. Selesaikan persamaan-= 3.

Mengisolasi radikal pertama, kita memperoleh persamaan
=+ 3, setara dengan aslinya.

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, kita memperoleh persamaannya

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, setara dengan persamaan

4x - 5 = 3(*). Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan aslinya. Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita sampai pada persamaan tersebut
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3), atau

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Persamaan ini merupakan konsekuensi dari persamaan (*) (dan karenanya merupakan persamaan awal) dan mempunyai akar-akar. Akar pertama x 1 = 2 memenuhi persamaan awal, tetapi akar kedua x 2 = tidak.

Jawaban: x = 2.

Perhatikan bahwa jika kita segera, tanpa mengisolasi salah satu radikal, mengkuadratkan kedua ruas persamaan awal, kita harus melakukan transformasi yang agak rumit.

Saat menyelesaikan persamaan irasional, selain isolasi radikal, metode lain digunakan. Mari kita perhatikan contoh penggunaan metode penggantian yang tidak diketahui (metode memasukkan variabel bantu).