Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi. Korijeni kvadratne jednadžbe

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Koristeći diskriminant, rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? Ovo jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da se reši kompletno kvadratna jednačina, moramo izračunati diskriminanta D.

D = b 2 – 4ac.

U zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, zapisaćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminanta nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj(D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednačinu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe koristeći dijagram na slici 1.

Koristeći ove formule možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo treba da budeš pažljiv jednačina je napisana kao polinom standardnog oblika

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednačina ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje za primjer 2 iznad).

Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom sa najvećim eksponentom treba da bude prvi, tj. A x 2 , zatim sa manje – bx a zatim slobodan član With.

Prilikom rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako u potpunoj kvadratnoj jednadžbi drugi član ima paran koeficijent (b = 2k), onda možete riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 je jednako jedan i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješenje, ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom A, stoji na x 2 .

Na slici 3 prikazan je dijagram za rješavanje redukovanog kvadrata
jednačine. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednačinu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i izvršivši podjelu, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednačinu koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu
jednadžbe na slici 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidimo, prilikom rješavanja ove jednačine po razne formule dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Kopjevska seoska srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

nastavnik matematike

selo Kopevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe od al-Khorezmija

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u davna vremena, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i zemljani radovi vojnog karaktera, kao i razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.

Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Problem 11.“Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96”

Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihove sume, tj. 10 + x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od traženih brojeva je jednak 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Još jedan indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim A, može biti i negativan. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako ucen covek pomračiti slavu drugog u narodnim skupštinama predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.

Problem 13.

„Jato žustrih majmuna, i dvanaest duž vinove loze...

Vlasti su se, pojevši, zabavile. Počeli su skakati, vješati se...

Ima ih na trgu, osmi dio. Koliko je majmuna bilo?

Zabavljao sam se na čistini. Reci mi, u ovom paketu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i dopuniti lijeva strana ove jednadžbe na kvadrat, dodaje obje strane 32 2 , a zatim dobijate:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al - Khorezmi

U algebarskoj raspravi al-Khorezmija data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ah = s.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = b X.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki brojevima“, tj. ah 2+ bx = s.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c = ax 2 .

Za al-Khorezmija, koji je izbjegavao konzumaciju negativni brojevi, članovi svake od ovih jednačina se sabiraju, a ne oduzimaju. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti sa našim. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u specifičnom praktični problemi nema veze. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, al-Khorezmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i geometrijske dokaze.

Problem 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (implicira korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5 , dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.

Traktat Al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII bb

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina duž linija al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako islamskih zemalja tako i Ancient Greece, odlikuje se potpunošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz Knjige Abakusa korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16. - 17. veka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2 + bx = c,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenta b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opšti pogled Viet ga ima, ali Viet je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, nazvanu po Vieti, on je prvi put formulirao 1591. na sljedeći način: „Ako B + D, pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, To A jednaki IN i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, trebamo to zapamtiti A, kao i svako samoglasničko slovo, značilo je nepoznato (naše X), samoglasnici IN, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: ako postoji

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opšte formule pisan simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Vieta još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga je prilikom rješavanja jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni bili pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

U ovom članku ćemo se osvrnuti na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Ali prvo, hajde da ponovimo koje se jednačine nazivaju kvadratnim. Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat. Kao što vidimo, koeficijent za x 2 nije jednak nuli, pa stoga koeficijenti za x ili slobodni član mogu biti jednaki nuli, u kom slučaju dobijamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

1) Ako je b = 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c = 0;

2) Ako je b ≠ 0, c = 0, tada je ax 2 + bx = 0;

3) Ako je b = 0, c = 0, onda je ax 2 = 0.

• Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + c = 0.

Da biste riješili jednačinu, pomaknite slobodni član od do desna strana jednačine, dobijamo

ax 2 = ‒s. Pošto je a ≠ 0, obje strane jednačine dijelimo sa a, tada je x 2 = ‒c/a.

Ako je ‒s/a > 0, tada jednačina ima dva korijena

x = ±√(–c/a) .

Ako je ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo na primjerima razumjeti kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odgovor: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 2 + 8 = 0.

Odgovor: jednačina nema rješenja.

• Hajde da shvatimo kako to riješiti jednačine oblika ax 2 + bx = 0.

Da bismo riješili jednačinu ax 2 + bx = 0, faktorizirajmo je, odnosno izvadimo x iz zagrada, dobićemo x(ax + b) = 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak na nulu. Tada je ili x = 0, ili ax + b = 0. Rješavanjem jednačine ax + b = 0, dobijamo ax = - b, odakle je x = - b/a. Jednačina oblika ax 2 + bx = 0 uvijek ima dva korijena x 1 = 0 i x 2 = ‒ b/a. Pogledajte kako izgleda rješenje ovakvih jednačina na dijagramu.

Konsolidirajmo svoje znanje konkretnim primjerom.

Primjer 3. Riješite jednačinu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ili 3x – 12 = 0

Odgovor: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Jednačine trećeg tipa ax 2 = 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 = 0, onda je x 2 = 0. Jednačina ima dva jednaka korijena x 1 = 0, x 2 = 0.

Radi jasnoće, pogledajmo dijagram.

Uvjerimo se prilikom rješavanja primjera 4 da se jednadžbe ovog tipa mogu riješiti vrlo jednostavno.

Primjer 4. Riješite jednačinu 7x 2 = 0.

Odgovor: x 1, 2 = 0.

Nije uvijek odmah jasno koju vrstu nepotpune kvadratne jednačine moramo riješiti. Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješite jednačinu

Pomnožimo obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom, odnosno sa 30

Hajde da ga smanjimo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Hajde da otvorimo zagrade

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajmo slično

Pomaknimo 99 s lijeve strane jednačine na desnu, mijenjajući predznak u suprotan

Odgovor: nema korijena.

Pogledali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća sa ovakvim zadacima. Budite oprezni kada određujete vrstu nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja na ovu temu, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo rješavati probleme koji se pojave.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Hajde da razmotrimo problem. Osnova pravougaonika je 10 cm veća od njegove visine, a površina mu je 24 cm². Pronađite visinu pravougaonika. Neka X cm je visina pravougaonika, tada je njegova osnova jednaka ( X+10) cm Površina ovog pravougaonika je X(X+ 10) cm². Prema uslovima problema X(X+ 10) = 24. Otvaranje zagrada i pomeranje broja 24 iz suprotan znak na lijevu stranu jednačine, dobijamo: X² + 10 X-24 = 0. Prilikom rješavanja ovog zadatka dobijena je jednačina koja se zove kvadratna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika

sjekira ²+ bx+c= 0

Gdje a, b, c- dati brojevi, i A≠ 0, i X- nepoznato.

Odds a, b, c Kvadratna jednačina se obično naziva: a— prvi ili najviši koeficijent, b- drugi koeficijent, c- slobodan član. Na primjer, u našem zadatku, vodeći koeficijent je 1, drugi koeficijent je 10, a slobodni član je -24. Rješavanje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Potpune kvadratne jednadžbe. Prije svega, trebamo svesti datu jednačinu na standardni pogled sjekira²+ bx+ c = 0. Vratimo se našem problemu u kojem se jednačina može zapisati kao X(X+ 10) = 24 dovedemo ga u standardni oblik, otvorimo zagrade X² + 10 X- 24 = 0, ovu jednačinu rješavamo koristeći formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe.

Izraz pod predznakom korijena u ovoj formuli naziva se diskriminant D = b² - 4 ac

Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva različita korijena, koji se mogu pronaći pomoću formule za korijene kvadratne jednadžbe.

Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen.

Ako je D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Zamijenimo vrijednosti u našu formulu A= 1, b= 10, c= -24.

dobijamo D>0, dakle dobijamo dva korena.

Razmotrimo primjer gdje je D=0, pod ovim uvjetom bi trebao postojati jedan korijen.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Razmotrimo primjer gdje je D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Broj pod predznakom korijena (diskriminanta) je negativan, odgovor pišemo na sljedeći način: jednačina nema pravi korijen;

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba sjekira² + bx+ c= 0 se naziva nepotpunim ako je barem jedan od koeficijenata b ili c jednaka nuli. Nepotpuna kvadratna jednadžba je jednadžba jednog od sljedećih tipova:

sjekira² = 0,

sjekira² + c= 0, c≠ 0,

sjekira² + bx= 0, b≠ 0.

Pogledajmo nekoliko primjera i riješimo jednačinu

Dijeljenje obje strane jednačine sa 5 daje jednačinu X² = 0, odgovor će imati jedan korijen X= 0.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² - 27 = 0

Deljenjem obe strane sa 3, dobijamo jednačinu X² - 9 = 0, ili se može napisati X² = 9, odgovor će imati dva korijena X= 3 i X= -3.

Razmotrimo jednačinu oblika

2X² + 7 = 0

Podijelivši obje strane sa 2, dobijamo jednačinu X² = -7/2. Ova jednadžba nema prave korijene, budući da X² ≥ 0 za bilo koji realan broj X.

Razmotrimo jednačinu oblika

3X² + 5 X= 0

Faktoringom leve strane jednačine dobijamo X(3X+ 5) = 0, odgovor će imati dva korijena X= 0, X=-5/3.

Najvažnije kod rješavanja kvadratnih jednadžbi je dovesti kvadratnu jednačinu u standardni oblik, zapamtiti formulu za korijene opće kvadratne jednadžbe i ne zabuniti se u predznacima.

Na primjer, za trinom \(3x^2+2x-7\), diskriminanta će biti jednaka \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). A za trinom \(x^2-5x+11\), to će biti jednako \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminanta se označava sa \(D\) i često se koristi u rješavanju. Također, po vrijednosti diskriminanta možete razumjeti kako otprilike izgleda graf (vidi dolje).

Diskriminant i korijeni kvadratne jednadžbe

Diskriminantna vrijednost pokazuje broj kvadratnih jednadžbi:
- ako je \(D\) pozitivan, jednadžba će imati dva korijena;
- ako je \(D\) jednako nuli – postoji samo jedan korijen;
- ako je \(D\) negativan, nema korijena.

Ovo ne treba poučavati, nije teško doći do takvog zaključka, jednostavno znajući da je iz diskriminanta (odnosno, \(\sqrt(D)\) uključeno u formulu za izračunavanje korijena kvadrata jednadžba: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Pogledajmo svaki slučaj više detalja.

Ako je diskriminant pozitivan

U ovom slučaju, njegov korijen je neki pozitivan broj, što znači da će \(x_(1)\) i \(x_(2)\) imati različita značenja, jer u prvoj formuli \(\sqrt(D)\ ) se dodaje , au drugom se oduzima. I imamo dva različita korijena.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(x^2+2x-3=0\)
Rješenje :

Odgovori : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ako je diskriminanta nula

Koliko će biti korijena ako je diskriminanta nula? Hajde da urazumimo.

Korijenske formule izgledaju ovako: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . A ako je diskriminant nula, onda je i njegov korijen jednak nuli. Onda se ispostavi:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Odnosno, vrijednosti korijena jednadžbe će biti iste, jer dodavanje ili oduzimanje nule ništa ne mijenja.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(x^2-4x+4=0\)
Rješenje :

Odgovori : \(x=2\)