Вычислить площадь ограниченную указанными линиями. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, и гиперболу .

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.

С точки зрения геометрии определенный интеграл - это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения - построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом - параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура - над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой - НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие - чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Действительно :

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вверх на одну единицу (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вниз на одну единицу (рисунок 2).

Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x 1 = 2, x 2 = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M 1 N M 2), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О y формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О х.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

Рисунок 4. График функции y =

Искомый объём равен

Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O y .

Решение. Имеем:

Вопросы для повторения

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неположительной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f (x) или x = g (y) .

Пусть функции y = f 1 (x) и y = f 2 (x) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 (x) ≤ f 2 (x) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 (x) и y = f 2 (x) будет иметь вид S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 (y) и x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Следовательно,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f (x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f (x) и x = g (y) .

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = - x 2 + 6 x - 5 и прямыми линиями y = - 1 3 x - 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = - x 2 + 6 x - 5 расположен выше прямой y = - 1 3 x - 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S (G) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке (2 ; 2) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и - x 2 + 4 x - 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = - x 2 + 4 x - 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Разделив выражение - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двучлен x - 1 , получаем: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ответ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = - log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = - log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке (0 ; 0) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения - log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = - log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке (2 ; 0) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = - log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = - log 2 x + 1 пересекаются в точке (1 ; 1) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = - log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = - log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и - log 2 x + 1 относительно x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получим искомую площадь:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Ответ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = - 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x - 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П р о в е р к а: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = - 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П р о в е р к а: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ (9 ; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S (G) = 11 3

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок . Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(x k) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), где \(\Delta x_k \) - длина отрезка ; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади S n ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х 0 , b = x n ; \(\Delta x_0 \) - длина отрезка , \(\Delta x_1 \) - длина отрезка , и т.д; при этом, как мы условились выше, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_{n-1} \)

Итак, \(S \approx S_n \), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (S n):
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени t k . Итак, мы считаем, что v = v(t k).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени , это приближенное значение обозначим s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
\(s \approx S_n \) где
\(S_n = s_0 + \dots + s_{n-1} = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1} \)
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (S n):
$$ s = \lim_{n \to \infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1} $$
3) вычисляем $$ \lim_{n \to \infty} S_n $$

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S - площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости - обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
где s(t) - первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) - первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона - Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646- 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \(\left. F(x)\right|_a^b \) (ее называют иногда двойной подстановкой ) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона - Лейбница в таком виде:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона - Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
\(S = S_{ABCD} = S_{aDCb} - S_{aABb} = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \(g(x) \leq f(x) \), вычисляется по формуле
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)