В успоредника всички страни са равни. Дефиниция на успоредник и неговите свойства

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Определение и основни свойства на успоредник

Нека започнем, като си припомним дефиницията на para-ral-le-lo-gram.

Определение. Успоредник- what-you-rekh-gon-nick, който има всеки две про-ти-фалшиви страни, които са успоредни (виж фиг. 1).

Ориз. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Да си припомним основни свойства на pa-ral-le-lo-gram-ma:

За да можете да използвате всички тези свойства, трябва да сте сигурни, че fi-gu-ra, за някой -roy, за когото говорим, - par-ral-le-lo-gram. За да направите това, е необходимо да знаете такива факти като признаци на pa-ral-le-lo-gram-ma. В момента разглеждаме първите две от тях.

2. Първи признак на успоредник

Теорема. Първият знак на pa-ral-le-lo-gram-ma.Ако в четири въглища двете противоположни страни са равни и успоредни, тогава този псевдоним с четири въглища - успоредник. .

Ориз. 2. Първият знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказателство. Нека поставим диа-го-нал в четири-reh-coal-ni-ka (виж фиг. 2), тя го раздели на две три-coal-ni-ka. Нека запишем какво знаем за тези триъгълници:

според първия признак на равенството на триъгълниците.

От равенството на посочените триъгълници следва, че чрез знака за успоредност на прави линии при пресичане на ch-nii техните s-ku-shchi. Имаме това:

До-ка-за-но.

3. Втори признак на успоредник

Теорема. Вторият знак е pa-ral-le-lo-gram-ma.Ако в четириъгълника всеки две про-ти-лъжливи страни са равни, тогава този четириъгълник е равен успоредник. .

Ориз. 3. Вторият знак на pa-ral-le-lo-gram-ma

Доказателство. Поставяме диагонала в четириъгълника (виж фиг. 3), тя го разделя на два триъгълника. Нека запишем какво знаем за тези триъгълници въз основа на формата на теорията:

според третия признак на равенството на триъгълниците.

От равенството на триъгълниците следва, че чрез знака на успоредни линии, когато ги пресичат s-ku-shchey. Хайде да ядем:

par-ral-le-lo-gram по дефиниция. Q.E.D.

До-ка-за-но.

4. Пример за използване на първия паралелограм

Нека да разгледаме примера за използване на знаците на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1. В издутината няма въглени Намерете: а) ъглите на въглените; б) сто-ро-добре.

Решение. Илюстрация Фиг. 4.

pa-ral-le-lo-gram според първия знак на pa-ral-le-lo-gram-ma.

А. по свойството на пар-рал-ле-ло-грама за про-ти-фалшиви ъгли, по свойството на пар-рал-ле-ло-грама за сумата от ъгли, когато лежи на една страна.

б. по естеството на равенството на про-фалшивите страни.

re-tiy знак pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Преговор: Определение и свойства на успоредник

Нека помним това успоредник- това е ъгъл с четири квадрата, който има про-ти-фалшиви страни по двойки. Тоест, ако - par-ral-le-lo-gram, тогава (виж Фиг. 1).

Паралелният ле-ло-грам има редица свойства: противоположните ъгли са равни (), противоположните ъгли - ние сме равни ( ). В допълнение, dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram в точката на re-se-che-niya се разделя според сумата от ъглите, при-le- натискане към всяка страна pa -ral-le-lo-gram-ma, равен и др.

Но за да се възползвате от всички тези свойства, е необходимо да сте абсолютно сигурни, че ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. За тази цел има признаци на par-ral-le-lo-gram: т.е. онези факти, от които може да се направи еднозначно заключение, че това, което-ти-rekh-coal-nick е par-ral- ле-ло-грам-мама. В предишния урок вече разгледахме два знака. Сега гледаме третия път.

6. Трети признак на успоредник и неговото доказателство

Ако в четири въглища има диа-го-на точката на повторно-се-че-ния, те правят-по-лами, тогава дадения четири-вие Roh-въглища-ник е пара-рал-ле -ло-грама-мама.

дадени:

Какво-ти-ре-въглища-ник; ; .

Докажи:

Успоредник.

Доказателство:

За да се докаже този факт, е необходимо да се покаже паралелността на страните по par-le-lo-gram. И успоредността на правите линии най-често се постига чрез равенството на вътрешните кръстосани ъгли в тези прави ъгли. И така, ето следващият метод за получаване на третия знак на par-ral -le-lo-gram-ma: чрез равенството на триъгълниците .

Нека видим как тези триъгълници са равни. Действително от условието следва: . Освен това, тъй като ъглите са вертикални, те са равни. Това е:

(първи знак за равенствотри-въглища-ни-ков- по двете страни и ъгъла между тях).

От равенството на триъгълниците: (тъй като вътрешните напречни ъгли при тези прави и разделители са равни). В допълнение, от равенството на триъгълниците следва, че . Това означава, че разбираме, че в четири въглена двеста са равни и успоредни. Според първия знак, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

До-ка-за-но.

7. Примерна задача върху трети признак на успоредник и обобщение

Нека да разгледаме примера за използване на третия знак на pa-ral-le-lo-gram.

Пример 1

дадени:

- успоредник; . - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на, - се-ре-ди-на (виж фиг. 2).

Докажи:- па-рал-ле-ло-грама.

Доказателство:

Това означава, че в четири-въглища-не-диа-го-на-дали в точката на ре-се-че-ния те правят-по-лам. От третия знак на pa-ral-le-lo-gram от това следва, че - pa-ral-le-lo-gram.

До-ка-за-но.

Ако анализирате третия знак на pa-ral-le-lo-gram, тогава можете да забележите, че този знак е с-vet- има свойството на par-ral-le-lo-gram. Тоест, фактът, че dia-go-na-li de-la-xia не е просто свойство на par-le-lo-gram и неговата отличителна черта, kha-rak-te-ri-sti-che- свойство, по което може да се разграничи от набора what-you-rekh-coal-ni-cov.

ИЗТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Успореднике четириъгълник, чиито страни са успоредни по две.

На тази фигура противоположните страни и ъгли са равни един на друг. Диагоналите на успоредник се пресичат в една точка и го разполовяват. Формулите за площта на паралелограма ви позволяват да намерите стойността, като използвате страните, височината и диагоналите. В специални случаи може да се представи и успоредник. Те се считат за правоъгълник, квадрат и ромб.
Първо, нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник по височина и страната, на която е спуснат.

Този случай се счита за класически и не изисква допълнително разследване. По-добре е да разгледате формулата за изчисляване на площта през две страни и ъгъла между тях. Същият метод се използва при изчисленията. Ако са дадени страните и ъгълът между тях, тогава площта се изчислява, както следва:

Да предположим, че ни е даден успоредник със страни a = 4 cm, ъгълът между тях е α = 30°. Да намерим областта:

Площ на успоредник през диагонали

Формулата за площта на паралелограма с помощта на диагонали ви позволява бързо да намерите стойността.
За изчисления ще ви е необходим размерът на ъгъла, разположен между диагоналите.

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на успоредник с помощта на диагонали. Нека е даден успоредник с диагонали D = 7 cm, ъгълът между които е α = 30°. Нека заместим данните във формулата:

Пример за изчисляване на площта на успоредник през диагонала ни даде отличен резултат - 8,75.

Познавайки формулата за площта на успоредник през диагонала, можете да решите много интересни задачи. Нека разгледаме един от тях.

Задача:Даден е успоредник с площ 92 квадратни метра. вижте Точка F се намира в средата на неговата страна BC. Нека намерим площта на трапеца ADFB, който ще лежи в нашия успоредник. Първо, нека нарисуваме всичко, което получихме според условията.
Да стигнем до решението:

Според нашите условия ah =92 и съответно площта на нашия трапец ще бъде равна на

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 Профил Единен държавен изпитматематика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове задачи за единен държавен изпит. Стереометрия. Хитри триковерешения, полезни мамят листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор най-много полезен ресурсЗа

1. Успоредник

Сложна дума "успоредник"? А зад него се крие много проста фигура.

Е, това означава, че взехме две успоредни линии:

Пресечен от още две:

А вътре има успоредник!

Какви свойства има успоредникът?

Свойства на успоредник.

Тоест, какво можете да използвате, ако в задачата е даден успоредник?

Следната теорема отговаря на този въпрос:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво означава първа точка от теоремата? И факт е, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава със сигурност ще имате

Втората точка означава, че ако ИМА успоредник, тогава, отново, със сигурност:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава не забравяйте да:

Виждате ли какъв богат избор има? Какво да използвам при проблема? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса на задачата или просто опитайте всичко едно по едно - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

Сега нека си зададем друг въпрос: как можем да разпознаем успоредник „по зрение“? Какво трябва да се случи с един четириъгълник, за да имаме право да го наричаме „заглавие“ на успоредник?

Няколко знака на успоредник отговарят на този въпрос.

Признаци на успоредник.

внимание! Започнете.

Успоредник.

Моля, обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак в проблема си, тогава определено имате успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Мисля, че това изобщо няма да е новина за вас

Първи въпрос: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В края на краищата той има - помните ли, нашия знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че в правоъгълник, както във всеки успоредник, диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане.

Но правоъгълникът има и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг успоредник няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Моля, обърнете внимание: за да стане правоъгълник, четириъгълникът трябва първо да се превърне в успоредник и след това да демонстрира равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Свойства на ромба

Погледни снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че това не е просто успоредник, а ромб.

Признаци на диамант

И отново, обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, въпреки че неговите диагонали са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъглите и. Но... диагоналите не се делят наполовина от пресечната точка, следователно - НЕ са успоредник и следователно НЕ са ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? - ромбът е ъглополовящата на ъгъл А, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; Диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло успоредник от диагонали е разделен наполовина от точката на пресичане.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! думи " свойства на успоредник„означава, че ако във вашата задача Имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека разберем защо всичко това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Ако е успоредник, тогава:

лежащ на кръст
лежащи като кръстове.

Това означава (съгласно критерий II: и - общ.)

Е, това е, това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

Защо? Но (вижте снимката), това е точно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според II характеристика (ъгли и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Признаци на успоредник

Спомнете си, че знакът за успоредник отговаря на въпроса „откъде знаете, че фигурата е успоредник“.

В иконите е така:

Защо? Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, дори е по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

ИОсвен това е лесно. Но...различен!

Означава,. Еха! Но и - вътрешно едностранно със секанс!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава - вътрешно едностранно със секанс! И следователно.

Виждате ли колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Обърни внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всекисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важно. И така, нека докажем това

Това означава от две страни (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите - отличително свойствоа именно правоъгълник сред всички успоредници. Тоест това твърдение е вярно^

Да разберем защо?

Това означава (което означава ъглите на успоредник). Но нека си припомним още веднъж, че това е успоредник и следователно.

Означава,. Е, разбира се, следва, че всеки от тях! Все пак трябва да дават общо!

Така те доказаха, че ако успоредникизведнъж (!) диагоналите се оказват равни, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърни внимание!Става въпрос за успоредници! Не кой да ечетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има (Запомнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Нека го формулираме.

Свойства на ромба

Защо? Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

Защо? Да, точно затова!

С други думи, диагоналите се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Признаци на диамант.

Защо е това? И виж,

Това означава и дветеТези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да се „превърне“ в успоредник и след това да прояви характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - е ъглополовяща на ъгъл, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Защо? Е, нека просто приложим Питагоровата теорема към...

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Свойства на успоредник:

Противоположните страни са равни: , .
Срещуположните ъгли са равни: , .
Ъглите от едната страна се събират до: , .
Диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане: .

Свойства на правоъгълника:

Диагоналите на правоъгълника са равни: .
Правоъгълникът е успоредник (за правоъгълника са изпълнени всички свойства на успоредника).

Свойства на ромба:

Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
Ромбът е успоредник (за ромба са изпълнени всички свойства на успоредник).

Свойства на квадрат:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрат са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. И:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно завършванеЕдинен държавен изпит, за прием в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

Отключете всички скрити задачи в тази статия -
Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!