Ondalık logaritmik denklemlerin çözümü. Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri. Değişken tabanla ilgili sorunlar

Logaritmik denklemlerin çözümü. Bölüm 1.

Logaritmik denklem bilinmeyenin logaritmanın işareti altında (özellikle logaritmanın tabanında) yer aldığı bir denklemdir.

En basit logaritmik denklemşu forma sahiptir:

Herhangi bir logaritmik denklemi çözme logaritmalardan logaritma işareti altındaki ifadelere geçişi içerir. Ancak bu eylem, denklemin izin verilen değerlerinin aralığını genişletir ve yabancı köklerin ortaya çıkmasına neden olabilir. Yabancı köklerin ortaya çıkmasını önlemek için, üç yoldan birini yapabilirsiniz:

1. Eşdeğer bir geçiş yapın orijinal denklemden aşağıdakileri içeren bir sisteme

hangi eşitsizliğin veya daha basit olduğuna bağlı olarak.

Denklem logaritmanın tabanında bir bilinmeyen içeriyorsa:

daha sonra sisteme geçiyoruz:

2. Denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığını ayrı ayrı bulun, ardından denklemi çözün ve bulunan çözümlerin denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

3. Denklemi çözün ve ardından kontrol etmek: Bulunan çözümleri orijinal denklemde yerine koyun ve doğru eşitliği elde edip etmediğimizi kontrol edin.

Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki logaritmik denklem, sonuçta her zaman en basit logaritmik denkleme indirgenir.

Tüm logaritmik denklemler dört türe ayrılabilir:

1 . Yalnızca birinci kuvvete göre logaritma içeren denklemler. Dönüşümler ve kullanımlar yardımıyla forma getirilirler.

Örnek. Denklemi çözelim:

Logaritma işareti altındaki ifadeleri eşitleyelim:

Denklemin kökünün sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

Evet tatmin ediyor.

Cevap: x=5

2 . 1'den farklı kuvvetlerin logaritmasını içeren denklemler (özellikle bir kesrin paydasında). Bu tür denklemler kullanılarak çözülebilir değişken değişikliğinin tanıtılması.

Örnek. Denklemi çözelim:

ODZ denklemini bulalım:

Denklem logaritmanın karesini içerdiğinden değişken değişikliği kullanılarak çözülebilir.

Önemli! Bir değiştirme yapmadan önce, logaritmanın özelliklerini kullanarak denklemin parçası olan logaritmaları "tuğlalara" "parçalamanız" gerekir.

Logaritmaları "parçalarken" logaritmanın özelliklerini çok dikkatli kullanmak önemlidir:

Ayrıca burada ince bir nokta daha var ve sık yapılan bir hatadan kaçınmak için ara eşitlik kullanacağız: logaritmanın derecesini şu şekilde yazacağız:

Aynı şekilde,

Ortaya çıkan ifadeleri orijinal denklemde yerine koyalım. Şunu elde ederiz:

Şimdi bilinmeyenin denklemin bir parçası olarak yer aldığını görüyoruz. Değiştirmeyi tanıtalım: . Herhangi bir gerçek değeri alabileceği için değişkene herhangi bir kısıtlama getirmiyoruz.

Hepimiz ilkokuldan itibaren denklemlere aşinayız. Orada en basit örnekleri çözmeyi de öğrendik ve bunların yüksek matematikte bile uygulamalarını bulduklarını kabul etmeliyiz. İkinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere denklemlerle her şey basittir. Bu konu ile ilgili sorun yaşıyorsanız mutlaka incelemenizi öneririz.

Muhtemelen zaten logaritmalardan da geçmişsinizdir. Ancak henüz bilmeyenler için ne olduğunu anlatmanın önemli olduğunu düşünüyoruz. Logaritma, logaritma işaretinin sağındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken kuvvete eşittir. Her şeyin sizin için netleşeceği bir örnek verelim.

3'ün dördüncü üssünü çıkarırsanız 81 elde edersiniz. Şimdi sayıları benzetmeyle değiştirin ve sonunda logaritmanın nasıl çözüldüğünü anlayacaksınız. Şimdi geriye kalan tek şey tartışılan iki kavramı birleştirmektir. Başlangıçta durum son derece karmaşık görünüyor, ancak daha yakından incelendiğinde ağırlık yerine oturuyor. Bu kısa makaleden sonra Birleşik Devlet Sınavının bu bölümünde sorun yaşamayacağınızdan eminiz.

Bugün bu tür yapıları çözmenin birçok yolu var. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde size en basit, en etkili ve en uygulanabilir olanı anlatacağız. Logaritmik denklemlerin çözümü en basit örnekle başlamalıdır. En basit logaritmik denklemler bir fonksiyon ve onun içindeki bir değişkenden oluşur.

X'in argümanın içinde olduğuna dikkat etmek önemlidir. A ve b sayı olmalıdır. Bu durumda, fonksiyonu bir sayının bir üssü cinsinden basitçe ifade edebilirsiniz. Şuna benziyor.

Elbette bu yöntemi kullanarak logaritmik bir denklem çözmek sizi doğru cevaba götürecektir. Bu durumda öğrencilerin büyük çoğunluğunun sorunu neyin nereden geldiğini anlamamalarıdır. Sonuç olarak hatalara katlanmak ve istediğiniz puanları alamamak zorunda kalıyorsunuz. En rahatsız edici hata, harfleri karıştırmanız olacaktır. Denklemi bu şekilde çözmek için bu standart okul formülünü ezberlemeniz gerekir çünkü anlaşılması zordur.

Bunu kolaylaştırmak için başka bir yönteme (kanonik form) başvurabilirsiniz. Fikir son derece basit. Dikkatinizi tekrar soruna çevirin. A harfinin bir fonksiyon veya değişken değil, bir sayı olduğunu unutmayın. A bire eşit değildir ve sıfırdan büyüktür. b'de herhangi bir kısıtlama yoktur. Şimdi tüm formüllerden birini hatırlayalım. B aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Bundan, logaritmalı tüm orijinal denklemlerin şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

Artık logaritmaları bırakabiliriz. Sonuç, daha önce gördüğümüz basit bir tasarımdır.

Bu formülün rahatlığı, yalnızca en basit tasarımlar için değil, çok çeşitli durumlarda kullanılabilmesinde yatmaktadır.

OOF'u dert etmeyin!

Birçok deneyimli matematikçi tanım alanına dikkat etmediğimizi fark edecektir. Kural, F(x)'in zorunlu olarak 0'dan büyük olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Hayır, bu noktayı gözden kaçırmadık. Şimdi kanonik formun bir başka ciddi avantajından bahsediyoruz.

Burada fazladan kök olmayacak. Bir değişken yalnızca tek bir yerde görünecekse kapsam gerekli değildir. Otomatik olarak yapılır. Bu yargıyı doğrulamak için birkaç basit örneği çözmeyi deneyin.

Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bunlar zaten karmaşık logaritmik denklemlerdir ve bunları çözme yaklaşımının özel olması gerekir. Burada kendimizi kötü şöhretli kanonik biçimle sınırlamak nadiren mümkündür. Detaylı hikayemize başlayalım. Aşağıdaki yapıya sahibiz.

Fraksiyona dikkat edin. Logaritmayı içerir. Bunu bir görevde görürseniz, ilginç bir numarayı hatırlamaya değer.

Bu ne anlama geliyor? Her logaritma, uygun bir tabana sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebilir. Ve bu formülün bu örnekte geçerli olan özel bir durumu vardır (c=b'yi kastediyoruz).

Bu tam olarak örneğimizde gördüğümüz kesirdir. Böylece.

Esasen kesri tersine çevirdik ve daha uygun bir ifade elde ettik. Bu algoritmayı unutmayın!

Artık logaritmik denklemin farklı tabanlar içermemesi gerekiyor. Tabanı kesir olarak temsil edelim.

Matematikte bir tabandan derece elde edebileceğiniz bir kural vardır. Aşağıdaki inşaat sonuçları.

Görünüşe göre bizi şimdi ifademizi kanonik forma dönüştürmekten ve basitçe çözmekten alıkoyan ne? O kadar basit değil. Logaritma öncesinde kesir olmamalıdır. Bu durumu düzeltelim! Kesirlerin derece olarak kullanılmasına izin verilir.

Sırasıyla.

Tabanlar aynıysa logaritmaları kaldırabilir ve ifadeleri eşitleyebiliriz. Bu şekilde durum eskisinden çok daha basit hale gelecektir. Geriye her birimizin 8. hatta 7. sınıfta nasıl çözeceğini bildiği temel bir denklem kalacak. Hesaplamaları kendiniz yapabilirsiniz.

Bu logaritmik denklemin tek doğru kökünü elde ettik. Logaritmik denklem çözme örnekleri oldukça basit değil mi? Artık Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak ve geçmek için en karmaşık görevleri bile bağımsız olarak halledebileceksiniz.

Sonuç nedir?

Herhangi bir logaritmik denklem durumunda çok önemli bir kuraldan yola çıkıyoruz. İfadeyi mümkün olan en basit şekle indirgeyecek şekilde hareket etmek gerekir. Bu durumda, yalnızca görevi doğru bir şekilde çözmekle kalmayacak, aynı zamanda mümkün olan en basit ve en mantıklı şekilde yapma şansınız da artacaktır. Matematikçiler her zaman tam olarak böyle çalışır.

Özellikle bu durumda zor yolları aramanızı kesinlikle önermiyoruz. Herhangi bir ifadeyi dönüştürmenize olanak sağlayacak birkaç basit kuralı unutmayın. Örneğin iki veya üç logaritmayı aynı tabana indirgeyin veya tabandan bir kuvvet alın ve bundan kazanın.

Logaritmik denklemleri çözmenin sürekli pratik gerektirdiğini de hatırlamakta fayda var. Yavaş yavaş giderek daha karmaşık yapılara geçeceksiniz ve bu, Birleşik Devlet Sınavındaki tüm problem çeşitlerini güvenle çözmenize yol açacaktır. Sınavlarınıza önceden iyi hazırlanın, iyi şanslar!

1. Çözüm standarttır; hadi kullanalım 1 ile çarpma kuralı:

Şimdi logaritmaları kaldırıyoruz:

Çapraz olarak çarpalım:

Sınav

Uyar!

Sınav

Ve buraya uyuyor! Belki yanılmışımdır ve kökler her zaman uygundur? Bir sonraki örneğe bakalım!

Örnek No.2

Formdaki favori yöntemimizi kullanarak üçlüyü temsil edelim

Solda ve sağda logaritma toplamı formülünü kullanacağız.

Örnek No.3

Çözüm daha önce tartıştığımız örneğe benzer: Sağdaki birimi (hatırlatmam gerekirse - ondalık logaritmaya veya tabana göre logaritmaya) çevirelim ve soldaki ve sağdaki logaritmalar arasında işlemler yapalım:

Şimdi sol ve sağdaki logaritmaları kaldıralım:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

Muayene:

Yine soldaki her iki logaritma da negatif sayılardan alındığı için tanımsızdır. O halde bu bir kök değildir.

o zamandan beri

Cevap:

Umarım az önce verilen örnekler, logaritmik denklemleri çözerken sizi kontrolleri atlamaktan sonsuza kadar alıkoyacaktır. Gereklidir!

Değişken tabanlı logaritmik denklem

Şimdi sizinle (biraz daha karmaşık) başka bir tür logaritmik denkleme bakmak istiyorum. Bunlar olacak değişken tabanlı denklemler.

Bundan önce, yalnızca bazların sabit olduğu vb. durumları göz önünde bulundurduk. Ancak hiçbir şey onların, örneğin, vb.'nin bazı fonksiyonları olmasını engellemez.

Ama korkma! Logaritmik eşitsizlikleri çözerken değişken bir taban oldukça fazla rahatsızlığa neden oluyorsa, o zaman Bunun denklem çözmenin karmaşıklığı üzerinde neredeyse hiçbir etkisi yoktur! Kendiniz karar verin:

Örnek No.1

Daha önce olduğu gibi ilerliyoruz: sayıya “birle çarpma” yöntemini uyguluyoruz:

Daha sonra orijinal denklem şu forma dönüştürülür:

Uygulayacağım kare fark formülü:

Muayene:

Hangi sonuca varıyoruz? Yanlış! Sayı denklemin kökü değildir çünkü logaritmanın tabanı negatif bir sayı olamaz veya bire eşit olamaz!

Cevap: .

Gördüğünüz gibi denklemlerde tabanlarımızın değişken olup olmaması arasında temel bir fark yoktur. Bu konuda karar verdiğimizi söyleyebiliriz. logaritmik denklem genellikle logaritmik bir eşitsizliği çözmekten çok daha kolaydır!

Şimdi başka bir “tuhaf” örneği çözmeye çalışalım.

Örnek No.2

Her zamanki gibi davranacağız - sağ tarafı bu zorlu gibi bir logaritmaya dönüştüreceğiz:

O zaman orijinal logaritmik denklem bu denkleme eşdeğer olacaktır (yine logaritmik olsa da)

Bu denklemi tekrar kareler farkını kullanarak çözeceğim:

Önce birinciyi çözelim, ikincisi de yaklaşık olarak aynı şekilde çözülecek:

Tekrar kullanacak "1 ile çarpmak":

Benzer şekilde ikinci denklem için:

Şimdi işin eğlenceli kısmı geliyor: doğrulama. İlk kökle başlayalım

"Büyük" logaritmanın tabanı eşittir

Bu nedenle bir kök değildir.

İkinci sayıyı kontrol edelim:

bu sayı orijinal denklemin köküdür.

Cevap:

Büyük ve korkutucu logaritmalardan korkmamanız gerektiğini size göstermek için kasıtlı olarak oldukça karmaşık bir örnek verdim.

Birkaç formülü bilmeniz yeterli (bunları yukarıda size vermiştim) ve (neredeyse) her durumdan bir çıkış yolu bulabilirsiniz!

Pek çok örnekle (öncelikle Birleşik Devlet Sınavında) başa çıkmanıza olanak sağlayacak olan logaritmik denklemleri çözmenin temel yöntemlerini (“gösterişsiz” yöntemler) verdim.

Şimdi öğrendiklerinizi göstermenin zamanı geldi. Aşağıdakileri kendiniz çözmeye çalışın logaritmik denklemler ve ardından sonuçları sizinle karşılaştıracağız.

Bağımsız çalışmaya yedi örnek

Bu çalışmada tartışılan teknikler elbette logaritmik denklemleri çözmenin tüm olası yollarını kapsamamaktadır.

Bazı durumlarda zor bir denklemin köklerini bulmanın bir yolunu bulmak için gerçekten yaratıcı olmamız gerekir.

Bununla birlikte, başlangıçtaki denklem ne kadar karmaşık olursa olsun, sonuç olarak sizin ve benim az önce çözmeyi öğrendiğimiz türden bir denkleme indirgenecektir!

Bağımsız çalışma örneklerine yanıtlar

1. Oldukça basit bir görev: özelliği kullanalım:

çıkarmada:

Sonra şunu elde ederiz:

Hadi kontrol edelim:

(Bu geçişi size yukarıda zaten anlatmıştım)

Cevap: 9

2. Ayrıca doğaüstü bir şey yok: Bölmek istemiyorum, bu yüzden "eksi" olan terimi sağa taşıyacağım: şimdi solda ve sağda ondalık logaritmalarım var ve onlardan kurtuluyorum:

Kontrol ediyorum:

logaritma işaretinin altındaki ifade negatif olamaz, dolayısıyla sayı denklemin kökü değildir.

Sınav

Cevap:

Burada biraz çalışmamız gerekiyor: (çok yararlı değil mi?) formülünü tekrar kullanacağım açık:

Logaritma toplama formülünü uygulamadan önce ne yapmam gerekir? Evet, çarpandan kurtulmam gerekiyor. İki yol vardır: Birincisi, aşağıdaki formülü kullanarak bunu doğrudan logaritmaya girmektir:

Prensip olarak, bu yöntemin var olma hakkı vardır, ancak bunun nesi kötü? Formun bir ifadesiyle uğraşmak kötüdür (“tamsayı olmayan derece” her zaman hoş değildir. Peki başka ne yapabiliriz? Bu tür “tamsayı olmayan derece”den nasıl kurtulabiliriz? Denklemimizle çarpalım:

Şimdi her iki faktörü de logaritmaya koyalım:

o zaman sıfırı şununla değiştireceğim:

Ve sonunda şunu anlıyorum:

Bu "sevilmeyen" okul formülüne ne dendiğini hatırlıyor musunuz? Bu küp farkı! Belki bu daha açıktır?

Küp farkının şu şekilde çarpanlara ayrıldığını hatırlatayım:

ve her ihtimale karşı işte bir tane daha:

Bizim durumumuzla ilgili olarak bu şunu sağlayacaktır:

İlk denklemin bir kökü var, ancak ikincisinin kökleri yok (kendiniz görün!).

Kendiniz kontrol etmeyi ve sayının aslında denklemimizin kökü olduğundan emin olmayı size bırakıyorum.

Önceki örnekte olduğu gibi yeniden yazıyoruz.

Tekrar ediyorum, herhangi bir çıkarma işlemi (ve sonraki bölme işlemi) istemediğim için elde edilen ifadeyi sağa taşıyacağım:

Şimdi sol ve sağdaki logaritmaları kaldırıyorum:

Mantıksız bir denklemimiz var, umarım nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuzdur. Her iki tarafın karesini aldığımızı hatırlatmama izin verin:

Şimdi göreviniz bunun bir kök olmadığından, öyle olduğundan emin olmaktır.

Cevap:

Her şey şeffaf: Logaritma toplamı formülünü sol tarafta uyguluyoruz:

daha sonra her iki taraftaki logaritmaları kaldırıyoruz:

Muayene:

Cevap: ;

Her şey daha basit olamazdı: Denklem zaten en basit biçimine indirgenmişti. Tek yapmamız gereken eşitlemek

Hadi kontrol edelim:

Ancak logaritmanın tabanı şuna eşit olduğunda:

Ve bu bir kök değil.

Cevap:

Bu örneği tatlı olarak bıraktım. Her ne kadar bunda da çok karmaşık bir şey olmasa da.

Sıfırı şöyle hayal edelim

O zaman sen ve ben bunu alacağız logaritmik denklem:

Ve ilk “dış yüzeyi” - dış logaritmaları kaldırıyoruz.

Birimi şu şekilde temsil edelim:

O zaman denklemimiz şu şekli alacaktır:

Şimdi “ikinci cildi” kaldırıyoruz ve işin özüne iniyoruz:

Hadi kontrol edelim:

Cevap: .

Logaritmik DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜNDE 3 YÖNTEM. İLERİ DÜZEY

Artık logaritmik denklemlerle ilgili ilk makaleyi okuduktan sonra, en basit örnekleri çözmek için gereken minimum bilgiye hakim oldunuz.

Şimdi biraz daha ayrıştırmaya geçebilirim üç yöntem logaritmik denklemlerin çözümü:

yeni bir değişken ekleme (veya değiştirme) yöntemi
logaritma yöntemi
yeni bir temele geçiş yöntemi.

İlk yöntem- pratikte en sık kullanılanlardan biri. Logaritmik (sadece değil) denklemlerin çözümüyle ilgili çoğu "zor" problemi çözer.

İkinci yöntem karışık üstel-logaritmik denklemleri çözmeye hizmet eder ve sonuçta sorunu iyi bir ikame değişkenin seçilmesine (yani ilk yönteme) indirger.

Üçüncü yöntem Farklı tabanlara sahip logaritmanın oluştuğu bazı denklemlerin çözümü için uygundur.

İlk yönteme bakarak başlayacağım.

Yeni bir değişken ekleme yöntemi (4 örnek)

Adından da anlaşılacağı gibi bu yöntemin özü, logaritmik denkleminizin mucizevi bir şekilde kolayca çözebileceğiniz bir denkleme dönüşmesini sağlayacak bir değişken değişikliğini sağlamaktır.

Bu “basitleştirilmiş denklemi” çözdükten sonra size kalan tek şey, "tersine değiştirme": yani değiştirilenden değiştirilene dönmek.

Çok basit bir örnekle az önce söylediklerimizi açıklayalım:

Bu örnekte, değişim kendini gösteriyor! Sonuçta, eğer onu değiştirirsek logaritmik denklemimizin rasyonel bir denklem haline geleceği açıktır:

Bunu kareye indirgeyerek kolayca çözebilirsiniz:

(böylece payda yanlışlıkla sıfırlanmaz!)

Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirirsek sonunda şunu elde ederiz:

Şimdi tersini yaparız: , sonra bundan çıkar ve şunu elde ederiz:

Şimdi, daha önce olduğu gibi, kontrol etme zamanı:

Başlangıçta olsun, çünkü o zaman doğrudur!

O halde şimdi her şey doğru!

Dolayısıyla sayılar orijinal denklemimizin kökleridir.

Cevap: .

İşte bariz bir değiştirme ile başka bir örnek:

Aslında hemen değiştirelim

o zaman orijinal logaritmik denklemimiz ikinci dereceden bir denklem haline gelecektir:

Ters değiştirme:

Kendiniz kontrol edin, bu durumda bulduğumuz her iki sayının da kök olduğundan emin olun.

Sanırım ana fikri anladınız. Bu yeni değildir ve yalnızca logaritmik denklemler için geçerli değildir.

Başka bir şey de bazen değişimi hemen "görmenin" oldukça zor olmasıdır. Bu, sizin tarafınızdan biraz çaba sarf edildikten sonra size gelecek olan bir miktar deneyim gerektirir.

Bu arada aşağıdaki örnekleri çözmeye çalışın:

Hazır? Neye sahip olduğunuzu kontrol edelim:

Önce ikinci örneği çözelim.

Sadece size, dedikleri gibi, "kafa kafaya" bir değişiklik yapmanın her zaman mümkün olmadığını gösteriyor.

Öncelikle denklemimizi biraz dönüştürmemiz gerekiyor: logaritma farkı formülünü birinci kesrin payına uygulayın ve ikincinin payının kuvvetini alın.

Bunu yaparak şunları alacaksınız:

Artık değişim belli oldu, değil mi? Hadi yapalım: .

Şimdi kesirleri ortak paydaya getirip sadeleştirelim.

Sonra şunu elde ederiz:

Son denklemi çözdükten sonra köklerini bulacaksınız: nerede.

Kontrolü kendiniz yapın ve bunların gerçekten orijinal denklemimizin kökleri olduğundan emin olun.

Şimdi üçüncü denklemi çözmeye çalışalım.

Öncelikle denklemin her iki tarafını da ile çarpmanın bize zarar vermeyeceği açık. Hiçbir zararı yok ama faydaları ortada.

Şimdi bir değişiklik yapalım. Neyi değiştireceğimizi tahmin ettiniz, değil mi? Doğru diyelim. O halde denklemimiz aşağıdaki formu alacaktır:

(her iki kök de bize uyar!)

Şimdi ters değiştirme: , from, from. Orijinal denklemimizin dört kadar kökü var! Bundan emin olun, elde edilen değerleri denklemde yerine koyalım. Cevabını yazıyoruz:

Cevap: .

Artık bir değişkeni değiştirme fikrinin sizin için tamamen açık olduğunu düşünüyorum. Tamam o zaman burada durmayalım ve logaritmik denklemleri çözmek için başka bir yönteme geçelim: yeni bir temele geçiş yöntemi.

Yeni bir üsse geçiş yöntemi

Aşağıdaki denklemi ele alalım:

Ne görüyoruz? İki logaritmanın birbirine "karşıt" olduğu varsayılır. Ne yapmalıyız? Her şey kolay: Sadece iki formülden birine başvurmamız gerekiyor:

Prensip olarak bu iki formülden herhangi birini kullanmamı engelleyen hiçbir şey yok ama denklemin yapısı gereği ilkini kullanmak benim için daha uygun olacaktır: İkinci terimde logaritmanın değişken tabanından kurtulacağım. ile değiştirerek. Artık görevin bir önceki göreve indirgendiğini görmek çok kolay: yenisini seçmek. Yerine koyduğumda aşağıdaki denklemi elde ederim:

Buradan. Tek yapmanız gereken, bulunan sayıları orijinal denklemde yerine koymak ve bunların aslında kök olduğundan emin olmaktır.

İşte yeni bir temele geçmenin mantıklı olduğu başka bir örnek:

Ancak kolaylıkla kontrol edebileceğiniz gibi, eğer siz ve ben hemen yeni bir temele geçersek bu istenilen etkiyi vermeyecektir. Bu durumda ne yapmamız gerekiyor? Her şeyi olabildiğince basitleştirelim, sonra ne olursa olsun.
Yani yapmak istediğim şey, bu kuvvetlerin logaritmanın önüne nasıl çıkarılacağını ve aynı zamanda birinci logaritmada X'in karesini nasıl çıkaracağımı hayal etmek. Daha sonra göreceğiz.

Unutmayın, tabanla arkadaşlık kurmak, logaritmanın işareti altındaki ifadeden çok daha zor olabilir!

Bu kurala uyarak, ile ve ile değiştireceğim. O zaman şunu alacağım:

Sonraki adımlar zaten size tanıdık geliyor. Değiştirin ve kökleri arayın!

Sonuç olarak orijinal denklemin iki kökünü bulacaksınız:

Öğrendiklerinizi size göstermenin zamanı geldi!

Öncelikle aşağıdaki (en kolay olmayan) örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın:

1. Buradaki her şey oldukça standart: Orijinal denklemimi, değiştirmenin uygun olacağı şekilde azaltmaya çalışacağım. Bunun için neye ihtiyacım var? Öncelikle soldaki ilk ifadeyi dönüştürün (logaritmadan önceki ikinin dördüncü kuvvetini çıkarın) ve ikinci logaritmanın tabanından ikinin kuvvetini çıkarın. O zaman şunu alacağım:

Geriye kalan tek şey ilk logaritmayı “ters çevirmek”!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(kolaylık sağlamak için ikinci logaritmayı denklemin soldan sağ tarafına taşıdım)

Sorun neredeyse çözüldü: yenisini yapabilirsiniz. Ortak bir paydaya indirgedikten sonra aşağıdaki denklemi elde ederim:

Ters değişimi yaptıktan sonra şunu hesaplamanız zor olmayacaktır:

Elde edilen değerlerin denklemimizin kökleri olduğundan emin olun.

2. Burada ayrıca denklemimi kabul edilebilir bir ikameye "uydurmaya" çalışacağım. Hangisi? Belki bana uyar.

O halde vakit kaybetmeyelim ve dönüşmeye başlayalım!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Artık onu güvenle değiştirebilirsiniz! Daha sonra yeni değişkene göre aşağıdaki denklemi elde ederiz:

Nerede. Yine bu sayıların her ikisinin de aslında kök olduğundan emin olmak size bir alıştırma olarak bırakılmıştır.

3. Burada neyi değiştireceğimiz hemen belli değil. Tek bir altın kural var: Ne yapacağınızı bilmiyorsanız elinizden geleni yapın! Kullanacağım şey bu!

Şimdi tüm logaritmaları “ters çevireceğim” ve fark logaritması formülünü ilkine, toplam logaritmasını son ikisine uygulayacağım:

Burada ayrıca (at) olgusunu ve logaritmanın kuvvetini alma özelliğini de kullandım. Artık uygun bir değiştirme uygulayabiliriz: . Eminim ki, bu korkunç tipteki rasyonel denklemleri bile nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuzdur. Bu nedenle, sonucu hemen yazmama izin vereceğim:

Geriye iki denklemi çözmek kalıyor: . Önceki bölümde bu tür "neredeyse en basit" denklemleri çözme yöntemlerine zaten aşinaydınız. O halde hemen nihai çözümleri yazacağım:

Bu sayılardan yalnızca ikisinin denklemimin kökleri olduğundan emin olun! Yani öyle ve kök olmasa da!

Bu örnek biraz daha yanıltıcı, ancak bunu değişken değiştirmeye başvurmadan çözmeye çalışacağım! Tekrar yapalım, elimizden geleni yapalım: Önce soldaki logaritmayı bir oranın logaritması formülüne göre genişletebiliriz, ayrıca ikisini parantez içinde logaritmanın önüne koyabiliriz. Sonunda şunu elde edeceğim:

Şimdi zaten kullandığımız formülün aynısı! O halde sağ tarafı kısaltalım! Şimdi orada sadece bir ikili var! Soldan bir tanesini hareket ettirelim ve sonunda şunu elde edelim:

Bu tür denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuz. Kök zorlanmadan bulunur ve eşittir. Kontrol etmenizi hatırlatırım!

Artık, umarım, "kafa kafaya" üstesinden gelemeyeceğiniz oldukça karmaşık sorunları çözmeyi öğrendiniz! Ancak logaritmik denklemler daha da sinsi olabilir! İşte bazı örnekler:

Ne yazık ki burada önceki çözüm somut sonuçlar vermeyecek. Sizce neden? Evet, artık burada logaritmaların "karşılıklılığı" yok. Bu en genel durum elbette çözülebilir, ancak biz zaten aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

Bu formül sizin “zıt”a sahip olup olmamanızla ilgilenmez. Neden bir üs seçmelisiniz diye sorabilirsiniz. Benim cevabım önemli olmadığıdır. Cevap sonuçta buna bağlı olmayacak. Geleneksel olarak doğal veya ondalık logaritma kullanılır. Bu önemli olmasa da. Örneğin, ondalık sayıyı kullanacağım:

Bu formda bir cevap bırakmak tam bir rezalet! Öncelikle tanım gereği şunu yazayım

Şimdi kullanma zamanı: parantezlerin içinde - ana logaritmik kimlik ve dışında (dereceye göre) - oranı bir logaritmaya çevirin: sonra sonunda bu "tuhaf" olanı elde ederiz cevap: .

Ne yazık ki daha fazla basitleştirme artık bizim için mevcut değil.

Birlikte kontrol edelim:

Sağ! Bu arada, zincirdeki sondan bir önceki eşitliğin nereden kaynaklandığını bir kez daha hatırlayın!

Prensip olarak bu örneğin çözümü, yeni bir tabana dayalı logaritmaya geçişe de indirgenebilir, ancak sonunda ne olacağından zaten korkmalısınız. Daha makul bir şey yapmaya çalışalım: sol tarafı mümkün olduğunca iyi bir şekilde dönüştürelim.

Bu arada, son ayrıştırmayı nasıl elde ettiğimi sanıyorsun? Doğru, ikinci dereceden bir trinomialin çarpanlarına ayrılmasıyla ilgili teoremi uyguladım:

Denklemin kökleri ise:

Şimdi orijinal denklemimi bu biçimde yeniden yazacağım:

Ancak böyle bir sorunu çözme konusunda oldukça yetenekliyiz!

Öyleyse, bir yedek sunalım.

O zaman ilk denklemim şu basit formu alacak:

Kökleri şuna eşittir: , o zaman

Bu denklem nereden geliyor? kökleri yoktur.

Tek yapmanız gereken kontrol etmek!

Aşağıdaki denklemi kendiniz çözmeye çalışın. Acele etmeyin ve dikkatli olun, o zaman şans yanınızda olacak!

Hazır? Bakalım elimizde ne var.

Aslında örnek iki adımda çözüldü:

1. Dönüştürme

2. şimdi sağ tarafta şuna eşit bir ifadem var:

Böylece orijinal denklem en basit hale getirildi:

Test, bu sayının gerçekten de denklemin kökü olduğunu gösteriyor.

Logaritma yöntemi

Ve son olarak bazı karışık denklemleri çözme yöntemlerini çok kısaca tartışacağım. Elbette tüm karışık denklemleri kapsamayı taahhüt etmiyorum, ancak en basitlerini çözme yöntemlerini göstereceğim.

Örneğin,

Böyle bir denklem logaritma yöntemi kullanılarak çözülebilir. Tek yapmanız gereken her iki tarafın logaritmasını almak.

Zaten tabana göre bir logaritmaya sahip olduğumuz için logaritmayı aynı tabana alacağım açıktır:

Şimdi soldaki ifadenin gücünü alacağım:

ve kareler farkı formülünü kullanarak ifadeyi çarpanlara ayırın:

Kontrol etmek her zamanki gibi vicdanınıza kalmış.

Bu makaledeki son örneği kendiniz çözmeye çalışın!

Kontrol edelim: denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım:

Soldaki dereceyi çıkarıp sağdaki toplam formülünü kullanarak bölüyorum:

Köklerden birini tahmin ediyoruz: bu bir kök.

Üstel denklemlerin çözülmesiyle ilgili makalede, bir polinomun bir "köşeye" diğerine nasıl bölüneceğinden bahsettim.

Burada bölmemiz gerekiyor.

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Mümkünse kontrolü kendiniz yapın (ancak bu durumda, özellikle son iki kökte bu kolay olmayacaktır).

Logaritmik DENKLEMLER. SÜPER SEVİYE

Halihazırda sunulan materyale ek olarak, logaritma içeren karışık denklemleri çözmenin başka bir yolunu düşünmenizi öneririm, ancak burada aşağıdaki denklemleri ele alacağım: daha önce tartışılan her iki tarafın logaritmasının alınması yöntemiyle çözülemez. Bu yönteme mini-maks denir.

Mini-maks yöntemi

Bu yöntem yalnızca karışık denklemlerin çözümünde geçerli olmakla kalmaz, aynı zamanda bazı eşitsizliklerin çözümünde de yararlı olduğu ortaya çıkar.

Bu nedenle öncelikle mini-maks yöntemini uygulamak için gerekli olan aşağıdaki temel tanımları tanıtıyoruz.

Basit resimler bu tanımları göstermektedir:

Soldaki şekildeki fonksiyon monoton olarak artmaktadır, sağdaki ise monoton olarak azalmaktadır. Şimdi logaritmik fonksiyona dönelim, şunun doğru olduğu biliniyor:

Şekil monoton olarak artan ve monoton olarak azalan logaritmik fonksiyonun örneklerini göstermektedir.

Doğrudan anlatalım mini-maks yöntemi. Sanırım bu ismin hangi kelimelerden geldiğini anladınız mı?

Bu doğru, minimum ve maksimum kelimelerinden. Kısaca yöntem şu şekilde temsil edilebilir:

En önemli amacımız denklemi daha da basit iki denkleme indirgemek için bunu çok sabit bulmaktır.

Bu amaçla yukarıda formüle edilen logaritmik fonksiyonun monotonluk özellikleri yararlı olabilir.

Şimdi spesifik örneklere bakalım:

1. Önce sol tarafa bakalım.

Tabanı daha az olan bir logaritma vardır. Yukarıda formüle edilen teoreme göre fonksiyon nedir? Azalıyor. Aynı zamanda şu anlama da geliyor. Öte yandan, kökün tanımı gereği: . Böylece sabit bulunur ve eşittir. O zaman orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

İlk denklemin kökleri vardır ve ikincisi: . Böylece ortak kök eşittir ve bu kök orijinal denklemin kökü olacaktır. Her ihtimale karşı, emin olmak için bir kontrol yapın.

Cevap:

Burada yazılanları hemen düşünelim mi?

Genel yapıyı kastediyorum. Burada iki karenin toplamının sıfır olduğu yazıyor.

Ne zaman mümkün?

Yalnızca bu sayıların her ikisi de ayrı ayrı sıfıra eşit olduğunda. O halde aşağıdaki sisteme geçelim:

Birinci ve ikinci denklemlerin ortak kökleri yoksa orijinal denklemin de kökleri yoktur.

Cevap: çözüm yok.

Önce sağ tarafa bakalım; bu daha basit. Sinüs tanımı gereği:

Nereden ve sonra Bu nedenle

Şimdi sol tarafa dönelim: logaritma işaretinin altındaki ifadeyi düşünün:

Bir denklemin köklerini bulmaya çalışmak olumlu bir sonuca yol açmayacaktır. Ama yine de bu ifadeyi bir şekilde değerlendirmem gerekiyor. Elbette şöyle bir yöntem biliyorsunuz: tam bir kare seçme. Burada kullanacağım.

Artan bir fonksiyon olduğundan, bunu takip eder. Böylece,

O halde orijinal denklemimiz aşağıdaki sisteme eşdeğerdir:

Trigonometrik denklemleri çözmeye aşina olup olmadığınızı bilmiyorum, bu yüzden şunu yapacağım: İlk denklemi çözeceğim (en fazla iki kökü var) ve sonra sonucu yerine koyacağım ikinci:

(bu sayının sistemin ilk denkleminin kökü olup olmadığını kontrol edip emin olabilirsiniz)

Şimdi bunu ikinci denklemde yerine koyacağım:

Cevap:

Peki şimdi mini-maks yöntemini kullanma tekniği sizin için netleşti mi? Daha sonra aşağıdaki örneği kendiniz çözmeye çalışın.

Hazır? Hadi kontrol edelim:

Sol taraf, negatif olmayan iki büyüklüğün (birlik ve modül) toplamıdır ve bu nedenle sol taraf birden az değildir ve yalnızca şu durumda bire eşittir:

Aynı zamanda sağ taraf, iki kosinüsün (birden fazla olmadığı anlamına gelir) çarpımının modülüdür (sıfırdan büyük anlamındadır), o zaman:

O zaman orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

Yine ilk denklemi çözmeyi ve sonucu ikinciyle değiştirmeyi öneriyorum:

Bu denklemin kökleri yoktur.

O halde orijinal denklemin de kökleri yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA. Logaritmik DENKLEMLERİ ÇÖZMEK İÇİN 6 YÖNTEM

Logaritmik denklem- bilinmeyen değişkenlerin logaritmanın içinde olduğu bir denklem.

En basit logaritmik denklem, formun bir denklemidir.

Herhangi bir logaritmik denklemi çözme süreci, logaritmik denklemi forma indirgemek ve logaritma içeren bir denklemden onlarsız bir denkleme geçmekten ibarettir: .

ODZ logaritmik bir denklem için:

Logaritmik denklemleri çözmek için temel yöntemler:

1 yöntem. Logaritmanın tanımını kullanarak:

Yöntem 2. Logaritmanın özelliklerini kullanma:

Yöntem 3. Yeni bir değişkenin tanıtılması (değiştirme):

ikame logaritmik denklemi t için daha basit bir cebirsel denkleme indirgememize olanak tanır.

Yöntem 4 Yeni bir üsse geçiş:

5 yöntemi. Logaritma:

Denklemin sağ ve sol taraflarının logaritmasını alın.

6 yöntemi. Mini-maks:

Şimdi sizden duymak istiyoruz...

Logaritmik denklemler hakkında olabildiğince basit ve ayrıntılı yazmaya çalıştık.

Şimdi senin sıran!

Makalemizi nasıl değerlendirdiğinizi yazar mısınız? Ondan hoşlandın mı?

Belki logaritmik denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuzdur?

Belki sorularınız vardır. Veya öneriler.

Bunun hakkında yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda iyi şanslar!

Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrencilerin doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamaları ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmaları gerekir.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken lise mezunları, test problemlerini başarıyla çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak bir ders kitabı her zaman elinizin altında olmayabilir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak çoğu zaman zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.

Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil düzeyindeki denklemler de dahil olmak üzere çok sayıda örneğimiz var.

Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) “b”nin “a” tabanına göre logaritması, “c” kuvveti olarak kabul edilir. ” sonuçta "b" değerini elde etmek için "a" tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Pek çok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç ayrı logaritmik ifade türü vardır:

Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
Tabanı 10 olan ondalık a.
Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Bunların her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve ardından tek bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

"a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki ifade verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, logaritma 2 x = √9) cevapta bir veya daha fazla spesifik sayısal değeri ima etmesi, bir eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değer aralığının da belirtilmesidir. Bu fonksiyon kırılarak değerler ve noktalar belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri nasıl doğru bir şekilde çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Öncelikle ifadenin basitleştirilip sadeleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaları çözmek için logaritmik kimlikleri veya bunların özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

Bir çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit faktörlere ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle de Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problemle karşılaşılır. Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara örnekler ve çözümler Birleşik Devlet Sınavının resmi versiyonlarından alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.