Örtülü olarak belirtilen, yani değişkenleri birbirine bağlayan belirli denklemlerle belirtilen fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz. X Ve sen. Örtülü olarak belirtilen işlevlere örnekler:

,

,

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonların türevleri veya örtülü fonksiyonların türevleri oldukça basit bir şekilde bulunur. Şimdi ilgili kurala ve örneğe bakalım ve ardından genel olarak bunun neden gerekli olduğunu öğrenelim.

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini bulmak için denklemin her iki tarafının x'e göre türevini almanız gerekir. Yalnızca X'in mevcut olduğu terimler, fonksiyonun X'ten olağan türevine dönüşecektir. Ve oyun X'in bir fonksiyonu olduğundan, oyunun terimleri karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı kullanılarak türevlendirilmelidir. Oldukça basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, terimin x ile elde edilen türevi şu sonucu vermelidir: fonksiyonun y'den türevi ile çarpı y'den türev. Örneğin bir terimin türevi olarak, bir terimin türevi olarak yazılacaktır. Daha sonra, tüm bunlardan bu "oyun vuruşunu" ifade etmeniz gerekiyor ve örtülü olarak belirtilen fonksiyonun istenen türevi elde edilecektir. Buna bir örnekle bakalım.

Örnek 1.

Çözüm. i'nin x'in bir fonksiyonu olduğunu varsayarak denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz:

Buradan görevde gerekli olan türevi elde ederiz:

Şimdi örtülü olarak belirtilen fonksiyonların belirsiz özellikleri ve bunların farklılaşması için neden özel kurallara ihtiyaç duyulduğu hakkında bir şeyler konuşalım. Bazı durumlarda oyun yerine belirli bir denklemin içine x cinsinden ifadeyi koymak (yukarıdaki örneklere bakın), bu denklemin bir kimliğe dönüşmesine yol açacağından emin olabilirsiniz. Bu yüzden. Yukarıdaki denklem dolaylı olarak aşağıdaki işlevleri tanımlar:

Kareli oyunun ifadesini x'e kadar orijinal denklemde değiştirdikten sonra özdeşliği elde ederiz:

.

Yerine koyduğumuz ifadeler oyunun denklemi çözülerek elde edildi.

Karşılık gelen açık fonksiyonun türevini alırsak

o zaman örtülü olarak belirtilen bir fonksiyondan örnek 1'deki gibi cevabı alırız:

Ancak örtülü olarak belirtilen her işlev formda temsil edilemez. sen = F(X) . Yani, örneğin örtülü olarak belirtilen işlevler

temel fonksiyonlarla ifade edilmez, yani bu denklemler oyuna göre çözülemez. Bu nedenle, örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini almak için daha önce incelediğimiz ve diğer örneklerde tutarlı bir şekilde uygulayacağımız bir kural vardır.

Örnek 2.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Örtülü olarak belirtilen fonksiyonun asal değerini ve - çıktıda - türevini ifade ederiz:

Örnek 3.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Çözüm. Denklemin her iki tarafını x'e göre farklılaştırıyoruz:

.

Örnek 4.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

.

Çözüm. Denklemin her iki tarafını x'e göre farklılaştırıyoruz:

.

Türevi ifade edip elde ediyoruz:

.

Örnek 5.Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm. Denklemin sağ tarafındaki terimleri sol tarafa taşıyıp sağda sıfır bırakıyoruz. Denklemin her iki tarafının da x'e göre türevini alıyoruz.

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Derslerim uygulamalı olduğu için tanım ve teoremlerden kaçınmaya çalışıyorum ama burada bunu yapmak uygun olur. Zaten bir işlev nedir?

Tek değişkenli fonksiyon, bağımsız değişkenin her değeri için fonksiyonun bir ve yalnızca bir değerinin bulunduğunu belirten bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev.

Kabaca söylemek gerekirse, bu durumda “Y” harfi fonksiyondur.

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Sol tarafta tek bir "Y" (fonksiyonu) olduğunu ve sağ tarafta ise - olduğunu görüyoruz. yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: - örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

Sadece utanç verici noktaya kadar bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir

İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın - aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:

Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, - bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada "oyunu" ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat! Kısmi türevleri nasıl güvenle bulacağınızı biliyorsanız, ikinci yönteme aşina olabilirsiniz. Matematiksel analiz çalışmalarına yeni başlayanlar ve yeni başlayanlar, lütfen bu noktayı okuyup atlamayın, aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Tanım.\(y = f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde \(\Delta x \) bir artış verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına giderken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir. bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğuna, ancak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla doğal olarak ilişkili olduğuna dikkat edin. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.

Türevin geometrik anlamıŞöyleki. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.

Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun belirli bir \(x\) noktasında türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “neredeyse orantılıdır” ve orantı katsayısı belirli bir x noktasında türevin değeridir. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, yeni bir \(x+ \Delta x \) noktasına gidin, \(f(x+ \Delta x) \)'yi bulun
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

Bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.

Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.

Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde, özellikle x = 0 noktasında süreklidir, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.

Bir örnek daha. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizginin açı katsayısı yoktur, yani \(f) "(0)\) mevcut değil.

Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?

Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğinin bir noktada teğeti yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C sabit bir sayıysa ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

Bazı fonksiyonların türevleri tablosu

Örtük olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi

Veya kısacası örtülü bir fonksiyonun türevi. Örtük işlev nedir? Derslerim uygulamalı olduğu için tanım ve teoremlerden kaçınmaya çalışıyorum ama burada bunu yapmak uygun olur. Zaten bir işlev nedir?

Tek değişkenli fonksiyon bağımsız değişkenin her değerinin, fonksiyonun yalnızca bir değerine karşılık geldiği bir kuraldır.

Değişken denir bağımsız değişken veya argüman.
Değişken denir bağımlı değişken veya işlev.

Kabaca söylemek gerekirse, bu durumda “Y” harfi fonksiyondur.

Şu ana kadar tanımlanan fonksiyonlara baktık. açık biçim. Bu ne anlama geliyor? Belirli örnekler kullanarak bir bilgilendirme yapalım.

İşlevi düşünün

Solda yalnız bir “oyun” (işlev) olduğunu ve sağda ise - yalnızca "X'ler". Yani, fonksiyon açıkça bağımsız değişken aracılığıyla ifade edilir.

Başka bir fonksiyona bakalım:

Değişkenlerin karıştığı yer burasıdır. Dahası hiçbir şekilde imkansız“Y”yi yalnızca “X” aracılığıyla ifade edin. Bu yöntemler nelerdir? Terimleri işaret değiştirerek parçadan parçaya aktarmak, parantezlerin dışına taşımak, orantı kuralına göre çarpanları atmak vb. Eşitliği yeniden yazın ve “y”yi açıkça ifade etmeye çalışın: . Denklemi saatlerce çarpıtıp çevirebilirsiniz ama başaramazsınız.

Sizi tanıştırayım: – örnek örtülü işlev.

Matematiksel analiz sırasında örtülü fonksiyonun olduğu kanıtlandı. var(ancak her zaman değil), bir grafiği vardır (tıpkı “normal” bir fonksiyon gibi). Örtülü işlev tamamen aynıdır var birinci türev, ikinci türev vb. Dedikleri gibi, cinsel azınlıkların tüm haklarına saygı duyulmaktadır.

Ve bu derste örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. O kadar da zor değil! Tüm türev alma kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu yürürlükte kalır. Aradaki fark, şu anda inceleyeceğimiz tuhaf bir andadır.

Evet, size iyi haberi vereceğim - aşağıda tartışılan görevler, üç parçanın önünde taş olmadan oldukça katı ve net bir algoritmaya göre gerçekleştirilir.

örnek 1

1) İlk aşamada her iki parçaya da vuruşlar ekliyoruz:

2) Türevin doğrusallık kurallarını kullanıyoruz (dersin ilk iki kuralı) Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri):

3) Doğrudan farklılaşma.
Nasıl ayırt edileceği tamamen açıktır. Vuruşların altında “oyunların” olduğu yerde ne yapmalı?

- utanç verici derecede, bir fonksiyonun türevi türevine eşittir: .

Nasıl ayırt edilir
İşte elimizde karmaşık fonksiyon. Neden? Görünüşe göre sinüsün altında sadece bir "Y" harfi var. Ama gerçek şu ki, yalnızca bir "y" harfi var - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(Dersin başındaki tanıma bakınız). Dolayısıyla sinüs harici bir fonksiyondur ve dahili bir fonksiyondur. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Ürünü olağan kurala göre farklılaştırıyoruz :

Lütfen şunu unutmayın – aynı zamanda karmaşık bir fonksiyondur, herhangi bir “çın ve ıslıklı oyun” karmaşık bir işlevdir:

Çözümün kendisi şöyle görünmelidir:


Parantez varsa bunları genişletin:

4) Sol tarafta içinde asal sayı olan “Y” içeren terimleri topluyoruz. Diğer her şeyi sağ tarafa taşıyın:

5) Sol tarafta türevi parantezlerden çıkarıyoruz:

6) Ve orantı kuralına göre bu parantezleri sağ taraftaki paydaya bırakıyoruz:

Türevi bulunmuştur. Hazır.

Herhangi bir fonksiyonun örtülü olarak yeniden yazılabileceğini belirtmek ilginçtir. Örneğin, fonksiyon şu şekilde yeniden yazılabilir: . Ve az önce tartışılan algoritmayı kullanarak bunu ayırt edin. Aslında, "örtük işlev" ve "örtük işlev" ifadeleri bir anlamsal nüansta farklılık gösterir. “Örtülü olarak belirtilen işlev” ifadesi daha genel ve doğrudur, – bu işlev örtülü olarak belirtilmiştir, ancak burada “oyunu” ifade edebilir ve işlevi açıkça sunabilirsiniz. "Örtülü işlev" ifadesi, "y" ifade edilemediğinde "klasik" örtülü işlevi ifade eder.

İkinci çözüm

Dikkat!İkinci yönteme ancak güvenle nasıl bulacağınızı biliyorsanız alışabilirsiniz. kısmi türevler. Calculus'a yeni başlayanlar ve acemiler, lütfen okumayın ve bu noktayı atlamayın aksi takdirde kafanız tamamen karışacaktır.

İkinci yöntemi kullanarak örtülü fonksiyonun türevini bulalım.

Tüm terimleri sol tarafa taşıyoruz:

Ve iki değişkenli bir fonksiyonu düşünün:

Daha sonra türevimiz aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Kısmi türevleri bulalım:

Böylece:

İkinci çözüm, bir kontrol yapmanızı sağlar. Ancak ödevin son versiyonunu yazmaları tavsiye edilmez, çünkü kısmi türevler daha sonra öğrenilir ve "Tek değişkenli bir fonksiyonun türevi" konusunu inceleyen bir öğrencinin henüz kısmi türevleri bilmemesi gerekir.

Birkaç örneğe daha bakalım.

Örnek 2

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçaya da kontur ekleyin:

Doğrusallık kurallarını kullanıyoruz:

Türevlerin bulunması:

Tüm parantezlerin açılması:

Tüm terimleri sol tarafa, geri kalanını sağ tarafa taşıyoruz:

Sol tarafta onu parantezlerin dışına çıkardık:

Son cevap:

Örnek 3

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım.

Farklılaşma sonrasında kesirlerin ortaya çıkması alışılmadık bir durum değildir. Bu gibi durumlarda kesirlerden kurtulmanız gerekir. İki örneğe daha bakalım.

Örnek 4

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevini bulun

Her iki parçayı da konturların altına alıyoruz ve doğrusallık kuralını kullanıyoruz:

Fonksiyon örtülü olarak denklem olarak verilsin
. Bu denklemin şuna göre farklılaştırılması X ve elde edilen denklemin türete göre çözülmesi , birinci dereceden türevi (birinci türev) bulalım. Farklılaştırma X birinci türevi örtülü fonksiyonun ikinci türevini elde ederiz. Zaten bulunan değeri değiştirme ikinci türevin ifadesinde şunu ifade ederiz: başından sonuna kadar X Ve sen.Üçüncü dereceden türevi (ve daha fazlasını) bulmak için benzer şekilde ilerliyoruz.

Örnek.Bul , Eğer
.

Çözüm: Denklemin şuna göre türevini alın: X:
. Buradan buluyoruz
. Daha öte .

Parametrik olarak belirtilen fonksiyonlardan daha yüksek mertebeden türevler.

Fonksiyona izin ver
parametrik denklemlerle verilir
.

Bilindiği gibi birinci türev formülle bulunur
. İkinci türevi bulalım
yani
. Aynı şekilde
.

Örnek. İkinci türevi bulun
.

Çözüm: Birinci türevi bulun
. İkinci türevi bulma
.

Fonksiyon diferansiyeli.

Fonksiyona izin ver
türevlenebilir
. Bu fonksiyonun bir noktada türevi
eşitlikle belirlenir
. Davranış
en
, bu nedenle türevden farklıdır
b.m. miktarına göre, yani. yazılabilir
(
). Her şeyi şununla çarpalım
, alıyoruz
. Fonksiyon artışı
iki terimden oluşur. ilk dönem
- Artışın ana kısmı diferansiyel fonksiyondur.

Def. Fonksiyon diferansiyeli
Türevin çarpımı ile argümanın artışı denir. Belirlenmiş
.

Bağımsız değişkenin diferansiyeli, artışıyla çakışıyor
.

(). Böylece diferansiyelin formülü yazılabilir.
. Bir fonksiyonun diferansiyeli, türevinin ve bağımsız değişkenin diferansiyelinin çarpımına eşittir. Bu ilişkiden türevin diferansiyellerin oranı olarak değerlendirilebileceği sonucu çıkar.
.

Diferansiyel yaklaşık hesaplamalarda kullanılır. Çünkü ifadede
ikinci dönem
sonsuz küçük bir miktar yaklaşık eşitliğe sahiptir
veya genişletilmiş biçimde

Örnek: Yaklaşık değeri hesaplayın
.

İşlev
bir türevi var
.

Formüle göre (*) : .

Örnek: bir fonksiyonun diferansiyelini bulma

Diferansiyelin geometrik anlamı.

Fonksiyonun grafiğine git
M noktasında ( X;sen) bir teğet çizin ve bu teğetin noktanın koordinatını düşünün X+∆ X. Şekilde AM=∆ X AM 1 =∆ en∆MAV'dan
, buradan
, ancak tanjantın geometrik anlamına göre
. Bu yüzden
. Bu formülü diferansiyel formülle karşılaştırırsak şunu elde ederiz:
yani diferansiyel fonksiyon
noktada X bu noktada fonksiyonun grafiğine teğetin ordinatındaki artışa eşittir; X artış alır ∆х.

Diferansiyel hesaplama kuralları.

Fonksiyon diferansiyelinden beri
türevden bir faktör kadar farklıdır
, türevi hesaplamak için tüm kurallar diferansiyeli hesaplamak için kullanılır (dolayısıyla "farklılaşma" terimi).

İki türevlenebilir fonksiyon verilsin
Ve
ise diferansiyel aşağıdaki kurallara göre bulunur:

1)

2)
İle -yapı

3)

4)
(
)

5) karmaşık bir fonksiyon için
, Nerede

(Çünkü
).

Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun ara argümana ve bu ara argümanın diferansiyeline göre türevinin çarpımına eşittir.

Türev uygulamalar.

Ortalama değer teoremleri.

Rolle teoremi. Eğer fonksiyon
segmentte sürekli
ve açık aralıkta türevlenebilir
ve segmentin uçlarında eşit değerler alıyorsa
, o zaman aralıkta
böyle en az bir nokta var İle türevin sıfıra gittiği, yani
, A< C< B.

Geometrik olarak Rolle teoremi, fonksiyonun grafiğinde şu anlama gelir:
Grafiğe teğetin eksene paralel olduğu bir nokta var Ah.

Lagrange teoremi. Eğer fonksiyon
segmentte sürekli
ve aralıkta türevlenebilir
, o zaman en az bir nokta var
öyle ki eşitlik.

Formüle Lagrange formülü veya sonlu artış formülü denir: türevlenebilir bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki artışı
argümanın artışının bu parçanın bir iç noktasındaki türevin değeriyle çarpımına eşittir.

Lagrange teoreminin geometrik anlamı: grafikteki fonksiyonlar
bir nokta var C(ler;F(C)) fonksiyonun grafiğinin teğetinin sekantına paralel olduğu AB.

Cauchy teoremi. Eğer işlevler
Ve
segmentte sürekli
, aralıkta türevlenebilir
, Ve
İçin
, o zaman en az bir nokta var
eşitlik geçerli olacak şekilde
.

Cauchy teoremi limitlerin hesaplanmasında yeni bir kuralın temelini oluşturur.

L'Hopital kuralı.

Teorem:(L'Hopital kuralı - formdaki belirsizliklerin açıklanması ). Fonksiyonlara izin ver
Ve
Bir noktanın komşuluğunda sürekli ve türevlenebilir X 0 ve bu noktada ortadan kaybol
. Bırak gitsin
bir noktanın yakınında X 0 . bir sınır varsa
, O
.

Kanıt: Fonksiyonlara uygula
Ve
Bir segment için Cauchy teoremi

Bir noktanın yakınında uzanmak X 0 . Daha sonra
, Nerede X 0 < C< X. Çünkü
aldık
. Hadi sınıra gidelim

. Çünkü
, O
, Bu yüzden
.

Yani iki b.m oranının sınırı. ikincisi mevcutsa, türevlerinin oranının sınırına eşit
.

Teorem.(L'Hopital'in biçimdeki belirsizlikleri açıklamaya ilişkin kuralı
) Fonksiyonlara izin ver
Ve
Bir noktanın komşuluğunda sürekli ve türevlenebilir X 0 (belki de asıl nokta hariç) X 0 ), bu civarda
,
. Bir sınır varsa

, O
.

Formun belirsizlikleri (
) iki ana ( ),
özdeş dönüşümler yoluyla.

Örnek: