Pronalaženje inverzne matrice kroz matricu identiteta. Viša matematika

Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da

A*A -1 =A -1 *A = E,

gdje je E matrica identiteta istih redova kao i A. Matrica A -1 se naziva inverzna matrici A.

U slučaju da je neko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale popunjene jedinicama, sve ostale pozicije su popunjene nulama, primjer matrice identiteta:

Pronalaženje inverzne matrice korištenjem metode adjuint matrice

Inverzna matrica je definirana formulom:

gdje je A ij - elementi a ij.

One. Da biste izračunali inverznu matricu, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske komplemente za sve njegove elemente i sastavite novu matricu od njih. Zatim morate prenijeti ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice determinantom originalne matrice.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Pronađite A -1 za matricu

Rješenje: Nađimo A -1 koristeći metodu adjoint matrice. Imamo det A = 2. Nađimo algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice će biti odgovarajući elementi same matrice, uzeti sa predznakom u skladu sa formulom

Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo pridruženu matricu

Prevozimo matricu A*:

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:

Dobijamo:

Koristeći metodu spojene matrice, pronađite A -1 if

Rješenje Prije svega izračunavamo definiciju ove matrice da bismo provjerili postojanje inverzne matrice. Imamo

Ovdje smo elementima drugog reda dodali elemente trećeg reda, prethodno pomnožene sa (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Pošto je definicija ove matrice različita od nule, postoji njena inverzna matrica. Da bismo konstruisali pridruženu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata ove matrice. Imamo

Prema formuli

transportna matrica A*:

Zatim prema formuli

Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija

Pored metode pronalaženja inverzne matrice, koja slijedi iz formule (metoda adjuint matrix), postoji i metoda za pronalaženje inverzne matrice koja se zove metoda elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije

Sljedeće transformacije se nazivaju transformacije elementarnih matrica:

1) preuređivanje redova (kolona);

2) množenje reda (kolone) brojem koji nije nula;

3) dodavanjem elementima reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), prethodno pomnoženih određenim brojem.

Da bismo pronašli matricu A -1, konstruišemo pravougaonu matricu B = (A|E) redova (n; 2n), pridajući matrici A na desnoj strani matricu identiteta E kroz liniju razdvajanja:

Pogledajmo primjer.

Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronaći A -1 if

Rješenje Formiramo matricu B:

Označimo redove matrice B sa α 1, α 2, α 3. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima matrice B.

Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.

Svrha usluge. Koristeći ovu uslugu online možete pronaći algebarske komplemente, transponovanu matricu A T, srodnu matricu i inverznu matricu. Odluka se vrši direktno na web stranici (online) i besplatna je. Rezultati proračuna se prikazuju u izvještaju u Word i Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.

Instrukcije. Za dobivanje rješenja potrebno je specificirati dimenziju matrice. Zatim popunite matricu A u novom dijaloškom okviru.

Vidi također Inverzna matrica korištenjem Jordano-Gaussove metode

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Pronalaženje transponirane matrice A T .
2. Definicija algebarskih komplementa. Zamijenite svaki element matrice njegovim algebarskim komplementom.
3. Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element rezultirajuće matrice se dijeli determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.

1. Odredite da li je matrica kvadratna. Ako ne, onda za to ne postoji inverzna matrica.
2. Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednako nuli, nastavljamo sa rješenjem, inače inverzna matrica ne postoji.
3. Definicija algebarskih komplementa.
4. Ispunjavanje matrice unije (međusobne, spojene) C .
5. Kompajliranje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element pridružene matrice C dijeli se determinantom originalne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna originalnoj matrici.
6. Oni rade provjeru: množe originalnu i rezultirajuću matrice. Rezultat bi trebao biti matrica identiteta.

Primjer br. 1. Zapišimo matricu u obliku:

Još jedan algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Pronađite determinantu date kvadratne matrice A.
2. Pronalazimo algebarske komplemente svim elementima matrice A.
3. Pišemo algebarsko dodavanje elemenata reda u stupce (transpozicija).
4. Svaki element rezultirajuće matrice dijelimo determinantom matrice A.

Poseban slučaj: Inverzna matrica identiteta E je matrica identiteta E.

Inverzna matrica za datu matricu je takva matrica, množenjem originalne matrice koja daje matricu identiteta: Obavezan i dovoljan uslov za prisustvo inverzne matrice je da je determinanta originalne matrice nije jednako nuli (što zauzvrat implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se zove singularna i takva matrica nema inverz. U višoj matematici, inverzne matrice su važne i koriste se za rješavanje brojnih problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruisana je matrična metoda za rješavanje sistema jednačina. Naša servisna stranica dozvoljava izračunaj inverznu matricu na mreži dvije metode: Gauss-Jordan metoda i korištenje matrice algebarskih sabiranja. Prva uključuje veliki broj elementarnih transformacija unutar matrice, druga uključuje izračunavanje determinante i algebarske dodatke svim elementima. Za izračunavanje determinante matrice online možete koristiti našu drugu uslugu - Izračun determinante matrice online

Pronađite inverznu matricu za lokaciju

web stranica omogućava vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na sajtu se vrše proračuni pomoću naše usluge i rezultat se daje sa detaljnim rešenjem za pronalaženje inverzna matrica. Server uvek daje samo tačan i tačan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da determinanta matrice bio različit od nule, inače web stranicaće izvesti nemogućnost pronalaženja inverzne matrice zbog činjenice da je determinanta originalne matrice jednaka nuli. Zadatak pronalaženja inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih koncepata algebre i matematičko oruđe u primijenjenim problemima. Nezavisna definicija inverzne matrice zahtijeva značajan trud, puno vremena, proračuna i veliku pažnju kako bi se izbjegle greške u kucanju ili manje greške u proračunima. Stoga naša usluga pronalaženje inverzne matrice na mreži znatno će vam olakšati zadatak i postati nezamjenjiv alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronađite inverznu matricu sami, preporučujemo da svoje rješenje provjerite na našem serveru. Unesite svoju originalnu matricu na našoj web stranici Izračunajte inverznu matricu na mreži i provjerite svoj odgovor. Naš sistem nikada ne pravi greške i ne pronalazi inverzna matrica datu dimenziju u modu online odmah! Na sajtu web stranica unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online biće predstavljen u opštem simboličkom obliku.

Ova tema je jedna od najomraženijih među studentima. Najgore su, vjerovatno, kvalifikacije.

Trik je u tome što nas sam koncept inverznog elementa (a ne govorim samo o matricama) upućuje na operaciju množenja. Čak iu školskom programu množenje se smatra složenom operacijom, a množenje matrica je generalno posebna tema, kojoj sam posvetio cijeli pasus i video lekciju.

Danas nećemo ulaziti u detalje matričnih proračuna. Prisjetimo se samo: kako se označavaju matrice, kako se množe i šta iz toga slijedi.

Pregled: Množenje matrica

Prije svega, dogovorimo se oko notacije. Matrica $A$ veličine $\left[ m\times n \right]$ je jednostavno tabela brojeva sa tačno $m$ redova i $n$ kolona:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrica) \desno])_(n)\]

Da ne biste slučajno pomiješali redove i kolone (vjerujte, na ispitu možete pobrkati jedan sa dva, a kamoli neke redove), samo pogledajte sliku:

Šta se dešava? Ako standardni koordinatni sistem $OXY$ postavite u gornji lijevi ugao i usmjerite ose tako da pokrivaju cijelu matricu, onda svaka ćelija ove matrice može biti jedinstveno povezana sa koordinatama $\left(x;y \right)$ - ovo će biti broj reda i kolone.

Zašto je koordinatni sistem postavljen u gornji levi ugao? Da, jer odatle počinjemo čitati bilo kakve tekstove. Vrlo je lako zapamtiti.

Zašto je osa $x$ usmjerena prema dolje, a ne udesno? Opet, jednostavno je: uzmite standardni koordinatni sistem ($x$ osa ide udesno, $y$ osa ide gore) i rotirajte ga tako da pokrije matricu. Ovo je rotacija za 90 stepeni u smeru kazaljke na satu - vidimo rezultat na slici.

Općenito, shvatili smo kako odrediti indekse matričnih elemenata. Pogledajmo sada množenje.

Definicija. Matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, kada se broj kolona u prvoj poklapa sa brojem redova u drugoj, su naziva konzistentan.

Tačno tim redosledom. Može se zbuniti i reći da matrice $A$ i $B$ čine uređeni par $\left(A;B \right)$: ako su konzistentne u ovom redoslijedu, onda uopće nije potrebno da $B $ i $A$ one. par $\left(B;A \right)$ je takođe konzistentan.

Samo uparene matrice se mogu množiti.

Definicija. Proizvod usklađenih matrica $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , čiji se elementi $((c)_(ij))$ izračunavaju prema formuli:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Drugim riječima: da biste dobili element $((c)_(ij))$ matrice $C=A\cdot B$, trebate uzeti $i$-red prve matrice, $j$ -ti stupac druge matrice, a zatim pomnožiti u parovima elemente iz ovog reda i kolone. Zbrojite rezultate.

Da, to je tako oštra definicija. Iz toga odmah slijedi nekoliko činjenica:

1. Množenje matrice, općenito govoreći, nije komutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Međutim, množenje je asocijativno: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Čak i distributivno: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. I još jednom distributivno: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivnost množenja je morala biti opisana odvojeno za lijevi i desni faktor sume upravo zbog nekomutativnosti operacije množenja.

Ako se ispostavi da je $A\cdot B=B\cdot A$, takve matrice se nazivaju komutativne.

Među svim matricama koje se tamo nečim množe, postoje posebne - one koje, kada se pomnože bilo kojom matricom $A$, opet daju $A$:

Definicija. Matrica $E$ se naziva identitetom ako je $A\cdot E=A$ ili $E\cdot A=A$. U slučaju kvadratne matrice $A$ možemo napisati:

Matrica identiteta je čest gost prilikom rješavanja matričnih jednadžbi. I općenito čest gost u svijetu matrica. :)

I zbog ovog $E$, neko je smislio sve gluposti koje će se dalje pisati.

Šta je inverzna matrica

Budući da je množenje matrice vrlo naporna operacija (morate pomnožiti gomilu redova i stupaca), koncept inverzne matrice također se ispostavlja da nije najtrivijalniji. I zahtijeva neko objašnjenje.

Ključna definicija

Pa, vrijeme je da saznamo istinu.

Definicija. Matrica $B$ se zove inverzna matrici $A$ if

Inverzna matrica je označena sa $((A)^(-1))$ (ne treba je brkati sa stepenom!), tako da se definicija može prepisati na sljedeći način:

Čini se da je sve krajnje jednostavno i jasno. Ali kada analiziramo ovu definiciju, odmah se nameće nekoliko pitanja:

1. Da li inverzna matrica uvijek postoji? I ako ne uvijek, kako onda odrediti: kada postoji, a kada ne?
2. A ko je rekao da postoji tačno jedna takva matrica? Šta ako za neku početnu matricu $A$ postoji čitava gomila inverza?
3. Kako izgledaju svi ovi „preokreti“? I kako, tačno, da ih brojimo?

Što se tiče algoritama proračuna, o tome ćemo govoriti nešto kasnije. Ali na preostala pitanja ćemo odmah odgovoriti. Formulirajmo ih u obliku zasebnih iskaza-lema.

Osnovna svojstva

Počnimo od toga kako bi matrica $A$ u principu trebala izgledati da bi za nju postojao $((A)^(-1))$. Sada ćemo se pobrinuti da obje ove matrice moraju biti kvadratne i iste veličine: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada su obje ove matrice kvadratne, i istog reda $n$.

Dokaz. To je jednostavno. Neka je matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Budući da proizvod $A\cdot ((A)^(-1))=E$ postoji po definiciji, matrice $A$ i $((A)^(-1))$ su konzistentne u prikazanom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ m\puta n \desno]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( poravnati)\]

Ovo je direktna posljedica algoritma množenja matrice: koeficijenti $n$ i $a$ su "tranzitni" i moraju biti jednaki.

Istovremeno je definirano i obrnuto množenje: $((A)^(-1))\cdot A=E$, stoga su matrice $((A)^(-1))$ i $A$ također konzistentan u navedenom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ a\puta b \desno]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\puts n \right] \\ & b=m \end( poravnati)\]

Dakle, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Međutim, prema definiciji $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, stoga se veličine matrica striktno podudaraju:

\[\početak(poravnati) & \lijevo[ m\puta n \desno]=\lijevo[ n\puta m \desno] \\ & m=n \end(poravnati)\]

Dakle, ispada da su sve tri matrice - $A$, $(A)^(-1))$ i $E$ - kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Lema je dokazana.

Pa, to je već dobro. Vidimo da su samo kvadratne matrice invertibilne. Sada se uvjerimo da je inverzna matrica uvijek ista.

Lema 2. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada je ova inverzna matrica jedina.

Dokaz. Idemo kontradiktorno: neka matrica $A$ ima najmanje dva inverza - $B$ i $C$. Tada su, prema definiciji, tačne sljedeće jednakosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(poravnati)\]

Iz leme 1 zaključujemo da su sve četiri matrice - $A$, $B$, $C$ i $E$ - kvadrati istog reda: $\left[ n\times n \right]$. Dakle, proizvod je definiran:

Pošto je množenje matrice asocijativno (ali ne i komutativno!), možemo napisati:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \desno)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(poravnati)\]

Dobili smo jedinu moguću opciju: dvije kopije inverzne matrice su jednake. Lema je dokazana.

Gornji argumenti ponavljaju gotovo doslovno dokaz jedinstvenosti inverznog elementa za sve realne brojeve $b\ne 0$. Jedini značajan dodatak je uzimanje u obzir dimenzije matrica.

Međutim, još uvijek ne znamo ništa o tome da li je svaka kvadratna matrica inverzibilna. Ovdje nam u pomoć priskače determinanta - ovo je ključna karakteristika za sve kvadratne matrice.

Lema 3. Zadana je matrica $A$. Ako postoji njena inverzna matrica $((A)^(-1))$, tada je determinanta originalne matrice različita od nula:

\[\lijevo| A\desno|\ne 0\]

Dokaz. Već znamo da su $A$ i $((A)^(-1))$ kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Dakle, za svaki od njih možemo izračunati determinantu: $\left| A\desno|$ i $\levo| ((A)^(-1)) \right|$. Međutim, determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti:

\[\lijevo| A\cdot B \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| B \right|\Rightarrow \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|\]

Ali prema definiciji, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a determinanta $E$ je uvijek jednaka 1, tako da

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \lijevo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| E\desno|; \\ & \lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(poravnati)\]

Proizvod dva broja jednak je jedan samo ako je svaki od ovih brojeva različit od nule:

\[\lijevo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Dakle, ispada da je $\left| A \right|\ne 0$. Lema je dokazana.

Zapravo, ovaj zahtjev je sasvim logičan. Sada ćemo analizirati algoritam za pronalaženje inverzne matrice - i biće potpuno jasno zašto, sa nultom determinantom, inverzna matrica u principu ne može postojati.

Ali prvo, formulirajmo "pomoćnu" definiciju:

Definicija. Singularna matrica je kvadratna matrica veličine $\left[ n\puta n \right]$ čija je determinanta nula.

Dakle, možemo tvrditi da je svaka invertibilna matrica nesingularna.

Kako pronaći inverz od matrice

Sada ćemo razmotriti univerzalni algoritam za pronalaženje inverznih matrica. Generalno, postoje dva općeprihvaćena algoritma, a danas ćemo razmotriti i drugi.

Ona o kojoj ćemo sada govoriti je vrlo efikasna za matrice veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i - djelimično - veličine $\left[ 3\times 3 \right]$. Ali počevši od veličine $\left[ 4\times 4 \right]$ bolje je ne koristiti je. Zašto - sada ćete sve sami shvatiti.

Algebarski dodaci

Spremiti se. Sada će biti bola. Ne, ne brini: lijepa medicinska sestra u suknji, čarapama sa čipkom neće ti doći i dati ti injekciju u zadnjicu. Sve je mnogo prozaičnije: algebarski dodaci i Njeno Veličanstvo "Matrica Unije" dolaze vam.

Počnimo od glavne stvari. Neka postoji kvadratna matrica veličine $A=\left[ n\times n \right]$, čiji se elementi nazivaju $((a)_(ij))$. Tada za svaki takav element možemo definirati algebarski komplement:

Definicija. Algebarski komplement $((A)_(ij))$ elementu $((a)_(ij))$ koji se nalazi u $i$th redu i $j$toj koloni matrice $A=\left[ n \times n \right]$ je konstrukcija forme

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Gdje je $M_(ij)^(*)$ determinanta matrice dobijene iz originalnog $A$ brisanjem istog $i$th reda i $j$th kolone.

Opet. Algebarski komplement matričnom elementu sa koordinatama $\left(i;j \right)$ označava se kao $((A)_(ij))$ i izračunava se prema šemi:

1. Prvo, brišemo $i$-red i $j$-tu kolonu iz originalne matrice. Dobijamo novu kvadratnu matricu i njenu determinantu označavamo sa $M_(ij)^(*)$.
2. Zatim pomnožimo ovu determinantu sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - u početku ovaj izraz može izgledati zapanjujuće, ali u suštini jednostavno otkrivamo znak ispred $M_(ij)^(*) $.
3. Računamo i dobijamo konkretan broj. One. algebarsko sabiranje je upravo broj, a ne neka nova matrica itd.

Sama matrica $M_(ij)^(*)$ naziva se dodatnim minorom elementu $((a)_(ij))$. I u tom smislu, gornja definicija algebarskog komplementa je poseban slučaj složenije definicije – onoga što smo gledali u lekciji o determinanti.

Važna napomena. Zapravo, u matematici „odraslih“ algebarski sabirci se definiraju na sljedeći način:

1. Uzimamo $k$ redova i $k$ kolona u kvadratnoj matrici. Na njihovom preseku dobijamo matricu veličine $\left[ k\times k \right]$ - njena determinanta se naziva minor reda $k$ i označava se kao $((M)_(k))$.
2. Zatim precrtavamo ove “odabrane” $k$ redove i $k$ kolone. Još jednom dobijate kvadratnu matricu - njena determinanta se zove dodatni minor i označava se kao $M_(k)^(*)$.
3. Pomnožite $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, gdje je $t$ (pažnja!) zbir brojeva svih odabranih redova i kolone. Ovo će biti algebarski dodatak.

Pogledajte treći korak: zapravo postoji zbir termina od $2k$! Druga stvar je što ćemo za $k=1$ dobiti samo 2 člana - to će biti isti $i+j$ - "koordinate" elementa $((a)_(ij))$ za koji smo tražeći algebarski komplement.

Dakle, danas koristimo malo pojednostavljenu definiciju. Ali kako ćemo kasnije vidjeti, to će biti više nego dovoljno. Mnogo je važnija sledeća stvar:

Definicija. Povezana matrica $S$ sa kvadratnom matricom $A=\left[ n\times n \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\times n \right]$, koja se dobija iz $A$ zamjenom $(( a)_(ij))$ algebarskim dodacima $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrica) \desno]\]

Prva pomisao koja se nameće u trenutku realizacije ove definicije je “koliko će se morati izbrojati!” Opustite se: moraćete da računate, ali ne toliko. :)

Pa, sve je ovo jako lepo, ali zašto je potrebno? Ali zašto.

Glavna teorema

Vratimo se malo unazad. Zapamtite, u lemi 3 je navedeno da je invertibilna matrica $A$ uvijek nesingularna (to jest, njena determinanta nije nula: $\left| A \right|\ne 0$).

Dakle, istina je i suprotno: ako matrica $A$ nije singularna, onda je uvijek inverzibilna. Čak postoji i šema pretraživanja za $((A)^(-1))$. Provjeri:

Teorema inverzne matrice. Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\times n \right]$, a njena determinanta je različita od nule: $\left| A \right|\ne 0$. Tada inverzna matrica $((A)^(-1))$ postoji i izračunava se po formuli:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A sada - sve je isto, ali čitljivim rukopisom. Da biste pronašli inverznu matricu, trebate:

1. Izračunajte determinantu $\left| \right|$ i uvjerite se da nije nula.
2. Konstruirajte union matricu $S$, tj. izbrojte 100500 algebarskih dodataka $((A)_(ij))$ i postavite ih na mjesto $((a)_(ij))$.
3. Transponirajte ovu matricu $S$, a zatim je pomnožite nekim brojem $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To je sve! Inverzna matrica $((A)^(-1))$ je pronađena. Pogledajmo primjere:

\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]

Rješenje. Hajde da proverimo reverzibilnost. Izračunajmo determinantu:

\[\lijevo| A\desno|=\lijevo| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Odrednica se razlikuje od nule. To znači da je matrica invertibilna. Kreirajmo matricu sindikata:

Izračunajmo algebarske sabirke:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \lijevo| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+2))\cdot \lijevo| 3\desno|=3. \\ \end(poravnati)\]

Obratite pažnju: determinante |2|, |5|, |1| i |3| su determinante matrica veličine $\left[ 1\puts 1 \right]$, a ne moduli. One. Ako su u determinantama bili negativni brojevi, nema potrebe za uklanjanjem “minusa”.

Ukupno, naša sindikalna matrica izgleda ovako:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(niz) \desno])^(T))=\left[ \begin (niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \desno]\]

OK, sve je gotovo. Problem je riješen.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \right]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \]

Rješenje. Ponovo izračunavamo determinantu:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \right|=\begin(matrica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \desno)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinanta je različita od nule - matrica je invertibilna. Ali sada će biti jako teško: trebamo izbrojati čak 9 (devet, jebem ti mater!) algebarskih dodataka. I svaki od njih će sadržavati determinantu $\left[ 2\puts 2 \right]$. leteo:

\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \desno))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+3))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \desno))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]

Ukratko, matrica sindikata će izgledati ovako:

Dakle, inverzna matrica će biti:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrica) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\kraj (niz) \desno]\]

To je to. Evo odgovora.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(niz) \right ]$

Kao što vidite, na kraju svakog primjera izvršili smo provjeru. S tim u vezi, važna napomena:

Ne budite lijeni provjeriti. Pomnožite originalnu matricu sa pronađenom inverznom matricom - trebali biste dobiti $E$.

Izvođenje ove provjere je mnogo lakše i brže od traženja greške u daljim proračunima kada, na primjer, rješavate matričnu jednačinu.

Alternativni način

Kao što sam rekao, teorema inverzne matrice radi odlično za veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (u drugom slučaju, nije tako "odlično" " ), ali za veće matrice počinje tuga.

Ali ne brinite: postoji alternativni algoritam s kojim možete mirno pronaći inverz čak i za matricu $\left[ 10\x 10 \right]$. Ali, kao što se često dešava, da bismo razmotrili ovaj algoritam potrebno nam je malo teorijskog uvoda.

Elementarne transformacije

Među svim mogućim matričnim transformacijama postoji nekoliko posebnih - nazivaju se elementarnim. Postoje tačno tri takve transformacije:

1. Množenje. Možete uzeti $i$-ti red (kolona) i pomnožiti ga bilo kojim brojem $k\ne 0$;
2. Dodatak. Dodajte u $i$-ti red (kolona) bilo koji drugi $j$-ti red (kolona), pomnožen sa bilo kojim brojem $k\ne 0$ (možete, naravno, učiniti $k=0$, ali šta je poenta? ? Ništa se neće promijeniti).
3. Preuređenje. Uzmite $i$th i $j$th redove (kolone) i zamijenite mjesta.

Zašto se ove transformacije nazivaju elementarnim (za velike matrice ne izgledaju tako elementarne) i zašto ih ima samo tri - ova pitanja su izvan okvira današnje lekcije. Stoga, nećemo ulaziti u detalje.

Još jedna stvar je važna: sve ove perverzije moramo izvesti na adjuint matrici. Da, da: dobro ste čuli. Sada će biti još jedna definicija - posljednja u današnjoj lekciji.

Adjoint matrica

Sigurno ste u školi rješavali sisteme jednačina metodom sabiranja. Pa, eto, oduzmite drugu od jedne linije, pomnožite neki red brojem - to je sve.

Dakle: sada će sve biti isto, ali na „odrasli“ način. Spreman?

Definicija. Neka su data matrica $A=\left[ n\times n \right]$ i matrica identiteta $E$ iste veličine $n$. Tada je pridružena matrica $\left[ A\left| E\desno. \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\puta 2n \right]$ koja izgleda ovako:

\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(niz) \desno]\]

Ukratko, uzimamo matricu $A$, desno joj dodjeljujemo matricu identiteta $E$ tražene veličine, odvajamo ih vertikalnom trakom radi ljepote - evo vam adjoint. :)

u čemu je kvaka? Evo šta:

Teorema. Neka je matrica $A$ invertibilna. Razmotrimo pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$. Ako koristite elementarne konverzije nizova dovedite ga u oblik $\left[ E\left| Svijetao. \right]$, tj. množenjem, oduzimanjem i preuređivanjem redova da se od $A$ dobije matrica $E$ s desne strane, tada je matrica $B$ dobijena s lijeve strane inverzna od $A$:

\[\lijevo[ A\lijevo| U redu. \desno]\na \lijevo[ E\lijevo| Svijetao. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

To je tako jednostavno! Ukratko, algoritam za pronalaženje inverzne matrice izgleda ovako:

1. Napišite pridruženu matricu $\left[ A\left| U redu. \right]$;
2. Izvodite elementarne konverzije nizova dok se ne pojavi $E$ umjesto $A$;
3. Naravno, nešto će se pojaviti i na lijevoj strani - određena matrica $B$. Ovo će biti suprotno;
4. PROFIT!:)

Naravno, ovo je mnogo lakše reći nego učiniti. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera: za veličine $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\ ]

Rješenje. Kreiramo pridruženu matricu:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Budući da je posljednja kolona originalne matrice popunjena jedinicama, oduzmite prvi red od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \strelica prema dolje \\ -1 \\ -1 \\\kraj(matrica)\do \\ & \na \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Nema više jedinica, osim prve linije. Ali mi to ne diramo, inače će se novouklonjene jedinice početi "množavati" u trećem stupcu.

Ali možemo dva puta oduzeti drugi red od posljednjeg - dobijamo jedan u donjem lijevom uglu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \strelica prema dolje \\ -2 \\\kraj(matrica)\do \\ & \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Sada možemo oduzeti posljednji red od prvog i dva puta od drugog - na ovaj način "nuliramo" prvi stupac:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\početak(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\do \\ & \ na \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Pomnožite drugi red sa −1, a zatim ga oduzmite 6 puta od prvog i dodajte 1 put poslednjem:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) -6 \\ \strelica nagore \\ +1 \\\end (matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Ostaje samo zamijeniti redove 1 i 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\kraj (niz) \desno]\]

Spremni! Desno je tražena inverzna matrica.

Odgovori. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\kraj (matrica) \desno]\]

Rješenje. Ponovo sastavljamo adjoint:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Hajde da se malo rasplačemo, rastužimo se koliko sada moramo da brojimo... i počnimo da brojimo. Prvo, hajde da "nulimo" prvu kolonu oduzimanjem reda 1 od reda 2 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Vidimo previše "protiv" u redovima 2-4. Pomnožite sva tri reda sa −1, a zatim spalite treći stupac oduzimanjem reda 3 od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (niz) \desno]\početak(matrica) -2 \\ -1 \\ \strelica nagore \\ -2 \\\kraj(matrica)\na \\ & \na \levo[ \begin(niz)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Sada je vrijeme da se "prži" posljednji stupac originalne matrice: od ostatka oduzmite red 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz ) \desno]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Završno bacanje: "sagorite" drugu kolonu oduzimanjem reda 2 od redova 1 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( niz) \desno]\početak(matrica) 6 \\ \strelica nagore \\ -5 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(niz)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

I opet je matrica identiteta na lijevoj strani, što znači da je inverzna desno. :)

Odgovori. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrica) \desno]$

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice u kojima se broj redova i kolona poklapa.

Teorema za uslov postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan, ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Upišite matricu A u tabelu za rješavanje sistema jednačina Gausovom metodom i dodijelite joj matricu E na desnoj strani (umjesto desne strane jednadžbi).
2. Koristeći Jordan transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite redove (jednačine) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
4. Zapišite inverznu matricu A -1, koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E originalne tablice.

Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i dodjeljujemo matricu identiteta E. Koristeći Jordan transformaciju, matricu A reduciramo na matricu identiteta E. Proračuni su dati u tabeli 31.1.

Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrice, dobijena je matrica identiteta. Stoga su proračuni obavljeni korektno.

odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C specificirane matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate pomnožiti ovu jednačinu sa lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

Ostale jednačine se rješavaju slično.

Riješite jednačinu AX = B ako

Rješenje: Pošto je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno sa ostalima, također se koriste matrične metode. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno izvršiti uporednu procjenu funkcionisanja organizacija i njihovih strukturnih podjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se izdvojiti nekoliko faza.

U prvoj fazi formira se sistem ekonomskih indikatora i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, a to je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), au vertikalnim kolonama - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki vertikalni stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom matričnom indikatoru dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se stručnim mišljenjem.

na posljednjoj, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena R j grupisane su po njihovom porastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, u komparativnoj analizi različitih investicionih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.