Симметрия на плоскости и в пространстве. Презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему: Симметрия в пространстве

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

• Рассмотреть осевую, центральную и зеркальную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.
• Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой симметрией и центральной симметрией.
• Совершенствовать навыки решения задач.

Задачи урока:

• Формирование пространственных представлений учащихся.
• Развитие умения наблюдать и рассуждать; развитие интереса к предмету через использование информационных технологий.
• Воспитание человека, умеющего ценить прекрасное.

Оборудование урока:

• Использование информационных технологий (презентация).
• Рисунки.
• Карточки с домашним заданием.

Ход урока

I. Организационный момент .

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Введение .

Что такое симметрия?

Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.

Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M" относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM" является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

III. Основная часть. Виды симметрии.

Центральная симметрия

Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Практическое задание .

1. Даны точки А , В и М М относительно середины отрезка АВ .
2. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, Х, К?
3. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Осевая симметрия

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Практическое задание .

1. Даны две точки А и В , симметричные относительно некоторой прямой, и точка М . Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.
2. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О?
3. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
4. Сколько осей симметрии имеет рисунок? (см. рис. 1)

Зеркальная симметрия

Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе.

Практическое задание .

1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в)зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
2. В правую или левую перчатку переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?
3. На рисунке показано, как цифра 4 отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если то же самое сделать с цифрой 5? (см. рис. 2)
4. На рисунке показано, как слово КЕНГУРУ отражается в двух зеркалах. Что получится, если то же самое проделать с числом 2011? (см. рис. 3)

Рис. 2

Это интересно.

Симметрия в живой природе.

Почти все живые существа построены по законам симметрии, недаром в переводе с греческого слово «симметрия» означает «соразмерность».

Среди цветов, например, наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика – 72°, для нарцисса – 60°.

В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света, хотя сами листья тоже имеют ось симметрии. Рассматривая общий план строения какого-либо животного, мы замечаем обычно известную правильность в расположении частей тела или органов, которые повторяются вокруг некоторой оси или занимают одно и то же положение по отношению к некоторой плоскости. Эту правильность называют симметрией тела. Явления симметрии столь широко распространены в животном мире, что весьма трудно указать группу, в которой никакой симметрии тела подметить нельзя. Симметрией обладают и маленькие насекомые, и крупные животные.

Симметрия в неживой природе.

Среди бесконечного разнообразия форм неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. Наблюдая за красотой природы, можно заметить, что при отражении предметов в лужах, озерах проявляется зеркальная симметрия (см. рис. 4).

В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают поворотной симметрией и, кроме того, зеркальной симметрией.

Нельзя не увидеть симметрию и в ограненных драгоценных камнях. Многие гранильщики стараются придать бриллиантам форму тетраэдра, куба, октаэдра или икосаэдра. Так как гранат имеет те же элементы что и куб, он высоко ценится знатоками драгоценных камней. Художественные изделия из гранатов были обнаружены в могилах Древнего Египта, относящихся еще к додинастическому периоду (свыше двух тысячелетий до н.э.) (см. рис. 5).

В коллекциях Эрмитажа особым вниманием пользуются золотые украшения древних скифов. Необычайно тонка художественная работа золотых венков, диадем, дерева и украшенных драгоценными красно-фиолетовыми гранатами.

Одним из самых наглядных использований законов симметрии в жизни служат строения архитектуры. Это то, что чаще всего мы можем увидеть. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла (см. рис. 6). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Еще одним примером использования человеком симметрии в своей практике – это техника. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля. Или одно из важнейших изобретений человечества, имеющих центр симметрии, является колесо, также центр симметрии есть у пропеллера и других технических средств.

«Посмотри в зеркало!»

Должны ли мы считать, что самих себя видим только в «зеркальном отражении»? Или в лучшем случае лишь на фото и кинопленке можем узнать, как мы выглядим «на самом деле»? Конечно, нет: достаточно зеркальное изображение вторично отразить в зеркале, чтобы увидеть свое истинное лицо. На помощь приходят трельяжи. Они имеют одно большое главное зеркало в центре и два меньших зеркала по сторонам. Если такое боковое зеркало поставить под прямым углом к среднему, то можно увидеть себя именно в том виде, в каком вас видят окружающие. Зажмурьте левый глаз, и ваше отражение во втором зеркале повторит ваше движение левым глазом. Перед трельяжем вы можете выбирать, хотите ли вы увидеть себя в зеркальном или в непосредственном изображении.

Легко вообразить, какая бы царила на Земле неразбериха, если бы симметрия в природе была нарушена!

Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

IV. Физкультминутка.

• «Ленивые восьмерки » – активизируют структуры, обеспечивающие запоминание, повышают устойчивость внимания.
  Нарисовать в воздухе в горизонтальной плоскости цифру восемь по три раза сначала одной рукой, затем сразу обеими руками.
• «Симметричные рисунки » – улучшают зрительно-моторную координацию, облегчают процесс письма.
  Нарисовать в воздухе обеими руками симметричные рисунки.

V. Самостоятельная работа проверочного характера.

Ι вариант

ΙΙ вариант

1. В прямоугольнике MPKH О – точка пересечения диагоналей, РА и BH – перпендикуляры, проведенные из вершин Р и H к прямой МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
2. В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК, KH, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = РС. Докажите, что ОА = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МОА.
3. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противоположные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах данного острого угла.

VI. Подведение итогов урока. Оценивание.

• С какими видами симметрии вы познакомились на уроке?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
• Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
• Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
• Что такое зеркальная симметрия?
• Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
• Приведите примеры симметрии в живой и неживой природе.

VII. Домашнее задание.

1. Индивидуальное: достройте, применив осевую симметрию (см. рис. 7).

Рис. 7

2. Постройте фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой (см. рис. 8, 9).

Рис. 8	Рис. 9

3. Творческое задание: «В мире животных». Нарисуйте представителя из мира животных и покажите ось симметрии.

VIII. Рефлексия.

• Что понравилось на уроке?
• Какой материал был наиболее интересен?
• Какие трудности возникли при выполнении того или иного задания?
• Что бы вы изменили в ходе урока?

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ А А 1 О Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Лист, снежинка, бабочка – примеры осевой симметрии. А 1 А а

СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А А 1

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. А 1 А О А 1 А О

С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета, некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическое обоснование урока. Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме: «Симметрия в пространстве. Правил...

Конспект урока по геометрии 10 класс

Тема: Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике.

Ход урока.

Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией

Точки А1 и А2 пространства называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.
Прямая l при этом называется осью симметрии точек А1 и А2

Фигура называется симметричной относительно прямой l, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевая симметрия вокруг нас

Объяснение новой темы

Используя перпендикулярность прямой и плоскости, введем важное понятие симметрии относительно плоскости, или зеркальной симметрии

Мир зеркальной симметрии. Симметрия в природе и на практике.

Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе.
Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...
Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека. Эффект зеркальной симметрии часто используют на практике. Так, в обувных магазинах на витрину иногда ставят только одну туфлю. Туфля отражается в зеркале, и зрительно нам кажется, будто мы видим пару туфель.
Герман Вейль сказал: «Симметрия является той идеей, по средствам которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на I половину XX века.
Именно он сформулировал определение симметрии, установил, по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае
Действительно, симметричность приятна глазу.
Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

Симметрия в природе

Симметрия в пространстве - это красивое, гармоничное и уравновешенное пропорциональное соотношение частей или элементов различных форм предметов, организмов или объектов. В пространстве вокруг нас можно наблюдать очень много неживых предметов симметричной формы. Живые организмы, как простейшие, так и сложные высокоорганизованные, также в своем строении имеют элементы симметрии.

Стремление к совершенству

Симметричную форму можно отождествить с совершенством и гармонией. Недаром такие слова, как «симметрия» и «совершенство» являются синонимами в языках многих народов.

Симметрия в пространстве встречается повсюду. Многообразие форм растений и живых организмов поражает соразмерностью, согласованностью и эргономичностью формы. Тут все продумано до мелочей: поразительная красота, изящность пропорций и ничего лишнего. Все предусмотрено для наилучшей функциональности жизни.

Центральная симметрия

В пространстве окружающего нас мира неживой природы явственно видна в устройстве кристаллов. Этот вид симметрии хорошо прослеживается в строении снежинок, являющихся кристаллами льда. Их формы поражают многообразием. Но все они центрально симметричны.

Примером центральной или радиальной симметрии могут служить цветы растений: подсолнух, ромашка, ирис, астра. Этот вид симметрии еще называют поворотным. Если лепестки цветка или лучи снежинки поворачивать относительно центра, то они наложатся друг на друга.

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия в пространстве окружающего нас природного мира наблюдается у растений и животных. дуба или папоротника, жук или бабочка, паук или гусеница, мышь или заяц - вот только некоторые примеры, где можно в живых организмах увидеть билатеральную, или зеркальную симметрию. Симметричны человека, а также части тела: руки, ноги. В этих формах мы наблюдаем как бы зеркальное отражение одной половины объекта от другой. Если расположить объект в плоскости, то его изображение можно мысленно согнуть посередине, и одна половинка наложится на другую.

Гипотеза возникновения симметрии

В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.

Симметрия в науке и искусстве

Симметрия в пространстве была оценена художниками, скульпторами и архитекторами еще в глубокой древности. Мы видим элементы симметрии в древних наскальных изображениях, в орнаментальных украшениях древних предметов и оружия. Египетские пирамиды и пирамиды майя, купола славянских соборов, греческих храмов и дворцов, античные арки и амфитеатры, фасад Белого дома и Московский Кремль - вот только некоторые примеры стремления к возвышенной красоте и подлинному совершенству.

Понятия симметрии серьезно разрабатывались математиками. Проведенные математические исследования позволили выделить основные закономерности симметрии на плоскости и в пространстве. Физика и химия также не обошли стороной эту интересную природную закономерность. Академик В. И. Вернадский считал, что «симметрия... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик». Благодаря симметричному строению атомов, молекулы вступают в различные реакции и обусловливают физические свойства формирования кристаллов. Даже если законы физики, устанавливающие физические величины, будут неизменны при различных преобразованиях, то можно сказать, что эти законы обладают инвариантностью или симметрией по отношению к данным преобразованиям.

МКОУ «Аннинская СОШ с УИОП»

Симметрия в пространстве

Симметрия

Симметрия в широком смысле - соответствие, неизменность, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях.

Центральная симметрия

Параллельный перенос

Осевая симметрия

Симметрия

Зеркальное отражение или зеркальная симметрия - движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства - просто плоскостью).

Осевая симметрия

При осевой симметрии каждая точка фигуры переходят в точку, симметричную ей относительно плоскости

Осевая симметрия

Центральная симметрия

Центральной симметрией относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A - середина отрезка XX′.

Центральная симметрия

Центральная симметрия

Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

Параллельный перенос

Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос

Симметрия в физике

В теоретической физике, поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения ).

Симметрия в биологии

Симметрия в биологии - это закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.

Симметрия в химии

Симметрия важна для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.

Симметрия в религиозных символах

Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Вот лишь некоторые из многих примеров, изображённые на рисунке.

Симметрия в социальных взаимодействиях

Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше, чем ты».