Несъвместими системи. Системи с общо решение. Частни решения. Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Система от линейни уравнения е обединение от n линейни уравнения, всяко от които съдържа k променливи. Написано е така:

Мнозина, когато се сблъскват с висшата алгебра за първи път, погрешно вярват, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на променливите. В училищната алгебра това обикновено се случва, но за висшата алгебра това обикновено не е вярно.

Решението на система от уравнения е поредица от числа (k 1, k 2, ..., k n), която е решението на всяко уравнение на системата, т.е. при заместване в това уравнение вместо променливите x 1, x 2, ..., x n дава правилното числово равенство.

Съответно решаването на система от уравнения означава намиране на множеството от всички нейни решения или доказване, че това множество е празно. Тъй като броят на уравненията и броят на неизвестните може да не съвпадат, възможни са три случая:

Системата е непоследователна, т.е. множеството от всички решения е празно. Доста рядък случай, който лесно се открива, без значение какъв метод се използва за решаване на системата.
Системата е последователна и детерминирана, т.е. има точно едно решение. Класическата версия, добре позната от училище.
Системата е последователна и недефинирана, т.е. има безкрайно много решения. Това е най-трудният вариант. Не е достатъчно да се посочи, че "системата има безкраен набор от решения" - необходимо е да се опише как е структуриран този набор.

Променлива x i се нарича разрешена, ако е включена само в едно уравнение на системата и с коефициент 1. С други думи, в други уравнения коефициентът на променливата x i трябва да бъде равен на нула.

Ако изберем една разрешена променлива във всяко уравнение, получаваме набор от разрешени променливи за цялата система от уравнения. Самата система, написана в тази форма, също ще се нарича разрешена. Най-общо казано, една и съща оригинална система може да бъде сведена до различни разрешени, но засега това не ни притеснява. Ето примери за разрешени системи:

И двете системи са разрешени по отношение на променливите x 1 , x 3 и x 4 . Със същия успех обаче може да се твърди, че втората система е разрешена по отношение на x 1, x 3 и x 5. Достатъчно е да пренапишете последното уравнение във формата x 5 = x 4.

Сега нека разгледаме един по-общ случай. Нека имаме общо k променливи, от които r са разрешени. Тогава са възможни два случая:

Броят на разрешените променливи r е равен на общия брой променливи k: r = k. Получаваме система от k уравнения, в която r = k разрешени променливи. Такава система е съвместна и категорична, т.к x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
Броят на разрешените променливи r е по-малък от общия брой на променливите k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

И така, в горните системи променливите x 2, x 5, x 6 (за първата система) и x 2, x 5 (за втората) са свободни. Случаят, когато има свободни променливи, е по-добре формулиран като теорема:

Моля, обърнете внимание: това е много важен момент! В зависимост от начина, по който пишете получената система, една и съща променлива може да бъде разрешена или свободна. Повечето преподаватели по висша математика препоръчват изписване на променливи в лексикографски ред, т.е. възходящ индекс. Вие обаче не сте задължени да следвате този съвет.

Теорема. Ако в система от n уравнения променливите x 1, x 2, ..., x r са разрешени и x r + 1, x r + 2, ..., x k са свободни, тогава:

Ако зададем стойностите на свободните променливи (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), и след това намерим стойностите x 1, x 2, ..., x r, получаваме едно от решенията.

Ако в две решения стойностите на свободните променливи съвпадат, тогава стойностите на разрешените променливи също съвпадат, т.е. решенията са равни.

Какъв е смисълът на тази теорема? За да се получат всички решения на разрешена система от уравнения, е достатъчно да се изолират свободните променливи. След това, присвоявайки различни стойности на свободните променливи, ще получим готови решения. Това е всичко - по този начин можете да получите всички решения на системата. Няма други решения.

Заключение: разрешената система от уравнения винаги е последователна. Ако броят на уравненията в една разрешена система е равен на броя на променливите, системата ще бъде определена; ако е по-малко, тя ще бъде неопределена.

И всичко би било наред, но възниква въпросът: как да се получи разрешено от оригиналната система от уравнения? За това има

Да се изследва система от линейни възрастови уравнения (SLAE) за съгласуваност означава да се установи дали тази система има решения или не. Е, ако има решения, тогава посочете колко са.

Ще ни е необходима информация от темата "Система от линейни алгебрични уравнения. Основни термини. Матрична форма на запис". По-специално са необходими понятия като системна матрица и разширена системна матрица, тъй като формулировката на теоремата на Кронекер-Капели се основава на тях. Както обикновено, ще обозначим системната матрица с буквата $A$, а разширената матрица на системата с буквата $\widetilde(A)$.

Теорема на Кронекер-Капели

Система от линейни алгебрични уравнения е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата, т.е. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Нека ви напомня, че една система се нарича съвместна, ако има поне едно решение. Теоремата на Кронекер-Капели казва следното: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогава има решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава този SLAE няма решения (непоследователен). Отговорът на въпроса за броя на тези решения се дава от следствие от теоремата на Кронекер-Капели. Във формулировката на следствието се използва буквата $n$, която е равна на броя на променливите на дадения SLAE.

Следствие от теоремата на Кронекер-Капели

Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогава SLAE е непоследователен (няма решения).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогава SLAE е определен (има точно едно решение).

Моля, обърнете внимание, че формулираната теорема и нейното следствие не показват как да се намери решение на SLAE. С тяхна помощ можете само да разберете дали тези решения съществуват или не, и ако съществуват, тогава колко.

Пример №1

Разгледайте SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ за съвместимост Ако SLAE е съвместим, посочете броя на решенията.

За да открием съществуването на решения на даден SLAE, ние използваме теоремата на Kronecker-Capelli. Ще ни трябват матрицата на системата $A$ и разширената матрица на системата $\widetilde(A)$, ще ги запишем:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(масив) \right). $$

Трябва да намерим $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Има много начини да направите това, някои от които са изброени в раздела Matrix Rank. Обикновено се използват два метода за изследване на такива системи: „Изчисляване на ранга на матрица по дефиниция“ или „Изчисляване на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации“.

Метод номер 1. Изчисляването се класира по дефиниция.

Според дефиницията рангът е най-високият порядък на второстепенните елементи на матрица, сред които има поне един, който е различен от нула. Обикновено изследването започва с минор от първи ред, но тук е по-удобно веднага да започнем да изчисляваме минор от трети ред на матрицата $A$. Малките елементи от трети ред се намират в пресечната точка на три реда и три колони на въпросната матрица. Тъй като матрицата $A$ съдържа само 3 реда и 3 колони, минорът от трети порядък на матрицата $A$ е детерминантата на матрицата $A$, т.е. $\Делта A$. За да изчислим детерминантата, прилагаме формула № 2 от темата „Формули за изчисляване на детерминанти от втори и трети ред“:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(масив) \right|=-21. $$

И така, има минор от трети порядък на матрицата $A$, който не е равен на нула. Невъзможно е да се конструира минор от четвърти ред, тъй като той изисква 4 реда и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. И така, най-високият порядък на минорите на матрицата $A$, сред които има поне един, който не е равен на нула, е равен на 3. Следователно $\rang A=3$.

Също така трябва да намерим $\rang\widetilde(A)$. Нека да разгледаме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До реда в матрицата $\widetilde(A)$ има елементи от матрицата $A$ и открихме, че $\Delta A\neq 0$. Следователно, матрицата $\widetilde(A)$ има минор от трети ред, който не е равен на нула. Не можем да конструираме минори от четвърти ред на матрицата $\widetilde(A)$, така че заключаваме: $\rang\widetilde(A)=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е последователна, т.е. има решение (поне едно). За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е определена, т.е. има уникално решение.

Проблемът е решен. Какви недостатъци и предимства има този метод? Първо, нека поговорим за предимствата. Първо, трябваше да намерим само една детерминанта. След това веднага направихме заключение за броя на решенията. Обикновено стандартните стандартни изчисления дават системи от уравнения, които съдържат три неизвестни и имат уникално решение. За такива системи този метод е много удобен, тъй като ние знаем предварително, че има решение (в противен случай примерът нямаше да бъде в стандартното изчисление). Тези. Всичко, което трябва да направим, е да покажем наличието на решение по най-бързия начин. Второ, изчислената стойност на детерминантата на системната матрица (т.е. $\Delta A$) ще бъде полезна по-късно: когато започнем да решаваме дадена система, използвайки метода на Крамер или използвайки обратната матрица.

Въпреки това, методът за изчисляване на ранга по дефиниция е нежелателен за използване, ако матрицата на системата $A$ е правоъгълна. В този случай е по-добре да използвате втория метод, който ще бъде разгледан по-долу. Освен това, ако $\Delta A=0$, тогава не можем да кажем нищо за броя на решенията на даден нехомогенен SLAE. Може би SLAE има безкраен брой решения, а може би нито едно. Ако $\Delta A=0$, тогава е необходимо допълнително проучване, което често е тромаво.

За да обобщя казаното, отбелязвам, че първият метод е добър за тези SLAE, чиято системна матрица е квадратна. Освен това самият SLAE съдържа три или четири неизвестни и се взема от стандартни стандартни изчисления или тестове.

Метод номер 2. Изчисляване на ранг по метода на елементарните трансформации.

Този метод е описан подробно в съответната тема. Ще започнем да изчисляваме ранга на матрицата $\widetilde(A)$. Защо матрици $\widetilde(A)$, а не $A$? Факт е, че матрицата $A$ е част от матрицата $\widetilde(A)$, следователно, като изчислим ранга на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно ще намерим ранга на матрицата $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(разменете първия и втория ред)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(масив) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (масив) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(масив) \right) \begin(масив) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(масив) \right) \end(aligned)

Редуцирахме матрицата $\widetilde(A)$ до трапецовидна форма. На главния диагонал на получената матрица $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ съдържа три ненулеви елемента: -1, 3 и -7. Заключение: рангът на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rang\widetilde(A)=3$. При извършване на трансформации с елементите на матрицата $\widetilde(A)$, ние едновременно трансформирахме елементите на матрицата $A$, разположени до линията. Матрицата $A$ също се редуцира до трапецовидна форма: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \вдясно )$. Заключение: рангът на матрицата $A$ също е 3, т.е. $\rang A=3$.

Тъй като $\rang A=\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е последователна, т.е. има решение. За да посочим броя на решенията, вземаме предвид, че нашият SLAE съдържа 3 неизвестни: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Тъй като броят на неизвестните е $n=3$, заключаваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, следователно, съгласно следствието от теоремата на Кронекер-Капели, системата е дефинирана, т.е. има уникално решение.

Какви са предимствата на втория метод? Основното предимство е неговата универсалност. За нас няма значение дали матрицата на системата е квадратна или не. В допълнение, ние всъщност извършихме предни трансформации на метода на Гаус. Остават само няколко стъпки и можем да получим решение на този SLAE. Честно казано, вторият метод ми харесва повече от първия, но изборът е въпрос на вкус.

Отговор: Даденият SLAE е последователен и дефиниран.

Пример №2

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ за съвместимост.

Ще намерим ранговете на системната матрица и разширената системна матрица с помощта на метода на елементарните трансформации. Разширена системна матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Нека намерим необходимите рангове чрез трансформиране на разширената матрица на системата:

Разширената матрица на системата е сведена до стъпаловидна форма. Ако една матрица е редуцирана до ешелонна форма, тогава нейният ранг е равен на броя на ненулевите редове. Следователно $\rang A=3$. Матрицата $A$ (до реда) се редуцира до трапецовидна форма и нейният ранг е 2, $\rang A=2$.

Тъй като $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, то според теоремата на Кронекер-Капели системата е непоследователна (т.е. няма решения).

Отговор: Системата е непоследователна.

Пример №3

Разгледайте SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ за съвместимост.

Разширената матрица на системата има формата: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$. Нека разменим първия и втория ред на тази матрица, така че първият елемент от първия ред да стане едно: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Редуцирахме разширената матрица на системата и матрицата на самата система до трапецовидна форма. Рангът на разширената матрица на системата е равен на три, рангът на матрицата на системата също е равен на три. Тъй като системата съдържа $n=5$ неизвестни, т.е. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Отговор: Системата е несигурна.

Във втората част ще анализираме примери, които често се включват в стандартни изчисления или тестове по висша математика: изследване на консистенцията и решение на SLAE в зависимост от стойностите на параметрите, включени в него.

На практика обаче са широко разпространени още два случая:

– Системата е непоследователна (няма решения);
– Системата е последователна и има безкрайно много решения.

Забележка : Терминът „последователност“ предполага, че системата има поне някакво решение. При редица проблеми е необходимо първо да проверите системата за съвместимост; как да направите това, вижте статията на ранг на матриците.

За тези системи се използва най-универсалният от всички методи за решение - Метод на Гаус. Всъщност „училищният“ метод също ще доведе до отговора, но във висшата математика е обичайно да се използва методът на Гаус за последователно елиминиране на неизвестни. Моля, тези, които не са запознати с алгоритъма на метода на Гаус, първо да проучат урока Метод на Гаус за манекени.

Самите елементарни матрични трансформации са абсолютно еднакви, разликата ще бъде в края на решението. Първо, нека да разгледаме няколко примера, когато системата няма решения (непоследователна).

Пример 1

Какво веднага привлича вниманието ви в тази система? Броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Ако броят на уравненията е по-малък от броя на променливите, тогава веднага можем да кажем, че системата е или непоследователна, или има безкрайно много решения. И остава само да разберем.

Началото на решението е съвсем обикновено - записваме разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в поетапна форма:

(1) В горната лява стъпка трябва да получим +1 или –1. В първата колона няма такива числа, така че пренареждането на редовете няма да даде нищо. Звеното ще трябва да се организира и това може да стане по няколко начина. Направих това: Към първия ред добавяме третия ред, умножен по -1.

(2) Сега получаваме две нули в първата колона. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по 3. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 5.

(3) След като трансформацията е завършена, винаги е препоръчително да се види дали е възможно да се опростят получените низове? Мога. Разделяме втория ред на 2, като в същото време получаваме необходимото –1 на втората стъпка. Разделете третия ред на –3.

(4) Добавете втория ред към третия ред.

Вероятно всеки е забелязал лошата линия, която е резултат от елементарни трансформации: . Ясно е, че това не може да бъде така. Наистина, нека пренапишем получената матрица обратно към системата от линейни уравнения:

Ако в резултат на елементарни преобразувания се получи низ от вида, където е число, различно от нула, то системата е непоследователна (няма решения).

Как да запиша края на задача? Нека начертаем с бял тебешир: „в резултат на елементарни трансформации се получава низ от вида , където ” и даваме отговора: системата няма решения (непоследователна).

Ако според условието се изисква ИЗСЛЕДВАНЕ на системата за съвместимост, тогава е необходимо решението да се формализира в по-солиден стил, като се използва концепцията матричен ранг и теоремата на Кронекер-Капели.

Моля, обърнете внимание, че тук няма обръщане на алгоритъма на Гаус - няма решения и просто няма какво да се намери.

Пример 2

Решете система от линейни уравнения

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока. Напомням ви отново, че вашето решение може да се различава от моето решение; алгоритъмът на Гаус няма силна „твърдост“.

Друга техническа характеристика на решението: елементарните трансформации могат да бъдат спрени Веднага, веднага щом ред като , където . Нека разгледаме условен пример: да предположим, че след първата трансформация се получава матрицата . Матрицата все още не е редуцирана до ешелонна форма, но няма нужда от допълнителни елементарни трансформации, тъй като се появи линия на формата, където . Веднага трябва да се отговори, че системата е несъвместима.

Когато система от линейни уравнения няма решения, това е почти подарък, поради факта, че се получава кратко решение, понякога буквално в 2-3 стъпки.

Но всичко в този свят е балансирано и задача, в която системата има безкрайно много решения, е просто по-дълга.

Пример 3

Решете система от линейни уравнения

Има 4 уравнения и 4 неизвестни, така че системата може или да има едно решение, или да няма решения, или да има безкрайно много решения. Както и да е, методът на Гаус при всички случаи ще ни доведе до отговора. Това е неговата многофункционалност.

Началото отново е стандартно. Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Това е всичко и вие сте се страхували.

(1) Моля, обърнете внимание, че всички числа в първата колона се делят на 2, така че 2 е добре в горната лява стъпка. Към втория ред добавяме първия ред, умножен по –4. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по –2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по –1.

внимание!Мнозина могат да бъдат изкушени от четвъртия ред извадетепърва линия. Това може да се направи, но не е необходимо; опитът показва, че вероятността от грешка в изчисленията се увеличава няколко пъти. Просто добавете: Към четвъртия ред добавете първия ред, умножен по –1 – точно!

(2) Последните три реда са пропорционални, два от тях могат да бъдат изтрити.

Тук отново трябва да покажем повишено внимание, но наистина ли линиите са пропорционални? За по-сигурно (особено за чайник), би било добра идея да умножите втория ред по –1 и да разделите четвъртия ред на 2, което води до три еднакви реда. И едва след това премахнете две от тях.

В резултат на елементарни трансформации разширената матрица на системата се редуцира до стъпаловидна форма:

Когато пишете задача в тетрадка, е препоръчително да правите същите бележки с молив за прегледност.

Нека пренапишем съответната система от уравнения:

Тук не мирише на „обикновено“ единично решение на системата. Няма и лоша линия. Това означава, че това е третият останал случай - системата има безкрайно много решения. Понякога, според условието, е необходимо да се проучи съвместимостта на системата (т.е. да се докаже, че изобщо съществува решение), можете да прочетете за това в последния параграф на статията Как да намерим ранга на матрица?Но засега нека прегледаме основите:

Безкрайно множество от решения на система се записва накратко под формата на т.нар общо решение на системата .

Намираме общото решение на системата, използвайки обратния метод на Гаус.

Първо трябва да определим какви променливи имаме основен, и какви променливи Безплатно. Не е нужно да се занимавате с термините на линейната алгебра, просто не забравяйте, че има такива основни променливиИ свободни променливи.

Основните променливи винаги „седят“ стриктно на стъпките на матрицата.
В този пример основните променливи са и

Безплатните променливи са всичко оставащипроменливи, които не са получили стъпка. В нашия случай те са две: – свободни променливи.

Сега трябва всичко основни променливиекспресен само чрез свободни променливи.

Обратният алгоритъм на Гаус традиционно работи отдолу нагоре.
От второто уравнение на системата изразяваме основната променлива:

Сега погледнете първото уравнение: . Първо заместваме намерения израз в него:

Остава да изразим основната променлива чрез свободни променливи:

В крайна сметка получихме това, от което се нуждаехме - всичкоизразени са основните променливи ( и ). само чрезбезплатни променливи:

Всъщност общото решение е готово:

Как да напиша правилно общото решение?
Свободните променливи се записват в общото решение „сами по себе си“ и стриктно на техните места. В този случай свободните променливи трябва да бъдат записани на втора и четвърта позиция:
.

Получените изрази за основните променливи и очевидно трябва да се напише на първа и трета позиция:

Предоставяне на безплатни променливи произволни стойности, можете да намерите безкрайно много частни решения. Най-популярните стойности са нули, тъй като конкретното решение е най-лесно за получаване. Нека заместим в общото решение:

– частно решение.

Друга сладка двойка са единици, нека ги заменим в общото решение:

– друго частно решение.

Лесно се вижда, че системата от уравнения има безкрайно много решения(тъй като можем да дадем безплатни променливи всякаквистойности)

всекиконкретното решение трябва да удовлетворява за всекиуравнение на системата. Това е основата за „бърза“ проверка на правилността на решението. Вземете, например, конкретно решение и го заменете в лявата страна на всяко уравнение на оригиналната система:

Всичко трябва да се събере. И с всяко конкретно решение, което получите, всичко също трябва да е в съответствие.

Но, строго погледнато, проверката на конкретно решение понякога е измамна, т.е. някое конкретно решение може да удовлетвори всяко уравнение на системата, но самото общо решение всъщност е намерено неправилно.

Следователно проверката на общото решение е по-задълбочена и надеждна. Как да проверим полученото общо решение ?

Не е трудно, но доста досадно. Трябва да вземем изрази основенпроменливи, в този случай и , и ги заместете в лявата страна на всяко уравнение на системата.

От лявата страна на първото уравнение на системата:

От лявата страна на второто уравнение на системата:

Получава се дясната страна на първоначалното уравнение.

Пример 4

Решете системата по метода на Гаус. Намерете общото решение и две частни. Проверете общото решение.

Това е пример, който можете да решите сами. Тук, между другото, отново броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, което означава, че веднага става ясно, че системата или ще бъде непоследователна, или ще има безкраен брой решения. Какво е важно в самия процес на вземане на решение? Внимание и пак внимание. Пълно решение и отговор в края на урока.

И още няколко примера за затвърждаване на материала

Пример 5

Решете система от линейни уравнения. Ако системата има безкрайно много решения, намерете две конкретни решения и проверете общото решение

Решение: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в стъпкова форма:

(1) Добавете първия ред към втория ред. Към третия ред добавяме първия ред, умножен по 2. Към четвъртия ред добавяме първия ред, умножен по 3.
(2) Към третия ред добавяме втория ред, умножен по –5. Към четвъртия ред добавяме втория ред, умножен по –7.
(3) Третият и четвъртият ред са еднакви, изтриваме един от тях.

Това е такава красота:

Основните променливи седят на стъпалата, следователно - основни променливи.
Има само една свободна променлива, която не е получила стъпка:

Обратен:
Нека изразим основните променливи чрез свободна променлива:
От третото уравнение:

Нека разгледаме второто уравнение и заместим намерения израз в него:

Нека разгледаме първото уравнение и заместим намерените изрази в него:

Да, калкулатор, който изчислява обикновени дроби, все още е удобен.

Така че общото решение е:

Още веднъж, как се оказа? Свободната променлива седи сама на полагащото й се четвърто място. Получените изрази за основните променливи също заеха своите редни места.

Нека веднага проверим общото решение. Работата е за черни, но аз вече я свърших, така че хващайте я =)

Заместваме три героя , , в лявата страна на всяко уравнение на системата:

Получават се съответните десни части на уравненията, като по този начин общото решение се намира правилно.

Сега от намереното общо решение получаваме две конкретни решения. Единствената свободна променлива тук е готвачът. Няма нужда да си набивате мозъка.

Нека бъде тогава – частно решение.
Нека бъде тогава – друго частно решение.

Отговор: Общо решение: , частни решения: , .

За черните не трябваше да си спомням... ...защото ми идваха всякакви садистични мотиви в главата и се сетих за прословутия фотошоп, в който Ку-клукс-клановци в бели престилки тичат по терена след черен футболист. Седя и се усмихвам тихо. Знаеш ли колко разсейващо...

Много математика е вредна, така че подобен краен пример за решаване сами.

Пример 6

Намерете общото решение на системата от линейни уравнения.

Вече проверих общото решение, може да се вярва на отговора. Вашето решение може да се различава от моето решение, основното е общите решения да съвпадат.

Вероятно много хора са забелязали неприятен момент в решенията: много често, по време на обратния ход на метода на Гаус, трябваше да се занимаваме с обикновени дроби. На практика това наистина е така; случаите, в които няма дроби, са много по-рядко срещани. Бъдете подготвени психически и, най-важното, технически.

Ще се спра на някои характеристики на решението, които не бяха намерени в решените примери.

Общото решение на системата понякога може да включва константа (или константи), например: . Тук една от основните променливи е равна на постоянно число: . В това няма нищо екзотично, случва се. Очевидно в този случай всяко конкретно решение ще съдържа петица на първа позиция.

Рядко, но има системи, в които броят на уравненията е по-голям от броя на променливите. Методът на Гаус работи в най-тежките условия; човек трябва спокойно да намали разширената матрица на системата до поетапна форма, като използва стандартен алгоритъм. Такава система може да е непоследователна, може да има безкрайно много решения и, колкото и да е странно, може да има едно единствено решение.

Методът на Гаус, наричан още метод на последователно елиминиране на неизвестни, е както следва. С помощта на елементарни трансформации система от линейни уравнения се привежда до такава форма, че нейната матрица от коефициенти се оказва трапецовидни (същите като триъгълни или стъпаловидни) или близо до трапец (директен ход на метода на Гаус, по-нататък просто прав ход). Пример за такава система и нейното решение е на фигурата по-горе.

В такава система последното уравнение съдържа само една променлива и нейната стойност може да бъде недвусмислено намерена. След това стойността на тази променлива се замества в предишното уравнение ( обратно на метода на Гаус , след това точно обратното), от която е намерена предишната променлива и т.н.

В трапецовидна (триъгълна) система, както виждаме, третото уравнение вече не съдържа променливи гИ х, а второто уравнение е променливата х .

След като матрицата на системата придобие трапецовидна форма, вече не е трудно да се разбере въпросът за съвместимостта на системата, да се определи броят на решенията и да се намерят самите решения.

Предимства на метода:

при решаване на системи от линейни уравнения с повече от три уравнения и неизвестни, методът на Гаус не е толкова тромав, колкото метода на Крамер, тъй като решаването с метода на Гаус изисква по-малко изчисления;
методът на Гаус може да решава неопределени системи от линейни уравнения, тоест такива, които имат общо решение (и ние ще ги анализираме в този урок), а използвайки метода на Крамер, можем само да твърдим, че системата е неопределена;
можете да решавате системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните не е равен на броя на уравненията (ние също ще ги анализираме в този урок);
Методът се основава на елементарни (училищни) методи - методът за заместване на неизвестни и методът за добавяне на уравнения, които засегнахме в съответната статия.

За да може всеки да разбере простотата, с която се решават трапецовидни (триъгълни, стъпаловидни) системи от линейни уравнения, ние представяме решение на такава система, използвайки обратно движение. Бързо решение на тази система беше показано на снимката в началото на урока.

Пример 1.Решете система от линейни уравнения, като използвате обратно:

Решение. В тази трапецовидна система променливата zможе да се намери еднозначно от третото уравнение. Заместваме стойността му във второто уравнение и получаваме стойността на променливата г:

Сега знаем стойностите на две променливи - zИ г. Заместваме ги в първото уравнение и получаваме стойността на променливата х:

От предишните стъпки изписваме решението на системата от уравнения:

За да се получи такава трапецовидна система от линейни уравнения, която решихме много просто, е необходимо да се използва ход напред, свързан с елементарни трансформации на системата от линейни уравнения. Освен това не е много трудно.

Елементарни преобразувания на система от линейни уравнения

Повтаряйки училищния метод за алгебрично събиране на уравненията на система, открихме, че към едно от уравненията на системата можем да добавим друго уравнение на системата и всяко от уравненията може да бъде умножено по някои числа. В резултат на това получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на тази. В него едно уравнение вече съдържа само една променлива, замествайки стойността на която в други уравнения, стигаме до решение. Такова добавяне е един от видовете елементарни трансформации на системата. Когато използваме метода на Гаус, можем да използваме няколко вида трансформации.

Анимацията по-горе показва как системата от уравнения постепенно се превръща в трапецовидна. Тоест тази, която видяхте в първата анимация и се убедихте, че е лесно да намерите стойностите на всички неизвестни от нея. Как да извършите такава трансформация и, разбира се, примери ще бъдат обсъдени допълнително.

При решаване на системи от линейни уравнения с произволен брой уравнения и неизвестни в системата от уравнения и в разширената матрица на системата Мога:

пренареждане на редове (това беше споменато в самото начало на тази статия);
ако други трансформации водят до равни или пропорционални редове, те могат да бъдат изтрити, с изключение на един;
премахнете „нулевите“ редове, където всички коефициенти са равни на нула;
умножете или разделете произволен низ с определено число;
към всеки ред добавете друг ред, умножен по определено число.

В резултат на трансформациите получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на тази.

Алгоритъм и примери за решаване на система от линейни уравнения с квадратна матрица на системата по метода на Гаус

Нека първо разгледаме решаването на системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните е равен на броя на уравненията. Матрицата на такава система е квадратна, т.е. броят на редовете в нея е равен на броя на колоните.

Пример 2.Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Когато решавахме системи от линейни уравнения по училищни методи, ние умножихме едно от уравненията член по член по определено число, така че коефициентите на първата променлива в двете уравнения бяха противоположни числа. При добавяне на уравнения тази променлива се елиминира. Методът на Гаус работи по подобен начин.

За опростяване на външния вид на разтвора нека създадем разширена матрица на системата:

В тази матрица коефициентите на неизвестните са разположени вляво преди вертикалната линия, а свободните членове са разположени вдясно след вертикалната линия.

За удобство при разделяне на коефициенти за променливи (за получаване на деление на единица) Нека разменим първия и втория ред на системната матрица. Получаваме система, еквивалентна на тази, тъй като в система от линейни уравнения уравненията могат да се разменят:

Използване на новото първо уравнение елиминирайте променливата хот второто и всички следващи уравнения. За да направите това, към втория ред на матрицата добавяме първия ред, умножен по (в нашия случай по), към третия ред - първия ред, умножен по (в нашия случай по).

Това е възможно, защото

Ако имаше повече от три уравнения в нашата система, тогава ще трябва да добавим към всички следващи уравнения първия ред, умножен по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това получаваме матрица, еквивалентна на тази система от нова система от уравнения, в която всички уравнения, започвайки от второто не съдържат променлива х :

За да опростите втория ред на получената система, умножете го по и отново получете матрицата на система от уравнения, еквивалентна на тази система:

Сега, запазвайки първото уравнение на получената система непроменено, използвайки второто уравнение, елиминираме променливата г от всички следващи уравнения. За да направите това, към третия ред на системната матрица добавяме втория ред, умножен по (в нашия случай по).

Ако имаше повече от три уравнения в нашата система, тогава ще трябва да добавим втори ред към всички следващи уравнения, умножени по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това отново получаваме матрицата на система, еквивалентна на тази система от линейни уравнения:

Получихме еквивалентна трапецовидна система от линейни уравнения:

Ако броят на уравненията и променливите е по-голям, отколкото в нашия пример, тогава процесът на последователно елиминиране на променливите продължава, докато системната матрица стане трапецовидна, както в нашия демонстрационен пример.

Ще намерим решението „от края“ - обратният ход. За това от последното уравнение определяме z:
.
Замествайки тази стойност в предишното уравнение, ще намерим г:

От първото уравнение ще намерим х:

Отговор: решението на тази система от уравнения е .

: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение. Ако системата има безкраен брой решения, тогава това ще бъде отговорът и това е темата на петата част на този урок.

Решете сами система от линейни уравнения, използвайки метода на Гаус, и след това вижте решението

Тук отново имаме пример за последователна и определена система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните. Разликата от нашия демо пример от алгоритъма е, че вече има четири уравнения и четири неизвестни.

Пример 4.Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да елиминирате променливата от следващите уравнения. Нека да извършим подготвителната работа. За да е по-удобно със съотношението на коефициентите, трябва да получите един във втората колона на втория ред. За да направите това, извадете третия от втория ред и умножете получения втори ред по -1.

Нека сега извършим действителното елиминиране на променливата от третото и четвъртото уравнения. За да направите това, добавете втория ред, умножен по , към третия ред и втория, умножен по , към четвъртия ред.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, добавете третия ред към четвъртия ред, умножен по . Получаваме разширена трапецовидна матрица.

Получихме система от уравнения, на която дадената система е еквивалентна:

Следователно получената и дадена система са съвместими и определени. Намираме крайното решение „от края“. От четвъртото уравнение можем директно да изразим стойността на променливата "x-четири":

Заместваме тази стойност в третото уравнение на системата и получаваме

И накрая, заместване на стойността

Първото уравнение дава

къде намираме "x първо":

Отговор: тази система от уравнения има уникално решение .

Можете също да проверите решението на системата на калкулатор, като използвате метода на Крамер: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение.

Решаване на приложни задачи по метода на Гаус по примера на задача върху сплави

Системите от линейни уравнения се използват за моделиране на реални обекти във физическия свят. Нека решим един от тези проблеми - сплавите. Подобни проблеми са задачи за смеси, цена или дял на отделни стоки в група стоки и други подобни.

Пример 5.Три парчета сплав имат обща маса 150 kg. Първата сплав съдържа 60% мед, втората - 30%, третата - 10%. Освен това във втората и третата сплав взети заедно има 28,4 kg по-малко мед, отколкото в първата сплав, а в третата сплав има 6,2 kg по-малко мед, отколкото във втората. Намерете масата на всяко парче от сплавта.

Решение. Съставяме система от линейни уравнения:

Умножаваме второто и третото уравнение по 10, получаваме еквивалентна система от линейни уравнения:

Създаваме разширена матрица на системата:

Внимание, право напред. Чрез добавяне (в нашия случай изваждане) на един ред, умножен по число (прилагаме го два пъти), се получават следните трансформации с разширената матрица на системата:

Директният ход приключи. Получихме разширена трапецовидна матрица.

Прилагаме обратния ход. Намираме решението от края. Виждаме това.

От второто уравнение намираме

От третото уравнение -

Простотата на метода на Гаус се доказва от факта, че на немския математик Карл Фридрих Гаус са му отнели само 15 минути, за да го изобрети. В допълнение към метода, наречен на негово име, от произведенията на Гаус е известна поговорката „Не бива да бъркаме това, което ни се струва невероятно и неестествено с абсолютно невъзможното“ - нещо като кратка инструкция за правене на открития.

В много приложни задачи може да няма трето ограничение, тоест трето уравнение, тогава трябва да решите система от две уравнения с три неизвестни, като използвате метода на Гаус, или, обратно, има по-малко неизвестни от уравненията. Сега ще започнем да решаваме такива системи от уравнения.

Използвайки метода на Гаус, можете да определите дали дадена система е съвместима или несъвместима нлинейни уравнения с нпроменливи.

Метод на Гаус и системи от линейни уравнения с безкраен брой решения

Следващият пример е последователна, но неопределена система от линейни уравнения, която има безкраен брой решения.

След извършване на трансформации в разширената матрица на системата (пренареждане на редове, умножаване и деление на редове с определено число, добавяне на друг към един ред), могат да се появят редове от формата

Ако във всички уравнения, имащи формата

Свободните членове са равни на нула, това означава, че системата е неопределена, тоест има безкраен брой решения и уравненията от този тип са „излишни“ и ние ги изключваме от системата.

Пример 6.

Решение. Нека създадем разширена матрица на системата. След това, използвайки първото уравнение, елиминираме променливата от следващите уравнения. За да направите това, добавете към втория, третия и четвъртия ред първия, умножен по:

Сега нека добавим втория ред към третия и четвъртия.

В резултат на това стигаме до системата

Последните две уравнения се превърнаха в уравнения от вида. Тези уравнения са изпълнени за всяка стойност на неизвестните и могат да бъдат отхвърлени.

За да удовлетворим второто уравнение, можем да изберем произволни стойности за и , тогава стойността за ще бъде определена еднозначно: . От първото уравнение стойността за също се намира уникално: .

Както дадената, така и последната система са последователни, но несигурни и формулите

за произволни и ни дават всички решения на дадена система.

Метод на Гаус и системи линейни уравнения без решения

Следващият пример е непоследователна система от линейни уравнения, която няма решения. Отговорът на такива проблеми се формулира по следния начин: системата няма решения.

Както вече беше споменато във връзка с първия пример, след извършване на трансформации, редове от формуляра могат да се появят в разширената матрица на системата

съответстващ на уравнение от формата

Ако сред тях има поне едно уравнение с ненулев свободен член (т.е.), тогава тази система от уравнения е непоследователна, тоест няма решения и нейното решение е пълно.

Пример 7.Решете системата от линейни уравнения по метода на Гаус:

Решение. Съставяме разширена матрица на системата. Използвайки първото уравнение, ние изключваме променливата от следващите уравнения. За да направите това, добавете първия ред, умножен по към втория ред, първия ред, умножен по третия ред, и първия ред, умножен по четвъртия ред.

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да елиминирате променливата от следващите уравнения. За да получим целочислени съотношения на коефициентите, разменяме втория и третия ред на разширената матрица на системата.

За да изключите третото и четвъртото уравнение, добавете второто, умножено по , към третия ред и второто, умножено по , към четвъртия ред.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, добавете третия ред към четвъртия ред, умножен по .

Следователно дадената система е еквивалентна на следното:

Получената система е непоследователна, тъй като нейното последно уравнение не може да бъде удовлетворено от никакви стойности на неизвестните. Следователно тази система няма решения.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.