Logaritmanın tanımını kullanarak logaritmik bir denklemi çözün. Logaritmik denklemler. Değişken tabanla ilgili sorunlar

Bu derste logaritmalarla ilgili temel teorik gerçekleri gözden geçireceğiz ve en basit logaritmik denklemleri çözmeyi ele alacağız.

Merkezi tanımı, logaritmanın tanımını hatırlayalım. Üstel bir denklemin çözülmesini içerir. Bu denklemin tek bir kökü vardır ve buna b'nin a tabanına göre logaritması denir:

Tanım:

B'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üstür.

Size hatırlatalım temel logaritmik kimlik.

İfade (ifade 1) denklemin köküdür (ifade 2). İfade 1'deki x değerini x yerine ifade 2'ye koyun ve ana logaritmik özdeşliği elde edin:

Yani her değerin bir değerle ilişkilendirildiğini görüyoruz. b'yi x() ile, c'yi y ile gösteririz ve böylece logaritmik bir fonksiyon elde ederiz:

Örneğin:

Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini hatırlayalım.

Burada bir kez daha dikkat edelim, çünkü logaritmanın altında logaritmanın tabanı olarak kesinlikle pozitif bir ifade olabilir.

Pirinç. 1. Farklı tabanlara sahip logaritmik fonksiyonun grafiği

Fonksiyonun grafiği siyah renkte gösterilmiştir. Pirinç. 1. Eğer argüman sıfırdan sonsuza artarsa, fonksiyon eksiden artı sonsuza artar.

Fonksiyonun grafiği kırmızıyla gösterilmiştir. Pirinç. 1.

Bu fonksiyonun özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monotondur. Monoton (kesinlikle) arttığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir. Monoton olarak (kesinlikle) azaldığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Logaritmik fonksiyonun özellikleri çeşitli logaritmik denklemleri çözmenin anahtarıdır.

En basit logaritmik denklemi ele alalım, diğer tüm logaritmik denklemler kural olarak bu forma indirgenir.

Logaritmanın tabanları ve logaritmanın kendisi eşit olduğundan, logaritmanın altındaki fonksiyonlar da eşittir, ancak tanım alanını kaçırmamalıyız. Logaritmanın altında yalnızca pozitif bir sayı görünebilir, elimizde:

f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu bulduk, dolayısıyla ODZ'ye uymak için herhangi bir eşitsizliği seçmenin yeterli olduğunu gördük.

Böylece, bir denklemin ve bir eşitsizliğin olduğu karma bir sistemimiz var:

Kural olarak, bir eşitsizliği çözmek gerekli değildir; denklemi çözmek ve bulunan kökleri eşitsizliğin yerine koymak ve böylece bir kontrol yapmak yeterlidir.

En basit logaritmik denklemleri çözmek için bir yöntem formüle edelim:

Logaritmanın tabanlarını eşitleyin;

Sublogaritmik fonksiyonları eşitleyin;

Kontrol gerçekleştirin.

Belirli örneklere bakalım.

Örnek 1 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkına sahibiz, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ilk logaritmayı seçiyoruz:

Örnek 2 - denklemi çözün:

Bu denklem, logaritmanın tabanlarının birden küçük olması nedeniyle öncekinden farklıdır, ancak bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemez:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Yanlış bir eşitsizlik aldık, bu da bulunan kökün ODZ'yi karşılamadığı anlamına geliyor.

Örnek 3 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkımız var, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ikinci logaritmayı seçiyoruz:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Açıkçası, yalnızca ilk kök ODZ'yi karşılıyor.

Matematik final sınavına hazırlık önemli bir bölüm olan “Logaritamalar”ı içerir. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan edinilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle, farklı eğitim seviyelerine sahip öğrencilerin doğru cevabı nasıl bulacaklarını anlamaları ve bunlarla hızlı bir şekilde başa çıkmaları gerekir.

Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken lise mezunları, test problemlerini başarıyla çözmek için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyaç duyarlar. Ancak bir ders kitabı her zaman elinizin altında olmayabilir ve gerekli kuralları ve formülleri internette aramak çoğu zaman zaman alır.

Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmede sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.

Görevi tamamlamak için gerekli formülleri, tekrarlanan özel durumları ve standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplama yöntemlerini “Teorik Yardım” bölümüne bakarak bulabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri başarılı geçiş için gerekli tüm materyalleri en basit ve anlaşılır biçimde topladı, sistemleştirdi ve sundu.

Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil düzeyindeki denklemler de dahil olmak üzere çok sayıda örneğimiz var.

Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.

Logaritmik denklemlerin çözümüyle ilgili uzun ders serisinin son videoları. Bu sefer öncelikle logaritmanın ODZ'si ile çalışacağız - bu tür problemleri çözerken çoğu hatanın ortaya çıkmasının nedeni tam olarak tanım alanının yanlış değerlendirilmesinden (veya hatta göz ardı edilmesinden) kaynaklanmaktadır.

Bu kısa video dersinde logaritmalarda toplama ve çıkarma formüllerinin kullanımına bakacağız ve ayrıca birçok öğrencinin sorun yaşadığı kesirli rasyonel denklemleri de ele alacağız.

Ne hakkında konuşacağız? Anlamak istediğim ana formül şuna benzer:

log a (f g ) = log a f + log a g

Bu, çarpımdan logaritma toplamına ve geriye doğru standart bir geçiştir. Muhtemelen bu formülü logaritma çalışmaya başladığınızdan beri biliyorsunuzdur. Ancak bir aksaklık var.

a, f ve g değişkenleri sıradan sayılar olduğu sürece herhangi bir sorun ortaya çıkmaz. Bu formül harika çalışıyor.

Ancak f ve g yerine fonksiyonlar ortaya çıktığı anda, hangi yönde dönüşüm yapılacağına bağlı olarak tanım alanının genişletilmesi veya daraltılması sorunu ortaya çıkar. Kendiniz karar verin: Solda yazılı logaritmada tanım alanı aşağıdaki gibidir:

fg > 0

Ancak sağda yazılan miktarda, tanım alanı zaten biraz farklıdır:

f > 0

g > 0

Bu gereksinimler dizisi orijinal gereksinimlerden daha katıdır. İlk durumda f seçeneğinden memnun olacağız.< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 yürütülür).

Yani sol yapıdan sağa doğru gidildiğinde tanım alanının daralması söz konusudur. İlk başta bir toplamımız olsaydı ve onu bir çarpım biçiminde yeniden yazarsak, o zaman tanım alanı genişler.

Başka bir deyişle, ilk durumda köklerimizi kaybedebilir, ikincisinde ise fazladan kök alabiliriz. Gerçek logaritmik denklemleri çözerken bu dikkate alınmalıdır.

Yani, ilk görev:

Solda aynı tabanı kullanan logaritmaların toplamını görüyoruz. Bu nedenle bu logaritmalar toplanabilir:

Gördüğünüz gibi sağdaki formülü kullanarak sıfırı değiştirdik:

a = log b b a

Denklemimizi biraz daha düzenleyelim:

günlük 4 (x - 5) 2 = günlük 4 1

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var; log işaretinin üstünü çizebilir ve argümanları eşitleyebiliriz:

(x - 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Lütfen dikkat: Modül nereden geldi? Tam karenin kökünün modüle eşit olduğunu hatırlatmama izin verin:

Daha sonra modüllü klasik denklemi çözeriz:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6

İşte iki aday cevabı. Bunlar orijinal logaritmik denklemin çözümü mü? Mümkün değil!

Her şeyi böyle bırakıp cevabı yazmaya hakkımız yok. Logaritmaların toplamını argümanların çarpımının bir logaritması ile değiştirdiğimiz adıma bir göz atın. Sorun şu ki, orijinal ifadelerde fonksiyonlarımız var. Bu nedenle aşağıdakilere ihtiyacınız olmalıdır:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Tam bir kare elde ederek ürünü dönüştürdüğümüzde gereksinimler değişti:

(x - 5) 2 > 0

Bu gereksinim ne zaman karşılanır? Evet, neredeyse her zaman! x − 5 = 0 durumu hariç. Yani eşitsizlik tek bir delinmiş noktaya indirgenecek:

x - 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Gördüğünüz gibi tanımın kapsamı genişledi, dersin başında da bundan bahsetmiştik. Sonuç olarak, ekstra kökler görünebilir.

Bu ekstra köklerin ortaya çıkmasını nasıl önleyebilirsiniz? Çok basit: Elde ettiğimiz köklere bakıyoruz ve bunları orijinal denklemin tanım alanıyla karşılaştırıyoruz. Hadi sayalım:

x (x - 5) > 0

Aralık yöntemini kullanarak çözeceğiz:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Ortaya çıkan sayıları satırda işaretliyoruz. Eşitsizlik katı olduğundan tüm noktalar eksik. 5'ten büyük herhangi bir sayıyı alın ve yerine şunu koyun:

(−∞; 0) ∪ (5; ∞) aralıklarıyla ilgileniyoruz. Köklerimizi segment üzerinde işaretlersek x = 4'ün bize uymadığını görürüz çünkü bu kök orijinal logaritmik denklemin tanım bölgesinin dışında kalır.

Bütünlüğe dönüyoruz, x = 4 kökünün üzerini çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz: x = 6. Bu, orijinal logaritmik denklemin son cevabıdır. İşte bu, sorun çözüldü.

İkinci logaritmik denkleme geçelim:

Hadi çözelim. İlk terimin bir kesir olduğunu ve ikincisinin aynı kesir olduğunu ancak ters çevrildiğini unutmayın. lgx ifadesinden korkmayın - bu sadece ondalık bir logaritmadır, şunu yazabiliriz:

lgx = günlük 10 x

Tersine çevrilmiş iki kesirimiz olduğundan, yeni bir değişken eklemeyi öneriyorum:

Bu nedenle denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

Gördüğünüz gibi kesrin payı tam karedir. Bir kesirin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda sıfıra eşittir:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

İlk denklemi çözelim:

t - 1 = 0;

t = 1.

Bu değer ikinci şartı karşılamaktadır. Dolayısıyla denklemimizi tamamen çözdüğümüzü söyleyebiliriz, ancak yalnızca t değişkenine göre. Şimdi t’nin ne olduğunu hatırlayalım:

Oranı bulduk:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Bu denklemi kanonik formuna getiriyoruz:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Sonuç olarak, teoride orijinal denklemin çözümü olan tek bir kök elde ettik. Ancak yine de işi riske atalım ve orijinal denklemin tanım tanım kümesini yazalım:

Bu nedenle kökümüz tüm gereksinimleri karşılıyor. Orijinal logaritmik denklemin çözümünü bulduk. Cevap: x = 0,1. Problem çözüldü.

Bugünkü dersimizde tek bir kilit nokta var: Bir çarpımdan toplama ve geriye doğru geçiş formülünü kullanırken, geçişin hangi yöne yapıldığına bağlı olarak tanımın kapsamının daraltılabileceğini veya genişleyebileceğini mutlaka dikkate alın.

Ne olduğunu nasıl anlayabilirim: daralma mı yoksa genişleme mi? Çok basit. Daha önce işlevler bir aradaysa ve şimdi ayrıysa, tanımın kapsamı daralmıştır (çünkü daha fazla gereksinim vardır). Başlangıçta işlevler ayrı ayrı duruyorsa ve şimdi bir aradaysa, o zaman tanım alanı genişletilir (ürüne bireysel faktörlere göre daha az gereksinim dayatılır).

Bu açıklamayı dikkate alarak, ikinci logaritmik denklemin bu dönüşümleri hiç gerektirmediğini, yani argümanları hiçbir yere eklemediğimizi veya çarpmadığımızı belirtmek isterim. Ancak burada, çözümü önemli ölçüde basitleştirebilecek başka bir harika tekniğe dikkatinizi çekmek istiyorum. Bir değişkenin değiştirilmesiyle ilgilidir.

Ancak hiçbir ikamenin bizi tanımın kapsamından kurtarmadığını unutmayın. Bu nedenle tüm kökler bulunduktan sonra tembel olmadık ve ODZ'sini bulmak için orijinal denkleme geri döndük.

Çoğu zaman bir değişkeni değiştirirken öğrenciler t değerini bulup çözümün tamamlandığını düşündüklerinde can sıkıcı bir hata ortaya çıkar. Mümkün değil!

T'nin değerini bulduktan sonra orijinal denkleme dönüp bu harfle tam olarak ne demek istediğimizi görmeniz gerekir. Sonuç olarak, orijinalinden çok daha basit olacak bir denklemi daha çözmemiz gerekiyor.

Yeni bir değişkenin tanıtılmasının amacı tam olarak budur. Orijinal denklemi, her birinin çok daha basit bir çözümü olan iki ara denkleme ayırdık.

"İç içe geçmiş" logaritmik denklemler nasıl çözülür?

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam edeceğiz ve bir logaritmanın başka bir logaritmanın işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz.

Bugün logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve bir logaritmanın diğerinin işareti altında olduğu durumları analiz edeceğiz. Her iki denklemi de kanonik formu kullanarak çözeceğiz. Log a f (x) = b formundaki en basit logaritmik denklemimiz varsa, böyle bir denklemi çözmek için aşağıdaki adımları uyguladığımızı hatırlatmama izin verin. Öncelikle b sayısını değiştirmemiz gerekiyor:

b = log a a b

Not: a b bir argümandır. Benzer şekilde orijinal denklemde argüman f(x) fonksiyonudur. Sonra denklemi yeniden yazar ve şu yapıyı elde ederiz:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra üçüncü adımı gerçekleştirebiliriz - logaritma işaretinden kurtulun ve basitçe şunu yazın:

f(x) = a b

Sonuç olarak yeni bir denklem elde ederiz. Bu durumda f(x) fonksiyonuna herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Örneğin logaritmik bir fonksiyon da onun yerini alabilir. Ve sonra yine logaritmik bir denklem elde edeceğiz ve bunu yine en basit haline indirip kanonik form aracılığıyla çözeceğiz.

Ancak şarkı sözleri yeterli. Asıl sorunu çözelim. Yani, görev numarası 1:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = 2

Gördüğünüz gibi basit bir logaritmik denklemimiz var. F (x)'in rolü 1 + 3 log 2 x yapısıdır ve b sayısının rolü 2 sayısıdır (a'nın rolü de iki tarafından oynanır). Bu ikisini şu şekilde yeniden yazalım:

İlk iki ikinin bize logaritmanın tabanından geldiğini anlamak önemlidir, yani orijinal denklemde 5 olsaydı, o zaman 2 = log 5 5 2 elde ederdik. Genel olarak taban yalnızca problemde başlangıçta verilen logaritmaya bağlıdır. Ve bizim durumumuzda bu 2 sayısıdır.

Sağdaki ikisinin de aslında bir logaritma olduğunu dikkate alarak logaritmik denklemimizi yeniden yazıyoruz. Şunu elde ederiz:

günlük 2 (1 + 3 günlük 2 x ) = günlük 2 4

Planımızın son adımına geçelim - kanonik formdan kurtulmak. Basitçe kütük işaretlerinin üzerini çizdiğimizi söyleyebilirsiniz. Bununla birlikte, matematiksel açıdan bakıldığında, "günlüğün üzerini çizmek" imkansızdır - argümanları basitçe eşitlediğimizi söylemek daha doğru olacaktır:

1 + 3 log 2 x = 4

Buradan 3 log 2 x'i kolaylıkla bulabiliriz:

3 log 2 x = 3

günlük 2 x = 1

Yine en basit logaritmik denklemi elde ettik, tekrar kanonik forma getirelim. Bunu yapmak için aşağıdaki değişiklikleri yapmamız gerekiyor:

1 = günlük 2 2 1 = günlük 2 2

Üssünde neden iki tane var? Çünkü soldaki kanonik denklemimizde tam olarak 2 tabanına göre bir logaritma var. Bu gerçeği dikkate alarak problemi yeniden yazıyoruz:

günlük 2 x = günlük 2 2

Yine logaritma işaretinden kurtuluyoruz, yani basitçe argümanları eşitliyoruz. Tabanlar aynı olduğundan ve sağda veya solda başka hiçbir ek eylem gerçekleştirilmediğinden bunu yapma hakkımız var:

Bu kadar! Problem çözüldü. Logaritmik denklemin çözümünü bulduk.

Not! Her ne kadar argümanda x değişkeni görünse de (yani tanım alanı için gereklilikler mevcutsa), herhangi bir ek gereklilik yapmayacağız.

Yukarıda söylediğim gibi, değişken yalnızca bir logaritmanın yalnızca bir argümanında görünüyorsa bu kontrol gereksizdir. Bizim durumumuzda x gerçekten yalnızca argümanda ve yalnızca bir log işareti altında görünüyor. Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur.

Ancak bu yönteme güvenmiyorsanız x = 2'nin gerçekten bir kök olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz. Bu sayıyı orijinal denklemde değiştirmek yeterlidir.

Şimdi ikinci denkleme geçelim, biraz daha ilginç:

log 2 (log 1/2 (2x - 1) + log 2 4) = 1

Büyük logaritmanın içindeki ifadeyi f(x) fonksiyonuyla gösterirsek, bugünkü video dersimize başladığımız en basit logaritmik denklemi elde ederiz. Bu nedenle, birimi log 2 2 1 = log 2 2 biçiminde temsil etmemiz gereken kanonik formu uygulayabiliriz.

Büyük denklemimizi yeniden yazalım:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Argümanları eşitleyerek logaritmanın işaretinden uzaklaşalım. Bunu yapmaya hakkımız var çünkü hem solda hem de sağda tabanlar aynı. Ayrıca log 2 4 = 2'ye dikkat edin:

log 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x - 1) = 0

Önümüzde yine log a f (x) = b formunun en basit logaritmik denklemi var. Kanonik forma geçelim yani sıfırı log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 formunda temsil ediyoruz.

Denklemimizi yeniden yazıyoruz ve argümanları eşitleyerek log işaretinden kurtuluyoruz:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x - 1 = 1

Yine hemen yanıt aldık. Orijinal denklemde yalnızca bir logaritma fonksiyonu bağımsız değişken olarak içerdiğinden ek kontrollere gerek yoktur.

Bu nedenle ek kontrollere gerek yoktur. Bu denklemin tek kökünün x = 1 olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Ancak ikinci logaritmada dört yerine x'in bir fonksiyonu varsa (veya 2x argümanda değil tabandaysa), o zaman tanım alanını kontrol etmek gerekli olacaktır. Aksi takdirde fazladan köklerle karşılaşma ihtimaliniz yüksektir.

Bu ekstra kökler nereden geliyor? Bu noktanın çok iyi anlaşılması gerekiyor. Orijinal denklemlere bir göz atın: x fonksiyonu her yerde logaritma işaretinin altındadır. Sonuç olarak, log 2 x'i yazdığımız için, gereksinimi otomatik olarak x > 0 olarak belirledik. Aksi takdirde, bu girişin hiçbir anlamı yoktur.

Ancak logaritmik denklemi çözdükçe tüm log işaretlerinden kurtulur ve basit yapılar elde ederiz. Doğrusal fonksiyon x'in herhangi bir değeri için tanımlandığından burada herhangi bir kısıtlama yoktur.

Son fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlandığı, ancak orijinal fonksiyonun her yerde ve her zaman tanımlanmadığı bu problem, logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla ekstra köklerin ortaya çıkmasının nedenidir.

Ancak bir kez daha tekrar ediyorum: Bu yalnızca fonksiyonun birden fazla logaritmada veya bunlardan birinin tabanında olması durumunda gerçekleşir. Bugün ele aldığımız problemlerde prensip olarak tanım alanının genişletilmesinde herhangi bir sorun yoktur.

Farklı gerekçelerle davalar

Bu ders daha karmaşık yapılara ayrılmıştır. Günümüz denklemlerindeki logaritmalar artık hemen çözülmeyecek; önce bazı dönüşümlerin yapılması gerekecek.

Birbirinin tam kuvvetleri olmayan tamamen farklı tabanlara sahip logaritmik denklemleri çözmeye başlıyoruz. Bu tür sorunların sizi korkutmasına izin vermeyin; bunları çözmek, yukarıda tartıştığımız en basit tasarımlardan daha zor değil.

Ancak doğrudan sorunlara geçmeden önce, size en basit logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak çözme formülünü hatırlatmama izin verin. Bunun gibi bir sorunu düşünün:

loga f(x) = b

f(x) fonksiyonunun sadece bir fonksiyon olması ve a ve b sayılarının rolünün (herhangi bir x değişkeni olmadan) sayılar olması önemlidir. Elbette, kelimenin tam anlamıyla bir dakika içinde a ve b değişkenleri yerine fonksiyonların olduğu bu tür durumlara bakacağız, ancak bu şimdi bununla ilgili değil.

Hatırladığımız gibi, b sayısının, soldaki aynı a tabanına göre bir logaritma ile değiştirilmesi gerekir. Bu çok basit bir şekilde yapılır:

b = log a a b

Elbette “herhangi bir sayı b” ve “herhangi bir sayı a” kelimeleri tanım kapsamını karşılayan değerler anlamına gelir. Özellikle bu denklemde sadece a > 0 ve a ≠ 1 tabanından bahsediyoruz.

Bununla birlikte, bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilir, çünkü orijinal problem zaten a tabanına göre bir logaritma içerir - bu kesinlikle 0'dan büyük olacaktır ve 1'e eşit olmayacaktır. Bu nedenle logaritmik denklemi çözmeye devam ediyoruz:

log a f (x) = log a a b

Böyle bir gösterime kanonik form denir. Kolaylığı, argümanları eşitleyerek log işaretinden hemen kurtulabilmemizde yatmaktadır:

f(x) = a b

Şimdi değişken tabanlı logaritmik denklemleri çözmek için kullanacağımız teknik budur. O zaman hadi gidelim!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Sıradaki ne? Birisi şimdi doğru logaritmayı hesaplamanız veya bunları aynı tabana indirmeniz veya başka bir şeye ihtiyacınız olduğunu söyleyecektir. Ve aslında, şimdi her iki tabanı da aynı forma getirmemiz gerekiyor - ya 2 ya da 0,5. Ama gelin şu kuralı kesin olarak öğrenelim:

Logaritmik bir denklemde ondalık sayılar varsa, bu kesirleri ondalık gösterimden ortak gösterime dönüştürdüğünüzden emin olun. Bu dönüşüm çözümü büyük ölçüde basitleştirebilir.

Böyle bir geçiş, herhangi bir eylem veya dönüşüm gerçekleştirilmeden önce bile hemen gerçekleştirilmelidir. Bir göz atalım:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Böyle bir kayıt bize ne verir? 1/2 ve 1/8'i negatif üslü kuvvetler olarak temsil edebiliriz:

Önümüzde kanonik form var. Argümanları eşitliyoruz ve klasik ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Önümüzde Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilecek aşağıdaki ikinci dereceden denklem var. Lisede benzer görüntüleri kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak görmelisiniz:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Bu kadar! Orijinal logaritmik denklem çözüldü. İki kökümüz var.

Bu durumda tanım kümesini belirlemeye gerek olmadığını hatırlatmama izin verin, çünkü x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Bu nedenle tanım kapsamı otomatik olarak gerçekleştirilir.

Böylece ilk denklem çözülür. Gelelim ikincisine:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Şimdi birinci logaritmanın argümanının negatif üssü olan bir kuvvet olarak da yazılabileceğine dikkat edin: 1/2 = 2 −1. Daha sonra denklemin her iki tarafındaki kuvvetleri çıkarıp her şeyi -1'e bölebilirsiniz:

Ve artık logaritmik denklemin çözümünde çok önemli bir adımı tamamladık. Belki birisi bir şeyi fark etmemiştir o yüzden açıklamama izin verin.

Denklemimize bakın: hem solda hem de sağda bir log işareti var, ancak solda 2 tabanına göre bir logaritma var ve sağda 3 tabanına göre bir logaritma var. Üç, bir tamsayı kuvveti değildir. iki ve tam tersine 2'nin 3 olduğunu tamsayı derece olarak yazamazsınız.

Sonuç olarak bunlar, yalnızca kuvvetlerin eklenmesiyle birbirine indirgenemeyen, farklı tabanlara sahip logaritmalardır. Bu tür problemleri çözmenin tek yolu bu logaritmaların birinden kurtulmaktır. Bu durumda, hala oldukça basit problemleri ele aldığımız için, sağdaki logaritma basitçe hesaplandı ve en basit denklemi elde ettik - tam olarak bugünkü dersin başında bahsettiğimiz denklem.

Sağdaki 2 sayısını log 2 2 2 = log 2 4 olarak temsil edelim. Sonra logaritma işaretinden kurtuluruz ve elimizde ikinci dereceden bir denklem kalır:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

Önümüzde sıradan bir ikinci dereceden denklem var, ancak x 2'nin katsayısı birden farklı olduğu için indirgenmiyor. Bu nedenle bunu bir diskriminant kullanarak çözeceğiz:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Bu kadar! Her iki kökü de bulduk, bu da orijinal logaritmik denklemin çözümünü elde ettiğimiz anlamına geliyor. Aslında orijinal problemde x değişkenli fonksiyon yalnızca bir argümanda mevcuttur. Sonuç olarak, tanım alanı üzerinde hiçbir ek kontrole gerek yoktur; bulduğumuz her iki kök de kesinlikle tüm olası kısıtlamaları karşılamaktadır.

Bu, bugünkü video dersinin sonu olabilir, ancak sonuç olarak tekrar söylemek isterim: Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdüğünüzden emin olun. Çoğu durumda bu, çözümlerini büyük ölçüde basitleştirir.

Nadiren, çok nadiren, ondalık kesirlerden kurtulmanın yalnızca hesaplamaları zorlaştırdığı sorunlarla karşılaşırsınız. Ancak bu tür denklemlerde kural olarak ondalık kesirlerden kurtulmaya gerek olmadığı başlangıçta açıktır.

Diğer birçok durumda (özellikle logaritmik denklemleri çözmeye yeni başlıyorsanız), ondalık sayılardan kurtulmaktan ve bunları sıradan sayılara dönüştürmekten çekinmeyin. Çünkü uygulama, bu şekilde sonraki çözümü ve hesaplamaları önemli ölçüde basitleştireceğinizi gösteriyor.

Çözümün incelikleri ve püf noktaları

Bugün daha karmaşık problemlere geçiyoruz ve sayıya değil fonksiyona dayanan logaritmik bir denklemi çözeceğiz.

Ve bu fonksiyon doğrusal olsa bile, çözüm şemasında küçük değişiklikler yapılması gerekecektir; bunun anlamı, logaritmanın tanım alanına dayatılan ek gerekliliklere indirgenmektedir.

Karmaşık görevler

Bu eğitim oldukça uzun olacak. İçinde birçok öğrencinin hata yaptığı, oldukça ciddi iki logaritmik denklemi analiz edeceğiz. Matematik öğretmeni olarak çalışmalarım sırasında sürekli olarak iki tür hatayla karşılaştım:

1. Logaritmanın tanım alanının genişlemesi nedeniyle ekstra köklerin ortaya çıkması. Bu tür rahatsız edici hatalardan kaçınmak için her dönüşümü dikkatle izleyin;
2. Öğrencinin bazı "ince" durumları dikkate almayı unutması nedeniyle kök kaybı - bugün odaklanacağımız durumlar bunlardır.

Bu logaritmik denklemlerle ilgili son derstir. Uzun olacak, karmaşık logaritmik denklemleri analiz edeceğiz. Rahat olun, kendinize bir çay yapın ve başlayalım.

İlk denklem oldukça standart görünüyor:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Her iki logaritmanın da birbirinin ters kopyaları olduğunu hemen belirtelim. Harika formülü hatırlayalım:

log a b = 1/log b a

Bununla birlikte, bu formülün a ve b sayıları yerine x değişkeninin fonksiyonları olması durumunda ortaya çıkan bir takım sınırlamaları vardır:

b > 0

1 ≠ a > 0

Bu gereksinimler logaritmanın tabanı için geçerlidir. Öte yandan, bir kesirde 1 ≠ a > 0 olması gerekir, çünkü yalnızca a değişkeni logaritmanın argümanında yer almakla kalmaz (dolayısıyla a > 0), logaritmanın kendisi de kesirin paydasındadır. . Ancak log b 1 = 0 ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir, yani a ≠ 1.

Yani a değişkeni üzerindeki kısıtlamalar devam ediyor. Peki b değişkenine ne olur? Bir yandan taban b > 0'ı, diğer yandan b ≠ 1 değişkenini ima eder, çünkü logaritmanın tabanı 1'den farklı olmalıdır. Toplamda, formülün sağ tarafından 1 ≠ sonucu çıkar. b > 0.

Ancak sorun şu: Sol logaritmayla ilgili olan birinci eşitsizlikte ikinci koşul (b ≠ 1) eksik. Başka bir deyişle, bu dönüşümü gerçekleştirirken yapmamız gerekenler ayrı ayrı kontrol edin, b argümanının birden farklı olduğunu!

Öyleyse kontrol edelim. Formülümüzü uygulayalım:

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Yani orijinal logaritmik denklemden, hem a'nın hem de b'nin 0'dan büyük olması ve 1'e eşit olmaması gerektiğini zaten anladık. Bu, logaritmik denklemi kolayca tersine çevirebileceğimiz anlamına gelir:

Yeni bir değişken tanıtmayı öneriyorum:

log x + 1 (x - 0,5) = t

Bu durumda inşaatımız şu şekilde yeniden yazılacaktır:

(t 2 - 1)/t = 0

Payda kareler farkına sahip olduğumuzu unutmayın. Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak karelerin farkını ortaya çıkarıyoruz:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Bir kesrin payı sıfır ve paydası sıfırdan farklı olduğunda kesir sıfıra eşittir. Ancak pay bir çarpım içerdiğinden her faktörü sıfıra eşitliyoruz:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Görüldüğü gibi t değişkeninin her iki değeri de bize uygundur. Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü t'yi değil x'in değerini bulmamız gerekiyor. Logaritmaya dönersek şunu elde ederiz:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Bu denklemlerin her birini kanonik forma koyalım:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

İlk durumda logaritma işaretinden kurtuluruz ve argümanları eşitleriz:

x - 0,5 = x + 1;

x - x = 1 + 0,5;

Böyle bir denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla ilk logaritmik denklemin de kökleri yoktur. Ancak ikinci denklemde her şey çok daha ilginç:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Orantıyı çözersek şunu elde ederiz:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Logaritmik denklemleri çözerken tüm ondalık kesirleri sıradan kesirler olarak kullanmanın çok daha uygun olduğunu hatırlatmama izin verin, o yüzden denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Önümüzde aşağıdaki ikinci dereceden denklem var, Vieta formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x2 = 1.

İki kökümüz var - bunlar orijinal logaritmik denklemi çözmeye adaylar. Aslında cevaba hangi köklerin gireceğini anlamak için asıl soruna dönelim. Şimdi her bir kökümüzün tanım alanına uyup uymadığını kontrol edeceğiz:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Bu gereksinimler çifte eşitsizliğe eşdeğerdir:

1 ≠ x > 0,5

Buradan x = −1,5 kökünün bize uymadığını, ancak x = 1'in oldukça uyduğunu hemen görüyoruz. Bu nedenle x = 1 logaritmik denklemin son çözümüdür.

Gelelim ikinci göreve:

günlük x 25 + günlük 125 x 5 = günlük 25 x 625

İlk bakışta tüm logaritmaların farklı temelleri ve farklı argümanları var gibi görünebilir. Bu tür yapılarla ne yapmalı? Öncelikle 25, 5 ve 625 sayılarının 5'in kuvvetleri olduğuna dikkat edin:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Şimdi logaritmanın harika özelliğinden yararlanalım. Önemli olan, bir argümandan güçleri faktörler biçiminde çıkarabilmenizdir:

log a b n = n ∙ log a b

Bu dönüşüm, b'nin bir fonksiyonla değiştirilmesi durumunda da kısıtlamalara tabidir. Ancak bizim için b yalnızca bir sayıdır ve hiçbir ek kısıtlama ortaya çıkmaz. Denklemimizi yeniden yazalım:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Log işaretini içeren üç terimli bir denklem elde ettik. Ayrıca her üç logaritmanın argümanları eşittir.

Logaritmaları ters çevirerek aynı tabana (5) getirmenin zamanı geldi. b değişkeni bir sabit olduğundan tanım alanında herhangi bir değişiklik meydana gelmez. Hemen yeniden yazıyoruz:

Beklendiği gibi paydada da aynı logaritmalar ortaya çıktı. Değişkeni değiştirmenizi öneririm:

log 5 x = t

Bu durumda denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Payı yazıp parantezleri açalım:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kesirimize dönelim. Pay sıfır olmalıdır:

Ve payda sıfırdan farklıdır:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Son gereksinimler otomatik olarak yerine getirilir çünkü bunların tümü tam sayılara "bağlıdır" ve tüm yanıtlar irrasyoneldir.

Böylece kesirli rasyonel denklem çözüldü, t değişkeninin değerleri bulundu. Logaritmik denklemi çözmeye dönelim ve t'nin ne olduğunu hatırlayalım:

Bu denklemi kanonik forma indirgeyerek derecesi irrasyonel olan bir sayı elde ederiz. Bunun kafanızı karıştırmasına izin vermeyin; bu tür argümanlar bile eşitlenebilir:

İki kökümüz var. Daha doğrusu, adayların iki yanıtı var; bunların tanım alanına uygunluğu açısından kontrol edelim. Logaritmanın tabanı x değişkeni olduğundan aşağıdakilere ihtiyacımız var:

1 ≠ x > 0;

Aynı başarıyla x ≠ 1/125 olduğunu iddia ediyoruz, aksi takdirde ikinci logaritmanın tabanı birliğe dönecektir. Son olarak üçüncü logaritma için x ≠ 1/25.

Toplamda dört kısıtlama aldık:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Şimdi soru şu: Köklerimiz bu gereksinimleri karşılıyor mu? Tabii ki tatmin ediyorlar! Çünkü 5'in herhangi bir kuvveti sıfırdan büyük olacaktır ve x > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanır.

Öte yandan, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3 yani köklerimiz için bu kısıtlamalar (ki bunun üssünde irrasyonel bir sayı olduğunu hatırlatayım) da tatmin olmuşlardır ve her iki cevap da sorunun çözümüdür.

Yani son cevabımız var. Bu görevde iki önemli nokta var:

1. Argüman ve taban yer değiştirdiğinde logaritmayı çevirirken dikkatli olun. Bu tür dönüşümler tanımın kapsamına gereksiz kısıtlamalar getirmektedir.
2. Logaritmaları dönüştürmekten korkmayın: bunlar yalnızca tersine çevrilmekle kalmaz, aynı zamanda toplam formülü kullanılarak genişletilebilir ve genellikle logaritmik ifadeleri çözerken üzerinde çalıştığınız formüller kullanılarak değiştirilebilir. Ancak şunu asla unutmayın: Bazı dönüşümler tanımın kapsamını genişletir, bazıları ise daraltır.

Genel olarak, karmaşık logaritmik denklemleri çözerken, orijinal tanım alanını yazdığınızdan emin olun. Bugünlük benden bu kadar. :)

Logaritmik denklemler. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının B Bölümündeki problemleri ele almaya devam ediyoruz. Bazı denklemlerin çözümlerini zaten “”, “” makalelerinde incelemiştik. Bu yazıda logaritmik denklemlere bakacağız. Birleşik Devlet Sınavında bu tür denklemleri çözerken karmaşık dönüşümler olmayacağını hemen söyleyeceğim. Bunlar basit.

Temel logaritmik özdeşliği bilmek ve anlamak, logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Lütfen çözdükten sonra bir kontrol yapmanız GEREKTİĞİNİ unutmayın; elde edilen değeri orijinal denklemde değiştirin ve hesaplayın, sonunda doğru eşitliği elde etmelisiniz.

Tanım:

Bir sayının b tabanına göre logaritması üssüdür,a'yı elde etmek için b'nin yükseltilmesi gerekir.

Örneğin:

Log 3 9 = 2, çünkü 3 2 = 9

Logaritmanın özellikleri:

Logaritmaların özel durumları:

Sorunları çözelim. İlk örnekte bir kontrol yapacağız. Gelecekte kendiniz kontrol edin.

Denklemin kökünü bulun: log 3 (4–x) = 4

log b a = x b x = a olduğuna göre, o zaman

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Muayene:

günlük 3 (4–(–77)) = 4

günlük 3 81 = 4

3 4 = 81 Doğru.

Cevap: – 77

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 2 (4 – x) = 7

Denklem günlüğü 5'in kökünü bulun(4 + x) = 2

Temel logaritmik özdeşliği kullanıyoruz.

log a b = x b x = a olduğuna göre, o zaman

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Muayene:

log 5 (4 + 21) = 2

günlük 5 25 = 2

5 2 = 25 Doğru.

Cevap: 21

Log 3 (14 – x) = log 3 5 denkleminin kökünü bulun.

Şöyle bir özellik meydana gelir, anlamı şudur: Denklemin sağında ve solunda aynı tabana sahip logaritmalarımız varsa bu durumda logaritmanın işaretleri altındaki ifadeleri eşitleyebiliriz.

14 – x = 5

x=9

Bir kontrol yapın.

Cevap: 9

Kendin için karar ver:

Log 5 (5 – x) = log 5 3 denkleminin kökünü bulun.

Denklemin kökünü bulun: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Eğer log c a = log c b ise a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Bir kontrol yapın.

Cevap: 6

Log 1/8 (13 – x) = – 2 denkleminin kökünü bulun.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Bir kontrol yapın.

Küçük bir ekleme - özellik burada kullanılıyor

derece ().

Cevap: – 51

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 1/7 (7 – x) = – 2

Log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 denkleminin kökünü bulun.

Sağ tarafı dönüştürelim. Özelliği kullanalım:

log a b m = m∙log a b

günlük 2 (4 – x) = günlük 2 5 2

Eğer log c a = log c b ise a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Bir kontrol yapın.

Cevap: – 21

Kendin için karar ver:

Denklemin kökünü bulun: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) denklemini çözün

Eğer log c a = log c b ise a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Bir kontrol yapın.

Cevap: 2,75

Kendin için karar ver:

Log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) denkleminin kökünü bulun.

Log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 denklemini çözün.

Denklemin sağ tarafındaki formun bir ifadesini elde etmek gerekir:

günlük 2 (......)

1'i 2 tabanlı logaritma olarak temsil ediyoruz:

1 = günlük 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

günlük 2 (2 – x) = günlük 2 (2 – 3x) + günlük 2 2

Şunu elde ederiz:

günlük 2 (2 – x) = günlük 2 2 (2 – 3x)

Eğer log c a = log c b ise a = b, o zaman

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Bir kontrol yapın.

Cevap: 0,4

Kendin için karar ver: Daha sonra ikinci dereceden denklemi çözmeniz gerekir. Bu arada,

kökler 6 ve –4’tür.

Kök "-4" bir çözüm değildir, çünkü logaritmanın tabanı sıfırdan büyük olmalıdır ve "– 4" eşittir" – 5". Çözüm kök 6'dır.Bir kontrol yapın.

Cevap: 6.

R kendi başına yemek ye:

Log x –5 49 = 2 denklemini çözün. Denklemin birden fazla kökü varsa, daha küçük olanla cevap verin.

Gördüğünüz gibi logaritmik denklemlerle karmaşık dönüşümler yokHAYIR. Logaritmanın özelliklerini bilmek ve uygulayabilmek yeterlidir. Logaritmik ifadelerin dönüşümü ile ilgili USE problemlerinde daha ciddi dönüşümler gerçekleştirilmekte ve çözme konusunda daha derinlemesine becerilere ihtiyaç duyulmaktadır. Bu tür örneklere bakacağız, kaçırmayın!Sana başarılar diliyorum!!!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler Matematikte Birleşik Devlet Sınavında, sorun C3 . Yaklaşan sınavı "iyi" veya "mükemmel" olarak geçmek istiyorsa, her öğrenci matematikte Birleşik Devlet Sınavından C3 görevlerini çözmeyi öğrenmelidir. Bu makale, yaygın olarak karşılaşılan logaritmik denklemler ve eşitsizliklerin yanı sıra bunları çözmenin temel yöntemlerine kısa bir genel bakış sunmaktadır.

O halde bugün birkaç örneğe bakalım. logaritmik denklemler ve eşitsizliklerÖnceki yıllarda matematikte Birleşik Devlet Sınavında öğrencilere sunulan. Ancak bunları çözmek için ihtiyaç duyacağımız ana teorik noktaların kısa bir özetiyle başlayacağız.

Logaritmik fonksiyon

Tanım

Formun işlevi

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

isminde logaritmik fonksiyon.

Temel özellikler

Logaritmik fonksiyonun temel özellikleri sen=günlük bir x:

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği logaritmik eğri:

Logaritmanın özellikleri

Ürünün logaritması iki pozitif sayı bu sayıların logaritmasının toplamına eşittir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Bölümün logaritması iki pozitif sayı, bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eğer A Ve B A≠ 1, herhangi bir sayı için R eşitlik doğrudur:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eşitlik kayıt A T=günlük A S, Nerede A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, ancak ve ancak şu durumda geçerlidir: T = S.

Eğer A, B, C pozitif sayılardır ve A Ve C birlikten farklıysa eşitlik ( yeni bir logaritma tabanına geçme formülü):

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Teorem 1. Eğer F(X) > 0 ve G(X) > 0 ise logaritmik denklem günlüğü bir f(X) = günlük bir g(X) (Nerede A > 0, A≠ 1) denkleme eşdeğerdir F(X) = G(X).

Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme

Örnek 1. Denklemi çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir değer aralığı yalnızca şunları içerir: X Logaritma işaretinin altındaki ifade sıfırdan büyüktür. Bu değerler aşağıdaki eşitsizlik sistemi ile belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Hesaba katıldığında

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

bu logaritmik denklemin izin verilen değerlerinin aralığını tanımlayan aralığı elde ederiz:

Burada tüm koşulları karşılanan Teorem 1'e dayanarak aşağıdaki eşdeğer ikinci dereceden denkleme geçiyoruz:

Kabul edilebilir değerler aralığı yalnızca ilk kökü içerir.

Cevap: x = 7.

Örnek 2. Denklemi çözün:

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığı eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir:

ql-sağ-eqno">

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığı burada kolayca belirlenir: X > 0.

Değiştirmeyi kullanıyoruz:

Denklem şöyle olur:

Ters ikame:

İkisi birden cevap Pozitif sayılar oldukları için denklemin kabul edilebilir değerleri aralığındadırlar.

Örnek 4. Denklemi çözün:

Çözüm. Denklemin kabul edilebilir değer aralığını belirleyerek çözüme yeniden başlayalım. Aşağıdaki eşitsizlik sistemi ile belirlenir:

ql-sağ-eqno">

Logaritmanın tabanları aynıdır, bu nedenle kabul edilebilir değerler aralığında aşağıdaki ikinci dereceden denklemle ilerleyebiliriz:

İlk kök denklemin kabul edilebilir değerleri aralığında değil, ikincisi ise öyle.

Cevap: X = -1.

Örnek 5. Denklemi çözün:

Çözüm. Arada çözüm arayacağız X > 0, X≠1. Denklemi eşdeğer bir denkleme dönüştürelim:

İkisi birden cevap denklemin kabul edilebilir değerleri aralığındadır.

Örnek 6. Denklemi çözün:

Çözüm. Bu sefer denklemin izin verilen değerlerinin aralığını tanımlayan eşitsizlik sistemi şu şekildedir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Logaritmanın özelliklerini kullanarak denklemi kabul edilebilir değerler aralığında eşdeğer bir denkleme dönüştürürüz:

Yeni bir logaritma tabanına geçme formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Kabul edilebilir değer aralığı yalnızca bir tane içerir cevap: X = 4.

Şimdi devam edelim logaritmik eşitsizlikler . Matematikte Birleşik Devlet Sınavında uğraşmanız gereken şey tam olarak budur. Daha fazla örneği çözmek için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var:

Teorem 2. Eğer F(X) > 0 ve G(X) > 0 ise:
en A> 1 logaritmik eşitsizlik log a F(X) > oturum aç G(X) aynı anlama gelen bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) > G(X);
0'da< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > oturum aç G(X) zıt anlamı olan bir eşitsizliğe eşdeğerdir: F(X) < G(X).

Örnek 7. Eşitsizliği çözün:

Çözüm. Eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığını tanımlayarak başlayalım. Logaritmik fonksiyonun işaretinin altındaki ifade yalnızca pozitif değerler almalıdır. Bu, gerekli kabul edilebilir değer aralığının aşağıdaki eşitsizlik sistemi tarafından belirlendiği anlamına gelir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Logaritmanın tabanı birden küçük bir sayı olduğundan, karşılık gelen logaritmik fonksiyon azalan olacaktır ve dolayısıyla Teorem 2'ye göre aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliğe geçiş eşdeğer olacaktır:

Son olarak, kabul edilebilir değerler aralığını dikkate alarak şunu elde ederiz: cevap:

Örnek 8. Eşitsizliği çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir değer aralığını tanımlayarak yeniden başlayalım:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Eşitsizliğin kabul edilebilir değerleri kümesinde eşdeğer dönüşümler gerçekleştiriyoruz:

İndirgeme ve Teorem 2'ye göre eşitsizlik eşdeğerine geçişten sonra şunu elde ederiz:

Kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak nihai değeri elde ederiz. cevap:

Örnek 9. Logaritmik eşitsizliği çözün:

Çözüm. Kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığı aşağıdaki sistem tarafından belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Kabul edilebilir değerler aralığında logaritmanın tabanındaki ifadenin her zaman birden büyük olduğu ve dolayısıyla Teorem 2'ye göre aşağıdaki eşitsizliğe geçişin eşdeğer olacağı görülebilir:

Kabul edilebilir değer aralığını dikkate alarak nihai cevabı elde ederiz:

Örnek 10. Eşitsizliği çözün:

Çözüm.

Kabul edilebilir eşitsizlik değerleri aralığı eşitsizlik sistemi tarafından belirlenir:

Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}

Yöntem I Logaritmanın yeni tabanına geçiş için formülü kullanalım ve kabul edilebilir değerler aralığında eşdeğer bir eşitsizliğe geçelim.