Как найти напряжение каждого конденсатора в цепи

Позойский С.В., Жидкевич В.И. Избранные задачи по теме «Конденсаторные цепи» // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2006. – № 4. – С. 42-49.

Исправления Сакович А.Л. (ноябрь 2006)

В статье разобраны примеры задач повышенного и углубленного уровня на расчет электрических цепей постоянного тока с конденсаторами. Приводится краткий теоретический материал по данной теме.

Расчет электрических цепей, в которых конденсаторы соединены последовательно или параллельно, производится по известным формулам.

Если в цепи нет участков с последовательно или параллельно соединенными конденсаторами, но есть точки с одинаковыми потенциалами, то их можно либо соединять, либо разъединять, не меняя режима работы цепи. Цепь при этом упрощается, и мы приходим к случаю параллельно и последовательно соединенных конденсаторов.

Если в цепи нет параллельно и последовательно соединенных конденсаторов и нет точек с одинаковыми потенциалами, то для ее расчета используются следующие положения.

1. Сумма зарядов всех обкладок, соединенных с одним из полюсов источника тока, равна заряду источника (закон сохранения заряда):

Например, для цепи, изображенной на рисунке 1, .

2. Если пластины нескольких конденсаторов соединены в один узел, не связанный непосредственно с источником тока, то алгебраическая сумма зарядов на этих пластинах равна нулю (закон сохранения заряда):

Например, для цепи, представленной на рисунке 2, .

Это соотношение справедливо и тогда, когда перед конденсаторами имеются источники ЭДС (рис. 3): .

3. Алгебраическая сумма разностей потенциалов на всех конденсаторах и источниках тока, встречающихся при обходе любого замкнутого контура, равна нулю (закон сохранения энергии):

4. Если на каком-либо из участков цепи 1 –2 (рис. 4) имеется конденсатор и источник ЭДС, т.е. участок цепи неоднородный, то заряд конденсатора определяется ЭДС источника и разностью потенциалов на концах участка :

Если источника ЭДС на участке нет , то

(5)

Этот факт обусловливает необходимость учитывать выбор знаков в каждом конкретном случае:

а) Если , т.е. разность потенциалов направлена в ту же сторону, что и ЭДС (см. рис. 4), то следует пользоваться формулой (4).

б) Если , то формулу (4) лучше записать в таком виде:

(6 )

В этом случае разность потенциалов «противодействует» ЭДС. Если же при этом , то для определения заряда формулу (4) следует записать в таком виде:

Правило для определения знаков зарядов на обкладках конденсатора : поле между обкладками конденсатора направлено в ту сторону, в которую направлена сумма ЭДС и разности потенциалов .

В приведенном примере (см. рис. 4) при и поле конденсатора направлено влево (левая обкладка заряжена отрицательно, правая – положительно);

Если , то поле между обкладками конденсатора направлено в сторону меньшего потенциала, т.е. со стороны меньшего потенциала будет обкладка с отрицательным зарядом.

в) В случае, когда величина потенциалов j 1 и j 2 неизвестна, следует пользоваться одним из рассмотренных вариантов по своему усмотрению.

Если несколько источников ЭДС и конденсаторов соединены последовательно, то заряд конденсатора определяется из соотношения

(8)

где – алгебраическая сумма ЭДС, С – общая емкость конденсаторов.

Правила знаков те же, что и приведенные ранее.

Задача 1 . Конденсаторы соединены так, как показано на рисунке 5. Чему равна емкость всей батареи, если емкость каждого конденсатора равна С ?

Рис. 5.

Решение . Упростим последовательно цепь (рис. 6).

Рис. 6.

Задача 2 . Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого включено по одному конденсатору емкостью С . Найдите емкость батареи (рис. 7).

Решение . Соединяем точки с одинаковыми потенциалами 1 , 2 , 3 и 4 , 5 , 6 . Получим (рис. 8):

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть случаи, когда цепь присоединена к источнику тока точками а3 и а6 .

Задача 3. В цепи, изображенной на рисунке 9, С 1 = С 3 = С ; С 2 = С 4 = С 5 = 2С . Найдите емкость батареи конденсаторов.

Решение. а) Из условия следует, что , поэтому к онденсатор С 5 можно «выбросить» (рис. 10, а). Получим:

б) Но точки с одинаковыми потенциалами можно также соединить (рис. 11):

Задача 4 . Определите заряд батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 12, если к клеммам АВ приложено напряжение U = 100 B, а емкости конденсаторов C 1 = 2 мкФ, С 2 = 1 мкФ.

Решение . Заменим эту схему эквивалентной (рис. 13, а):

б

Мы видим, что эта задача аналогична задаче 3. И в этой цепи и конденсатор С 2 можно «выбросить». Тогда получим цепь (рис. 13, б). Общая емкость этой батареи .

Находим заряд батареи: , q = 2∙10 –4 Кл.

Точки 2 , 3 можно было и соединить, как в задаче 3. Получили бы тот же результат.

Задача 5 . Найдите емкость батареи одинаковых конденсаторов (рис. 14). Емкость отдельного конденсатора С считать известной.

Решение . Общая емкость батареи

где q – заряд батареи, U – напряжение на ней.

Запишем уравнения для контуров и узлов. Контуры обходим против часовой стрелки. Если при этом мы идем от «–» к «+» на обкладках конденсатора, то соответствующая разность потенциалов берется со знаком «+», если от «+» к «–», то со знаком «–». Выбор направления обхода контура условен: его можно обходить и по часовой стрелке.

Контур 217832 :

(2)

Контур 87658 :

(3)

Контур 38543 :

(4)

Для узла 8 :

(5)

Для узла 3 :

(6)

(8)

(9)

Решая эту систему уравнений, получим

Следовательно, .

Эту же задачу можно решить иначе.

Потенциалы точек 8 и 3 – .

Кроме того, так как , то

Из этой системы получим

Заряд батареи

Задача 6. Батарея конденсаторов заряжена до разности потенциалов U 0 = 200 В, после чего ее отключили от источника напряжения (рис. 15). Как изменится при этом энергия батареи при замыкании ключа К , если С 1 = С 2 = С 3 = С 5 = 1 мкФ; С 4 = 0,5 мкФ?

Решение . При отключении батареи от источника тока ее заряд не изменится независимо от положения ключа К , а емкость ее после замыкания ключа изменится. Пусть С 0 , С – емкости батареи до замыкания и после замыкания соответственно, W 0 , W – соответствующие энергии, q 0 = q – заряд батареи.

(1)

где q 0 = C 0 ∙U 0 ; q = C∙U ; U – напряжение на батарее конденсаторов после замыкания ключа (источник напряжения отключен). До замыкания ключа К

(2)

Найдем емкость батареи после замыкания ключа.

Узел 3 :

(3)

Узел а :

(4)

Узел b :

(5)

Контур а43 ba :

(6)

Контур 5 ab 65 :

(7)

Контур 5 a4 2 1 5 :

(8)

Из приведенной системы уравнений (1)–(8) находим С 0 , q , U . Затем из соотношения определяем С , а из уравнения (1) D W .

Расчеты дают С 0 = 0,38 мкФ; Q = 0,85U ; С = 0,85 мкФ; D W = –0,39 мДж.

Таким образом, при замыкании ключа энергия батареи уменьшилась. Заметим, что заряд ее не изменился, а емкость увеличилась. Уменьшение энергии обусловлено выделением в цепи теплоты (перераспределение зарядов между конденсаторами сопровождалось возникновением электрического тока в соединительных проводах) и излучением электромагнитных волн при изменении силы тока.

Задача 7 . Найдите электродвижущую силу источника тока в схеме, изображенной на рисунке 16. Заряды на конденсаторах 2С и С соответственно 3q и 2q . Внутреннее сопротивление источника не учитывать.

На предыдущих уроках мы знакомились с элементарными электрическими понятиями и принципами, в частности, мы говорили об электризации - явлении перераспределения заряда. Разговор о более глубоком исследовании этого явления начнем с опыта.

Изначально пусть нам даны две разные по размеру изолированные банки, подключенные к электроскопу (рис. 1):

Рис. 1

Теперь к каждой из банок поднесли одинаково заряженное тело. Естественно, с каждой банкой произойдет процесс электризации, и стрелки обоих электроскопов разойдутся. Однако оказалось, что электроскоп большей банки показал меньшее отклонение (рис. 2):

Рис. 2

Данный опыт доказывает, что различные тела электризуются одним и тем же зарядом по-разному (конкретно большая банка одним и тем же зарядом зарядилась до меньшего потенциала). И существует некоторая величина, которая показывает способность тела накапливать электрический заряд. Собственно, о ней и пойдет речь.

Определение. Электроемкость (емкость) - величина, равная отношению заряда переданного проводнику к потенциалу этого проводника.

Здесь: - емкость; - переданный заряд; - потенциал, до которого зарядился проводник.

Теперь непосредственно познакомимся со специализированными приборами для накопления зарядов.

Определение. Конденсатор - набор проводников, служащий для накопления электрического заряда. Конденсаторы состоят из двух проводников и разделяющего их диэлектрика, причем толщина диэлектрического слоя много меньше размеров проводников (рис. 3).

Рис. 3. Схематическое изображение конденсатора ()

Особое внимание мы будем уделять так называемым плоским конденсаторам (слой диэлектрика расположен между двумя плоскими пластинами проводника). На электрической схеме конденсатор обозначается следующим образом (рис. 4):

Рис. 4. Условное обозначение конденсатора на электрической схеме

Емкость конденсатора определяется так же, как и любая другая электроемкость, однако с небольшим отличием (так как речь идет о системе проводников, а не о отдельно взятом проводнике, в формуле фигурирует не потенциал, а разность потенциалов или напряжение)

Здесь: - заряд на обкладках конденсатора (так называются проводники, из которых состоит конденсатор); - напряжение между обкладками конденсатора.

Единица измерения емкости: Ф - фарад

Однако, конечно же, емкость конденсатора - не постоянная величина, она зависит от конструкторских особенностей самого конденсатора. В случае плоского конденсатора эта зависимость имеет следующий вид:

Здесь: - диэлектрическая проницаемость среды; - электрическая постоянная; - площадь обкладки конденсатора; - расстояние между обкладками.

В конденсаторах роль диэлектрической прослойки, как правило, выполняет пропитанная соответствующим составом бумага, расположенная между двумя тонкими листами металла (рис. 5).

Рис. 5. Устройство конденсатора ()

Конденсаторы можно разделить на три основных типа:

Конденсатор постоянной емкости - это свернутая в рулон упомянутая выше трехслойная лента (две ленты проводника и лента диэлектрика между ними). Конденсаторы переменной емкости - приборы, используемые в радиотехнике, позволяющие регулировать параметры, от которых зависит емкость - ширина пластин и расстояние между ними (рис. 6). Батарея же конденсаторов - это несколько конденсаторов, связанных по определенной схеме.

Рис. 6. Модель конденсатора переменной емкости ()

Конденсатор - прибор для накопления заряда, и проводники, на которых накапливается заряд, создают между собой электрическое поле, а значит, конденсатор обладает некоторой энергией. Энергия конденсатора, по закону сохранения энергии, должна быть равна работе, выполненной по разделению зарядов.

Как мы уже знаем, работа по перемещению заряда в поле равна:

Здесь: - заряд; - напряженность; - модуль перемещения.

И теперь, если рассмотреть наш случай поля конденсатора, получается, что напряженность создается одновременно двумя обкладками, и для рассмотрения одной обкладки мы должны записать

Для сравнения радиус Земли равен:

Дополнение 2. Соединение конденсаторов.

Иногда не получается найти конденсатор нужной конфигурации, тогда приходится составлять блоки из нескольких конденсаторов. Соединить два или более конденсатора можно двумя различными способами: параллельно или последовательно.

Параллельное соединение (рис. 8):

Рис. 8. Параллельное соединение конденсаторов

Так как выходы источника питания подсоединены одновременно к обкладкам всех конденсаторов, то потенциалы всех обкладок равны, металл является эквипотенциальной поверхностью:

Заряды на обкладках параллельно соединенных конденсаторов суммируются:

Разделив второе равенство на напряжение (любое, так как они равны) и воспользовавшись определением емкости конденсатора, получим:

Последовательное соединение (рис. 9):

Рис. 9. Последовательное соединение конденсаторов

Так как две обкладки соседних конденсаторов являются одной деталью, отрезанной от остальных проводников, по закону сохранения заряда, сумма их зарядов должна оставаться равной нулю, а значит, они равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому:

Падение же напряжения на всем участке складывается из падений напряжения на каждом конденсаторе: