Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Matrixmethode. Slough mit der Methode der inversen Matrix lösen

(manchmal wird diese Methode auch als Matrixmethode oder inverse Matrixmethode bezeichnet) erfordert eine vorherige Einarbeitung in ein Konzept wie die Matrixform der SLAE-Notation. Die Methode der inversen Matrix dient zur Lösung solcher Systeme linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Determinante der Systemmatrix von Null verschieden ist. Dies setzt natürlich voraus, dass die Matrix des Systems quadratisch ist (das Konzept einer Determinante existiert nur für quadratische Matrizen). Die Essenz der inversen Matrixmethode kann in drei Punkten ausgedrückt werden:

1. Schreiben Sie drei Matrizen auf: die Systemmatrix $A$, die Unbekanntenmatrix $X$, die Matrix der freien Terme $B$.
2. Finden Sie die inverse Matrix $A^(-1)$.
3. Erhalten Sie unter Verwendung der Gleichung $X=A^(-1)\cdot B$ eine Lösung für das gegebene SLAE.

Jedes SLAE kann in Matrixform als $A\cdot X=B$ geschrieben werden, wobei $A$ die Matrix des Systems, $B$ die Matrix der freien Terme und $X$ die Matrix der Unbekannten ist. Lassen Sie die Matrix $A^(-1)$ existieren. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichheit $A\cdot X=B$ mit der Matrix $A^(-1)$ auf der linken Seite multiplizieren:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Da $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ ist die Identitätsmatrix) wird die obige Gleichheit zu:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Da $E\cdot X=X$ gilt, gilt:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Beispiel Nr. 1

Lösen Sie das SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ unter Verwendung der inversen Matrix.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Finden wir die Umkehrmatrix zur Systemmatrix, d.h. Berechnen wir $A^(-1)$. Im Beispiel Nr. 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Setzen wir nun alle drei Matrizen ($X$, $A^(-1)$, $B$) in die Gleichung $X=A^(-1)\cdot B$ ein. Dann führen wir eine Matrixmultiplikation durch

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Wir haben also die Gleichheit $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( array )\right)$. Aus dieser Gleichheit ergibt sich: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Antwort: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Beispiel Nr. 2

SLAE lösen $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ mit der Methode der inversen Matrix.

Schreiben wir die Matrix des Systems $A$, die Matrix der freien Terme $B$ und die Matrix der Unbekannten $X$ auf.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Jetzt ist es an der Reihe, die Umkehrmatrix zur Systemmatrix zu finden, d. h. finde $A^(-1)$. In Beispiel Nr. 3 auf der Seite zum Finden inverser Matrizen wurde die inverse Matrix bereits gefunden. Lassen Sie uns das fertige Ergebnis verwenden und $A^(-1)$ schreiben:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\right). $$

Lassen Sie uns nun alle drei Matrizen ($X$, $A^(-1)$, $B$) in die Gleichung $X=A^(-1)\cdot B$ einsetzen und dann auf der rechten Seite eine Matrixmultiplikation durchführen dieser Gleichheit.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Wir haben also die Gleichheit $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. Aus dieser Gleichheit ergibt sich: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten ein System der Form genannt

Wo ein ij Und b ich (ich=1,…,M; B=1,…,N) sind einige bekannte Zahlen, und x 1 ,…,x n- Unbekannt. Bei der Bezeichnung von Koeffizienten ein ij erster Index ich bezeichnet die Gleichungsnummer und die zweite J– die Nummer der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.

Wir werden die Koeffizienten für die Unbekannten in Form einer Matrix schreiben , die wir nennen werden Matrix des Systems.

Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen sind b 1 ,…,b m werden genannt kostenlose Mitglieder.

Gesamtheit N Zahlen c 1 ,…,c n angerufen Entscheidung eines gegebenen Systems, wenn jede Gleichung des Systems zu einer Gleichheit wird, nachdem Zahlen darin eingesetzt wurden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.

Unsere Aufgabe wird es sein, Lösungen für das System zu finden. In diesem Fall können drei Situationen auftreten:

Ein System linearer Gleichungen, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ansonsten, d.h. Wenn das System keine Lösungen hat, wird es aufgerufen nicht gelenkig.

Betrachten wir Möglichkeiten, Lösungen für das System zu finden.

MATRIXVERFAHREN ZUR LÖSUNG VON SYSTEMEN LINEARER GLEICHUNGEN

Matrizen ermöglichen es, ein System linearer Gleichungen kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:

Betrachten Sie die Systemmatrix und Matrizenspalten mit unbekannten und freien Begriffen

Lasst uns die Arbeit finden

diese. Als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Dann kann dieses System unter Verwendung der Definition der Matrixgleichheit in der Form geschrieben werden

oder kürzer A∙X=B.

Hier sind die Matrizen A Und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Es ist notwendig, es zu finden, weil... Seine Elemente sind die Lösung für dieses System. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.

Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | A| ≠ 0. Dann wird die Matrixgleichung wie folgt gelöst. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung links mit der Matrix A-1, Umkehrung der Matrix A: . Weil das A -1 A = E Und E∙X = X, dann erhalten wir eine Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .

Beachten Sie, dass die Matrixmethode nur solche Systeme lösen kann, da die inverse Matrix nur für quadratische Matrizen gefunden werden kann die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein. Eine Matrixaufzeichnung des Systems ist jedoch auch dann möglich, wenn die Anzahl der Gleichungen nicht gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also die Matrix A wird nicht quadratisch sein und daher ist es unmöglich, eine Lösung des Systems in der Form zu finden X = A -1 B.

Beispiele. Gleichungssysteme lösen.

CRAMERS REGEL

Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten:

Determinante dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht, d. h. bestehend aus Koeffizienten für Unbekannte,

angerufen Determinante des Systems.

Lassen Sie uns drei weitere Determinanten wie folgt zusammenstellen: Ersetzen Sie nacheinander die Spalten 1, 2 und 3 in der Determinante D durch eine Spalte mit freien Termen

Dann können wir das folgende Ergebnis beweisen.

Satz (Cramer-Regel). Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System eine und nur eine Lösung und

Nachweisen. Betrachten wir also ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Multiplizieren wir die erste Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung – weiter Ein 21 und 3. – am A 31:

Fügen wir diese Gleichungen hinzu:

Schauen wir uns die einzelnen Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung an. Nach dem Satz über die Entwicklung der Determinante in Elementen der 1. Spalte

Ebenso lässt sich zeigen, dass und .

Schließlich ist das leicht zu erkennen

Somit erhalten wir die Gleichheit: .

Somit, .

Die Gleichungen und werden auf ähnliche Weise abgeleitet, woraus die Aussage des Satzes folgt.

Wir stellen also fest, dass, wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, das System eine eindeutige Lösung hat und umgekehrt. Wenn die Determinante des Systems gleich Null ist, dann hat das System entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen, d.h. unvereinbar.

Beispiele. Gleichungssystem lösen

GAUSS-METHODE

Mit den zuvor besprochenen Methoden können nur solche Systeme gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Determinante des Systems von Null verschieden sein muss. Die Gauß-Methode ist universeller und für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen geeignet. Es besteht in der konsequenten Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems.

Betrachten Sie noch einmal ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

.

Wir lassen die erste Gleichung unverändert und schließen aus der zweiten und dritten Gleichung die enthaltenden Terme aus x 1. Teilen Sie dazu die zweite Gleichung durch A 21 und multipliziere mit – A 11 und fügen Sie es dann zur 1. Gleichung hinzu. Ebenso dividieren wir die dritte Gleichung durch A 31 und multipliziere mit – A 11, und fügen Sie es dann mit dem ersten hinzu. Als Ergebnis wird das ursprüngliche System die Form annehmen:

Aus der letzten Gleichung eliminieren wir nun den enthaltenden Term x 2. Teilen Sie dazu die dritte Gleichung durch, multiplizieren Sie mit und addieren Sie mit der zweiten. Dann haben wir ein Gleichungssystem:

Von hier aus ist es anhand der letzten Gleichung leicht zu finden x 3, dann aus der 2. Gleichung x 2 und schließlich vom 1. - x 1.

Bei Verwendung der Gauß-Methode können die Gleichungen bei Bedarf vertauscht werden.

Anstatt ein neues Gleichungssystem zu schreiben, beschränken sie sich oft darauf, die erweiterte Matrix des Systems aufzuschreiben:

und bringen Sie es dann mithilfe elementarer Transformationen in eine dreieckige oder diagonale Form.

ZU elementare Transformationen Matrizen umfassen die folgenden Transformationen:

1. Zeilen oder Spalten neu anordnen;
2. Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
3. Hinzufügen weiterer Zeilen zu einer Zeile.

Beispiele: Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Somit hat das System unendlich viele Lösungen.

Dieser Online-Rechner löst ein System linearer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode. Es wird eine sehr detaillierte Lösung gegeben. Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, wählen Sie die Anzahl der Variablen aus. Wählen Sie eine Methode zur Berechnung der inversen Matrix. Geben Sie dann die Daten in die Zellen ein und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“.

×

Warnung

Alle Zellen löschen?

Schließen Löschen

Anweisungen zur Dateneingabe. Zahlen werden als ganze Zahlen (Beispiele: 487, 5, -7623 usw.), Dezimalzahlen (z. B. 67, 102,54 usw.) oder Brüche eingegeben. Der Bruch muss in der Form a/b eingegeben werden, wobei a und b ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Beispiele 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 usw.

Matrixmethode zur Lösung linearer Gleichungssysteme

Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:

Angesichts der Definition einer inversen Matrix gilt: A −1 A=E, Wo E- Identitätsmatrix. Daher kann (4) wie folgt geschrieben werden:

Um das lineare Gleichungssystem (1) (oder (2)) zu lösen, reicht es also aus, die Umkehrung von zu multiplizieren A Matrix pro Einschränkungsvektor B.

Beispiele für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit der Matrixmethode

Beispiel 1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit der Matrixmethode:

Lassen Sie uns die Umkehrung der Matrix A mithilfe der Jordan-Gauß-Methode ermitteln. Auf der rechten Seite der Matrix A Schreiben wir die Identitätsmatrix:

Lassen Sie uns die Elemente der 1. Spalte der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu die Zeilen 2,3 mit Zeile 1, multipliziert mit -1/3 bzw. -1/3:

Lassen Sie uns die Elemente der 2. Spalte der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu Zeile 3 mit Zeile 2 multipliziert mit -24/51:

Lassen Sie uns die Elemente der 2. Spalte der Matrix über der Hauptdiagonale ausschließen. Addieren Sie dazu Zeile 1 mit Zeile 2 multipliziert mit -3/17:

Trennen Sie die rechte Seite der Matrix. Die resultierende Matrix ist die inverse Matrix von A :

Matrixform zum Schreiben eines Systems linearer Gleichungen: Ax=b, Wo

Berechnen wir alle algebraischen Komplemente der Matrix A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Die Umkehrmatrix wird aus dem folgenden Ausdruck berechnet.

• die Determinante der Matrix A wird berechnet;
• durch algebraische Additionen wird die inverse Matrix A -1 gefunden;
• eine Lösungsvorlage wird in Excel erstellt;

Anweisungen. Um eine Lösung mit der Methode der inversen Matrix zu erhalten, müssen Sie die Dimension der Matrix angeben. Geben Sie als Nächstes in einem neuen Dialogfeld die Matrix A und den Ergebnisvektor B ein.

Lösungsalgorithmus

1. Die Determinante der Matrix A wird berechnet. Wenn die Determinante Null ist, ist die Lösung beendet. Das System hat unendlich viele Lösungen.
2. Wenn die Determinante von Null verschieden ist, wird die inverse Matrix A -1 durch algebraische Additionen gefunden.
3. Der Lösungsvektor X =(x 1, x 2, ..., x n) erhält man durch Multiplikation der inversen Matrix mit dem Ergebnisvektor B.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Mit der Matrixmethode können Sie Lösungen für SLAEs (Systeme linearer algebraischer Gleichungen) beliebiger Komplexität finden. Der gesamte Prozess zur Lösung von SLAEs besteht aus zwei Hauptschritten:

Bestimmung der inversen Matrix basierend auf der Hauptmatrix:

Multiplikation der resultierenden inversen Matrix mit einem Spaltenvektor von Lösungen.

Angenommen, wir erhalten einen SLAE der folgenden Form:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Beginnen wir mit der Lösung dieser Gleichung, indem wir die Systemmatrix aufschreiben:

Rechte Matrix:

Definieren wir die inverse Matrix. Sie können eine Matrix 2. Ordnung wie folgt finden: 1 – die Matrix selbst darf nicht singulär sein; 2 - seine Elemente, die auf der Hauptdiagonale liegen, werden vertauscht, und für die Elemente der Nebendiagonale ändern wir das Vorzeichen in das entgegengesetzte, wonach wir die resultierenden Elemente durch die Determinante der Matrix dividieren. Wir bekommen:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

Zwei Matrizen gelten als gleich, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind. Als Ergebnis haben wir folgende Antwort für die SLAE-Lösung:

Wo kann ich online ein Gleichungssystem mit der Matrixmethode lösen?

Auf unserer Website können Sie das Gleichungssystem lösen. Mit dem kostenlosen Online-Löser können Sie Online-Gleichungen beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Wie Sie die Gleichung lösen können, erfahren Sie auch auf unserer Website. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe stellen.