Bu fonksiyonu Fourier serisine genişletin. Fourier serisi: matematiksel mekanizmanın tarihi ve bilimin gelişimi üzerindeki etkisi

Fonksiyonların bileşenlere ayrıştırılması. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer f(x) fonksiyonlarını 0 ila π aralığında elde etmek istiyorsanız, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

f(x) fonksiyonunun Fourier serisini -L/2≤x≤L/2 aralığında bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π'lik bir periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Ancak çoğu zaman yukarıdaki formül x'e bağımlılıkla sonuçlanır. u=2πx/L olduğundan du=(2π/L)dx anlamına gelir ve integralin sınırları - π ila π yerine -L/2 ila L/2 arasındadır. Sonuç olarak, x'e bağımlılık için Fourier serisi şu şekildedir:

Fourier serisinin katsayıları -L/2 ila L/2 aralığındadır,

(Entegrasyon sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.

Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

f(x) fonksiyonunun Fourier serisini -L/2≤x≤L/2 aralığında bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π'lik bir periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegrasyon sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Fourier serileri, belirli bir periyoda sahip keyfi bir fonksiyonun seri şeklinde temsilidir. Genel olarak bu çözüme bir elemanın ortogonal temele göre ayrıştırılması denir. Fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi, entegrasyon, türev alma ve ifadelerin argüman ve evrişim yoluyla değiştirilmesi sırasındaki bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Yüksek matematiğe ve Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarına aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu "dizilerin" ne olduğunu ve ne için gerekli olduklarını anlamayacaktır. Bu arada bu dönüşüm hayatımıza oldukça entegre oldu. Sadece matematikçiler tarafından değil aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve daha birçok kişi tarafından da kullanılmaktadır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının çalışmalarına da daha yakından bakalım.

İnsan ve Fourier dönüşümü

Fourier serileri (analiz ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biridir. Bu süreç, kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız elastik bir ortamdaki temel parçacıkları otomatik olarak farklı yükseklikteki tonlar için ardışık ses seviyesi sıralarına (spektrum boyunca) dönüştürür. Daha sonra beyin bu verileri aşina olduğumuz seslere dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzumuz veya bilincimiz olmadan kendi kendine gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik okumak birkaç yıl alacaktır.

Fourier dönüşümü hakkında daha fazla bilgi

Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemler kullanılarak gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitleri ve ışık dalgalarından güneş (ve diğer astronomik nesnelerin) faaliyet döngülerine kadar her türlü salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yöntemini ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, herhangi bir salınımlı süreci minimumdan maksimuma ve geriye doğru hareket eden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak temsil eden fonksiyonları analiz edebilirsiniz. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu işlem, termal, ışık veya elektrik enerjisinin etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerindeki sabit bileşenleri izole etmeyi mümkün kılarak tıp, kimya ve astronomide elde edilen deneysel gözlemlerin doğru şekilde yorumlanmasını mümkün kılar.

Tarihsel referans

Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüme daha sonra onun adı verildi. Başlangıçta bilim adamı, yöntemini termal iletkenlik mekanizmalarını - ısının katılarda yayılmasını - incelemek ve açıklamak için kullandı. Fourier, başlangıçtaki düzensiz dağılımın, her birinin kendi minimum ve maksimum sıcaklığına ve ayrıca kendi fazına sahip olacak basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve geriye doğru ölçülecektir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarının yanı sıra her bir harmoniğin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyona sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü denir. Teorinin yazarı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan genel dağılım fonksiyonunu, birlikte orijinal dağılımı veren çok uygun bir kosinüs ve sinüs serisine indirgemiştir.

Dönüşüm ilkesi ve çağdaşların görüşleri

Bilim adamının çağdaşları, on dokuzuncu yüzyılın başlarının önde gelen matematikçileri, bu teoriyi kabul etmediler. Ana itiraz, Fourier'in, düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun, sürekli olan sinüzoidal ifadelerin toplamı olarak temsil edilebileceği yönündeki iddiasıydı. Örnek olarak Heaviside adımını düşünün: değeri süreksizliğin solunda sıfır, sağında ise birdir. Bu fonksiyon, devre kapatıldığında elektrik akımının geçici bir değişkene bağımlılığını açıklar. O dönemde teorinin çağdaşları, süreksiz bir ifadenin üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlandığı benzer bir durumla hiç karşılaşmamışlardı.

Fourier'in teorisi konusunda Fransız matematikçilerin kafasını karıştıran şey neydi?

Sonuçta, eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman sonsuz trigonometrik Fourier serisini toplayarak, birçok benzer adıma sahip olsa bile adım ifadesinin doğru bir temsili elde edilebilir. On dokuzuncu yüzyılın başında böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen, birçok matematikçi bu fenomenle ilgili çalışmalarının kapsamını genişleterek konuyu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Ancak çoğu bilim adamı şu soruyla işkence görmeye devam etti: "Sinüzoidal bir serinin toplamı süreksiz fonksiyonun tam değerine yakınlaşabilir mi?"

Fourier serilerinin yakınsaklığı: bir örnek

Yakınsaklık sorunu, sonsuz sayı serilerini toplamanın gerekli olduğu her durumda ortaya çıkar. Bu olguyu anlamak için klasik bir örneği düşünün. Sonraki her adım bir öncekinin yarısı kadar olursa duvara ulaşabilecek misiniz? Diyelim ki hedefinizden iki metre uzaktasınız, ilk adım sizi yolun yarısına, sonraki adım dörtte üçüne götürüyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat etmiş olacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın matematiksel anlamda amaçladığınız hedefe ulaşamazsınız. Sayısal hesaplamalar kullanılarak, belirli bir mesafeye kadar yaklaşmanın eninde sonunda mümkün olduğu kanıtlanabilir. Bu ispat yarım, dörtte bir vb. toplamının bire doğru gideceğini göstermeye eşdeğerdir.

Yakınsama Sorunu: İkinci Geliş veya Lord Kelvin'in Enstrümanı

Bu konu on dokuzuncu yüzyılın sonunda gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serilerini kullanmaya çalıştıklarında yeniden gündeme geldi. Bu sırada Lord Kelvin, askeri ve ticari denizci denizcilerin bu doğal fenomeni izlemesine olanak tanıyan analog bir bilgisayar cihazı olan bir alet icat etti. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen gelgit yükseklikleri ve bunlara karşılık gelen zaman noktalarından oluşan bir tablodan aşamaları ve genlikleri belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümler, bir sonraki yıl için suyun yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin eden bir eğri sentezleyen Lord Kelvin'in hesaplama cihazına aktarıldı. Çok geçmeden dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.

Peki ya süreç süreksiz bir işlev nedeniyle kesintiye uğrarsa?

O zamanlar, çok sayıda sayma elemanına sahip bir gelgit dalgası öngörücünün, çok sayıda fazı ve genliği hesaplayabileceği ve dolayısıyla daha doğru tahminler sağlayabileceği açık görünüyordu. Ancak sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği yani süreksiz olduğu durumlarda bu örüntünün görülmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veriler girilirse, birkaç Fourier katsayısı hesaplanır. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara uygun olarak) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ifade ile yeniden oluşturulmuş ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında en büyük hatanın değerinin düşmediği açıktır. Ancak süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalize olurlar ve diğer herhangi bir noktada sıfıra yönelirler. 1899'da bu sonuç Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.

Fourier serilerinin yakınsaması ve genel olarak matematiğin gelişimi

Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda sivri uç içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak Fourier serileri, orijinal fonksiyon gerçek bir fiziksel ölçümün sonucuyla temsil ediliyorsa her zaman yakınsar. Bu sürecin belirli fonksiyon sınıfları için yakınsamasına ilişkin sorular, matematikte yeni dalların, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinin ortaya çıkmasına yol açtı. L. Schwartz, J. Mikusinski ve J. Temple gibi isimlerle anılmaktadır. Bu teori çerçevesinde Dirac delta fonksiyonu (bir noktanın sonsuz küçük komşuluğunda yoğunlaşan tek bir alanın bölgesini tanımlar) ve Heaviside “adımı” gibi ifadelere açık ve kesin bir teorik temel oluşturulmuştur. Bu çalışma sayesinde Fourier serisi, sezgisel kavramları içeren denklemlerin ve problemlerin çözümünde uygulanabilir hale geldi: nokta yükü, nokta kütlesi, manyetik dipoller ve bir ışın üzerindeki konsantre yük.

Fourier yöntemi

Fourier serileri girişim ilkelerine uygun olarak karmaşık formların daha basit formlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, düzensiz şekilli ısı yalıtım malzemesinden yapılmış çeşitli engellerden geçmesi veya dünya yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, bir gök cisminin yörüngesindeki bir değişiklik - etki ile açıklanır. gezegenlerin. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan bu tür denklemler, her bir dalga için kolayca çözülebilir. Fourier, daha karmaşık sorunlara çözüm üretmek için basit çözümlerin de toplanabileceğini gösterdi. Matematiksel açıdan Fourier serileri, bir ifadeyi harmoniklerin (kosinüs ve sinüs) toplamı olarak temsil etmeye yönelik bir tekniktir. Bu nedenle bu analize “harmonik analiz” de denilmektedir.

Fourier serisi - “bilgisayar çağından” önce ideal bir teknik

Bilgisayar teknolojisinin yaratılmasından önce Fourier yöntemi, dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephaneliğindeki en iyi silahtı. Karmaşık formdaki Fourier serisi, yalnızca Newton'un mekanik yasalarının doğrudan uygulanmasına uygun basit problemleri değil, aynı zamanda temel denklemleri de çözmeyi mümkün kılar. On dokuzuncu yüzyılda Newton biliminin keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.

Fourier serisi bugün

Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Fourier dönüşümleri niteliksel olarak yeni bir düzeye yükseldi. Bu teknik, bilim ve teknolojinin neredeyse tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek dijital ses ve videodur. Uygulanması ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçinin geliştirdiği bir teori sayesinde mümkün oldu. Böylece karmaşık bir formdaki Fourier serisi, uzay araştırmalarında bir atılım yapmayı mümkün kıldı. Ayrıca yarı iletken malzeme ve plazma fiziği, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar ve sismoloji çalışmalarını da etkiledi.

Trigonometrik Fourier serisi

Matematikte Fourier serisi, rastgele karmaşık fonksiyonları daha basit fonksiyonların toplamı olarak temsil etmenin bir yoludur. Genel durumlarda bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Üstelik hesaplamada sayıları ne kadar dikkate alınırsa nihai sonuç o kadar doğru olur. Çoğu zaman, kosinüs veya sinüsün trigonometrik fonksiyonları en basitleri olarak kullanılır. Bu durumda Fourier serilerine trigonometrik, bu tür ifadelerin çözümüne ise harmonik genişleme adı verilir. Bu yöntem matematikte önemli bir rol oynar. Her şeyden önce trigonometrik seri, fonksiyonları tasvir etmek ve incelemek için bir araç sağlar; teorinin ana aracıdır. Ayrıca matematiksel fizikteki bir takım problemleri çözmenize olanak sağlar. Son olarak, bu teori matematik biliminin çok önemli bir dizi dalının (integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) gelişmesine katkıda bulunmuştur. Ayrıca, gerçek bir değişkenin aşağıdaki fonksiyonlarının geliştirilmesi için başlangıç ​​noktası görevi gördü ve aynı zamanda harmonik analizin temelini attı.

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye açılımı Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal fonksiyon sistemlerinde Fourier serileri Fourier serileri ortogonal sistem Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Eşitlik Parseval Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı

Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı \-1 aralığında tanımlanan, I > 0 olan bir f(x) fonksiyonu, çift fonksiyonun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olsa bile çağrılır. J parçası üzerinde tanımlanan ve I > 0 olan bir f(x) fonksiyonuna, eğer tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse tek fonksiyon denir. Örnek. a) Fonksiyon |-jt, jt aralığında çifttir, çünkü tüm x e b) Çift ve tek fonksiyonların Fourier serisi açılımı, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya sinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi olduğundan, fonksiyon tektir. kosinüs Keyfi periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serileri Fourier serilerinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı c) Fonksiyon f (x)=x2-x, burada ne çift ne de tek fonksiyonlara ait değildir, çünkü Teorem 1'in koşullarını sağlayan f(x) fonksiyonu x| aralığında çift olsun. O zaman herkes için yani. /(x) cos nx bir çift fonksiyondur ve f(x) sinnx bir tek fonksiyondur. Bu nedenle, bir çift fonksiyon f(x)'in Fourier katsayıları eşit olacaktır. Bu nedenle, bir çift fonksiyonun Fourier serisi, f(x) sin х - bir çift fonksiyon biçimine sahiptir. Bu nedenle, tek bir fonksiyonun Fourier serisi Örnek 1 formunu alır. Fonksiyon 4'ü -x ^ x ^ n aralığında bir Fourier serisine genişletin. Bu fonksiyon çift olduğundan ve Teorem 1'in koşullarını sağladığından, o zaman Fourier serisi Fourier katsayılarını bulun biçimine sahiptir. İntegrali iki kez parçalar halinde uygulayarak şunu elde ederiz: Yani, bu fonksiyonun Fourier serisi şuna benzer: veya genişletilmiş biçimde, Bu eşitlik herhangi bir x € için geçerlidir, çünkü x = ±ir noktalarında toplamı f(x) = x fonksiyonunun grafikleri ve elde edilen serilerin toplamı Şekil 2'de verildiğinden, seri f(x) = x2 fonksiyonunun değerleriyle çakışmaktadır. Yorum. Bu Fourier serisi, yakınsak sayısal serilerden birinin toplamını bulmamızı sağlar, yani x = 0 için Örnek 2'yi elde ederiz. /(x) = x fonksiyonunu aralıktaki bir Fourier serisine genişletin. /(x) fonksiyonu Teorem 1'in koşullarını karşılar, bu nedenle bir Fourier serisine genişletilebilir, bu fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle şu forma sahip olacaktır: Parçalara göre integral alarak Fourier katsayılarını buluruz. Bu fonksiyonun Fourier serisi şu şekildedir: Bu eşitlik x - ±t noktalarındaki tüm x B için geçerlidir, Fourier serilerinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun değerleriyle örtüşmez, çünkü eşittir [-*, i-] aralığının dışında serinin toplamı /(x) = x fonksiyonunun periyodik bir devamıdır; grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. § 6. Bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi Aralıkta sınırlı, parçalı monoton bir fonksiyon / verilsin. Bu fonksiyonun 0| aralığındaki değerleri çeşitli şekillerde daha da tanımlanabilir. Örneğin, tc] segmentinde bir / fonksiyonu tanımlayabilirsiniz, böylece /. Bu durumda şöyle derler: “0] segmentine eşit bir şekilde uzatılır”; Fourier serisi yalnızca kosinüsleri içerecektir. /(x) fonksiyonu [-l-, mc] aralığında /( olacak şekilde tanımlanırsa, sonuç tek fonksiyon olur ve sonra /'nin “[-*, 0] aralığına genişletildiğini” söylerler. tuhaf bir şekilde”; bu durumda Fourier serisi yalnızca sinüsleri içerecektir. Böylece aralıkta tanımlanan her sınırlı parçalı monotonik fonksiyon hem sinüs hem de kosinüslerde bir Fourier serisine genişletilebilir. Fonksiyon bir Fourier serisine genişletilebilir: a) kosinüslerle; b) sinüslere göre. M |-x,0) segmentindeki çift ve tek devamlarıyla bu fonksiyon sınırlı ve parçalı monoton olacaktır. a) /(z)'yi 0 doğru parçasına uzatalım) a) j\x)'i (-тр,0|) doğru parçasına eşit bir şekilde uzatalım (Şek. 7), o zaman onun Fourier serisi i, П= formunu alacaktır. 1 burada Fourier katsayıları eşittir. Bu nedenle, b) /(z)'yi [-x,0] doğru parçasına garip bir şekilde uzatalım (Şekil 8). Sonra Fourier serisi §7. Rastgele periyodu olan bir fonksiyon için Fourier serisi (fix) fonksiyonunun periyodu 21,1 ^ 0 olan periyodik olsun. I > 0 aralığında bir Fourier serisine genişletmek için, x = jt şeklinde bir değişken değişikliği yaparız. . O zaman F(t) = / ^tj fonksiyonu, t argümanının periyotlu periyodik bir fonksiyonu olacaktır ve segment üzerinde bir Fourier serisine genişletilebilir. x değişkenine, yani ayara dönersek, tüm teoremlerin geçerli olduğunu elde ederiz. Periyodu 2π olan Fourier serisi periyodik fonksiyonlar için, keyfi periyodu 21 olan periyodik fonksiyonlar için geçerli kalır. Özellikle, bir Fourier serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için yeterli bir kriter de geçerliliğini korur. Örnek 1. Formülle [-/,/] aralığında verilen, periyodu 21 olan bir periyodik fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 9). Bu fonksiyon çift olduğu için Fourier serisi şu şekle sahiptir: Fourier katsayılarının bulunan değerlerini Fourier serisine değiştirerek elde ederiz. Periyodik fonksiyonların önemli bir özelliğine dikkat edelim. Teorem 5. Eğer bir fonksiyon T periyoduna sahipse ve integrallenebilirse, bu durumda herhangi bir a sayısı için m eşitliği sağlanır. yani uzunluğu T periyoduna eşit olan bir doğru parçasının integrali, bu parçanın sayı eksenindeki konumu ne olursa olsun aynı değere sahiptir. Aslında ikinci integralde değişken değişimini varsayarak yapıyoruz. Bu verir ve dolayısıyla Geometrik olarak bu özellik, Şekil 2'de gölgeli alan durumunda şu anlama gelir: 10 alan birbirine eşittir. Özellikle, periyodu olan bir f(x) fonksiyonu için, çift ve tek fonksiyonların Fourier serisine genişletilmesi, bir aralıkta verilen bir fonksiyonun sinüs veya kosinüs cinsinden bir seriye genişletilmesi, keyfi bir fonksiyon için Fourier serisi periyot Fourier serisinin karmaşık gösterimi Genel ortogonal sistem fonksiyonlarında Fourier serileri Ortogonal sistemdeki Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Örnek 2. x fonksiyonu bir periyotla periyodiktir Bu fonksiyonun tuhaflığı, integralleri hesaplamadan, herhangi biri için şunu söyleyebiliriz: Kanıtlanmış özellik, özellikle periyodu 21 olan bir f(x) periyodik fonksiyonunun Fourier katsayılarının, a'nın bir olduğu formüller kullanılarak hesaplanabileceğini gösterir. keyfi gerçek sayı (cos - ve sin fonksiyonlarının 2/ periyoduna sahip olduğuna dikkat edin). Örnek 3. Periyodu 2x olan bir aralıkta verilen bir fonksiyonu Fourier serisine genişletin (Şekil 11). 4 Bu fonksiyonun Fourier katsayılarını bulalım. Bulduğumuz formülleri koyarsak, Fourier serisi şu şekilde görünecektir: x = jt noktasında (birinci türden süreksizlik noktası) §8'e sahibiz. Fourier serisinin karmaşık kaydı Bu bölümde karmaşık analizin bazı unsurları kullanılmaktadır (bkz. Bölüm XXX, burada karmaşık ifadelerle gerçekleştirilen tüm eylemler kesinlikle gerekçelendirilmiştir). f(x) fonksiyonunun Fourier serisinde genişleme için yeterli koşulları sağlamasına izin verin. Daha sonra x] segmentinde şu formdaki bir dizi ile temsil edilebilir. Euler formüllerini kullanarak Bu ifadeleri cos px ve sin px yerine seri (1) yerine koyarsak aşağıdaki gösterimi tanıtacağız. Sonra (2) serisi şunu alacak: Böylece Fourier serisi (1) karmaşık biçimde (3) temsil edilir. İntegraller aracılığıyla katsayıların ifadelerini bulalım. Benzer şekilde, с, с_п ve с için son formüller şu şekilde yazılabilir: . . Katsayılara с" fonksiyonun karmaşık Fourier katsayıları denir. Periyodik bir periyodik fonksiyon için, Fourier serisinin karmaşık formu, Cn katsayılarının serilerin yakınsaması (3) kullanılarak hesaplandığı şekli alacaktır. ) ve (4) şu şekilde anlaşılmaktadır: (3) ve (4) serilerine verilen değerler için limitler varsa yakınsak denir Örnek. Periyot fonksiyonunu karmaşık bir Fourier serisine genişletin Bu fonksiyon, bir Fourier serisine genişleme için yeterli koşulları karşılar. Bu fonksiyonun karmaşık Fourier katsayılarını bulalım. Çift n için tekimiz var, kısacası. Değerleri yerine koyarsak, sonunda şunu elde ederiz: Bu serinin aşağıdaki gibi yazılabileceğine dikkat edin: Genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri 9.1. Ortogonal fonksiyon sistemleri Bir kare ile tanımlanmış ve [a, 6] aralığında integrallenebilir tüm (gerçek) fonksiyonlar kümesini, yani kendisi için bir integralin mevcut olduğu fonksiyonları, özellikle tüm f(x) fonksiyonlarını sürekli olarak gösterelim. [a , 6] aralığında, 6'ya aittir ve Lebesgue integrallerinin değerleri, Riemann integrallerinin değerleriyle örtüşmektedir. Tanım. Koşul (1) özellikle hiçbir fonksiyonun tam olarak sıfır olmadığını varsayıyorsa, [a, b\ aralığında ortogonal olarak adlandırılan bir fonksiyonlar sistemi. İntegral Lebesgue anlamında anlaşılmaktadır. ve niceliğe fonksiyonun normu deriz. Eğer bir ortogonal sistemde sahip olduğumuz herhangi bir n için bu fonksiyon sistemine ortonormal denir. Eğer (y>(x)) sistemi dik ise, o zaman sistem Örnek 1. Trigonometrik sistem bir doğru parçası üzerinde diktir. Fonksiyonlar sistemi, Örnek 2'deki ortonormal bir fonksiyon sistemidir. Kosinüs sistemi ve sinüs sistemi ortonormaldir. (0, f| aralığında ortogonal olduklarını, ancak ortonormal olmadıklarını (I Ф- 2 için). Normları COS olduğundan Örnek 3. Eşitlik ile tanımlanan polinomlara Legendre polinomları (polinomlar) adı verilir. n = 0'a sahibiz. Fonksiyonların aralıkta bir ortonormal fonksiyon sistemi oluşturduğu kanıtlanabilir. Örneğin, Legendre polinomlarının dikliğini gösterelim. Bu durumda n kere kısmi integral alalım. t/m = (z2 - I)m fonksiyonu için m - I dahil mertebesine kadar tüm türevlerin [-1,1] parçasının uçlarında yok olduğunu buluruz. Tanım. Bir fonksiyonlar sistemi (pn(x)) (a, b) aralığı üzerinde p(x) çıkıntısıyla dik olarak adlandırılır, eğer: 1) tüm n = 1,2,... için integraller varsa. p(x) ağırlık fonksiyonunun tanımlı ve (a, b) aralığının her yerinde pozitif olduğu, p(x)'in yok olabileceği sonlu sayıda noktanın olası istisnası olduğu varsayılmıştır. Formül (3)'te farklılaşmayı yaptıktan sonra buluyoruz. Chebyshev-Hermite polinomlarının, Örnek 4 aralığında dik olduğu gösterilebilir. Bessel fonksiyonları sistemi (jL(pix)^, Bessel fonksiyonunun sıfır aralıklarında diktir. Örnek 5. Chebyshev-Hermite polinomlarını düşünün; ortogonal sistemde Fourier serileri (a, 6) aralığında ortogonal bir fonksiyonlar sistemi olsun ve (cj = const) serisinin bu aralıkta f(x) fonksiyonuna yakınsamasını sağlayın: Son eşitliğin her iki tarafının -sabit ile çarpılması ve x üzerinden a'dan 6'ya kadar integral alınması Sistemin ortogonalliği nedeniyle, bu işlemin genel anlamda tamamen biçimsel bir karaktere sahip olduğunu elde ederiz. Ancak bazı durumlarda, örneğin (4) serisinin düzgün yakınsak olması, tüm fonksiyonların sürekli olması ve (a, 6) aralığının sonlu olması durumunda bu işlem yasaldır. Ancak bizim için artık önemli olan resmi yorumdur. O halde bir fonksiyon verilsin. Formül (5)'e göre c* sayılarını oluşturalım ve yazalım. Sağ taraftaki seriye f(x) fonksiyonunun (^n(i)) sistemine göre Fourier serisi denir. bu sisteme göre f(x) fonksiyonunun Fourier katsayıları denir. Formül (6)'daki ~ işareti yalnızca Cn sayılarının formül (5)'e göre f(x) fonksiyonuyla ilişkili olduğu anlamına gelir (sağdaki serinin hiç yakınsak olduğu varsayılmaz, f fonksiyonuna çok daha az yakınsar) (X)). Dolayısıyla doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Bu serinin özellikleri nelerdir? Hangi anlamda f(x) fonksiyonunu “temsil eder”? 9.3. Ortalama Tanımda Yakınsama. Norm Teorem 6 uzayındaysa bir dizi ortalama olarak ] elemanına yakınsar. Bir dizi ) düzgün bir şekilde yakınsarsa, o zaman ortalama olarak yakınsar. M ()) dizisinin [a, b] aralığında /(x) fonksiyonuna düzgün yakınsak olmasına izin verin. Bu, herkes için, yeterince büyük olan tüm n'ler için, ifademizin buradan çıktığı Dolayısıyla elimizde olduğu anlamına gelir. Bunun tersi doğru değildir: () dizisi ortalama olarak /(x)'e yakınsak olabilir ancak düzgün yakınsak olmayabilir. Örnek. nx dizisini düşünün Bunu görmek kolaydır. Ancak bu yakınsaklık tekdüze değildir: örneğin, n ne kadar büyük olursa olsun, keyfi periyoda sahip bir fonksiyon için kosinüs Fourier serisinde bir e vardır. Fourier serilerinin genel ortogonal fonksiyon sistemleri için Fourier serileri Bir ortogonal sistem için Fourier serileri Fourier katsayılarının minimal özelliği Bessel eşitsizliği Parseval eşitliği Kapalı sistemler Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı ve Let Fonksiyonun Fourier katsayılarını c* ile gösteririz /(x) ) ortonormal bir sistem tarafından b n ^ 1'in sabit bir tam sayı olduğu doğrusal bir kombinasyon düşünün ve integralin minimum değer aldığı sabitlerin değerlerini bulun. Daha detaylı yazalım. Sistemin ortonormalliği nedeniyle terimin integralini alırsak eşitliğin sağ tarafındaki ilk iki terim (7) bağımsızdır ve üçüncü terim negatif değildir. Bu nedenle integral (*), ak = sk'de minimum değer alır. İntegral, /(x) fonksiyonunun Tn(x)'in doğrusal birleşimiyle ortalama kare yaklaşımı olarak adlandırılır. Böylece /\ fonksiyonunun ortalama karekök yaklaşımı minimum değeri aldığında. Tn(x), /(x) fonksiyonunun Fourier serisinin () sistemi üzerindeki 71'inci kısmi toplamı olduğunda. ak = sk olarak ayarlayarak (7)'den Eşitlik (9) elde ederiz, Bessel özdeşliği denir. taraf negatif değilse, bundan Bessel eşitsizliği çıkar. Burada keyfi olarak bulunduğum için, Bessel eşitsizliği güçlendirilmiş bir biçimde temsil edilebilir, yani herhangi bir fonksiyon için / bu fonksiyonun karesel Fourier katsayılarının serisi ortonormal bir sistemde yakınsar. . Sistem [-x, m] aralığında ortonormal olduğundan, trigonometrik Fourier serisinin olağan notasyonuna çevrilen eşitsizlik (10), entegre edilebilir bir kareye sahip herhangi bir /(x) fonksiyonu için geçerli olan do ilişkisini verir. Eğer f2(x) integrallenebilirse, serinin eşitsizliğinin (11) sol tarafında yakınsaması için gerekli koşuldan dolayı bunu elde ederiz. Parseval eşitliği Bazı sistemler için (^'(x)) formül (10)'daki eşitsizlik işareti (tüm f(x) 6 × fonksiyonları için) bir eşittir işaretiyle değiştirilebilir. Ortaya çıkan eşitliğe Parseval-Steklov eşitliği (tamlık koşulu) adı verilir. Bessel'in özdeşliği (9), koşul (12)'yi eşdeğer biçimde yazmamıza izin verir. Dolayısıyla, tamlık koşulunun yerine getirilmesi, /(x) fonksiyonunun Fourier serisinin kısmi toplamlarının Sn(x) fonksiyonuna yakınsaması anlamına gelir. /(x) ortalama olarak, yani uzay normuna göre 6]. Tanım. Bir ortonormal sistem (, b2[аy b]'de tam olarak adlandırılır, eğer her fonksiyon, formun yeterince fazla sayıda terim içeren doğrusal bir kombinasyonu ile ortalama olarak herhangi bir doğrulukla yaklaşık olarak belirlenebiliyorsa, yani herhangi bir fonksiyon için /(x) ∈ b2 ise [a, b\ ve herhangi bir e > 0 için bir nq doğal sayısı ve a\, a2y... sayıları vardır, öyle ki Hayır Yukarıdaki mantıktan Teorem 7 izlenir. Eğer ortonormalleştirme ile sistem uzayda tamamlanmışsa, Bu sistemde herhangi bir fonksiyonun Fourier serisi ortalama olarak f(x)'e yakınsar, yani norma göre trigonometrik sistemin uzayda tam olduğu gösterilebilir. Teorem 8. Bir fonksiyonun trigonometrik Fourier serisi ona ortalama olarak yakınsarsa. 9.5. Kapalı sistemler. Sistemlerin tamlığı ve kapalılığı Tanımı. Li\a, b) uzayında tüm fonksiyonlara dik sıfırdan farklı bir fonksiyon yoksa, \ ortonormal fonksiyonlar sistemine kapalı denir. L2\a, b\ uzayında, ortonormal sistemlerin tamlık ve kapalılık kavramları çakışır. Alıştırmalar 1. Fonksiyon 2'yi (-i-, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin 2. Fonksiyonu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin 3. Fonksiyon 4'ü bir Fourier serisine genişletin (-tr, tr) aralığını, (-jt, tr) aralığı fonksiyonu 5'teki Fourier serisine dönüştürün. f(x) = x + x fonksiyonunu (-tr, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 6. n fonksiyonunu (-jt, tr) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 7. /(x) = sin2 x fonksiyonunu (-tr, x) aralığında bir Fourier serisine genişletin. 8. f(x) = y fonksiyonunu (-tr, jt) aralığında bir Fourier serisine genişletin 9. f(x) = | fonksiyonunu genişletin günah x|. 10. f(x) = § fonksiyonunu (-π-, π) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 11. f(x) = sin § fonksiyonunu (-tr, tr) aralığındaki bir Fourier serisine genişletin. 12. (0, x) aralığında verilen f(x) = n -2x fonksiyonunu bir Fourier serisine genişletin ve onu (-x, 0) aralığına genişletin: a) eşit bir şekilde; b) tuhaf bir şekilde. 13. (0, x) aralığında verilen /(x) = x2 fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin. 14. (-2,2) aralığında verilen /(x) = 3 fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 15. (-1,1) aralığında verilen f(x) = |x| fonksiyonunu Fourier serisine genişletin. 16. (0,1) aralığında belirtilen f(x) = 2x fonksiyonunu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin.

Genel ve Mesleki Eğitim Bakanlığı

Soçi Devlet Turizm Üniversitesi

ve tatil köyü işi

Pedagoji Enstitüsü

Matematik Fakültesi

Genel Matematik Bölümü

MEZUNİYET ÇALIŞMASI

Fourier serileri ve uygulamaları

Matematiksel fizikte.

Tamamlayan: 5. sınıf öğrencisi

tam zamanlı çalışma imzası

Uzmanlık 010100

"Matematik"

Kasperova N.S.

Öğrenci Kimlik No: 95471

Bilimsel danışman: doçent, aday.

teknik imza bilimler

Pozin P.A.

Soçi, 2000

1. Giriş.

2. Fourier serisi kavramı.

2.1. Fourier serisi katsayılarının belirlenmesi.

2.2. Periyodik fonksiyonların integralleri.

3. Fourier serilerinin yakınsaklık işaretleri.

3.1. Fourier serilerinde fonksiyonların açılımına örnekler.

4. Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi açılımına ilişkin bir not

5. Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serileri.

6. Periyodu 2 olan fonksiyonlar için Fourier serileri ben .

7. Periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisi açılımı.

Giriiş.

Jean Baptiste Joseph Fourier - Fransız matematikçi, Paris Bilimler Akademisi üyesi (1817).

Fourier'in cebirle ilgili ilk çalışmaları. Zaten 1796'daki derslerinde, verilen sınırlar arasında yer alan bir cebirsel denklemin gerçek köklerinin sayısı üzerine kendi adını taşıyan bir teorem sundu (1820'de yayınlandı); Bir cebirsel denklemin gerçek kök sayısına tam bir çözüm 1829'da J.S.F. tarafından elde edildi. Saldırı yoluyla. 1818'de Fourier, 1768'de Fransız matematikçi J.R. tarafından elde edilen benzer sonuçları bilmeden, Newton tarafından geliştirilen denklemlerin sayısal çözüm yönteminin uygulanabilirliği için koşullar sorusunu araştırdı. Murailem. Fourier'in denklemleri çözmek için sayısal yöntemler üzerine yaptığı çalışmanın sonucu, 1831'de ölümünden sonra yayınlanan "Belirli Denklemlerin Analizi" idi.

Fourier'in ana çalışma alanı matematiksel fizikti. 1807 ve 1811'de katılarda ısı yayılımı teorisine ilişkin ilk keşiflerini Paris Bilimler Akademisi'ne sundu ve 1822'de daha sonraki bilim tarihinde önemli rol oynayacak olan ünlü eseri "Isının Analitik Teorisi"ni yayınladı. matematik. Bu, termal iletkenliğin matematiksel teorisidir. Yöntemin genelliği nedeniyle bu kitap, matematiksel fiziğin tüm modern yöntemlerinin kaynağı haline geldi. Bu çalışmada Fourier, termal iletkenliğin diferansiyel denklemini türetmiş ve daha önce D. Bernoulli tarafından özetlenen fikirleri geliştirmiş; ısı denklemini belirli sınır koşulları altında çözmek için değişkenleri ayırmak için bir yöntem (Fourier yöntemi) geliştirmiş ve bunu bir özel durumların sayısı (küp, silindir vb.). Bu yöntem, fonksiyonların trigonometrik Fourier serileri ile temsil edilmesine dayanmaktadır.

Fourier serileri artık kısmi diferansiyel denklemler teorisinde sınır değer problemlerinin çözümü için iyi geliştirilmiş bir araç haline gelmiştir.

1. Fourier serisi kavramı.(s. 94, Uvarenkov)

Fourier serileri matematiksel fizikte, esneklik teorisinde, elektrik mühendisliğinde ve özellikle bunların özel durumu olan trigonometrik Fourier serilerinde önemli bir rol oynar.

Bir trigonometrik seri, formun bir serisidir

veya sembolik olarak:

burada ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … sabit sayılardır (ω>0).

Tarihsel olarak, fizikteki bazı problemler bu tür serilerin incelenmesine yol açmıştır; örneğin, sicim titreşimleri problemi (18. yüzyıl), ısı iletimi olgusundaki düzenlilikler problemi, vb. Uygulamalarda, trigonometrik serilerin dikkate alınması , öncelikle y = ƒ(χ) denklemiyle tanımlanan belirli bir hareketi temsil etme göreviyle ilişkilidir.

Böylece şu soruna geliyoruz: belirli bir aralıktaki belirli bir ƒ(x) fonksiyonu için, bu aralıkta bu fonksiyona yakınsayacak bir (1) serisinin var olup olmadığını bulmak. Eğer bu mümkünse, o zaman ƒ(x) fonksiyonunun bu aralıkta trigonometrik bir seriye genişletildiğini söylüyorlar.

Seri (1), fonksiyonların periyodikliğinden dolayı x 0 noktasında yakınsar

ve bu nedenle

2. Fourier formüllerini kullanarak seri katsayılarının belirlenmesi.

Periyodu 2π olan bir periyodik fonksiyon ƒ(x), (-π, π) aralığında belirli bir fonksiyona yakınsayan bir trigonometrik seri ile temsil edilecek şekilde olsun, yani bu serinin toplamı olsun:

Bu eşitliğin sol tarafındaki fonksiyonun integralinin bu serinin terimlerinin integrallerinin toplamına eşit olduğunu varsayalım. Belirli bir trigonometrik serinin katsayılarından oluşan sayı serisinin mutlak olarak yakınsak olduğunu, yani pozitif sayı serisinin yakınsak olduğunu varsayarsak bu doğru olacaktır.

Seri (1) büyükleştirilebilir ve (-π, π) aralığında terim terim entegre edilebilir. Eşitliğin her iki tarafını da entegre edelim (2):

Sağ tarafta görünen her bir integrali ayrı ayrı değerlendirelim:

Böylece,

Fourier katsayılarının tahmini.(Bugrov)

Teorem 1. 2π periyoduna ait ƒ(x) fonksiyonunun sürekli bir türevi olsun: ƒ ( s) (x) sırası s, tüm gerçek eksendeki eşitsizliği karşılıyor:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

daha sonra fonksiyonun Fourier katsayıları ƒ eşitsizliği gidermek

Kanıt. Parçalara göre entegrasyon ve bunu dikkate alma

ƒ(-π) = ƒ(π), elimizde

(7) denkleminin sağ tarafının integrasyonunu sırayla yaparak, ƒ ΄, …, ƒ (s-1) türevlerinin sürekli olduğunu ve t = -π ve t = π noktalarında aynı değerleri aldığını hesaba katarsak, Tahminin (5) yanı sıra, ilk tahmini (6) elde ederiz.

İkinci tahmin (6) da benzer şekilde elde edilir.

Teorem 2. Fourier katsayıları ƒ(x) için aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

Kanıt. Sahibiz