So ziehen Sie die Wurzel 2. Wie finde ich die Quadratwurzel? Eigenschaften, Beispiele für die Wurzelextraktion

Studenten fragen immer: „Warum kann ich in der Matheprüfung keinen Taschenrechner verwenden?“ Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? Versuchen wir, diese Frage zu beantworten.

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne die Hilfe eines Taschenrechners?

Aktion Quadratwurzel umgekehrt zum Quadrieren.

√81= 9 9 2 =81

Wenn Sie die Quadratwurzel einer positiven Zahl ziehen und das Ergebnis quadrieren, erhalten Sie dieselbe Zahl.

Aus kleinen Zahlen, die exakte Quadrate natürlicher Zahlen sind, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, können Quadratwurzeln mündlich gezogen werden. Normalerweise unterrichten sie in der Schule eine Tabelle mit Quadraten natürlicher Zahlen bis zwanzig. Wenn man diese Tabelle kennt, ist es einfach, Quadratwurzeln aus den Zahlen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 zu ziehen. Aus Zahlen größer als 400 können Sie sie mit der Auswahlmethode und einigen Tipps ziehen. Versuchen wir, diese Methode anhand eines Beispiels zu betrachten.

Beispiel: Extrahieren Sie die Wurzel der Zahl 676.

Wir stellen fest, dass 20 2 = 400 und 30 2 = 900, was 20 bedeutet< √676 < 900.

Exakte Quadrate natürlicher Zahlen enden auf 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Die Zahl 6 ergibt sich aus 4 2 und 6 2.
Das heißt, wenn die Wurzel aus 676 genommen wird, dann ist sie entweder 24 oder 26.

Es bleibt noch zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antwort: √676 = 26 .

Noch Beispiel: √6889 .

Da 80 2 = 6400 und 90 2 = 8100, dann 80< √6889 < 90.
Die Zahl 9 ergibt sich aus 3 2 und 7 2, dann ist √6889 entweder 83 oder 87.

Überprüfen wir: 83 2 = 6889.

Antwort: √6889 = 83 .

Wenn die Lösung mit der Auswahlmethode für Sie schwierig ist, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.

Zum Beispiel, finde √893025.

Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren. Denken Sie daran, Sie haben das in der sechsten Klasse gemacht.

Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Noch Beispiel: √20736. Faktorisieren wir die Zahl 20736:

Wir erhalten √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natürlich erfordert die Faktorisierung Kenntnisse über Teilbarkeitszeichen und Faktorisierungsfähigkeiten.

Und schließlich gibt es sie Regel zum Ziehen von Quadratwurzeln. Machen wir uns anhand von Beispielen mit dieser Regel vertraut.

Berechnen Sie √279841.

Um die Wurzel einer mehrstelligen ganzen Zahl zu extrahieren, teilen wir sie von rechts nach links in Flächen mit zwei Ziffern auf (die Kante ganz links kann eine Ziffer enthalten). Wir schreiben es so: 27’98’41

Um die erste Ziffer der Wurzel (5) zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel des größten perfekten Quadrats, das in der ersten Fläche links enthalten ist (27).
Dann wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel (25) von der ersten Fläche subtrahiert und die nächste Fläche (98) zur Differenz addiert (subtrahiert).
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 298 die doppelte Ziffer der Wurzel (10), dividieren Sie durch sie die Zahl aller Zehner der zuvor erhaltenen Zahl (29/2 ≈ 2) und testen Sie den Quotienten (102 ∙ 2 = 204). sollte nicht größer als 298 sein) und schreiben Sie (2) nach der ersten Ziffer der Wurzel.
Dann wird der resultierende Quotient 204 von 298 subtrahiert und die nächste Kante (41) zur Differenz (94) addiert.
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 9441 das Doppelprodukt der Ziffern der Wurzel (52 ∙2 = 104), dividieren Sie die Zahl aller Zehner der Zahl 9441 (944/104 ≈ 9) durch dieses Produkt, testen Sie das Der Quotient (1049 ∙9 = 9441) sollte 9441 sein und notieren Sie (9) nach der zweiten Ziffer der Wurzel.

Wir haben die Antwort √279841 = 529 erhalten.

Auf ähnliche Weise extrahieren Wurzeln von Dezimalbrüchen. Nur die Grundzahl muss in Gesichter unterteilt werden, sodass das Komma zwischen den Gesichtern liegt.

Beispiel. Finden Sie den Wert √0,00956484.

Denken Sie daran: Wenn ein Dezimalbruch eine ungerade Anzahl an Dezimalstellen hat, kann daraus nicht die Quadratwurzel gezogen werden.

Jetzt haben Sie drei Möglichkeiten gesehen, die Wurzel zu extrahieren. Wählen Sie diejenige aus, die am besten zu Ihnen passt, und üben Sie. Um zu lernen, Probleme zu lösen, müssen Sie sie lösen. Und wenn Sie Fragen haben, .

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Bei der Lösung von Problemen werden wir oft mit großen Zahlen konfrontiert, aus denen wir etwas extrahieren müssen Quadratwurzel. Viele Schüler entscheiden, dass dies ein Fehler ist und beginnen, das gesamte Beispiel erneut zu lösen. Auf keinen Fall sollten Sie dies tun! Dafür gibt es zwei Gründe:

1. In Problemen tauchen durchaus Wurzeln großer Zahlen auf. Besonders in Textform;
2. Es gibt einen Algorithmus, mit dem diese Wurzeln fast mündlich berechnet werden.

Wir werden diesen Algorithmus heute betrachten. Vielleicht kommt Ihnen manches unverständlich vor. Aber wenn Sie dieser Lektion Aufmerksamkeit schenken, erhalten Sie eine mächtige Waffe dagegen Quadratwurzeln.

Also der Algorithmus:

1. Beschränken Sie die erforderliche Wurzel oben und unten auf Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind. Daher reduzieren wir den Suchbereich auf 10 Zahlen;
2. Entfernen Sie aus diesen 10 Zahlen diejenigen, die definitiv keine Wurzeln sein können. Dadurch bleiben 1-2 Nummern übrig;
3. Quadrieren Sie diese 1-2 Zahlen. Derjenige, dessen Quadrat gleich der ursprünglichen Zahl ist, ist die Wurzel.

Bevor wir diesen Algorithmus in die Praxis umsetzen, schauen wir uns jeden einzelnen Schritt an.

Root-Beschränkung

Zunächst müssen wir herausfinden, zwischen welchen Zahlen unsere Wurzel liegt. Es ist äußerst wünschenswert, dass die Zahlen ein Vielfaches von zehn sind:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Wir erhalten eine Reihe von Zahlen:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Was sagen uns diese Zahlen? Es ist ganz einfach: Wir setzen Grenzen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 1296. Sie liegt zwischen 900 und 1600. Daher kann ihre Wurzel nicht kleiner als 30 und nicht größer als 40 sein:

[Bildunterschrift]

Das Gleiche gilt für jede andere Zahl, aus der Sie die Quadratwurzel ermitteln können. Zum Beispiel 3364:

Somit erhalten wir statt einer unverständlichen Zahl einen ganz bestimmten Bereich, in dem die ursprüngliche Wurzel liegt. Um den Suchbereich weiter einzugrenzen, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.

Eliminierung offensichtlich unnötiger Zahlen

Wir haben also 10 Zahlen – Kandidaten für die Wurzel. Wir haben sie sehr schnell bekommen, ohne kompliziertes Nachdenken und Multiplizieren in einer Kolumne. Es ist Zeit weiterzugehen.

Ob Sie es glauben oder nicht, wir werden nun die Anzahl der Kandidatenzahlen auf zwei reduzieren – wiederum ohne komplizierte Berechnungen! Es reicht aus, die Sonderregel zu kennen. Hier ist es:

Die letzte Ziffer des Quadrats hängt nur von der letzten Ziffer ab Originalnummer.

Mit anderen Worten: Schauen Sie sich einfach die letzte Ziffer des Quadrats an und wir werden sofort verstehen, wo die ursprüngliche Zahl endet.

An letzter Stelle können nur 10 Ziffern stehen. Versuchen wir herauszufinden, was sie im Quadrat ergeben. Schauen Sie sich die Tabelle an:

Diese Tabelle ist ein weiterer Schritt zur Berechnung der Wurzel. Wie Sie sehen können, erwiesen sich die Zahlen in der zweiten Zeile als symmetrisch zur Fünf. Zum Beispiel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Wie Sie sehen, ist die letzte Ziffer in beiden Fällen gleich. Das bedeutet, dass beispielsweise die Wurzel von 3364 auf 2 oder 8 enden muss. Andererseits erinnern wir uns an die Einschränkung aus dem vorherigen Absatz. Wir bekommen:

Rote Quadrate zeigen an, dass wir diese Zahl noch nicht kennen. Aber die Wurzel liegt im Bereich von 50 bis 60, in dem es nur zwei Zahlen gibt, die auf 2 und 8 enden:

Das ist alles! Von allen möglichen Wurzeln haben wir nur zwei Optionen gelassen! Und das ist im schwierigsten Fall, denn die letzte Ziffer kann 5 oder 0 sein. Und dann gibt es nur einen Kandidaten für die Wurzeln!

Endgültige Berechnungen

Wir haben also noch 2 Kandidatennummern übrig. Woher wissen Sie, welches die Wurzel ist? Die Antwort liegt auf der Hand: Quadrieren Sie beide Zahlen. Die Zahl, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, ist die Wurzel.

Für die Zahl 3364 haben wir beispielsweise zwei Kandidatenzahlen gefunden: 52 und 58. Quadrieren wir sie:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Wurzel 58 ist! Gleichzeitig habe ich zur Vereinfachung der Berechnungen die Formel für die Quadrate von Summe und Differenz verwendet. Dadurch musste ich die Zahlen nicht einmal in einer Spalte multiplizieren! Dies ist eine weitere Ebene der Berechnungsoptimierung, aber natürlich völlig optional :)

Beispiele für die Berechnung von Wurzeln

Die Theorie ist natürlich gut. Aber lassen Sie es uns in der Praxis überprüfen.

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, zwischen welchen Zahlen die Zahl 576 liegt:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Schauen wir uns nun die letzte Zahl an. Es ist gleich 6. Wann passiert das? Nur wenn die Wurzel auf 4 oder 6 endet. Wir erhalten zwei Zahlen:

Jetzt müssen Sie nur noch jede Zahl quadrieren und mit dem Original vergleichen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Großartig! Es stellte sich heraus, dass das erste Quadrat der ursprünglichen Zahl entsprach. Das ist also die Wurzel.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

1369 → 9;
33; 37.

Quadrieren Sie es:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Hier ist die Antwort: 37.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

2704 → 4;
52; 58.

Quadrieren Sie es:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Wir haben die Antwort erhalten: 52. Die zweite Zahl muss nicht mehr quadriert werden.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:

[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

4225 → 5;
65.

Wie Sie sehen, gibt es nach dem zweiten Schritt nur noch eine Option: 65. Dies ist die gewünschte Wurzel. Aber lassen Sie es uns trotzdem vergleichen und prüfen:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alles ist richtig. Wir schreiben die Antwort auf.

Abschluss

Leider nicht besser. Schauen wir uns die Gründe an. Es gibt zwei davon:

• In jeder normalen Mathematikprüfung, sei es das Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen, ist die Verwendung von Taschenrechnern verboten. Und wenn man einen Taschenrechner mit in den Unterricht bringt, kann man leicht von der Prüfung ausgeschlossen werden.
• Seien Sie nicht wie dumme Amerikaner. Die nicht wie Wurzeln sind – sie können nicht zwei Primzahlen addieren. Und wenn sie Brüche sehen, werden sie im Allgemeinen hysterisch.

Kapitel zuerst.

Ermitteln der größten ganzzahligen Quadratwurzel aus einer gegebenen ganzen Zahl.

170. Vorbemerkungen.

A) Da wir nur über das Ziehen der Quadratwurzel sprechen werden, sagen wir, um die Sprache in diesem Kapitel zu verkürzen, statt „Quadratwurzel“ einfach „Wurzel“.

B) Wenn wir die Zahlen der natürlichen Reihe quadrieren: 1,2,3,4,5. . . , dann erhalten wir die folgende Quadrattabelle: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Offensichtlich gibt es viele ganze Zahlen, die nicht in dieser Tabelle enthalten sind. Natürlich ist es unmöglich, aus solchen Zahlen die ganze Wurzel zu ziehen. Wenn Sie beispielsweise die Wurzel einer beliebigen Ganzzahl extrahieren müssen. erforderlich ist, um √4082 zu finden, dann stimmen wir zu, diese Anforderung wie folgt zu verstehen: Extrahieren Sie die gesamte Wurzel von 4082, wenn möglich; Wenn dies nicht möglich ist, müssen wir die größte ganze Zahl finden, deren Quadrat 4082 ist (eine solche Zahl ist 63, da 63 2 = 3969 und 64 2 = 4090).

V) Wenn diese Zahl kleiner als 100 ist, wird die Wurzel daraus mithilfe der Multiplikationstabelle ermittelt. Somit wäre √60 7, da sieben 7 gleich 49 sind, was kleiner als 60 ist, und acht 8 gleich 64 sind, was größer als 60 ist.

171. Ziehen der Wurzel einer Zahl kleiner als 10.000, aber größer als 100. Nehmen wir an, wir müssen √4082 finden. Da diese Zahl kleiner als 10.000 ist, ist ihre Wurzel kleiner als √l0.000 = 100. Andererseits ist diese Zahl größer als 100; Dies bedeutet, dass die Wurzel größer als (oder gleich 10) ist. (Wenn es zum Beispiel notwendig wäre, √ zu finden 120 , dann ist zwar die Zahl 120 > 100, jedoch √ 120 ist gleich 10, weil 11 2 = 121.) Aber jede Zahl, die größer als 10, aber kleiner als 100 ist, hat 2 Ziffern; Dies bedeutet, dass die erforderliche Wurzel die Summe ist:

Zehner + Einer,

und deshalb muss sein Quadrat gleich der Summe sein:

Diese Summe muss das größte Quadrat von 4082 sein.

Nehmen wir das größte davon, 36, und gehen davon aus, dass das Quadrat der Zehnerwurzel genau diesem größten Quadrat entspricht. Dann muss die Anzahl der Zehner in der Wurzel 6 sein. Überprüfen wir nun, dass dies immer der Fall sein sollte, d. h. die Anzahl der Zehner in der Wurzel ist immer gleich der größten ganzzahligen Wurzel der Hunderterzahl des Grunds.

Tatsächlich kann in unserem Beispiel die Anzahl der Zehner der Wurzel nicht mehr als 6 sein, da (7 Dez.) 2 = 49 Hunderter, was 4082 übersteigt. Sie kann jedoch nicht weniger als 6 sein, da 5 Dez. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес.) 2 = 36 сотен, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то мы не должны брать для корня 5 дес, когда и 6 десятков оказывается не viel.

Wir haben also die Zahl der Zehner der Wurzel gefunden, nämlich 6. Wir schreiben diese Zahl rechts vom =-Zeichen und denken daran, dass es Zehner der Wurzel bedeutet. Wenn wir es quadratisch erhöhen, erhalten wir 36 Hunderter. Wir subtrahieren diese 36 Hunderter von den 40 Hundertern der Grundzahl und subtrahieren die restlichen zwei Ziffern dieser Zahl. Der Rest 482 muss 2 (6 Dez.) (Einheiten) + (Einheiten)2 enthalten. Das Produkt (6 Dez.) (Einer) muss Zehner sein; Daher muss das doppelte Produkt von Zehnern mit Einer in den Zehnern des Rests gesucht werden, d. h. in 48 (wir erhalten ihre Zahl, indem wir im Rest von 48 „2“ eine Ziffer rechts trennen). ergibt 12. Das heißt, wenn wir 12 mit den Einheiten der Wurzel (die noch unbekannt sind) multiplizieren, dann sollten wir die in 48 enthaltene Zahl erhalten. Deshalb dividieren wir 48 durch 12.

Zeichnen Sie dazu eine vertikale Linie links vom Rest und schreiben Sie dahinter (wobei wir für den nun angezeigten Zweck eine Stelle nach links von der Linie zurücktreten) das Doppelte der ersten Ziffer der Wurzel, also 12, und Teilen Sie 48 durch sie. Im Quotienten erhalten wir 4.

Wir können jedoch nicht im Voraus garantieren, dass die Zahl 4 als Einheiten der Wurzel genommen werden kann, da wir jetzt die gesamte Zahl der Zehner des Rests durch 12 dividiert haben, während einige davon möglicherweise nicht zum doppelten Produkt der Zehner durch gehören Einheiten, sind aber Teil des Einheitenquadrats. Daher kann die Zahl 4 groß sein. Wir müssen es ausprobieren. Es ist offensichtlich geeignet, wenn die Summe 2 (6 Dez.) 4 + 4 2 nicht mehr als der Rest 482 beträgt.

Als Ergebnis erhalten wir die Summe aus beidem auf einmal. Das resultierende Produkt betrug 496, was größer ist als der Rest von 482; Das heißt, Nummer 4 ist groß. Dann testen wir auf die gleiche Weise die nächst kleinere Zahl 3.

Beispiele.

Wenn wir in Beispiel 4 die 47 Zehner des Rests durch 4 dividieren, erhalten wir als Quotient 11. Da die Einerzahl der Wurzel aber keine zweistellige Zahl 11 oder 10 sein kann, müssen wir die Zahl 9 direkt testen.

In Beispiel 5 ergibt sich nach der Subtraktion von 8 von der ersten Fläche des Quadrats, dass der Rest 0 ist und die nächste Fläche ebenfalls aus Nullen besteht. Dies zeigt, dass die gesuchte Wurzel nur aus 8 Zehnern besteht und daher anstelle der Einer eine Null eingesetzt werden muss.

172. Ziehen der Wurzel einer Zahl größer als 10000. Nehmen wir an, wir müssen √35782 finden. Da die Grundzahl 10.000 überschreitet, ist ihre Wurzel größer als √10000 = 100 und besteht daher aus 3 oder mehr Ziffern. Egal aus wie vielen Ziffern es besteht, wir können es immer als die Summe nur von Zehnern und Einsen betrachten. Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass die Wurzel 482 ist, können wir sie als Betrag von 48 des zählen. + 2 Einheiten Dann besteht das Quadrat der Wurzel aus 3 Termen:

(Dez.) 2 + 2 (Dez.) (Einheit) + (Einheit) 2 .

Jetzt können wir genauso argumentieren wie bei der Suche nach √4082 (im vorherigen Absatz). Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir, um die Zehner der Wurzel von 4082 zu finden, die Wurzel von 40 ziehen mussten, und dies könnte mithilfe der Multiplikationstabelle erfolgen; Um nun Zehner√35782 zu erhalten, müssen wir die Wurzel aus 357 ziehen, was mit der Multiplikationstabelle nicht möglich ist. Aber wir können √357 mit der im vorherigen Absatz beschriebenen Technik finden, da es sich um die Zahl 357 handelt< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Als nächstes verfahren wir wie beim Finden von √4082, nämlich: Links vom Rest 3382 zeichnen wir eine vertikale Linie und schreiben dahinter (ein Leerzeichen von der Linie zurückgehend) die doppelte Anzahl der Zehner der gefundenen Wurzel, d.h. 36 (zweimal 18). Im Rest trennen wir rechts eine Ziffer ab und dividieren die Zehnerzahl des Restes, also 338, durch 36. Im Quotienten erhalten wir 9. Diese Zahl testen wir, wofür wir sie rechts der Zahl 36 zuordnen und damit multiplizieren. Es stellte sich heraus, dass das Produkt 3321 war, was weniger ist als der Rest. Das bedeutet, dass die Zahl 9 geeignet ist, wir schreiben sie an der Wurzel.

Um die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu extrahieren, müssen Sie im Allgemeinen zunächst die Wurzel aus ihren Hundertern extrahieren. wenn diese Zahl mehr als 100 beträgt, müssen Sie nach der Wurzel der Hunderterzahl dieser Hunderter, also der Zehntausender dieser Zahl, suchen; Wenn diese Zahl größer als 100 ist, müssen Sie die Wurzel aus der Zahl von Hunderttausenden ziehen, also aus den Millionen einer bestimmten Zahl usw.

Beispiele.

Im letzten Beispiel erhalten wir, nachdem wir die erste Ziffer gefunden und ihr Quadrat subtrahiert haben, einen Rest von 0. Wir subtrahieren die nächsten beiden Ziffern 51. Wenn wir die Zehner trennen, erhalten wir 5 des, während die doppelt gefundene Ziffer der Wurzel 6 ist. Das heißt, wenn wir 5 durch 6 dividieren, erhalten wir 0. Wir setzen 0 an zweiter Stelle an der Wurzel und addieren die nächsten 2 Ziffern zum Rest; wir bekommen 5110. Dann machen wir wie gewohnt weiter.

In diesem Beispiel besteht die erforderliche Wurzel nur aus 9 Hundertern, und daher müssen Nullen an den Zehner- und Einserstellen platziert werden.

Regel. Um die Quadratwurzel einer bestimmten ganzen Zahl zu ziehen, teilen sie sie von rechts nach links am Rand mit jeweils zwei Ziffern, mit Ausnahme der letzten, die eine Ziffer haben kann.
Um die erste Ziffer der Wurzel zu finden, ziehen Sie die Quadratwurzel der ersten Fläche.
Um die zweite Ziffer zu finden, wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel von der ersten Fläche subtrahiert, die zweite Fläche zum Rest addiert und die Zehnerzahl der resultierenden Zahl durch das Doppelte der ersten Ziffer der Wurzel dividiert ; Die resultierende Ganzzahl wird getestet.
Dieser Test wird wie folgt durchgeführt: Hinter der vertikalen Linie (links vom Rest) schreiben Sie das Doppelte der zuvor gefundenen Zahl der Wurzel und fügen auf der rechten Seite nach dieser Addition die getestete Ziffer, die resultierende Zahl, hinzu , wird mit der getesteten Ziffer multipliziert. Wenn das Ergebnis nach der Multiplikation eine Zahl ist, die größer als der Rest ist, dann ist die getestete Ziffer nicht geeignet und die nächst kleinere Ziffer muss getestet werden.
Die nächsten Ziffern der Wurzel werden mit der gleichen Technik ermittelt.
Wenn sich nach dem Entfernen einer Fläche herausstellt, dass die Zehnerzahl der resultierenden Zahl kleiner als der Teiler ist, also weniger als das Doppelte des gefundenen Teils der Wurzel, dann setzen sie 0 an die Wurzel, entfernen die nächste Fläche und Setzen Sie die Aktion weiter fort.

173. Anzahl der Ziffern der Wurzel. Aus der Betrachtung des Prozesses der Wurzelfindung folgt, dass es in der Wurzel so viele Ziffern gibt, wie es Flächen mit jeweils 2 Ziffern in der Wurzelzahl gibt (die linke Fläche kann eine Ziffer haben).

Kapitel Zwei.

Extrahieren von ungefähren Quadratwurzeln aus ganzen Zahlen und Brüchen .

Zum Ziehen der Quadratwurzel aus Polynomen siehe die Ergänzungen zum 2. Teil von § 399 ff.

174. Anzeichen einer exakten Quadratwurzel. Die genaue Quadratwurzel einer gegebenen Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat genau der gegebenen Zahl entspricht. Lassen Sie uns einige Anzeichen angeben, anhand derer man beurteilen kann, ob aus einer bestimmten Zahl eine exakte Wurzel gezogen werden kann oder nicht:

A) Wenn aus einer gegebenen ganzen Zahl nicht die exakte ganze Wurzel extrahiert wird (der Rest wird beim Extrahieren erhalten), kann aus einer solchen Zahl keine gebrochene exakte Wurzel gefunden werden, da jeder Bruch, der bei Multiplikation mit sich selbst ungleich einer ganzen Zahl ist, nicht ermittelt werden kann , erzeugt auch einen Bruch im Produkt, keine ganze Zahl.

B) Da die Wurzel eines Bruchs gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners ist, kann die genaue Wurzel eines irreduziblen Bruchs nicht gefunden werden, wenn sie nicht aus dem Zähler oder dem Nenner extrahiert werden kann. Beispielsweise kann aus den Brüchen 4/5, 8/9 und 11/15 nicht die exakte Wurzel gezogen werden, da sie im ersten Bruch nicht aus dem Nenner, im zweiten – aus dem Zähler und im dritten – gezogen werden kann. weder vom Zähler noch vom Nenner.

Aus Zahlen, aus denen die genaue Wurzel nicht gezogen werden kann, können nur ungefähre Wurzeln gezogen werden.

175. Ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1. Eine ungefähre, auf 1 genaue Quadratwurzel einer gegebenen Zahl (ganz oder gebrochen, egal) ist eine ganze Zahl, die die folgenden zwei Anforderungen erfüllt:

1) das Quadrat dieser Zahl ist nicht größer als die angegebene Zahl; 2) aber das Quadrat dieser Zahl erhöht um 1 ist größer als diese Zahl. Mit anderen Worten: Eine ungefähre Quadratwurzel mit einer Genauigkeit von 1 ist die größte ganzzahlige Quadratwurzel einer bestimmten Zahl, also die Wurzel, die wir im vorherigen Kapitel gefunden haben. Diese Wurzel heißt Näherung mit einer Genauigkeit von 1, denn um eine exakte Wurzel zu erhalten, müssten wir zu dieser Näherungswurzel einen Bruchteil kleiner als 1 addieren. Wenn wir also anstelle der unbekannten exakten Wurzel diese Näherungswurzel nehmen, machen wir ein Fehler kleiner als 1.

Regel. Um eine ungefähre Quadratwurzel mit einer Genauigkeit von 1 zu extrahieren, müssen Sie die größte ganzzahlige Wurzel aus dem ganzzahligen Teil der gegebenen Zahl extrahieren.

Die durch diese Regel ermittelte Zahl ist eine Näherungswurzel mit einem Nachteil, da ihr die genaue Wurzel eines bestimmten Bruchs (weniger als 1) fehlt. Wenn wir diese Wurzel um 1 erhöhen, erhalten wir eine weitere Zahl, bei der es einen gewissen Überschuss gegenüber der exakten Wurzel gibt, und dieser Überschuss ist kleiner als 1. Diese um 1 erhöhte Wurzel kann auch als Näherungswurzel mit einer Genauigkeit von 1 bezeichnet werden, aber mit einem Überschuss. (Die Bezeichnungen „mit Mangel“ oder „mit Überschuss“ werden in einigen Mathematikbüchern durch andere äquivalente ersetzt: „durch Mangel“ oder „durch Überschuss“.)

176. Ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10. Nehmen wir an, wir müssen √2,35104 mit einer Genauigkeit von 1/10 finden. Das bedeutet, dass Sie einen Dezimalbruch finden müssen, der aus ganzen Einheiten und Zehnteln besteht und die folgenden zwei Anforderungen erfüllt:

1) das Quadrat dieses Bruchs überschreitet nicht 2,35104, aber 2) wenn wir es um 1/10 erhöhen, dann überschreitet das Quadrat dieses erhöhten Bruchs 2,35104.

Um einen solchen Bruch zu finden, finden wir zunächst eine ungefähre Wurzel mit der Genauigkeit 1, das heißt, wir extrahieren die Wurzel nur aus der ganzen Zahl 2. Wir erhalten 1 (und der Rest ist 1). Wir schreiben die Zahl 1 an die Wurzel und setzen dahinter ein Komma. Jetzt suchen wir nach der Anzahl der Zehntel. Dazu zerlegen wir die Ziffern 35 rechts vom Dezimalpunkt auf den Rest 1 und setzen die Extraktion fort, als würden wir die Wurzel der ganzen Zahl 235 extrahieren. Die resultierende Ziffer 5 schreiben wir in die Wurzel im Platz der Zehntel. Die restlichen Ziffern der Grundzahl (104) benötigen wir nicht. Dass die resultierende Zahl 1,5 tatsächlich eine ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10 sein wird, lässt sich aus dem Folgenden ersehen. Wenn wir die größte ganzzahlige Wurzel aus 235 mit einer Genauigkeit von 1 finden würden, würden wir 15 erhalten. Also:

15 2 < 235, aber 16 2 >235.

Wenn wir alle diese Zahlen durch 100 dividieren, erhalten wir:

Das bedeutet, dass die Zahl 1,5 der Dezimalbruch ist, den wir als ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/10 bezeichnet haben.

Mit dieser Technik können wir auch die folgenden ungefähren Wurzeln mit einer Genauigkeit von 0,1 finden:

177. Ungefähre Quadratwurzel auf 1/100 bis 1/1000 usw.

Angenommen, wir müssen einen ungefähren Wert von √248 mit einer Genauigkeit von 1/100 finden. Das bedeutet: Finden Sie einen Dezimalbruch, der aus ganzen, Zehntel- und Hundertstelteilen besteht und zwei Anforderungen erfüllt:

1) sein Quadrat überschreitet nicht 248, aber 2) wenn wir diesen Bruch um 1/100 erhöhen, dann überschreitet das Quadrat dieses erhöhten Bruchs 248.

Einen solchen Bruch finden wir in der folgenden Reihenfolge: Zuerst finden wir die ganze Zahl, dann die Zehntelzahl, dann die Hundertstelzahl. Die Wurzel einer ganzen Zahl besteht aus 15 ganzen Zahlen. Um die Zehntelzahl zu erhalten, müssen Sie, wie wir gesehen haben, zum Rest 23 zwei weitere Ziffern rechts vom Dezimalpunkt hinzufügen. In unserem Beispiel sind diese Zahlen überhaupt nicht vorhanden, wir setzen an ihrer Stelle Nullen. Indem wir sie zum Rest addieren und so weitermachen, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 24.800 finden würden, finden wir die Zehntelzahl 7. Es bleibt noch die Hundertstelzahl zu finden. Dazu addieren wir zwei weitere Nullen zum Rest 151 und fahren mit der Extraktion fort, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 2.480.000 finden würden. Wir erhalten 15,74. Dass es sich bei dieser Zahl tatsächlich um eine ungefähre Wurzel aus 248 mit einer Genauigkeit von 1/100 handelt, lässt sich aus dem Folgenden ersehen. Wenn wir die größte ganze Quadratwurzel der ganzen Zahl 2.480.000 finden würden, würden wir 1574 erhalten; Bedeutet:

1574 2 < 2.480.000, aber 1575 2 > 2.480.000.

Teilen wir alle Zahlen durch 10.000 (= 100 2), erhalten wir:

Das bedeutet, dass 15,74 der Dezimalbruch ist, den wir als ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/100 von 248 bezeichnet haben.

Wenn wir diese Technik anwenden, um eine ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1/1000 bis 1/10000 usw. zu finden, finden wir Folgendes.

Regel. Um eine ungefähre Wurzel aus einer bestimmten ganzen Zahl oder einem bestimmten Dezimalbruch mit einer Genauigkeit von 1/10 bis 1/100 bis 1/100 usw. zu extrahieren, ermitteln Sie zunächst eine ungefähre Wurzel mit einer Genauigkeit von 1, indem Sie die Wurzel daraus extrahieren ganze Zahl (wenn nein, schreiben sie über die Wurzel von 0 ganzen Zahlen).

Dann ermitteln sie die Anzahl der Zehntel. Dazu addieren Sie zum Rest die beiden Ziffern der Wurzelzahl rechts vom Dezimalpunkt (wenn sie nicht vorhanden sind, fügen Sie zum Rest zwei Nullen hinzu) und fahren mit der Extraktion fort, wie beim Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl . Die resultierende Zahl wird anstelle von Zehnteln an der Wurzel geschrieben.

Finden Sie dann die Hundertstelzahl. Dazu werden zwei Zahlen rechts von den gerade entfernten Zahlen zum Rest addiert usw.

Beim Extrahieren der Wurzel einer ganzen Zahl mit einem Dezimalbruch ist es daher notwendig, jeweils zwei Ziffern beginnend mit dem Dezimalpunkt sowohl nach links (im ganzzahligen Teil der Zahl) als auch nach rechts (in) in Flächen zu unterteilen der Bruchteil).

Beispiele.

1) Finden Sie bis zu 1/100 Wurzeln: a) √2; b) √0,3;

Im letzten Beispiel haben wir den Bruch 3/7 in eine Dezimalzahl umgewandelt, indem wir 8 Dezimalstellen berechnet haben, um die 4 Flächen zu bilden, die zum Ermitteln der 4 Dezimalstellen der Wurzel erforderlich sind.

178. Beschreibung der Quadratwurzeltabelle. Am Ende dieses Buches befindet sich eine Tabelle mit Quadratwurzeln, die mit vier Ziffern berechnet werden. Mithilfe dieser Tabelle können Sie schnell die Quadratwurzel einer ganzen Zahl (oder eines Dezimalbruchs) ermitteln, die aus nicht mehr als vier Ziffern besteht. Bevor wir erklären, wie diese Tabelle aufgebaut ist, stellen wir fest, dass wir die erste signifikante Ziffer der gewünschten Wurzel immer ohne die Hilfe von Tabellen finden können, indem wir uns einfach die Wurzelzahl ansehen; Wir können auch leicht bestimmen, welche Dezimalstelle die erste Ziffer der Wurzel bedeutet und wo wir in der Wurzel, wenn wir ihre Ziffern finden, ein Komma setzen müssen. Hier sind einige Beispiele:

1) √5"27,3 . Die erste Ziffer ist 2, da die linke Seite der Grundzahl 5 ist; und die Wurzel von 5 ist gleich 2. Da es außerdem nur zwei Gesichter im ganzzahligen Teil der Wurzel gibt, muss der ganzzahlige Teil der gewünschten Wurzel zwei Ziffern haben und daher muss ihre erste Ziffer 2 sein meine Zehner.

2) √9.041. Offensichtlich wird in dieser Wurzel die erste Ziffer 3 Primzahleneinheiten sein.

3) √0,00"83"4. Die erste signifikante Ziffer ist 9, da die Fläche, aus der die Wurzel gezogen werden müsste, um die erste signifikante Ziffer zu erhalten, 83 ist und die Wurzel aus 83 9 ist. Da die erforderliche Zahl weder ganze Zahlen noch Zehntel enthält, ist die Die erste Ziffer 9 muss Hundertstel bedeuten.

4) √0,73"85. Die erste signifikante Zahl beträgt 8 Zehntel.

5) √0,00"00"35"7. Die erste signifikante Zahl ist 5 Tausendstel.

Lassen Sie uns noch eine Bemerkung machen. Nehmen wir an, wir müssen die Wurzel einer Zahl extrahieren, die nach dem Entfernen des darin enthaltenen besetzten Wortes durch eine Zahlenreihe wie diese dargestellt wird: 5681. Diese Wurzel kann eine der folgenden sein:

Wenn wir die Wurzeln ziehen, die wir mit einer Linie unterstreichen, werden sie alle durch dieselbe Zahlenreihe ausgedrückt, nämlich genau die Zahlen, die man erhält, wenn man die Wurzel aus 5681 zieht (das sind die Zahlen 7, 5, 3, 7). ). Der Grund dafür ist, dass die Flächen, in die die Grundzahl beim Ermitteln der Ziffern der Wurzel unterteilt werden muss, in allen diesen Beispielen gleich sind, daher werden die Ziffern für jede Wurzel gleich sein (nur die Position der Dezimalstelle). Punkt wird natürlich anders sein). Auf die gleiche Weise sollten in allen von uns mit zwei Linien unterstrichenen Wurzeln die gleichen Zahlen erhalten werden, genau diejenigen, die zum Ausdruck von √568,1 verwendet werden (diese Zahlen sind 2, 3, 8, 3) und für die gleichen Grund. Somit sind die Ziffern der Wurzeln der Zahlen, die (durch Weglassen des Kommas) durch dieselbe Zahlenreihe 5681 dargestellt werden, von zwei (und nur zwei) Arten: Entweder ist dies die Reihe 7, 5, 3, 7 oder die Reihe 2, 3, 8, 3. Das Gleiche gilt natürlich auch für jede andere Zahlenreihe. Daher entspricht, wie wir nun sehen werden, in der Tabelle jeder Ziffernreihe der Grundzahl 2 Ziffernreihen für die Wurzeln.

Jetzt können wir den Aufbau der Tabelle und ihre Verwendung erklären. Aus Gründen der Übersichtlichkeit haben wir hier den Anfang der ersten Seite der Tabelle gezeigt.

Diese Tabelle befindet sich auf mehreren Seiten. Auf jeder davon sind in der ersten Spalte links die Zahlen 10, 11, 12... (bis 99) eingetragen. Diese Zahlen stellen die ersten beiden Ziffern der Zahl dar, aus der die Quadratwurzel ermittelt wird. In der oberen horizontalen Linie (wie auch in der unteren) stehen die Zahlen: 0, 1, 2, 3... 9, die die 3. Ziffer dieser Zahl darstellen, und weiter rechts stehen die Zahlen 1, 2, 3. . . 9, die die 4. Ziffer dieser Zahl darstellt. Alle anderen horizontalen Linien enthalten zwei vierstellige Zahlen, die die Quadratwurzeln der entsprechenden Zahlen ausdrücken.

Angenommen, Sie müssen die Quadratwurzel einer Zahl ermitteln, entweder einer ganzen Zahl oder ausgedrückt als Dezimalbruch. Zunächst finden wir ohne Hilfe von Tabellen die erste Ziffer der Wurzel und ihre Ziffer. Dann verwerfen wir das Komma in dieser Zahl, falls es eines gibt. Nehmen wir zunächst an, dass nach dem Weglassen des Kommas beispielsweise nur noch 3 Ziffern übrig bleiben. 114. Wir finden in den Tabellen in der Spalte ganz links die ersten beiden Ziffern, also 11, und bewegen uns von ihnen entlang der horizontalen Linie nach rechts, bis wir die vertikale Spalte erreichen, an deren Spitze (und Unterseite) sich die dritte Ziffer befindet der Zahl, also 4. An dieser Stelle finden wir zwei vierstellige Zahlen: 1068 und 3376. Welche dieser beiden Zahlen genommen werden soll und wo das Komma darin zu setzen ist, wird durch die erste Ziffer der Wurzel und bestimmt seine Ziffer, die wir zuvor gefunden haben. Wenn wir also √0,11"4 finden müssen, dann ist die erste Ziffer der Wurzel 3 Zehntel, und deshalb müssen wir 0,3376 als Wurzel nehmen. Wenn wir √1,14 finden müssten, wäre die erste Ziffer der Wurzel 1, und wir Dann würden wir 1,068 nehmen.

Auf diese Weise können wir leicht finden:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 usw.

Nehmen wir nun an, dass wir die Wurzel einer Zahl finden müssen, die (durch Weglassen des Dezimalpunkts) in 4 Ziffern ausgedrückt wird, zum Beispiel √7"45,6. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die erste Ziffer der Wurzel 2 Zehner ist, finden wir für Zahl 745, wie jetzt erklärt wurde, die Ziffern 2729 (wir nehmen diese Zahl nur mit dem Finger wahr, schreiben sie aber nicht auf.) Dann bewegen wir uns von dieser Zahl weiter nach rechts bis auf die rechte Seite der Tabelle (hinter (in der letzten fetten Zeile) treffen wir auf die vertikale Spalte, die oben (und unten) markiert ist. 4 Die te Ziffer der angegebenen Zahl, also die Zahl 6, und finden dort die Zahl 1. Dies ist eine Korrektur, die vorgenommen werden muss (im Kopf) zur zuvor gefundenen Zahl 2729; wir erhalten 2730. Wir schreiben diese Zahl auf und setzen an der richtigen Stelle ein Komma hinein: 27,30.

So finden wir zum Beispiel:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 usw.

Wenn die Wurzelzahl nur durch eine oder zwei Ziffern ausgedrückt wird, können wir davon ausgehen, dass auf diese Ziffern eine oder zwei Nullen folgen, und dann wie für eine dreistellige Zahl erläutert vorgehen. Zum Beispiel: √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 usw.

Wenn schließlich die Grundzahl durch mehr als 4 Ziffern ausgedrückt wird, dann nehmen wir nur die ersten 4 davon und verwerfen den Rest. Um den Fehler zu verringern, wenn die erste der verworfenen Ziffern 5 oder mehr als 5 ist, dann erhöhen wir die vierte der beibehaltenen Ziffern um l. Also:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; usw.

Kommentar. Die Tabellen geben die ungefähre Quadratwurzel an, mal mit einem Defizit, mal mit einem Übermaß, und zwar diejenige dieser angenäherten Wurzeln, die der exakten Wurzel näher kommt.

179. Quadratwurzeln aus gewöhnlichen Brüchen ziehen. Die exakte Quadratwurzel eines irreduziblen Bruchs kann nur gezogen werden, wenn beide Terme des Bruchs exakte Quadrate sind. In diesem Fall reicht es aus, die Wurzel aus Zähler und Nenner getrennt zu ziehen, zum Beispiel:

Der einfachste Weg, eine ungefähre Quadratwurzel eines gewöhnlichen Bruchs mit einiger Dezimalgenauigkeit zu finden, besteht darin, zunächst den gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln und in diesem Bruch die Anzahl der Dezimalstellen nach dem Dezimalpunkt zu berechnen, die doppelt so groß wäre wie die Anzahl der Dezimalstellen in der gewünschten Wurzel.

Sie können es jedoch auch anders machen. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels erklären:

Finden Sie ungefähr √ 5 / 24

Machen wir den Nenner zu einem exakten Quadrat. Dazu würde es genügen, beide Terme des Bruchs mit dem Nenner 24 zu multiplizieren; aber in diesem Beispiel können Sie es anders machen. Zerlegen wir 24 in Primfaktoren: 24 = 2 2 2 3. Aus dieser Zerlegung geht hervor, dass, wenn 24 mit 2 und weiteren 3 multipliziert wird, jeder einfache Faktor im Produkt gerade oft wiederholt wird und daher , der Nenner wird zum Quadrat:

Es bleibt noch, √30 mit einiger Genauigkeit zu berechnen und das Ergebnis durch 12 zu dividieren. Es muss berücksichtigt werden, dass die Division durch 12 auch den Bruch verringert, der den Grad der Genauigkeit angibt. Wenn wir also √30 mit einer Genauigkeit von 1/10 finden und das Ergebnis durch 12 teilen, erhalten wir eine ungefähre Wurzel aus dem Bruch 5/24 mit einer Genauigkeit von 1/120 (nämlich 54/120 und 55/120).

Kapitel drei.

Graph einer Funktionx = √y .

180. Umkehrfunktion. Gegeben sei eine Gleichung, die bestimmt bei als Funktion von X , zum Beispiel so: y = x 2 . Wir können sagen, dass es nicht nur bestimmt bei als Funktion von X , sondern bestimmt auch umgekehrt X als Funktion von bei , wenn auch implizit. Um diese Funktion explizit zu machen, müssen wir diese Gleichung nach lösen X , nehmen bei für eine bekannte Zahl; Aus der Gleichung, die wir erstellt haben, finden wir: y = x 2 .

Der algebraische Ausdruck, den man für x erhält, nachdem man die Gleichung gelöst hat, die y als Funktion von x definiert, wird Umkehrfunktion derjenigen genannt, die y definiert.

Also die Funktion x = √y Umkehrfunktion y = x 2 . Wenn wir, wie üblich, die unabhängige Variable bezeichnen X , und die Abhängigen bei , dann kann die nun erhaltene Umkehrfunktion wie folgt ausgedrückt werden: y = √ x . Um also eine zu einer gegebenen (direkten) Funktion inverse Funktion zu erhalten, ist es notwendig, aus der Gleichung abzuleiten, die diese gegebene Funktion definiert X abhängig von j und im resultierenden Ausdruck ersetzen j An X , A X An j .

181. Graph einer Funktion y = √ x . Mit einem negativen Wert ist diese Funktion nicht möglich X , kann aber (mit beliebiger Genauigkeit) für jeden positiven Wert berechnet werden X , und für jeden solchen Wert erhält die Funktion zwei verschiedene Werte mit demselben Absolutwert, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen. Falls Sie sich auskennen √ Wenn wir nur den arithmetischen Wert der Quadratwurzel bezeichnen, dann können diese beiden Werte der Funktion wie folgt ausgedrückt werden: y = ± √ x Um einen Graphen dieser Funktion zu zeichnen, müssen Sie zunächst eine Tabelle ihrer Werte erstellen. Der einfachste Weg, diese Tabelle zu erstellen, ist die Tabelle der direkten Funktionswerte:

y = x 2 .

wenn die Werte bei als Werte annehmen X , umgekehrt:

y = ± √ x

Wenn wir alle diese Werte in die Zeichnung eintragen, erhalten wir die folgende Grafik.

In derselben Zeichnung haben wir (mit einer gestrichelten Linie) den Graphen der direkten Funktion dargestellt y = x 2 . Vergleichen wir diese beiden Grafiken miteinander.

182. Die Beziehung zwischen den Graphen direkter und inverser Funktionen. So erstellen Sie eine Wertetabelle der Umkehrfunktion y = ± √ x wir haben dafür gesorgt X die Zahlen, die in der Tabelle der direkten Funktion stehen y = x 2 dienten als Werte für bei , und für bei nahm diese Zahlen; welche in dieser Tabelle die Werte dafür waren X . Daraus folgt, dass beide Graphen gleich sind, nur der Graph der direkten Funktion ist relativ zur Achse so angeordnet bei - wie der Graph der Umkehrfunktion relativ zur Achse liegt X - ov. Als Ergebnis biegen wir die Zeichnung um eine gerade Linie OA einen rechten Winkel halbieren xOy , also der Teil der Zeichnung, der die Halbachse enthält OU , fiel auf den Teil, der die Achswelle enthält Oh , Das OU kompatibel mit Oh , alle Abteilungen OU wird mit Spaltungen zusammenfallen Oh und Parabelpunkte y = x 2 wird an den entsprechenden Punkten im Diagramm ausgerichtet y = ± √ x . Zum Beispiel Punkte M Und N , deren Ordinate 4 und die Abszissen 2 Und - 2 , wird mit den Punkten übereinstimmen M" Und N" , für die die Abszisse 4 und die Ordinaten 2 Und - 2 . Wenn diese Punkte zusammenfallen, bedeutet dies, dass die geraden Linien MM" Und NN" senkrecht zu OA und teile diese gerade Linie in zwei Hälften. Das Gleiche gilt für alle anderen entsprechenden Punkte in beiden Diagrammen.

Somit sollte der Graph der Umkehrfunktion derselbe sein wie der Graph der direkten Funktion, diese Graphen liegen jedoch unterschiedlich, nämlich symmetrisch zueinander relativ zur Winkelhalbierenden xOy . Wir können sagen, dass der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung (wie in einem Spiegel) des Graphen der direkten Funktion relativ zur Winkelhalbierenden ist xOy .

Das Extrahieren der Wurzel ist der umgekehrte Vorgang zum Erhöhen einer Potenz. Das heißt, wenn wir die Wurzel aus der Zahl X ziehen, erhalten wir eine Zahl, deren Quadrat die gleiche Zahl X ergibt.

Das Extrahieren der Wurzel ist ein ziemlich einfacher Vorgang. Eine Tabelle mit Quadraten kann die Extraktionsarbeit erleichtern. Denn es ist unmöglich, sich alle Quadrate und Wurzeln auswendig zu merken, aber die Zahlen können groß sein.

Extrahieren der Wurzel einer Zahl

Die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen ist einfach. Darüber hinaus kann dies nicht sofort, sondern schrittweise erfolgen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √256. Für einen Unwissenden ist es zunächst schwierig, sofort eine Antwort zu geben. Dann machen wir es Schritt für Schritt. Zuerst dividieren wir einfach durch die Zahl 4, woraus wir das ausgewählte Quadrat als Wurzel ziehen.

Stellen wir uns vor: √(64 4), dann entspricht es 2√64. Und wie Sie wissen, ist laut Einmaleins 64 = 8 8. Die Antwort lautet 2*8=16.

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Extrahieren einer komplexen Wurzel

Die Quadratwurzel lässt sich nicht aus negativen Zahlen berechnen, denn jede quadrierte Zahl ist eine positive Zahl!

Eine komplexe Zahl ist die Zahl i, deren Quadrat gleich -1 ist. Das heißt, i2=-1.

In der Mathematik gibt es eine Zahl, die man erhält, indem man aus der Zahl -1 die Wurzel zieht.

Das heißt, es ist möglich, die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen, dies gilt jedoch bereits für die höhere Mathematik, nicht für die Schulmathematik.

Betrachten wir ein Beispiel für eine solche Wurzelextraktion: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Online-Wurzelrechner

Mit unserem Rechner können Sie die Extraktion einer Zahl aus der Quadratwurzel berechnen:

Konvertieren von Ausdrücken, die eine Root-Operation enthalten

Der Kern der Transformation radikaler Ausdrücke besteht darin, die Wurzelzahl in einfachere zu zerlegen, aus denen die Wurzel gezogen werden kann. Wie 4, 9, 25 und so weiter.

Geben wir ein Beispiel: √625. Teilen wir den Wurzelausdruck durch die Zahl 5. Wir erhalten √(125 5), wiederholen Sie den Vorgang √(25 25), aber wir wissen, dass 25 52 ist. Das bedeutet, dass die Antwort 5*5=25 sein wird.

Es gibt jedoch Zahlen, bei denen die Wurzel mit dieser Methode nicht berechnet werden kann und Sie müssen nur die Antwort kennen oder eine Quadrattabelle zur Hand haben.

√289=√(17*17)=17

Endeffekt

Wir haben uns nur die Spitze des Eisbergs angeschaut, um Mathematik besser zu verstehen – melden Sie sich für unseren Kurs an: Kopfrechnen beschleunigen – NICHT Kopfrechnen.

Im Kurs erlernen Sie nicht nur Dutzende Techniken zur vereinfachten und schnellen Multiplikation, Addition, Multiplikation, Division und Berechnung von Prozentsätzen, sondern üben diese auch in speziellen Aufgaben und Lernspielen! Auch das Kopfrechnen erfordert viel Aufmerksamkeit und Konzentration, die beim Lösen interessanter Probleme aktiv trainiert werden.

Anweisungen

Wählen Sie einen Multiplikator für die Grundzahl aus, dessen Entfernung von unten erfolgt Wurzel ist wirklich ein Ausdruck – andernfalls geht die Operation verloren. Zum Beispiel, wenn unter dem Schild Wurzel mit einem Exponenten gleich drei (Kubikwurzel) kostet es Nummer 128, dann können Sie unter dem Schild zum Beispiel herausnehmen, Nummer 5. Gleichzeitig das Radikale Nummer 128 muss durch 5 in Würfel geteilt werden: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Wenn das Vorzeichen eine Bruchzahl enthält Wurzel den Bedingungen des Problems nicht widerspricht, dann ist es in dieser Form möglich. Wenn Sie eine einfachere Option benötigen, zerlegen Sie zunächst den Wurzelausdruck in solche ganzzahligen Faktoren, von denen die Kubikwurzel eine ganze Zahl sein wird Nummer m. Zum Beispiel: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Verwenden Sie diese Option, um Faktoren einer Wurzelzahl auszuwählen, wenn es nicht möglich ist, die Potenzen einer Zahl im Kopf zu berechnen. Dies gilt insbesondere für Wurzel m mit einem Exponenten größer als zwei. Wenn Sie Zugang zum Internet haben, können Sie Berechnungen mit den in den Suchmaschinen Google und Nigma integrierten Rechnern durchführen. Wenn Sie beispielsweise den größten ganzzahligen Faktor finden müssen, der unter dem kubischen Vorzeichen herausgezogen werden kann Wurzel Gehen Sie für die Zahl 250 auf die Google-Website und geben Sie die Abfrage „6^3“ ein, um zu prüfen, ob es möglich ist, sie unter dem Schild zu entfernen Wurzel sechs. Die Suchmaschine zeigt ein Ergebnis von 216 an. Leider kann 250 dadurch nicht ohne Rest geteilt werden Nummer. Geben Sie dann die Abfrage 5^3 ein. Das Ergebnis ist 125, und das ermöglicht Ihnen, 250 durch die Faktoren 125 und 2 zu dividieren, was bedeutet, dass Sie es aus dem Vorzeichen herausnehmen Wurzel Nummer 5, dort abfahren Nummer 2.

Quellen:

• wie man es unter den Wurzeln hervorholt
• Quadratwurzel des Produkts

Nehmen Sie es von unten heraus Wurzel Einer der Faktoren ist in Situationen erforderlich, in denen Sie einen mathematischen Ausdruck vereinfachen müssen. Es gibt Zeiten, in denen es unmöglich ist, die notwendigen Berechnungen mit einem Taschenrechner durchzuführen. Wenn beispielsweise Buchstabenbezeichnungen für Variablen anstelle von Zahlen verwendet werden.

Anweisungen

Zerlegen Sie den radikalen Ausdruck in einfache Faktoren. Sehen Sie, welcher der Faktoren gleich oft wiederholt wird, wie in den Indikatoren angegeben Wurzel, oder mehr. Beispielsweise müssen Sie die vierte Wurzel von a ziehen. In diesem Fall kann die Zahl als a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 dargestellt werden. Indikator Wurzel in diesem Fall entspricht es Faktor a3. Es muss aus dem Schild entfernt werden.

Extrahieren Sie die Wurzel der resultierenden Radikale nach Möglichkeit separat. Extraktion Wurzel ist die zur Potenzierung inverse algebraische Operation. Extraktion Wurzel einer willkürlichen Potenz: Finden Sie eine Zahl aus einer Zahl, die, wenn sie auf diese willkürliche Potenz erhöht wird, die gegebene Zahl ergibt. Wenn Extraktion Wurzel nicht hergestellt werden kann, belassen Sie den radikalen Ausdruck unter dem Zeichen Wurzel einfach wie es ist. Als Ergebnis der oben genannten Maßnahmen werden Sie von unten entfernt Zeichen Wurzel.

Video zum Thema

beachten Sie

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie radikale Ausdrücke in Form von Faktoren schreiben – ein Fehler in dieser Phase führt zu falschen Ergebnissen.

Hilfreicher Rat

Beim Extrahieren von Wurzeln ist es praktisch, spezielle Tabellen oder Tabellen mit logarithmischen Wurzeln zu verwenden – dies verkürzt die Zeit, die zum Finden der richtigen Lösung benötigt wird, erheblich.

Quellen:

• Wurzelextraktionszeichen im Jahr 2019

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist in vielen Bereichen der Mathematik erforderlich, einschließlich der Lösung von Gleichungen höherer Ordnung sowie der Differentiation und Integration. Es werden verschiedene Methoden verwendet, einschließlich der Faktorisierung. Um diese Methode anzuwenden, müssen Sie einen General finden und erstellen Faktor hinter Klammern.

Anweisungen

Durchführung des Gesamtmultiplikators Klammern- eine der gebräuchlichsten Zersetzungsmethoden. Diese Technik wird verwendet, um die Struktur langer algebraischer Ausdrücke zu vereinfachen, d. h. Polynome. Die allgemeine Zahl kann eine Zahl, ein Monom oder ein Binomial sein, und um sie zu finden, wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation verwendet.

Zahl. Schauen Sie sich die Koeffizienten jedes Polynoms genau an, um zu sehen, ob sie durch dieselbe Zahl geteilt werden können. Zum Beispiel im Ausdruck 12 z³ + 16 z² – 4 ist es offensichtlich Faktor 4. Nach der Transformation erhalten Sie 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Mit anderen Worten, diese Zahl ist der kleinste gemeinsame ganzzahlige Teiler aller Koeffizienten.

Monom. Bestimmen Sie, ob in jedem Term des Polynoms dieselbe Variable vorkommt. Unter der Annahme, dass dies der Fall ist, betrachten Sie nun die Koeffizienten wie im vorherigen Fall. Beispiel: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Jedes Element dieses Polynoms enthält eine Variable z. Darüber hinaus sind alle Koeffizienten Zahlen, die Vielfache von 3 sind. Daher ist der gemeinsame Faktor das Monom 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z – 1).

Binomial.Für Klammern allgemein Faktor aus zwei, einer Variablen und einer Zahl, die ein gemeinsames Polynom ist. Deshalb, wenn Faktor-Das Binomial ist nicht offensichtlich, dann müssen Sie mindestens eine Wurzel finden. Wählen Sie den freien Term des Polynoms; dies ist ein Koeffizient ohne Variable. Wenden Sie nun die Substitutionsmethode auf den allgemeinen Ausdruck aller ganzzahligen Teiler des freien Termes an.

Betrachten Sie: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Überprüfen Sie, ob einer der ganzzahligen Faktoren von 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 ist. Finden Sie durch einfache Substitution z1 = 1 und z2 = 2, was bedeutet für Klammern wir können die Binome (z – 1) und (z – 2) entfernen. Um den verbleibenden Ausdruck zu finden, verwenden Sie eine sequentielle lange Division.