Belirtilen aralıkta bir Fourier serisi halinde düzenleyin. Fourier serisi. Bir fonksiyonun Fourier serisine genişletilmesi. Bir fonksiyonun bir dizi sinüs ve kosinüse genişletilmesi

Doğada ve teknolojide meydana gelen birçok süreç belirli aralıklarla kendini tekrar etme eğilimindedir. Bu tür işlemlere periyodik denir ve matematiksel olarak periyodik fonksiyonlarla tanımlanır. Bu tür işlevler şunları içerir: günah(X) , çünkü(X) , günah(wx), çünkü(wx) . İki periyodik fonksiyonun toplamı, örneğin formun bir fonksiyonu , genel anlamda artık periyodik değildir. Ancak ilişkinin şu şekilde olduğu kanıtlanabilir: w 1 / w 2 rasyonel bir sayı ise bu toplam periyodik bir fonksiyondur.

En basit periyodik süreçler - harmonik salınımlar - periyodik fonksiyonlarla tanımlanır günah(wx) Ve çünkü(wx). Daha karmaşık periyodik süreçler, sonlu veya sonsuz sayıda terimden oluşan fonksiyonlarla tanımlanır. günah(wx) Ve çünkü(wx).

Formun işlevsel bir serisini ele alalım:

Bu seriye denir trigonometrik; sayılar A 0 , B 0 , A 1 , B 1 ,A 2 , B 2 …, A N , B N ,… arandı katsayılar trigonometrik seriler. Seri (1) genellikle şu şekilde yazılır:

. (2)

Trigonometrik serinin (2) üyeleri ortak bir periyoda sahip olduğundan
, eğer yakınsaksa serinin toplamı da periyodu olan periyodik bir fonksiyondur
.

Fonksiyonun olduğunu varsayalım. F(X) bu serinin toplamı:

. (3)

Bu durumda fonksiyonun olduğunu söylüyorlar F(X) trigonometrik bir seriye genişletilir. Bu serinin aralıkta düzgün yakınsak olduğunu varsayarsak
, aşağıdaki formülleri kullanarak katsayılarını belirleyebilirsiniz:

,
,
. (4)

Bu formüllerle belirlenen serinin katsayılarına denir. Fourier katsayıları.

Katsayıları Fourier formülleri (4) ile belirlenen trigonometrik serilere (2) denir. Fourier yakınında, fonksiyona karşılık gelen F(X).

Böylece, eğer periyodik bir fonksiyon F(X) yakınsak bir trigonometrik serinin toplamı ise bu seri onun Fourier serisidir.

Formüller (4), aralıktaki herhangi bir integral için Fourier katsayılarının hesaplanabileceğini göstermektedir.

-periyodik fonksiyon, yani Böyle bir fonksiyon için her zaman bir Fourier serisi oluşturabilirsiniz. Fakat bu seri fonksiyona yakınlaşacak mı? F(X) ve hangi koşullar altında?

Fonksiyonu hatırlayın F(X), segmentte tanımlanmış [ A; B] , kendisi ve türevi birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasından fazlasına sahip değilse parçalı düzgün denir.

Aşağıdaki teorem, bir fonksiyonun Fourier serisinde ayrıştırılabilirliği için yeterli koşulları verir.

Dirichlet teoremi.İzin vermek
-periyodik fonksiyon F(X) parça parça pürüzsüz
. Daha sonra Fourier serisi şuna yakınsar: F(X) süreklilik noktalarının her birinde ve değerde 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) kırılma noktasında.

Örnek 1.

Fonksiyonu Fourier serisine genişletin F(X)= X, aralıkta belirtilen
.

Çözüm. Bu fonksiyon Dirichlet koşullarını sağlar ve bu nedenle Fourier serisine genişletilebilir. Formüllerin (4) ve parçalara göre entegrasyon yönteminin kullanılması
Fourier katsayılarını buluyoruz:

Böylece, fonksiyon için Fourier serisi F(X) bir görünümü var.

Fourier serileri, belirli bir periyoda sahip keyfi bir fonksiyonun seri şeklinde temsilidir. Genel olarak bu çözüme bir elemanın ortogonal temele göre ayrıştırılması denir. Fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi, entegrasyon, farklılaşma ve ifadelerin argüman ve evrişim yoluyla değiştirilmesi sırasındaki bu dönüşümün özelliklerinden dolayı çeşitli problemleri çözmek için oldukça güçlü bir araçtır.

Yüksek matematiğe ve Fransız bilim adamı Fourier'in çalışmalarına aşina olmayan bir kişi, büyük olasılıkla bu "dizinin" ne olduğunu ve ne için gerekli olduğunu anlamayacaktır. Bu arada bu dönüşüm hayatımıza oldukça entegre oldu. Sadece matematikçiler tarafından değil aynı zamanda fizikçiler, kimyagerler, doktorlar, gökbilimciler, sismologlar, oşinograflar ve daha birçok kişi tarafından da kullanılmaktadır. Zamanının ötesinde bir keşif yapan büyük Fransız bilim adamının çalışmalarına da daha yakından bakalım.

Fourier serileri (analiz ve diğerleri ile birlikte) yöntemlerden biridir.Bu işlem, kişi her ses duyduğunda gerçekleşir. Kulağımız elastik bir ortamdaki temel parçacıkları otomatik olarak farklı yükseklikteki tonlar için ardışık ses seviyesi sıralarına (spektrum boyunca) dönüştürür. Daha sonra beyin bu verileri aşina olduğumuz seslere dönüştürür. Bütün bunlar bizim arzumuz veya bilincimiz olmadan kendi kendine gerçekleşir, ancak bu süreçleri anlamak için yüksek matematik okumak birkaç yıl alacaktır.

Fourier dönüşümü analitik, sayısal ve diğer yöntemler kullanılarak gerçekleştirilebilir. Fourier serileri, okyanus gelgitleri ve ışık dalgalarından güneş (ve diğer astronomik nesnelerin) faaliyet döngülerine kadar her türlü salınım sürecini ayrıştırmanın sayısal yöntemini ifade eder. Bu matematiksel teknikleri kullanarak, herhangi bir salınımlı süreci minimumdan maksimuma ve geriye doğru hareket eden bir dizi sinüzoidal bileşen olarak temsil eden fonksiyonları analiz edebilirsiniz. Fourier dönüşümü, belirli bir frekansa karşılık gelen sinüzoidlerin fazını ve genliğini tanımlayan bir fonksiyondur. Bu işlem, termal, ışık veya elektrik enerjisinin etkisi altında ortaya çıkan dinamik süreçleri tanımlayan çok karmaşık denklemleri çözmek için kullanılabilir. Ayrıca Fourier serileri, karmaşık salınım sinyallerindeki sabit bileşenlerin izole edilmesini mümkün kılarak tıp, kimya ve astronomide elde edilen deneysel gözlemlerin doğru şekilde yorumlanmasını mümkün kılar.

Bu teorinin kurucu babası Fransız matematikçi Jean Baptiste Joseph Fourier'dir. Bu dönüşüme daha sonra onun adı verildi. Başlangıçta bilim adamı, yöntemini termal iletkenlik mekanizmalarını - ısının katılarda yayılmasını - incelemek ve açıklamak için kullandı. Fourier, başlangıçtaki düzensiz dağılımın, her birinin kendi minimum ve maksimum sıcaklığına ve ayrıca kendi fazına sahip olan basit sinüzoidlere ayrıştırılabileceğini öne sürdü. Bu durumda, bu tür bileşenlerin her biri minimumdan maksimuma ve geriye doğru ölçülecektir. Eğrinin üst ve alt tepe noktalarının yanı sıra her bir harmoniğin fazını tanımlayan matematiksel fonksiyona sıcaklık dağılım ifadesinin Fourier dönüşümü denir. Teorinin yazarı, matematiksel olarak tanımlanması zor olan genel dağılım fonksiyonunu, birlikte orijinal dağılımı veren çok uygun bir kosinüs ve sinüs serisine indirgemiştir.

Bilim adamının çağdaşları, on dokuzuncu yüzyılın başlarının önde gelen matematikçileri, bu teoriyi kabul etmediler. Ana itiraz, Fourier'in, düz bir çizgiyi veya süreksiz bir eğriyi tanımlayan süreksiz bir fonksiyonun, sürekli olan sinüzoidal ifadelerin toplamı olarak temsil edilebileceği yönündeki iddiasıydı. Örnek olarak Heaviside adımını düşünün: değeri süreksizliğin solunda sıfır, sağında ise birdir. Bu fonksiyon, devre kapatıldığında elektrik akımının geçici bir değişkene bağımlılığını açıklar. O dönemde teorinin çağdaşları, süreksiz bir ifadenin üstel, sinüs, doğrusal veya ikinci dereceden gibi sürekli, sıradan fonksiyonların bir kombinasyonu ile tanımlandığı benzer bir durumla hiç karşılaşmamışlardı.

Sonuçta, eğer matematikçi ifadelerinde haklıysa, o zaman sonsuz trigonometrik Fourier serisini toplayarak, birçok benzer adıma sahip olsa bile adım ifadesinin doğru bir temsili elde edilebilir. On dokuzuncu yüzyılın başında böyle bir ifade saçma görünüyordu. Ancak tüm şüphelere rağmen birçok matematikçi bu fenomenin çalışma kapsamını genişleterek konuyu termal iletkenlik çalışmasının ötesine taşıdı. Ancak çoğu bilim adamı şu soruyla işkence görmeye devam etti: "Sinüzoidal bir serinin toplamı süreksiz fonksiyonun tam değerine yakınlaşabilir mi?"

Yakınsaklık sorunu, sonsuz sayı serilerini toplamanın gerekli olduğu her durumda ortaya çıkar. Bu olguyu anlamak için klasik bir örneği düşünün. Sonraki her adım bir öncekinin yarısı kadar olursa duvara ulaşabilecek misiniz? Diyelim ki hedefinizden iki metre uzaktasınız, ilk adım sizi yolun yarısına, sonraki adım dörtte üçüne götürüyor ve beşinci adımdan sonra yolun neredeyse yüzde 97'sini kat etmiş olacaksınız. Ancak ne kadar adım atarsanız atın matematiksel anlamda amaçladığınız hedefe ulaşamazsınız. Sayısal hesaplamalar kullanılarak, belirli bir mesafeye kadar yaklaşmanın eninde sonunda mümkün olduğu kanıtlanabilir. Bu ispat, yarım, dörtte bir vb. toplamının birliğe yöneleceğini göstermeye eşdeğerdir.

Bu konu on dokuzuncu yüzyılın sonunda gelgitlerin yoğunluğunu tahmin etmek için Fourier serilerini kullanmaya çalıştıklarında yeniden gündeme geldi. Bu sırada Lord Kelvin, askeri ve ticari denizci denizcilerin bu doğal fenomeni izlemesine olanak tanıyan analog bir bilgisayar cihazı olan bir alet icat etti. Bu mekanizma, yıl boyunca belirli bir limanda dikkatlice ölçülen gelgit yükseklikleri ve bunlara karşılık gelen zaman noktalarından oluşan bir tablodan aşamaları ve genlikleri belirledi. Her parametre gelgit yüksekliği ifadesinin sinüzoidal bir bileşeniydi ve düzenli bileşenlerden biriydi. Ölçümler, bir sonraki yıl için suyun yüksekliğini zamanın bir fonksiyonu olarak tahmin eden bir eğri sentezleyen Lord Kelvin'in hesaplama cihazına aktarıldı. Çok geçmeden dünyanın tüm limanları için benzer eğriler çizildi.

O zamanlar, çok sayıda sayma elemanına sahip bir gelgit dalgası tahmin cihazının, çok sayıda fazı ve genliği hesaplayabileceği ve dolayısıyla daha doğru tahminler sağlayabileceği açık görünüyordu. Ancak sentezlenmesi gereken gelgit ifadesinin keskin bir sıçrama içerdiği yani süreksiz olduğu durumlarda bu örüntünün görülmediği ortaya çıktı. Cihaza zaman anları tablosundan veriler girilirse, birkaç Fourier katsayısı hesaplanır. Sinüzoidal bileşenler sayesinde (bulunan katsayılara uygun olarak) orijinal fonksiyon geri yüklenir. Orijinal ifade ile yeniden oluşturulmuş ifade arasındaki tutarsızlık herhangi bir noktada ölçülebilir. Tekrarlanan hesaplamalar ve karşılaştırmalar yapıldığında en büyük hatanın değerinin düşmediği açıktır. Ancak süreksizlik noktasına karşılık gelen bölgede lokalize olurlar ve diğer herhangi bir noktada sıfıra yönelirler. 1899'da bu sonuç Yale Üniversitesi'nden Joshua Willard Gibbs tarafından teorik olarak doğrulandı.

Fourier analizi, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda sivri uç içeren ifadelere uygulanamaz. Genel olarak Fourier serileri, orijinal fonksiyon gerçek bir fiziksel ölçümün sonucuyla temsil ediliyorsa her zaman yakınsar. Bu sürecin belirli fonksiyon sınıfları için yakınsamasına ilişkin sorular, matematikte yeni dalların, örneğin genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinin ortaya çıkmasına yol açtı. L. Schwartz, J. Mikusinski ve J. Temple gibi isimlerle anılmaktadır. Bu teori çerçevesinde Dirac delta fonksiyonu (bir noktanın sonsuz küçük komşuluğunda yoğunlaşan tek bir alanın bölgesini tanımlar) ve Heaviside “adımı” gibi ifadelere açık ve kesin bir teorik temel oluşturulmuştur. Bu çalışma sayesinde Fourier serisi, sezgisel kavramları içeren denklemlerin ve problemlerin çözümünde uygulanabilir hale geldi: nokta yükü, nokta kütlesi, manyetik dipoller ve bir ışın üzerindeki konsantre yük.

Fourier serileri girişim ilkelerine uygun olarak karmaşık formların daha basit formlara ayrıştırılmasıyla başlar. Örneğin, ısı akışındaki bir değişiklik, düzensiz şekilli ısı yalıtım malzemesinden yapılmış çeşitli engellerden geçmesi veya dünya yüzeyindeki bir değişiklik - bir deprem, bir gök cisminin yörüngesindeki bir değişiklik - etki ile açıklanır. gezegenlerin. Kural olarak, basit klasik sistemleri tanımlayan bu tür denklemler, her bir dalga için kolayca çözülebilir. Fourier, daha karmaşık sorunlara çözüm üretmek için basit çözümlerin de toplanabileceğini gösterdi. Matematiksel açıdan Fourier serileri, bir ifadeyi harmoniklerin (kosinüs ve sinüs) toplamı olarak temsil etmeye yönelik bir tekniktir. Bu nedenle bu analize “harmonik analiz” de denilmektedir.

Bilgisayar teknolojisinin yaratılmasından önce Fourier tekniği, dünyamızın dalga doğasıyla çalışırken bilim adamlarının cephaneliğindeki en iyi silahtı. Karmaşık formdaki Fourier serisi, yalnızca Newton'un mekanik yasalarının doğrudan uygulanmasına uygun basit problemleri değil, aynı zamanda temel denklemleri de çözmeyi mümkün kılar. On dokuzuncu yüzyılda Newton biliminin keşiflerinin çoğu yalnızca Fourier'in tekniğiyle mümkün oldu.

Bilgisayarların gelişmesiyle birlikte Fourier dönüşümleri niteliksel olarak yeni bir düzeye yükseldi. Bu teknik, bilim ve teknolojinin neredeyse tüm alanlarında sağlam bir şekilde yerleşmiştir. Bir örnek dijital ses ve videodur. Uygulanması ancak on dokuzuncu yüzyılın başında bir Fransız matematikçinin geliştirdiği bir teori sayesinde mümkün oldu. Böylece karmaşık bir formdaki Fourier serisi, uzay araştırmalarında bir atılım yapmayı mümkün kıldı. Ayrıca yarı iletken malzeme ve plazma fiziği, mikrodalga akustiği, oşinografi, radar ve sismoloji çalışmalarını da etkiledi.

Matematikte Fourier serisi, rastgele karmaşık fonksiyonları daha basit fonksiyonların toplamı olarak temsil etmenin bir yoludur. Genel durumlarda bu tür ifadelerin sayısı sonsuz olabilir. Üstelik hesaplamada sayıları ne kadar dikkate alınırsa nihai sonuç o kadar doğru olur. Çoğu zaman, kosinüs veya sinüsün trigonometrik fonksiyonları en basitleri olarak kullanılır. Bu durumda Fourier serilerine trigonometrik, bu tür ifadelerin çözümüne ise harmonik genişleme adı verilir. Bu yöntem matematikte önemli bir rol oynar. Her şeyden önce trigonometrik seri, fonksiyonları tasvir etmek ve aynı zamanda incelemek için bir araç sağlar; teorinin ana aygıtıdır. Ayrıca matematiksel fizikteki bir takım problemleri çözmenize olanak tanır. Son olarak, bu teori matematik biliminin çok önemli bir dizi dalının (integral teorisi, periyodik fonksiyonlar teorisi) gelişmesine katkıda bulunmuştur. Ayrıca, gerçek bir değişkenin aşağıdaki fonksiyonlarının geliştirilmesi için başlangıç ​​noktası görevi gördü ve aynı zamanda harmonik analizin temelini attı.

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Bu evrensel yöntem, basitliğin yanı sıra sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artırılmasına da yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanarak web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenden dolayı geçici olarak kullanılamaz duruma gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ve akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına Fourier katsayıları denir ve bulunabilirlerse, o zaman (1) serisine f (x) fonksiyonuna karşılık gelen Fourier serisi denir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik denir,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

(1) serisi için, (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik (a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x) adı verilir. +α 2) ikinci harmonik olarak adlandırılır ve bu şekilde devam eder.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) olsa bile olduğunu söylüyorlar. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) olması durumunda tek olduğu söylenir. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine yarım çevrim Fourier serisi adı verilir.

f(x) fonksiyonunun kosinüslerinin 0 ila π aralığında yarım döngülü Fourier açılımını elde etmek istiyorsanız, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer f(x) fonksiyonunun sinüsleri cinsinden 0 ila π aralığında bir yarım döngü Fourier açılımı elde etmek istiyorsanız, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; yarım çevrimde Fourier serisine dönüştürülür.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:

Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.

Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ve akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.

Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):

sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani

-π ila π aralığı için Fourier serisinin katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

a o , a n ve b n katsayılarına Fourier katsayıları denir ve bulunabilirlerse, o zaman (1) serisine f (x) fonksiyonuna karşılık gelen Fourier serisi denir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik denir,

Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.

(1) serisi için, (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik (a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x) adı verilir. +α 2) ikinci harmonik olarak adlandırılır ve bu şekilde devam eder.

Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.

Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.

Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.

Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.

Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).

f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.

Çift ve tek fonksiyonlar.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) olsa bile olduğunu söylüyorlar. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyona iki örnek: y=x2 ve y=cosx.

Bir y=f(x) fonksiyonunun, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) olması durumunda tek olduğu söylenir. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.

Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.

Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.

Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).

Buradan,

Fourier serisinin katsayıları nerede,

Yarım çevrimde Fourier serileri.

Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine yarım çevrim Fourier serisi adı verilir.

f(x) fonksiyonunun kosinüslerinin 0 ila π aralığında yarım döngülü Fourier açılımını elde etmek istiyorsanız, o zaman çift periyodik bir fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.

Eğer f(x) fonksiyonunun sinüsleri cinsinden 0 ila π aralığında bir yarım döngü Fourier açılımı elde etmek istiyorsanız, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmanız gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi CD doğrusunu oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B

Keyfi bir aralık için Fourier serileri.

Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.

Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.

-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:

(Entegral sınırları, L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)

L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.

u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; yarım çevrimde Fourier serisine dönüştürülür.

0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir: