Rješavanje decimalnih logaritamskih jednadžbi. Metode rješavanja logaritamskih jednačina. Problemi sa varijabilnom bazom

Rješavanje logaritamskih jednadžbi. Dio 1.

Logaritamska jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznato sadržano pod znakom logaritma (posebno u bazi logaritma).

Najjednostavniji logaritamska jednačina ima oblik:

Rješavanje bilo koje logaritamske jednadžbe uključuje prijelaz sa logaritama na izraze pod znakom logaritama. Međutim, ova radnja proširuje raspon dopuštenih vrijednosti jednadžbe i može dovesti do pojave stranih korijena. Kako bi se izbjegla pojava stranih korijena, možete učiniti na jedan od tri načina:

1. Napravite ekvivalentan prelaz od originalne jednadžbe do sistema uključujući

zavisno od koje nejednakosti ili jednostavnije.

Ako jednadžba sadrži nepoznatu u osnovi logaritma:

onda idemo na sistem:

2. Odvojeno pronađite raspon prihvatljivih vrijednosti jednadžbe, zatim riješite jednadžbu i provjerite da li pronađena rješenja zadovoljavaju jednačinu.

3. Riješite jednačinu, a zatim provjeriti: zamijeniti pronađena rješenja u originalnu jednačinu i provjeriti da li smo dobili tačnu jednakost.

Logaritamska jednačina bilo kojeg nivoa složenosti uvijek se na kraju svodi na najjednostavniju logaritamsku jednačinu.

Sve logaritamske jednadžbe se mogu podijeliti u četiri tipa:

1 . Jednačine koje sadrže logaritme samo na prvi stepen. Uz pomoć transformacija i upotrebe dovode se do forme

Primjer. Rešimo jednačinu:

Izjednačimo izraze pod znakom logaritma:

Provjerimo da li naš korijen jednadžbe zadovoljava:

Da, zadovoljava.

Odgovor: x=5

2 . Jednačine koje sadrže logaritme za stepene različite od 1 (posebno u nazivniku razlomka). Takve jednačine se mogu riješiti korištenjem uvođenje promjene varijable.

Primjer. Rešimo jednačinu:

Nađimo ODZ jednačinu:

Jednačina sadrži logaritme na kvadrat, tako da se može riješiti promjenom varijable.

Bitan! Prije uvođenja zamjene, potrebno je da logaritme koji su dio jednadžbe „razdvojite“ u „cigle“, koristeći svojstva logaritma.

Prilikom "razdvajanja" logaritama, važno je vrlo pažljivo koristiti svojstva logaritama:

Osim toga, ovdje postoji još jedna suptilna točka, a kako bismo izbjegli uobičajenu grešku, koristit ćemo srednju jednakost: stepen logaritma ćemo napisati u ovom obliku:

Isto tako,

Zamijenimo rezultirajuće izraze u originalnu jednačinu. Dobijamo:

Sada vidimo da je nepoznata sadržana u jednadžbi kao dio . Hajde da predstavimo zamenu: . Budući da može uzeti bilo koju realnu vrijednost, ne namećemo nikakva ograničenja varijabli.

Svi smo upoznati sa jednadžbama iz osnovne škole. Tu smo naučili rješavati i najjednostavnije primjere, a moramo priznati da svoju primjenu nalaze i u višoj matematici. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne jednadžbe. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pregledate.

Verovatno ste i vi već prošli kroz logaritme. Međutim, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je izjednačen sa stepenom na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od znaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo da se kombinuju dva koncepta o kojima se raspravlja. U početku se situacija čini izuzetno komplikovanom, ali nakon detaljnijeg razmatranja težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu Jedinstvenog državnog ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Reći ćemo vam o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Rješavanje logaritamskih jednadžbi trebalo bi početi s najjednostavnijim primjerom. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja na stepen. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe ovom metodom će vas dovesti do tačnog odgovora. Problem za ogromnu većinu učenika u ovom slučaju je što ne razumiju šta odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu školsku formulu jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Vratite pažnju na problem. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće od nule. Nema ograničenja za b. Sada, od svih formula, sjetimo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti u obliku:

Sada možemo ispustiti logaritme. Rezultat je jednostavan dizajn, koji smo već vidjeli ranije.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može koristiti u raznim slučajevima, a ne samo za najjednostavnije dizajne.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovu tačku. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije potreban. Radi se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, pokušajte riješiti nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe i pristup njihovom rješavanju mora biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Započnimo našu detaljnu priču. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može predstaviti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj koji je primjenjiv u ovom primjeru (mislimo ako je c=b).

To je upravo onaj razlomak koji vidimo u našem primjeru. Dakle.

U suštini, okrenuli smo razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg možete izvući diplomu iz baze. Sljedeći rezultati izgradnje.

Čini se, šta nas sprečava da sada svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i jednostavno ga riješimo? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomci se mogu koristiti kao stepeni.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo jednostavnija nego što je bila. Ono što će ostati je elementarna jednačina koju je svako od nas znao riješiti još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno rješavati čak i najsloženije zadatke za pripremu i polaganje Jedinstvenog državnog ispita.

šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednačine polazimo od jednog vrlo važnog pravila. Potrebno je djelovati tako da se izraz svede na najjednostavniji mogući oblik. U tom slučaju ćete imati veće šanse da zadatak ne samo ispravno riješite, već i da ga uradite na najjednostavniji i najlogičniji mogući način. Upravo tako matematičari uvijek rade.

Izričito ne preporučujemo da tražite teške puteve, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavnih pravila koja će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, smanjite dva ili tri logaritma na istu bazu ili izvedite stepen iz baze i pobijedite na tome.

Također je vrijedno zapamtiti da rješavanje logaritamskih jednadžbi zahtijeva stalnu praksu. Postupno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samopouzdanog rješavanja svih varijanti zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu. Pripremite se unaprijed za ispite i sretno!

1. Rješenje je standardno - koristimo pravilo množenja sa 1:

Sada uklanjamo logaritme:

Pomnožimo unakrsno:

Ispitivanje

Odgovara!

Ispitivanje

I ovdje se uklapa! Možda sam pogriješio, a korijeni su uvijek prikladni? Pogledajmo sljedeći primjer!

Primjer br. 2

Predstavimo trojku koristeći našu omiljenu metodu u formi

S lijeve i desne strane koristit ćemo formulu za zbir logaritama.

Primjer br. 3

Rješenje je slično prethodno razmotrenom primjeru: pretvorimo jedinicu s desne strane u (da vas podsjetim - decimalni logaritam, ili logaritam na bazu), i izvršimo operacije između logaritama s lijeve i desne strane:

Sada uklonimo logaritme s lijeve i desne strane:

\left((x) -2 \right)\left((x) -3 \right)=2

pregled:

Opet, oba logaritma s lijeve strane su nedefinirana, jer su uzeti iz negativnih brojeva. Onda to nije korijen.

od tada

odgovor:

Nadam se da će vas upravo navedeni primjeri zauvijek odviknuti od preskakanja provjera prilikom rješavanja logaritamskih jednačina. Neophodno je!

Logaritamska jednadžba s promjenljivom bazom

Sada bih s vama želio pogledati drugu (malo složeniju) vrstu logaritamskih jednačina. Ovo će biti jednadžbe sa varijabilnom bazom.

Prije toga smo razmatrali samo slučajeve gdje su baze bile konstantne: itd. Ali ništa ih ne sprječava da budu neke funkcije npr. itd.

Ali nemojte se plašiti! Ako pri rješavanju logaritamskih nejednačina promjenjiva baza uzrokuje dosta neugodnosti, tada Ovo praktično nema efekta na složenost rješavanja jednadžbe! Procijenite sami:

Primjer br. 1

Nastavljamo kao i prije: primijenimo metodu "množenje sa jedan" na broj:

Tada se originalna jednadžba pretvara u oblik:

Ja ću se prijaviti formula kvadratne razlike:

pregled:

Kakav zaključak donosimo? Pogrešno! Broj nije korijen jednadžbe jer osnova logaritma ne može biti negativan broj ili jednaka jedan!

odgovor: .

Kao što vidite, u slučaju jednačina nema fundamentalne razlike da li su naše baze promenljive ili ne. S tim u vezi, možemo reći da odlučujemo logaritamska jednačina obično mnogo lakše od rješavanja logaritamske nejednakosti!

Pokušajmo sada riješiti još jedan “čudan” primjer.

Primjer br. 2

Postupit ćemo kao i uvijek - pretvorit ćemo desnu stranu u logaritam, poput ovog lukavog:

Tada će originalna logaritamska jednadžba biti ekvivalentna ovoj jednadžbi (iako opet logaritamska)

Ponovo ću riješiti ovu jednačinu koristeći razliku kvadrata:

Prvo riješimo prvi, a drugi će se riješiti otprilike na isti način:

Koristit će se ponovo "množenje sa 1":

Slično za drugu jednačinu:

Sada dolazi zabavni dio: verifikacija. Počnimo s prvim korijenom

Osnova "velikog" logaritma je jednaka

Stoga to nije korijen.

Provjerimo drugi broj:

taj broj je korijen originalne jednadžbe.

odgovor:

Namjerno sam dao prilično složen primjer da vam pokažem da se ne treba bojati velikih i strašnih logaritama.

Dovoljno je znati nekoliko formula (koje sam vam već dao gore) i možete naći izlaz iz svake (skoro) situacije!

Pa, dao sam vam osnovne metode za rješavanje logaritamskih jednadžbi („bez nepotrebnih“ metoda), koje će vam omogućiti da se nosite s većinom primjera (prvenstveno na Jedinstvenom državnom ispitu).

Sada je vaše vrijeme da pokažete šta ste naučili. Pokušajte sami riješiti sljedeće logaritamske jednačine, a zatim ćemo uporediti rezultate s vama.

Sedam primjera za samostalan rad

Tehnike o kojima se govori u ovom radu, naravno, ne iscrpljuju sve moguće načine rješavanja logaritamskih jednačina.

U nekim slučajevima, moramo biti zaista kreativni kako bismo otkrili način da pronađemo korijene lukave jednadžbe.

Međutim, bez obzira koliko je početna jednadžba složena, kao rezultat će biti svedena na jednadžbu tipa koju smo ti i ja upravo naučili riješiti!

Odgovori na primjere za samostalan rad

1. Prilično jednostavan zadatak: upotrijebimo svojstvo:

u oduzeti:

Tada dobijamo:

provjerimo:

(Već sam vam objasnio ovaj prijelaz gore)

odgovor: 9

2. Takođe ništa natprirodno: ne želim dijeliti, pa ću pomak sa "minusom" pomjeriti udesno: sada imam decimalne logaritme lijevo i desno, i riješim ih se:

provjeravam:

izraz pod predznakom logaritma ne može biti negativan, tako da broj nije korijen jednadžbe.

Ispitivanje

odgovor:

Ovdje moramo malo poraditi: jasno je da ću opet koristiti (zar nije jako korisna?) formulu:

Šta trebam učiniti prije primjene formule za sabiranje logaritma? Da, moram se riješiti množitelja. Postoje dva načina: prvi je da ga unesete direktno u logaritam koristeći formulu:

U principu, ova metoda ima pravo na postojanje, ali šta je tu loše? Loše je baviti se izrazom forme („necelobrojni stepen“ je uvek neprijatan. Pa šta drugo možemo da uradimo? Kako da se rešimo takvog „necelobrojnog stepena“? Pomnožimo našom jednačinom:

Pa, hajde da stavimo oba faktora u logaritme:

onda ću zamijeniti nulu sa

I konačno dobijam:

Sjećate li se kako se zove ova “nevoljena” školska formula? Ovo kocka razlika! Možda je ovo jasnije?

Da vas podsjetim da se razlika kocki rastavlja na faktore ovako:

a evo još jednog za svaki slučaj:

U odnosu na našu situaciju, ovo će dati:

Prva jednadžba ima korijen, ali druga nema korijena (uvjerite se sami!).

Ostavljam vama da sami provjerite i uvjerite se da je broj zapravo korijen naše jednadžbe.

Kao iu prethodnom primjeru, prepisujemo

Opet, ne želim nikakva oduzimanja (i naknadna dijeljenja) i stoga ću pomaknuti rezultirajući izraz udesno:

Sada uklanjam logaritme s lijeve i desne strane:

Dobili smo iracionalnu jednačinu, za koju se nadam da već znate kako da je rešite. Samo da vas podsjetim da kvadriramo obje strane:

Vaš zadatak je sada da se uverite da nije root, ali jeste.

odgovor:

Sve je transparentno: primjenjujemo formulu za zbir logaritama na lijevoj strani:

tada uklanjamo logaritme na obje strane:

pregled:

odgovor: ;

Sve ne može biti jednostavnije: jednačina je već svedena na najjednostavniji oblik. Sve što treba da uradimo je da izjednačimo

provjerimo:

Ali kada je osnova logaritama jednaka:

I to nije korijen.

odgovor:

Ovaj primjer sam ostavio za desert. Iako ni u tome nema ništa komplikovano.

Zamislimo nulu kao

Onda ćemo ti i ja dobiti ovo logaritamska jednačina:

I uklanjamo prvu "kožu" - vanjske logaritme.

Predstavimo jedinicu kao

Tada će naša jednadžba poprimiti oblik:

Sada uklanjamo "drugu kožu" i dolazimo do srži:

provjerimo:

odgovor: .

3 METODE ZA RJEŠAVANJE LOGARITAMSKIH JEDNAČINA. NAPREDNI NIVO

Sada, nakon što ste pročitali prvi članak o logaritamskim jednadžbama, savladali ste neophodan minimum znanja potrebnog za rješavanje najjednostavnijih primjera.

Sada mogu da pređem na još malo raščlanjivanja tri metode rješavanje logaritamskih jednadžbi:

metoda uvođenja nove varijable (ili zamjene)
logaritamska metoda
način prelaska na novu osnovu.

Prva metoda- jedan od najčešće korišćenih u praksi. Rješava većinu „teških“ problema vezanih za rješavanje logaritamskih (i ne samo) jednačina.

Druga metoda služi za rješavanje mješovitih eksponencijalno-logaritamskih jednačina, svodeći problem na kraju na odabir dobre zamjenske varijable (odnosno na prvi metod).

Treći metod pogodan za rješavanje nekih jednadžbi u kojima se javljaju logaritmi s različitim bazama.

Počeću sa osvrtom na prvu metodu.

Metoda za uvođenje nove varijable (4 primjera)

Kao što ste već shvatili iz naziva, suština ove metode je uvođenje takve promjene varijable da će se vaša logaritamska jednačina čudesno transformirati u onu koju možete lako riješiti.

Sve što vam preostaje nakon rješavanja ove vrlo “pojednostavljene jednačine” je da uradite "obrnuta zamjena": odnosno vratiti se iz zamijenjenog u zamijenjeno.

Ilustrirajmo ono što smo upravo rekli vrlo jednostavnim primjerom:

U ovom primjeru, zamjena se nameće sama od sebe! Uostalom, jasno je da ako zamijenimo sa, onda će se naša logaritamska jednadžba pretvoriti u racionalnu:

Možete ga lako riješiti tako da ga svedete na kvadrat:

(tako da se imenilac slučajno ne vrati na nulu!)

Pojednostavljujući rezultujući izraz, konačno dobijamo:

Sada radimo obrnutu zamjenu: , onda iz toga slijedi, a iz dobivamo

Sada, kao i ranije, vrijeme je da provjerite:

Neka bude na početku, jer onda je istina!

Dakle, sve je tačno!

Dakle, brojevi su korijeni naše originalne jednadžbe.

odgovor: .

Evo još jednog primjera sa očiglednom zamjenom:

Zapravo, hajde da ga odmah zamijenimo

tada će se naša originalna logaritamska jednadžba pretvoriti u kvadratnu:

Obrnuta zamjena:

Provjerite sami, uvjerite se da su u ovom slučaju oba broja koja smo pronašli korijeni.

Mislim da ste shvatili glavnu ideju. Nije novo i ne odnosi se samo na logaritamske jednadžbe.

Druga stvar je što je ponekad prilično teško odmah "vidjeti" zamjenu. Za to je potrebno određeno iskustvo, koje će vam doći nakon nekog vašeg truda.

U međuvremenu vježbajte rješavanje sljedećih primjera:

Spreman? Hajde da proverimo šta ste dobili:

Prvo riješimo drugi primjer.

On vam samo demonstrira da nije uvijek moguće napraviti zamjenu, kako se kaže, "na glavu".

Prvo, moramo malo transformirati našu jednačinu: primijeniti formulu za razliku logaritama u brojiocu prvog razlomka i uzeti stepen u brojniku drugog.

Ovim ćete dobiti:

Sada je zamjena postala očigledna, zar ne? Napravimo to: .

Hajde sada da dovedemo razlomke do zajedničkog nazivnika i da ih pojednostavimo.

Tada dobijamo:

Nakon što ste riješili posljednju jednačinu, naći ćete njene korijene: gdje.

Provjerite sami i uvjerite se da su to zaista korijeni naše originalne jednadžbe.

Pokušajmo sada riješiti treću jednačinu.

Pa, prije svega, jasno je da nam neće škoditi ako pomnožimo obje strane jednačine sa. Nema štete, ali su koristi očigledne.

Sada napravimo zamjenu. Pogodili ste šta ćemo zameniti, zar ne? Tako je, recimo. Tada će naša jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

(odgovaraju nam oba korijena!)

Sada obrnuta zamjena: , from, from. Naša originalna jednačina ima čak četiri korijena! Uvjerite se u to, zamijenimo dobivene vrijednosti u jednadžbu. Zapisujemo odgovor:

odgovor: .

Mislim da vam je sada ideja zamjene varijable potpuno jasna? Dobro, onda nemojmo stati tu i prijeđimo na drugu metodu za rješavanje logaritamskih jednadžbi: način prelaska na novu osnovu.

Način prelaska na novu osnovu

Razmotrimo sljedeću jednačinu:

šta vidimo? Dva logaritma su navodno "suprotna" jedan drugom. Šta treba da radimo? Sve je jednostavno: samo trebamo pribjeći jednoj od dvije formule:

U principu, ništa me ne sprječava da koristim bilo koju od ove dvije formule, ali zbog strukture jednadžbe, bit će mi zgodnije koristiti prvu: riješit ću se promjenljive baze logaritma u drugom članu zamenom sa. Sada je lako vidjeti da je zadatak sveden na prethodni: odabir zamjene. Zamjenom dobijam sljedeću jednačinu:

Odavde. Sve što trebate učiniti je zamijeniti pronađene brojeve u originalnu jednadžbu i uvjeriti se da su oni, u stvari, korijeni.

Evo još jednog primjera gdje ima smisla preći na novu osnovu:

Međutim, kao što možete lako provjeriti, ako vi i ja odmah pređemo na novu podlogu, to neće dati željeni efekat. Šta trebamo učiniti u ovom slučaju? Hajde da pojednostavimo sve što je više moguće, a onda šta bude.
Dakle, ono što želim da uradim je da zamislim kako, kako da izvadim ove stepene ispred logaritma, i takođe izvadim kvadrat od X u prvom logaritmu. Videćemo kasnije.

Zapamtite, može biti mnogo teže sprijateljiti se sa osnovom nego sa izrazom pod znakom logaritma!

Slijedeći ovo pravilo, zamijenit ću sa i sa. Tada ću dobiti:

Pa, sljedeći koraci su vam već poznati. Zamijenite i potražite korijene!

Kao rezultat, naći ćete dva korijena originalne jednadžbe:

Vrijeme je da vam pokažem šta ste naučili!

Prvo pokušajte sami riješiti sljedeće (ne najlakše) primjere:

1. Ovdje je sve sasvim standardno: pokušat ću svesti svoju originalnu jednačinu na takvu da zamjena bude zgodna. Šta mi treba za ovo? Prvo transformirajte prvi izraz s lijeve strane (uklonite četvrti stepen dva prije logaritma) i uklonite stepen dva iz baze drugog logaritma. Tada ću dobiti:

Ostaje samo da "preokrenemo" prvi logaritam!

\frac(12)(\log_(2)(x))=3((\log )_(2))x

(radi praktičnosti, pomjerio sam drugi logaritam s lijeve na desnu stranu jednačine)

Problem je skoro riješen: možete napraviti zamjenu. Nakon svođenja na zajednički imenilac, dobijam sledeću jednačinu:

Nakon što ste izvršili obrnutu zamjenu, neće vam biti teško izračunati da:

Uvjerite se da su dobivene vrijednosti korijeni naše jednadžbe.

2. Ovdje ću također pokušati da "uklopim" svoju jednačinu na prihvatljivu zamjenu. Koji? Možda će mi odgovarati.

Zato ne gubimo vrijeme i počnimo se transformirati!

((\log )_(x))5((x)^(2))\cdot \log \frac(2)(5)x=1

Pa, sada ga možete sigurno zamijeniti! Tada, s obzirom na novu varijablu, dobijamo sljedeću jednačinu:

Gdje. Opet, uvjerite se da su oba ova broja zapravo korijeni ostavljena vam je kao vježba.

3. Ovdje nije ni odmah jasno šta ćemo zamijeniti. Postoji jedno zlatno pravilo - Ako ne znate šta da radite, uradite ono što možete! To je ono što ću koristiti!

Sada ću "okrenuti" sve logaritme i primijeniti formulu logaritma razlike na prvi, a logaritam zbira na zadnja dva:

Ovdje sam također koristio činjenicu da (at) i svojstvo uzimanja stepena iz logaritma. Pa, sada možemo primijeniti odgovarajuću zamjenu: . Siguran sam da već znate kako riješiti racionalne jednadžbe, čak i ovaj monstruozni tip. Stoga ću sebi dozvoliti da odmah zapišem rezultat:

Ostaje riješiti dvije jednačine: . Već ste se upoznali sa metodama za rješavanje takvih „gotovo najjednostavnijih“ jednadžbi u prethodnom dijelu. Tako da ću odmah napisati konačna rješenja:

Pobrinite se da samo dva od ovih brojeva budu korijeni moje jednadžbe! Naime, jeste i, dok nije root!

Ovaj primjer je malo složeniji, međutim, pokušat ću ga riješiti bez pribjegavanja zamjeni varijabli! Uradimo to ponovo, učinimo ono što možemo: prvo možemo proširiti logaritam s lijeve strane prema formuli za logaritam omjera, a isto tako staviti dva ispred logaritma u zagradi. Na kraju ću dobiti:

Pa, sada ista formula koju smo već koristili! Dakle, skratimo desnu stranu! Sada je tu samo dvojka! Pomaknimo jedan na njega s lijeve strane i konačno ćemo dobiti:

Već znate kako riješiti takve jednačine. Korijen se nalazi bez poteškoća i jednak je. Podsjećam vas da provjerite!

Eto, sada ste, nadam se, naučili da rješavate prilično složene probleme koje ne možete savladati "na glavu"! Ali logaritamske jednadžbe mogu biti još podmuklije! Evo nekoliko primjera:

Ovdje, nažalost, prethodno rješenje neće dati opipljive rezultate. Šta mislite zašto? Da, ovdje više nema "reciprociteta" logaritama. Ovaj najopćenitiji slučaj, naravno, također se može riješiti, ali već koristimo sljedeću formulu:

Ovu formulu nije važno da li imate „suprotno“ ili ne. Pitate se zašto odabrati bazu? Moj odgovor je da nije važno. Odgovor na kraju neće zavisiti od ovoga. Tradicionalno se koristi prirodni ili decimalni logaritam. Iako ovo nije važno. Na primjer, koristit ću decimalni:

Ostaviti odgovor u ovom obrascu je potpuna sramota! Dozvolite mi da prvo to zapišem po definiciji

Sada je vrijeme za korištenje: unutar zagrada - glavni logaritamski identitet, a izvana (do stepena) - pretvorite omjer u jedan logaritam: tada konačno dobijamo ovo "čudno" odgovor: .

Dalja pojednostavljenja, nažalost, više nam nisu dostupna.

Provjerimo zajedno:

Tačno! Usput, podsjetite se još jednom iz čega slijedi pretposljednja jednakost u lancu!

U principu, rješenje ovog primjera može se svesti i na prelazak na logaritam zasnovan na novoj bazi, ali već bi se trebali bojati što će se na kraju dogoditi. Pokušajmo učiniti nešto razumnije: transformirati lijevu stranu što je bolje moguće.

Usput, kako mislite da sam dobio posljednju dekompoziciju? Tako je, primijenio sam teoremu o faktoriranju kvadratnog trinoma, naime:

Ako su korijeni jednadžbe, onda:

Pa, sada ću prepisati svoju originalnu jednačinu u ovom obliku:

Ali mi smo sasvim sposobni da riješimo takav problem!

Dakle, hajde da uvedemo zamjenu.

Tada će moja početna jednačina poprimiti ovaj jednostavan oblik:

Njegovi korijeni su jednaki: , tada

Odakle dolazi ova jednačina? nema korijena.

Sve što treba da uradite je da proverite!

Pokušajte sami riješiti sljedeću jednačinu. Uzmite si vremena i budite oprezni, tada će sreća biti na vašoj strani!

Spreman? Hajde da vidimo šta imamo.

Zapravo, primjer se rješava u dva koraka:

1. Transformacija

2. sada na desnoj strani imam izraz koji je jednak

Tako je originalna jednadžba svedena na najjednostavniju:

Test pokazuje da je ovaj broj zaista korijen jednadžbe.

Logaritamska metoda

I na kraju, vrlo kratko ću raspravljati o metodama za rješavanje nekih mješovitih jednačina. Naravno, ne preuzimam na sebe da pokrijem sve mješovite jednačine, već ću pokazati metode za rješavanje najjednostavnijih.

Na primjer,

Takva jednačina se može riješiti metodom logaritma. Sve što treba da uradite je da uzmete logaritam obe strane.

Jasno je da pošto već imamo logaritam na osnovu, logaritam ću uzeti na istu bazu:

Sada ću izvući snagu iz izraza s lijeve strane:

i faktoriziraj izraz koristeći formulu razlike kvadrata:

Provjeravanje je, kao i uvijek, na vašoj savjesti.

Pokušajte sami riješiti posljednji primjer u ovom članku!

Provjerimo: uzmimo logaritam na osnovu obje strane jednadžbe:

Izvadim stepen sa leve strane i podelim ga koristeći formulu zbira sa desne strane:

Pretpostavljamo da je jedan od korijena: to je korijen.

U članku o rješavanju eksponencijalnih jednačina govorio sam o tome kako podijeliti jedan polinom za "ugao" drugim.

Ovdje trebamo podijeliti po.

Kao rezultat dobijamo:

Ako je moguće, izvršite provjeru sami (iako u ovom slučaju, posebno s posljednja dva korijena, to neće biti lako).

LOGARITAMIČKE JEDNAČINE. SUPER NIVO

Pored već prezentiranog materijala, predlažem da vi i ja razmotrimo još jedan način rješavanja mješovitih jednačina koje sadrže logaritme, ali ovdje ću razmotriti jednadžbe koje ne može se riješiti prethodno razmatranom metodom uzimanja logaritama obje strane. Ova metoda se naziva mini-max.

Mini-max metoda

Ova metoda je primjenjiva ne samo za rješavanje mješovitih jednadžbi, već se ispostavi da je korisna i pri rješavanju nekih nejednačina.

Dakle, prvo uvodimo sljedeće osnovne definicije koje su neophodne za primjenu mini-max metode.

Jednostavne slike ilustruju ove definicije:

Funkcija na slici lijevo je monotono rastuća, a desna monotono opadajuća. Sada se okrenimo logaritamskoj funkciji, poznato je da je tačno sljedeće:

Na slici su prikazani primjeri monotono rastuće i monotono opadajuće logaritamske funkcije.

Hajde da to opišemo direktno mini-max metoda. Mislim da razumete od kojih reči dolazi ovo ime?

Tako je, od riječi minimum i maksimum. Ukratko, metoda se može predstaviti kao:

Naš najvažniji cilj je pronaći ovu konstantu kako bismo dalje sveli jednadžbu na dvije jednostavnije.

U tu svrhu mogu biti korisna svojstva monotonosti gore formulirane logaritamske funkcije.

Pogledajmo sada konkretne primjere:

1. Pogledajmo prvo lijevu stranu.

Postoji logaritam sa osnovom manjom. Prema gore formuliranoj teoremi, koja je funkcija? Smanjuje se. Istovremeno, što znači . S druge strane, po definiciji korijena: . Dakle, konstanta je pronađena i jednaka. Tada je originalna jednadžba ekvivalentna sistemu:

Prva jednadžba ima korijen, a druga: . Dakle, zajednički korijen je jednak, a ovaj korijen će biti korijen originalne jednadžbe. Za svaki slučaj, provjerite kako biste bili sigurni.

odgovor:

Hajde odmah da razmislimo šta ovde piše?

Mislim na opštu strukturu. Ovdje piše da je zbir dva kvadrata nula.

Kada je to moguće?

Samo kada su oba ova broja pojedinačno jednaka nuli. Zatim pređimo na sljedeći sistem:

Prva i druga jednadžba nemaju zajedničke korijene, tada originalna jednadžba nema korijena.

odgovor: nema rješenja.

Pogledajmo prvo desnu stranu - jednostavnije je. Po definiciji sinusa:

Odakle, pa stoga

Sada se vratimo na lijevu stranu: razmotrite izraz pod znakom logaritma:

Pokušaj pronalaženja korijena jednadžbe neće dovesti do pozitivnog rezultata. Ali ipak, moram nekako procijeniti ovaj izraz. Vi, naravno, poznajete metodu kao što je odabir kompletnog kvadrata. Koristiću ga ovdje.

Budući da je rastuća funkcija, to slijedi. dakle,

Tada je naša originalna jednačina ekvivalentna sljedećem sistemu:

Ne znam da li ste upoznati sa rješavanjem trigonometrijskih jednačina ili ne, pa ću uraditi ovo: riješit ću prvu jednačinu (ima najviše dva korijena), a zatim ću rezultat zamijeniti u drugi:

(možete provjeriti i uvjeriti se da je ovaj broj korijen prve jednadžbe sistema)

Sada ću to zamijeniti u drugu jednačinu:

odgovor:

Pa, sada vam je postala jasna tehnika upotrebe mini-max metode? Zatim pokušajte sami riješiti sljedeći primjer.

Spreman? provjerimo:

Lijeva strana je zbir dviju nenegativnih veličina (jedinice i modula) pa prema tome lijeva strana nije manja od jedan, a jednaka je jedinici samo kada

Istovremeno, desna strana je modul (što znači veće od nule) umnoška dva kosinusa (što ne znači više od jedan), tada:

Tada je originalna jednadžba ekvivalentna sistemu:

Ponovo predlažem da se riješi prva jednačina i rezultat zamijeni drugom:

Ova jednadžba nema korijen.

Tada originalna jednadžba također nema korijen.

Odgovor: nema rješenja.

UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA. 6 METODE ZA RJEŠAVANJE LOGARITAMSKIH JEDNAČINA

Logaritamska jednadžba- jednačina u kojoj su nepoznate varijable unutar logaritma.

Najjednostavnija logaritamska jednadžba je jednadžba oblika.

Proces rješavanja bilo koje logaritamske jednadžbe svodi se na svođenje logaritamske jednadžbe na oblik i prelazak sa jednadžbe s logaritmima na jednadžbu bez njih: .

ODZ za logaritamsku jednačinu:

Osnovne metode za rješavanje logaritamskih jednadžbi:

1 metoda. Koristeći definiciju logaritma:

Metoda 2. Koristeći svojstva logaritma:

Metoda 3. Uvođenje nove varijable (zamjena):

zamjena nam omogućava da logaritamsku jednadžbu svedemo na jednostavniju algebarsku jednačinu za t.

Metoda 4 Prelazak na novu bazu:

5 metoda. logaritam:

uzmite logaritam desne i lijeve strane jednadžbe.

6 metoda. Mini-max:

Sada želimo da čujemo od vas...

Pokušali smo što jednostavnije i detaljnije pisati o logaritamskim jednačinama.

Sada je tvoj red!

Napišite kako ocjenjujete naš članak? Da li ti se svidela?

Možda već znate kako riješiti logaritamske jednačine?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite o tome u komentarima.

I sretno na ispitima!

Priprema za završni ispit iz matematike uključuje važan dio - “Logaritmi”. Zadaci iz ove teme obavezno su sadržani u Jedinstvenom državnom ispitu. Iskustvo iz prethodnih godina pokazuje da su logaritamske jednačine mnogim školarcima izazivale poteškoće. Stoga učenici sa različitim nivoima obuke moraju razumjeti kako pronaći tačan odgovor i brzo se nositi s njima.

Uspješno položite ispit za sertifikaciju koristeći obrazovni portal Shkolkovo!

Kada se pripremaju za Jedinstveni državni ispit, maturantima je potreban pouzdan izvor koji pruža najpotpunije i najtačnije informacije za uspješno rješavanje testnih zadataka. Međutim, udžbenik nije uvijek pri ruci, a traženje potrebnih pravila i formula na internetu često traje.

Obrazovni portal Shkolkovo vam omogućava da se pripremite za Jedinstveni državni ispit bilo gdje u bilo koje vrijeme. Naša web stranica nudi najpogodniji pristup ponavljanju i asimilaciji velike količine informacija o logaritmima, kao i sa jednom i nekoliko nepoznatih. Počnite s jednostavnim jednadžbama. Ako se s njima nosite bez poteškoća, prijeđite na složenije. Ako imate problema s rješavanjem određene nejednakosti, možete je dodati u svoje favorite kako biste joj se kasnije mogli vratiti.

Možete pronaći potrebne formule za dovršenje zadatka, ponavljanje posebnih slučajeva i metode za izračunavanje korijena standardne logaritamske jednadžbe gledajući odjeljak „Teorijska pomoć“. Učitelji Školkova prikupili su, sistematizovali i predstavili sve materijale neophodne za uspješno polaganje u najjednostavnijem i najrazumljivijem obliku.

Kako biste se lakše nosili sa zadacima bilo koje složenosti, na našem portalu možete se upoznati s rješenjem nekih standardnih logaritamskih jednadžbi. Da biste to učinili, idite na odjeljak "Katalozi". Imamo veliki broj primjera, uključujući jednačine sa nivoom profila Jedinstvenog državnog ispita iz matematike.

Učenici iz škola širom Rusije mogu koristiti naš portal. Da biste započeli nastavu, jednostavno se registrirajte u sistemu i počnite rješavati jednačine. Da biste konsolidirali rezultate, savjetujemo vam da se svakodnevno vraćate na web stranicu Shkolkovo.

Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.

Vrste logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
Decimala a, gdje je osnova 10.
Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.

Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti paran korijen negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kojem stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.

Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.

Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:

Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!

Jednačine i nejednačine

Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.

Dat je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog predznaka. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednačina je u tome što jednadžbe sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe uzimaju i raspon prihvatljivih vrijednosti i tačke se određuju kršenjem ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovne teoreme o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi; hajde da prvo pogledamo svako svojstvo detaljnije.

Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
Logaritam proizvoda se može predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, obavezan uslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;

ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se određena pravila mogu primijeniti na svaku matematičku nejednačinu ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći oblik. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Da biste riješili prirodne logaritme, morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.

Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno rastaviti veliku vrijednost broja b na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.

Primjeri i rješenja problema preuzeti su iz službenih verzija Jedinstvenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.

Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.