У дома · електрическа безопасност · Медиана, начертана от прав ъгъл. Свойства на медианата на правоъгълен триъгълник

Медиана, начертана от прав ъгъл. Свойства на медианата на правоъгълен триъгълник

Първо ниво

Медиана. Визуално ръководство (2019)

1. Какво е медианата?

Много е просто!

Вземете триъгълник:

Маркирайте средата на едната му страна.

И се свържете с противоположния връх!

Получената линия и има медиана.

2. Свойства на медианата.

Какви добри свойства има медианата?

1) Нека си представим, че триъгълникът е правоъгълен.Има такива неща, нали?

Защо??? Какво общо има правият ъгъл?

Да гледаме внимателно. Просто не триъгълник, а... правоъгълник. Защо питаш?

Но ти вървиш по Земята - виждаш ли, че е кръгла? Не, разбира се, за да направите това, трябва да погледнете Земята от космоса. Така че ние гледаме на нашия правоъгълен триъгълник „от космоса“.

Нека начертаем диагонал:

Помните ли, че диагоналите на правоъгълник равенИ дялпресечна точка на половина? (Ако не помните вижте темата)

Това означава, че половината от втория диагонал е наш Медиана. Диагоналите са равни, както и техните половини, разбира се. Това ще получим

Няма да доказваме това твърдение, но за да повярвате, помислете сами: има ли друг успоредник с равни диагонали, различен от правоъгълник? Разбира се, че не! Е, това означава, че медианата може да бъде равна на половината страна само в правоъгълен триъгълник.

Нека да видим как това свойство помага за решаването на проблеми.

Тук, задача:
Отстрани; . Начертан от върха Медиана. Намерете дали.

Ура! Можете да приложите Питагоровата теорема! Вижте колко е страхотно? Ако не знаехме това Медианаравен на половината страна

Прилагаме Питагоровата теорема:

2) А сега да имаме не една, а цяла три медиани! Как се държат?

Помнете много важен факт:

Труден? Погледни снимката:

Медианите и се пресичат в една точка.

И….(доказваме това, но засега Помня!):

  • - два пъти повече от;
  • - два пъти повече от;
  • - два пъти повече от.

Уморихте ли се вече? Ще бъдете ли достатъчно силни за следващия пример? Сега ще приложим всичко, за което говорихме!

Задача: В триъгълник са начертани медиани и , които се пресичат в точка. Намерете дали

Нека намерим с помощта на Питагоровата теорема:

Сега нека приложим знанията за пресечната точка на медианите.

Нека го дефинираме. Сегмент, а. Ако всичко не е ясно, погледнете снимката.

Това вече го открихме.

Означава, ; .

В задачата ни питат за сегмент.

В нашата нотация.

Отговор: .

Хареса ли? Сега опитайте сами да приложите знанията си за медианата!

МЕДИАНА. СРЕДНО НИВО

1. Медианата разделя страната наполовина.

Това е всичко? Или може би тя разделя нещо друго наполовина? Представи си това!

2. Теорема: Медианата разделя площта наполовина.

Защо? Нека си спомним най-простата форма на площта на триъгълник.

И прилагаме тази формула два пъти!

Вижте, медианата е разделена на два триъгълника: и. Но! Имат еднаква височина - ! Само на тази височина пада встрани, а на - от страната на продължението. Изненадващо, това също се случва: триъгълниците са различни, но височината е една и съща. И сега ще приложим формулата два пъти.

Какво би означавало това? Погледни снимката. Всъщност в тази теорема има две твърдения. Забелязахте ли това?

Първо твърдение:медианите се пресичат в една точка.

Второ твърдение:Пресечната точка на медианата е разделена в съотношение, считано от върха.

Нека се опитаме да разгадаем тайната на тази теорема:

Нека свържем точките и... Какво стана?

Сега нека начертаем друга средна линия: маркирайте средата - поставете точка, маркирайте средата - поставете точка.

Сега - средната линия. Това е

  1. паралелен;

Забелязахте ли някакви съвпадения? И двете са успоредни. И, и.

Какво следва от това?

  1. паралелен;

Разбира се, само за успоредник!

Това означава, че е успоредник. Какво от това? Нека си припомним свойствата на успоредника. Например, какво знаете за диагоналите на успоредник? Точно така, те са разделени наполовина от пресечната точка.

Нека отново да погледнем чертежа.

Тоест медианата е разделена с точки на три равни части. И абсолютно същото.

Това означава, че двете медиани са разделени с точка в съотношението, тоест и.

Какво ще стане с третата медиана? Да се ​​върнем в началото. О, Боже?! Не, сега всичко ще бъде много по-кратко. Нека изхвърлим медианата и направим медианите и.

Сега си представете, че сме извършили абсолютно същите разсъждения като за медианите и. Какво тогава?

Оказва се, че медианата ще раздели медианата точно по същия начин: в съотношение, като се брои от точката.

Но колко точки може да има на отсечка, които го разделят в съотношение, като се брои от точката?

Разбира се, само един! И ние вече го видяхме - това е смисълът.

Какво стана накрая?

Медианата определено премина! И трите медиани са минавали през него. И всички бяха разделени в отношението, като се брои отгоре.

Така решихме (доказахме) теоремата. Оказа се, че решението е успоредник, разположен вътре в триъгълник.

4. Формула за средна дължина

Как да намерим дължината на медианата, ако страните са известни? Сигурен ли си, че имаш нужда от това? Нека разкрием една ужасна тайна: тази формула не е много полезна. Но все пак ще го напишем, но няма да го доказваме (ако се интересувате от доказателството, вижте следващото ниво).

Как можем да разберем защо това се случва?

Да гледаме внимателно. Просто не триъгълник, а правоъгълник.

Така че нека разгледаме правоъгълник.

Забелязали ли сте, че нашият триъгълник е точно половината от този правоъгълник?

Нека начертаем диагонал

Спомняте ли си, че диагоналите на правоъгълника са равни и разделят пресечната точка на две? (Ако не помните вижте темата)
Но един от диагоналите е нашата хипотенуза! Това означава, че пресечната точка на диагоналите е средата на хипотенузата. Наричаше се наш.

Това означава, че половината от втория диагонал е нашата медиана. Диагоналите са равни, както и техните половини, разбира се. Това ще получим

Освен това това се случва само в правоъгълен триъгълник!

Няма да доказваме това твърдение, но за да повярвате, помислете сами: има ли друг успоредник с равни диагонали, освен правоъгълник? Разбира се, че не! Е, това означава, че медианата може да бъде равна на половината страна само в правоъгълен триъгълник. Нека да видим как това свойство помага за решаването на проблеми.

Ето я задачата:

Отстрани; . Медианата е изтеглена от върха. Намерете дали.

Ура! Можете да приложите Питагоровата теорема! Вижте колко е страхотно? Ако не знаехме, че медианата е половината от страната само в правоъгълен триъгълник, няма начин да разрешим този проблем. И сега можем!

Прилагаме Питагоровата теорема:

МЕДИАНА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

1. Медианата разделя страната наполовина.

2. Теорема: медианата разделя площта наполовина

4. Формула за средна дължина

Обратна теорема:ако медианата е равна на половината от страната, тогава триъгълникът е правоъгълен и тази медиана е изтеглена към хипотенузата.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

  1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
  2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 999 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Във втория случай ние ще ви дадемсимулатор "6000 задачи с решения и отговори, за всяка тема, на всички нива на сложност." Определено ще бъде достатъчно, за да се докопате до решаването на задачи по всякаква тема.

Всъщност това е много повече от симулатор - цяла програма за обучение. Ако е необходимо, можете да го използвате и БЕЗПЛАТНО.

Осигурен е достъп до всички текстове и програми за ЦЕЛИЯ период на съществуване на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Медианата е сегмент, изтеглен от върха на триъгълник до средата на противоположната страна, т.е. разделя го наполовина в точката на пресичане. Точката, в която медианата пресича страната, противоположна на върха, от който излиза, се нарича основа. Всяка медиана на триъгълника минава през една точка, наречена пресечна точка. Формулата за неговата дължина може да се изрази по няколко начина.

Формули за изразяване на дължината на медианата

  • Често при задачи по геометрия учениците трябва да се справят с сегмент като медианата на триъгълник. Формулата за неговата дължина се изразява чрез страни:

където a, b и c са страните. Освен това c е страната, на която пада медианата. Ето как изглежда най-простата формула. Медианите на триъгълник понякога са необходими за спомагателни изчисления. Има и други формули.

  • Ако по време на изчислението са известни две страни на триъгълник и определен ъгъл α, разположен между тях, тогава дължината на медианата на триъгълника, спусната до третата страна, ще бъде изразена по следния начин.

Основни свойства

  • Всички медиани имат една обща пресечна точка O и се делят от нея в съотношение две към едно, ако се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежестта на триъгълника.
  • Медианата разделя триъгълника на два други, чиито площи са равни. Такива триъгълници се наричат ​​равни по площ.
  • Ако начертаете всички медиани, триъгълникът ще бъде разделен на 6 равни фигури, които също ще бъдат триъгълници.
  • Ако и трите страни на триъгълник са равни, тогава всяка от медианите също ще бъде надморска височина и ъглополовяща, тоест перпендикулярна на страната, към която е начертана, и разполовява ъгъла, от който излиза.
  • В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена от върха, който е срещу страната, която не е равна на никоя друга, също ще бъде надморската височина и ъглополовящата. Медианите, изпуснати от други върхове, са равни. Това също е необходимо и достатъчно условие за равнобедрения.
  • Ако триъгълник е основата на правилна пирамида, тогава височината, спусната до тази основа, се проектира до точката на пресичане на всички медиани.

  • В правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към най-дългата страна, е равна на половината от дължината му.
  • Нека O е пресечната точка на медианите на триъгълника. Формулата по-долу ще бъде вярна за всяка точка M.

  • Медианата на триъгълника има друго свойство. Формулата за квадрата на неговата дължина през квадратите на страните е представена по-долу.

Свойства на страните, към които е начертана медианата

  • Ако свържете произволни две точки на пресичане на медианите със страните, върху които са пуснати, тогава полученият сегмент ще бъде средната линия на триъгълника и ще бъде половината от страната на триъгълника, с която той няма общи точки.
  • Основите на височините и медианите в триъгълник, както и средите на отсечките, свързващи върховете на триъгълника с пресечната точка на височините, лежат на една и съща окръжност.

В заключение е логично да се каже, че един от най-важните сегменти е медианата на триъгълника. Формулата му може да се използва за намиране на дължините на другите му страни.

Триъгълникът е многоъгълник с три страни, или затворена прекъсната линия с три връзки, или фигура, образувана от три сегмента, свързващи три точки, които не лежат на една и съща права линия (виж фиг. 1).

Основни елементи на триъгълник abc

Върхове – точки A, B и C;

Партита – отсечки a = BC, b = AC и c = AB, свързващи върховете;

Ъгли – α, β, γ, образувани от три двойки страни. Ъглите често се означават по същия начин като върховете, с буквите A, B и C.

Ъгълът, образуван от страните на триъгълника и лежащ във вътрешната му област, се нарича вътрешен ъгъл, а прилежащият към него е прилежащ ъгъл на триъгълника (2, с. 534).

Височини, медиани, ъглополовящи и средни линии на триъгълник

В допълнение към основните елементи в триъгълника се разглеждат и други сегменти с интересни свойства: височини, медиани, ъглополовящи и средни линии.

Височина

Височини на триъгълник- това са перпендикуляри, спуснати от върховете на триъгълника към противоположните страни.

За да начертаете височината, трябва да изпълните следните стъпки:

1) начертайте права линия, съдържаща една от страните на триъгълника (ако височината е изтеглена от върха на остър ъгъл в тъп триъгълник);

2) от върха, лежащ срещу начертаната линия, начертайте сегмент от точката до тази линия, сключвайки с нея ъгъл от 90 градуса.

Точката, в която надморската височина пресича страната на триъгълника, се нарича височина основа (виж фиг. 2).

Свойства на височините на триъгълника

    В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от върха на правия ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния триъгълник.

    В остроъгълен триъгълник двете му височини отрязват подобни триъгълници от него.

    Ако триъгълникът е остър, тогава всички основи на височините принадлежат на страните на триъгълника, а в тъпия триъгълник две височини попадат върху продължението на страните.

    Три височини в остроъгълен триъгълник се пресичат в една точка и тази точка се нарича ортоцентър триъгълник.

Медиана

Медиани(от латински mediana – „среден“) - това са сегменти, свързващи върховете на триъгълника със средните точки на противоположните страни (виж фиг. 3).

За да изградите медианата, трябва да изпълните следните стъпки:

1) намерете средата на страната;

2) свържете точката, която е средата на страната на триъгълника с противоположния връх с сегмент.

Свойства на медианите на триъгълника

    Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

    Медианите на триъгълник се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, считано от върха. Тази точка се нарича център на тежестта триъгълник.

Целият триъгълник е разделен от своите медиани на шест равни триъгълника.

Симетрала

Симетрали(от лат. bis - два пъти и seko - режа) са отсечките от права линия, затворени вътре в триъгълник, които разполовяват неговите ъгли (виж фиг. 4).

За да построите ъглополовяща, трябва да изпълните следните стъпки:

1) конструирайте лъч, който излиза от върха на ъгъла и го разделя на две равни части (ъглополовящата на ъгъла);

2) намерете пресечната точка на ъглополовящата на ъгъла на триъгълника с противоположната страна;

3) изберете сегмент, свързващ върха на триъгълника с пресечната точка от противоположната страна.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

    Симетралата на ъгъл на триъгълник дели противоположната страна в съотношение, равно на отношението на двете съседни страни.

    Симетралите на вътрешните ъгли на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на вписаната окръжност.

    Симетралите на вътрешния и външния ъгъл са перпендикулярни.

    Ако ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник пресича продължението на срещуположната страна, тогава ADBD=ACBC.

    Симетралите на един вътрешен и два външни ъгъла на триъгълник се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на една от трите вписани окръжности на този триъгълник.

    Основите на ъглополовящите на два вътрешни и един външен ъгъл на триъгълник лежат на една и съща права, ако ъглополовящата на външния ъгъл не е успоредна на срещуположната страна на триъгълника.

    Ако ъглополовящите на външните ъгли на триъгълник не са успоредни на противоположните страни, тогава техните основи лежат на една и съща права линия.

Когато изучавате всяка тема в училищен курс, можете да изберете определен минимум от проблеми и след като усвоите методите за решаването им, учениците ще могат да решават всеки проблем на нивото на програмните изисквания по изучаваната тема. Предлагам да разгледате проблеми, които ще ви позволят да видите взаимовръзките на отделните теми в училищния курс по математика. Следователно съставената система от задачи е ефективно средство за повторение, обобщаване и систематизиране на учебния материал в хода на подготовката на учениците за изпита.

За полагането на изпита ще е полезно да имате допълнителна информация за някои от елементите на триъгълника. Нека разгледаме свойствата на медианата на триъгълник и проблемите, при решаването на които могат да се използват тези свойства. Предложените задачи реализират принципа на степенната диференциация. Всички задачи са условно разделени на нива (нивото е посочено в скоби след всяка задача).

Нека си припомним някои свойства на медианата на триъгълник

Имот 1. Докажете, че медианата на триъгълник ABC, изтеглен от върха А, по-малко от половината от сбора на страните ABИ A.C..

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Имот 2. Медианата разрязва триъгълника на две равни области.

Доказателство

Нека начертаем от върха B на триъгълника ABC медианата BD и височината BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Тъй като отсечката BD е медианата, тогава

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медиана" align="left" width="196" height="75 src=">!} Имот 4. Медианите на триъгълник разделят триъгълника на 6 равни триъгълника.

Доказателство

Нека докажем, че площта на всеки от шестте триъгълника, на които медианите разделят триъгълника ABC, е равна на лицето на триъгълника ABC. За да направите това, помислете например за триъгълник AOF и пуснете перпендикуляр AK от връх A към права BF.

Поради свойство 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медиана" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Имот 6. Медианата в правоъгълен триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата.

Доказателство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Последствия:1. Центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи в средата на хипотенузата.

2. Ако в триъгълник дължината на медианата е равна на половината от дължината на страната, към която е начертана, то този триъгълник е правоъгълен.

ЗАДАЧИ

При решаването на всеки следващ проблем се използват доказани свойства.

№1 Теми: Удвояване на медианата. Трудност: 2+

Признаци и свойства на успоредник Оценки: 8,9

Състояние

При продължение на медианата А.М.триъгълник ABCна точка Мсегментът е отложен М.Д., равен А.М.. Докажете, че четириъгълникът ABDC- успоредник.

Решение

Нека използваме един от знаците на успоредник. Диагонали на четириъгълник ABDCпресичат се в точка Ми го разделете наполовина, така че четириъгълникът ABDC- успоредник.

Забележка. Този урок представя теоретични материали и решения на задачи по геометрия по темата „медиана в правоъгълен триъгълник“. Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. Курсът почти сигурно ще бъде допълнен.

Свойства на медианата на правоъгълен триъгълник

Определяне на медианата

  • Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и се разделят от тази точка на две части в съотношение 2:1, считано от върха на ъгъла. Точката на тяхното пресичане се нарича център на тежестта на триъгълника (сравнително рядко в задачите терминът "центъроид" се използва за обозначаване на тази точка),
  • Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднакъв размер.
  • Триъгълник е разделен от три медиани на шест равни триъгълника.
  • По-голямата страна на триъгълника съответства на по-малката медиана.

Предложените за решение геометрични задачи използват главно следното свойства на медианата на правоъгълен триъгълник.

  • Сборът от квадратите на медианите, пуснати върху катетите на правоъгълен триъгълник, е равен на пет квадрата от медианата, пусната върху хипотенузата (Формула 1)
  • Медиана, паднала до хипотенузата на правоъгълен триъгълник равно на половината от хипотенузата(Формула 2)
  • Медианата на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на радиуса на описаната около него окръжностдаден правоъгълен триъгълник (Формула 2)
  • Медианата, паднала до хипотенузата, е равно на половината корен квадратен от сбора на квадратите на катетите(Формула 3)
  • Медианата, понижена до хипотенузата, е равна на частното от дължината на крака, разделена на два синуса на острия ъгъл срещу крака (Формула 4)
  • Медианата, понижена до хипотенузата, е равна на частното от дължината на крака, разделена на два косинуса на острия ъгъл, съседен на крака (Формула 4)
  • Сборът от квадратите на страните на правоъгълен триъгълник е равен на осем квадрата от медианата, спусната към неговата хипотенуза (Формула 5)

Означения във формули:

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

° С- хипотенуза на правоъгълен триъгълник

Ако означим триъгълник като ABC, тогава

пр. н. е. = А

(т.е. страните a,b,c са противоположни на съответните ъгли)

м а- медиана, начертана към крака a

м b- медиана, изтеглена към крака b

м ° С - медиана на правоъгълен триъгълник, изтеглен към хипотенузата с

α (алфа)- ъгъл CAB срещуположната страна a

Задача за медиана в правоъгълен триъгълник

Медианите на правоъгълен триъгълник, прекарани към катетите, са равни съответно на 3 cm и 4 cm. Намерете хипотенузата на триъгълника

Решение

Преди да започнем да решаваме проблема, нека обърнем внимание на съотношението на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник и медианата, която се спуска върху него. За да направите това, нека се обърнем към формули 2, 4, 5 свойства на медианата в правоъгълен триъгълник. Тези формули ясно показват съотношението на хипотенузата и медианата, което се спуска върху нея като 1 към 2. Следователно, за удобство на бъдещи изчисления (което няма да повлияе по никакъв начин на правилността на решението, но ще го направи по- удобно), ние означаваме дължините на краката AC и BC с променливите x и y като 2x и 2y (не x и y).

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ADC. Ъгъл C е прав според условията на задачата, катет AC е общ с триъгълник ABC, а катет CD е равен на половината BC според свойствата на медианата. Тогава, според Питагоровата теорема

AC 2 + CD 2 = AD 2

Тъй като AC = 2x, CD = y (тъй като медианата разделя крака на две равни части), тогава
4x 2 + y 2 = 9

Едновременно с това разгледайте правоъгълния триъгълник EBC. Той също има прав ъгъл C според условията на задачата, катет BC е общ с катет BC на първоначалния триъгълник ABC, а катет EC, по свойството на медианата, е равен на половината от катет AC на първоначалния триъгълник ABC.
Според теоремата на Питагор:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Тъй като EC = x (медианата разделя крака наполовина), BC = 2y, тогава
x 2 + 4y 2 = 16

Тъй като триъгълниците ABC, EBC и ADC са свързани с общи страни, двете получени уравнения също са свързани.
Нека решим получената система от уравнения.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16