Ters matrisi 2 şekilde bulun. Matris cebiri - matris tersi

Matris çarpımının ters işlemini tanımlama problemini ele alalım.

A, n mertebeden bir kare matris olsun. Verilen A matrisiyle birlikte aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A^(-1) matrisi:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

Tanımdan, eğer ters A^(-1) matrisi mevcutsa, bu A ile aynı mertebeden karedir. Ancak her kare matrisin tersi yoktur. Bir A matrisinin determinantı sıfıra eşitse (\det(A)=0), bunun tersi yoktur. Aslında, E=A^(-1)A birim matrisi için matrislerin çarpımının determinantına ilişkin teoremi uyguladığımızda bir çelişki elde ederiz

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Ters matrisin varlığı ve tekliği ile ilgili Teorem 4.1. Kare matris A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix) Determinantı sıfır olmayan bir ters matrise ve ayrıca yalnızca bir matrise sahiptir:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

burada A^(+), A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarından oluşan bir matris için transpoze edilmiş matristir.

A^(+) matrisine denir ek matris A matrisine göre.

Aslında matris \frac(1)(\det(A))\,A^(+)\det(A)\ne0 koşulu altında mevcuttur. A'ya ters olduğunu göstermek gerekir, yani. iki koşulu karşılar:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

İlk eşitliği kanıtlayalım. Açıklama 2.3'ün 4. paragrafına göre, determinantın özelliklerinden şu sonuç çıkar: AA^(+)=\det(A)\cdot E. Bu yüzden

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

gösterilmesi gereken şey buydu. İkinci eşitlik de benzer şekilde kanıtlanır. Bu nedenle, \det(A)\ne0 koşulu altında, A matrisinin tersi vardır.

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Ters matrisin tekliğini çelişki yoluyla kanıtlayacağız. A^(-1) matrisine ek olarak AB=E olacak şekilde başka bir ters B\,(B\ne A^(-1)) matrisi olsun. Bu eşitliğin her iki tarafını soldan A^(-1) matrisiyle çarparsak şunu elde ederiz: \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Dolayısıyla B=A^(-1) , bu da B\ne A^(-1) varsayımıyla çelişir. Bu nedenle ters matris benzersizdir.

Notlar 4.1

1. Tanımdan A ve A^(-1) matrislerinin değişmeli olduğu sonucu çıkar.

2. Tekil olmayan bir köşegen matrisin tersi de köşegendir:

\Bigl[\operatöradı(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatöradı(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Tekil olmayan bir alt (üst) üçgen matrisin tersi, alt (üst) üçgendir.

4. Temel matrislerin tersleri de temeldir (bkz. 1.11 açıklamalarının 1. paragrafı).

Ters bir matrisin özellikleri

Matris ters çevirme işlemi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(hizalanmış)

Özellik 2'yi kanıtlayalım: aynı mertebeden tekil olmayan kare matrislerin AB çarpımı ters bir matrise sahipse, o zaman (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Aslında AB matrislerinin çarpımının determinantı sıfıra eşit değildir, çünkü

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Nerede \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Bu nedenle ters matris (AB)^(-1) mevcuttur ve benzersizdir. B^(-1)A^(-1) matrisinin AB matrisinin tersi olduğunu tanım gereği gösterelim. Gerçekten mi.

n'inci dereceden bir kare matris olsun

Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir.

Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:

ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için.

Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem

Bir matrisin ters matris olabilmesi için tekil olmaması gerekli ve yeterlidir.

A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan, eğer sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.

Ters matrisi bulmak için algoritma

1. Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek için A matrisini tabloya yazın ve E matrisini sağ tarafa (denklemlerin sağ tarafları yerine) atayın.
2. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini birim sütunlardan oluşan bir matrise azaltın; bu durumda E matrisini eş zamanlı olarak dönüştürmek gerekir.
3. Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini), orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisini elde edecek şekilde yeniden düzenleyin.
4. Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda yer alan ters matris A -1'i yazın.

A matrisi için ters A -1 matrisini bulun

Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atarız Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir.

Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.

Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır.

Cevap:

Matris denklemlerini çözme

Matris denklemleri şöyle görünebilir:

AX = B, HA = B, AXB = C,

burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir.

Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.

Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.

Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.

Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.

AX = B denklemini çözün, eğer

Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1)

Ekonomik analizde matris yöntemi

Diğerlerinin yanı sıra onlar da kullanılır matris yöntemleri. Bu yöntemler doğrusal ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olayların analiz edilmesi amacıyla kullanılmaktadır. Çoğu zaman bu yöntemler, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı bir değerlendirmesinin yapılması gerektiğinde kullanılır.

Matris analiz yöntemlerinin uygulanması sürecinde birkaç aşama ayırt edilebilir.

İlk aşamada bir ekonomik göstergeler sistemi oluşturuluyor ve buna dayanarak, sistem numaralarının ayrı satırlarda gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derleniyor (i = 1,2,....,n) ve dikey sütunlarda - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m).

İkinci aşamada Her dikey sütun için mevcut gösterge değerlerinden en büyüğü tanımlanır ve bu değer bir olarak alınır.

Daha sonra bu sütuna yansıyan tüm tutarlar en büyük değere bölünerek standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur.

Üçüncü aşamada matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, her matris göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri uzman görüşüne göre belirlenir.

Sonuncusunda, dördüncü aşama bulunan derecelendirme değerleri Rj artış veya azalış sırasına göre gruplandırılmıştır.

Ana hatlarıyla belirtilen matris yöntemleri, örneğin çeşitli yatırım projelerinin karşılaştırmalı analizinde ve kuruluşların faaliyetlerinin diğer ekonomik göstergelerinin değerlendirilmesinde kullanılmalıdır.

Birçok özellikte bunun tersine benzer.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Bir matrisin tersi nasıl bulunur - bezbotvy

✪ Ters matris (bulmanın 2 yolu)

✪ Ters matris #1

✪ 2015-01-28. Ters 3x3 matris

✪ 2015-01-27. Ters matris 2x2

Altyazılar

Ters bir matrisin özellikleri

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Nerede det (\displaystyle \\det) determinantı ifade eder.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) iki kare tersinir matris için bir (\displaystyle A) Ve B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Nerede (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) aktarılmış bir matrisi belirtir.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) herhangi bir katsayı için k ≠ 0 (\displaystyle k\değil =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Bir doğrusal denklem sistemini çözmek gerekiyorsa (b sıfır olmayan bir vektördür) burada x (\displaystyle x) istenen vektördür ve eğer A − 1 (\displaystyle A^(-1)) var o halde x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Aksi halde ya çözüm uzayının boyutu sıfırdan büyüktür ya da hiç çözüm yoktur.

Ters matrisi bulma yöntemleri

Matris tersinirse, ters matrisi bulmak için aşağıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz:

Kesin (doğrudan) yöntemler

Gauss-Jordan yöntemi

İki matris alalım: A ve bekar e. Matris'i sunalım A Gauss-Jordan yöntemini kullanarak birim matrise satırlar boyunca dönüşümler uygulayarak (dönüşümleri sütunlar boyunca da uygulayabilirsiniz, ancak birbirine karıştıramazsınız). Her işlemi birinci matrise uyguladıktan sonra aynı işlemi ikinciye de uygulayın. Birinci matrisin birim forma indirgenmesi tamamlandığında ikinci matris şuna eşit olacaktır: A−1.

Gauss yöntemini kullanırken, sol taraftaki ilk matris temel matrislerden biriyle çarpılacaktır. Λ ben (\displaystyle \Lambda _(i))(bir konum hariç, birimleri ana köşegen üzerinde olan transveksiyon veya çapraz matris):

Tüm işlemleri uyguladıktan sonra ikinci matris şuna eşit olacaktır: Λ (\displaystyle \Lambda) yani istenilen olacaktır. Algoritma karmaşıklığı - Ö (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Cebirsel tamamlayıcı matrisini kullanma

Matrisin tersi matris bir (\displaystyle A)şeklinde temsil edilebilir

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Nerede adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- ek matris;

Algoritmanın karmaşıklığı, O det determinantının hesaplanmasına yönelik algoritmanın karmaşıklığına bağlıdır ve O(n²)·O det'e eşittir.

LU/LUP Ayrıştırmanın Kullanılması

Matris denklemi bir X = ben n (\displaystyle AX=I_(n)) ters matris için X (\displaystyle X) koleksiyon olarak değerlendirilebilir n (\displaystyle n) form sistemleri A x = b (\displaystyle Ax=b). Haydi belirtelim ben (\displaystyle i) matrisin inci sütunu X (\displaystyle X) başından sonuna kadar X ben (\displaystyle X_(i)); Daha sonra Bir X ben = e ben (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),Çünkü ben (\displaystyle i) matrisin inci sütunu ben n (\displaystyle I_(n)) birim vektör e ben (\displaystyle e_(i)). başka bir deyişle, ters matrisi bulmak, aynı matrise ve farklı sağ taraflara sahip n denklemin çözülmesine indirgenir. LUP ayrıştırması (O(n³) süresi) gerçekleştirildikten sonra, n denklemin her birinin çözümü O(n²) zaman alır, dolayısıyla işin bu kısmı da O(n³) süresi gerektirir.

A matrisi tekil değilse, bunun için LUP ayrıştırması hesaplanabilir. P A = L U (\displaystyle PA=LU). İzin vermek P Bir = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). O zaman ters matrisin özelliklerinden şunu yazabiliriz: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Bu eşitliği U ve L ile çarparsanız, formdaki iki eşitliği elde edebilirsiniz. U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ve D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Bu eşitliklerden ilki n² doğrusal denklem sistemidir. n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) sağ tarafların bilindiği (üçgen matrislerin özelliklerinden). İkincisi ayrıca n² doğrusal denklem sistemini temsil eder. n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) sağ tarafların bilindiği (ayrıca üçgen matrislerin özelliklerinden). Birlikte n² eşitliklerden oluşan bir sistemi temsil ederler. Bu eşitlikleri kullanarak, D matrisinin tüm n² elemanlarını yinelemeli olarak belirleyebiliriz. Daha sonra (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D eşitliğinden eşitliği elde ederiz. A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU ayrıştırmasının kullanılması durumunda, D matrisinin sütunlarının permütasyonu gerekli değildir, ancak A matrisi tekil olmasa bile çözüm ıraksak olabilir.

Algoritmanın karmaşıklığı O(n³)'tür.

Yinelemeli yöntemler

Schultz yöntemleri

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ ben = 0 n Ψ k ben (\displaystyle (\begin(case)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Hata tahmini

İlk Yaklaşımın Seçilmesi

Burada ele alınan yinelemeli matris ters çevirme süreçlerinde başlangıç ​​yaklaşımını seçme sorunu, bunları, örneğin matrislerin LU ayrıştırmasına dayanan doğrudan ters çevirme yöntemleriyle rekabet eden bağımsız evrensel yöntemler olarak ele almamıza izin vermez. Seçim için bazı öneriler var U 0 (\displaystyle U_(0)) koşulun yerine getirilmesini sağlamak ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matrisin spektral yarıçapı birden küçüktür), bu sürecin yakınsaması için gerekli ve yeterlidir. Ancak bu durumda öncelikle tersinir matris A veya matrisin spektrumuna ilişkin tahminin yukarıdan bilinmesi gerekir. A A T (\displaystyle AA^(T))(yani, eğer A simetrik bir pozitif tanımlı matris ise ve ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), o zaman alabilirsin U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Nerede ; A keyfi tekil olmayan bir matris ise ve ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ) o zaman inanırlar U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), ayrıca nerede α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\right)); Elbette durumu basitleştirebilir ve bunun avantajından yararlanabilirsiniz. ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), koymak U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). İkinci olarak, başlangıç ​​matrisini bu şekilde belirlerken, bunun garantisi yoktur. ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) küçük olacak (hatta belki de ortaya çıkacak) ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) ve yüksek düzeyde yakınsama oranı hemen ortaya çıkmayacaktır.

Örnekler

Matris 2x2

2x2'lik bir matrisin ters çevrilmesi ancak şu koşullar altında mümkündür: a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

$A^(-1)$ matrisine $A$ kare matrisinin tersi denir, eğer $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ koşulu sağlanırsa, burada $E $, sırası $A$ matrisinin sırasına eşit olan birim matristir.

Tekil olmayan bir matris, determinantı sıfıra eşit olmayan bir matristir. Buna göre tekil bir matris, determinantı sıfıra eşit olan bir matristir.

Ters matris $A^(-1)$ ancak ve ancak $A$ matrisinin tekil olmaması durumunda mevcuttur. Eğer $A^(-1)$ ters matrisi mevcutsa, bu benzersizdir.

Bir matrisin tersini bulmanın birkaç yolu vardır ve biz bunlardan ikisine bakacağız. Bu sayfada çoğu yüksek matematik dersinde standart olarak kabul edilen birleşik matris yöntemi tartışılacaktır. Gauss yöntemini veya Gauss-Jordan yöntemini kullanmayı içeren ters matrisi bulmanın ikinci yöntemi (temel dönüşümler yöntemi) ikinci bölümde tartışılmaktadır.

Birleşik matris yöntemi

$A_(n\times n)$ matrisi verilsin. $A^(-1)$ ters matrisini bulmak için üç adım gereklidir:

1. $A$ matrisinin determinantını bulun ve $\Delta A\neq 0$ olduğundan emin olun; A matrisi tekil değildir.
2. $A$ matrisinin her bir elemanının cebirsel tamamlayıcılarını $A_(ij)$ oluşturun ve bulunan cebirden $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matrisini yazın tamamlar.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü dikkate alarak ters matrisi yazın.

$(A^(*))^T$ matrisine genellikle $A$ matrisine ek (karşılıklı, müttefik) adı verilir.

Çözüm manuel olarak yapılırsa, ilk yöntem yalnızca nispeten küçük dereceli matrisler için iyidir: ikinci (), üçüncü (), dördüncü (). Daha yüksek dereceli bir matrisin tersini bulmak için başka yöntemler kullanılır. Örneğin ikinci bölümde tartışılan Gauss yöntemi.

Örnek No.1

$A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matrisinin tersini bulun & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dördüncü sütunun tüm elemanları sıfıra eşit olduğundan $\Delta A=0$ (yani $A$ matrisi tekildir). $\Delta A=0$ olduğundan, $A$ matrisinin ters matrisi yoktur.

Örnek No.2

$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ matrisinin tersini bulun.

Ek matris yöntemini kullanıyoruz. Öncelikle verilen $A$ matrisinin determinantını bulalım:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Cebirsel tamamlayıcıları bulma

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris oluşturuyoruz: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ortaya çıkan matrisin yerini değiştiririz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ortaya çıkan matrise genellikle $A$ matrisine ek veya müttefik matris adı verilir. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Böylece ters matris bulunur: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\sağ) $. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 biçiminde değil) değiştireceğiz & 5/103 \ end(array)\right)$ ve $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & biçiminde -5 \end(dizi )\sağ)$:

Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Örnek No.3

$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ matrisinin ters matrisini bulun .

$A$ matrisinin determinantını hesaplayarak başlayalım. Yani $A$ matrisinin determinantı:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Belirli bir matrisin her elemanının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz:

Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris oluşturuyoruz ve onu değiştiriyoruz:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Yani $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ biçiminde olmayan bir şekilde değiştireceğiz. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ve $\frac(1)(26 biçiminde) )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Kontrol başarılı oldu, $A^(-1)$ ters matrisi doğru bulundu.

Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Örnek No. 4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matrisinin tersini bulun & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Dördüncü dereceden bir matris için cebirsel toplamaları kullanarak ters matrisi bulmak biraz zordur. Ancak test kağıtlarında bu tür örneklere rastlanmaktadır.

Bir matrisin tersini bulmak için öncelikle $A$ matrisinin determinantını hesaplamanız gerekir. Bu durumda bunu yapmanın en iyi yolu determinantı bir satır (sütun) boyunca genişletmektir. Herhangi bir satır veya sütunu seçiyoruz ve seçilen satır veya sütunun her bir öğesinin cebirsel tümleyenlerini buluyoruz.

Tanım 1: determinantı sıfır olan bir matrise tekil matris denir.

Tanım 2: determinantı sıfıra eşit değilse bir matrise tekil olmayan matris denir.

Matris "A" denir ters matris, eğer A*A-1 = A-1 *A = E (birim matris) koşulu karşılanıyorsa.

Bir kare matris yalnızca tekil değilse tersinirdir.

Ters matrisi hesaplama şeması:

1) Eğer "A" matrisinin determinantını hesaplayın: ∆ A = 0 ise ters matris mevcut değildir.

2) "A" matrisinin tüm cebirsel tümleyenlerini bulun.

3) Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris oluşturun (Aij)

4) Cebirsel tümleyenler (Aij )T matrisinin transpoze edilmesi

5) Transpoze matrisi bu matrisin determinantının tersiyle çarpın.

6) Kontrolü gerçekleştirin:

İlk bakışta karmaşık görünebilir ama aslında her şey çok basittir. Tüm çözümler basit aritmetik işlemlere dayanmaktadır, çözerken asıl önemli olan “-” ve “+” işaretleriyle karıştırılmaması ve onları kaybetmemektir.

Şimdi ters matrisi hesaplayarak pratik bir görevi birlikte çözelim.

Görev: Aşağıdaki resimde gösterilen "A" ters matrisini bulun:

1. Yapılacak ilk şey "A" matrisinin determinantını bulmaktır:

Açıklama:

Determinantımızı temel fonksiyonlarını kullanarak basitleştirdik. Öncelikle 2. ve 3. satırlara birinci satırın elemanlarını bir sayıyla çarparak ekledik.

İkinci olarak determinantın 2. ve 3. sütunlarını değiştirerek özelliklerine göre önündeki işareti değiştirdik.

Üçüncü olarak ikinci satırın ortak çarpanını (-1) çıkardık ve böylece işareti tekrar değiştirdik ve pozitif oldu. Ayrıca 3. satırı da örneğin en başında olduğu gibi basitleştirdik.

Köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan ve 7 özelliği gereği köşegen elemanlarının çarpımına eşit olan bir üçgen determinantımız var. Sonunda elimizde ∆ A = 26, dolayısıyla ters matris mevcuttur.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Bir sonraki adım, elde edilen eklemelerden bir matris derlemektir:

5. Bu matrisi determinantın tersiyle, yani 1/26 ile çarpın:

6. Şimdi şunu kontrol etmemiz gerekiyor:

Test sırasında bir kimlik matrisi aldık, bu nedenle çözüm kesinlikle doğru bir şekilde gerçekleştirildi.

Ters matrisi hesaplamanın 2 yolu.

1. Temel matris dönüşümü

2. Temel bir dönüştürücü aracılığıyla matrisi ters çevirin.

Temel matris dönüşümü şunları içerir:

1. Bir dizeyi sıfıra eşit olmayan bir sayıyla çarpmak.

2. Herhangi bir satıra bir sayıyla çarpılarak başka bir satır eklemek.

3. Matrisin satırlarını değiştirin.

4. Bir temel dönüşüm zinciri uygulayarak başka bir matris elde ederiz.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Buna gerçek sayılarla pratik bir örnek kullanarak bakalım.

Egzersiz yapmak: Ters matrisi bulun.

Çözüm:

Hadi kontrol edelim:

Çözüme dair küçük bir açıklama:

Önce matrisin 1. ve 2. satırlarını yeniden düzenledik, ardından ilk satırı (-1) ile çarptık.

Daha sonra ilk satırı (-2) ile çarpıp matrisin ikinci satırına ekledik. Daha sonra 2. satırı 1/4 ile çarptık.

Dönüşümün son aşaması, ikinci satırı 2 ile çarpıp birinciyle eklemekti. Sonuç olarak solda birim matrisimiz var, dolayısıyla ters matris sağdaki matristir.

Kontrol ettikten sonra kararın doğru olduğuna ikna olduk.

Gördüğünüz gibi ters matrisin hesaplanması çok basittir.

Bu dersin sonunda böyle bir matrisin özelliklerine de biraz zaman ayırmak istiyorum.