Проверочные расчёты при срезе и смятии. Проверочные расчёты при срезе и смятии Подставляя числовые значения, получим

Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) рабо­тают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор - поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.

Сдвиг (срез)

Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила рис. 23.1).

При сдвиге выполняется закон Гука, который в данном случав записывается следующим образом:

где - напряжение;

G - модуль упругости сдвига;

Угол сдвига.

При отсутствии специальных испытаний G можно рассчитать по формуле,

гдеЕ - модуль упругости при растяжении, [G ] = МПа.

Расчет деталей на сдвиг носит условный характер. Для упрощения расчетов принимается ряд допущений:

При расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;

При расчете считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно;

Если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределяется между ними равномерно.

Условие прочности при сдвиге (срезе)

где - допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле

При разрушении деталь перерезается поперек. Разрушение детали под действием поперечной силы называют срезом.

Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, .

Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг, однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки. Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр.

Условие прочности при смятии

гдеА см - расчетная площадь смятия

d - диаметр окружности сечения;

Наименьшая высота соединяемых пластин;

F - сила взаимодействия между деталями

Допускаемое напряжение смятия

= (0,35 + 0,4)

Тема 2.5. Кручение

Кручение – вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент М кр.

Крутящий момент М кр в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов, действующих на отсеченную часть бруса.

Крутящий момент считается положительным, если кручение происходит против часовой стрелки и отрицательны – по часовой стрелке.

При расчете валов на прочность при кручении используется условие прочности:

,

где - полярный момент сопротивления сечения, мм 3 ;

– допускаемое касательное напряжение.

Крутящий момент определяется по формуле:

где Р – мощность на валу, Вт;

ω – угловая скорость вращения вала, рад/с.

Полярный момент сопротивления сечения определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

.

При кручении бруса его ось испытывает скручивание на некоторый угол φ, который называется углом закручивания . Его величина определяется по формуле:

где l – длина бруса;

G – модуль сдвига, МПа (для стали G=0,8·10 5 МПа);

Полярный момент инерции сечения, мм 4 .

Полярный момент инерции сечения определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

.

Тема 2.6. Изгиб

Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.

Изгибом называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки.

В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.

Прямой изгиб – внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.

Главная плоскость сечения – плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.

Косой изгиб - внешние силы, действующие на балку, не лежат в главной плоскости сечения.

В зависимости от характера ВСФ, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть чистым и поперечным .

Изгиб называется поперечным , если в поперечном сечении балки возникают два ВСФ – изгибающий момент М х и поперечная сила Q y .

Изгиб называется чистым , если в поперечном сечении балки возникает один ВСФ – изгибающий момент М х.

Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:

Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:

При определении знаков поперечных сил используют правило «Часовой стрелки» : поперечная сила считается положительной, если «вращение» внешних сил происходит по часовой стрелке; отрицательной – против часовой стрелки.

При определении знаков изгибающих моментов используют правило «Сжатых волокон» (правило «ЧАШИ»): изгибающий момент считается положительным, если сжимаются верхние волокна балки («вода не выливается»); отрицательным, если сжимаются нижние волокна балки («вода выливается»).

Условие прочности при изгибе: рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.

где W х – осевой момент сопротивления (величина, характеризующая способность элементов конструкции сопротивляться деформации изгиба), мм 3 .

Осевой момент сопротивления определяется по формулам:

Для круга

Для кольца

;

Для прямоугольника

При прямом поперечном изгибе изгибающий момент обуславливает возникновение нормального напряжения, а поперечная сила – касательного напряжения, которое определяется по формуле:

где А – площадь поперечного сечения, мм 2 .

Основные понятия. Расчетные формулы.

Лекция 4. Срез и смятие.

Детали, служащие для соединения отдельных элементов машин и строительных конструкций – заклепки, штифты, болты, шпонки – воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси.

Справедливы следующие допущения.

1. В поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила Q .

2. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по его площади равномерно.

3. В случае если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями, принимается, что все они нагружены одинаково.

Условие прочности при срезе (проверочный расчёт):

где Q – поперечная сила

F ср – площадь среза одного болта или заклепки, D – диаметр болта или заклёпки.

[τ ср ] – допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкции. Принимают [τ ср ] = (0,25…0,35)·σ т, где σ т – предел текучести.

Также справедливо: , т.к. , где n – коэффициент запаса прочности (для стали равный 1,5).

Если толщина соединяемых деталей недостаточна или материал соединяемых деталей более мягкий, чем у болта, штифта и т.д., то стенки отверстий обминаются, и соединение становится ненадежным, происходит смятие. При смятии действуют только нормальные напряжения – σ. Площадь смятия фактическая – это полуцилиндр, расчётная – это проекция полуцилиндра на диаметральную плоскость. F см , где d – диаметр болта или заклёпки, - минимальная толщина листа (если соединяемые листы разной толщины).

Проверочный расчёт на срез соединительных деталей:

Ниже указанная формула аналогична формуле (52)

,

Q – перерезывающая сила, равная по величине внешней

Где z – количество заклёпок (болтов)

i – количество срезов (равно количеству соединяемых листов минус один)

[τ ] = допускаемое касательное напряжение при срезе. Зависит от марки материала заклёпки и от условий работы конструкции.

Проверочный расчёт на смятие соединяемых деталей:

, (53)

Где d – диаметр заклёпки (болта)

Минимальная толщина листа

z – количество заклёпок (болтов)

Допускаемое нормальное напряжение при смятии соединяемых деталей.

Проверочный расчёт при разрыве соединяемых деталей:

, (54)

Где (в - z d ) – ширина листа без заклёпок

Минимальная толщина листа

Допускаемое нормальное напряжение при разрыве соединяемой детали.

Расчет выполняется для участка, где максимальное количество соединительных деталей (заклёпок, штифтов, болтов и т.д.).

Проектный расчёт (определение количества заклёпок).

, (55)

(56)

Выбираем максимальное количество заклёпок.

Определение максимально допускаемой нагрузки.

, (57)

, (58)

Из двух значений выбираем наименьшую нагрузку.

Растягивающее усилие Р =150Кн .,

допускаемое напряжение среза

допускаемое напряжение при смятии

допускаемое напряжение при растяжении ,

общее количество заклёпок z =5 шт. (в одном ряду 3, в другом 2),

диаметр заклёпки .

Допускаемые напряжения – 80…120 МПа.

Овализация пальца

Овализация пальца происходит, когда от действия вертикальных сил (рис. 7.1, в ) возникает деформация с увеличением диаметра в поперечном сечении. Максимальные приращения диаметра пальца в средней части:

, (7.4)

где – коэффициент, полученный из эксперимента,

К =1,5…15( -0,4) 3 ;

– модуль упругости стали пальца, МПа.

Обычно = 0,02…0,05 мм – эта деформация не должна превышать половины диаметрального зазора между пальцем и бобышками или отверстием шатунной головки шатуна.

Напряжения, которые возникают при овализации (см. рис. 7.1) в точках 1 и 3 внешнего и 2 и 4 внутреннего волокон, можно определить по формулам:

Для наружной поверхности пальца

. (7.5)

Для внутренней поверхности пальца

, (7.6)

где h – толщина стенки пальца, r = (d н +d в)/4; f 1 и f 2 – безразмерные функции, зависящие от углового положения расчетного сечения j , рад.

f 1 =0,5cosj +0,3185sinj -0,3185j cosj ;

f 2 =f 1 - 0,406.

Наиболее нагружена точка 4 . Допустимые значения
s св = 110...140 МПа. Обычно монтажные зазоры между плавающим пальцем и втулкой шатуна 0,01...0,03 мм, а в бобышках чугунного поршня 0,02...0,04 мм. При плавающем пальце зазор между пальцем и бобышкой для прогретого двигателя должен быть не более

D = D¢+(a пп Dt пп - a б Dt б)d пн, (7.7)

где a пп и a б – коэффициенты линейного расширения материала пальца и бобышки, 1/К;

Dt пп и Dt б – повышение температуры пальца и бобышки.

Поршневые кольца

Компрессионные кольца (рис. 7.2) являются основным элементом уплотнения внутрицилиндрового пространства. Устанавливаются с достаточно большим радиальным и осевым зазором. Хорошо уплотняя надпоршневое газовое пространство, они, обладая насосным эффектом, не ограничивают поступление масла в цилиндр. Для этого служат маслосъемные кольца (рис. 7.3).

В основном применяют:

1. Кольца с прямоугольным сечением. Просты в изготовлении, имеют большую площадь контакта со стенкой цилиндра, что обеспечивает хороший теплоотвод от головки поршня, но они плохо прирабатываются к зеркалу цилиндра.

2. Кольца с конической рабочей поверхностью хорошо прирабатываются, после чего приобретают качества колец с прямоугольным сечением. Однако производство таких колец сложно.

3. Скручивающиеся кольца (торсионные). В рабочем положении такое кольцо скручивается и его рабочая поверхность контактирует с зеркалом узкой кромкой, как у конических, что обеспечивает приработку.

4. Маслосъемные кольца обеспечивают на всех режимах сохранение масляной пленки между кольцом и цилиндром толщиной 0,008...0,012 мм. Для предохранения от всплытия на масляной пленке оно должно обеспечивать большое радиальное давление (рис. 7.3).

Различают:

а) Чугунные кольца с витым пружинным расширителем. Для повышения долговечности рабочие пояски колец покрывают слоем пористого хрома.

б) Стальные и сборные хромированные маслосъемные кольца. При эксплуатации кольцо теряет свою упругость неравномерно по периметру, особенно в стыке замка при нагреве. Вследствие этого кольца при изготовлении заневоливают, что обеспечивает неравномерную эпюру давления. Большие давления получают в зоне замка в виде грушевидной эпюры 1 и каплевидной 2 (рис. 7.4, а ).

В инженерной практике на сдвиг рассчитываются крепежные детали и соединительные элементы частей машин и строительных конструкций: заклепки, болты, шпонки, сварные швы, врубки и т. д. Эти детали или не являются стержнями вообще, или длинна их имеет тот же порядок, что и поперечные размеры. Точное теоретическое решение подобных расчетных задач весьма сложно и поэтому прибегают к условным (приближенным) приёмам расчета. При такого рода расчетах исходят из крайне упрощенных схем, определяют условные напряжения по простым формулам и сравнивают их с допускаемыми напряжениями, найденными из опыта. Обычно такие условные расчеты производятся в трех направлениях: на срез (сдвиг), на смятие в местах соприкосновения частей соединения и на разрыв по сечению, ослабленному отверстиями или врезками. 24 Напряжения при рассмотрении каждой расчетной схемы условно принимаются равномерно распределенными по опасному сечению. Вследствие большого числа условностей, лежащих в основе расчета болтовых, заклепочных соединений, сварных швов и других подобных им сопряжений элементов конструкции, практика выработала ряд рекомендаций, которые сообщаются в специальных курсах деталей машин, строительных конструкций и т. д. Ниже приводятся только некоторые типичные примеры условных расчетов. Расчет болтовых и заклепочных соединений Болтовые, заклепочные соединения (рис. 1.21) рассчитываются на срез (сдвиг) и смятие стержня болта или заклепки. Кроме того, производится проверка соединяемых элементов на разрыв по ослабленному сечению. Рис. 1.22 Болтовые, заклепочные соединения (рис.1.22) рассчитываются на срез (сдвиг) и смятие стержня болта или заклепки. Кроме того, производится проверка соединяемых элементов на разрыв по ослабленному сечению. а) рсчет по допускаемым напряжениям Расчет на срез Условие прочности на срез для стержня заклепки или болта (1.42) где Р – сила действующая в соединении; d – диаметр стержня болта или заклепки; m – число срезов, т.е. плоскостей, по которым может произойти срез стержня; - допускаемое касательное напряжение. Из условия прочности можно определить число срезов Число заклепок n определяется по числу срезов: при односрезных заклепках n = m, при двухсрезных – . Расчет на смятие Смятие происходит на поверхности контакта листа со стержнем заклепки или болта. Напряжения смятия распределены по этой поверхности неравномерно (рис. 1.22, а). В расчет вводится условное напряжение, равномерно распределенное по площади диаметрального сечения (рис. 1.23, б). Это условное напряжение по своей величине близко к действительному наибольшему напряжению смятия на поверхности контакта. Условие прочности при этом записывается так: Необходимое число заклепок из расчета на смятие (1.45) здесь - толщина листа; с м – допускаемое напряжение на смятие. Проверка листа на разрыв Условие прочности на разрыв листа в сечении, ослабленном заклепочными отверстиями, (1.46) где b – ширина листа; n1 – число заклепок в том шве, по которому возможен разрыв. Проверка на срез листа В некоторых соединениях, кроме перечисленных проверок, приходится производить проверку на срез (вырез) заклепкой части листа между его кромкой (торцом) и заклепкой (рис. 1.24). Каждая заклепка производит срез по двум плоскостям. За длину плоскости среза условно принимают расстояние от торцового края листа до ближайшей точки контура отверстия, т. е. величину. Условие прочности в этом случае (1.48) где Р1 – сила, приходящаяся на одну заклепку; с – расстояние от торца листа до центра заклепки. Значения допускаемых напряжений для сталей марок Ст. 2 и Ст. 3 в заклепочных соединениях ориентировочно могут быть приняты следующие (МПа): Основные элементы Заклепки в рассверленных отверстиях Заклепки в продавленных отверстиях Для стальных болтов, штифтов и им подобных элементов машиностроительных конструкций при статической нагрузке допускаемые напряжения принимаются в зависимости от качества материала: (0,520,04) Т,где Т – предел текучести материала болта; =100 - 120 МПа для стали 15, 20, 25, Ст. 3, Ст. 4; с =140 - 165 МПа для стали 35, 40, 45, 50, Ст. 5, Ст. 6; с =(0,4 - 0,5)  ПЧ для чугунного литья. При расчете на смятие соприкасающихся деталей из разных материалов расчет ведется по допускаемому напряжению для менее прочного материала. б) расчет по предельным состояниям Заклепочные соединения рассчитывают по первому предельному состоянию – по несущей способности на срез и смятие. На срез рассчитывают по условию (1.48) где N – расчетное усилие в соединении; n – число заклепок; nср – число плоскостей среза одной заклепки; d – диаметр заклепки; Rср – расчетное сопротивление заклепок срезу. На смятие рассчитывают по условию (1.49) где Rcм – расчетное сопротивление смятию соединяемых элементов; – наименьшая суммарная толщина элементов, сминаемых в одном направлении. Расчетные сопротивления, принятые при расчете по предельным состояниям (МПа). Основные элементы ищюавызерСе R130 еыньламроН R210 cр Заклепки в рассверленных отверстиях Заклепки в продавленных отверстиях При проектировании заклепочных соединений диаметром заклепок обычно задаются, принимая его в зависимости от толщины склепываемых элементов и с округлением по ГОСТу: . Наиболее часто применяются следующие диаметры: 14, 17, 20, 23, 26, 29 мм. Рекомендации по размещению заклепок и конструированию заклепочных и болтовых соединений даются в специальных курсах. 1.12. Расчет деревянных врубок Расчет деревянных врубок производится на скалывание и смятие. Допускаемые напряжения или расчетные сопротивления устанавливаются в зависимости от направления действующих сил по отношению к волокнам деревянных элементов. Значения допускаемых напряжений и расчетных сопротивлений для воздушно - сухой (влажность 15%) сосны и ели приведены в прил. 5. В случае применения других древесных пород значения напряжения, приведенных в таблице, умножаются на поправочные коэффициенты. Величина этих коэффициентов для древесины дуба, ясеня, граба: При изгибе, растяжении, сжатии и смятии вдоль волокон 1,3 При сжатии и смятии поперек волокон 2,0 При скалывании 1,6 При смятии под углом к направлению волокон допускаемое напряжение определяется по формуле (1.50) где [см ] – допускаемое напряжение смятия вдоль волокон; мс 90 – то же перпендикулярно волокнам. По аналогичной формуле определяется допускаемое напряжение, если площадка скалывания расположена под углом к направлению волокон. – допускаемое напряжение складыванию вдоль волокон; 90 – то же поперек волокон. Таким же образом вычисляются расчетные сопротивления при расчете по предельным состояниям. При расчете по предельным состояниям лобовых врубок и некоторых других соединений следует учитывать неравномерность распределения касательных напряжениях по площадке скалывания. Это достигается введением вместо основного (максимального) расчетного сопротивления (Rск = 24 кГ/см2) среднего сопротивления скалыванию. (1.54) где lск – длина площадки скалывания; е – плечо сил скалывания, измеряемое перпендикулярно площадке скалывания; – коэффициент, зависящий от характера скалывания. При одностороннем скалывании (в растянутых элементах), имеющем место в лобовых врубках, = 0,25. 1.13 Теория прочности Теории прочности стремятся установить критерий прочности для материала, находящегося в сложном напряженном состоянии (объемном или плоском). При этом исследуемое напряженное состояние рассчитываемой детали (с главными напряжениями в опасной точке σ1, σ2, и σ3) сравнивается с линейным напряженным состоянием – растяжением или сжатием. За предельное состояние пластичных материалов (материалов, находящихся в пластичном состоянии) принимается такое состояние, при котором начинают появляться заметные остаточные (пластические) деформации. Для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, предельным состоянием считается такое, при котором материал находится на границе появления первых трещин, т. е. на границе нарушения целостности материала. Условие прочности при объёмном напряженном состоянии может быть записано следующим образом: где - эквивалентное (или расчётное) напряжение; ПРЕД - предельное напряжение для данного материала при линейном напряжённом состоянии; - допускаемое напряжение в том же случае; - фактический коэффициент запаса прочности; - требуемый (заданный) коэффициент запаса; Коэффициентом запаса (n) при данном напряжённом состоянии называется число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряжённого состояния, чтобы оно стало предельным. Эквивалентное напряжение ЭКВ представляет собою растягивающее напряжение при линейном (одноосным) напряжённом состоянием, равноопасном с заданным объемным или плоским напряженным состоянием. Формулы для эквивалентного напряжения, выражающие его через главные напряжения σ1, σ2, σ3, устанавливаются теориями прочности в зависимости от принятой каждой теорией гипотезы прочности. Теорий прочности или гипотез предельных напряженных состояний существует несколько. Первая теория, или теория наибольших нормальных напряжений, основана на предположении, что опасное состояние материала при объёмном или плоском напряжённом состоянии наступает тогда, когда их наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает величины, соответствующей опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Эквивалентное напряжение по этой теории (1.57) Условие прочности при одинаковых значениях допускаемых напряжений на растяжение и сжатие (пластичные материалы) имеет вид: При разных значениях допускаемых напряжений на растяжение и сжатие условие прочности записывается так: (1.59) В случае, когда, т. е. все главные напряжения растягивающие, применяется первая из формул (1.59). 31 В случае, когда, т. е. все главные напряжения сжимающие, применяется вторая из формул (1.59). В случае смешанного напряженного состояния, когда, применяются одновременно обе формулы (1.59). Первая теория совершенно непригодна для пластичных материалов, а также в тех случаях, когда все три главные напряжения однозначны и близки друг к другу по величине. Удовлетворительное совпадение с опытными данными получается только для хрупких материалов в том случае, когда одно из главных напряжений по абсолютной величине значительно больше других. В настоящее время эта теория не применяется в практических расчетах. Вторая теория, или теория наибольших линейных деформаций, основана на предложении, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. За эквивалентное (расчетное) напряжение принимается наибольшее из следующих величин: Условие прочности при имеет вид: В случае разных значений допускаемых напряжений на растяжение и сжатие условия прочности можно представить так: (1.62) Причем первая из формул применяется при положительных (растягивающих) главных напряжениях, вторая – при отрицательных (сжимающих) главных напряжениях. В случае смешанного напряженного состояния используют обе формулы (1.62). Вторая теория не подтверждается опытами для пластичных или находящихся в пластичном состоянии материалов. Удовлетворительные результаты получаются для материалов хрупких, или находящихся в хрупком состоянии, особенно в тех случаях, когда все главные напряжения отрицательны. В настоящее время вторая теория прочности в практических расчётах почти не применяется. 32 Третья теория, или теория наибольших касательных напряжений, предполагает, что появление опасного состояния обусловлено наибольшими касательными напряжениями. Эквивалентное напряжение и условие прочности можно записать следующим образом: С учетом главных напряжений, определяемых по формуле (1.12), после преобразований получим: (1.64) где и соответственно нормальные и касательные напряжения в точке рассмотрения напряжённого состояния. Эта теория дает вполне удовлетворительные результаты для пластичных материалов, одинаково хорошо сопротивляющихся растяжению и сжатию, особенно в тех случаях, когда главные напряжения 3 разных знаков. Основным недостатком этой теории является то, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения 2 , которое, как установлено опытами, оказывает некоторое влияние на прочность материала. Вообще, третью теорию прочности можно рассматривать как условие наступления пластических деформаций. При этом условие текучести записывается следующим образом: Четвёртая теория, или энергетическая теория, основана на предположении, что причиной возникновения опасной пластической деформации (текучести) является энергия формоизменения. В соответствии с этой теорией предполагают, что опасное состояние при сложной деформации наступает тогда, когда его удельная энергия достигнет значений опасных при простом растяжении (сжатии). Расчетное (эквивалентное) напряжение по этой теории может быть записано в двух вариантах: (1.66) В случае плоского напряжённого состояния (возникает в балках при изгибе с кручением и т.д.) с учетом главных напряжений 1, 2(3) . Условие прочности можно составить в виде 33 Опыты хорошо подтверждают результаты, получаемые по этой теории, для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и она может быть рекомендована для практического применения. Такое же значение расчетного напряжения, как в формулах (1.66), можно получить, приняв в качестве критерия прочности октаэдрическое касательное напряжение. Теория октаэдрических касательных напряжений предполагает, что появление текучести при любом виде напряженного состояния наступает при достижении октаэдрическим касательным напряжением определенной величины, постоянной для данного материала. Теория предельных состояний (теория Мора) исходит из предположения, что прочность в общем случае напряженного состояния зависит главным образом от величины и знака наибольшего 1 и наименьшего 3 главных напряжений. Среднее по величине главное напряжение 2 лишь незначительно влияет на прочность. Опыты показали, что погрешность, вызванная пренебрежением 2 , в худшем случае не превышает 12 – 15 %, а обычно бывает меньше. Если не принимать во внимание, любое напряжённое состояние можно изобразить при помощи круга напряжений, построенного на разности главных напряжений. Причем, если достигают величин, соответствующих предельному напряжённому состоянию, при котором происходит нарушение прочности, то круг Мора является предельным. На рис. 1.25 показаны два предельных круга. Круг 1 с диаметром ОА, равным пределу прочности при растяжении, соответствует простому растяжению. Круг 2 соответствует простому сжатию и построен на диаметре ОВ, равным пределу прочности при сжатии. Промежуточным предельным напряженным состояниям будет соответствовать ряд промежуточных предельных кругов. Огибающая семейства предельных кругов (показана на рисунке пунктиром) ограничивает область прочности. Рис. 1.25 34 При наличии предельной огибающей оценка прочности материала при заданном напряженном состоянии производится путем построения круга напряжений по заданным величинам 3. Прочность будет обеспечена, если этот круг будет целиком помещаться внутри огибающей. Для получения расчетной формулы огибающую кривую между основными кругами 1 и 2 заменяют прямой линией (CD). В случае промежуточного круга 3 с главными напряжениями 3, касающегося прямой CD, из рассмотрения чертежа можно получить следующее условие прочности: На этом основании эквивалентное (расчётное) напряжение и условие прочности по теории Мора можно записать следующим образом: – для пластичных материалов; – для хрупких материалов; или – для любого материала. Здесь – пределы текучести соответственно при растяжении и сжатии; ПЧР – пределы прочности при растяжении и сжатии; – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. При материале, одинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию, т. е. при условие прочности по теории Мора совпадает с условием прочности по 3 теории. Поэтому теорию Мора можно рассматривать как обобщение 3 теории прочности. Теория Мора довольно широко применяется в расчетной практике. Наиболее хорошие результаты получаются при смешанных напряженных состояниях, когда круг Мора располагается между предельными кругами растяжения и сжатия (при Заслуживает внимание обобщение энергетической теории прочности, предложенное П.П. Баландиным с целью применения этой теории к оценке прочности материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию. Эквивалентное напряжение по предложению П.П. Баландина определяется по формуле эквивалентное напряжение, найденное по этой формуле, совпадает с эквивалентным напряжением по 4 (энергетической) теории прочности. В настоящее время опытных данных недостаточно для объективной оценки этого предложения. Н.Н. Давиденковым и Я.Б. Фридманом предложена новая "объединённая теория прочности”, обобщающая современные воззрения на прочность при хрупком и пластичном состояниях материала. В соответствии с этой теорией состояние, в котором находится материал, а следовательно, и характер вероятного разрушения определяется отношением материал находится в хрупком состоянии, разрушение происходит путем отрыва и расчет на прочность надо вести по теории наибольших линейных деформаций. Если же материал находится в пластичном состоянии, разрушение произойдёт путем среза, и расчет на прочность надо вести по теории наибольших касательных напряжений. Здесь р – сопротивление отрыву; р – сопротивление срезу. При отсутствии опытных данных об этих величинах можно отношение приближенно заменить отношением где – допускаемое напряжение на срез; – допускаемое напряжение на растяжение. 1.14. Примеры расчетов Пример 1.1 Стальная полоса (рис. 4.26.) имеет косой сварной шов под углом β = 60є к продольной оси. Проверить прочность полосы, если сила Р = 315кН, допускаемое нормальное напряжение материала, из которого она изготовлена [σ] = 160 МПа, 36 допускаемое нормальное напряжение сварного шва [σэ] =120 МПа, а касательного - [τ] = 70 МПа, размеры поперечного сечения В = 2 см, Н = 10 см. Рис 1.26 Решение 1. Определяем нормальные напряжения в поперечном сечении полосы Сопоставляем найденное напряжение σmax с допускаемым [σ] = 160 МПа, видим, что условие прочности выполняется, т.е. σmax < [σ]. Процент расхождения составляет 2. Находим напряжение, действующее по наклонному сечению (сварному шву) и выполняем проверку прочности. Используем метод РОЗУ (сечения). Рассечем полосу по шву (рис. 4.27) и рассмотрим левую ее часть. В сечении возникают два вида напряжения: нормальное σα и касательное τα, которые будем считать распределенными равномерно по сечению. Рассматриваем равновесие отсеченной части, составляем уравнение равновесия в виде сумм проекций всех сил на нормаль nα и ось t. С учётом площади наклонного сечения Аα = А/cosα получим cos2 ; Таким образом нормальное напряжение в сварном шве также меньше [σэ] = =120 МПа. 37 3. Определяем экстремальные (max, min) касательные напряжения τmax(min) в полосе. Вырежем из полосы в окрестности любой точки, например К, бесконечно малый элемент в виде параллелепипеда (рис 1.28). На гранях его действуют только нормальные напряжения σmax=σ1 (материал испытывает линейное напряжённое состояние, т. к. σ2 = σ3 = 0). Из формулы (1.5) следует, что при α0 = 45є: Сопоставляя найденные напряжения с допустимыми, видим, что условие прочности выполняется. Пример 1.2 Под действием приложенных сил в детали, элемент, вырезанный из нее испытывает плоское напряженное состояние. Требуется определить величину и направление главных напряжений и экспериментальные касательные напряжения, а также относительные деформации в направлениях диагонали АС, удельное изменение объема и потенциальную энергию деформации. Напряжения действующие на гранях элемента известны: Решение 1. Определяем положение главных площадок. Угол положительный. Это говорит о том, что нормаль к главной площадке должна быть проведена под углом α0 положительным от направления σх против часовой стрелки. 2. Вычисляем величину главных напряжений. Для нашего случая имеем Так как σх, то под углом α0 к направлению σх действуют σmin= σ3 и под углом α0 + 90˚ действуют σmax = σ1. (Если σх > σу, то под углом α0 к направлению σх действуют σmax= σ1 и под углом α0 + 90˚ действуют σmin = σ3). Проверка: а) для этого определяем значение главных напряжений по формуле Видим, что под углом α0 действует напряжение σmin ≈ σα; б) проверка по касательным напряжениям на главных площадках Если угол α0 найден правильно Левая часть равна правой. Таким образом, проверка показывает, что напряжения к главной площадке определены правильно. 3. Определяем экстремальные значения касательных напряжений. Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом 45є к главным площадкам. При этой зависимости для определения экстремальных значений τ имеет вид 4. Определяем относительные деформации в направлениях, параллельным рёбрам. Для этого воспользуемся законом Гука: т. к. элемент испытывает плоское напряжённое состояние, т. е. σz = 0. То эти зависимости имеют вид: С учетом значений имеем: 5. Определяем удельное изменение объема 6. Абсолютное изменение объема 7. Определяем удельную потенциальную энергию деформации. т. к. σ2 = 0 получим 8. Определяем абсолютное удлинение (укорочение) ребер элементов: а) в направлении, параллельном оси у, происходит удлинение ребер ВС, АД. б) в направлении, параллельном оси х, укорочение ребер ВА, СД. Используя эти значения, можно определить удлинение диагонали АС и ВД на основании теоремы Пифагора. Пример 1.3 Стальной кубик со стороной 10 см, вставленный без зазоров между двумя жесткими стенками и опирающийся на неподвижное основание, сжимается нагрузкой q = 60 кН/м (рис. 1.30). Требуется вычислить: 1) напряжения и деформации по трём направлениям; 2) изменение объема кубика; 3) потенциальную энергию деформации; 4) нормальное и касательное напряжения на площадке, наклоненной под углом 45є к стенкам. Решение 1. Напряжение на верхней грани задано: σz=-60 МПа. Напряжение на свободной грани σу=0. Напряжение на боковых гранях σх можно найти из условия равенства нулю деформации кубика в направлении оси х из-за неподатливости стенок: откуда при σу = 0 σх- μσz = 0, следовательно, σх = μσz = -0,3 ּ60 = -18 МПа. 43 Рис. 1.30 Грани кубика являются главными площадками, так как на них отсутствуют касательные напряжения. Главные напряжения равны σ1 = σу = 0; σ2 = σx = -18МПа; σ3 = σz = -60 МПа; 2. Определим деформации ребер кубика. Относительные линейные деформации Абсолютная деформация (укорочение) Относительная деформация в направлении оси У Абсолютная деформация (удлинение) Относительное изменение объёма кубика Абсолютное изменение объёма (уменьшение) 3. Потенциальная энергия деформации (удельная) равна Полная энергия равна 4. Нормальное и касательное напряжение на площадке, наклоненной к стенкам под углом 45є: Направление σα, τα показано на рис. 2.30. Пример 1.4 Цилиндрический тонкостенный стальной резервуар заполнен водой на уровне Н = 10 м. На расстоянии Н/3 от дна в точке К установлены под углом = 30, взаимно перпендикулярно, два тензометра А и В (Рис. 1.31) с базой S = 20 мм и ценой деления К= 0,0005 мм/дел. Определить главные напряжения в точке К, а также напряжение в направлении тензометров и их показания. Дано: Диаметр резервуара D=200см, толщина стенки t = 0,4 см, коэффициент поперечной деформации стали = 0,25, плотность жидкости γ = 10 кН/м3. Весом резервуара пренебречь. Решение. 1. Определяем главные напряжения в точке К. а. Рассмотрим равновесие нижней отсеченной части резервуара (рис. 1.32). 45 Рис. 1.31 Рис. 1.32 Составляем уравнение равновесия суммы проекций всех сил на ось у: – вес водяного столба. Отсюда находим нормальное напряжение (меридиональное) y в поперечном сечении резервуара. Определяем нормальные напряжения (окружные напряжения) в направлении оси х – x. Для этого рассмотрим равновесие полукольца шириной, равной единицы длины, вырезанного на уровне точки К (рис. 1.33). Элементарная сила dP, приходящая на элементарную площадку угла d, определяем по формуле – давление жидкости в точке К. Составляем уравнение равновесия полукольца на ось х: Отсюда получаем В соответствии с обозначением главных напряжений, сравнивая и y, имеем Главное напряжение Оно мало по сравнению с 2 и им можно пренебречь. Для выделенного в окрестности точки К бесконечно малого элемента, (abcd), главные напряжения представлены на (рис. 1.34). Определяем нормальные напряжения в направлении установки тензометров. Выполняем проверку правильности найденных напряжений. Должно выполнятся условие: Расхождение незначительно, связано с округлением при расчетах. Определяем относительные деформации в направлении установки тензометров. Используем обобщенный закон Гука. (31,390160,5261,90016)0,594014 002019 Устанавливаем показания тензометров. Используем формулы для определения относительных деформаций по показаниям тензометров: n - показания тензометра; i S - база тензометра; i К - цена деления. Отсюда имеем показания тензометров: Пример 1.5 Рассчитать врубку стропильной ноги в затяжку, определив глубину врубки hВР и длину выступающей части затяжки l (рис. 1.35). Размеры поперечных сечений ноги и затяжки показаны на чертеже. Угол. Расчетное усилие в ноге, найденное с учетом коэффициентов перегрузки, равно NР 83 кН. Решение. Расчет ведем по предельному состоянию. Определяем глубину врубки hВР из расчета на смятие. Расчет ведем для площадки затяжки, так как нормаль к этой площадке составляет угол = 30 и расчетное сопротивление для нее меньше, чем для ноги, ибо площадка смятия ноги перпендикулярна волокнам. Величина площадки смятия: откуда глубина врубки Расчетное сопротивление смятию найдем по формуле (1.52) Глубина врубки Длину выступающей части затяжки lCК определяем из расчета на скалывание. Площадь скалывания Величину среднего расчетного сопротивления скалыванию найдем по формуле (1.54): В данном случае плечо е равно 11 cм. По нормам проектирования длина площадки скалывания не должна быть менее 3е или 1,5h. Поэтому принимаем ориентировочно Необходимая длина площадки скалывания 0,33 м, т. е. соответствует ранее намеченной величине.

Напряжения среза пальца в сечении I - I , рис. 1, τ с, МПа:

При определении допустимых напряжений [τ с ] по формуле (6) для материала пальца по табл. 1:

Коэффициент Кτ р определяют по табл.3 в зависимости от диаметра пальца d ;

- коэффициент Кτ п определяют по табл.4, полагая поверхность пальца шлифованной;

Коэффициент Кτ к = 1 принимают для конструкции пальца без буртиков или проточек в опасном сечении;

Коэффициент Кτ у определяют по табл. 6, обычно рекомендуется использовать поверхностное упрочнение.

Если условие прочности по формуле (8) не выполнено, следует выбрать более качественную марку стали или увеличить диаметр пальца d .

Рис. 4. Детали с типовыми концентраторами напряжений: а – переход от меньше­го размера b к большему l , радиус сопряжения r 1 ; б – поперечное отверстие диа­метром d 1

Рис. 5. Расчетная схема пальца шарнира: а – эпюра перерезывающих сил; б – эпю­ра изгибающих моментов

5.2. Расчет пальца на изгиб

Учитывая неопределенность условий защемления пальца в щеках и влияния прогиба пальца и деформаций щёк на распределение удельной нагрузки, принимают упрощенную расчётную схему балки на двух опорах, нагруженной двумя сосредоточенными силами, рис. 5. Максимальные напряжения изгиба развиваются в среднем пролёте балки. Напряжения изгиба пальца, σ и, МПа, в сечении 4-4 , рис. 5:

σ и = M /W ≤ [σ и ], (9)

где М – изгибающий момент в опасном сечении, Н∙мм:

M = 0,125F max (l + 2δ );

W – осевой момент сопротивления, мм 3:

W = πd 3  / 32  0,1d   3 ,

l - длина трущейся части пальца, определяемая в зависимости от отношения l/d , заданного в Прил. и диаметра пальца d , мм, найденного в п.4.1; δ – толщина стенки проушины, определяемая в п.6.1;

[σ и ] – допускаемые напряжения при изгибе по форм. (6).

В расчете по формулам (6) и (9):

- Kσ к – коэффициент определяют по табл. 5 с учетом концентратора напряжений - поперечного отверстия для подвода смазки, рис. 1;

Коэффициенты Kσ p , Kσ п и К у назначают аналогично расчёту пальца по п.5.1.

Если условие прочности по формуле (9) не выполнено, следует увеличить диа­метр пальца d .

Окончательная величина d , проставляемая на чертеже, округляется до ближайшего большего стандартного значения из ряда нормальных линейных размеров по ГОСТ 6636-69.