Lösen Sie eine logarithmische Gleichung mithilfe der Definition des Logarithmus. Logarithmische Gleichungen. Probleme mit der Variablenbasis

In dieser Lektion werden wir die grundlegenden theoretischen Fakten über Logarithmen überprüfen und uns mit der Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen befassen.

Erinnern wir uns an die zentrale Definition – die Definition eines Logarithmus. Dabei geht es um die Lösung einer Exponentialgleichung. Diese Gleichung hat eine einzige Wurzel, sie wird Logarithmus von b zur Basis a genannt:

Definition:

Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent, um den die Basis a erhöht werden muss, um b zu erhalten.

Wir erinnern Sie daran grundlegende logarithmische Identität.

Der Ausdruck (Ausdruck 1) ist die Wurzel der Gleichung (Ausdruck 2). Ersetzen Sie den Wert x aus Ausdruck 1 anstelle von x in Ausdruck 2 und erhalten Sie die logarithmische Hauptidentität:

Wir sehen also, dass jedem Wert ein Wert zugeordnet ist. Wir bezeichnen b mit x(), c mit y und erhalten so eine logarithmische Funktion:

Zum Beispiel:

Erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften der logarithmischen Funktion.

Achten wir hier noch einmal darauf, denn unter dem Logarithmus kann es einen streng positiven Ausdruck als Basis des Logarithmus geben.

Reis. 1. Graph einer logarithmischen Funktion mit unterschiedlichen Basen

Der Graph der Funktion at ist schwarz dargestellt. Reis. 1. Wenn das Argument von Null auf Unendlich ansteigt, steigt die Funktion von minus auf plus Unendlich.

Der Graph der Funktion at ist rot dargestellt. Reis. 1.

Eigenschaften dieser Funktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich monoton. Bei einem monotonen (strikten) Anstieg entspricht ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion. Bei einer monotonen (strikten) Abnahme entspricht ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion.

Die Eigenschaften der logarithmischen Funktion sind der Schlüssel zur Lösung verschiedener logarithmischer Gleichungen.

Betrachten wir die einfachste logarithmische Gleichung; alle anderen logarithmischen Gleichungen werden in der Regel auf diese Form reduziert.

Da die Basen der Logarithmen und die Logarithmen selbst gleich sind, sind auch die Funktionen unter dem Logarithmus gleich, aber wir dürfen den Definitionsbereich nicht außer Acht lassen. Unter dem Logarithmus kann nur eine positive Zahl erscheinen, wir haben:

Wir haben herausgefunden, dass die Funktionen f und g gleich sind, daher reicht es aus, eine beliebige Ungleichung zu wählen, um der ODZ zu entsprechen.

Wir haben also ein gemischtes System, in dem es eine Gleichung und eine Ungleichung gibt:

In der Regel ist es nicht notwendig, eine Ungleichung zu lösen; es reicht aus, die Gleichung zu lösen und die gefundenen Wurzeln in die Ungleichung einzusetzen und so eine Prüfung durchzuführen.

Lassen Sie uns eine Methode zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen formulieren:

Ausgleichen der Basen von Logarithmen;

Sublogarithmische Funktionen gleichsetzen;

Prüfung durchführen.

Schauen wir uns konkrete Beispiele an.

Beispiel 1 – Lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich, wir haben das Recht, sublogarithmische Ausdrücke gleichzusetzen, vergessen Sie nicht die ODZ, wir wählen den ersten Logarithmus, um die Ungleichung zu bilden:

Beispiel 2 – Lösen Sie die Gleichung:

Diese Gleichung unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass die Basen der Logarithmen kleiner als eins sind, dies hat jedoch keinerlei Einfluss auf die Lösung:

Finden wir die Wurzel und setzen sie in die Ungleichung ein:

Wir haben eine falsche Ungleichung erhalten, was bedeutet, dass die gefundene Wurzel die ODZ nicht erfüllt.

Beispiel 3 – Lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich, wir haben das Recht, sublogarithmische Ausdrücke gleichzusetzen, vergessen Sie nicht die ODZ, wir wählen den zweiten Logarithmus, um die Ungleichung zu bilden:

Finden wir die Wurzel und setzen sie in die Ungleichung ein:

Offensichtlich erfüllt nur die erste Wurzel die ODZ.

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Die letzten Videos einer langen Reihe von Lektionen zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Dieses Mal werden wir hauptsächlich mit der ODZ des Logarithmus arbeiten – gerade aufgrund der falschen Berücksichtigung (oder sogar Ignorierung) des Definitionsbereichs entstehen die meisten Fehler bei der Lösung solcher Probleme.

In dieser kurzen Videolektion beschäftigen wir uns mit der Verwendung von Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen und befassen uns auch mit gebrochenen rationalen Gleichungen, mit denen viele Schüler ebenfalls Probleme haben.

Worüber werden wir reden? Die Hauptformel, die ich verstehen möchte, sieht folgendermaßen aus:

log a (f g ) = log a f + log a g

Dies ist ein Standardübergang vom Produkt zur Summe der Logarithmen und zurück. Sie kennen diese Formel wahrscheinlich von Anfang an, als Sie Logarithmen studierten. Allerdings gibt es einen Haken.

Solange die Variablen a, f und g gewöhnliche Zahlen sind, treten keine Probleme auf. Diese Formel funktioniert großartig.

Sobald jedoch Funktionen anstelle von f und g auftreten, entsteht das Problem der Erweiterung oder Einengung des Definitionsbereichs, je nachdem, in welche Richtung transformiert werden soll. Urteilen Sie selbst: Im links geschriebenen Logarithmus ist der Definitionsbereich wie folgt:

fg > 0

Aber in der rechts geschriebenen Menge ist der Definitionsbereich schon etwas anders:

f > 0

g > 0

Diese Anforderungen sind strenger als die ursprünglichen. Im ersten Fall geben wir uns mit Option f zufrieden< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 wird ausgeführt).

Beim Übergang von der linken zur rechten Konstruktion kommt es also zu einer Einengung des Definitionsbereichs. Wenn wir zunächst eine Summe hatten und sie in die Form eines Produkts umschreiben, dann erweitert sich der Definitionsbereich.

Mit anderen Worten: Im ersten Fall könnten wir Wurzeln verlieren und im zweiten Fall könnten wir zusätzliche Wurzeln gewinnen. Dies muss bei der Lösung reeller logarithmischer Gleichungen berücksichtigt werden.

Also die erste Aufgabe:

Links sehen wir die Summe der Logarithmen mit derselben Basis. Daher können diese Logarithmen addiert werden:

Wie Sie sehen können, haben wir rechts die Null mit der Formel ersetzt:

a = log b b a

Stellen wir unsere Gleichung noch etwas um:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung; wir können das Logarithmuszeichen streichen und die Argumente gleichsetzen:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Bitte beachten Sie: Woher kommt das Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wurzel eines exakten Quadrats gleich dem Modul ist:

Dann lösen wir die klassische Gleichung mit Modul:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Hier sind zwei Kandidatenantworten. Sind sie eine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung? Auf keinen Fall!

Wir haben kein Recht, alles einfach so stehen zu lassen und die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich den Schritt an, in dem wir die Summe der Logarithmen durch einen Logarithmus des Produkts der Argumente ersetzen. Das Problem besteht darin, dass wir in den ursprünglichen Ausdrücken Funktionen haben. Daher sollten Sie Folgendes benötigen:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Als wir das Produkt transformierten und ein exaktes Quadrat erhielten, änderten sich die Anforderungen:

(x − 5) 2 > 0

Wann ist diese Voraussetzung erfüllt? Ja, fast immer! Außer für den Fall, dass x − 5 = 0. Das heißt Die Ungleichung wird auf einen punktierten Punkt reduziert:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Wie Sie sehen, hat sich der Definitionsbereich erweitert, worüber wir gleich zu Beginn der Lektion gesprochen haben. Infolgedessen können zusätzliche Wurzeln entstehen.

Wie können Sie verhindern, dass diese zusätzlichen Wurzeln entstehen? Es ist ganz einfach: Wir schauen uns unsere erhaltenen Wurzeln an und vergleichen sie mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung. Lass uns zählen:

x (x − 5) > 0

Wir werden mit der Intervallmethode lösen:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Die resultierenden Zahlen markieren wir auf der Linie. Es fehlen alle Punkte, da die Ungleichung streng ist. Nehmen Sie eine beliebige Zahl größer als 5 und ersetzen Sie:

Uns interessieren die Intervalle (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Wenn wir unsere Wurzeln auf dem Segment markieren, werden wir sehen, dass x = 4 nicht zu uns passt, weil diese Wurzel außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen logarithmischen Gleichung liegt.

Wir kehren zur Gesamtheit zurück, streichen die Wurzel x = 4 durch und schreiben die Antwort auf: x = 6. Dies ist die endgültige Antwort auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung. Das war's, Problem gelöst.

Kommen wir zur zweiten logarithmischen Gleichung:

Lass es uns lösen. Beachten Sie, dass der erste Term ein Bruch ist und der zweite derselbe Bruch ist, jedoch invertiert. Haben Sie keine Angst vor dem Ausdruck lgx – es ist nur ein dezimaler Logarithmus, wir können ihn schreiben:

lgx = log 10 x

Da wir zwei umgekehrte Brüche haben, schlage ich vor, eine neue Variable einzuführen:

Daher kann unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Wie Sie sehen, ist der Zähler des Bruchs ein exaktes Quadrat. Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner ungleich Null ist:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Lösen wir die erste Gleichung:

t − 1 = 0;

t = 1.

Dieser Wert erfüllt die zweite Anforderung. Daher können wir sagen, dass wir unsere Gleichung vollständig gelöst haben, allerdings nur in Bezug auf die Variable t. Erinnern wir uns nun daran, was t ist:

Wir haben das Verhältnis:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Wir bringen diese Gleichung in ihre kanonische Form:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Als Ergebnis erhielten wir eine einzelne Wurzel, die theoretisch die Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und schreiben Sie den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung aus:

Daher erfüllt unsere Wurzel alle Anforderungen. Wir haben eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung gefunden. Antwort: x = 0,1. Das Problem ist behoben.

In der heutigen Lektion gibt es nur einen wichtigen Punkt: Wenn Sie die Formel für den Übergang von einem Produkt zu einer Summe und zurück verwenden, müssen Sie unbedingt berücksichtigen, dass der Definitionsbereich je nach Richtung des Übergangs enger oder erweitert werden kann.

Wie kann man verstehen, was passiert: Kontraktion oder Expansion? Sehr einfach. Wenn die Funktionen früher zusammen waren, jetzt aber getrennt sind, hat sich der Definitionsbereich eingeengt (weil es mehr Anforderungen gibt). Standen die Funktionen zunächst getrennt und nun zusammen, so erweitert sich der Definitionsbereich (an das Produkt werden weniger Anforderungen gestellt als an einzelne Faktoren).

Unter Berücksichtigung dieser Bemerkung möchte ich anmerken, dass die zweite logarithmische Gleichung diese Transformationen überhaupt nicht erfordert, das heißt, wir addieren oder multiplizieren die Argumente nirgendwo. An dieser Stelle möchte ich Sie jedoch auf eine weitere wunderbare Technik aufmerksam machen, die die Lösung deutlich vereinfachen kann. Es geht darum, eine Variable zu ersetzen.

Bedenken Sie jedoch, dass uns keine Ersetzungen aus dem Definitionsbereich befreien. Deshalb waren wir nicht faul, nachdem wir alle Wurzeln gefunden hatten, und kehrten zur ursprünglichen Gleichung zurück, um ihre ODZ zu finden.

Beim Ersetzen einer Variablen tritt häufig ein ärgerlicher Fehler auf, wenn die Schüler den Wert von t finden und denken, dass die Lösung vollständig ist. Auf keinen Fall!

Sobald Sie den Wert von t gefunden haben, müssen Sie zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und sehen, was genau wir mit diesem Buchstaben gemeint haben. Infolgedessen müssen wir eine weitere Gleichung lösen, die jedoch viel einfacher sein wird als die ursprüngliche.

Genau das ist der Sinn der Einführung einer neuen Variable. Wir teilen die ursprüngliche Gleichung in zwei Zwischengleichungen auf, von denen jede eine viel einfachere Lösung hat.

So lösen Sie „verschachtelte“ logarithmische Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen Logarithmus steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zur Lösung einer solchen Gleichung die folgenden Schritte ausführen, wenn wir die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b haben. Zunächst müssen wir die Zahl b ersetzen:

b = log a a b

Hinweis: a b ist ein Argument. Ebenso ist in der ursprünglichen Gleichung das Argument die Funktion f(x). Dann schreiben wir die Gleichung um und erhalten diese Konstruktion:

log a f (x) = log a a b

Dann können wir den dritten Schritt ausführen – das Logarithmuszeichen entfernen und einfach schreiben:

f (x) = a b

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung. In diesem Fall werden der Funktion f (x) keine Einschränkungen auferlegt. An ihre Stelle kann beispielsweise auch eine logarithmische Funktion treten. Und dann erhalten wir wieder eine logarithmische Gleichung, die wir wiederum auf ihre einfachste Form reduzieren und durch die kanonische Form lösen.

Aber genug der Texte. Lassen Sie uns das eigentliche Problem lösen. Also, Aufgabe Nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Wie Sie sehen, haben wir eine einfache logarithmische Gleichung. Die Rolle von f (x) ist die Konstruktion 1 + 3 log 2 x, und die Rolle der Zahl b ist die Zahl 2 (die Rolle von a wird auch von zwei gespielt). Schreiben wir diese beiden wie folgt um:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die ersten beiden Zweier von der Basis des Logarithmus stammen, d. h. wenn in der ursprünglichen Gleichung 5 wäre, dann würden wir 2 = log 5 · 5 · 2 erhalten. Im Allgemeinen hängt die Basis ausschließlich vom Logarithmus ab, der ursprünglich in der Aufgabe angegeben wurde. Und in unserem Fall ist das die Nummer 2.

Also schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um und berücksichtigen dabei die Tatsache, dass die beiden auf der rechten Seite tatsächlich auch ein Logarithmus sind. Wir bekommen:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Fahren wir mit dem letzten Schritt unseres Plans fort – der Abschaffung der kanonischen Form. Man könnte sagen, wir streichen einfach die Protokollzeichen durch. Aus mathematischer Sicht ist es jedoch unmöglich, „Protokoll durchzustreichen“ – richtiger wäre es zu sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

1 + 3 log 2 x = 4

Von hier aus können wir leicht 3 Logs 2 x finden:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Wir haben wieder die einfachste logarithmische Gleichung erhalten, bringen wir sie zurück in die kanonische Form. Dazu müssen wir folgende Änderungen vornehmen:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Warum steht an der Basis eine Zwei? Denn in unserer kanonischen Gleichung links gibt es einen Logarithmus genau zur Basis 2. Wir schreiben das Problem unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

log 2 x = log 2 2

Auch hier verzichten wir auf das Logarithmuszeichen, d. h. wir setzen die Argumente einfach gleich. Wir haben das Recht dazu, weil die Grundlagen gleich sind und weder rechts noch links weitere zusätzliche Aktionen durchgeführt wurden:

Das ist alles! Das Problem ist behoben. Wir haben eine Lösung für die logarithmische Gleichung gefunden.

Beachten Sie! Obwohl die Variable x im Argument vorkommt (d. h. es gibt Anforderungen für den Definitionsbereich), werden wir keine zusätzlichen Anforderungen stellen.

Wie ich oben sagte, ist diese Prüfung überflüssig, wenn die Variable in nur einem Argument von nur einem Logarithmus vorkommt. In unserem Fall erscheint x eigentlich nur im Argument und nur unter einem Log-Zeichen. Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich.

Wenn Sie dieser Methode jedoch nicht vertrauen, können Sie leicht überprüfen, ob x = 2 tatsächlich eine Wurzel ist. Es reicht aus, diese Zahl in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Kommen wir zur zweiten Gleichung, sie ist etwas interessanter:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Wenn wir den Ausdruck innerhalb des großen Logarithmus mit der Funktion f (x) bezeichnen, erhalten wir die einfachste logarithmische Gleichung, mit der wir die heutige Videolektion begonnen haben. Daher können wir die kanonische Form anwenden, für die wir die Einheit in der Form log 2 2 1 = log 2 2 darstellen müssen.

Schreiben wir unsere große Gleichung neu:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Gehen wir vom Vorzeichen des Logarithmus weg und setzen wir die Argumente gleich. Wir haben das Recht dazu, denn sowohl links als auch rechts sind die Grundlagen gleich. Beachten Sie außerdem, dass log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Vor uns liegt wieder die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b. Kommen wir zur kanonischen Form, das heißt, wir stellen Null in der Form log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 dar.

Wir schreiben unsere Gleichung um und entfernen das Protokollzeichen, indem wir die Argumente gleichsetzen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Auch hier erhielten wir umgehend eine Antwort. Es sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da in der Originalgleichung nur ein Logarithmus die Funktion als Argument enthält.

Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich. Wir können mit Sicherheit sagen, dass x = 1 die einzige Wurzel dieser Gleichung ist.

Aber wenn es im zweiten Logarithmus eine Funktion von x statt vier gäbe (oder 2x nicht im Argument, sondern in der Basis wäre), dann wäre es notwendig, den Definitionsbereich zu überprüfen. Andernfalls besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf zusätzliche Wurzeln stoßen.

Woher kommen diese zusätzlichen Wurzeln? Dieser Punkt muss sehr klar verstanden werden. Schauen Sie sich die Originalgleichungen an: Überall steht die Funktion x unter dem Logarithmuszeichen. Da wir also log 2 x notiert haben, setzen wir automatisch die Anforderung x > 0. Ansonsten macht dieser Eintrag einfach keinen Sinn.

Wenn wir jedoch die logarithmische Gleichung lösen, entfernen wir alle Logarithmuszeichen und erhalten einfache Konstruktionen. Hier gibt es keine Einschränkungen, da die lineare Funktion für jeden Wert von x definiert ist.

Dieses Problem, wenn die endgültige Funktion überall und immer definiert ist, die ursprüngliche Funktion jedoch nicht überall und nicht immer, ist der Grund dafür, dass bei der Lösung logarithmischer Gleichungen sehr oft zusätzliche Wurzeln entstehen.

Aber ich wiederhole es noch einmal: Dies geschieht nur in einer Situation, in der die Funktion entweder in mehreren Logarithmen oder an der Basis eines davon liegt. Bei den Problemen, die wir heute betrachten, gibt es grundsätzlich keine Probleme mit der Erweiterung des Definitionsbereichs.

Fälle aus unterschiedlichen Gründen

Diese Lektion ist komplexeren Strukturen gewidmet. Logarithmen in heutigen Gleichungen lassen sich nicht mehr sofort lösen, sondern es müssen zunächst einige Transformationen durchgeführt werden.

Wir beginnen mit der Lösung logarithmischer Gleichungen mit völlig unterschiedlichen Basen, die keine exakten Potenzen voneinander sind. Lassen Sie sich von solchen Problemen nicht abschrecken – sie sind nicht schwieriger zu lösen als die einfachsten Designs, die wir oben besprochen haben.

Aber bevor ich direkt zu den Problemen übergehe, möchte ich Sie an die Formel zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen in der kanonischen Form erinnern. Stellen Sie sich ein Problem wie dieses vor:

log a f (x) = b

Es ist wichtig, dass die Funktion f (x) nur eine Funktion ist und die Rolle der Zahlen a und b Zahlen sein sollte (ohne Variablen x). Natürlich werden wir uns gleich solche Fälle ansehen, in denen es anstelle der Variablen a und b Funktionen gibt, aber darum geht es jetzt nicht.

Wie wir uns erinnern, muss die Zahl b durch einen Logarithmus zur gleichen Basis a, die links steht, ersetzt werden. Das geht ganz einfach:

b = log a a b

Natürlich bedeuten die Wörter „beliebige Zahl b“ und „beliebige Zahl a“ Werte, die dem Definitionsbereich genügen. Insbesondere sprechen wir in dieser Gleichung nur von der Basis a > 0 und a ≠ 1.

Diese Anforderung ist jedoch automatisch erfüllt, da das ursprüngliche Problem bereits einen Logarithmus zur Basis von a enthält – dieser wird sicherlich größer als 0 und ungleich 1 sein. Daher lösen wir weiterhin die logarithmische Gleichung:

log a f (x) = log a a b

Eine solche Notation nennt man kanonische Form. Seine Bequemlichkeit liegt darin, dass wir das Protokollzeichen sofort loswerden können, indem wir die Argumente gleichsetzen:

f (x) = a b

Mit dieser Technik werden wir nun logarithmische Gleichungen mit variabler Basis lösen. So lass uns gehen!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Was weiter? Jemand wird jetzt sagen, dass Sie den richtigen Logarithmus berechnen oder ihn auf die gleiche Basis reduzieren müssen oder etwas anderes. Und tatsächlich müssen wir jetzt beide Basen auf die gleiche Form bringen – entweder 2 oder 0,5. Aber lernen wir ein für alle Mal die folgende Regel:

Wenn eine logarithmische Gleichung Dezimalzahlen enthält, müssen Sie diese Brüche unbedingt von der Dezimalschreibweise in die übliche Schreibweise umwandeln. Diese Transformation kann die Lösung erheblich vereinfachen.

Ein solcher Übergang muss sofort durchgeführt werden, noch bevor irgendwelche Aktionen oder Transformationen durchgeführt werden. Werfen wir einen Blick darauf:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Was bringt uns eine solche Aufzeichnung? Wir können 1/2 und 1/8 als Potenzen mit negativem Exponenten darstellen:

Vor uns liegt die kanonische Form. Wir setzen die Argumente gleich und erhalten die klassische quadratische Gleichung:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, die mit den Formeln von Vieta leicht gelöst werden kann. In der High School sollten Sie ähnliche Darstellungen buchstäblich mündlich sehen:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Das ist alles! Die ursprüngliche logarithmische Gleichung wurde gelöst. Wir haben zwei Wurzeln.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es in diesem Fall nicht notwendig ist, den Definitionsbereich zu bestimmen, da die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden ist. Daher wird der Definitionsbereich automatisch durchgeführt.

Damit ist die erste Gleichung gelöst. Kommen wir zum zweiten:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Beachten Sie nun, dass das Argument des ersten Logarithmus auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann: 1/2 = 2 −1. Dann können Sie die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung herausnehmen und alles durch −1 dividieren:

Und jetzt haben wir einen sehr wichtigen Schritt zur Lösung der logarithmischen Gleichung abgeschlossen. Vielleicht hat jemand etwas nicht bemerkt, also lass es mich erklären.

Schauen Sie sich unsere Gleichung an: Sowohl links als auch rechts gibt es ein Logarithmuszeichen, aber links gibt es einen Logarithmus zur Basis 2 und rechts einen Logarithmus zur Basis 3. Drei ist keine ganzzahlige Potenz von zwei und umgekehrt kann man nicht schreiben, dass 2 in ganzzahligen Graden 3 ist.

Es handelt sich also um Logarithmen mit unterschiedlicher Basis, die nicht durch bloße Potenzbildung aufeinander reduziert werden können. Die einzige Möglichkeit, solche Probleme zu lösen, besteht darin, einen dieser Logarithmen loszuwerden. Da wir uns in diesem Fall immer noch mit relativ einfachen Problemen befassen, wurde einfach der Logarithmus auf der rechten Seite berechnet und wir erhielten die einfachste Gleichung – genau die, über die wir gleich zu Beginn der heutigen Lektion gesprochen haben.

Stellen wir die Zahl 2, die rechts steht, als log 2 2 2 = log 2 4 dar. Und dann entfernen wir das Logarithmuszeichen, woraufhin wir einfach eine quadratische Gleichung haben:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Wir haben eine gewöhnliche quadratische Gleichung vor uns, die jedoch nicht reduziert wird, da der Koeffizient von x 2 von Eins verschieden ist. Daher lösen wir es mit der Diskriminante:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Das ist alles! Wir haben beide Wurzeln gefunden, was bedeutet, dass wir eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung erhalten haben. Tatsächlich kommt im ursprünglichen Problem die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vor. Folglich sind keine zusätzlichen Überprüfungen des Definitionsbereichs erforderlich – beide Wurzeln, die wir gefunden haben, erfüllen sicherlich alle möglichen Einschränkungen.

Dies könnte das Ende der heutigen Videolektion sein, aber abschließend möchte ich noch einmal sagen: Stellen Sie sicher, dass Sie beim Lösen logarithmischer Gleichungen alle Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln. In den meisten Fällen vereinfacht dies ihre Lösung erheblich.

Selten, sehr selten, stoßen Sie auf Probleme, bei denen das Entfernen von Dezimalbrüchen die Berechnungen nur erschwert. Bei solchen Gleichungen ist jedoch in der Regel zunächst klar, dass auf Dezimalbrüche nicht verzichtet werden muss.

In den meisten anderen Fällen (insbesondere, wenn Sie gerade erst anfangen, das Lösen logarithmischer Gleichungen zu üben) können Sie die Dezimalzahlen einfach weglassen und sie in gewöhnliche Zahlen umwandeln. Denn die Praxis zeigt, dass Sie auf diese Weise die spätere Lösung und Berechnung deutlich vereinfachen.

Feinheiten und Tricks der Lösung

Heute wenden wir uns komplexeren Problemen zu und lösen eine logarithmische Gleichung, die nicht auf einer Zahl, sondern auf einer Funktion basiert.

Und selbst wenn diese Funktion linear ist, müssen kleine Änderungen am Lösungsschema vorgenommen werden, deren Bedeutung auf zusätzliche Anforderungen hinausläuft, die an den Definitionsbereich des Logarithmus gestellt werden.

Komplexe Aufgaben

Dieses Tutorial wird ziemlich lang sein. Darin werden wir zwei ziemlich schwerwiegende logarithmische Gleichungen analysieren, bei deren Lösung viele Schüler Fehler machen. Während meiner Tätigkeit als Mathe-Nachhilfelehrer bin ich ständig auf zwei Arten von Fehlern gestoßen:

1. Das Auftreten zusätzlicher Wurzeln aufgrund der Erweiterung des Definitionsbereichs von Logarithmen. Um solche beleidigenden Fehler zu vermeiden, überwachen Sie einfach jede Transformation sorgfältig.
2. Verlust der Wurzeln aufgrund der Tatsache, dass der Schüler vergessen hat, einige „subtile“ Fälle zu berücksichtigen – auf diese Situationen werden wir uns heute konzentrieren.

Dies ist die letzte Lektion über logarithmische Gleichungen. Es wird lange dauern, wir werden komplexe logarithmische Gleichungen analysieren. Machen Sie es sich bequem, machen Sie sich einen Tee und los geht's.

Die erste Gleichung sieht ziemlich normal aus:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Beachten wir sofort, dass beide Logarithmen invertierte Kopien voneinander sind. Erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a b = 1/log b a

Diese Formel weist jedoch eine Reihe von Einschränkungen auf, die sich ergeben, wenn anstelle der Zahlen a und b Funktionen der Variablen x vorhanden sind:

b > 0

1 ≠ a > 0

Diese Anforderungen gelten für die Basis des Logarithmus. Andererseits muss in einem Bruch 1 ≠ a > 0 gelten, da nicht nur die Variable a im Argument des Logarithmus enthalten ist (daher a > 0), sondern der Logarithmus selbst im Nenner des Bruchs steht . Aber log b 1 = 0 und der Nenner muss ungleich Null sein, also a ≠ 1.

Die Einschränkungen für die Variable a bleiben also bestehen. Aber was passiert mit der Variablen b? Einerseits impliziert die Basis b > 0, andererseits ist die Variable b ≠ 1, da die Basis des Logarithmus von 1 verschieden sein muss. Insgesamt folgt aus der rechten Seite der Formel, dass 1 ≠ b > 0.

Aber hier liegt das Problem: Die zweite Voraussetzung (b ≠ 1) fehlt in der ersten Ungleichung, die sich mit dem Linkslogarithmus befasst. Mit anderen Worten, wenn wir diese Transformation durchführen, müssen wir separat prüfen, dass das Argument b von eins verschieden ist!

Schauen wir uns das also an. Wenden wir unsere Formel an:

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Wir haben also bereits aus der ursprünglichen logarithmischen Gleichung abgeleitet, dass sowohl a als auch b größer als 0 und nicht gleich 1 sein müssen. Das bedeutet, dass wir die logarithmische Gleichung leicht umkehren können:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

log x + 1 (x − 0,5) = t

In diesem Fall wird unsere Konstruktion wie folgt umgeschrieben:

(t 2 − 1)/t = 0

Beachten Sie, dass wir im Zähler die Differenz der Quadrate haben. Wir zeigen die Differenz der Quadrate mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel auf:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner ungleich Null ist. Da der Zähler jedoch ein Produkt enthält, setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Wie wir sehen, passen beide Werte der Variablen t zu uns. Damit endet die Lösung jedoch nicht, denn wir müssen nicht t, sondern den Wert von x finden. Wir kehren zum Logarithmus zurück und erhalten:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Lassen Sie uns jede dieser Gleichungen in kanonische Form bringen:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Im ersten Fall verzichten wir auf das Logarithmuszeichen und setzen die Argumente gleich:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Eine solche Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat auch die erste logarithmische Gleichung keine Wurzeln. Aber mit der zweiten Gleichung ist alles viel interessanter:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Wenn wir den Anteil auflösen, erhalten wir:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es beim Lösen logarithmischer Gleichungen viel bequemer ist, alle Dezimalbrüche als gewöhnliche Brüche zu verwenden. Schreiben wir unsere Gleichung also wie folgt um:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, sie kann leicht mit den Formeln von Vieta gelöst werden:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Wir haben zwei Wurzeln – sie sind Kandidaten für die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Um zu verstehen, welche Wurzeln tatsächlich in die Antwort einfließen, kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück. Jetzt überprüfen wir jede unserer Wurzeln, um zu sehen, ob sie in den Definitionsbereich passt:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Diese Anforderungen kommen einer doppelten Ungleichung gleich:

1 ≠ x > 0,5

Von hier aus sehen wir sofort, dass die Wurzel x = −1,5 nicht zu uns passt, x = 1 aber ganz gut zu uns passt. Daher ist x = 1 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Log x 25 + Log 125 x 5 = Log 25 x 625

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass alle Logarithmen unterschiedliche Grundlagen und unterschiedliche Argumente haben. Was tun mit solchen Strukturen? Beachten Sie zunächst, dass die Zahlen 25, 5 und 625 Fünferpotenzen sind:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Machen wir uns nun die wunderbare Eigenschaft des Logarithmus zunutze. Der Punkt ist, dass Sie Potenzen aus einem Argument in Form von Faktoren extrahieren können:

log a b n = n ∙ log a b

Auch für den Fall, dass b durch eine Funktion ersetzt wird, unterliegt diese Transformation Einschränkungen. Aber für uns ist b nur eine Zahl und es ergeben sich keine zusätzlichen Einschränkungen. Schreiben wir unsere Gleichung um:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Wir haben eine Gleichung mit drei Termen erhalten, die das Log-Zeichen enthalten. Darüber hinaus sind die Argumente aller drei Logarithmen gleich.

Es ist an der Zeit, die Logarithmen umzukehren, um sie auf die gleiche Basis zu bringen – 5. Da die Variable b eine Konstante ist, treten keine Änderungen im Definitionsbereich auf. Wir schreiben einfach um:

Wie erwartet tauchten im Nenner die gleichen Logarithmen auf. Ich schlage vor, die Variable zu ersetzen:

log 5 x = t

In diesem Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

Schreiben wir den Zähler aus und öffnen die Klammern:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kehren wir zu unserer Fraktion zurück. Der Zähler muss Null sein:

Und der Nenner ist von Null verschieden:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Die letzten Anforderungen werden automatisch erfüllt, da sie alle an ganze Zahlen „gebunden“ sind und alle Antworten irrational sind.

Damit ist die gebrochene rationale Gleichung gelöst, die Werte der Variablen t wurden gefunden. Kehren wir zur Lösung der logarithmischen Gleichung zurück und erinnern uns daran, was t ist:

Wir reduzieren diese Gleichung auf die kanonische Form und erhalten eine Zahl mit irrationalem Grad. Lassen Sie sich davon nicht verwirren – selbst solche Argumente können gleichgesetzt werden:

Wir haben zwei Wurzeln. Genauer gesagt, zwei Kandidatenantworten – überprüfen wir sie auf Übereinstimmung mit dem Definitionsbereich. Da die Basis des Logarithmus die Variable x ist, benötigen wir Folgendes:

1 ≠ x > 0;

Mit dem gleichen Erfolg behaupten wir, dass x ≠ 1/125, sonst wird die Basis des zweiten Logarithmus zu Eins. Schließlich ist x ≠ 1/25 für den dritten Logarithmus.

Insgesamt haben wir vier Einschränkungen erhalten:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Die Frage ist nun: Erfüllen unsere Wurzeln diese Anforderungen? Natürlich befriedigen sie! Weil 5 hoch zu jeder Potenz größer als Null ist und die Anforderung x > 0 automatisch erfüllt ist.

Andererseits gilt: 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, was bedeutet, dass diese Einschränkungen für unsere Wurzeln (die, ich erinnere Sie daran, eine irrationale Zahl im Exponenten haben) sind auch zufrieden, und beide Antworten sind Lösungen für das Problem.

Wir haben also die endgültige Antwort. Bei dieser Aufgabe gibt es zwei Kernpunkte:

1. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie einen Logarithmus umdrehen, wenn Argument und Basis vertauscht sind. Solche Transformationen führen zu unnötigen Einschränkungen des Definitionsbereichs.
2. Haben Sie keine Angst, Logarithmen umzuwandeln: Sie können nicht nur umgekehrt, sondern auch mit der Summenformel erweitert und im Allgemeinen mit allen Formeln geändert werden, die Sie beim Lösen logarithmischer Ausdrücke studiert haben. Denken Sie jedoch immer daran: Manche Transformationen erweitern den Definitionsbereich, andere schränken ihn ein.

Wenn Sie komplexe logarithmische Gleichungen lösen, achten Sie im Allgemeinen darauf, den ursprünglichen Definitionsbereich aufzuschreiben. Das ist alles, was ich für heute habe. :)

Logarithmische Gleichungen. Wir betrachten weiterhin Aufgaben aus Teil B des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Lösungen zu einigen Gleichungen haben wir bereits in den Artikeln „“, „“ untersucht. In diesem Artikel betrachten wir logarithmische Gleichungen. Ich sage gleich, dass es beim Lösen solcher Gleichungen im Einheitlichen Staatsexamen keine komplexen Transformationen geben wird. Sie sind einfach.

Es reicht aus, die grundlegende logarithmische Identität zu kennen und zu verstehen, um die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen. Bitte beachten Sie, dass Sie nach der Lösung eine Überprüfung durchführen MÜSSEN – setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und berechnen Sie, am Ende sollten Sie die richtige Gleichung erhalten.

Definition:

Der Logarithmus einer Zahl zur Basis b ist der Exponent,auf den b erhöht werden muss, um a zu erhalten.

Zum Beispiel:

Log 3 9 = 2, da 3 2 = 9

Eigenschaften von Logarithmen:

Sonderfälle von Logarithmen:

Lasst uns Probleme lösen. Im ersten Beispiel führen wir eine Prüfung durch. Überprüfen Sie es in Zukunft selbst.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 3 (4–x) = 4

Da log b a = x b x = a, dann

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Untersuchung:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Richtig.

Antwort: – 77

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 2 (4 – x) = 7

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5(4 + x) = 2

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität.

Da log a b = x b x = a, dann

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Untersuchung:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Richtig.

Antwort: 21

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 3 (14 – x) = log 3 5.

Die folgende Eigenschaft tritt auf, ihre Bedeutung ist wie folgt: Wenn wir auf der linken und rechten Seite der Gleichung Logarithmen mit derselben Basis haben, dann können wir die Ausdrücke unter den Vorzeichen der Logarithmen gleichsetzen.

14 – x = 5

x=9

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 9

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (5 – x) = log 5 3.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Eine kleine Ergänzung - das Grundstück wird hier genutzt

Grad ().

Antwort: – 51

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 1/7 (7 – x) = – 2

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Lassen Sie uns die rechte Seite transformieren. Nutzen wir die Eigenschaft:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: – 21

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Lösen Sie die Gleichung log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 2,75

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lösen Sie die Gleichung log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Es ist notwendig, einen Ausdruck der Form auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten:

Protokoll 2 (......)

Wir stellen 1 als Logarithmus zur Basis 2 dar:

1 = Protokoll 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Wir bekommen:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Wenn log c a = log c b, dann a = b, dann

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 0,4

Entscheide dich selbst: Als nächstes müssen Sie die quadratische Gleichung lösen. Übrigens,

die Wurzeln sind 6 und – 4.

Wurzel "-4“ ist keine Lösung, da die Basis des Logarithmus größer als Null sein muss, und mit „– 4" es ist gleich " – 5". Die Lösung ist Root 6.Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6.

R Essen Sie selbst:

Lösen Sie die Gleichung log x –5 49 = 2. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, antworten Sie mit der kleineren.

Wie Sie gesehen haben, gibt es keine komplizierten Transformationen mit logarithmischen GleichungenNein. Es reicht aus, die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen und anwenden zu können. Bei USE-Problemen im Zusammenhang mit der Transformation logarithmischer Ausdrücke werden schwerwiegendere Transformationen durchgeführt und es sind tiefergehende Fähigkeiten zur Lösung erforderlich. Wir werden uns solche Beispiele ansehen, verpassen Sie sie nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!!!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik ist es gewidmet Problem C3 . Jeder Studierende muss lernen, C3-Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zu lösen, wenn er die bevorstehende Prüfung mit „gut“ oder „sehr gut“ bestehen möchte. Dieser Artikel bietet einen kurzen Überblick über häufig vorkommende logarithmische Gleichungen und Ungleichungen sowie grundlegende Methoden zu deren Lösung.

Schauen wir uns heute ein paar Beispiele an. logarithmische Gleichungen und Ungleichungen, die den Studierenden des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik der Vorjahre angeboten wurden. Aber es beginnt mit einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten theoretischen Punkte, die wir zu ihrer Lösung benötigen.

Logarithmische Funktion

Definition

Funktion des Formulars

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

angerufen logarithmische Funktion.

Grundeigenschaften

Grundlegende Eigenschaften der logarithmischen Funktion j=log ein x:

Der Graph einer logarithmischen Funktion ist logarithmische Kurve:

Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmus des Produkts zwei positive Zahlen ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Zahlen:

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Logarithmus des Quotienten zwei positive Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen:

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Wenn A Und B A≠ 1, dann für jede Zahl R Gleichheit ist wahr:

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Gleichwertigkeit Protokoll A T=log A S, Wo A > 0, A ≠ 1, T > 0, S> 0, gültig genau dann, wenn T = S.

Wenn A, B, C sind positive Zahlen, und A Und C von der Einheit verschieden sind, dann ist die Gleichheit ( Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis):

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Satz 1. Wenn F(X) > 0 und G(X) > 0, dann ist die logarithmische Gleichung log ein f(X) = log ein g(X) (Wo A > 0, A≠ 1) entspricht der Gleichung F(X) = G(X).

Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen lösen

Beispiel 1. Löse die Gleichung:

Lösung. Der Bereich akzeptabler Werte umfasst nur diese X, für den der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen größer als Null ist. Diese Werte werden durch das folgende Ungleichungssystem bestimmt:

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Bedenkt, dass

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wir erhalten das Intervall, das den Bereich zulässiger Werte dieser logarithmischen Gleichung definiert:

Basierend auf Satz 1, dessen Bedingungen hier alle erfüllt sind, gehen wir zu der folgenden äquivalenten quadratischen Gleichung über:

Der Bereich akzeptabler Werte umfasst nur die erste Wurzel.

Antwort: x = 7.

Beispiel 2. Löse die Gleichung:

Lösung. Der Bereich akzeptabler Werte der Gleichung wird durch das Ungleichungssystem bestimmt:

ql-right-eqno">

Lösung. Der Bereich akzeptabler Werte der Gleichung lässt sich hier leicht bestimmen: X > 0.

Wir verwenden Substitution:

Die Gleichung lautet:

Umgekehrte Substitution:

Beide Antwort liegen im Bereich akzeptabler Werte der Gleichung, da es sich um positive Zahlen handelt.

Beispiel 4. Löse die Gleichung:

Lösung. Beginnen wir die Lösung erneut, indem wir den Bereich akzeptabler Werte der Gleichung bestimmen. Sie wird durch das folgende Ungleichungssystem bestimmt:

ql-right-eqno">

Die Basen der Logarithmen sind gleich, sodass wir im Bereich akzeptabler Werte mit der folgenden quadratischen Gleichung fortfahren können:

Die erste Wurzel liegt nicht im Bereich akzeptabler Werte der Gleichung, die zweite jedoch schon.

Antwort: X = -1.

Beispiel 5. Löse die Gleichung:

Lösung. Wir werden nach Lösungen dazwischen suchen X > 0, X≠1. Lassen Sie uns die Gleichung in eine äquivalente umwandeln:

Beide Antwort liegen im Bereich akzeptabler Werte der Gleichung.

Beispiel 6. Löse die Gleichung:

Lösung. Das Ungleichungssystem, das den Bereich der zulässigen Werte der Gleichung definiert, hat diesmal die Form:

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Mithilfe der Eigenschaften des Logarithmus transformieren wir die Gleichung in eine Gleichung, die im Bereich akzeptabler Werte äquivalent ist:

Wenn wir die Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis verwenden, erhalten wir:

Der Bereich akzeptabler Werte umfasst nur einen Antwort: X = 4.

Kommen wir nun zu logarithmische Ungleichungen . Genau damit müssen Sie sich beim Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik befassen. Zur Lösung weiterer Beispiele benötigen wir folgenden Satz:

Satz 2. Wenn F(X) > 0 und G(X) > 0, dann:
bei A> 1 logarithmisches Ungleichheitsprotokoll a F(X) > log a G(X) entspricht einer Ungleichung derselben Bedeutung: F(X) > G(X);
bei 0< A < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > log a G(X) entspricht einer Ungleichung mit umgekehrter Bedeutung: F(X) < G(X).

Beispiel 7. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung. Beginnen wir mit der Definition des Bereichs akzeptabler Werte der Ungleichung. Der Ausdruck unter dem Vorzeichen der logarithmischen Funktion darf nur positive Werte annehmen. Dies bedeutet, dass der erforderliche Bereich akzeptabler Werte durch das folgende Ungleichungssystem bestimmt wird:

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Da die Basis des Logarithmus eine Zahl kleiner als eins ist, nimmt die entsprechende logarithmische Funktion ab, und daher ist gemäß Satz 2 der Übergang zur folgenden quadratischen Ungleichung äquivalent:

Unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte erhalten wir schließlich Antwort:

Beispiel 8. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung. Beginnen wir noch einmal mit der Definition des Bereichs akzeptabler Werte:

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Auf der Menge der zulässigen Werte der Ungleichung führen wir äquivalente Transformationen durch:

Nach Reduktion und Übergang zum Ungleichungsäquivalent durch Satz 2 erhalten wir:

Unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte erhalten wir das Endergebnis Antwort:

Beispiel 9. Logarithmische Ungleichung lösen:

Lösung. Der Bereich akzeptabler Ungleichheitswerte wird durch das folgende System bestimmt:

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Es ist ersichtlich, dass im Bereich akzeptabler Werte der Ausdruck an der Basis des Logarithmus immer größer als eins ist und daher gemäß Satz 2 der Übergang zu der folgenden Ungleichung äquivalent ist:

Unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte erhalten wir die endgültige Antwort:

Beispiel 10. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung.

Der Bereich akzeptabler Ungleichheitswerte wird durch das Ungleichungssystem bestimmt:

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Methode I Verwenden wir die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus und gehen wir zu einer Ungleichung über, die im Bereich akzeptabler Werte äquivalent ist.