Ovaj članak nastavlja temu jednačine prave na ravni: ovu vrstu jednadžbe ćemo smatrati općom jednačinom prave. Definirajmo teoremu i dajmo njen dokaz; Hajde da shvatimo šta je nepotpuna opšta jednačina prave i kako napraviti prelaze iz opšte jednačine u druge vrste jednačina prave. Cijelu teoriju ćemo pojačati ilustracijama i rješenjima praktičnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Neka je pravougaoni koordinatni sistem O x y specificiran na ravni.

Teorema 1

Svaka jednadžba prvog stepena, koja ima oblik A x + B y + C = 0, gdje su A, B, C neki realni brojevi (A i B nisu jednaki nuli u isto vrijeme), definira pravu liniju u pravougaoni koordinatni sistem na ravni. Zauzvrat, svaka prava linija u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni je određena jednadžbom koja ima oblik A x + B y + C = 0 za određeni skup vrijednosti A, B, C.

Dokaz

Ova teorema se sastoji od dvije tačke; svaku od njih ćemo dokazati.

1. Dokažimo da jednačina A x + B y + C = 0 definira pravu liniju na ravni.

Neka postoji neka tačka M 0 (x 0 , y 0) čije koordinate odgovaraju jednačini A x + B y + C = 0. Dakle: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmemo od leve i desne strane jednadžbe A x + B y + C = 0 levu i desnu stranu jednačine A x 0 + B y 0 + C = 0, dobićemo novu jednačinu koja izgleda kao A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . To je ekvivalentno A x + B y + C = 0.

Rezultirajuća jednačina A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je neophodan i dovoljan uslov za okomitost vektora n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Dakle, skup tačaka M (x, y) definira pravu liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu okomitu na smjer vektora n → = (A, B). Možemo pretpostaviti da to nije tako, ali tada vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ne bi bili okomiti, a jednakost A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ne bi bilo tačno.

Prema tome, jednadžba A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definira određenu pravu u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni, pa prema tome ekvivalentna jednačina A x + B y + C = 0 definira ista linija. Ovako smo dokazali prvi dio teoreme.

1. Hajde da pružimo dokaz da se svaka prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni može odrediti jednačinom prvog stepena A x + B y + C = 0.

Definirajmo pravu liniju a u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni; tačku M 0 (x 0 , y 0) kroz koju prolazi ova prava, kao i vektor normale ove prave n → = (A, B) .

Neka postoji i neka tačka M (x, y) - plutajuća tačka na pravoj. U ovom slučaju, vektori n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) su okomiti jedan na drugi, a njihov skalarni proizvod je nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepišimo jednačinu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definiramo C: C = - A x 0 - B y 0 i kao konačni rezultat dobijemo jednačinu A x + B y + C = 0.

Dakle, dokazali smo drugi dio teoreme, i dokazali smo cijelu teoremu u cjelini.

Definicija 1

Jednačina oblika A x + B y + C = 0 - Ovo opšta jednačina prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemuOxy.

Na osnovu dokazane teoreme možemo zaključiti da su prava linija i njena opšta jednačina definisana na ravni u fiksnom pravougaonom koordinatnom sistemu neraskidivo povezane. Drugim rečima, originalna linija odgovara njenoj opštoj jednačini; opšta jednačina prave odgovara datoj liniji.

Iz dokaza teoreme također slijedi da su koeficijenti A i B za varijable x i y koordinate vektora normale prave, koja je data opštom jednačinom prave A x + B y + C = 0.

Razmotrimo konkretan primjer opće jednadžbe prave linije.

Neka je data jednačina 2 x + 3 y - 2 = 0, koja odgovara pravoj liniji u datom pravougaonom koordinatnom sistemu. Vektor normale ove linije je vektor n → = (2, 3). Nacrtajmo zadatu pravu liniju na crtežu.

Možemo konstatovati i sledeće: prava linija koju vidimo na crtežu određena je opštom jednačinom 2 x + 3 y - 2 = 0, pošto koordinate svih tačaka na datoj pravoj liniji odgovaraju ovoj jednačini.

Možemo dobiti jednačinu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 množenjem obe strane opšte jednačine prave brojem λ koji nije jednak nuli. Rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj opštoj jednačini, stoga će opisivati ​​istu pravu liniju na ravni.

Potpuna opšta jednačina prave– takva opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, u kojoj su brojevi A, B, C različiti od nule. Inače je jednačina nepotpuna.

Hajde da analiziramo sve varijacije nepotpune opšte jednadžbe prave.

1. Kada je A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, opšta jednačina ima oblik B y + C = 0. Ovakva nepotpuna opšta jednačina definiše u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y ravnu liniju koja je paralelna sa O x osom, pošto će za bilo koju realnu vrednost x varijabla y uzeti vrednost - C B . Drugim riječima, opšta jednačina prave A x + B y + C = 0, kada je A = 0, B ≠ 0, određuje lokus tačaka (x, y), čije su koordinate jednake istom broju - C B .
2. Ako je A = 0, B ≠ 0, C = 0, opšta jednačina ima oblik y = 0. Ova nepotpuna jednadžba definira x-osu O x .
3. Kada je A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dobijamo nepotpunu opštu jednačinu A x + C = 0, koja definiše pravu liniju paralelnu sa ordinatom.
4. Neka je A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada će nepotpuna opšta jednačina poprimiti oblik x = 0, a ovo je jednačina koordinatne prave O y.
5. Konačno, za A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepotpuna opšta jednačina ima oblik A x + B y = 0. A ova jednadžba opisuje pravu liniju koja prolazi kroz ishodište. Zapravo, par brojeva (0, 0) odgovara jednakosti A x + B y = 0, pošto je A · 0 + B · 0 = 0.

Hajde da grafički ilustrujmo sve gore navedene tipove nepotpune opšte jednačine prave.

Primjer 1

Poznato je da je data prava paralelna sa ordinatnom osom i prolazi kroz tačku 2 7, - 11. Potrebno je zapisati opštu jednačinu date linije.

Rješenje

Prava linija paralelna sa ordinatnom osom data je jednadžbom oblika A x + C = 0, u kojoj je A ≠ 0. Uslov takođe specificira koordinate tačke kroz koju prava prolazi, a koordinate ove tačke ispunjavaju uslove nepotpune opšte jednačine A x + C = 0, tj. jednakost je tačna:

A 2 7 + C = 0

Iz njega je moguće odrediti C ako A damo neku vrijednost različitu od nule, na primjer, A = 7. U ovom slučaju dobijamo: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamo oba koeficijenta A i C, zamenimo ih u jednačinu A x + C = 0 i dobijemo traženu pravolinijsku jednačinu: 7 x - 2 = 0

odgovor: 7 x - 2 = 0

Primjer 2

Na crtežu je prikazana ravna linija; potrebno je da zapišete njenu jednačinu.

Rješenje

Dati crtež nam omogućava da lako uzmemo početne podatke za rješavanje problema. Na crtežu vidimo da je data prava paralelna sa O x osom i prolazi kroz tačku (0, 3).

Prava linija, koja je paralelna sa apscisom, određena je nepotpunom opštom jednačinom B y + C = 0. Nađimo vrijednosti B i C. Koordinate tačke (0, 3), pošto data prava prolazi kroz nju, zadovoljiće jednačinu prave B y + C = 0, tada važi jednakost: B · 3 + C = 0. Postavimo B na neku vrijednost osim nule. Recimo da je B = 1, u tom slučaju iz jednakosti B · 3 + C = 0 možemo naći C: C = - 3. Koristeći poznate vrijednosti B i C, dobijamo traženu jednačinu prave: y - 3 = 0.

odgovor: y - 3 = 0 .

Opšta jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u ravni

Neka data prava prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0), tada njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini prave, tj. tačna je jednakost: A x 0 + B y 0 + C = 0. Oduzmimo lijevu i desnu stranu ove jednačine od lijeve i desne strane opće potpune jednačine prave. Dobijamo: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj općoj, prolazi kroz tačku M 0 (x 0, y 0) i ima normalu vektor n → = (A, B) .

Rezultat koji smo dobili omogućava da se zapiše opšta jednačina prave sa poznatim koordinatama vektora normale prave i koordinatama određene tačke ove prave.

Primjer 3

Zadata tačka M 0 (- 3, 4) kroz koju prava prolazi i vektor normale ove prave n → = (1 , - 2) . Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam omogućavaju da dobijemo potrebne podatke za sastavljanje jednačine: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. onda:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem je mogao biti riješen drugačije. Opšta jednačina prave linije je A x + B y + C = 0. Dati normalni vektor nam omogućava da dobijemo vrijednosti koeficijenata A i B, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sada pronađimo vrijednost C koristeći tačku M 0 (- 3, 4) određenu uslovom problema, kroz koju prolazi prava linija. Koordinate ove tačke odgovaraju jednačini x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Stoga je C = 11. Tražena pravolinijska jednačina ima oblik: x - 2 · y + 11 = 0.

odgovor: x - 2 y + 11 = 0 .

Primjer 4

Date su prava 2 3 x - y - 1 2 = 0 i tačka M 0 koja leži na ovoj pravoj. Poznata je samo apscisa ove tačke, koja je jednaka -3. Potrebno je odrediti ordinatu date tačke.

Rješenje

Označimo koordinate tačke M 0 kao x 0 i y 0 . Izvorni podaci pokazuju da je x 0 = - 3. Pošto tačka pripada datoj pravoj, njene koordinate odgovaraju opštoj jednačini ove prave. Tada će jednakost biti tačna:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definirajte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odgovor: - 5 2

Prijelaz sa opće jednadžbe prave na druge tipove jednačina prave i obrnuto

Kao što znamo, postoji nekoliko vrsta jednadžbi za istu pravu liniju na ravni. Izbor vrste jednačine zavisi od uslova problema; moguće je izabrati onaj koji je pogodniji za njegovo rješavanje. Ovdje je vrlo korisna vještina pretvaranja jednadžbe jednog tipa u jednačinu drugog tipa.

Prvo, razmotrimo prelazak sa opšte jednačine oblika A x + B y + C = 0 na kanonsku jednačinu x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ako je A ≠ 0, onda pomičemo pojam B y na desnu stranu opće jednačine. Na lijevoj strani vadimo A iz zagrada. Kao rezultat, dobijamo: A x + C A = - B y.

Ova jednakost se može napisati kao proporcija: x + C A - B = y A.

Ako je B ≠ 0, ostavljamo samo pojam A x na lijevoj strani opće jednačine, ostale prenosimo na desnu, dobijamo: A x = - B y - C. Uzimamo – B iz zagrada, a zatim: A x = - B y + C B .

Prepišimo jednakost u obliku proporcije: x - B = y + C B A.

Naravno, nema potrebe pamtiti rezultirajuće formule. Dovoljno je poznavati algoritam radnji pri prelasku sa opšte jednadžbe na kanonsku.

Primjer 5

Data je opšta jednačina prave 3 y - 4 = 0. Potrebno ga je transformisati u kanonsku jednačinu.

Rješenje

Zapišimo originalnu jednačinu kao 3 y - 4 = 0. Zatim nastavljamo prema algoritmu: termin 0 x ostaje na lijevoj strani; a na desnoj strani stavljamo - 3 iz zagrada; dobijamo: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapišimo rezultirajuću jednakost kao proporciju: x - 3 = y - 4 3 0 . Tako smo dobili jednačinu kanonskog oblika.

Odgovor: x - 3 = y - 4 3 0.

Za transformaciju opće jednačine prave u parametarsku, prvo se vrši prijelaz na kanonski oblik, a zatim prijelaz sa kanonske jednadžbe prave na parametarske jednačine.

Primjer 6

Prava linija je data jednačinom 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapišite parametarske jednačine za ovu liniju.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa opće jednadžbe na kanonsku:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sada uzimamo obje strane rezultirajuće kanonske jednadžbe jednake λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odgovor:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Opšta jednačina se može pretvoriti u jednadžbu prave linije sa nagibom y = k · x + b, ali samo kada je B ≠ 0. Za prijelaz ostavljamo pojam B y na lijevoj strani, ostatak se prenosi na desnu. Dobijamo: B y = - A x - C . Podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa B, različitom od nule: y = - A B x - C B.

Primjer 7

Data je opšta jednačina prave: 2 x + 7 y = 0. Morate tu jednačinu pretvoriti u jednadžbu nagiba.

Rješenje

Izvršimo potrebne radnje prema algoritmu:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

odgovor: y = - 2 7 x .

Iz opšte jednačine prave dovoljno je jednostavno dobiti jednačinu u segmentima oblika x a + y b = 1. Da bismo napravili takav prijelaz, pomjerimo broj C na desnu stranu jednakosti, podijelimo obje strane rezultirajuće jednakosti sa – C i, na kraju, prenesemo koeficijente za varijable x i y na nazivnike:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Primjer 8

Opću jednačinu prave x - 7 y + 1 2 = 0 potrebno je transformisati u jednadžbu prave u segmentima.

Rješenje

Pomaknimo 1 2 na desnu stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podijelimo obje strane jednakosti sa -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odgovor: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Općenito, obrnuti prijelaz je također lak: sa drugih vrsta jednadžbi na opću.

Jednadžba prave u segmentima i jednadžba sa ugaonim koeficijentom mogu se lako pretvoriti u opću jednostavnim sakupljanjem svih članova na lijevoj strani jednakosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonska jednadžba se pretvara u opću prema sljedećoj shemi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Da biste prešli sa parametarskih, prvo pređite na kanonski, a zatim na opšti:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 9

Date su parametarske jednačine prave x = - 1 + 2 · λ y = 4. Potrebno je zapisati opštu jednačinu ove linije.

Rješenje

Napravimo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na kanonske:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pređimo sa kanonskog na generalno:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odgovor: y - 4 = 0

Primjer 10

Zadata je jednačina prave linije u segmentima x 3 + y 1 2 = 1. Potrebno je prijeći na opći oblik jednačine.

Rješenje:

Jednostavno prepisujemo jednačinu u traženom obliku:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odgovor: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Sastavljanje opće jednačine prave

Gore smo rekli da se opšta jednačina može napisati sa poznatim koordinatama vektora normale i koordinatama tačke kroz koju prava prolazi. Takva prava linija je definisana jednačinom A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tamo smo također analizirali odgovarajući primjer.

Pogledajmo sada složenije primjere u kojima prvo trebamo odrediti koordinate vektora normale.

Primjer 11

Zadana je prava paralelna pravoj 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Poznata je i tačka M 0 (4, 1) kroz koju prolazi data prava. Potrebno je zapisati jednačinu date linije.

Rješenje

Početni uslovi nam govore da su prave paralelne, pa kao vektor normale prave, čiju jednačinu treba napisati, uzimamo vektor pravca n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sada znamo sve potrebne podatke za kreiranje opće jednadžbe linije:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Primjer 12

Data prava prolazi kroz ishodište okomito na pravu x - 2 3 = y + 4 5. Potrebno je napraviti opštu jednačinu za datu liniju.

Rješenje

Vektor normale date prave će biti vektor pravca x - 2 3 = y + 4 5.

Tada je n → = (3, 5) . Prava prolazi kroz ishodište, tj. kroz tačku O (0, 0). Kreirajmo opštu jednačinu za datu liniju:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odgovori: 3 x + 5 y = 0 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da ćete pogledati drugi način rješavanja predstavljenih problema nalaženja derivacije, s obzirom na graf funkcije i tangentu na ovaj graf. O ovoj metodi ćemo raspravljati u , Ne propustite! Zašto u sledećoj?

Činjenica je da će se tu koristiti formula za jednadžbu ravne linije. Naravno, mogli bismo jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vas da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). To je neophodno! Ako ga zaboravite, možete ga brzo vratitineće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo dvije tačke A na koordinatnoj ravni(x 1;y 1) i B(x 2;y 2), kroz naznačene tačke povlači se prava linija:

Evo same direktne formule:

*Odnosno, prilikom zamjene određenih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.

**Ako jednostavno "zapamtite" ovu formulu, postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:

Zato je važno razumjeti značenje.

Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!

Trouglovi ABE i ACF su slični po oštrom uglu (prvi znak sličnosti pravokutnih trokuta). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:

Sada jednostavno izražavamo ove segmente kroz razliku u koordinatama tačaka:

Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je održati konzistentnost):

Rezultat će biti ista jednadžba linije. Ovo je sve!

To jest, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevanjem ove formule uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.

Formula se može izvesti korištenjem svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je jasniji)).

Pogledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>

Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:

Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim linijama (ili na istoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:

— zapisujemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:

Pogledajmo primjer:

Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).

Ne morate čak ni da gradite samu pravu liniju. Primjenjujemo formulu:

Važno je da shvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8

Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno provjerite - zamijenite koordinate podataka u stanju tačaka u nju. Jednačine bi trebale biti tačne.

To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Jednačina prave linije na ravni.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Prava linija na ravni je jedna od najjednostavnijih geometrijskih figura, poznata vam iz osnovne škole, a danas ćemo naučiti kako se nositi s njom koristeći metode analitičke geometrije. Da biste savladali materijal, morate biti u stanju da izgradite pravu liniju; znati koja jednačina definira pravu liniju, posebno pravu liniju koja prolazi kroz početak koordinata i prave linije paralelne sa koordinatnim osa. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, kreirao sam ga za Mathana, ali se odjeljak o linearnoj funkciji pokazao vrlo uspješnim i detaljnim. Zato, dragi čajnici, prvo se zagrijte tamo. Osim toga, potrebno je imati osnovna znanja o vektori, inače će razumijevanje gradiva biti nepotpuno.

U ovoj lekciji ćemo pogledati načine na koje možete kreirati jednadžbu prave linije na ravni. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako izgledaju vrlo jednostavno), jer ću im pružiti elementarne i važne činjenice, tehničke tehnike koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom?
• Kako ?
• Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?
• Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

i počinjemo:

Jednačina prave linije sa nagibom

Poznati „školski“ oblik jednačine prave linije naziva se jednačina prave linije sa nagibom. Na primjer, ako je ravna linija data jednadžbom, tada je njen nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje ovog koeficijenta i kako njegova vrijednost utječe na lokaciju linije:

Na kursu geometrije je to dokazano nagib prave linije je jednak tangenta ugla između pozitivnog smjera osei ovu liniju: , a ugao se „odvrće“ suprotno od kazaljke na satu.

Da ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam uglove samo za dvije ravne linije. Razmotrimo „crvenu“ liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (“alfa” ugao je označen zelenim lukom). Za „plavu“ pravu liniju sa ugaonim koeficijentom, jednakost je tačna („beta“ ugao je označen smeđim lukom). A ako je poznat tangent ugla, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i sam ugao koristeći inverznu funkciju - arktangens. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili mikrokalkulator u vašim rukama. dakle, ugaoni koeficijent karakterizira stepen nagiba prave linije prema osi apscise.

Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je nagib negativan: tada linija, grubo govoreći, ide od vrha do dna. Primjeri su "plave" i "maline" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri - "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib nula: , tada jednačina poprima oblik , a odgovarajuća ravna linija je paralelna sa osom. Primjer je "žuta" ravna linija.

4) Za porodicu linija paralelnih sa osom (nema primera na crtežu, osim same ose), ugaoni koeficijent ne postoji (tangenta od 90 stepeni nije definisana).

Što je veći koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je pravolinijski graf strmiji..

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, prava linija ima strmiji nagib. Da vas podsjetim da modul omogućava ignorisanje znaka, samo nas zanima apsolutne vrijednosti ugaoni koeficijenti.

Zauzvrat, prava linija je strmija od pravih linija .

Obrnuto: što je manji koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je ravna linija ravnija.

Za ravne linije nejednakost je tačna, pa je ravna linija ravnija. Dječiji tobogan, kako ne biste zadali modrice i udarce.

Zašto je to potrebno?

Produžite svoju muku Poznavanje gore navedenih činjenica omogućava vam da odmah vidite svoje greške, posebno greške pri konstruisanju grafikona - ako se pokaže da je crtež „očito nešto krivo“. Preporučljivo je da vi odmah bilo je jasno da je, na primjer, prava linija vrlo strma i ide odozdo prema gore, a prava linija je vrlo ravna, pritisnuta blizu ose i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Oznake: ravne linije su označene malim latiničnim slovima: . Popularna opcija je da ih označite istim slovom s prirodnim indeksima. Na primjer, pet linija koje smo upravo pogledali možemo označiti sa .

Pošto je svaka prava linija jednoznačno određena sa dvije tačke, može se označiti ovim tačkama: itd. Oznaka jasno implicira da tačke pripadaju pravoj.

Vrijeme je da se malo zagrijemo:

Kako napisati jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom?

Ako je poznata tačka koja pripada određenoj pravoj i ugaoni koeficijent ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Primjer 1

Napišite jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom ako je poznato da tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu . U ovom slučaju:

Odgovori:

Ispitivanje se radi jednostavno. Prvo, pogledamo rezultirajuću jednadžbu i uvjerimo se da je naš nagib na mjestu. Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti ovu jednačinu. Ubacimo ih u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Zaključak: Jednačina je pronađena ispravno.

Zamršeniji primjer koji možete riješiti sami:

Primjer 2

Napišite jednadžbu za pravu liniju ako je poznato da je njen nagibni ugao u odnosu na pozitivan smjer ose , a tačka pripada ovoj pravoj liniji.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, ponovo pročitajte teorijski materijal. Tačnije, praktičnije, preskačem dosta dokaza.

Zazvonilo je posljednje zvono, završena je matura, a ispred kapija naše rodne škole čeka nas sama analitička geometrija. Šale su gotove... Ili možda tek počinju =)

Nostalgično mašemo perom prema poznatom i upoznajemo se s opštom jednačinom prave linije. Jer u analitičkoj geometriji se upravo ovo koristi:

Opća jednačina prave linije ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednake nuli, jer jednačina gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i povežimo jednačinu sa koeficijentom nagiba. Prvo, pomjerimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam sa "X" mora se staviti na prvo mjesto:

U principu, jednadžba već ima oblik, ali prema pravilima matematičke etikete, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Promjena znakova:

Zapamtite ovu tehničku karakteristiku! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednačina prave linije će se skoro uvek dati u opštem obliku. Pa, ako je potrebno, lako se može svesti na "školski" oblik s kutnim koeficijentom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s ordinatnom osom).

Zapitajmo se šta dosta znate konstruisati pravu liniju? Dva poena. Ali više o ovom incidentu iz djetinjstva, sada se drži pravila strelica. Svaka prava linija ima vrlo specifičan nagib na koji se lako „prilagoditi“. vektor.

Vektor koji je paralelan pravoj naziva se vektor smjera te prave. Očigledno je da svaka prava linija ima beskonačan broj vektora smjera, i svi će biti kolinearni (ko-smjerni ili ne - nije važno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan za konstruisanje prave linije; vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu tačku na ravni. Stoga je dodatno potrebno znati neku tačku koja pripada pravoj.

Kako napisati jednačinu prave linije koristeći vektor tačke i smjera?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor smjera ove linije, tada se jednadžba ove linije može sastaviti pomoću formule:

Ponekad se zove kanonska jednadžba linije .

Šta raditi kada jedna od koordinata je jednako nuli, razumjet ćemo u praktičnim primjerima u nastavku. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti jednake nuli, jer nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Rješenje: Sastavimo jednačinu prave linije koristeći formulu. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije rješavamo se razlomaka:

I dovodimo jednačinu u njen opći oblik:

Odgovori:

U pravilu nema potrebe za crtanjem u takvim primjerima, već radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu tačku, originalni vektor pravca (može se iscrtati iz bilo koje tačke na ravni) i konstruisanu pravu liniju. Usput, u mnogim slučajevima je najpogodnije konstruirati pravu liniju koristeći jednadžbu s kutnim koeficijentom. Lako je transformirati našu jednadžbu u oblik i lako odabrati drugu tačku za konstruiranje prave linije.

Kao što je navedeno na početku pasusa, prava linija ima beskonačno mnogo vektora smjera i svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera da odaberemo, rezultat će uvijek biti ista pravolinijska jednadžba.

Kreirajmo jednadžbu prave linije koristeći vektor tačke i smjera:

Rješavanje proporcije:

Podijelite obje strane sa –2 i dobijete poznatu jednačinu:

Zainteresovani mogu testirati vektore na isti način ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada da riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera koristeći opštu jednadžbu prave linije?

Veoma jednostavno:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor vektor pravca ove prave.

Primjeri pronalaženja vektora smjera pravih linija:

Izjava nam omogućava da pronađemo samo jedan vektor smjera od beskonačnog broja, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna s osi i koordinate rezultirajućeg vektora smjera se prikladno dijele sa –2, dobivajući upravo osnovni vektor kao vektor smjera. Logično.

Slično, jednačina specificira ravnu liniju paralelnu sa osom, a dijeljenjem koordinata vektora sa 5, dobijamo jedinični vektor kao vektor smjera.

Hajde da to uradimo provjera primjera 3. Primjer je krenuo gore, pa vas podsjećam da smo u njemu sastavili jednačinu prave koristeći tačku i vektor smjera

Prvo, koristeći jednadžbu prave linije rekonstruiramo njen vektor smjera: – sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima rezultat može biti kolinearan vektor prema originalnom, a to je obično lako uočiti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate tačke moraju zadovoljiti jednačinu. Zamjenjujemo ih u jednačinu:

Dobijena je tačna jednakost, čemu smo veoma sretni.

Zaključak: Zadatak je ispravno obavljen.

Primjer 4

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije. Vrlo je preporučljivo provjeriti koristeći algoritam o kojem smo upravo govorili. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je praviti greške tamo gde se one mogu 100% izbeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, postupite vrlo jednostavno:

Primjer 5

Rješenje: Formula nije prikladna jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obrazac, a ostatak se kotrlja po dubokoj kolotečini:

Odgovori:

Ispitivanje:

1) Vratite usmjeravajući vektor linije:
– rezultirajući vektor je kolinearan s originalnim vektorom smjera.

2) Zamijenite koordinate tačke u jednačinu:

Dobija se tačna jednakost

Zaključak: zadatak je ispravno obavljen

Postavlja se pitanje zašto se zamarati formulom ako postoji univerzalna verzija koja će u svakom slučaju raditi? Dva su razloga. Prvo, formula je u obliku razlomka mnogo bolje zapamćen. I drugo, nedostatak univerzalne formule je to rizik od zabune se značajno povećava prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Napišite jednačinu za pravu liniju koristeći tačku i vektor smjera.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Vratimo se na sveprisutne dvije tačke:

Kako napisati jednačinu prave koristeći dvije tačke?

Ako su poznate dvije tačke, onda se jednačina prave linije koja prolazi kroz ove tačke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je vrsta formule i evo zašto: ako su poznate dvije tačke, tada će vektor biti vektor smjera date prave. Na lekciji Vektori za lutke razmatrali smo najjednostavniji problem - kako pronaći koordinate vektora iz dvije tačke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca su:

Bilješka : tačke se mogu “zamijeniti” i formula se može koristiti . Takvo rješenje će biti ekvivalentno.

Primjer 7

Napišite jednačinu prave linije koristeći dvije tačke .

Rješenje: Koristimo formulu:

Češljanje nazivnika:

I promiješaj špil:

Sada je vrijeme da se riješite razlomaka. U ovom slučaju, trebate pomnožiti obje strane sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovori:

Ispitivanje je očigledno - koordinate početnih tačaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

2) Zamijenite koordinate tačke:

Istinska jednakost.

Zaključak: Jednačina prave je ispravno napisana.

Ako najmanje jedan od tačaka ne zadovoljava jednačinu, potražite grešku.

Vrijedi napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer konstruirajte pravu liniju i vidite da li joj tačke pripadaju , nije tako jednostavno.

Napomenut ću još nekoliko tehničkih aspekata rješenja. Možda je u ovom problemu isplativije koristiti formulu ogledala i, na istim tačkama napravi jednačinu:

Manje razlomaka. Ako želite, možete riješiti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednačina.

Druga stvar je pogledati konačni odgovor i shvatiti da li se može dodatno pojednostaviti? Na primjer, ako dobijete jednačinu , onda je preporučljivo da je smanjite za dva: – jednačina će definirati istu pravu liniju. Međutim, ovo je već tema razgovora relativni položaj linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7, za svaki slučaj, provjerio sam da li su SVI koeficijenti jednačine djeljivi sa 2, 3 ili 7. Mada, najčešće se takve redukcije vrše prilikom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke .

Ovo je primjer nezavisnog rješenja, koje će vam omogućiti bolje razumijevanje i vježbanje tehnika izračunavanja.

Slično kao u prethodnom paragrafu: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora pravca) postaje nula, onda ga prepisujemo u obliku . Opet, primijetite kako izgleda nespretno i zbunjeno. Ne vidim puno smisla davati praktične primjere, pošto smo ovaj problem već riješili (vidi br. 5, 6).

Direktni normalni vektor (normalni vektor)

Šta je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomita. To jest, vektor normale prave je okomit na datu pravu. Očigledno, svaka ravna linija ima beskonačan broj njih (kao i vektora smjera), a svi normalni vektori prave linije će biti kolinearni (kosmjerni ili ne, nema razlike).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vodećim vektorima:

Ako je prava data opštom jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu, tada je vektor normalni vektor ove prave.

Ako se koordinate vektora smjera moraju pažljivo „izvući“ iz jednačine, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno „ukloniti“.

Vektor normale je uvijek ortogonan na vektor smjera linije. Provjerimo ortogonalnost ovih vektora koristeći tačkasti proizvod:

Navest ću primjere sa istim jednadžbama kao i za vektor smjera:

Da li je moguće konstruisati jednačinu prave linije sa jednom tačkom i normalnim vektorom? Osećam to u stomaku, moguće je. Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer same prave linije jasno definiran - ovo je „kruta struktura“ s uglom od 90 stepeni.

Kako napisati jednačinu prave linije date tačku i vektor normale?

Ako su poznata određena tačka koja pripada pravoj i vektor normale ove prave, tada se jednačina ove prave izražava formulom:

Ovdje je sve prošlo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Ovo je naš normalni vektor. Volim ga. I postovanje =)

Primjer 9

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Rješenje: Koristimo formulu:

Dobijena je opšta jednačina prave linije, hajde da proverimo:

1) “Ukloniti” koordinate vektora normale iz jednačine: – da, zaista, originalni vektor je dobijen iz uslova (ili treba dobiti kolinearni vektor).

2) Provjerimo da li tačka zadovoljava jednačinu:

Istinska jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednačina pravilno sastavljena, završit ćemo drugi, lakši dio zadatka. Izvadimo usmjeravajući vektor prave linije:

Odgovori:

Na crtežu situacija izgleda ovako:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 10

Napišite jednačinu prave linije kojoj je data tačka i vektor normale. Pronađite vektor smjera prave.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali i važnim vrstama jednačina prave na ravni

Jednačina prave linije u segmentima.
Jednačina prave u parametarskom obliku

Jednačina prave linije u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se predstaviti u ovom obliku, na primjer, direktna proporcionalnost (pošto je slobodni član jednak nuli i ne postoji način da se dobije jedan na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, jedna „tehnička“ jednačina. Uobičajeni zadatak je da se opšta jednačina prave predstavi kao jednačina prave u segmentima. Kako je to zgodno? Jednadžba linije u segmentima omogućava brzo pronalaženje tačaka presjeka prave s koordinatnim osama, što može biti vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Nađimo tačku preseka prave sa osom. Resetujemo „y” na nulu, a jednačina dobija oblik . Željena tačka se dobija automatski: .

Isto i sa osovinom – tačka u kojoj prava seče ordinatnu osu.

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu koji se nalazi na ravni. Izvedemo jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih za obrađeni materijal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije dobijanja jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije divergentne tačke na ravni moguće povući pravu liniju i samo jednu. Drugim rečima, dve date tačke na ravni su definisane pravom linijom koja prolazi kroz ove tačke.

Ako je ravan definirana pravokutnim koordinatnim sistemom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednačini ravne linije na ravni. Postoji i veza sa usmjeravajućim vektorom prave linije.Ovaj podatak je dovoljan da se sastavi jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je napraviti jednačinu za pravu liniju a koja prolazi kroz dvije divergentne tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u Dekartovom koordinatnom sistemu.

U kanonskoj jednadžbi prave na ravni, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y, pravougaoni koordinatni sistem O x y je specificiran sa pravom koja se sa njom seče u tački sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vodećim vektorom a → = (a x , a y) .

Potrebno je napraviti kanonsku jednačinu prave a, koja će prolaziti kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Prava a ima vektor pravca M 1 M 2 → sa koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pošto seče tačke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe sa koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama tačaka M 1 koje leže na njima (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite sliku ispod.

Nakon proračuna, zapisujemo parametarske jednačine prave na ravni koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobijamo jednačinu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.

Primjer 1

Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz 2 date tačke sa koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Rješenje

Kanonska jednadžba za pravu koja se siječe u dvije tačke sa koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uslovima zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeričke vrijednosti je potrebno zamijeniti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobijamo da kanonska jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda prvo možete prijeći na kanonsku, jer je lakše doći od nje do bilo koje druge.

Primjer 2

Sastaviti opštu jednačinu prave koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sistemu.

Rješenje

Prvo, trebate zapisati kanonsku jednačinu date prave koja prolazi kroz date dvije tačke. Dobijamo jednačinu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovedemo kanonsku jednačinu u željeni oblik, tada ćemo dobiti:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima tokom časova algebre. Školski problemi su se razlikovali po tome što je poznata jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koji jednačina y = k x + b definira pravu u sistemu O x y koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada ugaoni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a prava linija M 1 M 2 definirana je općom nepotpunom jednačinom oblika x - x 1 = 0 .

Jer bodovi M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sistem jednačina y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa ovim vrijednostima k i b, jednačina prave koja prolazi kroz date dvije tačke postaje y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Nemoguće je zapamtiti tako ogroman broj formula odjednom. Da biste to učinili, potrebno je povećati broj ponavljanja u rješavanju problema.

Primjer 3

Zapišite jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu sa ugaonim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednačina odgovara pravoj liniji koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Poeni M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, onda njihove koordinate moraju činiti jednačinu y = k x + b istinitom jednakošću. Iz ovoga dobijamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Kombinirajmo jednačinu u sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene to dobijamo

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Nalazimo da će tražena jednačina koja prolazi kroz date tačke biti jednačina oblika y = 2 3 x - 1 3 .

Ova metoda rješenja unaprijed određuje gubljenje puno vremena. Postoji način na koji se zadatak rješava u bukvalno dva koraka.

Napišimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada pređimo na jednadžbu nagiba. Dobijamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dve date nepodudarne tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prava M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednačinu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednačine oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mogu definirati pravu u koordinatnom sistemu O x y z, koja prolazi kroz tačke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) sa vektorom smjera a → = (a x, a y, a z).

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmotrite crtež koji prikazuje 2 date tačke u prostoru i jednačinu prave linije.

Primjer 4

Napišite jednačinu prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora, prolazeći kroz date dve tačke sa koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Rješenje

Potrebno je pronaći kanonsku jednačinu. Pošto govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada prava prolazi kroz date tačke, željena kanonska jednačina će imati oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uslovu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz toga slijedi da će se potrebne jednačine napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravu koja prolazi kroz datu tačku kolinearnu vektoru smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:

.

Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se pokazati kao nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:

,

što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednaki su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale dati avion.

Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definisati sa dve tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim uz pretpostavku u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,