Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç düz çizgiden oluşan geometrik bir şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları, Latin harfleriyle (örneğin A, B, C) gösterilen üçgenin köşeleridir. Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine bölümler denir ve bunlar genellikle Latin harfleriyle de gösterilir. Aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

• Dikdörtgen.
• Geniş.
• Akut açısal.
• Çok yönlü.
• Eşkenar.
• İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yüksekliğe dayalı bir üçgenin alanı için formül

S= a*h/2,
burada a, alanı bulunması gereken üçgenin kenar uzunluğu, h ise tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

Heron'un formülü

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
burada √ karekök, p üçgenin yarı çevresi, a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısına ve uzunluğuna dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
burada b,c üçgenin kenarlarının uzunluğudur, sin(α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç tarafı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
burada p, alanı bulunması gereken üçgenin yarı çevresidir, r ise bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı ve etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
burada a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur, R ise üçgenin etrafını çevreleyen dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarını kullanan üçgenin alanı formülü

Noktaların kartezyen koordinatları xOy sistemindeki koordinatlardır; burada x apsis, y ise ordinattır. Bir düzlemdeki Kartezyen koordinat sistemi xOy, ortak orijini O noktasında olan, karşılıklı dik Ox ve Oy sayısal eksenleridir. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) şeklinde verilirse ) ve C(x3, y3 ) ise, iki vektörün vektör çarpımından elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin yalnızca bir tane böyle açısı olabilir.

İki taraftaki dik üçgenin alanı için formül

S= a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklar dik açıya bitişik kenarlardır.

Hipotenüs ve dar açıya dayalı dik üçgenin alanı formülü

S = a*b*sin(α)/ 2,
burada a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b doğrularının kesiştiği açının sinüsüdür.

Yan ve karşı açıya göre dik üçgenin alanı formülü

S = a*b/2*tg(β),
burada a, b üçgenin bacaklarıdır, tan(β), a, b bacaklarının birleştiği açının tanjantıdır.

İkizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan bir üçgendir. Bu taraflara kenar, diğer tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
burada c üçgenin tabanıdır, h ise üçgenin tabana indirilen yüksekliğidir.

Kenar ve tabana dayalı ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
burada c üçgenin tabanıdır, a ise ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin boyutudur.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
burada a eşkenar üçgenin kenarının uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini unutmamak önemlidir.

Üçgen herkesin aşina olduğu bir figür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, dar, ikizkenar, geniş. Her biri bir şekilde farklıdır. Ancak herkes için bir üçgenin alanını bulmanız gerekir.

Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenlerde ortak olan formüller

İçlerinde benimsenen tanımlar: taraflar - a, b, c; a, n, n ile ilgili tarafların yükseklikleri.

1. Bir üçgenin alanı, ½ çarpımı, bir kenar ve yüksekliğin bundan çıkarılmasıyla hesaplanır. S = ½ * a * n a. Diğer iki tarafın formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Yarı çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine genellikle küçük p harfiyle gösterilir). Yarı çevre şu şekilde hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü şu şekildedir: p = (a+b+c) / 2. O halde ​ alanının eşitliği ​​şekil şuna benzer: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Yarı çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenar uzunluklarını içeren bir formül yararlı olacaktır: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.

Bir üçgenin açılarını içeren genel formüller

Formülleri okumak için gereken gösterimler: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c'nin karşılıklı taraflarında bulunurlar.

1. Buna göre iki tarafın çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * sin γ. Diğer iki durumun formülleri de benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Bir üçgenin alanı bir kenardan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Ayrıca bilinen bir kenarı ve iki komşu açısı olan bir formül de vardır. Şuna benzer: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Son iki formül en basiti değil. Bunları hatırlamak oldukça zordur.

Yazılı veya çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarının bilindiği durumlar için genel formüller

Ek tanımlar: r, R - yarıçap. Birincisi yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi anlatılanlar içindir.

1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Bunu yazmanın başka bir yolu da şudur: S = ½ r * (a + b + c).

2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenen dairenin yarıçapının dört katına bölmeniz gerekecektir. Gerçek ifadede şu şekilde görünür: S = (a * b * c) / (4R).

3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanıza olanak sağlar ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız olacaktır. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Özel durum: dik üçgen

Bu en basit durumdur çünkü yalnızca her iki bacağın uzunluğu da gereklidir. Latin harfleri a ve b ile gösterilirler. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.

Matematiksel olarak şuna benzer: S = ½ a * b. Hatırlanması en kolay olanıdır. Dikdörtgenin alan formülüne benzediğinden yalnızca yarımı gösteren bir kesir görünür.

Özel durum: ikizkenar üçgen

İki eşit kenara sahip olduğundan, alanıyla ilgili bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki formu alır:

S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).

Eğer onu dönüştürürsen, kısalır. Bu durumda Heron'un ikizkenar üçgen formülü şu şekilde yazılır:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan formülü, rastgele bir üçgene göre biraz daha basit görünür. S = ½ a 2 * sin β.

Özel durum: eşkenar üçgen

Genellikle problemlerde işin tarafı bilinir veya bir şekilde ortaya çıkarılabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:

S = (a 2 √3) / 4.

Üçgen kareli kağıt üzerinde gösteriliyorsa alanı bulma sorunları

En basit durum, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde bir dik üçgenin çizilmesidir. O zaman bacaklara sığan hücre sayısını saymanız yeterlidir. Daha sonra bunları çarpın ve ikiye bölün.

Üçgen dar veya geniş olduğunda dikdörtgene çizilmesi gerekir. Daha sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacaktır. Bunlardan biri problemde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanlarının yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak belirlenmesi gerekir. Daha sonra dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.

Üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmaması durumu çok daha karmaşık hale geliyor. Daha sonra, orijinal şeklin köşelerinin yanlarında olması için bir dikdörtgenin içine yazılması gerekir. Bu durumda üç yardımcı dik üçgen olacaktır.

Heron formülünü kullanan bir problem örneği

Durum. Bazı üçgenlerin bilinen kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler, alanını bulmanız gerekiyor.

Artık yukarıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekökün altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √(4 * 14) = 2 √(14)'tür.

Daha fazla doğruluk gerekmiyorsa 14'ün karekökünü alabilirsiniz. Bu 3,74'e eşittir. O zaman alan 7.48 olacaktır.

Cevap. S = 2 √14 cm2 veya 7,48 cm2.

Dik üçgenle ilgili örnek problem

Durum. Dik üçgenin bir bacağı ikincisinden 31 cm daha büyüktür, üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmanız gerekir.
Çözüm. İki denklemli bir sistemi çözmemiz gerekecek. Birincisi alanla ilgilidir. İkincisi problemde verilen bacakların oranıdır.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Öncelikle ilk denklemde “a” değeri yerine yazılmalıdır. Görünüşe göre: 180 = ½ (+ 31) * inç. Tek bir bilinmeyen miktarı olduğundan çözülmesi kolaydır. Parantez açıldıktan sonra ikinci dereceden denklem elde edilir: 2 + 31 360 = 0. Bu, "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. İkinci sayı, kenar uzunluğu nedeniyle cevap olarak uygun değildir. Bir üçgenin değeri negatif olamaz.

Geriye ikinci ayağı hesaplamak kalıyor: Ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin, 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlardır.

Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.

Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca bir kenar bulma problemi

Durum. Belirli bir üçgenin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30° ise bir kenarını hesaplamak gerekir.

Çözüm. Kabul edilen gösterime göre istenilen kenar “a”, bilinen kenar “b”, verilen açı “γ”dır. Daha sonra alan formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:

60 = ½ a * 15 * sin 30°. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.

Dönüşümlerden sonra “a” 60 / (0,5 * 0,5 * 15) değerine eşit olur. Yani 16.

Cevap. Gerekli kenar 16 cm'dir.

Dik üçgenin içine yazılan kareyle ilgili problem

Durum. Bir kenarı 24 cm olan karenin tepe noktası üçgenin dik açısına denk gelir. Diğer ikisi yanlarda yatıyor. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm'dir Dik üçgenin alanı nedir?

Çözüm. İki dik üçgen düşünün. Bunlardan ilki görevde belirtilendir. İkincisi orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak açıları vardır ve paralel çizgilerden oluşurlar.

O halde bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin kenarları 24 cm'ye (karenin kenarı) ve 18 cm'ye eşittir (42 cm'lik kenardan karenin kenarını 24 cm çıkarırız). Büyük bir üçgenin karşılık gelen bacakları 42 cm ve x cm'dir, üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu “x”tir.

18/42 = 24/x yani x = 24*42/18 = 56 (cm) olur.

Daha sonra alan 56 ile 42'nin ikiye bölünmesine, yani 1176 cm2'ye eşittir.

Cevap. Gerekli alan 1176 cm2'dir.

Talimatlar

Partiler ve açılar temel unsurlar olarak kabul edilir A. Bir üçgen tamamen aşağıdaki temel unsurlardan herhangi biriyle tanımlanır: ya üç kenar, ya bir kenar ve iki açı, ya da iki kenar ve bunların arasındaki bir açı. Varoluş için üçgen a, b, c üç tarafıyla verildiğinde eşitsizlik adı verilen eşitsizlikleri sağlamak gerekli ve yeterlidir üçgen:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

İnşaat için üçgen a, b, c'nin üç tarafında, CB = a bölümünün C noktasından bir pusula kullanarak b yarıçaplı bir daire çizmek gerekir. Daha sonra aynı şekilde B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Bunların kesişme noktası A, istenilen noktanın üçüncü köşesidir. üçgen ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - kenarlar üçgen. Eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa problem vardır. üçgen 1. adımda belirtildi.

Alan S bu şekilde inşa edildi üçgen Tarafları bilinen a, b, c olan ABC, Heron formülü kullanılarak hesaplanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))
burada a, b, c kenarlardır üçgen, p – yarı çevre.
p = (a+b+c)/2

Bir üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a=b=c).Alan üçgen formülle hesaplanır:
S=(a^2 v3)/4

Üçgen dik açılı ise, yani açılarından biri 90° ise ve onu oluşturan kenarlar dik ise üçüncü kenar hipotenüstür. Bu durumda kare bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S=ab/2

Bulmak kare üçgen birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak bir formül seçin.

İhtiyacın olacak

• Bir üçgenin alanını bulmak için formül bilgisi

Talimatlar

Kenarlardan birinin boyutunu ve bu tarafa indirilen yüksekliğin karşı taraftaki açının değerini biliyorsanız, aşağıdaki formülü kullanarak alanı bulabilirsiniz: S = a*h/2, burada S alandır Üçgenin a'sı, üçgenin kenarlarından biridir ve h - a tarafının yüksekliğidir.

Üç tarafı biliniyorsa üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yöntemi vardır. Bu Heron'un formülüdür. Kaydedilmesini kolaylaştırmak için bir ara değer eklenir - yarı çevre: p = (a+b+c)/2, burada a, b, c - . O halde Heron'un formülü şu şekildedir: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ üssü.

Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a tarafının karşısındaki açıdır ve α ve γ, tarafa bitişik açılardır.

Konuyla ilgili video

Not

Tüm durumlar için uygun olan en genel formül Heron formülüdür.

Kaynaklar:

İpucu 3: Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Bir üçgenin alanını bulmak okul planimetrisinde en sık karşılaşılan sorunlardan biridir. Bir üçgenin üç kenarını bilmek herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Eşkenar üçgenlerin özel durumlarında sırasıyla iki ve bir kenarın uzunluklarını bilmek yeterlidir.

İhtiyacın olacak

• üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimatlar

Heron'un üçgenin alanı formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarı çevre p'yi yazarsak şunu elde ederiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Örneğin kosinüs teoremini uygulayarak bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs teoremine göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Sunulan gösterimler kullanılarak bunlar şu şekilde de yazılabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı da iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak S = a*c*sin(ABC)/2 formülüyle bulunur. ABC açısının sinüsü, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade edilebilir: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Alan formülünde sinüsü yerine koyarak ve bunu yazarak ABC üçgeninin alan formülüne ulaşabilirsiniz.

Konuyla ilgili video

Onarım işini gerçekleştirmek için ölçüm yapılması gerekebilir. kare duvarlar Bu, gerekli boya veya duvar kağıdı miktarını hesaplamayı kolaylaştırır. Ölçümler için bir mezura veya şerit metre kullanmak en iyisidir. Ölçümler daha sonra yapılmalıdır. duvarlar tesviye edildi.

İhtiyacın olacak

• -rulet;
• -merdiven.

Talimatlar

Saymak kare duvarlar, tavanların tam yüksekliğini bilmeniz ve ayrıca zemin boyunca uzunluğu ölçmeniz gerekir. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın ve süpürgeliğin üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle onu köşeye sabitleyin ve ardından maksimum uzunluğa kadar açın. Bu noktada kalemle bir işaret koyun, elde edilen sonucu yazın ve son ölçüm noktasından başlayarak aynı şekilde diğer ölçümleri yapın.

Standart tavanlar eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetredir. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. Eğer hesaplıyorsan kare onarım çalışmaları için küçük bir tedarik zarar görmez - standarda göre düşünün. Hala gerçek yüksekliği bilmeniz gerekiyorsa ölçüm yapın. Prensip uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir seyyar merdivene ihtiyacınız olacak.

Ortaya çıkan göstergeleri çarpın - bu kare senin duvarlar. Doğru, resim yaparken veya boyamak için çıkarmak gerekir kare kapı ve pencere açıklıkları. Bunu yapmak için açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Daha sonra değiştireceğiniz bir kapıdan bahsediyorsak, yalnızca dikkate alarak kapı çerçevesini sökerek devam edin. kare doğrudan açıklığın kendisine. Pencerenin alanı çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında kare hesaplanan pencere ve kapı aralığı, sonucu odanın toplam alanından çıkarın.

Odanın uzunluğunu ve genişliğini ölçmenin iki kişi tarafından yapıldığını lütfen unutmayın; bu, bir santimetre veya şerit metreyi sabitlemeyi ve dolayısıyla daha doğru bir sonuç almayı kolaylaştırır. Aldığınız sayıların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.

Konuyla ilgili video

Bir üçgenin hacmini bulmak gerçekten önemsiz olmayan bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, bu da hacminin olmadığı anlamına gelir. Olmayan bir şeyi elbette bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Şu varsayımı kabul edebiliriz: İki boyutlu bir şeklin hacmi onun alanıdır. Üçgenin alanını arayacağız.

İhtiyacın olacak

• kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi

Talimatlar

Bir cetvel ve kalem kullanarak bir kağıt parçası üzerine çizim yapın. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlem üzerine çizildiği için gerçekte bir üçgenin olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.

Üçgenin herhangi bir kenarını cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, ölçülen tarafa dik olanı karşısındaki tepe noktasından geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, "h" dikmesi "A" köşesinden "c" kenarına geri getirilir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçüm sonucunu yazın.

Tam dikliği geri getirmeniz zor olabilir. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, kenarların elde edilen uzunluklarını toplayıp toplamlarını ikiye bölerek “p” üçgeninin yarı çevresini hesaplayın. Yarı çevrenin değeri elinizin altında olduğundan Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için aşağıdakilerin karekökünü almanız gerekir: p(p-a)(p-b)(p-c).

Üçgenin gerekli alanını elde ettiniz. Üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi ancak yukarıda da belirtildiği gibi hacmi çözülmedi. Üç boyutlu dünyada aslında üçgen olan bir hacim bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun elde ettiğimiz üçgenin alanıyla çarpımı olacaktır.

Not

Ne kadar dikkatli ölçerseniz hesaplamalarınız o kadar doğru olur.

Kaynaklar:

• Hesap Makinesi “Her şeyden her şeye” - referans değerleri için bir portal
• 2019'daki üçgen hacmi

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz şekilde tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bu düz şeklin, çevresi ile sınırlı olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. kare. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimatlar

Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalarınıza ile başlayın. Her bir tarafın uzunluğu, koordinat eksenleri üzerindeki çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenar uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) ekleyin. Bunun tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olması gerçeğinden yola çıkarak: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ, a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolaylıkla tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne 2'ye bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve şuna bölmeniz gerekir: 4.

Alan kavramı

Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için geometrik şekillerin alanları kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım.

Özellik 1: Geometrik şekillerin eşit olması durumunda alanları da eşittir.

Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.

Bir örneğe bakalım.

örnek 1

Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri bir dikdörtgenin köşegenidir, bir kenarının uzunluğu 5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır), diğeri $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı

O zaman üçgenin alanı eşittir

Cevap: 15$.

Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron formülünü ve eşkenar üçgenin alanını kullanarak.

Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.

Matematiksel olarak şöyle görünüyor

$S=\frac(1)(2)αh$

burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.

$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem kanıtlandı.

Örnek 2

Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun

Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$'dır. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Cevap: 40,5$.

Heron'un formülü

Teorem 2

Bize $α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.

Kanıt.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$, yani

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$