Примеры решения одновременно бросают две игральные кости. Вероятность игральной кости

Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

Одна игральная кость, вероятность.

Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. определяется по формуле: P=m/n, где m - это число благоприятствующих событию исходов, а n - число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

Две игральные кости, вероятность.

При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали - число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность - значит записывается разность и так далее.

Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика - 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у - сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию " выпадет в сумме менее 5 очков". Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

Ответ оставил Гость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле P=m/n
P
=
m
n
, где n
n
- число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а m
m
- число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче n=6
n
=
6
. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней m=3
m
=
3
. Тогда искомая вероятность равна P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика n=6
n
=
6
, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, m=2
m
=
2
. Нужная вероятность равна P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

таблица очков при бросании 2 игральных костей
А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида (x,y)
x
,
y
, где x
x
- сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), y
y
- сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет n=6⋅6=36
n
=
6
⋅
6
=
36
(и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

таблица суммы очков при бросании 2 игральных костей
Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет m=6
m
=
6
:

таблица суммы очков менее 5 при бросании 2 игральных костей
Тогда вероятность равна: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

таблица произведения очков при бросании 2 игральных костей
Остается только записать, что общее число исходов n=36
n
=
36
(см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) m=20
m
=
20
. Тогда вероятность события будет равной P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

таблица разности очков при бросании 2 игральных костей
Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов n=36
n
=
36
, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) m=10
m
=
10
. Тогда вероятность события будет равной P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Задачи 1.4 - 1.6

Условие задачи 1.4

Указать ошибку "решения" задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А). "Решение". Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков равна 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один исход, общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность равна P(A) = 1/2.

Решение задачи 1.4

Ошибка этого "решения" состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными. Правильное решение: общее число равновозможных исходов равно (каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию только два исхода: (1; 2) и (2; 1). Значит, искомая вероятность

Ответ:

Условие задачи 1.5

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение - четырем.

Решение задачи 1.5

а) Шесть вариантов на первой кости, шесть - на второй. Всего вариантов: (по правилу произведения). Варианты для суммы, равной 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) - всего шесть вариантов. Значит,

б) Всего два подходящих варианта: (6,2) и (2,6). Значит,

в) Всего два подходящих варианта: (2,6), (6,2). Но всего возможных вариантов 4: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Значит, .

г) Для суммы, равной 5, подходят варианты: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2). Произведение равно 4 только для двух вариантов. Тогда

Ответ: а) 1/6; б) 1/18; в) 1/2; г) 1/18

Условие задачи 1.6

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на удачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а)одну; б)две; в)три.

Решение задачи 1.6

Всего образовалось 1000 кубиков. Кубиков с тремя окрашенными гранями: 8 (это угловые кубики). С двумя окрашенными гранями: 96 (так как 12 ребер куба с 8 кубиками на каждом ребре). Кубиков с окрашенной гранью: 384 (так как 6 граней и на каждой грани 64 кубика). Осталось разделить каждое найденное количество на 1000.

Ответ: а) 0,384; б) 0,096 в) 0,008